En av metodene for å løse en kvadratisk ligning er applikasjonen VIETA formler, som ble oppkalt etter FRANCOIS VIETE.

Han var en kjent advokat, og tjenestegjorde på 1500-tallet hos den franske kongen. På fritiden studerte han astronomi og matematikk. Han etablerte en forbindelse mellom røttene og koeffisientene til en kvadratisk ligning.

Fordeler med formelen:

1 . Ved å bruke formelen kan du raskt finne løsningen. Fordi du ikke trenger å legge inn den andre koeffisienten i kvadratet, så trekk 4ac fra den, finn diskriminanten, bytt inn verdien i formelen for å finne røttene.

2 . Uten en løsning kan du bestemme tegnene til røttene, plukke opp verdiene til røttene.

3 . Etter å ha løst systemet med to poster, er det ikke vanskelig å finne røttene selv. I den ovennevnte kvadratiske ligningen er summen av røttene lik verdien av den andre koeffisienten med et minustegn. Produktet av røttene i den ovennevnte kvadratiske ligningen er lik verdien av den tredje koeffisienten.

4 . I henhold til de gitte røttene, skriv en andregradsligning, det vil si løs det inverse problemet. For eksempel brukes denne metoden til å løse problemer i teoretisk mekanikk.

5 . Det er praktisk å bruke formelen når den ledende koeffisienten er lik én.

Feil:

1 . Formelen er ikke universell.

Vietas teorem Grad 8

Formel
Hvis x 1 og x 2 er røttene til den gitte kvadratiske ligningen x 2 + px + q \u003d 0, så:

Eksempler
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - røttene til ligningen x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Invers teorem

Formel
Hvis tallene x 1 , x 2 , p, q er forbundet med betingelsene:

Da er x 1 og x 2 røttene til ligningen x 2 + px + q = 0.

Eksempel
La oss lage en andregradsligning ved røttene:

X 1 \u003d 2 -? 3 og x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Den ønskede ligningen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

La oss først formulere selve teoremet: La oss si at vi har en redusert kvadratisk ligning på formen x^2+b*x + c = 0. La oss si at denne ligningen inneholder røttene x1 og x2. Deretter, ved teoremet, er følgende utsagn tillatelige:

1) Summen av røttene x1 og x2 vil være lik den negative verdien av koeffisienten b.

2) Produktet av nettopp disse røttene vil gi oss koeffisienten c.

Men hva er ligningen ovenfor?

En redusert andregradsligning er en andregradsligning, koeffisienten av høyeste grad, som er lik én, dvs. dette er en likning av formen x^2 + b*x + c = 0. (og likningen a*x^2 + b*x + c = 0 er ikke redusert). Med andre ord, for å redusere likningen til den reduserte formen, må vi dele denne likningen med koeffisienten i høyeste grad (a). Oppgaven er å bringe denne ligningen til redusert form:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Vi deler hver ligning med koeffisienten av høyeste grad, vi får:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x − 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Som det fremgår av eksemplene, kan selv ligninger som inneholder fraksjoner reduseres til den reduserte formen.

Ved å bruke Vietas teorem

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; x1*x2 = 6;

vi får røttene: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; x1*x2 = 8;

som et resultat får vi røttene: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; x1*x2 = 4;

vi får røttene: x1 = −1; x2 = −4.

Betydningen av Vietas teorem

Vietas teorem lar oss løse enhver gitt kvadratisk ligning på nesten sekunder. Ved første øyekast virker dette som en ganske vanskelig oppgave, men etter 5 10 ligninger kan du lære å se røttene med en gang.

Fra eksemplene ovenfor, og ved å bruke teoremet, kan du se hvordan du kan forenkle løsningen av andregradsligninger betydelig, for ved å bruke denne teoremet kan du løse en andregradsligning med lite eller ingen kompliserte beregninger og beregne diskriminanten, og som du vet , jo færre beregninger, desto vanskeligere er det å gjøre en feil, noe som er viktig.

I alle eksemplene har vi brukt denne regelen basert på to viktige forutsetninger:

Ovenstående ligning, dvs. koeffisienten i høyeste grad er lik én (denne tilstanden er lett å unngå. Du kan bruke den ureduserte formen av ligningen, da vil følgende utsagn x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a være gyldig, men vanligvis er det vanskeligere å løse :))

Når ligningen vil ha to forskjellige røtter. Vi antar at ulikheten er sann og diskriminanten strengt tatt er større enn null.

