Bayes' teorem er teorien om sannsynligheten for en hendelse. En enkel forklaring på Bayes' teorem

Når man utleder formelen full sannsynlighet arrangementet skulle MEN, hvis sannsynlighet skulle bestemmes, kunne skje med en av hendelsene H 1 , N 2 , ... , H n, og danner en komplett gruppe av parvise inkompatible hendelser. Samtidig er sannsynlighetene spesifiserte hendelser(hypoteser) var kjent på forhånd. La oss anta at et eksperiment har blitt utført, som et resultat av hendelsen MEN har kommet. Dette Tilleggsinformasjon lar deg revurdere sannsynlighetene for hypoteser hei, har regnet ut P(Hi/A).

eller, ved å bruke totalsannsynlighetsformelen, får vi

Denne formelen kalles Bayes-formelen eller hypotesesetningen. Bayes' formel lar deg "revidere" sannsynlighetene for hypoteser etter at den blir kjent resultat erfaring som resulterte i arrangementet MEN.

Sannsynligheter Р(Н i) er a priori-sannsynlighetene til hypotesene (de ble beregnet før eksperimentet). Sannsynlighetene P(H i /A) er a posteriori-sannsynlighetene til hypotesene (de er beregnet etter eksperimentet). Bayes-formelen lar deg beregne de bakre sannsynlighetene fra deres tidligere sannsynligheter og fra de betingede sannsynlighetene for hendelsen MEN.

Eksempel. Det er kjent at 5 % av alle menn og 0,25 % av alle kvinner er fargeblinde. En tilfeldig valgt person etter nummeret på legekortet lider av fargeblindhet. Hva er sannsynligheten for at det er en mann?

Løsning. Begivenhet MEN Personen er fargeblind. Rommet med elementære hendelser for eksperimentet - en person velges av nummeret på det medisinske kortet - Ω = ( H 1 , N 2 ) består av 2 arrangementer:

H 1 - en mann er valgt,

H 2 - en kvinne er valgt.

Disse hendelsene kan velges som hypoteser.

I henhold til tilstanden til problemet (tilfeldig valg), er sannsynlighetene for disse hendelsene de samme og lik P(H 1 ) = 0.5; P(H 2 ) = 0.5.

I dette tilfellet er de betingede sannsynlighetene for at en person lider av fargeblindhet like, henholdsvis:

PANNE 1 ) = 0.05 = 1/20; PANNE 2 ) = 0.0025 = 1/400.

Siden det er kjent at den valgte personen er fargeblind, det vil si at hendelsen har skjedd, bruker vi Bayes-formelen for å revurdere den første hypotesen:

Eksempel. Det er tre like bokser. Den første boksen inneholder 20 hvite kuler, den andre boksen inneholder 10 hvite og 10 svarte kuler, og den tredje boksen inneholder 20 svarte kuler. En hvit ball trekkes fra en boks valgt tilfeldig. Regn ut sannsynligheten for at ballen trekkes fra den første boksen.

Løsning. Angi med MEN hendelse - utseende hvit ball. Tre antagelser (hypoteser) kan gjøres om valg av boks: H 1 ,H 2 , H 3 - valg av henholdsvis første, andre og tredje boks.

Siden valget av hvilken som helst av boksene er like mulig, er sannsynlighetene for hypotesene de samme:

P(H 1 )=P(H 2 )=P(H 3 )= 1/3.

I henhold til tilstanden til problemet, sannsynligheten for å trekke en hvit ball fra den første boksen

Sannsynlighet for å trekke en hvit ball fra den andre boksen

Sannsynlighet for å trekke en hvit ball fra den tredje boksen

Vi finner ønsket sannsynlighet ved å bruke Bayes-formelen:

Gjentakelse av tester. Bernoulli formel.

Det er n forsøk, i hver av disse kan hendelse A inntreffe eller ikke, og sannsynligheten for hendelse A i hvert enkelt forsøk er konstant, dvs. endres ikke fra erfaring til opplevelse. Vi vet allerede hvordan vi finner sannsynligheten for en hendelse A i ett eksperiment.

Av spesiell interesse er sannsynligheten for forekomst av et visst antall ganger (m ganger) av hendelse A i n forsøk. slike problemer løses enkelt hvis testene er uavhengige.

Def. Flere tester kalles uavhengig med hensyn til hendelsen A hvis sannsynligheten for hendelse A i hver av dem ikke avhenger av resultatene fra andre eksperimenter.

Sannsynligheten P n (m) for forekomsten av hendelsen A nøyaktig m ganger (ikke-forekomst n-m ganger, hendelse ) i disse n forsøkene. Hendelse A vises i en rekke sekvenser m ganger).

- Bernoullis formel.

Følgende formler er åpenbare:

P n (m mindre k ganger i n forsøk.

P n (m>k) = P n (k+1) + P n (k+2) +...+ P n (n) - sannsynlighet for forekomst av hendelse A mer k ganger i n forsøk.

Bayes formel

Bayes' teorem- en av hovedteoremene i elementær sannsynlighetsteori, som bestemmer sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe under forhold når bare noe delvis informasjon om hendelser er kjent basert på observasjoner. I henhold til Bayes-formelen er det mulig å mer nøyaktig beregne sannsynligheten på nytt, med hensyn til både tidligere kjent informasjon og data fra nye observasjoner.

"Fysisk betydning" og terminologi

Bayes formel lar deg "omorganisere årsak og virkning": iht kjent faktum hendelse for å beregne sannsynligheten for at den ble forårsaket av en gitt årsak.

Hendelser som gjenspeiler handlingen til "årsaker" i denne saken vanligvis kalt hypoteser, Fordi de er antatt hendelsene frem til det. Den ubetingede sannsynligheten for gyldigheten av en hypotese kalles a priori(Hvor sannsynlig er årsaken? som regel), og betinget - tatt i betraktning hendelsen - a posteriori(Hvor sannsynlig er årsaken? viste seg å ta hensyn til hendelsesdataene).

Konsekvens

En viktig konsekvens av Bayes-formelen er formelen for den totale sannsynligheten for en hendelse avhengig av flere inkonsistente hypoteser ( og bare fra dem!).

- sannsynligheten for at hendelsen inntreffer B, avhengig av en rekke hypoteser EN Jeg hvis graden av pålitelighet til disse hypotesene er kjent (for eksempel målt eksperimentelt);

Formelavledning

Hvis en hendelse bare avhenger av årsaker EN Jeg, så hvis det skjedde, betyr det at noen av årsakene nødvendigvis skjedde, dvs.

Etter Bayes formel

overføre P(B) til høyre får vi ønsket uttrykk.

Spamfiltreringsmetode

En metode basert på Bayes' teorem har blitt brukt i spamfiltrering.

Beskrivelse

Når du trener filteret, beregnes og lagres "vekten" for hvert ord som vises i bokstaver - sannsynligheten for at en bokstav med dette ordet er spam (i det enkleste tilfellet, ved klassisk definisjon sannsynligheter: "opptredener i spam / forekomster av alt").

Når du sjekker et nylig ankommet brev, beregnes sannsynligheten for at det er spam i henhold til formelen ovenfor for et sett med hypoteser. I dette tilfellet er "hypoteser" ord, og for hvert ord "hypotesens pålitelighet" -% av dette ordet i brevet, og "hendelsens avhengighet av hypotesen" P(B | EN Jeg) - tidligere beregnet "vekt" av ordet. Det vil si at "vekten" av brevet i dette tilfellet ikke er annet enn den gjennomsnittlige "vekten" av alle ordene.

Et brev klassifiseres som "spam" eller "ikke-spam" etter om dets "vekt" overstiger en viss bar satt av brukeren (vanligvis tar de 60-80%). Etter at en beslutning om et brev er tatt, oppdateres "vektene" for ordene som er inkludert i det i databasen.

Karakteristisk

Denne metoden er enkel (algoritmer er elementære), praktisk (lar deg klare deg uten "svartelister" og lignende kunstige triks), effektiv (etter trening for nok stort utvalg kutter av opptil 95-97 % av spam, og i tilfelle feil kan den trenes på nytt). Generelt er det alt som tyder på den utbredte bruken, som er det som skjer i praksis - nesten alle moderne spamfiltre er bygget på grunnlaget.

Metoden har imidlertid også en grunnleggende ulempe: den basert på antakelsen, hva noen ord er mer vanlige i spam, mens andre er mer vanlige i vanlige e-poster, og er ineffektiv hvis denne antagelsen er falsk. Men som praksis viser, er selv en person ikke i stand til å bestemme slik spam "med øyet" - bare etter å ha lest brevet og forstått dets betydning.

En annen, ikke grunnleggende, ulempe knyttet til implementeringen - metoden fungerer kun med tekst. Når de visste om denne begrensningen, begynte spammere å sette reklameinformasjon i bildet, mens teksten i brevet enten er fraværende eller ikke gir mening. Mot dette må man bruke enten tekstgjenkjenningsverktøy (en "dyr" prosedyre, den brukes bare når nødsituasjon), eller gamle filtreringsmetoder - "svartelister" og regulære uttrykk (siden slike bokstaver ofte har en stereotyp form).

se også

Notater

Linker

Litteratur

• Byrd Kiwi. Rev. Bayes' teorem. // Computerra magazine, 24. august 2001
• Paul Graham. En plan for spam. // Personlig nettside til Paul Graham.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Se hva "Bayes-formelen" er i andre ordbøker:

En formel som ser ut som: hvor a1, A2, ..., An er uforenlige hendelser, Den generelle ordningen for anvendelse av F. i. g.: hvis hendelse B kan oppstå i dekomp. forhold der n hypoteser A1, A2, ..., An er laget med sannsynligheter P (A1), ... kjent før eksperimentet, ... ... Geologisk leksikon

Lar deg beregne sannsynligheten for en hendelse av interesse gjennom de betingede sannsynlighetene for denne hendelsen, forutsatt visse hypoteser, samt sannsynlighetene for disse hypotesene. Formulering La det være sannsynlighetsrom, og hele gruppen i par ... ... Wikipedia

Lar deg beregne sannsynligheten for en hendelse av interesse gjennom de betingede sannsynlighetene for denne hendelsen, forutsatt visse hypoteser, samt sannsynlighetene for disse hypotesene. Formulering La et sannsynlighetsrom gis, og en komplett gruppe hendelser, for eksempel ... ... Wikipedia

- (eller Bayes formel) en av hovedteoremene i sannsynlighetsteori, som lar deg bestemme sannsynligheten for at en hendelse (hypotese) har skjedd i nærvær av kun indirekte bevis (data) som kan være unøyaktige ... Wikipedia

