Tabell over potensfunksjoner egenskaper og grafer. Power funksjon

Funksjon hvor X – variabel mengde, EN– et gitt nummer ringes opp Power funksjon .

Hvis da er en lineær funksjon, er grafen en rett linje (se avsnitt 4.3, Fig. 4.7).

Hvis da - kvadratisk funksjon, er grafen en parabel (se avsnitt 4.3, Fig. 4.8).

Hvis grafen er en kubisk parabel (se avsnitt 4.3, Fig. 4.9).

Power funksjon

Dette invers funksjon Til

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er rar.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: X= 0 – den eneste null.

6. Funksjonen har ikke en maksimums- eller minimumsverdi.

7.

8. Graf av en funksjon Symmetrisk til grafen til en kubisk parabel i forhold til en rett linje Y=X og er vist i fig. 5.1.

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er jevn.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: enkelt null X = 0.

6. De største og minste verdiene for funksjonen: tar den minste verdien for X= 0, det er lik 0.

7. Økende og redusere intervaller: funksjonen avtar på intervallet og øker på intervallet

8. Graf av en funksjon(for hver N Î N) er "lik" grafen kvadratisk parabel(funksjonsgrafer er vist i fig. 5.2).

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er rar.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: X= 0 – den eneste null.

6. Høyeste og laveste verdier:

7. Økende og redusere intervaller: funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.

8. Graf av en funksjon(for hver ) er "lik" grafen til en kubisk parabel (funksjonsgrafer er vist i fig. 5.3).

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er rar.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: har ingen nuller.

6. De største og minste verdiene for funksjonen: funksjonen har ikke de største og minste verdiene for noen

7. Økende og redusere intervaller: funksjonen reduseres i sitt definisjonsdomene.

8. Asymptoter:(akser Åh) – vertikal asymptote;

(akser Åh) – horisontal asymptote.

9. Graf av en funksjon(for noen N) er "lik" grafen til en hyperbel (funksjonsgrafer er vist i fig. 5.4).

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er jevn.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. De største og minste verdiene for funksjonen: funksjonen har ikke de største og minste verdiene for noen

6. Økende og redusere intervaller: funksjonen øker med og avtar med

7. Asymptoter: X= 0 (akse Åh) – vertikal asymptote;

Y= 0 (akse Åh) – horisontal asymptote.

8. Funksjonsgrafer De er kvadratiske hyperbler (fig. 5.5).

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen har ikke egenskapen partall og oddetall.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: X= 0 – den eneste null.

6. De største og minste verdiene for funksjonen: funksjonen tar den minste verdien lik 0 ved punktet X= 0; høyeste verdi ikke har.

7. Økende og redusere intervaller: funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.

8. Hver slik funksjon for en viss eksponent er inversen av funksjonen som er gitt

9. Graf av en funksjon"likner" grafen til en funksjon for en hvilken som helst N og er vist i fig. 5.6.

Power funksjon

1. Omfang:

2. Flere betydninger:

3. Partall og rart: funksjonen er rar.

4. Funksjonsfrekvens: ikke-periodiske.

5. Funksjonsnuller: X= 0 – den eneste null.

6. De største og minste verdiene for funksjonen: funksjonen har ikke de største og minste verdiene for noen

7. Økende og redusere intervaller: funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.

8. Graf av en funksjon Vist i fig. 5.7.

Potensfunksjon, dens egenskaper og graf Demo materiale Leksjon-forelesning Funksjonsbegrep. Funksjonsegenskaper. Potensfunksjon, dens egenskaper og graf. Grad 10 Alle rettigheter forbeholdt. Copyright med Copyright med

Leksjonsfremgang: Repetisjon. Funksjon. Egenskaper til funksjoner. Lære nytt stoff. 1. Definisjon av en potensfunksjon.Definisjon av en potensfunksjon. 2. Egenskaper og grafer for potensfunksjoner. Konsolidering av det studerte materialet. Muntlig telling. Muntlig telling. Leksjonssammendrag. Lekseoppgave.

