Egenskapen til tilstøtende vinkler til et parallellogram. parallellogram og dets egenskaper

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parvis parallelle. Følgende figur viser parallellogrammet ABCD. Den har side AB parallell med side CD og side BC parallell med side AD.

Som du kanskje har gjettet, er et parallellogram en konveks firkant. Tenk på de grunnleggende egenskapene til et parallellogram.

Parallelogramegenskaper

1. I et parallellogram er motsatte vinkler og motsatte sider like. La oss bevise denne egenskapen - tenk på parallellogrammet vist i følgende figur.

Diagonal BD deler den inn i to like trekanter: ABD og CBD. De er like i side BD og to vinkler ved siden av den, siden vinklene som ligger ved sekanten til BD er henholdsvis parallelle linjer BC og AD og AB og CD. Derfor er AB = CD og
BC=AD. Og fra likheten mellom vinkel 1, 2,3 og 4 følger det at vinkel A = vinkel1 + vinkel3 = vinkel2 + vinkel4 = vinkel C.

2. Parallellogrammets diagonaler halveres av skjæringspunktet. La punktet O være skjæringspunktet mellom diagonalene AC og BD til parallellogrammet ABCD.

Da er trekanten AOB og trekanten COD lik hverandre, langs siden og to vinkler ved siden av den. (AB=CD siden de er motsatte sider av parallellogrammet. Og vinkel1 = vinkel2 og vinkel3 = vinkel4 som tverrliggende vinkler i skjæringspunktet mellom linjene AB og CD ved henholdsvis sekantene AC og BD.) Det følger at AO = OC og OB = OD, som og måtte bevises.

Alle hovedegenskapene er illustrert i de følgende tre figurene.

Konseptet med et parallellogram

Definisjon 1

Parallelogram er en firkant der motsatte sider er parallelle med hverandre (fig. 1).

Bilde 1.

Et parallellogram har to hovedegenskaper. La oss vurdere dem uten bevis.

Eiendom 1: Motstående sider og vinkler av et parallellogram er lik, henholdsvis.

Eiendom 2: Diagonaler tegnet i et parallellogram er todelt av skjæringspunktet.

Parallelogram funksjoner

Tenk på tre trekk ved et parallellogram og presenter dem i form av teoremer.

Teorem 1

Hvis to sider av en firkant er like hverandre og også parallelle, vil denne firkanten være et parallellogram.

Bevis.

La oss få en firkant $ABCD$. I hvilke $AB||CD$ og $AB=CD$ La oss tegne en diagonal $AC$ i den (fig. 2).

Figur 2.

Tenk på parallelle linjer $AB$ og $CD$ og deres sekant $AC$. Deretter

\[\angle CAB=\angle DCA\]

som tverrgående hjørner.

I henhold til $I$-kriteriet for likestilling av trekanter,

siden $AC$ er deres felles side, og $AB=CD$ etter antagelse. Midler

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Betrakt linjene $AD$ og $CB$ og deres sekant $AC$; ved den siste likheten av de kryssliggende vinklene får vi at $AD||CB$.) Derfor, ved definisjonen av $1$, er denne firkanten er et parallellogram.

Teoremet er bevist.

Teorem 2

Hvis motsatte sider av en firkant er like, er det et parallellogram.

Bevis.

La oss få en firkant $ABCD$. I hvilke $AD=BC$ og $AB=CD$. La oss tegne en diagonal $AC$ i den (fig. 3).

Figur 3

Siden $AD=BC$, $AB=CD$ og $AC$ er en felles side, så ved $III$-trekantlikhetstesten,

\[\triangle DAC=\triangle ACB\]

\[\angle DAC=\angle ACB\]

Tenk på linjene $AD$ og $CB$ og deres sekant $AC$, ved den siste likheten av de kryssliggende vinklene får vi at $AD||CB$. Derfor, ved definisjonen av $1$, er denne firkanten et parallellogram.

\[\angle DCA=\angle CAB\]

Tenk på linjene $AB$ og $CD$ og deres sekant $AC$, ved den siste likheten av de kryssliggende vinklene får vi at $AB||CD$. Derfor, ved definisjon 1, er denne firkanten et parallellogram.

Teoremet er bevist.

Teorem 3

Hvis diagonalene tegnet i en firkant er delt i to like deler etter skjæringspunktet, så er denne firkanten et parallellogram.