Bayes' teorem er en av hovedsetningene elementær teori sannsynlighet, som bestemmer sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe under forhold der bare noe delvis informasjon om hendelsene er kjent basert på observasjoner. I følge Bayes-formelen kan du ... ... Wikipedia

Bayes, Thomas Thomas Bayes pastor Thomas Bayes Fødselsdato: 1702 (1702) Fødested ... Wikipedia

Thomas Bayes pastor Thomas Bayes Fødselsdato: 1702 (1702) Fødested: London ... Wikipedia

Bayesiansk slutning er en av metodene for statistisk slutning, der Bayes-formelen brukes til å avgrense sannsynlighetsestimater av sannheten til hypoteser når bevis kommer. Bruken av Bayesiansk oppdatering er spesielt viktig i ... ... Wikipedia

Vil du forbedre denne artikkelen?: Finn og oppgi fotnoter for referanser til autoritative kilder som bekrefter det som er skrevet. Sett ned fotnoter, gi mer presise angivelser av kildene. Pere ... Wikipedia

Vil fangene forråde hverandre, følge sine egne egoistiske interesser, eller vil de forbli tause, og dermed minimere generell term? Prisoner's dilemma (Eng. Prisoner's dilemma, navnet "dilemma" er mindre vanlig ... Wikipedia

Bøker

• Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk i problemer: Mer enn 360 problemer og øvelser, Borzykh D. Den foreslåtte håndboken inneholder problemer med ulike kompleksitetsnivåer. Det er imidlertid fokus på oppgaver middels vanskelighetsgrad. Dette er med vilje gjort for å oppmuntre studenter til å...

Bayes' teorem er beskrevet i detalj i en egen artikkel. Dette er et fantastisk verk, men det har 15 000 ord. Selve essensen av teoremet er kort forklart i samme oversettelse av artikkelen til Kalid Azad.

• Resultatene av forskning og testing er ikke hendelser. Det er en metode for å diagnostisere kreft, men det er selve hendelsen - tilstedeværelsen av sykdommen. Algoritmen sjekker om meldingen inneholder spam, men hendelsen (spam kom virkelig til posten) må vurderes separat fra resultatet av arbeidet.
• Det er feil i testresultatene. Ofte avslører våre forskningsmetoder hva som ikke er (falsk positiv) og avslører ikke hva som er (falsk negativ).
• Ved hjelp av forsøk får vi sannsynlighetene for et visst utfall. Vi ser for ofte på testresultater for seg selv og tar ikke hensyn til metodefeil.
• Falske positive resultater forvrenger bildet. Anta at du prøver å oppdage et svært sjeldent fenomen (1 av 1 000 000). Selv om metoden din er nøyaktig, er det sannsynlig at det positive resultatet faktisk vil være falskt positivt.
• Det er mer praktisk å jobbe med naturlige tall. Bedre å si: 100 av 10 000, ikke 1%. Med denne tilnærmingen vil det være færre feil, spesielt ved multiplikasjon. La oss si at vi må jobbe videre med den 1 %. Å resonnere i prosent er klønete: «i 80 % av tilfellene av 1 % fikk et positivt utfall». Mye enklere informasjon oppfattes som følger: «i 80 tilfeller av 100 ble det observert et positivt utfall».
• Selv i vitenskapen er ethvert faktum bare et resultat av å bruke en eller annen metode. Fra et filosofisk ståsted vitenskapelig eksperiment er bare en test med en sannsynlig feil. Det er en metode som Kjemisk stoff eller et eller annet fenomen, og det er selve hendelsen - tilstedeværelsen av dette fenomenet. Våre testmetoder kan gi et falskt resultat, og alt utstyr har en iboende feil.

Bayes' teorem gjør testresultater til sannsynligheter for hendelser.

• Hvis vi vet sannsynligheten for en hendelse og sannsynligheten for falske positive og falske negativer, kan vi korrigere for målefeil.
• Teoremet korrelerer sannsynligheten for en hendelse med sannsynligheten for et bestemt utfall. Vi kan relatere Pr(A|X): sannsynligheten for en hendelse A gitt et utfall X, og Pr(X|A): sannsynligheten for et utfall X gitt en hendelse A.

Forstå metoden

Artikkelen referert til i begynnelsen av dette essayet diskuterer den diagnostiske metoden (mammogram) som oppdager brystkreft. La oss vurdere denne metoden i detalj.

• 1 % av alle kvinner har brystkreft (og følgelig blir 99 % ikke syke)
• 80 % av mammografiene oppdager sykdommen når den virkelig er det (og følgelig oppdager 20 % ikke)
• 9,6 % av studiene oppdager kreft når det ikke er noen (og dermed rapporterer 90,4 % korrekt et negativt resultat)

La oss nå lage en tabell som dette:

Hvordan jobbe med disse dataene?

• 1 % av kvinnene får brystkreft
• hvis pasienten har en sykdom, se i første kolonne: det er 80 % sjanse for at metoden ga riktig resultat, og 20 % sjanse for at resultatet av studien er feil (falsk negativ)
• hvis pasienten ikke har blitt diagnostisert med sykdommen, se på den andre kolonnen. Med en sannsynlighet på 9,6 % kan vi si at det positive resultatet av studien er feil, og med 90,4 % sannsynlighet kan vi si at pasienten er virkelig frisk.

Hvor nøyaktig er metoden?

La oss nå se på det positive testresultatet. Hva er sannsynligheten for at en person virkelig er syk: 80%, 90%, 1%?

La oss tenke:

• Det er et positivt resultat. Vi vil analysere alle mulige utfall: Resultatet som oppnås kan være både sant positivt og falskt positivt.
• Sannsynligheten for et sant positivt resultat er lik: sannsynligheten for å bli syk multiplisert med sannsynligheten for at testen faktisk oppdaget sykdommen. 1 % * 80 % = 0,008
• Sannsynligheten for et falskt positivt resultat er lik: sannsynligheten for at sykdommen ikke er tilstede, multiplisert med sannsynligheten for at metoden oppdaget sykdommen feil. 99 % * 9,6 % = 0,09504

Nå ser tabellen slik ut:

Hva er sannsynligheten for at en person virkelig er syk hvis et positivt mammografiresultat oppnås? Sannsynligheten for en hendelse er forholdet mellom antall mulige utfall av en hendelse til Total alle mulige utfall.

Hendelsessannsynlighet = Hendelsesutfall / Alle mulige utfall

Sannsynligheten for et sant positivt resultat er 0,008. Sannsynligheten for et positivt utfall er sannsynligheten for et sant positivt utfall + sannsynligheten for en falsk positiv.

(.008 + 0.09504 = .10304)

Så sannsynligheten for en sykdom med et positivt resultat av studien beregnes som følger: .008 / .10304 = 0,0776. Denne verdien er omtrent 7,8 %.

Det vil si at et positivt mammografiresultat bare betyr at sannsynligheten for å ha en sykdom er 7,8 %, og ikke 80 % (sistnevnte verdi er kun metodens estimerte nøyaktighet). Et slikt resultat virker uforståelig og merkelig til å begynne med, men du må ta hensyn til: metoden gir et falskt positivt resultat i 9,6% av tilfellene (som er ganske mye), så det vil være mange falske positive resultater i prøven. For en sjelden sykdom vil de fleste positive resultatene være falske positive.

La oss kjøre øynene over bordet og prøve å intuitivt forstå meningen med teoremet. Er vi 100 personer er det bare én av dem som har sykdommen (1 %). Hos denne personen, med 80% sannsynlighet, vil metoden gi et positivt resultat. Av de resterende 99 % vil 10 % ha positive resultater, noe som gir oss, grovt sett, 10 av 100 falske positive.Vurderer vi alle positive resultater, vil kun 1 av 11 være sanne. Således, hvis et positivt resultat oppnås, er sannsynligheten for sykdommen 1/11.

Ovenfor har vi regnet ut at denne sannsynligheten er lik 7,8 %, dvs. tallet er faktisk nærmere 1/13, men her klarte vi med enkle resonnementer å finne et grovt anslag uten kalkulator.

Bayes' teorem

La oss nå beskrive forløpet av våre tanker med en formel, som kalles Bayes' teorem. Denne teoremet lar deg korrigere resultatene av studien i samsvar med forvrengningen som falske positive resultater introduserer:

• Pr(A|X) = sannsynlighet for sykdom (A) med positivt resultat (X). Det er nettopp dette vi ønsker å vite: hva er sannsynligheten for en hendelse ved et positivt utfall. I vårt eksempel er det lik 7,8 %.
• Pr(X|A) = sannsynlighet for et positivt resultat (X) i tilfelle pasienten er virkelig syk (A). I vårt tilfelle er dette verdien av sann positiv - 80 %
• Pr(A) = sannsynlighet for å bli syk (1%)
• Pr(ikke A) = sannsynlighet for ikke å bli syk (99%)
• Pr(X|ikke A) = sannsynlighet for et positivt resultat av studien hvis det ikke er sykdom. Dette er verdien av falske positiver - 9,6%.

Vi kan konkludere med at for å få sannsynligheten for en hendelse, må du dele sannsynligheten for et sant positivt utfall med sannsynligheten for alle positive utfall. Nå kan vi forenkle ligningen:
Pr(X) er normaliseringskonstanten. Hun tjente oss godt: uten henne ville et positivt testresultat gi oss 80 % sjanse for en begivenhet.
Pr(X) er sannsynligheten for et positivt resultat, enten det er sant positivt i en pasientstudie (1 %) eller falskt positivt i en studie friske mennesker (99%).

I vårt eksempel er Pr(X) ganske stort antall fordi det er stor sannsynlighet for falske positive resultater.

Pr(X) gir et resultat på 7,8 %, som ved første øyekast virker motintuitivt.

Betydningen av teoremet

Vi tester for å finne ut tingenes sanne tilstand. Hvis testene våre er perfekte og nøyaktige, vil sannsynlighetene for prøvelser og sannsynlighetene for hendelser falle sammen. Alle positive resultater vil være virkelig positive, og negative resultater vil være negative. Men vi bor i virkelige verden. Og i vår verden gir tester feil resultater. Bayes' teorem tar hensyn til skjeve resultater, korrigerer feil, gjenskaper generell befolkning og finner sannsynligheten for et sant positivt resultat.

Spamfilter

Bayes' teorem er vellykket brukt i spamfiltre.

Vi har:

• hendelse A - i en spam-e-post
• resultatet av testen er innholdet i visse ord i brevet:

Filteret tar testresultater (innhold av visse ord i e-posten) i betraktning og forutsier om e-posten inneholder spam. Alle forstår at for eksempel ordet «Viagra» er mer vanlig i spam enn i vanlige e-poster.