Derfor kan vi komponere en generell løsningsalgoritme ved å bruke Vietas teorem.

Generell løsningsalgoritme etter Vietas teorem

Vi bringer den andregradslikningen til den reduserte formen hvis ligningen er gitt oss i den ikke-reduserte formen. Når koeffisientene i den andregradsligningen, som vi tidligere presenterte som redusert, viste seg å være brøk (ikke desimal), så skulle i dette tilfellet vår likning løses gjennom diskriminanten.

Det er også tilfeller der det å gå tilbake til den opprinnelige ligningen lar oss jobbe med "praktiske" tall.

Første nivå

Kvadratiske ligninger. Omfattende veiledning (2019)

I begrepet "kvadratisk ligning" er nøkkelordet "kvadrat". Dette betyr at ligningen nødvendigvis må inneholde en variabel (samme X) i kvadratet, og samtidig skal det ikke være X-er i tredje (eller høyere) grad.

Løsningen av mange ligninger reduseres til løsningen av andregradsligninger.

La oss lære å bestemme at vi har en andregradsligning, og ikke en annen.

Eksempel 1

Bli kvitt nevneren og gang hvert ledd i ligningen med

La oss flytte alt til venstre side og ordne leddene i synkende rekkefølge av potenser av x

Nå kan vi med sikkerhet si at denne ligningen er kvadratisk!

Eksempel 2

Multipliser venstre og høyre side med:

Denne ligningen, selv om den opprinnelig var i den, er ikke et kvadrat!

Eksempel 3

La oss gange alt med:

Skummelt? Den fjerde og andre graden ... Men hvis vi gjør en erstatning, vil vi se at vi har en enkel andregradsligning:

Eksempel 4

Det ser ut til å være det, men la oss se nærmere. La oss flytte alt til venstre side:

Du skjønner, den har krympet – og nå er det en enkel lineær ligning!

Prøv nå å bestemme selv hvilke av følgende ligninger som er kvadratiske og hvilke som ikke er det:

Eksempler:

Svar:

1. torget;
2. torget;
3. ikke firkantet;
4. ikke firkantet;
5. ikke firkantet;
6. torget;
7. ikke firkantet;
8. torget.

Matematikere deler betinget alle andregradsligninger inn i følgende typer:

• Fullfør andregradsligninger- ligninger der koeffisientene og, samt frileddet c, ikke er lik null (som i eksempelet). I tillegg er det blant de komplette kvadratiske ligningene gitt er ligninger der koeffisienten (ligningen fra eksempel én er ikke bare komplett, men også redusert!)

• Ufullstendige andregradsligninger- ligninger der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

  De er ufullstendige fordi et element mangler fra dem. Men ligningen må alltid inneholde x i kvadrat !!! Ellers vil det ikke lenger være en kvadratisk, men en annen ligning.

Hvorfor kom de med en slik inndeling? Det ser ut til at det er et X i kvadrat, og det er greit. En slik inndeling skyldes løsningsmetodene. La oss vurdere hver av dem mer detaljert.

Løse ufullstendige andregradsligninger

La oss først fokusere på å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er mye enklere!

Ufullstendige kvadratiske ligninger er av typene:

1. , i denne ligningen er koeffisienten lik.
2. , i denne ligningen er frileddet lik.
3. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

1. jeg. Siden vi vet hvordan vi tar kvadratroten, la oss uttrykke fra denne ligningen

Uttrykket kan enten være negativt eller positivt. Et kvadratert tall kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være positivt tall, så: hvis, så har ligningen ingen løsninger.

Og hvis, så får vi to røtter. Disse formlene trenger ikke å bli utenat. Det viktigste er at du alltid skal vite og huske at det ikke kan være mindre.

La oss prøve å løse noen eksempler.

Eksempel 5:

Løs ligningen

Nå gjenstår det å trekke ut roten fra venstre og høyre del. Tross alt, husker du hvordan du trekker ut røttene?

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!!!

Eksempel 6:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 7:

Løs ligningen

Au! Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter!

For slike ligninger der det ikke er røtter, kom matematikere opp med et spesielt ikon - (tomt sett). Og svaret kan skrives slik:

Svar:

Dermed har denne kvadratiske ligningen to røtter. Det er ingen begrensninger her, siden vi ikke hentet ut roten.
Eksempel 8:

Løs ligningen

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

På denne måten,

Denne ligningen har to røtter.

