Tabell over antideriverte funksjoner og integraler. Integraler for dummies: hvordan løses, regneregler, forklaring

I et tidligere materiale ble spørsmålet om å finne den deriverte vurdert og dens forskjellige anvendelser ble vist: beregning av stigningstallet til tangenten til grafen, løsning av optimaliseringsproblemer, studering av funksjoner for monotonisitet og ekstrema. $\newcommand(\tg)(\mathop(\mathrm(tg))\nolimits)$ $\newcommand(\ctg)(\mathop(\mathrm(ctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arctg)( \mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$ $\newcommand(\arcctg)(\mathop(\mathrm(arctg))\nolimits)$

Bilde 1.

Problemet med å finne den øyeblikkelige hastigheten $v(t)$ ved å bruke den deriverte med hensyn til en tidligere kjent tilbakelagt distanse, uttrykt ved funksjonen $s(t)$, ble også vurdert.

Figur 2.

Det omvendte problemet er også veldig vanlig når du trenger å finne banen $s(t)$ reist av et tidspunkt $t$, og vite hastigheten til punktet $v(t)$. Hvis du husker, er den øyeblikkelige hastigheten $v(t)$ funnet som en derivert av banefunksjonen $s(t)$: $v(t)=s’(t)$. Dette betyr at for å løse det inverse problemet, det vil si å beregne banen, må du finne en funksjon hvis deriverte vil være lik hastighetsfunksjonen. Men vi vet at den deriverte av banen er hastigheten, det vil si: $s'(t) = v(t)$. Hastigheten er lik produktet av akselerasjon og tid: $v=at$. Det er lett å fastslå at den ønskede banefunksjonen vil ha formen: $s(t) = \frac(at^2)(2)$. Men dette er ikke helt en komplett løsning. Den komplette løsningen vil se slik ut: $s(t)= \frac(at^2)(2)+C$, der $C$ er en konstant. Hvorfor det er slik vil bli diskutert senere. I mellomtiden, la oss sjekke riktigheten av løsningen som ble funnet: $s"(t)=\left(\frac(at^2)(2)+C\right)"=2\frac(at)(2)+ 0=at=v(t)$.

Det er verdt å merke seg at det å finne veien etter hastighet er den fysiske betydningen av antiderivatet.

Den resulterende funksjonen $s(t)$ kalles antideriverten av $v(t)$. Ganske interessant og uvanlig navn, ikke sant. Det er en stor mening i det, som forklarer essensen av dette konseptet og fører til dets forståelse. Du kan se at den inneholder to ord "først" og "bilde". De snakker for seg selv. Det vil si at dette er funksjonen som er originalen for den deriverte vi har. Og ved denne deriverte ser vi etter funksjonen som var i begynnelsen, var det "første", "første bildet", det vil si antideriverten. Det kalles noen ganger også en primitiv funksjon eller et anti-derivat.

Som vi allerede vet, kalles prosessen med å finne den deriverte differensiering. Og prosessen med å finne antiderivatet kalles integrasjon. Integrasjonsoperasjonen er inversen av differensieringsoperasjonen. Det motsatte er også sant.

Definisjon. En antiderivert for en funksjon $f(x)$ på et eller annet intervall er en funksjon $F(x)$ hvis deriverte er lik denne funksjonen $f(x)$ for alle $x$ fra det angitte intervallet: $F'( x)=f (x)$.

Noen kan ha et spørsmål: hvor kom $F(x)$ og $f(x)$ fra i definisjonen, hvis det opprinnelig handlet om $s(t)$ og $v(t)$. Faktum er at $s(t)$ og $v(t)$ er spesielle tilfeller av å utpeke funksjoner som har en spesifikk betydning i dette tilfellet, det vil si at de er henholdsvis en funksjon av tid og en funksjon av hastighet. Det samme gjelder for variabelen $t$ - den representerer tiden. Og $f$ og $x$ er den tradisjonelle varianten av den generelle betegnelsen på henholdsvis en funksjon og en variabel. Det er verdt å være spesielt oppmerksom på notasjonen til antideriverten $F(x)$. For det første er $F$ kapital. Primitiver er angitt med store bokstaver. For det andre er bokstavene de samme: $F$ og $f$. Det vil si at for funksjonen $g(x)$ vil antideriverten bli betegnet med $G(x)$, for $z(x)$ - med $Z(x)$. Uavhengig av notasjonen, er reglene for å finne antiderivertefunksjonen alltid de samme.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 1 Bevis at funksjonen $F(x)=\frac(1)(5)\sin5x$ er antideriverten til funksjonen $f(x)=\cos5x$.

For å bevise dette bruker vi definisjonen, eller snarere det faktum at $F'(x)=f(x)$, og finner den deriverte av funksjonen $F(x)$: $F'(x)=(\ frac(1)(5 ) \sin5x)'=\frac(1)(5)\cdot 5\cos5x= \cos5x$. Så $F(x)=\frac(1)(5) \sin5x$ er antideriverten av $f(x)=\cos5x$. Q.E.D.

Eksempel 2 Finn hvilke funksjoner følgende antideriverte tilsvarer: a) $F(z)=\tg z$; b) $G(l) = \sin l$.

For å finne de ønskede funksjonene, beregner vi deres deriverte:
a) $F'(z)=(\tg z)'=\frac(1)(\cos^2 z)$;
b) $G(l) = (\sin l)' = \cos l$.

Eksempel 3 Hva vil være antideriverten for $f(x)=0$?
La oss bruke definisjonen. La oss tenke på hvilken funksjon som kan ha en derivert lik $0$. Når vi husker tabellen med deriverte, får vi at enhver konstant vil ha en slik derivert. Vi får at antideriverten vi leter etter: $F(x)= C$.