Det svartelistebaserte spamfilteret har den ulempen at det ofte produserer falske positiver.

Det Bayesianske spamfilteret tar en målt og rimelig tilnærming: det fungerer med sannsynligheter. Når vi analyserer ordene i en e-post, kan vi beregne sannsynligheten for at e-posten er spam i stedet for å ta ja/nei-beslutninger. Hvis det er 99 % sjanse for at e-posten inneholder spam, så er e-posten faktisk spam.

Over tid trener filteret på et stadig større utvalg og oppdaterer sannsynlighetene. For eksempel sjekker avanserte filtre basert på Bayes' teorem mange ord på rad og bruker dem som data.

Ytterligere kilder:

Tagger: Legg til tagger

INFORMASJONSTEKNOLOGI, INFORMASJONSVITENSKAP OG LEDELSE

Om anvendeligheten av Bayes-formelen

DOI 10.12737/16076

A. I. Dolgov**

1Joint-Stock Company "Design Bureau for Radio Monitoring of Control, Navigation and Communication Systems", Rostov-on-Don, Den russiske føderasjonen

Om anvendeligheten av Bayes" formel*** A. I. Dolgov1**

1"Designbyrå for overvåking av kontroll-, navigasjons- og kommunikasjonssystemer" JSC, Rostov-on-Don, Russland

Emne denne studien er Bayes-formelen. Hensikten med dette arbeidet er å analysere og utvide omfanget av formelen. Hovedoppgaven er å studere publikasjoner viet til dette problemet, som gjorde det mulig å identifisere manglene ved bruken av Bayes-formelen, noe som førte til feil resultater. Den neste oppgaven er å konstruere modifikasjoner av Bayes-formelen som tar hensyn til ulike enkeltbevis og oppnå korrekte resultater. Og til slutt, på eksemplet med spesifikke innledende data, sammenlignes de uriktige resultatene oppnådd ved bruk av Bayes-formelen og de riktige resultatene beregnet ved bruk av de foreslåtte modifikasjonene. To metoder ble brukt i studien. Først en analyse av konstruksjonsprinsippene kjente uttrykk brukes til å skrive Bayes-formelen og dens modifikasjoner. For det andre ble det gjennomført en komparativ evaluering av resultatene (inkludert en kvantitativ). De foreslåtte modifikasjonene gir en bredere anvendelse av Bayes-formelen i teori og praksis, inkludert ved løsning anvendte oppgaver.

Nøkkelord Stikkord: betingede sannsynligheter, inkompatible hypoteser, kompatible og uforenlige bevis, normalisering.

Bayes-formelen er forskningsobjektet. Arbeidsmålet er å analysere formelanvendelsen og utvide omfanget av dens anvendelighet. Førsteprioritetsproblemet inkluderer identifisering av Bayes-formelens ulemper basert på studiet av relevante publikasjoner som fører til feil resultater. Den neste oppgaven er å konstruere Bayes"-formelmodifikasjonene for å gi en regnskapsføring av ulike enkeltindikasjoner for å oppnå korrekte resultater. Og til slutt blir de feilaktige resultatene oppnådd ved bruk av Bayes"-formelen sammenlignet med de riktige resultatene beregnet ved bruk av foreslåtte formelendringer ved eksemplet med de spesifikke innledende dataene. To metoder brukes i studier. Først utføres analysen av prinsippene for å konstruere de kjente uttrykkene som brukes til å registrere den Bayesianske formelen og dens modifikasjoner. Dernest utføres en komparativ evaluering av resultatene (inkludert den kvantitative). De foreslåtte modifikasjonene gir en bredere anvendelse av Bayes"-formelen både i teori og praksis, inkludert løsningen av de anvendte problemene.

Nøkkelord: betingede sannsynligheter, inkonsistente hypoteser, kompatible og inkompatible indikasjoner, normalisering.

Introduksjon. Bayes-formelen brukes i økende grad i teori og praksis, blant annet ved å løse anvendte problemer ved hjelp av datateknologi. Bruk av gjensidig uavhengige beregningsprosedyrer gjør det mulig å søke denne formelen når du løser problemer på multiprosessor-databehandlingssystemer, siden i dette tilfellet utføres den parallelle implementeringen på nivået generell ordning, og når du legger til neste algoritme eller klasse med oppgaver, er det ikke nødvendig å gjenutføre arbeidet med parallellisering.

Emnet for denne studien er anvendeligheten av Bayes-formelen for komparativ evaluering av a posteriori betingede sannsynligheter inkonsistente hypoteser med forskjellige enkeltbevis. Som analysen viser, i slike tilfeller, de normaliserte sannsynlighetene for inkompatible kombinerte hendelser som tilhører

S X<и ч и

ER eö OG ER X X<и H

«Arbeidet ble utført som en del av et initiativforskningsprosjekt.

** E-post: [e-postbeskyttet]

"" Forskningen er gjort innenfor rammen av den uavhengige FoU.

for ulike komplette grupper av arrangementer. Samtidig viser de sammenlignede resultatene seg å være utilstrekkelige for reelle statistiske data. Dette skyldes følgende faktorer:

Feil normalisering brukes;

Tilstedeværelsen eller fraværet av skjæringspunkter mellom de vurderte bevisene tas ikke i betraktning.

For å eliminere de identifiserte manglene, identifiseres tilfeller av anvendelighet av Bayes-formelen. Hvis den angitte formelen ikke er aktuelt, er problemet med å konstruere modifikasjonen løst, noe som sikrer at ulike enkeltbevis tas i betraktning for å oppnå korrekte resultater. På eksemplet med spesifikke innledende data ble en sammenlignende vurdering av resultatene utført:

Feil - oppnådd ved å bruke Bayes-formelen;

Riktig - beregnet ved å bruke den foreslåtte endringen.

Startposisjoner. Følgende utsagn er basert på prinsippet om å bevare sannsynlighetsforholdene: "Riktig behandling av sannsynlighetene for hendelser er bare mulig når man normaliserer ved å bruke en felles normaliserende divisor som sikrer likheten mellom forholdene til de normaliserte sannsynlighetene og forholdene til de tilsvarende normaliserte sannsynligheter». Dette prinsippet representerer det subjektive grunnlaget for sannsynlighetsteori, men reflekteres ikke ordentlig i moderne pedagogisk og vitenskapelig og teknisk litteratur.

Hvis dette prinsippet brytes, blir informasjon om muligheten for hendelsene som vurderes forvrengt. Resultatene som er oppnådd på grunnlag av forvrengt informasjon og beslutningene som er tatt, viser seg å være utilstrekkelige i forhold til de reelle statistiske dataene.

Følgende konsepter vil bli brukt i denne artikkelen:

En elementær hendelse er en hendelse som ikke er delbar i elementer;

Kombinert hendelse - en hendelse som representerer en eller annen kombinasjon av elementære hendelser;

Kompatible hendelser - hendelser som i noen tilfeller av en sammenlignende vurdering av deres sannsynligheter kan være uforenlige, og i andre tilfeller felles;

Inkompatible hendelser er hendelser som er uforenlige i alle tilfeller.

I følge sannser sannsynligheten P (U ^ E) for produktet av elementære hendelser U ^ og

E beregnes som et produkt av sannsynligheter P(Uk E) = P(E)P(U^E) . I denne forbindelse er Bayes-formelen ofte

skrives på formen Р(Ик\Е) = - - - , som beskriver definisjonen av a posteriori betingede sannsynligheter

P(U^E)-hypoteser Uk (k = 1,...n) basert på normaliseringen av a priori-sannsynligheter P(U^E) for de vurderte kombinerte uforenlige hendelser Og til E. Hver av disse hendelsene representerer et produkt, hvis faktorer er en av de vurderte hypotesene og en vurdert bevis. Samtidig vurderes alt

uIKE-hendelser (k = 1,...n) utgjør en komplett gruppe av uIKE-inkompatible kombinerte hendelser, pga.

med hvilken sannsynlighetene deres P(Ik E) skal normaliseres under hensyntagen til den totale sannsynlighetsformelen, ifølge hvilken

sverm P(E) = 2 P(Uk)P(E\Uk). Derfor er Bayes-formelen oftest skrevet i den mest brukte formen:

P(Uik) P(EIK)

P(Storbritannia \ E) \u003d -. (en)

^ kation av Bayes-formelen.

Analyse av funksjonene ved konstruksjonen av Bayes-formelen, rettet mot å løse anvendte problemer, samt eksempler

"og dens praktiske anvendelse tillater oss å trekke en viktig konklusjon angående valget av en komplett gruppe av kombinerte hendelser sammenlignet med tanke på graden av mulighet (som hver er et produkt av to elementære hendelser - en av hypotesene og bevisene som er tatt i betraktning). Et slikt valg gjøres subjektivt av beslutningstakeren, på grunnlag av objektive innledende data som er iboende i de typiske forholdene i situasjonen: typene og antallet hypoteser som er evaluert og bevisene som er spesifikt tatt i betraktning.

Usammenlignbare sannsynligheter for hypoteser med enkelt inkonsistente bevis. Bayes-formelen brukes tradisjonelt når det gjelder å bestemme posteriore betingede sannsynligheter som ikke er sammenlignbare når det gjelder graden av mulighet.

sannsynligheten for hypoteser H^ med enkelt inkompatible bevis, som hver kan "vises

bare i kombinasjon med noen av disse hypotesene. I dette tilfellet velges hele grupper og HkE, kombinert

badearrangementer i form av produkter, hvis faktorer er en av bevisene på c. (1=1,...,m) og en

av de n hypotesene som vurderes.

Bayes-formelen brukes til å sammenligne sannsynlighetene for de kombinerte hendelsene for hver slik komplett gruppe, som skiller seg fra andre komplette grupper, ikke bare i bevisene tatt i betraktning e, men også i generell sak typer hypoteser H ^ og (eller) deres antall n (se for eksempel)

RNky = P(Hk) P(eH)

% P(Hk) P(Er\Hk) k = 1

I et spesielt tilfelle for n = 2

RNk\E,~ P(Hk) P(EN)

% P(Hk) P(E,\H k) k = 1

og de oppnådde resultatene er korrekte, på grunn av overholdelse av prinsippet om bevaring av sannsynlighetsforhold:

P(H1E,) _ P(H 1)P(E,\H1) / P(H2) P(E,\H2) = P(H 1) P(E,\H1)

P(H 2 = % PW1!)

