Emne 6 Aritmetiske polynomer. Problemer å løse selvstendig

Korrespondanseskole 7. klasse. Oppgave nr. 2.

Metodehåndbok nr. 2.

Temaer:

Polynomer. Sum, differanse og produkt av polynomer;

Løse likninger og problemer;

Faktorering av polynomer;

Forkortede multiplikasjonsformler;

Problemer for uavhengig løsning.

Polynomer. Sum, differanse og produkt av polynomer.

Definisjon. Polynom kalles summen av monomer.

Definisjon. Monomialene som et polynom er sammensatt av kalles medlemmer av polynomet.

Multiplisere et monom med et polynom .

For å multiplisere et monomer med et polynom, må du multiplisere dette monomet med hvert ledd i polynomet og legge til de resulterende produktene.

Multiplisere et polynom med et polynom .

For å multiplisere et polynom med et polynom, må du multiplisere hvert ledd i ett polynom med hvert ledd i et annet polynom og legge til de resulterende produktene.

Eksempler på problemløsning:

Forenkle uttrykket:

Løsning.

Løsning:

Siden, etter betingelse, koeffisienten kl må da være lik null

Svar: -1.

Løse likninger og problemer.

Definisjon . En likhet som inneholder en variabel kalles ligning med én variabel eller ligning med en ukjent.

Definisjon . Roten til en ligning (løsning av en ligning) er verdien av variabelen som ligningen blir sann ved.

Å løse en ligning betyr å finne mange røtter.

Definisjon. Formens ligning
, Hvor X variabel, en Og b – noen tall kalles lineære ligninger med én variabel.

Definisjon.

En haug med røttene til en lineær ligning kan:

Eksempler på problemløsning:

Er det gitte tallet 7 roten til ligningen:

Løsning:

Dermed er x=7 roten til ligningen.

Svar: Ja.

Løs ligningene:

Løsning:
Svar: -12		Svar: -0,4

En båt gikk fra brygga til byen med en hastighet på 12 km/t, og en halvtime senere gikk en dampbåt i denne retningen med en hastighet på 20 km/t. Hva er avstanden fra brygga til byen hvis dampbåten ankom byen 1,5 time før båten?

Løsning:

La oss angi med x avstanden fra brygga til byen.

	Hastighet (km/t)	Tid (h)	Sti (km)
Båt
Dampbåt

I henhold til forholdene rundt problemet brukte båten 2 timer mer tid enn dampbåten (siden skipet forlot brygga en halvtime senere og ankom byen 1,5 time før båten).

La oss lage og løse ligningen:

60 km – avstand fra brygga til byen.

Svar: 60 km.

Lengden på rektangelet ble redusert med 4 cm og en firkant ble oppnådd, hvis areal var 12 cm² mindre enn arealet til rektangelet. Finn arealet av rektangelet.

Løsning:

La x være siden av rektangelet.

	Lengde	Bredde	Torget
Rektangel			x(x-4)
Torget			(x-4)(x-4)

I henhold til betingelsene for problemet er arealet til en firkant 12 cm² mindre enn arealet til et rektangel.

La oss lage og løse ligningen:

7 cm er lengden på rektangelet.

(cm²) – arealet av rektangelet.

Svar: 21 cm².

Turistene dekket den planlagte ruten på tre dager. På den første dagen dekket de 35% av den planlagte ruten, på den andre - 3 km mer enn på den første, og på den tredje - de resterende 21 km. Hvor lang er ruten?

Løsning:

La x være lengden på hele ruten.

	1 dag	Dag 2	Dag 3
Banens lengde		0,35x+3
Den totale lengden på stien var x km.

Dermed lager og løser vi ligningen:

0,35x+0,35x+21=x

0,7x+21=x

0,3x=21

70 km lengde på hele ruten.

Svar: 70 km.

Faktorering av polynomer.

Definisjon . Å representere et polynom som et produkt av to eller flere polynomer kalles faktorisering.

Å ta den felles faktoren ut av parentes .

Eksempel :

Grupperingsmetode .

Grupperingen må gjøres slik at hver gruppe har en felles faktor, i tillegg, etter å ha tatt fellesfaktoren ut av parentes i hver gruppe, må de resulterende uttrykkene også ha en felles faktor.

Eksempel :

Forkortede multiplikasjonsformler.

Produktet av forskjellen mellom to uttrykk og summen deres er lik forskjellen mellom kvadratene til disse uttrykkene.

Kvadraten av summen av to uttrykk er lik kvadratet til det første uttrykket pluss to ganger produktet av det første og andre uttrykket, pluss kvadratet av det andre uttrykket. løsninger. 1. Finn resten av divisjonen polynom x6 – 4x4 + x3 ... har ikke løsninger, A beslutninger det andre er parene (1; 2) og (2; 1). Svar: (1; 2) , (2; 1). Oppgaver Til uavhengig løsninger. Løs systemet...