Bevis.

La oss få en firkant $ABCD$. La oss tegne diagonalene $AC$ og $BD$ i den. La dem krysse hverandre i punktet $O$ (fig. 4).

Figur 4

Siden, ved betingelsen $BO=OD,\ AO=OC$, og vinklene $\angle COB=\angle DOA$ er vertikale, så, ved $I$-trekantlikhetstesten,

\[\triangle BOC=\triangle AOD\]

\[\angle DBC=\angle BDA\]

Tenk på linjene $BC$ og $AD$ og deres sekant $BD$, ved den siste likheten av de kryssliggende vinklene får vi at $BC||AD$. Også $BC=AD$. Derfor, ved teorem $1$, er denne firkanten et parallellogram.

Leksjonsoversikt.

Algebra klasse 8

Lærer Sysoi A.K.

Skole 1828

Leksjonsemne: "Parallelogram og dets egenskaper"

Leksjonstype: kombinert

Leksjonens mål:

1) Sikre assimilering av et nytt konsept - et parallellogram og dets egenskaper

2) Fortsett å utvikle ferdigheter og evner til å løse geometriske problemer;

3) Utvikling av en matematisk talekultur

Timeplan:

1. Organisatorisk øyeblikk

(lysbilde 1)

Lysbildet viser uttalelsen til Lewis Carroll. Elevene blir informert om formålet med timen. Elevenes beredskap for timen kontrolleres.

2. Oppdatering av kunnskap

(lysbilde 2)

I styreoppgaver for muntlig arbeid. Læreren inviterer elevene til å tenke over disse problemene og rekke opp hendene til de som forstår hvordan de skal løse problemet. Etter å ha løst to oppgaver kalles en elev til tavlen for å bevise teoremet om vinklesummen, som selvstendig lager tilleggskonstruksjoner på tegningen og beviser teoremet muntlig.

Elevene bruker formelen for summen av vinklene til en polygon:

3. Hoveddel

(lysbilde 3)

På tavlen er definisjonen av et parallellogram. Læreren snakker om en ny figur og formulerer en definisjon, og lager de nødvendige forklaringene ved hjelp av tegningen. Deretter, på den rutete delen av presentasjonen, ved hjelp av en markør og en linjal, viser hvordan du tegner et parallellogram (flere tilfeller er mulige)

(lysbilde 4)

Læreren formulerer den første egenskapen til et parallellogram. Inviterer elevene til å si, i henhold til bildet, hva som er gitt og hva som må bevises. Etter det vises den gitte oppgaven på tavlen. Elevene gjetter (kanskje med hjelp av en lærer) at de ønskede likhetene må bevises gjennom trekanters likheter, som kan oppnås ved å tegne en diagonal (en diagonal vises på tavlen). Deretter gjetter elevene hvorfor trekantene er like og kaller tegnet på trekantenes likhet (den tilsvarende formen vises). Muntlig kommunisere fakta som er nødvendige for likestilling av trekanter (som de kaller dem, vises den tilsvarende visualiseringen). Deretter formulerer elevene egenskapen til like trekanter, den vises i form av punkt 3 i beviset og fullfører deretter selvstendig beviset for teoremet muntlig.

(lysbilde 5)

Læreren formulerer den andre egenskapen til et parallellogram. En tegning av et parallellogram vises på tavlen. Læreren tilbyr å si fra bildet hva som er gitt, hva som må bevises. Etter at elevene har rapportert korrekt hva som er gitt og hva som må bevises, vises tilstanden til teoremet. Elevene gjetter at likheten mellom deler av diagonalene kan bevises gjennom trekantenes likhetAOB og TORSK. Bruk den forrige egenskapen til et parallellogram, gjett om likheten mellom sideneAB og CD. Da forstår de at det er nødvendig å finne like vinkler, og ved å bruke egenskapene til parallelle linjer beviser de likheten til vinkler ved siden av like sider. Disse stadiene er visualisert på lysbildet. Sannheten til teoremet følger av trekantenes likhet - elevene uttaler den tilsvarende visualiseringen på lysbildet.