Subjektiviteten til valget av en komplett gruppe av kombinerte hendelser sammenlignet med hensyn til graden av mulighet (med

visse variable elementære hendelser) lar deg velge en komplett gruppe hendelser og Hk E ■ s

ved å negere den elementære hendelsen E ■ () og skrive Bayes-formelen (1 = 1,... ., m) som følger:

P(Hk \ E) -= - RNSh ±.

% P(Hk)P(E, Hk)

En slik formel er også anvendelig og gjør det mulig å få riktige resultater hvis det beregnes til

de normaliserte sannsynlighetene sammenlignes under de ulike hypotesene som vurderes, men ikke under ulike

autoriteter. ¡^

Sammenlignbare sannsynligheter for hypoteser under enkelt inkonsistente bevis. Å dømme etter kjente publica-^

brukes til en komparativ vurdering av a posteriori betingede sannsynligheter for hypoteser for ulike enkeltbevis.

autoriteter. Samtidig er det ikke oppmerksomhet på følgende faktum. I disse tilfellene sammenlignes de normaliserte ^-sannsynlighetene for inkompatible (inkompatible) kombinerte hendelser som tilhører forskjellige komplette grupper n av hendelser. I dette tilfellet er imidlertid Bayes-formelen ikke anvendelig, siden kombinerte hendelser som ikke er inkludert i en komplett gruppe sammenlignes, normaliseringen av sannsynlighetene for disse utføres ved å bruke forskjellige n normaliserende divisorer. De normaliserte sannsynlighetene for inkompatible (inkompatible) kombinerte hendelser kan bare sammenlignes hvis de tilhører den samme komplette gruppen av hendelser og normaliseres med ¡3 ved å bruke felles deler, lik summen sannsynligheter for alle normaliserte hendelser inkludert i den fullstendige §

Generelt kan følgende betraktes som inkompatible bevis:

To bevis (for eksempel bevis og fornektelse); ^

Tre bevis (for eksempel i en spillsituasjon, vinn, tap og uavgjort); ^

Fire attester (spesielt innen sport, seier, tap, uavgjort og omspilling), osv. ^

Tenk på et ganske enkelt eksempel (som tilsvarer eksemplet gitt i ) på bruk av Bayes-formelen ^ for å bestemme de bakre betingede sannsynlighetene for hypotesen H ^ for to uforenlige hendelser i

i form av bevis L]- og dets fornektelse L]

P(H, k) - ^ . ^ P(A^k" , (2)

] E P(Hk> P(A]\vk> k - 1

■ _ P(HkA ]) P(Hk> P(A ]\nk>

P(H,\A,) ----k-]-. (3)

V k\A]> P(A > n

] E P(Hk) P(A]\Hk) k -1

I tilfellene (2) og (3) sammenlignet subjektivt utvalgte hele grupper når det gjelder graden av mulighet for kom-

innlagte hendelser er henholdsvis settene og H til A og og H til A. Dette er tilfellet når formelen

k-1 k ] k-1 k ]

Bayes er uanvendelig, siden prinsippet om å bevare forholdene mellom sannsynligheter er brutt - likheten mellom forholdene mellom de normaliserte sannsynlighetene og forholdene til de tilsvarende normaliserte sannsynlighetene blir ikke observert:

P(H til A]] P(Hk) P(A]\Hk) / P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

P(Hk E P(Hk) P(A]\Hk)/ E P(Hk) P(A]\Hk) P(Hk) P(A] Hk)

k - 1 /k - 1 I henhold til prinsippet om bevaring av sannsynlighetsforhold, er korrekt behandling av hendelsessannsynligheter bare mulig når man normaliserer ved å bruke en felles normaliserende divisor lik summen av alle sammenlignede normaliserte uttrykk. Derfor

E P(Hk)P(A]\Hk) + E P(Hk)P(A]\Hk) - E P(Hk)[P(A]\Hk) + P(Hk) P(A]\Hk )] - EP (Hk) - 1. til -1 til -1 til -1 til -1

Dermed avsløres faktum at det er varianter av Bayes-formelen som skiller seg fra

kjent for mangelen på en normaliserende divisor:

A,) - P(H) P(A]\Hk), P(Hk A,) - P(H) P(A, Hk). (fire)

J til I ■> til

I dette tilfellet observeres likheten mellom forholdene mellom de normaliserte sannsynlighetene og forholdene til de tilsvarende normaliserte sannsynlighetene:

m^A^ P(Hk) P(A]\Hk)

A,) P(H k) P(A, Hk)

Basert på det subjektive valget av ikke-tradisjonelt registrerte komplette grupper av inkompatible kombinerte hendelser, er det mulig å øke antall modifikasjoner av Bayes-formelen som inkluderer bevis, så vel som ett eller annet antall av deres fornektelser. For eksempel den mest komplette gruppen av kombinerte arrangementer

u og Hk /"./ ^ u og Hk E\ tilsvarer (med tanke på fraværet av en normaliserende divisor) modifikasjonsformelen; =1 A"=1; \u003d 1 Bayesiansk

P(Hk\~) - P(Hk) ПЁ^^^

der en elementær hendelse i form av bevis E \ e II II / "/ er et av elementene i det angitte settet

o I fravær av fornektelser av bevis, det vil si når E\ \u003d // e og /"./,

^ P(H\E) P(Hk) P(E,\Hk)

E P(Hk) P(E \ Hk) k - 1

Dermed er modifikasjonen av Bayes-formelen, ment å bestemme de betingede sannsynlighetene for hypoteser sammenlignet med hensyn til graden av mulighet for enkelt inkompatible bevis, som følger. Telleren inneholder den normaliserte sannsynligheten for en av de kombinerte inkompatible hendelsene som danner en komplett gruppe, uttrykt som et produkt av a priori sannsynligheter, og nevneren inneholder summen av alle

normaliserte sannsynligheter. Samtidig blir prinsippet om å bevare sannsynlighetsforholdene observert - og resultatet som oppnås er riktig.

Sannsynligheter for hypoteser under enkelt kompatible bevis. Bayesianske formler brukes tradisjonelt for å bestemme de bakre betingede sannsynlighetene til hypotesene Hk (k = 1,...,n) sammenlignet med hensyn til graden av mulighet for ett av flere betraktede kompatible bevis EL (1 = 1,... ,m). Spesielt (se

for eksempel, og ), når man bestemmer de a posteriori betingede sannsynlighetene Р(Н 1Е^) og Р(Н 1 Е2) for hvert av de to kompatible bevisene Е1 og Е2, brukes formler for skjemaet:

P(H 1) PE\H1) P(Hj) P(E2Hj) P(H J E1) = --1- og P(H J E 2) =--1-. (5)

I P(Hk) PE\Hk) I P(Hk) P(E2 Hk)

k = 1 k = 1 Merk at dette er et annet tilfelle der Bayes-formelen ikke er anvendelig. Dessuten, i dette tilfellet, må to mangler elimineres:

Den illustrerte normaliseringen av sannsynlighetene for kombinerte hendelser er feil, på grunn av tilhørighet til forskjellige komplette grupper av hendelsene som vurderes;

De symbolske registreringene av de kombinerte hendelsene HkEx og HkE2 gjenspeiler ikke det faktum at de vurderte bevisene E x og E 2 er kompatible.

For å eliminere den siste ulempen kan en mer detaljert oversikt over kombinerte hendelser brukes, med tanke på det faktum at kompatible bevis E1 og E2 i noen tilfeller kan være uforenlige, og i andre felles:

HkE1 = HkE1 E2 og HkE2 = HkE 1E2+HkE1 E2, hvor E1 og E 2 er bevis motsatt av E1 og E 2.

Det er åpenbart at i slike tilfeller tas produktet av hendelser Hk E1E2 i betraktning to ganger. I tillegg kan det tas i betraktning igjen separat, men dette skjer ikke. Faktum er at i den aktuelle situasjonen er den vurderte situasjonen påvirket av tre sannsynlige uforenlige kombinerte hendelser: HkE1E2, HkE 1E2 og

Hk E1E2. Samtidig er det for beslutningstakeren av interesse kun å vurdere graden av mulighet

to inkompatible kombinerte hendelser: HkE1 E2 og HkE 1E2, som tilsvarer å vurdere kun g

enkelt bevis. ¡C

Når man konstruerer en modifikasjon av Bayes-formelen for å bestemme a posteriori betingede verdier,

Sannsynligheten for hypoteser med enkelt kompatible bevis må baseres på følgende. Person som godtar ^

beslutning, er vi interessert i nøyaktig hvilken elementær begivenhet, representert ved et eller annet bevis fra

antall vurdert faktisk skjedde under spesifikke forhold. Hvis en annen elementær hendelse oppstår i K

i form av et enkelt sertifikat kreves en ny vurdering av vedtaket, på grunn av resultatene av en sammenlignende vurdering av n

a posteriori betingede sannsynligheter for hypoteser med uunnværlig vurdering av andre forhold som påvirker den virkelige generelle

omgivelser. 3

La oss introdusere følgende notasjon: HkE- for én (og bare én) inkompatibel kombinert ko- ^

vesen, som består i at av m > 1 betraktes elementære hendelser Ei (i = 1,...,m) sammen med hypotesen "

Hk en elementær hendelse Ex skjedde og ingen andre skjedde elementære hendelser. se"

I det meste enkel sak to enkeltstående inkompatible bevis vurderes. Hvis bekreftet

venter på en av dem, den betingede sannsynligheten for bevis i generelt syn uttrykt med formelen l

P(Hk E-) = P(Ei\Hk) -P(EjE^Hk) = P(Ei\Hk) -P(M^Hk)P(M^Hk) , i = 1, -2 (6) g

Formelens gyldighet kan tydelig sees (fig. 1).

Ris. 1. Geometrisk tolkning av beregningen av P(Hk E-) for / = 1,...,2 Med betinget uavhengig bevis

P(K1K2\Hk) = p(E\Hk)P(E2\Hk),

derfor, tatt i betraktning (6)

P(Hk E-) = PE Hk) - P(E1 Hk) P(E21Hk), = 1,.,2. (7)

På samme måte er sannsynligheten P(HkE-) for en av de tre (/ = 1,...,3) uforenlige hendelsene HkE^ uttrykt med formelen

For eksempel, for i = 1:

p(HkEl) = P(Ei\Hk)-[ S P(Ei\Hk)P(Ej\Hk) ] + P(EiE2E3Hk)

p(HkE-) = P(E7|Hk)- P(E]E^Hk)- P(E7EjHk) + P(E]E2E3\Hk)

Gyldigheten av denne formelen er tydelig bekreftet av den geometriske tolkningen presentert i fig.