Den resulterende løsningen kan forklares geometrisk og fysisk. Geometrisk betyr det at tangenten til grafen $y=F(x)$ er horisontal i hvert punkt i denne grafen og derfor sammenfaller med aksen $Ox$. Fysisk forklart av det faktum at et punkt med en hastighet lik null forblir på plass, det vil si at banen som er reist av det er uendret. Basert på dette kan vi formulere følgende teorem.

Teorem. (Funksjonskonstanstegn). Hvis $F'(x) = 0$ på et intervall, så er funksjonen $F(x)$ konstant på dette intervallet.

Eksempel 4 Bestem antiderivertene av hvilke funksjoner som er funksjonene a) $F_1 = \frac(x^7)(7)$; b) $F_2 = \frac(x^7)(7) – 3$; c) $F_3 = \frac(x^7)(7) + 9$; d) $F_4 = \frac(x^7)(7) + a$, der $a$ er et tall.
Ved å bruke definisjonen av et antiderivat, konkluderer vi med at for å løse denne oppgaven, må vi beregne derivatene av antiderivatfunksjonene gitt til oss. Når du regner, husk at den deriverte av en konstant, det vil si et hvilket som helst tall, er lik null.
a) $F_1 =(\frac(x^7)(7))"= 7 \cdot \frac(x^6)(7) = x^6$;
b) $F_2 =\venstre(\frac(x^7)(7) – 3\høyre)"=7 \cdot \frac(x^6)(7)= x^6$;
c) $F_3 =(\frac(x^7)(7) + 9)’= x^6$;
d) $F_4 =(\frac(x^7)(7) + a)' = x^6$.

Hva ser vi? Flere forskjellige funksjoner er antiderivater av samme funksjon. Dette betyr at enhver funksjon har uendelig mange antiderivater, og de har formen $F(x) + C$, hvor $C$ er en vilkårlig konstant. Det vil si at driften av integrasjon er multi-verdi, i motsetning til driften av differensiering. Basert på dette formulerer vi et teorem som beskriver hovedegenskapen til antiderivater.

Teorem. (Primitivenes hovedegenskap). La funksjonene $F_1$ og $F_2$ være antideriverte av funksjonen $f(x)$ på et eller annet intervall. Da gjelder følgende likhet for alle verdier fra dette intervallet: $F_2=F_1+C$, hvor $C$ er en konstant.

Faktumet om eksistensen av et uendelig sett med antiderivater kan tolkes geometrisk. Ved hjelp av parallell translasjon langs aksen $Oy$ kan man få grafer av to antideriverte for $f(x)$ fra hverandre. Dette er den geometriske betydningen av antiderivatet.

Det er veldig viktig å ta hensyn til det faktum at ved å velge konstanten $C$ er det mulig å få grafen til antideriverten til å gå gjennom et bestemt punkt.

Figur 3

Eksempel 5 Finn antideriverten for funksjonen $f(x)=\frac(x^2)(3)+1$ hvis graf går gjennom punktet $(3; 1)$.
La oss først finne alle antiderivater for $f(x)$: $F(x)=\frac(x^3)(9)+x + C$.
Deretter finner vi et tall C som grafen $y=\frac(x^3)(9)+x + C$ vil gå gjennom punktet $(3; 1)$. For å gjøre dette, erstatter vi koordinatene til punktet i ligningen til grafen og løser den med hensyn til $C$:
$1= \frac(3^3)(9)+3 + C$, $C=-5$.
Vi fikk grafen $y=\frac(x^3)(9)+x-5$, som tilsvarer antideriverten $F(x)=\frac(x^3)(9)+x-5$.

Tabell over antiderivater

En tabell med formler for å finne antiderivater kan settes sammen ved å bruke formler for å finne derivater.

Tabell over antiderivater

Funksjoner	antiderivater
$0$	$C$
$1$	$x+C$
$a\i R$	$ax+C$
$x^n, n\ne1$	$\displaystyle \frac(x^(n+1))(n+1)+C$
$\displaystyle \frac(1)(x)$	$\ln|x|+C$
$\sinx$	$-\cosx+C$
$\cos x$	$\sinx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\sin^2 x)$	$-\ctgx+C$
$\displaystyle \frac(1)(\cos^2 x)$	$\tgx+C$
$e^x$	$e^x+C$
$a^x, a>0, a\ne1$	$\displaystyle \frac(a^x)(\ln a) +C$
$\displaystyle \frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arcsin x+C$
$\displaystyle -\frac(1)(\sqrt(1-x^2))$	$\arccos x+C$
$\displaystyle \frac(1)(1+x^2)$	$\arctgx+C$
$\displaystyle -\frac(1)(1+x^2)$	$\arctg x+C$

Du kan sjekke riktigheten av tabellen som følger: For hvert sett med antiderivater som ligger i høyre kolonne, finn derivatet, som et resultat av at de tilsvarende funksjonene i venstre kolonne vil bli oppnådd.

Noen regler for å finne antiderivater

Som du vet, har mange funksjoner en mer kompleks form enn de som er angitt i tabellen over antiderivater, og kan være en hvilken som helst vilkårlig kombinasjon av summer og produkter av funksjoner fra denne tabellen. Og her oppstår spørsmålet, hvordan beregne antiderivatene til lignende funksjoner. For eksempel, fra tabellen vet vi hvordan vi beregner antiderivatene $x^3$, $\sin x$ og $10$. Men hvordan beregner man for eksempel antideriverten $x^3-10\sin x$? Ser vi fremover er det verdt å merke seg at det vil være lik $\frac(x^4)(4)+10\cos x$.
1. Hvis $F(x)$ er et antiderivat for $f(x)$, er $G(x)$ for $g(x)$, så for $f(x)+g(x)$ er antideriverten vil være lik $ F(x)+G(x)$.
2. Hvis $F(x)$ er en antiderivert for $f(x)$ og $a$ er en konstant, så for $af(x)$ er antideriverten $aF(x)$.
3. Hvis for $f(x)$ antideriverten er $F(x)$, $a$ og $b$ er konstanter, så er $\frac(1)(a) F(ax+b)$ antiderivert for $f (øks+b)$.
Ved å bruke de innhentede reglene kan vi utvide tabellen over antiderivater.