(lysbilde 6)

Læreren formulerer den tredje egenskapen til et parallellogram. Avhengig av tiden som gjenstår til slutten av timen, kan læreren gi elevene mulighet til å bevise denne egenskapen på egen hånd, eller begrense den til formuleringen, og overlate beviset selv til elevene som hjemmelekse. Beviset kan være basert på summen av vinklene til den innskrevne polygonen, som ble gjentatt i begynnelsen av leksjonen, eller på summen av de indre ensidige vinklene for to parallelle linjerAD og f.Kr, og en sekant, for eksempelAB.

4. Feste materialet

På dette stadiet løser studentene problemer ved å bruke tidligere studerte teoremer. Ideer for å løse oppgaven velges av elevene på egen hånd. Siden det er mange mulige designalternativer og alle avhenger av hvordan studentene vil se etter en løsning på problemet, er det ingen visualisering av løsningen på problemene, og studentene tegner selvstendig opp hvert trinn av løsningen på en egen tavle med løsningen skrevet i en notatbok.

(lysbilde 7)

Oppgavetilstanden vises. Læreren foreslår å formulere "gitt" i henhold til tilstanden. Etter at elevene har skrevet ned tilstanden riktig, vises "Gi" på tavlen. Problemløsningsprosessen kan se slik ut:

Tegnehøyde BH (gjengitt)

Trekant AHB er en rettvinklet trekant. Vinkel A er lik vinkel C og er lik 30 0 (ved egenskapen til motsatte vinkler i et parallellogram). 2BH =AB (i henhold til egenskapen til benet motsatt vinkelen på 30 0 i en rettvinklet trekant). Så AB = 13 cm.

AB \u003d CD, BC \u003d AD (ved egenskapen til motsatte sider i et parallellogram) Så AB \u003d CD \u003d 13cm. Siden omkretsen av parallellogrammet er 50 cm, er BC \u003d AD \u003d (50 - 26): 2 \u003d 12 cm.

Svar: AB=CD=13cm, BC=AD=12cm.

(lysbilde 8)

Oppgavetilstanden vises. Læreren foreslår å formulere "gitt" i henhold til tilstanden. Deretter vises "Dano" på skjermen. Ved hjelp av røde linjer velges en firkant, som du trenger for å bevise at det er et parallellogram. Problemløsningsprosessen kan se slik ut:

Fordi BK og MD er vinkelrett på samme linje, så er linjene BK og MD parallelle.

Gjennom tilstøtende vinkler kan det vises at summen av indre ensidige vinkler for linjene BM og KD og sekant MD er 180 0 . Derfor er disse linjene parallelle.

Siden de motsatte sidene av firkanten BMDK er parvis parallelle, er denne firkanten et parallellogram.

5. Slutt på leksjonen. utfallsatferd.

(lysbilde 8)

Spørsmål om et nytt tema dukker opp på lysbildet, som elevene svarer på.

Kommunal budsjettutdanningsinstitusjon

Savinskaya ungdomsskole

Forskningsarbeid

Parallelogram og dets nye egenskaper

Utført av: 8B klasse elev

MBOU Savinskaya ungdomsskole

Kuznetsova Svetlana, 14 år gammel

Leder: mattelærer

Tulchevskaya N.A.

Savino

Ivanovo-regionen, Russland

2016

JEG. Introduksjon ____________________________________________ side 3

II. Fra parallellogrammets historie __________________________________ side 4

III Ytterligere egenskaper til et parallellogram ______________________side 4

IV. Bevis for egenskaper __________________________________ side 5

V. Løse problemer ved å bruke tilleggsegenskaper __________side 8

VI. Anvendelse av egenskapene til et parallellogram i livet _________________ side 11

VII. Konklusjon ________________________________________________ side 12

VIII. Litteratur _________________________________________________side 13

Introduksjon

"Blant likesinnede

på likhet med andre forhold

overlegen de som kan geometri"

(Blaise Pascal).

Mens vi studerte emnet "Parallelogram" i geometritimer, vurderte vi to egenskaper til et parallellogram og tre funksjoner, men da vi begynte å løse problemer, viste det seg at dette ikke var nok.

Jeg hadde et spørsmål, har parallellogrammet noen andre egenskaper, og hvordan de vil hjelpe til med å løse problemer.

Og jeg bestemte meg for å studere ytterligere egenskaper til et parallellogram og vise hvordan de kan brukes til å løse problemer.

Studieemne : parallellogram

Studieobjekt : parallellogramegenskaper
Objektiv:

formulering og bevis på tilleggsegenskaper til et parallellogram som ikke er studert på skolen;

bruk av disse egenskapene for å løse problemer.