Ris. 2. Geometrisk tolkning av beregningen av P(Hk E-) for / = 1,...,3

Metode matematisk induksjon kan bevises generell formel for sannsynligheten Р(Нк Е-) for et hvilket som helst antall bevis e, 0=1,...,m):

P(HkE-) = P(E, Hk) - m PE\Hk) P(E]\Hk) + 1 P(E\Hk) P(E]\Hk) P(E^Hk) + ■■■ + (-1)

] = 1(] * 0 ],1 * 1

Ved å bruke sannsskriver vi den betingede sannsynligheten Р(НкЕ~-) i to former:

^ hvorfra det følger at

P(Hk E -) = P(Hk) P(E-|Hk) = P(E-) P(Hk)

E-)= P(HkE-) "" P(E-)

Ved å bruke totalsannsynlighetsformelen P(Ei) = S P(H£) P(Ei Hk) viser det seg at

E-) \u003d P (HkET)

2 P(HkE-) k \u003d 1

Ved å erstatte uttrykkene for Р(НкЕ-) i den resulterende formelen i form av høyre side av (8), får vi den endelige formen til formelen for å bestemme de a posteriori betingede sannsynlighetene for hypotesene H^ (k = 1, ...,n) for ett av flere ansett som inkompatible enkeltbevis: (E^\Hk)

P(Hk)[P(E,\Hk) - 2 P(E,\Hk) P(Ep k) +...+ (-1)m-1 P(P P(Erk)] P(H, E ~) =-] = 1(] * ■----(9)

k 1 p t t t

2 P(Hk) 2 [P(E,\Hk) - 2 P(EgHk) P(E^Hk) + ...+ (-1)m-1 P(P P (Ep k)]

k=1 , = 1 ) = 1() *,) ■! =1

Sammenlignende estimater. Regnes som ganske enkelt, men illustrerende eksempler, begrenset til analysen av de beregnede posteriore betingede sannsynlighetene for en av de to hypotesene med to enkeltbevis. 1. Sannsynligheter for hypoteser under uforenlige enkeltbevis. La oss sammenligne resultatene oppnådd ved å bruke Bayes-formlene (2) og (3), ved å bruke eksemplet med to bevis L. = L og L. = L med de første dataene:

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(L| H^ = 0,1; P(L\n 1) = 0,9; P(L\H2) = 0,6 P(A\H2) = 0,4 I betraktet som eksempler med hypotesen H1, fører de tradisjonelle formlene (2) og (3) til følgende resultater:

P(N.) P(A\No 0 07

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,28,

2 P(Hk) P(A\Hk)k = 1

R(N L R(A\N 1) 0 63

P (N, L) \u003d - 11 \u003d - \u003d 0,84,

2 P(Hk) P(A\Hk) k = 1

danner deler P (H 1 L) \u003d P (H ^ P (L \ Hp \u003d \u003d 0,07; P (H ^ A) \u003d P (H 1) P (n | H ^ \u003d 0,63. 1 av de foreslåtte formler med hensyn til:

R<Н)Р(АНА-Р(А|Н1) _ 0,07

og med de foreslåtte formlene (4) som ikke har normaliserende divisorer: «og

Når de foreslåtte formlene brukes, er forholdet mellom normaliserte sannsynligheter lik forholdet mellom normaliserte sannsynligheter: K

rm f P(H 1) P(A\H 1) A11 |

Ved bruk av kjente formler med samme forhold -;-=-= 0,11 normaliserte veroner

P(H 1) P(A\H 1) Ǥ

forhold angitt i tellerne, forholdet mellom de resulterende normaliserte sannsynlighetene: 2

P(H 1) P(A\H 1) P(A\H 1) 0,63

P (H1 L) \u003d 0,28 P (H 1 L) \u003d 0,84

Det vil si at prinsippet om bevaring av sannsynlighetsforhold ikke blir observert, og feil resultater oppnås. I dette tilfellet, £

i tilfelle av å bruke kjente formler, viser verdien av det relative avviket av forholdet (11) av de a posteriori betingede og betingede sannsynlighetene til hypotesene fra de riktige resultatene (10) å være svært signifikant, siden det er

°, 33 - °, P x 100 \u003d 242%.. I

2. Sannsynligheter for hypoteser under kompatible enkeltbevis. La oss sammenligne resultatene oppnådd ved å bruke Bayes-formlene (5) og den konstruerte korrekte modifikasjonen (9), ved å bruke følgende innledende data:

P(H1 = 0,7; P(H2) = 0,3; P(E1H1) = 0,4; P(E2H1) = 0,8; P(E1\H2) = 0,7; P(E^H2) = 0,2.113

I eksemplene under vurdering med hypotesen H 2 ved bruk av tradisjonelle formler (5):

P(H 2) P(E1 H 2) Q, 21

P(H 2E1) =-2-!-2- = - = Q,429,

p(Hk) p(El Hk) k = 1

P(H2) P(E2H2) Q,Q6

P(H 2 E 2) \u003d -2-- \u003d - \u003d 0,097.

I P(Hk) P(E 2 Hk) k = 1

Ved bruk av den foreslåtte formelen (9), med tanke på (7), P(H

P(H2) 0,168

E.) ----- 0,291,

Z P(Hk) Z "

P(H2) 0,018

E0) ----- 0,031.

Z P(Hk) Z k - 1 i - 1

Når du bruker de foreslåtte korrekte formlene, på grunn av de samme nevnerne, vil forholdet P(H2) -

Normaliserte sannsynligheter, angitt i tellere, er lik forholdet

P(H2)

normaliserte sannsynligheter:

Det vil si at prinsippet om bevaring av sannsynlighetsforhold overholdes.

Imidlertid, i tilfelle av å bruke kjente formler med forholdet mellom de normaliserte sannsynlighetene angitt i tellerne

P (H 2) P (E1 \ H 2) _ 0,21 _3 5 P (H 2) P (E 2 H 2) 0,06,

forholdet mellom normaliserte sannsynligheter:

P (H 2 \u003d 0,429 \u003d 4,423. (13)

P(H2\e2) 0,097

Det vil si at prinsippet om bevaring av sannsynlighetsforhold, som før, ikke respekteres. I dette tilfellet, når det gjelder å bruke de kjente formlene, viser verdien av det relative avviket av forholdet (13) av de a posteriori betingede sannsynlighetene til hypotesene fra de riktige resultatene (12) seg også å være veldig signifikant:

9,387 4,423 x 100 = 52,9 %.

Konklusjon. En analyse av konstruksjonen av spesifikke formelrelasjoner som implementerer Bayes-formelen og dens modifikasjoner, foreslått for å løse praktiske problemer, tillater oss å si følgende. Hele gruppen av sammenlignbare 2 mulige kombinerte hendelser kan velges subjektivt av beslutningstakeren. Dette valget er basert på de vurderte objektive startdataene, karakteristiske for en typisk situasjon (spesifikke typer og antall elementære hendelser - estimerte hypoteser og bevis). Av praktisk interesse er det subjektive valget av andre alternativer for hele gruppen sammenlignet med hensyn til graden av mulighet.

kombinerte hendelser - dermed gis en betydelig variasjon av formelforhold når man konstruerer ikke-tradisjonelle varianter av modifikasjoner av Bayes-formelen. Dette kan igjen være grunnlaget for å forbedre den matematiske støtten for programvareimplementering, samt utvide omfanget av nye formelrelasjoner for å løse anvendte problemer.

Bibliografisk liste

1. Gnedenko, B. V. En elementær introduksjon til sannsynlighetsteorien / B. V. Gnedenko, A. Ya. Khinchin. - 114 New York: Dover Publications, 1962. - 144 rubler.

2. Venttsel, E. S. Sannsynlighetsteori / E. S. Venttsel. - 10. utg., slettet. - Moskva: Higher School, 2006. - 575 s.

3. Andronov. A. M., sannsynlighetsteori og matematikk statistikk/ A. M. Andronov, E. A. Kopytov, L. Ya. Gringlaz. - St. Petersburg: Peter, 2004. - 481 s.

4. Zmitrovich, A. I. Intelligente informasjonssystemer / A. I. Zmitrovich. - Minsk: TetraSistems, 1997. - 496 s.

5. Chernorutsky, I. G. Beslutningsmetoder / I. G. Chernorutsky. - St. Petersburg: BHV-Petersburg, 2005. - 416 s.

6 Naylor, C.-M. Bygg ditt eget ekspertsystem / C.-M. Naylor. - Chichester: John Wiley & Sons, 1987. - 289 s.

7. Romanov, V.P. Intelligente informasjonssystemer i økonomien / V.P. Romanov. - 2. utg., slettet.

Moskva: Eksamen, 2007. - 496 s.

8. Økonomisk effektivitet og konkurranseevne / D. Yu. Muromtsev [og andre]. - Tambov: Tambov Publishing House. stat tech. un-ta, 2007.- 96 s.

9. Dolgov, A. I. Korrekte modifikasjoner av Bayes-formelen for parallell programmering / A. I. Dolgov // Superdatamaskinteknologier: materialer fra den tredje all-russiske. vitenskapelig-teknisk konf. - Rostov ved Don. - 2014.- Vol. 1 - S. 122-126.

10. A. I. Dolgov, Om riktigheten av modifikasjoner av Bayes-formelen / A. I. Dolgov, Vestnik Don. stat tech. universitet

2014. - V. 14, nr. 3 (78). - S. 13-20.

1. Gnedenko, B.V., Khinchin, A.Ya. En elementær innføring i sannsynlighetsteorien. New York: Dover Publications, 1962, 144 s.

2 Ventsel, E.S. Teoriya veroyatnostey. 10. utg., reimpr. Moskva: Vysshaya shkola, 2006, 575 s. (på russisk).

3. Andronov, A.M., Kopytov, E.A., Gringlaz, L.Y. Teoriya veroyatnostey og matematicheskaya statistikk. St. Petersburg: Piter, 2004, 481 s. (på russisk).

4. Zmitrovich, A.1. Intellektuell "nye informatsionnye sistemy. Minsk: TetraSistems, 1997, 496 s. (på russisk).

5. Chernorutskiy, I.G. Metodikk prinyatiya resheniy. St. Petersburg: BKhV-Peterburg, 2005, 416 s. (på russisk).

6 Naylor, C.-M. Bygg ditt eget ekspertsystem. Chichester: John Wiley & Sons, 1987, 289 s.

7. Romanov, V.P. Intellektuell "nye informatsionnye sistemy v ekonomike. 2. utg., reimpr. Moskva: Ekzamen, 2007, 496 s. (på russisk).