Funksjoner	antiderivater
$(ax+b)^n, n\ne1, a\ne0$	$\displaystyle \frac((ax+b)^n)(a(n+1)) +C$
$\displaystyle \frac(1)(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\ln|ax+b|+C$
$e^(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a) e^(ax+b)+C$
$\sin(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle -\frac(1)(a)\cos(ax+b)+C$
$\cos(ax+b), a\ne0$	$\displaystyle \frac(1)(a)\sin(ax+b)+C$

Eksempel 5 Finn antiderivater for:

a) $\displaystyle 4x^3+10x^7$;

b) $\displaystyle \frac(6)(x^5) -\frac(2)(x)$;

c) $\displaystyle 5\cos x+\sin(3x+15)$;

d) $\displaystyle \sqrt(x)-2\sqrt(x)$.

a) $4\frac (x^(3+1))(3+1)+10\frac(x^(7+1))(7+1)+C=x^4+\frac(5)( 4) x^8+C$;

b) $-\frac(3)(2x^4) -2\ln|x|+C$;

c) $5 \sin x - \frac(1)(3)\cos(3x + 15) + C$;

d) $\frac(2)(3)x\sqrt(x) - \frac(3)(2) x\sqrt(x) + C$.

Integrasjon er en av de grunnleggende operasjonene i matematisk analyse. Tabeller over kjente antiderivater kan være nyttige, men nå, etter bruken av dataalgebrasystemer, mister de sin betydning. Nedenfor er en liste over de vanligste antiderivatene.

Tabell over grunnleggende integraler

Nok en kompakt versjon

Tabell over integraler fra trigonometriske funksjoner

Fra rasjonelle funksjoner

Fra irrasjonelle funksjoner

Integraler av transcendentale funksjoner

"C" er en vilkårlig integrasjonskonstant, som bestemmes hvis verdien av integralet på et tidspunkt er kjent. Hver funksjon har et uendelig antall antiderivater.

De fleste skoleelever og elever har problemer med beregning av integraler. Denne siden inneholder tabeller over integraler fra trigonometriske, rasjonelle, irrasjonelle og transcendentale funksjoner som vil hjelpe til med å løse. Derivattabellen vil også hjelpe deg.

Video - hvordan finne integraler

Hvis du ikke er helt klar på dette emnet, se videoen, som forklarer alt i detalj.

Antiderivativ funksjon og ubestemt integral

Fakta 1. Integrasjon er det motsatte av differensiering, nemlig gjenoppretting av en funksjon fra den kjente deriverte av denne funksjonen. Funksjonen gjenopprettet på denne måten F(x) er kalt primitiv for funksjon f(x).

Definisjon 1. Funksjon F(x f(x) på et eller annet intervall X, hvis for alle verdier x fra dette intervallet likheten F "(x)=f(x), det vil si denne funksjonen f(x) er derivatet av antiderivatfunksjonen F(x). .

For eksempel funksjonen F(x) = synd x er antiderivatet for funksjonen f(x) = cos x på hele talllinjen, siden for enhver verdi av x (synd x)" = (cos x) .

Definisjon 2. Ubestemt integral av en funksjon f(x) er samlingen av alle antiderivatene. Dette bruker notasjonen

∫

f(x)dx

,

hvor er skiltet ∫ kalles integrertegnet, funksjonen f(x) er en integrand, og f(x)dx er integranden.

Således, hvis F(x) er noe antiderivat for f(x) , deretter

∫

f(x)dx = F(x) +C

hvor C - vilkårlig konstant (konstant).

For å forstå betydningen av settet med antiderivater av en funksjon som et ubestemt integral, er følgende analogi passende. La det være en dør (en tradisjonell tredør). Dens funksjon er "å være en dør". Hva er døren laget av? Fra et tre. Dette betyr at settet med antiderivater av integranden "å være en dør", det vil si dens ubestemte integral, er funksjonen "å være et tre + C", der C er en konstant, som i denne sammenheng kan betegne, for for eksempel et treslag. Akkurat som en dør er laget av tre med noen verktøy, er den deriverte av en funksjon "laget" av den antiderivative funksjonen med formel som vi lærte ved å studere den deriverte .

Da er funksjonstabellen til vanlige gjenstander og deres tilsvarende primitiver ("å være en dør" - "å være et tre", "å være en skje" - "å være et metall", etc.) lik tabellen til grunnleggende ubestemte integraler, som vil bli gitt nedenfor. Tabellen over ubestemte integraler viser vanlige funksjoner, og indikerer antiderivatene som disse funksjonene er "laget" fra. Som en del av problemene med å finne et ubestemt integral, gis slike integrander som kan integreres direkte uten spesiell innsats, det vil si i henhold til tabellen over ubestemte integraler. I mer komplekse problemer må integranden først transformeres slik at tabellintegraler kan brukes.

Fakta 2. Å gjenopprette en funksjon som en antiderivert, må vi ta hensyn til en vilkårlig konstant (konstant) C, og for ikke å skrive en liste over antiderivater med forskjellige konstanter fra 1 til uendelig, må du skrive ned et sett med antiderivater med en vilkårlig konstant C, slik: 5 x³+C. Så en vilkårlig konstant (konstant) er inkludert i uttrykket til antiderivatet, siden antiderivatet kan være en funksjon, for eksempel 5 x³+4 eller 5 x³+3 og når differensiering 4 eller 3 eller en annen konstant forsvinner.

Vi setter integreringsproblemet: for en gitt funksjon f(x) finne en slik funksjon F(x), hvis derivat er lik f(x).

Eksempel 1 Finn settet med antideriverte av en funksjon

Løsning. For denne funksjonen er antiderivatet funksjonen

Funksjon F(x) kalles antiderivat for funksjonen f(x) hvis den deriverte F(x) er lik f(x), eller, som er det samme, differensialen F(x) er lik f(x) dx, dvs.