Svar:

Den enkleste typen ufullstendige kvadratiske ligninger (selv om de alle er enkle, ikke sant?). Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Her skal vi klare oss uten eksempler.

Løse komplette andregradsligninger

Vi minner om at den komplette andregradsligningen er en ligning av formen ligningen der

Å løse hele andregradsligninger er litt mer komplisert (bare litt) enn de som er gitt.

Huske, enhver annengradsligning kan løses ved hjelp av diskriminanten! Til og med ufullstendig.

Resten av metodene vil hjelpe deg å gjøre det raskere, men hvis du har problemer med kvadratiske ligninger, må du først mestre løsningen ved å bruke diskriminanten.

1. Løse andregradsligninger ved hjelp av diskriminanten.

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er veldig enkelt, det viktigste er å huske rekkefølgen av handlinger og et par formler.

Hvis, så har ligningen en rot. Spesiell oppmerksomhet bør rettes mot trinnet. Diskriminanten () forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, vil formelen på trinnet reduseres til. Dermed vil ligningen bare ha en rot.
• Hvis, så vil vi ikke være i stand til å trekke ut roten til diskriminanten på trinnet. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

La oss gå tilbake til ligningene våre og se på noen få eksempler.

Eksempel 9:

Løs ligningen

Trinn 1 hoppe over.

Steg 2

Finne diskriminanten:

Så ligningen har to røtter.

Trinn 3

Svar:

Eksempel 10:

Løs ligningen

Ligningen er i standardform, så Trinn 1 hoppe over.

Steg 2

Finne diskriminanten:

Så ligningen har én rot.

Svar:

Eksempel 11:

Løs ligningen

Ligningen er i standardform, så Trinn 1 hoppe over.

Steg 2

Finne diskriminanten:

Det betyr at vi ikke vil kunne trekke ut roten fra diskriminanten. Det er ingen røtter til ligningen.

Nå vet vi hvordan vi skal skrive ned slike svar riktig.

Svar: ingen røtter

2. Løsning av andregradsligninger ved hjelp av Vieta-setningen.

Hvis du husker, så er det en slik type ligninger som kalles redusert (når koeffisienten a er lik):

Slike ligninger er veldig enkle å løse ved å bruke Vietas teorem:

Summen av røttene gitt andregradsligningen er lik, og produktet av røttene er lik.

Eksempel 12:

Løs ligningen

Denne ligningen er egnet for løsning ved å bruke Vietas teorem, fordi .

Summen av røttene til ligningen er, dvs. vi får den første ligningen:

Og produktet er:

La oss lage og løse systemet:

• og. Summen er;
• og. Summen er;
• og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Svar: ; .

Eksempel 13:

Løs ligningen

Svar:

Eksempel 14:

Løs ligningen

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Svar:

KVADRATISKE LIGNINGER. GJENNOMSNITTLIG NIVÅ

Hva er en andregradsligning?

Med andre ord er en andregradsligning en ligning av formen, hvor - ukjent, - dessuten noen tall.

Tallet kalles det høyeste eller første koeffisient kvadratisk ligning, - andre koeffisient, en - gratis medlem.

Hvorfor? Fordi hvis, vil ligningen umiddelbart bli lineær, fordi vil forsvinne.

I dette tilfellet kan og være lik null. I denne avføringslikningen kalles ufullstendig. Hvis alle vilkårene er på plass, det vil si at ligningen er komplett.

Løsninger på ulike typer kvadratiske ligninger

Metoder for å løse ufullstendige andregradsligninger:

Til å begynne med vil vi analysere metodene for å løse ufullstendige kvadratiske ligninger - de er enklere.

Følgende typer ligninger kan skilles:

I. , i denne ligningen er koeffisienten og frileddet like.

II. , i denne ligningen er koeffisienten lik.

III. , i denne ligningen er frileddet lik.

Vurder nå løsningen for hver av disse undertypene.

Åpenbart har denne ligningen alltid bare én rot:

Et tall i annen kan ikke være negativt, for når du multipliserer to negative eller to positive tall, vil resultatet alltid være et positivt tall. Derfor:

hvis, så har ligningen ingen løsninger;

hvis vi har to røtter

Disse formlene trenger ikke å bli utenat. Det viktigste å huske er at det ikke kan være mindre.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Glem aldri røtter med negativt fortegn!

Kvadraten til et tall kan ikke være negativ, noe som betyr at ligningen

ingen røtter.