Definisjonsdomene og verdidomene for en funksjon Alle verdier av den uavhengige variabelen danner definisjonsdomenet for funksjonen x y=f(x) f Definisjonsdomene for funksjonen Verdidomene for funksjonen Alle verdier som den avhengige variabelen danner domenet til verdier for funksjonen funksjon. Funksjonsegenskaper

Graf til en funksjon La en funksjon gis der xY y x.75 3 0.6 4 0.5 Grafen til en funksjon er mengden av alle punkter koordinatplan, hvis abscisse er lik verdiene til argumentet, og ordinatene er lik de tilsvarende verdiene til funksjonen. Funksjon. Funksjonsegenskaper

Y x Definisjonsdomene og verdiområde for funksjonen 4 y=f(x) Definisjonsdomene for funksjonen: Verdidomene for funksjonen: Funksjon. Funksjonsegenskaper

Even funksjon y x y=f(x) Graf jevn funksjon er symmetrisk med hensyn til aksen til op-ampen. Funksjonen y=f(x) kalles selv om f(-x) = f(x) for enhver x fra definisjonsdomenet til funksjonen. Funksjonsegenskaper

Odd funksjon y x y=f(x) Graf merkelig funksjon symmetrisk med hensyn til opprinnelsen til koordinatene O(0;0) Funksjonen y=f(x) kalles oddetall hvis f(-x) = -f(x) for enhver x fra definisjonsdomenet til funksjonen Funksjon. Funksjonsegenskaper

Definisjon av en potensfunksjon En funksjon der p er et gitt reelt tall kalles en potensfunksjon. p y=x p P=x y 0 Leksjonsfremgang

Potensfunksjon x y 1. Definisjonsdomenet og verdiområdet for potensfunksjoner i formen, der n – naturlig tall, er alle reelle tall. 2. Disse funksjonene er rare. Grafen deres er symmetrisk om opprinnelsen. Egenskaper og grafer for potensfunksjoner

Potensfunksjoner med en rasjonell positiv eksponent Definisjonsdomenet er alle positive tall og tallet 0. Verdiområdet til funksjoner med en slik eksponent er også alle positive tall og tallet 0. Disse funksjonene er verken partall eller oddetall. . y x Egenskaper og grafer for potensfunksjoner

Kraftfunksjon med rasjonell negativ indikator. Definisjonsdomenet og verdiområdet til slike funksjoner er alle positive tall. Funksjonene er verken partall eller rare. Slike funksjoner avtar gjennom hele deres definisjonsdomene. y x Egenskaper og grafer for effektfunksjoner Leksjonsfremgang

La oss huske egenskapene og grafene til potensfunksjoner med en negativ heltallseksponent.

For selv n, :

Eksempelfunksjon:

Alle grafer for slike funksjoner går gjennom to faste punkter: (1;1), (-1;1). Det særegne ved funksjoner av denne typen er deres paritet; grafene er symmetriske i forhold til op-amp-aksen.

Ris. 1. Graf over en funksjon

For oddetall n, :

Eksempelfunksjon:

Alle grafer for slike funksjoner går gjennom to faste punkter: (1;1), (-1;-1). Det særegne ved funksjoner av denne typen er at de er odde, grafene er symmetriske i forhold til opprinnelsen.

Ris. 2. Graf over en funksjon

La oss huske den grunnleggende definisjonen.

Kraften til et ikke-negativt tall a med en rasjonell positiv eksponent kalles et tall.

Grad positivt tall og med en rasjonell negativ eksponent kalles et tall.

For likestilling:

For eksempel: ; - uttrykket eksisterer ikke per definisjon av en potens med negativ rasjonell indikator; eksisterer fordi eksponenten er heltall,

La oss gå videre til å vurdere potensfunksjoner med en rasjonell negativ eksponent.

For eksempel:

For å plotte en graf over denne funksjonen kan du lage en tabell. Vi vil gjøre det annerledes: først skal vi bygge og studere grafen til nevneren - den er kjent for oss (Figur 3).

Ris. 3. Graf over en funksjon

Grafen til nevnerfunksjonen går gjennom et fast punkt (1;1). Når du plotter den opprinnelige funksjonen gitt poeng forblir, når roten også tenderer mot null, tenderer funksjonen til uendelig. Og omvendt, siden x har en tendens til uendelig, har funksjonen en tendens til null (Figur 4).

Ris. 4. Funksjonsgraf

La oss vurdere en annen funksjon fra funksjonsfamilien som studeres.

Det er viktig at per definisjon

La oss vurdere grafen til funksjonen i nevneren: , grafen til denne funksjonen er kjent for oss, den øker i sitt definisjonsdomene og går gjennom punktet (1;1) (Figur 5).