(2)

Derfor er funksjonen antiderivativ for funksjonen. Det er imidlertid ikke det eneste antiderivatet for . De er også funksjoner

hvor FRA er en vilkårlig konstant. Dette kan verifiseres ved differensiering.

Således, hvis det er en antiderivert for en funksjon, så er det for den et uendelig sett med antiderivater som avviker med en konstant summand. Alle antiderivater for en funksjon er skrevet i skjemaet ovenfor. Dette følger av følgende teorem.

Teorem (formell faktaerklæring 2). Hvis en F(x) er antiderivatet for funksjonen f(x) på et eller annet intervall X, deretter et hvilket som helst annet antiderivat for f(x) på samme intervall kan representeres som F(x) + C, hvor FRA er en vilkårlig konstant.

I det følgende eksemplet vender vi oss allerede til tabellen over integraler, som vil bli gitt i avsnitt 3, etter egenskapene til det ubestemte integralet. Vi gjør dette før vi gjør oss kjent med hele tabellen, slik at essensen av ovenstående er tydelig. Og etter tabellen og egenskapene vil vi bruke dem i sin helhet ved integrering.

Eksempel 2 Finn sett med antiderivater:

Løsning. Vi finner sett med antideriverte funksjoner som disse funksjonene er "laget av". Når du nevner formler fra tabellen over integraler, for nå, bare godta at det finnes slike formler, og vi vil studere tabellen over ubestemte integraler i sin helhet litt lenger.

1) Bruk av formel (7) fra tabellen over integraler for n= 3, får vi

2) Ved å bruke formel (10) fra tabellen over integraler for n= 1/3, vi har

3) Siden

deretter i henhold til formel (7) kl n= -1/4 funn

Under integrertegnet skriver de ikke selve funksjonen f, og dets produkt ved differensialen dx. Dette gjøres først og fremst for å indikere hvilken variabel det søkes etter antiderivatet. For eksempel,

, ;

her i begge tilfeller er integranden lik , men dens ubestemte integraler i de vurderte tilfellene viser seg å være forskjellige. I det første tilfellet betraktes denne funksjonen som en funksjon av en variabel x, og i den andre - som en funksjon av z .

Prosessen med å finne det ubestemte integralet til en funksjon kalles å integrere den funksjonen.

Den geometriske betydningen av det ubestemte integralet

La det kreves å finne en kurve y=F(x) og vi vet allerede at tangenten til hellingen til tangenten i hvert av punktene er en gitt funksjon f(x) abscisse av dette punktet.

I henhold til den geometriske betydningen av den deriverte, tangenten til hellingen til tangenten i et gitt punkt på kurven y=F(x) lik verdien av derivatet F"(x). Så vi må finne en slik funksjon F(x), for hvilket F"(x)=f(x). Nødvendig funksjon i oppgaven F(x) er avledet fra f(x). Tilstanden til problemet tilfredsstilles ikke av en kurve, men av en familie av kurver. y=F(x)- en av disse kurvene, og enhver annen kurve kan oppnås fra den ved parallell translasjon langs aksen Oy.

La oss kalle grafen til antiderivertefunksjonen til f(x) integrert kurve. Hvis en F"(x)=f(x), deretter grafen til funksjonen y=F(x) er en integralkurve.

Fakta 3. Det ubestemte integralet er geometrisk representert av familien av alle integralkurver som på bildet under. Avstanden til hver kurve fra origo bestemmes av en vilkårlig integrasjonskonstant (konstant). C.

Egenskaper til det ubestemte integralet

Fakta 4. Teorem 1. Den deriverte av et ubestemt integral er lik integranden, og dens differensial er lik integranden.

Fakta 5. Teorem 2. Det ubestemte integralet av differensialen til en funksjon f(x) er lik funksjonen f(x) opp til en konstant term , dvs.

(3)

Teoremer 1 og 2 viser at differensiering og integrasjon er gjensidig inverse operasjoner.

Fakta 6. Teorem 3. Konstantfaktoren i integranden kan tas ut av fortegnet til det ubestemte integralet , dvs.

På denne siden finner du:

1. Egentlig tabellen over antiderivater - den kan lastes ned i PDF-format og skrives ut;

2. Video om hvordan du bruker denne tabellen;

3. En haug med eksempler på beregning av antiderivatet fra ulike lærebøker og tester.

I selve videoen vil vi analysere mange oppgaver der det kreves å beregne antiderivative funksjoner, ofte ganske komplekse, men viktigst av alt, de er ikke maktlov. Alle funksjonene oppsummert i tabellen foreslått ovenfor må være kjent utenat, som derivater. Uten dem er videre studier av integraler og deres anvendelse for å løse praktiske problemer umulig.

I dag fortsetter vi å behandle primitiver og går videre til et litt mer komplekst tema. Hvis vi sist gang vurderte antiderivater bare fra potensfunksjoner og litt mer komplekse strukturer, vil vi i dag analysere trigonometri og mye mer.

Som jeg sa i forrige leksjon, løses antiderivater, i motsetning til derivater, aldri "blanke" ved å bruke noen standardregler. Dessuten er den dårlige nyheten at, i motsetning til derivatet, kan det hende at antiderivatet ikke vurderes i det hele tatt. Hvis vi skriver en helt tilfeldig funksjon og prøver å finne dens deriverte, så vil vi lykkes med svært høy sannsynlighet, men antideriverten vil nesten aldri bli beregnet i dette tilfellet. Men det er også gode nyheter: det er en ganske stor klasse av funksjoner som kalles elementære funksjoner, hvis antiderivater er veldig enkle å beregne. Og alle andre mer komplekse konstruksjoner som gis ved ulike kontroll, uavhengige og eksamener, består faktisk av disse elementære funksjonene ved å legge til, subtrahere og andre enkle handlinger. Antiderivatene til slike funksjoner har lenge blitt beregnet og oppsummert i spesielle tabeller. Det er med slike funksjoner og tabeller vi skal jobbe i dag.