Oppgaver:

Å studere historien til parallellogrammet og historien om utviklingen av dets egenskaper;

Finn ytterligere litteratur om problemet som studeres;

Studer tilleggsegenskaper til et parallellogram og bevis dem;

Vis bruken av disse egenskapene for å løse problemer;

Vurder bruken av egenskapene til et parallellogram i livet.
Forskningsmetoder:

Arbeid med pedagogisk og vitenskapelig – populærlitteratur, internettressurser;

Studiet av teoretisk materiale;

Valg av en rekke oppgaver som kan løses ved hjelp av tilleggsegenskaper til et parallellogram;

Observasjon, sammenligning, analyse, analogi.

Studievarighet : 3 måneder: januar-mars 2016

1. Fra parallellogrammets historie

I en lærebok om geometri leser vi følgende definisjon av et parallellogram: Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par.

Ordet "parallelogram" er oversatt som "parallelle linjer" (fra de greske ordene Parallelos - parallell og gram - linje), dette begrepet ble introdusert av Euklid. I sin bok The Elements beviste Euclid følgende egenskaper til et parallellogram: motsatte sider og vinkler på et parallellogram er like, og en diagonal halverer det. Euklid nevner ikke skjæringspunktet til parallellogrammet. Først på slutten av middelalderen ble det utviklet en komplett teori om parallellogrammer.Og først på 1600-tallet dukket det opp parallellogramsetninger i lærebøker, som er bevist ved hjelp av Euklids teorem om egenskapene til et parallellogram.

III Ytterligere egenskaper til et parallellogram

I læreboken om geometri er det bare gitt to egenskaper til et parallellogram:

Motstående vinkler og sider er like

Diagonalene til et parallellogram skjærer hverandre og skjæringspunktet er todelt

I ulike kilder om geometri kan følgende tilleggsegenskaper finnes:

Summen av tilstøtende vinkler til et parallellogram er 180 0

Vinkelhalveringslinjen til et parallellogram skjærer av en likebenet trekant fra den;

Halvledere av motsatte vinkler av et parallellogram ligger på parallelle linjer;

Halvledere av tilstøtende vinkler av et parallellogram skjærer hverandre i rette vinkler;

Halveringslinjene til alle vinkler i et parallellogram danner et rektangel når de skjærer hverandre;

Avstandene fra motsatte hjørner av et parallellogram til en og samme diagonal er like.

Hvis du kobler motstående hjørner i et parallellogram med midtpunktene til motsatte sider, får du et annet parallellogram.

Summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik to ganger summen av kvadratene på de tilstøtende sidene.

Tegner vi høyder fra to motstående vinkler i et parallellogram, får vi et rektangel.

IV Bevis på egenskapene til et parallellogram

Summen av tilstøtende vinkler til et parallellogram er 180 0

Gitt:

ABCD er et parallellogram

Bevise:

A+
B=

Bevis:

A og
B - indre ensidige hjørner med parallelle rette linjer BC AD og sekant AB, altså
A+
B=

2

Gitt: ABCD - parallellogram,

AK -bisektor
MEN.

Bevise: AVK - likebenet

Bevis:

1)
1=
3 (kryssliggende med BC AD og sekant AK ),

2)
2=
3 fordi AK er en halveringslinje,

betyr 1=
2.

3) ABK er likebenet fordi 2 vinkler i en trekant er like

. Vinkelhalveringslinjen til et parallellogram skjærer av en likebenet trekant fra den

3

Gitt: ABCD er et parallellogram

AK er halveringslinjen til A,

СР er halveringslinjen til C.

Bevise: AK ║ SR

Bevis:

1) 1=2 siden AK-halveringslinjen

2) 4=5 fordi SR - halveringslinje

3) 3=1 (tverrliggende vinkler ved

BC ║ AD og AK-sekant),

4) A \u003d C (ved egenskapen til et parallellogram), som betyr 2 \u003d 3 \u003d 4 \u003d 5.

4) Fra avsnitt 3 og 4 følger det at 1 = 4, og disse vinklene samsvarer med rette linjer AK og SR og en sekant BC,

derfor AK ║ SR (på grunnlag av parallelle linjer)

. Halvledere av motsatte vinkler til et parallellogram ligger på parallelle linjer

Halvledere av tilstøtende vinkler i et parallellogram skjærer hverandre i rette vinkler

Gitt: ABCD - parallellogram,

AC-halveringslinje A,

DP-bisektor D

Bevise: DP AK.