• Omtrentlig læreplan for algebra og elementær analyse for klassetrinn 10-11 (profilnivå) Forklaring

  Program

  Hvert avsnitt gir det nødvendige beløpet oppgaver Til uavhengig løsninger i rekkefølge av økende vanskelighetsgrad. ...dekomponeringsalgoritme polynom ved potenser av binomial; polynomer med komplekse koeffisienter; polynomer med gyldig...

• Valgfag «Løse ikke-standard problemer. 9. klasse" Fullført av en matematikklærer

  Valgfag

  Ligningen er ekvivalent med ligningen P(x) = Q(X), hvor P(x) og Q(x) er noen polynomer med én variabel x. Overfører Q(x) til venstre side... = . SVAR: x1=2, x2=-3, xs=, x4=. OPPGAVER TIL UAVHENGIG LØSNINGER. Løs følgende ligninger: x4 – 8x...

• Valgfag i matematikk for 8. trinn

  Program

  Algebra-teorem, Vietas teorem Til kvadratisk trinomial og Til polynom vilkårlig grad, teorem om rasjonelt... materiale. Det er ikke bare en liste oppgaver Til uavhengig løsninger, men også oppgaven med å lage en utviklingsmodell...

Leksjon om emnet: "Konseptet og definisjonen av et polynom. Standardform for et polynom"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker. Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Læremidler og simulatorer i Integral nettbutikk for 7. klasse
Elektronisk lærebok basert på læreboken til Yu.N. Makarycheva
Elektronisk lærebok basert på læreboken til Sh.A. Alimova

Gutter, dere har allerede studert monomialer i emnet: Standardform for monomial. Definisjoner. Eksempler. La oss se på de grunnleggende definisjonene.

Monomial– et uttrykk som består av et produkt av tall og variabler. Variabler kan heves til naturlige potenser. Et monomial inneholder ingen andre operasjoner enn multiplikasjon.

Standard form for monomial- denne typen når koeffisienten (numerisk faktor) kommer først, etterfulgt av gradene til ulike variabler.

Lignende monomialer– disse er enten identiske monomer, eller monomer som skiller seg fra hverandre med en koeffisient.

Konseptet med et polynom

Et polynom, som et monom, er et generalisert navn for matematiske uttrykk av en bestemt type. Vi har vært borti slike generaliseringer før. For eksempel "sum", "produkt", "eksponentiering". Når vi hører «tallforskjell», kommer ikke tanken på multiplikasjon eller divisjon engang opp for oss. Dessuten er et polynom et uttrykk av en strengt definert type.

Definisjon av et polynom

Polynom er summen av monomiene.

Monomialene som utgjør et polynom kalles medlemmer av polynomet. Hvis det er to ledd, så har vi å gjøre med et binomial, hvis det er tre, så med et trinomium. Hvis det er flere ledd, er det et polynom.

Eksempler på polynomer.

1) 2аb + 4сd (binomial);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomial);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xу 3 ;

3c 7 d 8 - 2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

La oss se nøye på det siste uttrykket. Per definisjon er et polynom summen av monomer, men i det siste eksemplet legger vi ikke bare til, men trekker også fra monomer.
For å avklare, la oss se på et lite eksempel.

La oss skrive ned uttrykket a + b - c(la oss bli enige om det a ≥ 0, b ≥ 0 og c ≥ 0) og svar på spørsmålet: er dette summen eller forskjellen? Vanskelig å si.
Faktisk, hvis vi omskriver uttrykket som a + b + (-c), får vi summen av to positive og ett negativt ledd.
Hvis du ser på vårt eksempel, har vi spesifikt å gjøre med summen av monomialer med koeffisienter: 3, - 2, 7, -5. I matematikk er det et begrep "algebraisk sum". I definisjonen av et polynom mener vi altså en "algebraisk sum".

Men en notasjon av formen 3a: b + 7c er ikke et polynom fordi 3a: b ikke er et monom.
Notasjonen av formen 3b + 2a * (c 2 + d) er heller ikke et polynom, siden 2a * (c 2 + d) ikke er et monom. Hvis du åpner parentesene, vil det resulterende uttrykket være et polynom.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Polynomgrad er den høyeste graden av medlemmene.
Polynomet a 3 b 2 + a 4 har den femte graden, siden graden av monomiet a 3 b 2 er 2 + 3= 5, og graden av monomiet a 4 er 4.

Standard form for polynom

Et polynom som ikke har lignende termer og er skrevet i synkende rekkefølge av potensene til termene til polynomet, er et polynom av standardform.

Polynomet bringes til en standardform for å fjerne unødvendig tungvint skriving og forenkle videre handlinger med det.

Ja, hvorfor for eksempel skrive det lange uttrykket 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, når det kan skrives kortere enn 9b 2 + 3a 2 + 8.