For å kort skrive at problemet ikke har noen løsninger, bruker vi det tomme sett-ikonet.

Svar:

Så denne ligningen har to røtter: og.

Svar:

La oss ta den felles faktoren ut av parentes:

Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Dette betyr at ligningen har en løsning når:

Så denne andregradsligningen har to røtter: og.

Eksempel:

Løs ligningen.

Løsning:

Vi faktoriserer venstre side av ligningen og finner røttene:

Svar:

Metoder for å løse komplette kvadratiske ligninger:

1. Diskriminerende

Å løse kvadratiske ligninger på denne måten er enkelt, det viktigste er å huske handlingssekvensen og et par formler. Husk at enhver annengradsligning kan løses ved å bruke diskriminanten! Til og med ufullstendig.

La du merke til roten til diskriminanten i rotformelen? Men diskriminanten kan være negativ. Hva å gjøre? Vi må være spesielt oppmerksomme på trinn 2. Diskriminanten forteller oss antall røtter til ligningen.

• Hvis, så har ligningen en rot:
• Hvis, så har ligningen samme rot, men faktisk én rot:

  Slike røtter kalles dobbeltrøtter.

• Hvis, så trekkes ikke roten til diskriminanten ut. Dette indikerer at ligningen ikke har noen røtter.

Hvorfor er det forskjellige antall røtter? La oss gå til den geometriske betydningen av den kvadratiske ligningen. Grafen til funksjonen er en parabel:

I et spesielt tilfelle, som er en andregradsligning, . Og dette betyr at røttene til den kvadratiske ligningen er skjæringspunktene med x-aksen (aksen). Parablen krysser kanskje ikke aksen i det hele tatt, eller den kan krysse den ved ett (når toppen av parablen ligger på aksen) eller to punkter.

I tillegg er koeffisienten ansvarlig for retningen til grenene til parablen. Hvis, så er grenene til parabelen rettet oppover, og hvis - så nedover.

Eksempler:

Løsninger:

Svar:

Svar: .

Svar:

Dette betyr at det ikke finnes noen løsninger.

Svar: .

2. Vietas teorem

Å bruke Vieta-teoremet er veldig enkelt: du trenger bare å velge et tallpar hvis produkt er lik ligningens frie ledd, og summen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn.

Det er viktig å huske at Vietas teorem kun kan brukes på gitt andregradsligninger ().

La oss se på noen eksempler:

Eksempel #1:

Løs ligningen.

Løsning:

Denne ligningen er egnet for løsning ved å bruke Vietas teorem, fordi . Andre koeffisienter: ; .

Summen av røttene til ligningen er:

Og produktet er:

La oss velge slike tallpar, hvis produkt er lik, og sjekke om summen deres er lik:

• og. Summen er;
• og. Summen er;
• og. Beløpet er likt.

og er løsningen på systemet:

Dermed og er røttene til ligningen vår.

Svar: ; .

Eksempel #2:

Løsning:

Vi velger slike tallpar som gir produktet, og sjekker deretter om summen deres er lik:

og: gi totalt.

og: gi totalt. For å få det, trenger du bare å endre tegnene på de påståtte røttene: og tross alt arbeidet.

Svar:

Eksempel #3:

Løsning:

Det frie leddet til ligningen er negativt, og derav produktet av røttene - et negativt tall. Dette er bare mulig hvis en av røttene er negativ og den andre er positiv. Så summen av røttene er forskjellene på modulene deres.

Vi velger slike tallpar som gir produktet, og forskjellen er lik:

og: deres forskjell er - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - ikke egnet;

og: - egnet. Det gjenstår bare å huske at en av røttene er negativ. Siden summen deres må være lik, må roten, som er mindre i absolutt verdi, være negativ: . Vi sjekker:

Svar:

Eksempel #4:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Frileddet er negativt, og derfor er produktet av røttene negativt. Og dette er bare mulig når en rot av ligningen er negativ og den andre er positiv.

Vi velger slike tallpar hvis produkt er likt, og bestemmer deretter hvilke røtter som skal ha negativt fortegn:

Åpenbart, bare røtter og er egnet for den første tilstanden:

Svar:

Eksempel #5:

Løs ligningen.

Løsning:

Ligningen er redusert, noe som betyr:

Summen av røttene er negativ, noe som betyr at minst én av røttene er negativ. Men siden deres produkt er positivt, betyr det at begge røttene er minus.