Men vi starter, som alltid, med en repetisjon: husk hva et antiderivat er, hvorfor det er et uendelig antall av dem, og hvordan du bestemmer deres generelle form. For å gjøre dette, plukket jeg opp to enkle oppgaver.

Løse enkle eksempler

Eksempel #1

Merk med en gang at $\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(6)$ og tilstedeværelsen av $\text( )\!\!\pi\!\! \ text( )$ antyder umiddelbart til oss at den nødvendige antideriverten av funksjonen er relatert til trigonometri. Og faktisk, hvis vi ser på tabellen, finner vi at $\frac(1)(1+((x)^(2)))$ ikke er annet enn $\text(arctg)x$. Så la oss skrive:

For å finne, må du skrive følgende:

\[\frac(\pi )(6)=\text(arctg)\sqrt(3)+C\]

\[\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)=\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( )) (3)+C\]

Eksempel #2

Her snakker vi også om trigonometriske funksjoner. Hvis vi ser på tabellen, vil det faktisk vise seg slik:

Vi må finne blant hele settet med antiderivater den som går gjennom det angitte punktet:

\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )=\arcsin \frac(1)(2)+C\]

\[\tekst( )\!\!\pi\!\!\text( )=\frac(\tekst( )\!\!\pi\!\!\tekst( ))(6)+C\]

La oss til slutt skrive det ned:

Så enkelt er det. Det eneste problemet er at for å telle antiderivatene til enkle funksjoner, må du lære tabellen over antiderivater. Men etter å ha lært derivattabellen for deg, antar jeg at dette ikke vil være noe problem.

Løse problemer som inneholder en eksponentiell funksjon

La oss starte med å skrive følgende formler:

\[((e)^(x))\til ((e)^(x))\]

\[((a)^(x))\til \frac(((a)^(x)))(\ln a)\]

La oss se hvordan alt dette fungerer i praksis.

Eksempel #1

Hvis vi ser på innholdet i parentesene, vil vi legge merke til at i tabellen over antiderivater er det ikke noe slikt uttrykk for at $((e)^(x))$ er i en firkant, så denne firkanten må åpnes. For å gjøre dette bruker vi de forkortede multiplikasjonsformlene:

La oss finne antiderivatet for hvert av begrepene:

\[((e)^(2x))=((\venstre(((e)^(2)) \høyre))^(x))\til \frac(((\venstre(((e))^ (2)) \høyre))^(x)))(\ln ((e)^(2)))=\frac(((e)^(2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))=((\venstre(((e)^(-2)) \høyre))^(x))\til \frac(((\venstre(((e) )^(-2)) \høyre))^(x)))(\ln ((e)^(-2)))=\frac(1)(-2((e)^(2x))) \]

Og nå samler vi alle begrepene i et enkelt uttrykk og får et felles antiderivat:

Eksempel #2

Denne gangen er eksponenten allerede større, så den forkortede multiplikasjonsformelen vil være ganske komplisert. La oss utvide parentesene:

La oss nå prøve å ta antiderivatet til formelen vår fra denne konstruksjonen:

Som du kan se, er det ikke noe komplisert og overnaturlig i antiderivatene til den eksponentielle funksjonen. Alt en er beregnet gjennom tabeller, men oppmerksomme studenter vil sikkert legge merke til at antideriverten $((e)^(2x))$ er mye nærmere bare $((e)^(x))$ enn $((a) )^(x))$. Så, kanskje det er en mer spesiell regel som gjør det mulig å finne $((e)^(2x))$, med kjennskap til antideriverten $((e)^(x))$? Ja, det er en slik regel. Og dessuten er det en integrert del av arbeidet med tabellen over antiderivater. Vi skal nå analysere det ved å bruke de samme uttrykkene som vi nettopp har jobbet med som eksempel.

Regler for å jobbe med tabellen over antiderivater

La oss omskrive funksjonen vår:

I det forrige tilfellet brukte vi følgende formel for å løse:

\[((a)^(x))\til \frac(((a)^(x)))(\operatørnavn(lna))\]

Men la oss nå gjøre noe annerledes: husk på hvilket grunnlag $((e)^(x))\to ((e)^(x))$. Som allerede sagt, fordi den deriverte av $((e)^(x))$ ikke er annet enn $((e)^(x))$, så vil dens antideriverte være lik den samme $((e) ^( x))$. Men problemet er at vi har $((e)^(2x))$ og $((e)^(-2x))$. La oss nå prøve å finne den deriverte $((e)^(2x))$:

\[((\venstre(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(2x))\cdot ((\left(2x \right))^( \prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

La oss omskrive konstruksjonen vår igjen:

\[((\venstre(((e)^(2x)) \right))^(\prime ))=2\cdot ((e)^(2x))\]

\[((e)^(2x))=((\venstre(\frac(((e)^(2x)))(2) \høyre))^(\prime ))\]

Og dette betyr at når vi finner antideriverten $((e)^(2x))$, får vi følgende:

\[((e)^(2x))\til \frac(((e)^(2x)))(2)\]

Som du kan se, fikk vi samme resultat som før, men vi brukte ikke formelen for å finne $((a)^(x))$. Nå kan dette virke dumt: hvorfor komplisere beregninger når det er en standardformel? Men i litt mer komplekse uttrykk vil du se at denne teknikken er svært effektiv, dvs. bruke derivater for å finne antiderivater.