Bevis:

1) 1=2, fordi AK - halveringslinje

La 1=2=x, så A=2x,

2) 3=4, fordi D P - halveringslinje

La 3=4=y, så D=2y

3) A + D \u003d 180 0, fordi summen av tilstøtende vinkler til et parallellogram er 180

2) Vurder En OD

1+3=90 0 da
<5=90 0 (сумма углов треугольников равна 180 0)

5. Halveringslinjene til alle vinklene i et parallellogram danner et rektangel når de skjærer hverandre

Gitt: ABCD - parallellogram, AK-bisektor A,

DP-bisektor D,

CM er halveringslinjen til C,

BF -bisektor av B .

Bevise: KRNS -rektangel

Bevis:

Basert på den forrige egenskapen 8=7=6=5=90 0 ,

betyr at KRNS er et rektangel.

Avstandene fra motsatte hjørner av et parallellogram til en og samme diagonal er like.

Gitt: ABCD-parallelogram, AC-diagonal.

VC AU, D.P. AC

Bevise: BK=DP

Bevis: 1) DCP \u003d KAB, som intern på tvers liggende ved AB ║ CD og sekant AC.

2) AKB= CDP (langs siden og to hjørner ved siden av den AB=CD CD P=AB K).

Og i like trekanter er de tilsvarende sidene like, så DP \u003d BK.

Hvis du kobler motstående hjørner i et parallellogram med midtpunktene til motsatte sider, får du et annet parallellogram.

Gitt: ABCD parallellogram.

Bevise: VKDP er et parallellogram.

Bevis:

1) BP=KD (AD=BC, punktene K og P

del disse sidene)

2) BP ║ KD (ligg på AD f.Kr.)

Hvis de motsatte sidene av en firkant er like og parallelle, så er denne firkanten et parallellogram.

Tegner vi høyder fra to motstående vinkler i et parallellogram, får vi et rektangel.

Summen av kvadratene til diagonalene til et parallellogram er lik to ganger summen av kvadratene på de tilstøtende sidene.

Gitt: ABCD er et parallellogram. BD og AC er diagonaler.

Bevise: AC 2 + BD 2 =2(AB 2 + AD 2 )

Bevis: 1)SPØRRE: AC ²=
+

2)B RD : BD 2 = B R 2 + PD 2 (ifølge Pythagoras teorem)

3) AC ²+ BD ²=SC²+EN K²+B Р²+РD ²

4) SK = BP = H(høyde )

5) AC 2 +VD 2 = H 2 + EN Til 2 + H 2 +PD 2

6) La D K=EN P=x, deretter C TilD : H 2 = CD 2 - X 2 ifølge Pythagoras teorem )

7) AC²+BD ² = CD 2 - x²+ AK 1 ²+ CD 2 -X 2 +PD 2 ,

AC²+VD ²=2CD 2 -2x 2 + EN Til 2 +PD 2

8) A Til=AD+ X, RD=AD- X,

AC²+VD ² =2CD 2 -2x 2 +(AD +x) 2 +(AD -X) 2 ,

AC²+ PÅD²=2 FRAD²-2 X²+AD 2 +2AD X+ X 2 + AD 2 -2AD X+ X 2 ,
AC²+ PÅD²=2CD 2 +2AD 2 =2(CD 2 + AD 2 ).

V . Løse problemer ved å bruke disse egenskapene

Skjæringspunktet for halveringslinjene til to vinkler av et parallellogram ved siden av den ene siden tilhører den motsatte siden. Den korte siden av parallellogrammet er 5 . Finn hans store side.

Gitt: ABCD er et parallellogram,

AK - halveringslinje
MEN,

D K - halveringslinje
D, AB=5

Finne: sol

løsning

Løsning

Fordi AK - halveringslinje
A, da er ABC likebenet.

Fordi D K - halveringslinje
D, da DCK - likebenet

DC \u003d C K \u003d 5

Deretter VS=VK+SK=5+5 = 10

Svar: 10

2. Finn omkretsen til parallellogrammet hvis halveringslinjen til en av vinklene deler parallellogrammets side i segmenter på 7 cm og 14 cm.