Vi velger slike tallpar, hvis produkt er lik:

Åpenbart er røttene tallene og.

Svar:

Enig, det er veldig praktisk - å finne opp røtter muntlig, i stedet for å telle denne ekle diskriminanten. Prøv å bruke Vietas teorem så ofte som mulig.

Men Vieta-setningen er nødvendig for å lette og fremskynde å finne røttene. For å gjøre det lønnsomt for deg å bruke det, må du bringe handlingene til automatisme. Og for dette, løs fem flere eksempler. Men ikke juks: du kan ikke bruke diskriminanten! Bare Vietas teorem:

Løsninger for oppgaver for selvstendig arbeid:

Oppgave 1. ((x)^(2))-8x+12=0

I følge Vietas teorem:

Som vanlig starter vi utvalget med produktet:

Ikke egnet fordi mengden;

: beløpet er det du trenger.

Svar: ; .

Oppgave 2.

Og igjen, vårt favoritt-Vieta-teorem: summen skal fungere, men produktet er likt.

Men siden det ikke burde være det, men, endrer vi tegnene til røttene: og (totalt).

Svar: ; .

Oppgave 3.

Hmm... Hvor er det?

Det er nødvendig å overføre alle vilkårene til en del:

Summen av røttene er lik produktet.

Ja, stopp! Ligningen er ikke gitt. Men Vietas teorem er kun anvendelig i de gitte ligningene. Så først må du ta med ligningen. Hvis du ikke kan ta det opp, dropp denne ideen og løs den på en annen måte (for eksempel gjennom diskriminanten). La meg minne deg på at å bringe en kvadratisk ligning betyr å gjøre den ledende koeffisienten lik:

Utmerket. Da er summen av røttene lik, og produktet.

Det er lettere å plukke opp her: tross alt - et primtall (beklager tautologien).

Svar: ; .

Oppgave 4.

Fritiden er negativ. Hva er så spesielt med det? Og det faktum at røttene vil være av forskjellige tegn. Og nå, under valget, sjekker vi ikke summen av røttene, men forskjellen mellom modulene deres: denne forskjellen er lik, men produktet.

Så røttene er like og, men en av dem er med minus. Vietas teorem forteller oss at summen av røttene er lik den andre koeffisienten med motsatt fortegn, altså. Dette betyr at den mindre roten vil ha minus: og siden.

Svar: ; .

Oppgave 5.

Hva må gjøres først? Det stemmer, gi ligningen:

Igjen: vi velger faktorene til tallet, og forskjellen deres skal være lik:

Røttene er like og, men en av dem er minus. Hvilken? Summen deres må være lik, noe som betyr at med minus vil det være en større rot.

Svar: ; .

La meg oppsummere:

1. Vietas teorem brukes bare i de gitte kvadratiske ligningene.
2. Ved å bruke Vieta-setningen kan du finne røttene ved å velge muntlig.
3. Hvis ligningen ikke er gitt eller det ikke ble funnet et passende par av faktorer for frileddet, er det ingen heltallsrøtter, og du må løse det på en annen måte (for eksempel gjennom diskriminanten).

3. Hel kvadratisk valgmetode

Hvis alle leddene som inneholder det ukjente er representert som termer fra formlene for forkortet multiplikasjon - kvadratet av summen eller differansen - så etter endringen av variabler, kan ligningen representeres som en ufullstendig andregradsligning av typen.

For eksempel:

Eksempel 1:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Eksempel 2:

Løs ligningen:.

Løsning:

Svar:

Generelt vil transformasjonen se slik ut:

Dette innebærer: .

Minner det deg ikke om noe? Det er diskriminanten! Det er akkurat slik diskriminantformelen ble oppnådd.

KVADRATISKE LIGNINGER. KORT OM HOVEDET

Kvadratisk ligning er en ligning av formen, hvor er det ukjente, er koeffisientene til den kvadratiske ligningen, er frileddet.

Fullfør andregradsligningen- en ligning der koeffisientene ikke er lik null.

Redusert andregradsligning- en ligning der koeffisienten, det vil si: .

Ufullstendig andregradsligning- en ligning der koeffisienten og eller frileddet c er lik null:

• hvis koeffisienten, har ligningen formen: ,
• hvis et fritt ledd, har ligningen formen: ,
• hvis og, har ligningen formen: .