Ris. 5. Graf over en funksjon

Når du plotter grafen til den opprinnelige funksjonen, forblir punktet (1;1), mens roten også har en tendens til null, funksjonen har en tendens til uendelig. Og omvendt, siden x har en tendens til uendelig, har funksjonen en tendens til null (Figur 6).

Ris. 6. Graf over en funksjon

De vurderte eksemplene bidrar til å forstå hvordan grafen flyter og hva er egenskapene til funksjonen som studeres - en funksjon med en negativ rasjonell eksponent.

Grafene over funksjoner til denne familien går gjennom punktet (1;1), funksjonen avtar over hele definisjonsdomenet.

Funksjonsomfang:

Funksjonen er ikke begrenset ovenfra, men begrenset nedenfra. Funksjonen har verken størst eller laveste verdi.

Funksjonen er kontinuerlig, aksepterer alt positive verdier fra null til pluss uendelig.

Funksjonen er konveks nedover (Figur 15.7)

Punktene A og B er tatt på kurven, et segment trekkes gjennom dem, hele kurven er under segmentet, denne betingelsen er oppfylt for vilkårlige to punkter på kurven, derfor er funksjonen konveks nedover. Ris. 7.

Ris. 7. Konveksitet av funksjon

Det er viktig å forstå at funksjonene til denne familien er avgrenset nedenfra av null, men ikke har den minste verdien.

Eksempel 1 - finn maksimum og minimum for en funksjon i intervallet \[(\mathop(lim)_(x\to +\infty ) x^(2n)\ )=+\infty \]

Graf (fig. 2).

Figur 2. Graf for funksjonen $f\left(x\right)=x^(2n)$

Egenskaper til en potensfunksjon med en naturlig oddetallseksponent

Definisjonsdomenet er alle reelle tall.

$f\left(-x\right)=((-x))^(2n-1)=(-x)^(2n)=-f(x)$ -- funksjonen er merkelig.

$f(x)$ er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet.

Området er alle reelle tall.

$f"\left(x\right)=\left(x^(2n-1)\right)"=(2n-1)\cdot x^(2(n-1))\ge 0$

Funksjonen øker over hele definisjonsdomenet.

$f\left(x\right)0$, for $x\in (0,+\infty)$.

$f(""\left(x\right))=(\left(\left(2n-1\right)\cdot x^(2\left(n-1\right))\right))"=2 \venstre(2n-1\høyre)(n-1)\cdot x^(2n-3)$

\ \

Funksjonen er konkav for $x\in (-\infty ,0)$ og konveks for $x\in (0,+\infty)$.

Graf (fig. 3).

Figur 3. Graf for funksjonen $f\left(x\right)=x^(2n-1)$

Potensfunksjon med heltallseksponent

La oss først introdusere konseptet med en grad med en heltallseksponent.

Definisjon 3

Grad reelt tall$a$ med heltallseksponent $n$ bestemmes av formelen:

Figur 4.

La oss nå vurdere en potensfunksjon med en heltallseksponent, dens egenskaper og graf.

Definisjon 4

$f\left(x\right)=x^n$ ($n\i Z)$ kalles en potensfunksjon med en heltallseksponent.

Hvis graden større enn null, så kommer vi til tilfellet med en maktfunksjon med naturlig indikator. Vi har allerede diskutert det ovenfor. For $n=0$ får vi lineær funksjon$y=1$. Vi vil overlate vurderingen til leseren. Det gjenstår å vurdere egenskapene til en potensfunksjon med en negativ heltallseksponent

Egenskaper til en potensfunksjon med negativ heltallseksponent

Definisjonsdomenet er $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$.

Hvis eksponenten er partall, så er funksjonen partall hvis den er oddetall, så er funksjonen oddetall.

$f(x)$ er kontinuerlig over hele definisjonsdomenet.

Omfang:

Hvis eksponenten er partall, så $(0,+\infty)$ hvis den er oddetall, så $\left(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$;

Hvis ikke jevn indikator funksjonen reduseres som $x\i \venstre(-\infty ,0\right)(0,+\infty)$. For en jevn eksponent reduseres funksjonen som $x\in (0,+\infty)$. og øker som $x\in \left(-\infty ,0\right)$.

$f(x)\ge 0$ over hele definisjonsdomenet