For å bringe et polynom til standardform, må du:
1. bringe alle medlemmene til et standardskjema,
2. legg til lignende (identiske eller med forskjellige numeriske koeffisienter) ledd. Denne prosedyren kalles ofte bringe lignende.

Eksempel.
Reduser polynomet aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 til standardform.

Løsning.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14= 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

La oss bestemme potensene til monomialene som er inkludert i uttrykket og ordne dem i synkende rekkefølge.
11a 2 b har tredje grad, 3 x 5 y 2 har sjuende grad, 14 har null grad.
Det betyr at vi skal sette 3 x 5 y 2 (7. grad) på første plass, 12a 2 b (3. grad) på andre plass, og 14 (null grad) på tredje plass.
Som et resultat får vi et polynom av standardformen 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Eksempler på selvløsning

Reduser polynomer til standardform.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2 - 56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4ax 2 + 5bc - 6a - 24bc + xx 4 x (5ax 6 - 19bc - 6a);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2 - 6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).

I denne delen av Algebra 7. klasse kan du studere skoletimer om emnet "Polynomer. Aritmetiske operasjoner på polynomer."

Pedagogiske videotimer på Algebra 7. klasse «Polynomer. Aritmetiske operasjoner på polynomer" blir undervist av Valentin Alekseevich Tarasov, lærer ved Logos LV-skolen. Du kan også studere andre emner i algebra

Grad som et spesialtilfelle av et polynom

I denne leksjonen vil grunnleggende konsepter og definisjoner bli diskutert, grunnlaget vil bli forberedt for å studere et komplekst og omfangsrikt emne, nemlig: vi vil huske det teoretiske materialet angående grader - definisjoner, egenskaper, teoremer, og løse flere eksempler for å konsolidere teknikken .

Reduksjon av polynomer til standardform. Typiske oppgaver

I denne leksjonen vil vi huske de grunnleggende definisjonene av dette emnet og vurdere noen typiske problemer, nemlig å redusere et polynom til en standardform og beregne en numerisk verdi for gitte verdier av variabler. Vi skal løse flere eksempler hvor reduksjon til standardskjema skal brukes for å løse ulike typer problemer.

Addisjon og subtraksjon av polynomer. Typiske oppgaver

I denne leksjonen vil operasjonene for addisjon og subtraksjon av polynomer bli studert, og reglene for addisjon og subtraksjon vil bli formulert. Eksempler vurderes og noen typiske problemer og ligninger løses, og ferdighetene til å utføre disse operasjonene konsolideres.

Multiplisere et polynom med et monom. Typiske oppgaver

I denne leksjonen skal vi studere operasjonen ved å multiplisere et polynom med et monom, som er grunnlaget for å studere multiplikasjonen av polynomer. La oss huske den distributive loven om multiplikasjon og formulere regelen for å multiplisere et hvilket som helst polynom med et monom. La oss også huske noen egenskaper ved grader. I tillegg vil typiske feil formuleres ved utførelse av ulike eksempler.

Multiplisere binomialer. Typiske oppgaver

I denne leksjonen vil vi bli kjent med operasjonen for å multiplisere de enkleste polynomene - binomialer, og formulere regelen for deres multiplikasjon. La oss utlede noen formler for forkortet multiplikasjon ved å bruke denne operasjonen. I tillegg skal vi løse en lang rekke eksempler og typiske problemer, nemlig problemet med å forenkle et uttrykk, et beregningsproblem og ligninger.

Multiplisere trinomialer. Typiske oppgaver

I denne leksjonen skal vi se på driften av å multiplisere trinomialer, utlede regelen for å multiplisere trinomialer, og faktisk formulere regelen for å multiplisere polynomer generelt. La oss løse noen få eksempler relatert til dette emnet for å gå videre til multiplikasjonen av polynomer mer detaljert.

Multiplisere et polynom med et polynom

I denne leksjonen vil vi huske alt vi allerede har lært om å multiplisere polynomer, oppsummere noen resultater og formulere en generell regel. Etter dette vil vi utføre en rekke eksempler for å forsterke teknikken med å multiplisere polynomer.

Multiplisere polynomer i ordoppgaver

I denne leksjonen vil vi huske metoden for matematisk modellering og løse problemer med dens hjelp. Vi skal lære å komponere polynomer og uttrykk med dem fra betingelsene i en tekstoppgave og løse disse oppgavene, som betyr å anvende den tilegnete kunnskapen om polynomer i mer komplekse typer arbeid.

Multiplisere polynomer i problemer med geometrielementer

I denne leksjonen vil vi lære hvordan du løser ordproblemer med elementer av geometri ved hjelp av metoden for matematisk modellering. For å gjøre dette, husk først de grunnleggende geometriske fakta og stadier av problemløsning.