1. Algoritme for å løse ufullstendige andregradsligninger

1.1. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) Uttrykk det ukjente: ,

2) Sjekk tegnet til uttrykket:

• hvis, så har ligningen ingen løsninger,
• hvis, så har ligningen to røtter.

1.2. En ufullstendig andregradsligning av formen, hvor:

1) La oss ta den felles faktoren ut av parentes: ,

2) Produktet er lik null hvis minst en av faktorene er lik null. Derfor har ligningen to røtter:

1.3. En ufullstendig andregradsligning av formen, der:

Denne ligningen har alltid bare én rot: .

2. Algoritme for å løse komplette andregradsligninger av formen hvor

2.1. Løsning ved hjelp av diskriminanten

1) La oss bringe ligningen til standardformen: ,

2) Beregn diskriminanten ved å bruke formelen: , som indikerer antall røtter til ligningen:

3) Finn røttene til ligningen:

• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen en rot, som finnes av formelen:
• hvis, så har ligningen ingen røtter.

2.2. Løsning ved hjelp av Vietas teorem

Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen (en ligning av formen, hvor) er lik, og produktet av røttene er lik, dvs. , a.

2.3. Full firkantet løsning

Enhver komplett kvadratisk ligning ax2 + bx + c = 0 kan bringes i tankene x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, hvis vi først deler hvert ledd med koeffisienten a før x2. Og hvis vi introduserer ny notasjon (b/a) = p og (c/a) = q, så vil vi ha ligningen x 2 + px + q = 0, som i matematikk heter redusert andregradsligning.

Røttene til den reduserte kvadratiske ligningen og koeffisientene s og q sammenkoblet. Det er bekreftet Vietas teorem, oppkalt etter den franske matematikeren Francois Vieta, som levde på slutten av 1500-tallet.

Teorem. Summen av røttene til den reduserte andregradsligningen x 2 + px + q = 0 lik den andre koeffisienten s, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene - til fri sikt q.

Vi skriver disse forholdstallene i følgende form:

La x 1 og x2 ulike røtter til den reduserte ligningen x 2 + px + q = 0. I følge Vietas teorem x1 + x2 = -p og x 1 x 2 = q.

For å bevise dette, la oss erstatte hver av røttene x 1 og x 2 i ligningen. Vi får to sanne likheter:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Trekk den andre fra den første likheten. Vi får:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Vi utvider de to første leddene i henhold til formelen for forskjellen på kvadrater:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Etter tilstand er røttene x 1 og x 2 forskjellige. Derfor kan vi redusere likheten med (x 1 - x 2) ≠ 0 og uttrykke p.

(x 1 + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Den første likheten er bevist.

For å bevise den andre likheten, bytter vi inn i den første ligningen

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 i stedet for koeffisienten p, dets like tall er (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Ved å transformere venstre side av ligningen får vi:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, som skulle bevises.

Vietas teorem er bra fordi, selv uten å kjenne røttene til den kvadratiske ligningen, kan vi beregne summen og produktet deres .

Vietas teorem hjelper til med å bestemme heltallsrøttene til den gitte kvadratiske ligningen. Men for mange elever forårsaker dette vanskeligheter på grunn av at de ikke kjenner en klar handlingsalgoritme, spesielt hvis røttene til ligningen har forskjellige fortegn.

Så den gitte kvadratiske ligningen har formen x 2 + px + q \u003d 0, hvor x 1 og x 2 er røttene. I følge Vieta-setningen x 1 + x 2 = -p og x 1 x 2 = q.

Vi kan trekke følgende konklusjon.

Hvis det siste leddet i ligningen innledes med et minustegn, så har røttene x 1 og x 2 forskjellige fortegn. I tillegg er tegnet til den mindre roten det samme som tegnet til den andre koeffisienten i ligningen.

Basert på det faktum at når du legger til tall med forskjellige fortegn, trekkes modulene deres fra, og tegnet på det større tallet settes foran resultatet, bør du fortsette som følger:

1. bestemme slike faktorer av tallet q slik at forskjellen deres er lik tallet p;
2. sett tegnet på den andre koeffisienten i ligningen foran det minste av de oppnådde tallene; den andre roten vil ha motsatt fortegn.

La oss se på noen eksempler.

Eksempel 1.

Løs ligningen x 2 - 2x - 15 = 0.

Løsning.