La oss, som en oppvarming, finne antiderivatet til $((e)^(2x))$ på lignende måte:

\[((\venstre(((e)^(-2x)) \right))^(\prime ))=((e)^(-2x))\cdot \left(-2 \right)\]

\[((e)^(-2x))=((\venstre(\frac(((e)^(-2x)))(-2) \høyre))^(\prime ))\]

Ved beregning vil vår konstruksjon skrives som følger:

\[((e)^(-2x))\til -\frac(((e)^(-2x)))(2)\]

\[((e)^(-2x))\til -\frac(1)(2\cdot ((e)^(2x)))\]

Vi fikk nøyaktig samme resultat, men gikk andre veien. Det er denne måten, som nå virker litt mer komplisert for oss, i fremtiden vil være mer effektiv for å beregne mer komplekse antiderivater og bruke tabeller.

Merk! Dette er et veldig viktig poeng: antiderivater, som derivater, kan telles på mange forskjellige måter. Men hvis alle beregninger og beregninger er like, vil svaret være det samme. Vi har nettopp sett dette i eksemplet med $((e)^(-2x))$ - på den ene siden har vi beregnet denne antiderivativet "gjennom", ved å bruke definisjonen og beregne den ved hjelp av transformasjoner, på på den annen side husket vi at $ ((e)^(-2x))$ kan representeres som $((\left(((e)^(-2)) \right))^(x))$ og deretter bruk antideriverten for funksjonen $( (a)^(x))$. Men etter alle transformasjonene er resultatet det samme som forventet.

Og nå som vi forstår alt dette, er det på tide å gå videre til noe mer vesentlig. Nå skal vi analysere to enkle konstruksjoner, men teknikken som vil bli lagt ned når du løser dem er et kraftigere og nyttigere verktøy enn en enkel "løping" mellom tilstøtende antiderivater fra tabellen.

Problemløsning: finn antideriverten til en funksjon

Eksempel #1

Gi mengden som er i tellerne, dekomponer i tre separate brøker:

Dette er en ganske naturlig og forståelig overgang - de fleste elever har ingen problemer med det. La oss omskrive uttrykket vårt som følger:

La oss nå huske denne formelen:

I vårt tilfelle får vi følgende:

For å bli kvitt alle disse tre-etasjers brøkene, foreslår jeg at du gjør følgende:

Eksempel #2

I motsetning til forrige brøk, er nevneren ikke produktet, men summen. I dette tilfellet kan vi ikke lenger dele brøken vår med summen av flere enkle brøker, men vi må på en eller annen måte prøve å sørge for at telleren inneholder omtrent det samme uttrykket som nevneren. I dette tilfellet er det ganske enkelt å gjøre:

En slik notasjon, som på matematikkspråket kalles "å legge til null", vil tillate oss å igjen dele brøken i to deler:

La oss nå finne det vi lette etter:

Det er alle beregningene. Til tross for den tilsynelatende større kompleksiteten enn i forrige oppgave, viste mengden av beregninger seg å være enda mindre.

Nyanser av løsningen

Og det er her hovedvanskeligheten med å jobbe med tabulære primitiver ligger, dette er spesielt merkbart i den andre oppgaven. Faktum er at for å velge noen elementer som lett kan telles gjennom tabellen, må vi vite nøyaktig hva vi ser etter, og det er i søket etter disse elementene at hele beregningen av antiderivater består.

Med andre ord, det er ikke nok bare å huske tabellen over antiderivater - du må kunne se noe som ennå ikke er der, men hva forfatteren og kompilatoren av dette problemet mente. Det er derfor mange matematikere, lærere og professorer konstant argumenterer: "Hva er å ta antiderivater eller integrasjon - er det bare et verktøy eller er det ekte kunst?" Faktisk, etter min personlige mening, er integrering ikke en kunst i det hele tatt - det er ikke noe sublimt i det, det er bare øvelse og atter øving. Og for å øve, la oss løse tre mer alvorlige eksempler.

Øv integrering i praksis

Oppgave 1

La oss skrive følgende formler:

\[((x)^(n))\til \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

\[\frac(1)(x)\til \ln x\]

\[\frac(1)(1+((x)^(2)))\til \text(arctg)x\]

La oss skrive følgende:

Oppgave #2

La oss omskrive det som følger:

Det totale antiderivatet vil være lik:

Oppgave #3

Kompleksiteten til denne oppgaven ligger i det faktum at, i motsetning til de tidligere funksjonene, er det ingen variabel $x$ over, dvs. det er ikke klart for oss hva vi skal legge til, trekk fra for å få i det minste noe som ligner på det som er nedenfor. Imidlertid anses dette uttrykket for å være enda enklere enn noe uttrykk fra de tidligere konstruksjonene, fordi denne funksjonen kan skrives om som følger:

Du kan nå spørre: hvorfor er disse funksjonene like? La oss sjekke:

La oss skrive om igjen:

La oss endre uttrykket litt:

Og når jeg forklarer alt dette for elevene mine, oppstår det samme problemet nesten alltid: med den første funksjonen er alt mer eller mindre klart, med den andre kan du også finne ut av det med flaks eller øvelse, men hva slags alternativ bevissthet gjør du må ha for å løse det tredje eksemplet? Faktisk, ikke vær redd. Teknikken som vi brukte når vi beregnet den siste antiderivativet kalles "dekomponere en funksjon til enkleste", og dette er en veldig seriøs teknikk, og en egen videoleksjon vil bli viet til den.

I mellomtiden foreslår jeg å gå tilbake til det vi nettopp har studert, nemlig til eksponentielle funksjoner og noe komplisere oppgavene med innholdet.

Mer komplekse problemer for å løse antiderivative eksponentielle funksjoner

Oppgave 1

Legg merke til følgende:

\[((2)^(x))\cdot ((5)^(x))=((\venstre(2\cdot 5 \right))^(x))=((10)^(x) )\]

For å finne antideriverten til dette uttrykket, bruk bare standardformelen $((a)^(x))\to \frac(((a)^(x)))(\ln a)$.

I vårt tilfelle vil primitivet være slik:

Selvfølgelig, på bakgrunn av konstruksjonen som vi nettopp løste, ser denne enklere ut.