8. Muromtsev, D.Y., et al. Ekonomicheskaya effektivnost" i konkurentosposobnost". Tambov: Izd-vo Tamb. gos. teknologi un-ta, 2007, 96 s. (på russisk). IB

9. Dolgov, A1. Korrektnye modifikatsii formuly Bayesa dlya parallell "nogo programmirovaniya. Superkomp" yuternye tekhnologii: mat-ly 3-y vseros. vitenskapelig-teknologi. konf. Rostov-ved-Don, 2014, vol. 1, s. 122-126 (på russisk). ^

10. Dolgov, A1. O korrektnosti modifikatsiy formuly Bayesa. ^ Vestnik fra DSTU, 2014, vol. 14, nei. 3 (78), s. 13-20 (på russisk). *

Hvis arrangementet MEN kan bare skje når en av hendelsene som dannes komplett gruppe av uforenlige hendelser , deretter sannsynligheten for hendelsen MEN beregnet med formelen

Denne formelen kalles total sannsynlighetsformel .

Vurder igjen den komplette gruppen av uforenlige hendelser , hvis sannsynligheter for forekomst er . Begivenhet MEN kan bare skje sammen med noen av hendelsene som vi vil ringe hypoteser . Deretter i henhold til total sannsynlighetsformelen

Hvis arrangementet MEN skjedde, kan det endre sannsynlighetene til hypotesene .

I følgeremet

.

Tilsvarende for andre hypoteser

Den resulterende formelen kalles Bayes formel (Bayes formel ). Sannsynlighetene til hypotesene kalles bakre sannsynligheter , mens - tidligere sannsynligheter .

Eksempel. Butikken mottok nye produkter fra tre virksomheter. Den prosentvise sammensetningen av disse produktene er som følger: 20% - produkter fra den første bedriften, 30% - produkter fra den andre bedriften, 50% - produkter fra den tredje bedriften; videre, 10% av produktene til den første bedriften av høyeste karakter, ved den andre bedriften - 5% og ved den tredje - 20% av produktene av høyeste karakter. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig kjøpt nytt produkt vil være av høyeste kvalitet.

Løsning. Angi med PÅ begivenheten som består i det faktum at premiumproduktet vil bli kjøpt, la oss betegne hendelsene som består i kjøp av produkter som tilhører henholdsvis den første, andre og tredje virksomheten.

Vi kan bruke den totale sannsynlighetsformelen, og i vår notasjon:

Ved å erstatte disse verdiene i den totale sannsynlighetsformelen får vi den ønskede sannsynligheten:

Eksempel. En av de tre skytterne blir kalt til skuddlinjen og avfyrer to skudd. Sannsynligheten for å treffe målet med ett skudd for den første skytteren er 0,3, for den andre - 0,5; for den tredje - 0,8. Målet er ikke truffet. Finn sannsynligheten for at skuddene ble avfyrt av den første skytteren.

Løsning. Tre hypoteser er mulige:

Den første skytteren blir kalt til skuddlinjen,

Den andre skytteren blir kalt til skuddlinjen,

En tredje skytter ble kalt til skuddlinjen.

Siden det er like mulig å kalle en hvilken som helst skytter til skuddlinjen

Som et resultat av forsøket ble hendelse B observert - etter at skuddene ble avfyrt, ble ikke målet truffet. De betingede sannsynlighetene for denne hendelsen under hypotesene laget er:

ved å bruke Bayes-formelen finner vi sannsynligheten for hypotesen etter eksperimentet:

Eksempel. På tre automatiske maskiner bearbeides deler av samme type, som kommer etter bearbeiding på felles transportbånd. Den første maskinen gir 2% avslag, den andre - 7%, den tredje - 10%. Produktiviteten til den første maskinen er 3 ganger større enn produktiviteten til den andre, og den tredje er 2 ganger mindre enn den andre.

a) Hva er defektraten på samlebåndet?

b) Hva er proporsjonene mellom delene i hver maskin blant de defekte delene på transportøren?

Løsning. La oss ta en del tilfeldig fra samlebåndet og vurdere hendelse A - delen er defekt. Det er assosiert med hypoteser om hvor denne delen ble maskinert: - en tilfeldig valgt del ble maskinert på den th maskinen.

Betingede sannsynligheter (i tilstanden til problemet er de gitt i form av prosenter):

Avhengighetene mellom maskinytelsene betyr følgende:

Og siden hypotesene utgjør en komplett gruppe, så .

Etter å ha løst det resulterende ligningssystemet, finner vi: .

a) Den totale sannsynligheten for at en del tatt tilfeldig fra samlebåndet er defekt:

Med andre ord, i massen av deler som kommer fra samlebåndet, er defekten 4%.

b) La det være kjent at en del tatt tilfeldig er defekt. Ved å bruke Bayes-formelen finner vi de betingede sannsynlighetene til hypotesene:

Således, i den totale massen av defekte deler på transportøren, er andelen av den første maskinen 33%, den andre - 39%, den tredje - 28%.

Praktiske oppgaver

Øvelse 1

Løse problemer i hoveddelene av sannsynlighetsteori

Målet er å få praktiske ferdigheter i å løse problemer på

deler av sannsynlighetsteori

Forberedelse til den praktiske oppgaven

For å bli kjent med det teoretiske materialet om dette emnet, for å studere innholdet i det teoretiske, samt de relevante delene i litteraturen

Oppdragsutførelsesordre

Løs 5 problemer i henhold til nummeret på oppgavealternativet gitt i tabell 1.

Innledende dataalternativer

Tabell 1

	oppgavenummer

Sammensetningen av rapporten for oppgave 1

5 løste oppgaver i henhold til variantnummeret.

Oppgaver for selvstendig løsning

1.. Er følgende grupper av hendelser tilfeller: a) erfaring - kaste en mynt; utviklingen: A1- utseendet til våpenskjoldet; A2- utseendet til et tall; b) erfaring - kaste to mynter; utviklingen: I 1- utseendet til to våpenskjold; I 2 - utseendet til to sifre; AT 3- utseendet til ett våpenskjold og ett nummer; c) erfaring - å kaste en terning; utviklingen: C1 - utseendet til ikke mer enn to punkter; C2 - utseendet til tre eller fire punkter; C3 - utseendet til minst fem punkter; d) erfaring - et skudd mot et mål; utviklingen: D1- truffet; D2- gå glipp av; e) erfaring - to skudd mot skiven; utviklingen: E0- ikke et eneste treff; E1- ett treff; E2- to treff; f) erfaring - trekke to kort fra kortstokken; utviklingen: F1- utseendet til to røde kort; F2- utseendet til to svarte kort?

2. Urne A inneholder hvit og B svarte kuler. En ball trekkes tilfeldig fra urnen. Finn sannsynligheten for at denne ballen er hvit.

3. I urne A hvit sand B svarte kuler. En ball tas ut av urnen og settes til side. Denne ballen er hvit. Etter det tas en ny ball fra urnen. Finn sannsynligheten for at denne ballen også er hvit.

4. I urne A hvite og B svarte kuler. Den ene ballen ble tatt ut av urnen og lagt til side uten å se. Etter det ble en ny ball tatt fra urnen. Han viste seg å være hvit. Finn sannsynligheten for at den første ballen som legges til side også er hvit.

5. Fra en urne som inneholder A hvite og B svarte kuler, ta ut en etter en alle kulene unntatt én. Finn sannsynligheten for at den siste ballen som er igjen i urnen er hvit.

6. Fra urnen hvor A hvite kuler og B svart, ta ut på rad alle kulene i den. Finn sannsynligheten for at den andre kulen som trekkes er hvit.

7. I en urne A av hvite og B av svarte kuler (EN > 2). To kuler tas ut av urnen på en gang. Finn sannsynligheten for at begge kulene er hvite.

8. Hvit og B i urne A svarte kuler (A > 2, B > 3). Fem kuler tas ut av urnen på en gang. Finn sannsynlighet R to av dem vil være hvite og tre vil være svarte.

9. I et parti bestående av X produkter, det er Jeg defekt. Fra partiet er valgt for kontroll I Produkter. Finn sannsynlighet R hvem av dem nøyaktig J produktene vil være defekte.

10. En terning kastes én gang. Finn sannsynligheten for følgende hendelser: MEN - utseendet til et jevnt antall poeng; PÅ- utseendet på minst 5 poeng; FRA- utseende ikke mer enn 5 poeng.

11. En terning kastes to ganger. Finn sannsynlighet R at like mange poeng vises begge gangene.

12. To terninger kastes samtidig. Finn sannsynlighetene for følgende hendelser: MEN- summen av de tapte poengene er lik 8; PÅ- produktet av de droppede punktene er lik 8; FRA- summen av de tapte poengene er større enn produktet deres.

13. To mynter kastes. Hvilken av følgende hendelser er mest sannsynlig: MEN - mynter vil ligge på samme sider; AT - Ligger myntene på forskjellige sider?

14. I urne A hvite og B svarte kuler (EN > 2; B > 2). To kuler tas ut av urnen samtidig. Hvilken hendelse er mer sannsynlig: MEN- baller av samme farge; AT - baller i forskjellige farger?

15. Tre spillere spiller kort. Hver av dem får 10 kort og to kort er igjen i trekningen. En av spillerne ser at han har 6 kort av en diamantfarge og 4 kort av en ikke-diamantfarge. Han kaster to av de fire kortene og tar trekningen. Finn sannsynligheten for at han kjøper to diamanter.

16. Fra en urne som inneholder P nummererte baller, ta tilfeldig ut en etter en alle ballene i den. Finn sannsynligheten for at tallene på de trukket kulene vil være i rekkefølge: 1, 2,..., P.

17. Samme urne som i forrige oppgave, men etter å ha tatt ut hver ball settes inn igjen og blandes med andre, og nummeret skrives ned. Finn sannsynligheten for at den naturlige tallrekkefølgen blir skrevet ned: 1, 2,..., n.

18. En hel kortstokk (52 ark) deles tilfeldig i to like pakker med 26 ark. Finn sannsynlighetene for følgende hendelser: MEN - i hver av pakkene vil det være to ess; PÅ- i en av pakkene vil det ikke være ess, og i den andre - alle fire; Synd en av pakkene vil ha ett ess, og den andre pakken vil ha tre.

19. 18 lag deltar i basketballmesterskapet, hvorfra to grupper på 9 lag hver er tilfeldig dannet. Det er 5 lag blant deltakerne i konkurransen

ekstra klasse. Finn sannsynlighetene for følgende hendelser: MEN - alle ekstraklasselag vil falle inn i samme gruppe; PÅ- to ekstraklasselag kommer inn i en av gruppene, og tre - inn i den andre.