Forkortede multiplikasjonsformler. Kvadratsum og kvadratisk forskjell

I denne leksjonen skal vi bli kjent med formlene for kvadratet av summen og kvadratet av differansen og utlede dem. La oss bevise formelen for kvadratet av summen geometrisk. I tillegg skal vi løse mange forskjellige eksempler ved hjelp av disse formlene.

Forkortede multiplikasjonsformler. Forskjell på ruter

I denne leksjonen vil vi huske de forkortede multiplikasjonsformlene vi lærte tidligere, nemlig kvadratet på summen og kvadratet på differansen. La oss utlede formelen for forskjellen mellom kvadrater og løse mange forskjellige typiske problemer ved å bruke denne formelen. I tillegg vil vi løse problemer som involverer kompleks anvendelse av flere formler.

Forkortede multiplikasjonsformler. Forskjellen på terninger og summen av terninger

I denne leksjonen vil vi fortsette å studere forkortede multiplikasjonsformler, nemlig vi skal se på forskjellen og summen av kubeformler. I tillegg vil vi løse ulike typiske problemer ved hjelp av disse formlene.

Delt bruk av forkortede multiplikasjonsformler

Denne videoleksjonen vil være nyttig for alle de som selv ønsker å studere emnet "Kombinert anvendelse av forkortede multiplikasjonsformler." Med denne videoforelesningen vil du kunne oppsummere, utdype og systematisere kunnskapen du har fått i tidligere leksjoner. Læreren vil lære deg hvordan du bruker forkortede multiplikasjonsformler sammen.

Formler for forkortet multiplikasjon i problemer med økt kompleksitet. Del 1

I denne leksjonen vil vi bruke vår kunnskap om polynomer og forkortede multiplikasjonsformler for å løse et ganske komplekst geometrisk problem. Dette vil tillate oss å styrke våre ferdigheter i arbeid med polynomer.

Formler for forkortet multiplikasjon i problemer med økt kompleksitet. Del 2

I denne leksjonen skal vi se på kompliserte problemer ved å bruke forkortede multiplikasjonsformler og utføre mange forskjellige eksempler for å forsterke teknikken.

Geometrisk oppgave på et parallellepiped ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen

I denne videoleksjonen vil alle kunne studere emnet "Geometrisk problem på et parallellepiped ved å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen." I denne aktiviteten skal elevene øve seg på å bruke den forkortede multiplikasjonsformelen for et parallellepiped. Spesielt vil læreren gi et geometrisk problem på et parallellepiped, som må demonteres og løses.

Å dele et polynom med et monom

I denne leksjonen vil vi huske regelen for å dele en monomial med en monomial og formulere de grunnleggende støttefakta. La oss legge til litt teoretisk informasjon til det som allerede er kjent og utlede regelen for å dele et polynom med et monom. Etter dette skal vi utføre en rekke eksempler med varierende kompleksitet for å mestre teknikken med å dele et polynom med et monom.

Leksjonsemne:

Polynomer i én variabel.

11. klasse

Matematikklærer

Kazantseva M.V.

MBOU "Videregående skole nr. 110"

La oss se på polynomene:

2x 2 – 11x +12

– 14x 5 + 3x 2 – 6x+7

X 6 + 11

Disse polynomene er skrevet i standardform.

Et polynom av standardform inneholder ikke lignende termer og er skrevet i synkende rekkefølge etter gradene av termene.

P(x)= a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x+a 0

Hvor EN 0 , EN 1 , EN 2 …. EN P – noen tall, og EN P  0, s 

EN P X P – ledende ledd i polynomet

EN P – koeffisient på senior

medlem

P – grad av polynom

EN 0 – friledd for polynomet

P(x)= a P X P +a n–1 X n–1 +a n–2 X n–2 +

+… + a 2 X 2 + a 1 x+a 0

Hvis

EN P =1 ,

deretter polynomet P (x) - redusert

Eksempel: x+3; X 5 +3x 2 -4

EN P ≠1 ,

deretter polynomet P (x) - ikke-redusert

Eksempel: 2x 2 +x; -0,5x 7 +3x 3 -11

Teorem 1:

To polynomer ( standard type) er identisk like hvis potensene deres er like og koeffisientene for de samme potensene x er like.

Oppgave nr. 1

Finn tallene a og b hvis polynomet X 3 + 6x 2 + ah + b lik kuben til binomialet x + 2

Operasjoner på polynomer:

1. Addisjon og subtraksjon.

Når du legger til (subtraherer) to polynomer av forskjellige grader, får du et polynom hvis grad er lik den største av de tilgjengelige gradene.

Oppgave nr. 2

Finn summen av polynomer

x+3 og -0,5x 5 +3x 2 -4

Operasjoner på polynomer:

1. Addisjon og subtraksjon.

Når du legger til (subtraherer) to polynomer av samme grad, får du et polynom av samme eller mindre grad.