La oss prøve å løse denne ligningen ved å bruke reglene foreslått ovenfor. Da kan vi med sikkerhet si at denne ligningen vil ha to forskjellige røtter, fordi D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Nå, fra alle faktorene til tallet 15 (1 og 15, 3 og 5), velger vi de hvis forskjell er lik 2. Dette vil være tallene 3 og 5. Vi setter et minustegn foran det mindre tallet , dvs. tegnet til den andre koeffisienten i ligningen. Dermed får vi røttene til ligningen x 1 \u003d -3 og x 2 \u003d 5.

Svar. x 1 = -3 og x 2 = 5.

Eksempel 2.

Løs ligningen x 2 + 5x - 6 = 0.

Løsning.

La oss sjekke om denne ligningen har røtter. For å gjøre dette finner vi diskriminanten:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ligningen har to forskjellige røtter.

De mulige faktorene for tallet 6 er 2 og 3, 6 og 1. Forskjellen er 5 for et par på 6 og 1. I dette eksemplet har koeffisienten til det andre leddet et plusstegn, så det mindre tallet vil ha samme tegn. Men før det andre tallet vil det være et minustegn.

Svar: x 1 = -6 og x 2 = 1.

Vietas teorem kan også skrives for en fullstendig andregradsligning. Så hvis andregradsligningen ax2 + bx + c = 0 har røtter x 1 og x 2, så tilfredsstiller de likhetene

x 1 + x 2 = -(b/a) og x 1 x 2 = (c/a). Imidlertid er anvendelsen av denne teoremet i den fullstendige kvadratiske ligningen ganske problematisk, siden hvis det er røtter, er minst én av dem et brøktall. Og å jobbe med valg av brøker er ganske vanskelig. Men det er fortsatt en vei ut.

Betrakt hele andregradsligningen ax 2 + bx + c = 0. Multipliser venstre og høyre side med koeffisienten a. Ligningen vil ha formen (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. La oss nå introdusere en ny variabel, for eksempel t = ax.

I dette tilfellet blir den resulterende ligningen til en redusert kvadratisk ligning av formen t 2 + bt + ac = 0, hvis røtter t 1 og t 2 (hvis noen) kan bestemmes av Vieta-setningen.

I dette tilfellet vil røttene til den opprinnelige kvadratiske ligningen være

x 1 = (t 1 / a) og x 2 = (t 2 / a).

Eksempel 3.

Løs ligningen 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Løsning.

Vi lager en hjelpeligning. La oss multiplisere hvert ledd i ligningen med 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Vi gjør endringen t = 15x. Vi har:

t 2 - 11 t + 30 = 0.

I følge Vieta-setningen vil røttene til denne ligningen være t 1 = 5 og t 2 = 6.

Vi går tilbake til erstatningen t = 15x:

5 = 15x eller 6 = 15x. Dermed x 1 = 5/15 og x 2 = 6/15. Vi reduserer og får det endelige svaret: x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

Svar. x 1 = 1/3 og x 2 = 2/5.

For å mestre løsningen av kvadratiske ligninger ved hjelp av Vieta-setningen, må elevene øve seg så mye som mulig. Dette er nettopp hemmeligheten bak suksess.

nettstedet, med hel eller delvis kopiering av materialet, kreves en lenke til kilden.

Før vi går videre til Vietas teorem, introduserer vi en definisjon. Kvadratisk ligning av formen x² + px + q= 0 kalles redusert. I denne ligningen er ledende koeffisient lik én. For eksempel ligningen x² - 3 x- 4 = 0 reduseres. Enhver annengradsligning av formen øks² + b x + c= 0 kan gjøres redusert, for dette deler vi begge sider av ligningen med en≠ 0. For eksempel ligning 4 x² + 4 x- 3 \u003d 0 delt på 4 reduseres til formen: x² + x- 3/4 = 0. Vi utleder formelen for røttene til den reduserte andregradsligningen, for dette bruker vi formelen for røttene til en generell andregradsligning: øks² + bx + c = 0

Redusert ligning x² + px + q= 0 sammenfaller med en generell ligning der en = 1, b = s, c = q. Derfor, for den gitte kvadratiske ligningen, har formelen formen:

det siste uttrykket kalles formelen til røttene til den reduserte kvadratiske ligningen, det er spesielt praktisk å bruke denne formelen når R- partall. La oss for eksempel løse ligningen x² - 14 x — 15 = 0

Som svar skriver vi at ligningen har to røtter.

For en redusert andregradsligning med positiv, gjelder følgende teorem.