Oppgave #2

Igjen er det lett å se at denne funksjonen er lett å dele inn i to separate ledd – to separate brøker. La oss skrive om:

Det gjenstår å finne antiderivatet til hver av disse begrepene i henhold til formelen ovenfor:

Til tross for den tilsynelatende større kompleksiteten til eksponentielle funksjoner sammenlignet med potensfunksjoner, viste den totale mengden av beregninger og beregninger seg å være mye enklere.

For kunnskapsrike elever kan selvsagt det vi nettopp har beskjeftiget oss med (særlig på bakgrunn av det vi har behandlet tidligere) virke elementære uttrykk. Men da jeg valgte disse to oppgavene for dagens videoopplæring, satte jeg meg ikke som mål å fortelle deg et annet komplekst og vanskelig triks - alt jeg ville vise deg er at du ikke skal være redd for å bruke standard algebra-triks for å transformere de originale funksjonene .

Ved å bruke den "hemmelige" teknikken

Avslutningsvis vil jeg analysere en annen interessant teknikk, som på den ene siden går utover det vi hovedsakelig har analysert i dag, men på den annen side er den for det første på ingen måte komplisert, dvs. selv nybegynnere kan mestre det, og for det andre er det ganske ofte funnet i all slags kontroll og selvstendig arbeid, dvs. å vite det vil være veldig nyttig i tillegg til å kjenne tabellen over antiderivater.

Oppgave 1

Tydeligvis har vi noe som ligner veldig på en maktfunksjon. Hvordan skal vi gå frem i denne saken? La oss tenke på det: $x-5$ skiller seg fra $x$ ikke så mye - bare lagt til $-5$. La oss skrive det slik:

\[((x)^(4))\til \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((\left(\frac(((x)^(5)))(5) \right))^(\prime ))=\frac(5\cdot ((x)^(4))) (5)=((x)^(4))\]

La oss prøve å finne den deriverte av $((\left(x-5 \right))^(5))$:

\[((\left(((\left(x-5 \right))^(5)) \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right)) ^(4))\cdot ((\left(x-5 \right))^(\prime ))=5\cdot ((\left(x-5 \right))^(4))\]

Dette innebærer:

\[((\venstre(x-5 \høyre))^(4))=((\venstre(\frac(((\venstre(x-5 \høyre))^(5)))(5) \ høyre))^(\prime ))\]

Det er ingen slik verdi i tabellen, så vi har nå utledet denne formelen selv ved å bruke standard antiderivatformel for en potensfunksjon. La oss skrive svaret slik:

Oppgave #2

For mange elever som ser på den første løsningen kan det virke som om alt er veldig enkelt: det er nok å erstatte $x$ i potensfunksjonen med et lineært uttrykk, og alt vil falle på plass. Dessverre er ikke alt så enkelt, og nå skal vi se dette.

I analogi med det første uttrykket skriver vi følgende:

\[((x)^(9))\til \frac(((x)^(10)))(10)\]

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=10\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\cdot ((\venstre(4-3x \høyre))^(\prime ))=\]

\[=10\cdot ((\left(4-3x \right))^(9))\cdot \left(-3 \right)=-30\cdot ((\left(4-3x \right)) ^(9))\]

For å gå tilbake til vår deriverte, kan vi skrive:

\[((\left(((\left(4-3x \right))^(10)) \right))^(\prime ))=-30\cdot ((\left(4-3x \right) )^(9))\]

\[((\venstre(4-3x \høyre))^(9))=((\venstre(\frac(((\venstre(4-3x \høyre))^(10)))(-30) \right))^(\prime ))\]

Herfra følger det umiddelbart:

Nyanser av løsningen

Vær oppmerksom på: hvis ingenting endret seg sist, så dukket $-30$ opp i det andre tilfellet i stedet for $-10$. Hva er forskjellen mellom $-10$ og $-30$? Åpenbart med en faktor på $-3$. Spørsmål: hvor kom det fra? Ser du nøye, kan du se at det ble tatt som et resultat av å beregne den deriverte av en kompleks funksjon - koeffisienten som sto på $x$ vises i antideriverten nedenfor. Dette er en veldig viktig regel, som jeg i utgangspunktet ikke planla å analysere i det hele tatt i dagens videoopplæring, men uten den ville presentasjonen av tabellformede antiderivater være ufullstendig.

Så la oss gjøre det igjen. La det være vår hovedkraftfunksjon:

\[((x)^(n))\til \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

Og nå i stedet for $x$ la oss erstatte uttrykket $kx+b$. Hva vil skje da? Vi må finne følgende:

\[((\venstre(kx+b \høyre))^(n))\til \frac(((\venstre(kx+b \høyre))^(n+1)))(\venstre(n+ 1 \right)\cdot k)\]

På hvilket grunnlag hevder vi dette? Veldig enkelt. La oss finne den deriverte av konstruksjonen skrevet ovenfor:

\[((\left(\frac(((\left(kx+b \right))^(n+1)))(\left(n+1 \right)\cdot k) \right))^( \prime ))=\frac(1)(\left(n+1 \right)\cdot k)\cdot \left(n+1 \right)\cdot ((\left(kx+b \right))^ (n))\cdot k=((\venstre(kx+b \høyre))^(n))\]

Dette er det samme uttrykket som opprinnelig var. Dermed er denne formelen også riktig, og den kan brukes til å supplere tabellen over antiderivater, men det er bedre å bare huske hele tabellen.

Konklusjoner fra "hemmeligheten: mottak:

• Begge funksjonene som vi nettopp har vurdert, kan faktisk reduseres til antiderivatene som er angitt i tabellen ved å åpne gradene, men hvis vi mer eller mindre på en eller annen måte kan takle den fjerde graden, ville jeg ikke gjort den niende graden i det hele tatt våget å avsløre.
• Hvis vi skulle åpne gradene, ville vi få et slikt volum av beregninger at en enkel oppgave ville ta oss utilstrekkelig lang tid.
• Det er derfor slike oppgaver, der det er lineære uttrykk, ikke trenger å løses "blankt". Så snart du møter et antiderivat, som skiller seg fra det i tabellen bare ved tilstedeværelsen av uttrykket $kx+b$ inni, husk umiddelbart formelen skrevet ovenfor, bytt den inn i tabellformen din, og alt vil vise seg mye raskere og enklere.