Oppgave nr. 3

Finn summen og differansen polynomer

2x 3 +3x 2 -x og -2x 3 +3x-4

Operasjoner på polynomer:

2. Arbeid.

Hvis polynomet p(x) har den høyeste graden m, og polynomet s(x) har den høyeste graden n, så deres produkt р(х)∙ s(x) har grad m+n.

Oppgave nr. 4

Finn et stykke polynomer

x+3 og -0,5x 5 +3x 2 -4

Operasjoner på polynomer:

3. Eksponentiering.

Hvis et polynom p(x) av grad m heves til potensen n, får vi et polynom av grad mn.

Problem #5

Konstruer et polynom

-0,5x 5 +3x 2 -4 kvadrat

Operasjoner på polynomer:

4. Å dele et polynom er et polynom.

Hvis et polynom p(x) er delelig med et ikke-null polynom s(x), hvis det er et polynom q(x) slik at identiteten gjelder:

p(x) = s(x) q(x)

p(x) - delelig (eller flere)

s(x) – divisor

q(x) – kvotient

Hjørnedelingsmetode

Del et polynom 8x 2 +10х–3 til et polynom 2x+3

2x+3

– 3

8x 2 +10х–3

–

8x 2 +12x

– 1

4x

– 2x

–

– 2x–3

0

Problem #6

Del et polynom 6x 3 +7x 2 – 6x +1 til et polynom 3x –1

Oppgave nr. 7

Del et polynom X 3 – 3x 2 + 5x – 15 til et polynom x – 3

Oppgave nr. 8

Del et polynom X 4 + 4 til et polynom X 2 + 2x + 2

MBOU "Åpen (skift)skole nr. 2" av byen Smolensk

Selvstendig arbeid

om emnet: "Polynomer"

7. klasse

Utført

matematikklærer

Mishchenkova Tatyana Vladimirovna

Muntlig selvstendig arbeid nr. 1 (forberedende)

(gjennomført med sikte på å forberede studentene til å mestre ny kunnskap om emnet: "Polynomial og dets standardform")

Valg 1.

a) 1,4a + 1–a 2 – 1,4 + b 2 ;

b) a 3 – 3a +b + 2 ab – x;

c) 2ab + x – 3 ba – x.

Begrunn svaret ditt.

en) 2 en – 3 en +7 en;

b) 3x – 1+2x+7;

c) 2x– 3y+3x+2 y.

a) 8xx;G) – 2a 2 ba

b) 10 nmm;d) 5p 2 * 2p;

klokken 3aab; e) – 3 s * 1,5 s 3 .

Alternativ 2

1. Nevn lignende termer i følgende uttrykk:

a) 8,3x – 7 – x 2 + 4 + år 2 ;

b)b 4 - 6 en +5 b 2 +2 en – 3 b 4 :

klokken 3xy + y – 2 xy – y.

Begrunn svaret ditt.

2. Gi lignende termer i uttrykk:

en) 10 d – 3 d – 19 d ;

b) 5x – 8 +4x + 12;

c) 2x – 4y + 7x + 3y.

3. Reduser monomialene til standardform og angi graden av monomial:

a) 10aaa;

b) 7mnn;

V) 3 cca;

d) – 5x 2 yx;

e) 8q 2 * 3 q;

e) – 7s * 0>5 q 4 .

Vilkåret for muntlig selvstendig arbeid tilbys på skjermen eller på tavlen, men teksten holdes lukket før det selvstendige arbeidet starter.

Selvstendig arbeid utføres i begynnelsen av timen. Etter fullført arbeid brukes selvtest ved hjelp av en datamaskin eller tavle.

Selvstendig arbeid nr. 2

(gjennomført med sikte på å styrke elevenes ferdigheter i å bringe et polynom til en standardform og bestemme graden av et polynom)

valg 1

1. Reduser polynomet til standardform:

a) x 2 y + yxy;

b) 3x 2 6 år 2 – 5x 2 7 år;

klokken 11en 5 – 8 en 5 +3 en 5 + en 5 ;

d) 1.9x 3 – 2,9 x 3 – x 3 .

a) 3t 2 – 5t 2 – 11t – 3t 2 + 5t +11;

b) x 2 + 5x – 4 – x 3 – 5x 2 + 4x – 13.

4 x 2 – 1 klx = 2.

4. Tilleggsoppgave.

I stedet for * skriv et slikt begrep for å få et polynom av femte grad.

x 4 + 2 x 3 – x 2 + 1 + *

Alternativ 2

a) bab + a 2 b;

b) 5x 2 8 år 2 + 7x 2 3 år;

kl 2m 6 + 5 m 6 – 8 m 6 – 11 m 6 ;

d) – 3.1y 2 +2,1 y 2 – y 2. .

2. Gi lignende termer og angi graden av polynomet:

a) 8b 3 – 3b 3 + 17b – 3b 3 – 8b – 5;

b) 3 timer 2 +5hc – 7c 2 + 12 timer 2 – 6hc.