Vietas teorem

Hvis en x 1 og x 2 - røttene til ligningen x² + px + q= 0, da er formlene gyldige:

x 1 + x 2 = — R

x 1 * x 2 \u003d q, det vil si at summen av røttene til den gitte kvadratiske ligningen er lik den andre koeffisienten, tatt med motsatt fortegn, og produktet av røttene er lik frileddet.

Basert på formelen til røttene til den ovennevnte kvadratiske ligningen, har vi:

Ved å legge til disse likhetene får vi: x 1 + x 2 = —R.

Ved å multiplisere disse likhetene, ved å bruke formelen for forskjellen på kvadrater, får vi:

Merk at Vieta-setningen også er gyldig når diskriminanten er null, hvis vi antar at i dette tilfellet har kvadratisk ligning to identiske røtter: x 1 = x 2 = — R/2.

Løser ikke ligninger x² - 13 x+ 30 = 0 finn summen og produktet av røttene x 1 og x 2. denne ligningen D\u003d 169 - 120 \u003d 49\u003e 0, slik at du kan bruke Vieta-teoremet: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Tenk på noen flere eksempler. En av røttene til ligningen x² — px- 12 = 0 er x 1 = 4. Finn koeffisient R og andre rot x 2 i denne ligningen. I følge Vietas teorem x 1 * x 2 =— 12, x 1 + x 2 = — R. Fordi x 1 = 4 deretter 4 x 2 = - 12, hvorfra x 2 = — 3, R = — (x 1 + x 2) \u003d - (4 - 3) \u003d - 1. Som svar skriver vi ned den andre roten x 2 = - 3, koeffisient p = - 1.

Løser ikke ligninger x² + 2 x- 4 = 0 finn summen av kvadratene av røttene. La x 1 og x 2 er røttene til ligningen. I følge Vietas teorem x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = - 4. Fordi x 1²+ x 2² = ( x 1 + x 2)² - 2 x 1 x 2, da x 1²+ x 2 ² \u003d (- 2) ² -2 (- 4) \u003d 12.

Finn summen og produktet av røttene til ligning 3 x² + 4 x- 5 \u003d 0. Denne ligningen har to forskjellige røtter, siden diskriminanten D= 16 + 4*3*5 > 0. For å løse ligningen bruker vi Vieta-setningen. Denne teoremet er bevist for den reduserte kvadratiske ligningen. Så la oss dele denne ligningen med 3.

Derfor er summen av røttene -4/3, og produktet deres er -5/3.

Generelt, røttene til ligningen øks² + b x + c= 0 er relatert med følgende likheter: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, For å få disse formlene er det tilstrekkelig å dele begge sider av denne kvadratiske ligningen med en ≠ 0 og anvende Vietas teorem på den resulterende reduserte kvadratiske ligningen. Tenk på et eksempel, du må komponere en gitt kvadratisk ligning, hvis røtter x 1 = 3, x 2 = 4. Fordi x 1 = 3, x 2 = 4 er røttene til den andregradsligningen x² + px + q= 0, deretter ved Vieta-setningen R = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. Som svar skriver vi x² - 7 x+ 12 = 0. Følgende teorem brukes til å løse noen problemer.

Teorem invers til Vietas teorem

Hvis tall R, q, x 1 , x 2 er slik at x 1 + x 2 = — p, x 1 * x 2 \u003d q, deretter x 1 og x2 er røttene til ligningen x² + px + q= 0. Innbytter i venstre side x² + px + q i stedet for R uttrykk - ( x 1 + x 2), men i stedet q- arbeid x 1 * x 2. Vi får: x² + px + q = x² — ( x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d x² - x 1 x - x 2 x + x 1 x 2 \u003d (x - x 1) (x - x 2). Dermed hvis tallene R, q, x 1 og x 2 er knyttet til disse relasjonene, da for alle X likestilling x² + px + q = (x - x 1) (x - x 2), som det følger av x 1 og x 2 - røttene til ligningen x² + px + q= 0. Ved å bruke teoremet omvendt til Vietas teorem er det noen ganger mulig å finne røttene til en andregradsligning ved å velge. Tenk på et eksempel, x² - 5 x+ 6 = 0. Her R = — 5, q= 6. Velg to tall x 1 og x 2 slik at x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Når vi legger merke til at 6 = 2 * 3, og 2 + 3 = 5, ved at teoremet er i samsvar med Vietas teorem, får vi at x 1 = 2, x 2 = 3 - røttene til ligningen x² - 5 x + 6 = 0.