Naturligvis, på grunn av kompleksiteten og seriøsiteten til denne teknikken, vil vi gjentatte ganger gå tilbake til vurderingen i fremtidige videoopplæringer, men for i dag har jeg alt. Jeg håper denne leksjonen virkelig vil hjelpe de elevene som ønsker å forstå antiderivater og integrasjon.

Definisjon 1

Antideriverten $F(x)$ for funksjonen $y=f(x)$ på segmentet $$ er en funksjon som er differensierbar på hvert punkt i dette segmentet, og følgende likhet gjelder for dens deriverte:

Definisjon 2

Settet med alle antideriverte av en gitt funksjon $y=f(x)$ definert på et segment kalles det ubestemte integralet til den gitte funksjonen $y=f(x)$. Det ubestemte integralet er merket med symbolet $\int f(x)dx $.

Fra tabellen over deriverte og Definisjon 2 får vi en tabell med grunnleggende integraler.

Eksempel 1

Sjekk gyldigheten av formel 7 fra tabellen over integraler:

\[\int tgxdx =-\ln |\cos x|+C,\, \, C=konst.\]

La oss skille høyre side: $-\ln |\cos x|+C$.

\[\venstre(-\ln |\cos x|+C\høyre)"=-\frac(1)(\cos x) \cdot (-\sin x)=\frac(\sin x)(\cos x)=tgx\]

Eksempel 2

Sjekk gyldigheten av formel 8 fra tabellen over integraler:

\[\int ctgxdx =\ln |\sin x|+C,\, \, C=konst.\]

Skille høyre side: $\ln |\sin x|+C$.

\[\venstre(\ln |\sin x|\right)"=\frac(1)(\sin x) \cdot \cos x=ctgx\]

Den deriverte viste seg å være lik integranden. Derfor er formelen riktig.

Eksempel 3

Sjekk gyldigheten av formel 11" fra tabellen over integraler:

\[\int \frac(dx)(a^(2) +x^(2) ) =\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C,\, \, C=const .\]

Skille høyre side: $\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C$.

\[\venstre(\frac(1)(a) arctg\frac(x)(a) +C\høyre)"=\frac(1)(a) \cdot \frac(1)(1+\venstre( \frac(x)(a) \right)^(2) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(1)(a^(2) ) \cdot \frac(a^(2) ) (a^(2) +x^(2) ) \]

Den deriverte viste seg å være lik integranden. Derfor er formelen riktig.

Eksempel 4

Sjekk gyldigheten av formel 12 fra tabellen over integraler:

\[\int \frac(dx)(a^(2) -x^(2) ) =\frac(1)(2a) \ln \venstre|\frac(a+x)(a-x) \right|+ C,\, \, C=konst.\]

Skille høyre side: $\frac(1)(2a) \ln \venstre|\frac(a+x)(a-x) \right|+C$.

$\left(\frac(1)(2a) \ln \left|\frac(a+x)(a-x) \right|+C\right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac( 1)(\frac(a+x)(a-x) ) \cdot \left(\frac(a+x)(a-x) \right)"=\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)( a+x) \cdot \frac(a-x+a+x)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(2a) \cdot \frac(a-x)(a+x) \cdot \ frac(2a)((a-x)^(2) ) =\frac(1)(a^(2) -x^(2) ) $Den deriverte er lik integranden. Derfor er formelen riktig.

Eksempel 5

Sjekk gyldigheten av formel 13 "fra tabellen over integraler:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) =\arcsin \frac(x)(a) +C,\, \, C=konst.\]

Skille høyre side: $\arcsin \frac(x)(a) +C$.

\[\left(\arcsin \frac(x)(a) +C\right)"=\frac(1)(\sqrt(1-\left(\frac(x)(a) \right)^(2 ) ) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac(a)(\sqrt(a^(2) -x^(2)) ) \cdot \frac(1)(a) =\frac( 1)(\sqrt(a^(2) -x^(2) ) ) \]

Den deriverte viste seg å være lik integranden. Derfor er formelen riktig.

Eksempel 6

Sjekk gyldigheten av formel 14 fra tabellen over integraler:

\[\int \frac(dx)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+ C,\, \, C=konst.\]

Skille høyre side: $\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C$.

\[\left(\ln |x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) |+C\right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \left(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) \right)"=\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \ pm a^(2) ) ) \cdot \left(1+\frac(1)(2\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot 2x\right)=\] \[ =\frac(1)(x+\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \cdot \frac(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) +x)( \sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) =\frac(1)(\sqrt(x^(2) \pm a^(2) ) ) \]

Den deriverte viste seg å være lik integranden. Derfor er formelen riktig.

Eksempel 7

Finn integralet:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx.\]

La oss bruke sumintegralsetningen:

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx .\]

La oss bruke teoremet for å ta konstantfaktoren ut av integrertegnet:

\[\int \cos (3x+2)dx +\int 5xdx =\int \cos (3x+2)dx +5\int xdx .\]

I henhold til tabellen over integraler:

\[\int \cos x dx=\sin x+C;\] \[\int xdx =\frac(x^(2) )(2) +C.\]

Når vi beregner det første integralet, bruker vi regel 3:

\[\int \cos (3x+2) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) .\]

Følgelig

\[\int \left(\cos (3x+2)+5x\right) dx=\frac(1)(3) \sin (3x+2)+C_(1) +\frac(5x^(2) )(2) +C_(2) =\frac(1)(3) \sin (3x+2)+\frac(5x^(2) )(2) +C,\, \, C=C_(1) ) +C_(2) \]