1 sak

Gitt:
MEN,

VK=14 cm, KS=7 cm

Finne: R parallellogram

Løsning

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Fordi AK - halveringslinje
A, da er ABC likebenet.

AB=BK=14cm

Deretter P \u003d 2 (14 + 21) \u003d 70 (cm)

skjer

Gitt: ABCD er et parallellogram,

D K - halveringslinje
D,

VK=14 cm, KS=7 cm

Finne: R parallellogram

Løsning

BC=VK+KS=14+7=21 (cm)

Fordi D K - halveringslinje
D, da DCK - likebenet

DC \u003d C K \u003d 7

Deretter P \u003d 2 (21 + 7) \u003d 56 (cm)

Svar: 70 cm eller 56 cm

3. Sidene av parallellogrammet er 10 cm og 3 cm. Halveringslinjene til to vinkler ved siden av den større siden deler den motsatte siden i tre segmenter. Finn disse segmentene.

1 tilfelle: halveringslinjer krysser utenfor parallellogrammet

Gitt: ABCD - parallellogram, AK - halveringslinje
MEN,

D K - halveringslinje
D, AB=3 cm, BC=10 cm

Finne: BM, MN, NC

Løsning

Fordi AM - halveringslinje
Og så er AVM likebenet.

Fordi DN - bisektor
D, da DCN - likebenet

DC=CN=3

Deretter MN \u003d 10 - (BM + NC) \u003d 10 - (3 + 3) \u003d 4 cm

2 tilfelle: halveringslinjer krysser i et parallellogram

Fordi AN - halveringslinje
A, så er ABN likebenet.

AB=BN = 3 D

Og skyvegitteret - flytt til ønsket avstand i døråpningen

Parallelogrammekanisme- en fireleddet mekanisme, hvis ledd danner et parallellogram. Den brukes til å implementere translasjonsbevegelsen til hengslede mekanismer.

Parallelogram med fast kobling- det ene leddet er ubevegelig, det motsatte gjør en gyngende bevegelse, forblir parallelt med det ubevegelige. To parallellogrammer koblet bak hverandre gir det siste leddet to frihetsgrader, og lar det være parallelt med det faste.

Eksempler: buss vindusviskere, gaffeltrucker, stativ, kleshengere, bilhengere.

Parallelogram med fast hengsel- egenskapen til et parallellogram brukes til å opprettholde et konstant forhold mellom avstander mellom tre punkter. Eksempel: tegning av pantograf - en enhet for skalering av tegninger.

Rombe- alle ledd er av samme lengde, tilnærmingen (sammentrekningen) av et par motsatte hengsler fører til utvidelse av de to andre hengslene. Alle lenker fungerer i komprimering.

Eksempler er en bildiamantjekk, en trikkestrømavtaker.

saks eller X-formet mekanisme, også kjent som Nürnberg saks- en variant av en rombe - to ledd forbundet i midten med et hengsel. Fordelene med mekanismen er kompakthet og enkelhet, ulempen er tilstedeværelsen av to glidende par. To (eller flere) slike mekanismer, koblet i serie, danner en rombe(r) i midten. Den brukes i heiser, barneleker.

VII Konklusjon

Som har vært involvert i matematikk siden barndommen,

han utvikler oppmerksomhet, trener hjernen,

egen vilje, dyrker utholdenhet

og utholdenhet i å nå målet

A. Markushevich

I løpet av arbeidet beviste jeg ytterligere egenskaper til et parallellogram.

Jeg var overbevist om at ved å bruke disse egenskapene kan du løse problemer raskere.

Jeg viste hvordan disse egenskapene brukes på eksempler på løsning av spesifikke problemer.

Jeg lærte mye om parallellogrammet som ikke finnes i læreboken vår i geometri

Jeg var overbevist om at kunnskap om geometri er veldig viktig i livet ved å bruke eksempler på å bruke egenskapene til et parallellogram.

Hensikten med mitt forskningsarbeid er nådd.

Betydningen av matematisk kunnskap bevises ved at det ble opprettet en pris til den som gir ut en bok om en person som har levd hele livet uten hjelp av matematikk. Ingen har mottatt denne prisen så langt.