3. Finn verdien til polynomet:

2 x 3 + 4 klx=1.

4. Tilleggsoppgave.

I stedet for* skriv ned et slikt begrep for å få et polynom av sjette grad.

x 3 – x 2 + x + * .

Alternativ 3

1. Reduser polynomer til standardform:

a) 2aa 2 3b + a8b;

b) 8x3y (–5y) – 7x 2 4 år;

i 20xy + 5 yx – 17 xy;

d) 8ab 2 –3 ab 2 – 7 ab 2. .

2. Gi lignende termer og angi graden av polynomet:

a) 2x 2 + 7xy + 5x 2 – 11xy + 3y 2 ;

b) 4b 2 +a 2 + 6ab – 11b 2 –7ab 2 .

3. Finn verdien til polynomet:

– 4 y 5 – 3 kly= –1.

4. Tilleggsoppgave.

Konstruer et tredjegradspolynom som inneholder én variabel.

Muntlig selvstendig arbeid nr. 3 (forberedende)

(gjennomført med sikte på å forberede studentene til å mestre ny kunnskap om emnet: «Addisjon og subtrahering av polynomer»)

valg 1

en) summen av to uttrykk 3en+ 1 ogen – 4;

b) forskjellen mellom to uttrykk 5x– 2 og 2x + 4.

3. Utvid parentesene:

en) y – ( y+ z);

b) (x – y) + ( y+ z);

V) (en – b) – ( c – en).

4. Finn verdien til uttrykket:

en) 13,4 + (8 – 13,4);

b) – 1,5 – (4 – 1,5);

V) (en – b) – ( c – en).

Alternativ 2

1. Skriv som et uttrykk:

en) summen av to uttrykk 5en– 3 ogen + 2;

b) forskjellen mellom to uttrykk 8y– 1 og 7y + 1.

2. Formuler en regel for åpning av parenteser med «+» eller «–»-tegn foran.

3. Utvideparentes:

a) a – (b+c);

b) (a – b) + (b+a);

V) (x – y) – ( y – z).

4. Finn verdien til uttrykket:

en) 12,8 + (11 – 12,8);

b) – 8,1 – (4 – 8,1);

c) 10,4 + 3x – ( x+10,4) klx=0,3.

Etter fullført arbeid brukes selvtest ved hjelp av en datamaskin eller tavle.

Selvstendig arbeid nr. 4

(utført med sikte på å styrke ferdighetene til addisjon og subtraksjon av polynomer)

valg 1

en) 5 x– 15u og 8y – 4 x;

b) 7x 2 – 5 x+3 og 7x 2 – 5 x.

2. Forenkle uttrykket:

en) (2 en + 5 b) + (8 en – 11 b) – (9 b – 5 en);

* b) (8c 2 + 3 c) + (– 7 c 2 – 11 c + 3) – (–3 c 2 – 4).

3. Tilleggsoppgave.

Skriv et polynom slik at summen med polynomet 3x + 1 er lik

9x – 4.

Alternativ 2

1. Kompiler summen og differansen av polynomer og bring dem til standardform:

a) 21 år – 7xOg8x – 4y;

b) 3a 2 + 7a – 5Og3a 2 + 1.

2. Forenkle uttrykket:

en) (3 b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b - 4) – (– b 2 +19);

* b) (3b 2 + 2 b) + (2 b 2 – 3 b – 4) – (– b 2 + 19).

3. Tilleggsoppgave.

Skriv et polynom slik at summen med polynomet 4x – 5 er lik

9x – 12.

Alternativ 3

1. Kompiler summen og differansen av polynomer og bring dem til standardform:

en) 0,5 x+ 6у og 3x – 6 y;

b) 2y 2 +8 y– 11 og 3y 2 – 6 y + 3.

2. Forenkle uttrykket:

en) (2 x + 3 y – 5 z) – (6 x –8 y) + (5 x – 8 y);

* b) (en 2 – 3 ab + 2 b 2 ) – (– 2 en 2 – 2 ab – b 2 ).

3. Tilleggsoppgave.

Skriv et polynom slik at summen med polynomet 7x + 3 er likx 2 + 7 x – 15.

Alternativ 4

1. Kompiler summen og differansen av polynomer og bring dem til standardform:

en) 0,3 x + 2 bog 4x – 2 b;

b) 5y 2 – 3 yog 8y 2 + 2 y – 11.

2. Forenkle uttrykket:

a) (3x – 5y – 8z) – (2x + 7y) + (5z – 11x);

* b) (2x 2 –xy + y 2 ) – (x 2 – 2xy – y 2 ).

3. Tilleggsoppgave.

Skriv et polynom slik at summen med polynomet er 2x 2 + x+ 3 og var lik 2 x + 3.