20. Tall skrives på ni kort: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. To av dem tas ut tilfeldig og legges på bordet i rekkefølgen de vises, deretter leses det resulterende tallet , for eksempel 07 (syv), 14 ( fjorten) osv. Finn sannsynligheten for at tallet er partall.

21. Tall skrives på fem kort: 1, 2, 3, 4, 5. To av dem, etter hverandre, tas ut. Finn sannsynligheten for at tallet på det andre kortet er større enn tallet på det første.

22. Samme spørsmål som i oppgave 21, men det første kortet etter å ha blitt trukket settes tilbake og blandes med resten, og tallet på det skrives ned.

23. I urne A hvit, B svarte og C røde kuler. En etter en tas alle kulene i den ut av urnen og fargene deres er skrevet ned. Finn sannsynligheten for at hvit vises før svart i denne listen.

24. Det er to urner: i den første A hvite og B svarte baller; i den andre C hvit og D svart. En ball trekkes fra hver urne. Finn sannsynligheten for at begge kulene er hvite.

25. Under betingelsene i oppgave 24, finn sannsynligheten for at de trukket kulene vil ha forskjellig farge.

26. Det er syv reir i trommelen til en revolver, fem av dem er lastet med patroner, og to står tomme. Trommelen settes i rotasjon, som et resultat av at en av fatningene er tilfeldig plassert mot tønnen. Etter det trykkes avtrekkeren inn; hvis cellen var tom, skjer ikke skuddet. Finn sannsynlighet R det faktum at etter å ha gjentatt et slikt eksperiment to ganger på rad, vil vi ikke skyte begge gangene.

27. Under de samme forholdene (se Oppgave 26), finn sannsynligheten for at skuddet vil skje begge gangene.

28. Det er en A i urnen; baller merket 1, 2, ..., til Fra urnen Jeg når en ball er trukket (JEG<к), nummeret på ballen skrives ned og ballen settes tilbake i urnen. Finn sannsynlighet R at alle registrerte numre vil være forskjellige.

29. Ordet "bok" er sammensatt av fem bokstaver i det delte alfabetet. Et barn som ikke kunne lese spredte disse bokstavene og satte dem deretter sammen i tilfeldig rekkefølge. Finn sannsynlighet R det faktum at han igjen fikk ordet «bok».

30. Ordet "ananas" består av bokstavene i det delte alfabetet. Et barn som ikke kunne lese spredte disse bokstavene og satte dem deretter sammen i tilfeldig rekkefølge. Finn sannsynlighet R det faktum at han igjen har ordet "ananas

31. Fra en full kortstokk (52 ark, 4 farger) tas flere kort ut på en gang. Hvor mange kort må tas ut for å si med en sannsynlighet større enn 0,50 at det blant dem vil være kort i samme sort?

32. N folk sitter tilfeldig ved et rundt bord (N > 2). Finn sannsynlighet R at to faste ansikter MEN og PÅ vil være i nærheten.

33. Det samme problemet (se 32), men tabellen er rektangulær, og N personen sitter tilfeldig langs en av sidene.

34. Tall fra 1 til N. Av disse N to fat er tilfeldig valgt. Finn sannsynligheten for at tall mindre enn k er skrevet på begge fatene (2

35. Tall fra 1 til N. Av disse N to fat er tilfeldig valgt. Finn sannsynligheten for at en av tønnene har et tall større enn k , og på den andre - mindre enn k . (2

36. Batteri ut M våpen som skyter mot en gruppe bestående av N mål (M< N). Kanonene velger sine mål sekvensielt, tilfeldig, forutsatt at ingen to kanoner kan skyte mot samme mål. Finn sannsynlighet R det faktum at mål med nummer 1, 2, ..., vil bli skutt mot M.

37.. Batteri bestående av til våpen, skyter mot en gruppe bestående av Jeg fly (til< 2). Hvert våpen velger sitt mål tilfeldig og uavhengig av de andre. Finn sannsynligheten for at alle til våpen vil skyte mot samme mål.

38. Under betingelsene i forrige oppgave, finn sannsynligheten for at alle våpen vil skyte mot forskjellige mål.

39. Fire baller er tilfeldig spredt over fire hull; hver ball treffer et eller annet hull med samme sannsynlighet og uavhengig av de andre (det er ingen hindringer for å få flere baller i samme hull). Finn sannsynligheten for at det vil være tre baller i ett av hullene, en - i det andre, og ingen baller i de to andre hullene.

40. Masha kranglet med Petya og vil ikke kjøre med ham i samme buss. Det går 5 busser fra vandrerhjemmet til instituttet fra 7 til 8. De som ikke har tid til disse bussene kommer for sent til foredraget. På hvor mange måter kan Masha og Petya komme seg til instituttet på forskjellige busser og ikke komme for sent til forelesningen?

41. Det er 3 analytikere, 10 programmerere og 20 ingeniører i informasjonsteknologiavdelingen i banken. For overtid på ferie skal avdelingsleder tildele en ansatt. På hvor mange måter kan dette gjøres?

42. Lederen for sikkerhetstjenesten i banken skal daglig plassere 10 vakter fordelt på 10 stillinger. På hvor mange måter kan dette gjøres?

43. Den nye presidenten i banken må utnevne 2 nye visepresidenter blant de 10 direktørene. På hvor mange måter kan dette gjøres?

44. En av de stridende partene fanget 12, og den andre - 15 fanger. På hvor mange måter kan 7 krigsfanger byttes ut?

45. Petya og Masha samler på videoplater. Petya har 30 komedier, 80 actionfilmer og 7 melodramaer, Masha har 20 komedier, 5 actionfilmer og 90 melodramaer. På hvor mange måter kan Petya og Masha utveksle 3 komedier, 2 actionfilmer og 1 melodrama?

46. ​​Under betingelsene i oppgave 45, på hvor mange måter kan Petya og Masha utveksle 3 melodramaer og 5 komedier?

47. Under betingelsene for problem 45, på hvor mange måter kan Petya og Masha bytte ut 2 actionfilmer og 7 komedier.

48. En av de stridende partene fanget 15, og den andre - 16 fanger. På hvor mange måter kan 5 krigsfanger byttes ut?

49. Hvor mange biler kan registreres i 1 by hvis nummeret har 3 siffer og 3 bokstaver )?

50. En av de stridende partene fanget 14, og den andre - 17 fanger. På hvor mange måter kan 6 krigsfanger byttes ut?

51. Hvor mange forskjellige ord kan dannes ved å omorganisere bokstavene i ordet "mor"?

52. Det er 3 røde og 7 grønne epler i en kurv. Ett eple er tatt ut av det. Finn sannsynligheten for at den blir rød.

53. Det er 3 røde og 7 grønne epler i en kurv. Ett grønt eple ble tatt ut av det og satt til side. Deretter tas 1 eple til ut av kurven. Hva er sannsynligheten for at dette eplet er grønt?

54. I et parti på 1000 varer er 4 defekte. For kontroll velges et parti på 100 produkter. Hva er sannsynligheten for LLP for at kontrollpartiet ikke vil være defekt?

56. På 80-tallet var sportloto 5 av 36-spillet populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 5 tall fra 1 til 36 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren ikke gjettet noe tall.

57. På 80-tallet var spillet "sportloto 5 av 36" populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 5 tall fra 1 til 36 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren gjettet ett tall.

58. På 80-tallet var sportloto 5 av 36-spillet populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 5 tall fra 1 til 36 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren gjettet 3 tall.

59. På 80-tallet var sportloto 5 av 36-spillet populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 5 tall fra 1 til 36 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren ikke gjettet alle 5 tallene.

60. På 80-tallet var sportloto 6 av 49-spillet populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 6 tall fra 1 til 49 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren gjettet 2 tall.

61. På 80-tallet var spillet "sportloto 6 av 49" populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 6 tall fra 1 til 49 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren ikke gjettet noe tall.

62. På 80-tallet var spillet "sportloto 6 av 49" populært i USSR. Spilleren noterte på kortet 6 tall fra 1 til 49 og mottok premier av forskjellige valører hvis han gjettet et annet antall tall annonsert av trekningskommisjonen. Finn sannsynligheten for at spilleren gjettet alle 6 tallene.

63. I et parti på 1000 varer er 4 defekte. For kontroll velges et parti på 100 produkter. Hva er sannsynligheten for LLP for at bare 1 defekt vil være i kontrollpartiet?

64. Hvor mange forskjellige ord kan dannes ved å omorganisere bokstavene i ordet "bok"?

65. Hvor mange forskjellige ord kan dannes ved å omorganisere bokstavene i ordet "ananas"?

66. 6 personer gikk inn i heisen, og vandrerhjemmet har 7 etasjer. Hva er sannsynligheten for at alle 6 personer går ut i samme etasje?

67. 6 personer gikk inn i heisen, bygget har 7 etasjer. Hva er sannsynligheten for at alle 6 personer går ut i forskjellige etasjer?

68. Under et tordenvær oppsto det et ledningsbrudd på strekningen mellom 40 og 79 km av kraftledningen. Forutsatt at bruddet er like mulig når som helst, finn sannsynligheten for at bruddet skjedde mellom 40. og 45. kilometer.

69. På den 200 kilometer lange delen av gassrørledningen er det en gasslekkasje mellom kompressorstasjoner A og B, som er like mulig på et hvilket som helst punkt i rørledningen. Hva er sannsynligheten for at lekkasjen oppstår innenfor 20 km fra A

70. På den 200 kilometer lange delen av gassrørledningen oppstår det en gasslekkasje mellom kompressorstasjon A og B, som er like mulig på ethvert punkt i rørledningen. Hva er sannsynligheten for at lekkasjen er nærmere A enn B?

71. Radaren til trafikkpolitiinspektøren har en nøyaktighet på 10 km/t og runder til nærmeste side. Hva skjer oftere - avrunding til fordel for sjåføren eller kontrolløren?

72. Masha bruker 40 til 50 minutter på vei til instituttet, og enhver tid i dette intervallet er like sannsynlig. Hva er sannsynligheten for at hun vil bruke på veien fra 45 til 50 minutter.

73. Petya og Masha ble enige om å møtes ved monumentet til Pushkin fra 12 til 13 timer, men ingen kunne angi nøyaktig ankomsttid. De ble enige om å vente på hverandre i 15 minutter. Hva er sannsynligheten for at de møter?

74. Fiskere fanget 120 fisk i dammen, 10 av dem ble ringmerket. Hva er sannsynligheten for å fange en ringmerket fisk?

75. Fra en kurv som inneholder 3 røde og 7 grønne epler, ta ut alle eplene etter tur. Hva er sannsynligheten for at det andre eplet er rødt?