VIII Litteratur

1. Pogorelov A.V. Geometri 7-9: lærebok for allmenndannelse. institusjoner-M.: Utdanning, 2014

   L.S. Atanasyan og andre. Geometri. Legge til. Kapitler til læreboken 8 celler: lærebok. stønad til elever av skoler og klasser med fordypning. studie av matematikk. – M.: Vita-press, 2003

   Internett-ressurser

   Wikipedia-materiell

Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er parallelle i par. Arealet til et parallellogram er lik produktet av basen (a) og høyden (h). Du kan også finne området gjennom to sider og en vinkel og gjennom diagonalene.

Parallelogramegenskaper

1. Motstående sider er identiske.

Først av alt, tegn diagonalen \(AC \) . To trekanter oppnås: \(ABC \) og \(ADC \)

Siden \(ABCD \) er et parallellogram, er følgende sant:

\(AD || BC \Høyrepil \angle 1 = \angle 2 \) som å ligge på tvers.

\(AB || CD \Høyrepil \angle3 = \angle 4 \) som å ligge på tvers.

Derfor (på andre grunnlag: og \(AC\) er vanlig).

Og derfor, \(\triangle ABC = \triangle ADC \), deretter \(AB = CD \) og \(AD = BC \) .

2. Motstående vinkler er identiske.

I følge beviset eiendommer 1 Vi vet det \(\vinkel 1 = \vinkel 2, \vinkel 3 = \vinkel 4 \). Så summen av de motsatte vinklene er: \(\angle 1 + \angle 3 = \angle 2 + \angle 4 \). Gitt at \(\triangle ABC = \triangle ADC \) vi får \(\vinkel A = \vinkel C \) , \(\vinkel B = \vinkel D \) .

3. Diagonalene deles i to av skjæringspunktet.

Av eiendom 1 vi vet at motsatte sider er identiske: \(AB = CD \) . Nok en gang legger vi merke til de like vinklene som ligger på tvers.

Dermed ser man at \(\triangle AOB = \triangle COD \) i henhold til det andre kriteriet for likestilling av trekanter (to vinkler og en side mellom dem). Det vil si \(BO = OD \) (motsatt hjørnene \(\angle 2 \) og \(\angle 1 \) ) og \(AO = OC \) (motsatt hjørnene \(\angle 3 \) og \( \angle 4 \) henholdsvis).

Parallelogram funksjoner

Hvis bare ett tegn er til stede i oppgaven din, er figuren et parallellogram, og du kan bruke alle egenskapene til denne figuren.

For bedre memorering, merk at tegnet på et parallellogram vil svare på følgende spørsmål - "hvordan finne ut?". Det vil si hvordan finne ut at en gitt figur er et parallellogram.

1. Et parallellogram er en firkant hvis to sider er like og parallelle.

\(AB = CD \) ; \(AB || CD \Rightarrow ABCD \)- parallellogram.

La oss vurdere mer detaljert. Hvorfor \(AD || BC \)?

\(\triangle ABC = \triangle ADC \) på eiendom 1: \(AB = CD \) , \(\angle 1 = \angle 2 \) som på tvers med parallelle \(AB \) og \(CD \) og sekant \(AC \) .

Men hvis \(\triangle ABC = \triangle ADC \), deretter \(\vinkel 3 = \vinkel 4 \) (de ligger motsatt \(AD || BC \) (\(\vinkel 3 \) og \(\vinkel 4 \) - liggende motsatt er også like).

Det første tegnet er riktig.

2. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte sider er like.

\(AB = CD \) , \(AD = BC \Rightarrow ABCD \) er et parallellogram.

La oss vurdere denne funksjonen. Tegn diagonalen \(AC \) igjen.

Av eiendom 1\(\triangle ABC = \triangle ACD \).

Det følger at: \(\vinkel 1 = \vinkel 2 \Høyrepil AD || BC \) og \(\vinkel 3 = \vinkel 4 \Høyrepil AB || CD \), det vil si \(ABCD\) er et parallellogram.

Det andre tegnet er riktig.

3. Et parallellogram er en firkant hvis motsatte vinkler er like.

\(\vinkel A = \vinkel C \) , \(\vinkel B = \vinkel D \Høyrepil ABCD \)- parallellogram.

\(2 \alfa + 2 \beta = 360^(\circ) \)(fordi \(\vinkel A = \vinkel C \) , \(\vinkel B = \vinkel D \) per definisjon).

Det viser seg, \(\alpha + \beta = 180^(\circ) \). Men \(\alpha \) og \(\beta \) er interne ensidige ved sekanten \(AB \) .