Selvstendig arbeid utføres på slutten av timen. Læreren sjekker arbeidet og identifiserer om det er nødvendig å studere i tillegg om dette emnet.

Selvstendig arbeid nr. 5

(utført med sikte på å utvikle ferdighetene til å omslutte et polynom i parentes)

valg 1

en , og den andre inneholder det ikke:

a) ax + ay + x + y;

b)øks 2 + x + a + 1.

Prøve løsninger:

m + am + n – an = (m+n) + (am – an).

b

a) bm – bn – m – n;

b) bx + by + x –y.

Prøve løsninger:

ab – bc – x – y = (ab – bc) – (x + y).

Alternativ 2

1. Se for deg et polynom som summen av to polynomer, hvorav det ene inneholder bokstavenb , og den andre inneholder det ikke:

a) bx + med +2x + 2y;

b)bx 2 – x + a – b.

Eksempel på løsning:

2 m + bm 3 + 3 – b = (2 m+3) + (bm 3 – b).

2. Se for deg et polynom som forskjellen mellom to polynomer, hvorav det første inneholder bokstavenen , og den andre er ikke det (sjekk resultatet ved å åpne parentesen mentalt):

a) ac – ab – c + b;

b) am + an + m – n;

Prøve løsninger:

x + ay – y – ax = (ay – ax) – (–x + y) = (ay – ay) – (y–x).

Alternativ 3

1. Se for deg et polynom som summen av to polynomer, hvorav det ene inneholder bokstavenb , og den andre inneholder det ikke:

a) b 3 – b 2 – b+3y – 1;

b) – b 2 -en 2 – 2ab + 2.

Eksempel på løsning:

– 2 b 2 – m 2 – 3 bm + 7 = (–2 b 2 – 3 bm) + (– m 2 + 7) = (–2 b 2 – 3 bm) + (7– m 2 ).

2. Se for deg et polynom som forskjellen mellom to polynomer, hvorav det første inneholder bokstavenb , og den andre er ikke det (sjekk resultatet ved å åpne parentesen mentalt):

a) ab + ac – b – c;

b) 2b + a 2 – b 2 –1;

Eksempel på løsning:

3 b + m – 1 – 2 b 2 = (3 b – 2 b 2 ) – (1– m).

Alternativ 4

(for sterke studenter, gitt uten prøveløsning)

1. Tenk deg et polynom som summen av to polynomer med positive koeffisienter:

a) øks + ved – c – d;

b) 3x –3 år +z – a.

2. Presenter uttrykkene på en eller annen måte som forskjellen mellom et binomial og et trinomial:

a) x 4 – 2x 3 – 3x 2 + 5x – 4;

b) 3a 5 – 4a 3 + 5a 2 –3a +2.

Selvstendig arbeid utføres på slutten av timen. Etter endt arbeid benyttes egentest ved bruk av nøkkel og egenvurdering av arbeidet. Elever som fullfører oppgaven selvstendig gir notatbøkene sine til læreren for kontroll.

C selvstendig arbeid nr. 6

(utført med sikte på å konsolidere og anvende kunnskap og ferdigheter for å multiplisere et monom med et polynom)

valg 1

1. Utfør multiplikasjon:

en) 3 b 2 (b –3);

b) 5x (x 4 + x 2 – 1).

2. Forenkle uttrykkene:

a) 4 (x+1) +(x+1);

b) 3a (a – 2) – 5a(a+3).

3. Bestemme seg for ligningen:

20 +4(2 x–5) =14 x +12.

4. Tilleggsoppgave.

(m+ n) * * = mk + nk.

Alternativ 2

1. Utfør multiplikasjon:

en) - 4 x 2 (x 2 –5);

b) -5en (en 2 - 3 en – 4).

2. Forenkle uttrykkene:

en) (en–2) – 2(en–2);

b) 3x (8 y +1) – 8 x(3 y–5).

3. Løs ligningen:

3(7 x–1) – 2 =15 x –1.

4. Tilleggsoppgave.

Hvilken monomial skal angis i stedet for *-tegnet for at likheten skal gjelde:

(b+ c – m) * * = ab + ac – er.

Alternativ 3

1. Utfør multiplikasjon:

en) – 7 x 3 (x 5 +3);

b) 2m 4 (m 5 - m 3 – 1).

2. Forenkle uttrykkene:

a) (x–3) – 3(x–3);

b) 3c (c + d) + 3d (c–d).

3. Løs ligningen:

9 x – 6(x – 1) =5(x +2).

4. Tilleggsoppgave.

Hvilken monomial skal angis i stedet for *-tegnet for at likheten skal gjelde:

* * (x 2 – xy) = x 2 y 2 – xy 3 .

Alternativ 4

1. Utfør multiplikasjon:

en) – 5 x 4 (2 x – x 3 );

b)x 2 (x 5 – x 3 + 2 x);

2. Forenkle uttrykkene:

en) 2 x(x+1) – 4 x(2– x);

b) 5b (3 en – b) – 3 en(5 b+ en).