76. Fra en kurv som inneholder 3 røde og 7 grønne epler, ta ut alle eplene etter tur. Hva er sannsynligheten for at det siste eplet er grønt?

77. Studenter mener at av 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha bytter på å trekke én billett hver. Hva er sannsynligheten for at Masha fikk en "god" billett?

78. Studentene mener at av 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha bytter på å trekke én billett hver. Hva er sannsynligheten for at de begge fikk en "god" billett?

79. Masha kom til eksamen og visste svarene på 20 spørsmål av programmet av 25. Professoren stiller 3 spørsmål. Hva er sannsynligheten for at Masha svarer på 3 spørsmål?

80. Masha kom til eksamen og visste svarene på 20 spørsmål av programmet av 25. Professoren stiller 3 spørsmål. Hva er sannsynligheten for at Masha ikke svarer på noen av spørsmålene?

81. Masha kom til eksamen og visste svarene på 20 spørsmål av programmet av 25. Professoren stiller 3 spørsmål. Hva er sannsynligheten for at Masha svarer på ett spørsmål?

82. Statistikken over banklånsforespørsler er som følger: 10% - stat. myndigheter, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sannsynligheten for mislighold av lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor stor andel av lånene kan ikke refunderes?

83. sannsynligheten for at den ukentlige omsetningen til en iskremhandler vil overstige 2000 rubler. er 80 % i klart vær, 50 % i delvis skyet og 10 % i regnvær. Hva er sannsynligheten for at omsetningen vil overstige 2000 rubler. hvis sannsynligheten for klart vær er 20%, og delvis overskyet og regn - 40% hver.

84. Hvit (b) og C er i urne A svarte (h) kuler. To kuler tas ut av urnen (samtidig eller sekvensielt). Finn sannsynligheten for at begge kulene er hvite.

85. I urne A hvite og B

86. I urne A hvite og B

87. I urne A hvite og B svarte kuler. En ball tas ut av urnen, fargen markeres og ballen returneres til urnen. Etter det tas en ny ball fra urnen. Finn sannsynligheten for at disse kulene vil ha forskjellige farger.

88. Det er en boks med ni nye tennisballer. Tre baller tas for spillet; etter kampen blir de satt tilbake. Ved valg av baller skiller de ikke mellom spilte og uspilte baller. Hva er sannsynligheten for at det etter tre kamper ikke vil være uspilte baller i boksen?

89. Forlater leiligheten, N hver gjest tar på seg sine egne kalosjer;

90. Forlater leiligheten, N gjester med samme skostørrelse tar på seg kalosjer i mørket. Hver av dem kan skille høyre kalosj fra venstre, men kan ikke skille sin egen fra andres. Finn sannsynligheten for at hver gjest tar på seg kalosjer som tilhører ett par (kanskje ikke sine egne).

91. Under betingelsene for oppgave 90, finn sannsynligheten for at alle vil dra i kalosjen sin hvis gjestene ikke kan skille høyre kalosjer fra venstre og bare ta de to første kalosjene som kommer over.

92. Det pågår skyting mot flyet, hvor de sårbare delene er to motorer og cockpiten. For å treffe (deaktivere) flyet er det nok å treffe begge motorene sammen eller cockpiten. Under gitte avfyringsforhold er sannsynligheten for å treffe den første motoren p1 andre motor p2, cockpit s3. Deler av flyet påvirkes uavhengig av hverandre. Finn sannsynligheten for at flyet blir truffet.

93. To skyttere, uavhengig av hverandre, avfyrer to skudd (hver mot sitt eget mål). Sannsynlighet for å treffe målet med ett skudd for den første skytteren p1 for den andre s2. Vinneren av konkurransen er skytteren, hvor det vil være flere hull i målet. Finn sannsynlighet Rx hva den første skytteren vinner.

94. bak et romobjekt oppdages objektet med en sannsynlighet R. Objektdeteksjon i hver syklus skjer uavhengig av de andre. Finn sannsynligheten for at når P sykluser objektet vil bli oppdaget.

95. 32 bokstaver i det russiske alfabetet er skrevet på kuttede alfabetkort. Fem kort trekkes tilfeldig, etter hverandre, og legges på bordet i den rekkefølgen de vises. Finn sannsynligheten for at ordet "slutt" blir oppnådd.

96. To kuler er spredt tilfeldig og uavhengig av hverandre over fire celler som ligger etter hverandre i en rett linje. Hver ball med samme sannsynlighet 1/4 treffer hver celle. Finn sannsynligheten for at ballene faller inn i nabocellene.

97. Det skytes brannprosjektiler mot flyet. Drivstoffet på flyet er konsentrert i fire tanker plassert i flykroppen etter hverandre. Tankstørrelsene er de samme. For å antenne flyet er det nok å treffe to granater enten i samme tank eller i tilstøtende tanker. Det er kjent at to granater traff tankområdet. Finn sannsynligheten for at flyet tar fyr.

98. Fra en full kortstokk (52 ark) tas fire kort ut på en gang. Finn sannsynligheten for at alle disse fire kortene er av samme sort.

99. Fra en full kortstokk (52 ark) tas fire kort ut på en gang, men hvert kort returneres til bunken etter å ha blitt tatt ut. Finn sannsynligheten for at alle fire kortene er av samme sort.

100. Når tenningen slås på, starter motoren med en sannsynlighet R.

101. Enheten kan fungere i to moduser: 1) normal og 2) unormal. Normal modus observeres i 80 % av alle tilfeller av enhetsdrift; unormal - i 20%. Sannsynlighet for enhetsfeil i tide t i normal modus er 0,1; i det unormale - 0,7. Finn total sannsynlighet R feil på enheten.

102. Butikken mottar varer fra 3 leverandører: 55 % fra 1., 20 fra 2. og 25 % fra 3.. Andelen ekteskap er henholdsvis 5, 6 og 8 prosent. Hva er sannsynligheten for at det kjøpte defekte produktet kom fra den andre leverandøren.

103. Strømmen av biler forbi bensinstasjoner består av 60 % lastebiler og 40 % biler. Hva er sannsynligheten for å finne en lastebil på en bensinstasjon hvis sannsynligheten for å fylle drivstoff er 0,1, og en bil er 0,3

104. Strømmen av biler forbi bensinstasjoner består av 60 % lastebiler og 40 % biler. Hva er sannsynligheten for å finne en lastebil på en bensinstasjon hvis sannsynligheten for å fylle drivstoff er 0,1, og en bil er 0,3

105. Butikken mottar varer fra 3 leverandører: 55 % fra 1., 20 fra 2. og 25 % fra 3.. Andelen ekteskap er henholdsvis 5, 6 og 8 prosent. Hva er sannsynligheten for at det kjøpte defekte produktet kom fra 1. leverandør.

106. 32 bokstaver i det russiske alfabetet er skrevet på kuttede alfabetkort. Fem kort trekkes tilfeldig, etter hverandre, og legges på bordet i den rekkefølgen de vises. Finn sannsynligheten for å få ordet "bok".

107. Butikken mottar varer fra 3 leverandører: 55 % fra 1., 20 fra 2. og 25 % fra 3.. Andelen ekteskap er henholdsvis 5, 6 og 8 prosent. Hva er sannsynligheten for at det kjøpte defekte produktet kom fra 1. leverandør.

108. To kuler er spredt tilfeldig og uavhengig av hverandre over fire celler plassert etter hverandre i en rett linje. Hver ball med samme sannsynlighet 1/4 treffer hver celle. Finn sannsynligheten for at 2 kuler faller inn i samme celle

109. Når tenningen slås på, begynner motoren å virke med en sannsynlighet R. Finn sannsynligheten for at motoren begynner å gå andre gang tenningen slås på;

110. Det skytes brannprosjektiler mot flyet. Drivstoffet på flyet er konsentrert i fire tanker plassert i flykroppen etter hverandre. Tankstørrelsene er de samme. For å antenne flyet er det nok å treffe to granater i samme tank. Det er kjent at to granater traff tankområdet. Finn sannsynligheten for at flyet tar fyr

111. Det skytes brannprosjektiler mot flyet. Drivstoffet på flyet er konsentrert i fire tanker plassert i flykroppen etter hverandre. Tankstørrelsene er de samme. For å antenne flyet er det nok å treffe to granater i nabotanker. Det er kjent at to granater traff tankområdet. Finn sannsynligheten for at flyet tar fyr

112. I urne A hvite og B svarte kuler. En ball tas ut av urnen, fargen markeres og ballen returneres til urnen. Etter det tas en ny ball fra urnen. Finn sannsynligheten for at begge kulene som trekkes er hvite.

113. I urne A hvite og B svarte kuler. To kuler tas ut av urnen på en gang. Finn sannsynligheten for at disse kulene vil ha forskjellige farger.

114. To kuler er spredt tilfeldig og uavhengig av hverandre over fire celler som ligger etter hverandre i en rett linje. Hver ball med samme sannsynlighet 1/4 treffer hver celle. Finn sannsynligheten for at ballene faller inn i nabocellene.

115. Masha kom til eksamen og visste svarene på 20 spørsmål av programmet av 25. Professoren stiller 3 spørsmål. Hva er sannsynligheten for at Masha svarer på 2 spørsmål?

116. Studentene mener at av 50 billetter er 10 "gode". Petya og Masha bytter på å trekke én billett hver. Hva er sannsynligheten for at de begge fikk en "god" billett?

117. Statistikken over banklånsforespørsler er som følger: 10% - stat. myndigheter, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sannsynligheten for mislighold av lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor stor andel av lånene kan ikke refunderes?

118. 32 bokstaver i det russiske alfabetet er skrevet på kuttede alfabetkort. Fem kort trekkes tilfeldig, etter hverandre, og legges på bordet i den rekkefølgen de vises. Finn sannsynligheten for at ordet "slutt" blir oppnådd.

119 Statistikken over forespørsler om banklån er som følger: 10 % - stat. myndigheter, 20% - andre banker, resten - enkeltpersoner. Sannsynligheten for mislighold av lån er henholdsvis 0,01, 0,05 og 0,2. Hvor stor andel av lånene kan ikke refunderes?

120. sannsynligheten for at den ukentlige omsetningen til en iskremhandler vil overstige 2000 rubler. er 80 % i klart vær, 50 % i delvis skyet og 10 % i regnvær. Hva er sannsynligheten for at omsetningen vil overstige 2000 rubler. hvis sannsynligheten for klart vær er 20%, og delvis overskyet og regn - 40% hver.