3. Løs ligningen:

-8(11 – 2 x) +40 =3(5 x - 4).

4. Tilleggsoppgave.

Hvilken monomial skal angis i stedet for *-tegnet for at likheten skal gjelde:

(x – 1) * * = x 2 y 2 – xy 2 .

C selvstendig arbeid nr. 7

(utføres med sikte på å utvikle ferdigheter i å løse likninger og problemer)

valg 1

Løs ligningen:

+ = 6

Løsning:

(+) * 20 = 6*20,

* 20 – ,

5 x – 4(x – 1) =120,

5 x – 4 x + 4=120,

x=120 – 4,

x=116.

Svar: 116.

Løs ligningen:

+ = 4

2. Løs problemet:

Bilen brukte 1 time mindre på reisen fra landsbyen til stasjonen enn syklisten. Finn avstanden fra landsbyen til stasjonen hvis bilen kjørte med en gjennomsnittshastighet på 60 km/t. Og syklisten er 20 km/t.

Alternativ 2

1. Bruk prøveløsningen og fullfør oppgaven.

Løs ligningen:

– = 1

Løsning:

(+) * 8 = 1*8,

* 8 – ,

2 x - (x – 3) =8,

2 x – 4 x + 3=8,

x = 8 – 3,

x=5.

Svar: 5.

Løs ligningen:

+ = 2

2. Løs problemet:

Mesteren produserer 8 flere deler i timen enn lærlingen. Lærlingen jobbet i 6 timer, og mesteren i 8 timer, og sammen laget de 232 deler. Hvor mange deler produserte eleven per time?

Veibeskrivelse for løsning:

a) fyll ut tabellen;

8 deler til

b) skriv en ligning;

c) løse ligningen;

d) sjekk og skriv ned svaret.

Alternativ 3

(For sterke studenter, gitt uten prøve)

1. Løs ligningen:

– = 2

2. Løs problemet:

Poteter ble brakt til spisestuen, pakket i 3 kg poser. Hvis den var pakket i 5 kg-poser, ville det vært nødvendig med 8 poser mindre. Hvor mange kilo poteter ble brakt til kantinen?

Selvstendig arbeid utføres på slutten av timen. Etter endt arbeid brukes en selvtest med nøkkel.

Som lekser tilbys studentene kreativt selvstendig arbeid:

Tenk på et problem som kan løses ved hjelp av ligningen

30 x = 60(x– 4) og løse det.

Selvstendig arbeid nr. 8

(gjennomført med sikte på å utvikle ferdigheter og evner for å ta fellesfaktoren ut av parentes)

valg 1

EN)mx + min; d)x 5 – x 4 ;

b) 5ab – 5 b; e) 4x 3 – 8 x 2 ;

V) – 4 min + n; *og) 2c 3 + 4c 2 + c;

G) 7ab – 14a 2 ; * h)øks 2 +a 2 .

2. Tilleggsoppgave.

2 – 2 18 delelig med 14.

Alternativ 2

1. Ta den felles faktoren ut av parentes (sjekk handlingene dine ved å multiplisere):

EN) 10x + 10y;d)en 4 +a 3 ;

b) 4x + 20y;e) 2x 6 – 4x 3 ;

V) 9 ab + 3b; *og)y 5 + 3 år 6 + 4 år 2 ;

G) 5xy 2 + 15 år; *h) 5 f.Kr 2 +bc.

2. Tilleggsoppgave.

Bevis at verdien av uttrykket er 8 5 – 2 11 delelig med 17.

Alternativ 3

1. Ta den felles faktoren ut av parentes (sjekk handlingene dine ved å multiplisere):

EN) 18ay + 8ax;d) m 6 +m 5 ;

b) 4ab - 16a;e) 5z 4 – 10z 2 ;

klokken 4mn + 5 n; * g) 3x 4 – 6 x 3 + 9 x 2 ;

d) 3x 2 y– 9 x; *h)xy 2 +4 xy.

2. Tilleggsoppgave.

Bevis at verdien av uttrykket er 79 2 + 79 * 11 er delelig med 30.

Alternativ 4

1. Ta den felles faktoren ut av parentes (sjekk handlingene dine ved å multiplisere):

a) – 7xy + 7 y; d)y 7 - y 5 ;

b) 8mn + 4 n; e) 16z 5 – 8 z 3 ;

i 20en 2 + 4 øks; * g) 4x 2 – 6 x 3 + 8 x 4 ;

d) 5x 2 y 2 + 10 x; *h)xy +2 xy 2 .

2. Tilleggsoppgave.

Bevis at verdien av uttrykket er 313 * 299 – 313 2 delelig med 7.

CSelvstendig arbeid utføres i begynnelsen av timen. Etter at arbeidet er avsluttet benyttes nøkkelsjekk.