Gödels ufullstendighetsteoremer har en filosofisk betydning. En stor logikers bekjennelse

Godels ufullstendighetsteorem

Uspensky V.A.

Kanskje Gödels ufullstendighetsteorem er virkelig unik. Unikt ved at de refererer til det når de vil bevise «alt i verden» – fra gudenes tilstedeværelse til fraværet av fornuft. Jeg har alltid vært interessert i et mer "primært spørsmål" - og hvem av dem som refererer til ufullstendighetsteoremet kunne ikke bare formulere det, men også bevise det? jeg legger ut denne artikkelen av den grunn at den presenterer en svært tilgjengelig formulering av Gödels teorem. Jeg anbefaler at du først leser artikkelen av Tullio Regge Kurt Gödel og hans berømte teorem

Konklusjonen om umuligheten av et universelt sannhetskriterium er en direkte konsekvens av resultatet oppnådd av Tarski ved å kombinere Gödels uavgjørlighetsteorem med sin egen sannhetsteori, ifølge hvilken det ikke kan være et universelt sannhetskriterium selv for et relativt snevert område. av tallteori, og dermed for enhver vitenskap som bruker aritmetikk. Naturligvis gjelder dette resultatet a fortiori sannhetsbegrepet i ethvert ikke-matematisk kunnskapsfelt der aritmetikk er mye brukt.

Karl Popper

Uspensky Vladimir Andreevich ble født 27. november 1930 i Moskva. Uteksaminert fra fakultetet for mekanikk og matematikk ved Moscow State University (1952). Doktor i fysiske og matematiske vitenskaper (1964). Professor, leder for Institutt for matematisk logikk og teori om algoritmer ved Det mekaniske og matematiske fakultet (1966). Leser forelesningskurs "Introduksjon til matematisk logikk", "Beregnbare funksjoner", "Gödels fullstendighetsteorem". Forberedte 25 kandidater og 2 doktorer i realfag

1. Redegjørelse av problemet

Ufullstendighetsteoremet, den nøyaktige formuleringen som vi vil gi på slutten av dette kapittelet, og kanskje senere (hvis leseren er interessert i dette) og bevis, sier omtrent følgende: under visse forhold på et hvilket som helst språk er det sant, men ubeviselige utsagn.

Når vi formulerer et teorem på denne måten, krever nesten hvert ord en forklaring. Derfor vil vi begynne med å forklare betydningen av ordene vi bruker i denne formuleringen.

1.1. Språk

Vi vil ikke gi en mest mulig generell definisjon av et språk, og foretrekker å begrense oss til de språkbegrepene vi trenger senere. Det er to slike konsepter: "språkets alfabet" og "settet med sanne utsagn om språket".

1.1.1. Alfabet

Med alfabet mener vi et begrenset sett med elementære tegn (det vil si ting som ikke kan brytes ned i komponentdeler). Disse tegnene kalles bokstaver i alfabetet. Med ordet i alfabetet mener vi endelig sekvens bokstaver. For eksempel er vanlige ord på engelsk (inkludert egennavn) ord i alfabetet på 54 bokstaver (26 små bokstaver, 26 store bokstaver, en bindestrek og en apostrof). Et annet eksempel er de naturlige tallene i desimalnotasjon er ord i alfabetet med 10 bokstaver, hvis bokstaver er tegn: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. For å betegne alfabeter vil vi bruke vanlige store bokstaver. Hvis L er et alfabet, så L? vil betegne settet med alle ord i alfabetet L, - ord dannet av bokstavene. Vi vil anta at ethvert språk har sitt eget alfabet, slik at alle uttrykk for dette språket (dvs. navn på ulike objekter, utsagn om disse objektene osv.) er ord i dette alfabetet. For eksempel ethvert forslag av engelsk språk, så vel som enhver tekst skrevet på engelsk, kan betraktes som et ord i det utvidede alfabetet på 54 bokstaver, som også inkluderer skilletegn, mellomrom mellom ord, et rødt linjetegn og muligens noen andre nyttige tegn. Forutsatt at språkuttrykk er ord i et eller annet alfabet, utelukker vi derfor "flerlags"-uttrykk som f(x)dx. Denne begrensningen er imidlertid ikke for betydelig, siden ethvert slikt uttrykk, ved bruk av passende konvensjoner, kan "strekkes" til en lineær form. Noen sett M i L? kalles en ordmengde i alfabetet L. Hvis vi bare sier at M er en ordmengde, så mener vi at det er et ord i et eller annet alfabet. Nå kan språkantagelsen ovenfor omformuleres som følger: i et hvilket som helst språk er ethvert sett med uttrykk en ordsett.

1.1.2. Mange sanne påstander

Vi antar at vi får en delmengde T av mengden L? (hvor L er alfabetet til et språk vi vurderer), som kalles settet med "sanne utsagn" (eller ganske enkelt "sannheter"). Ved å gå direkte til delmengden T utelater vi følgende mellomtrinn av resonnement: for det første hvilke ord i alfabetet L som er velformede uttrykk for språket, det vil si å ha viss verdi i vår tolkning av dette språket (for eksempel er 2+3, x+3, x=y, x=3, 2=3, 2=2 velformede uttrykk, mens uttrykk som +=x ikke er det); for det andre hvilke uttrykk som er formler, dvs. kan avhenge av en parameter (f.eks. x=3, x=y, 2=3, 2=2); for det tredje hvilke av formlene som er lukkede formler, dvs. utsagn som ikke er avhengig av parametere (for eksempel 2=3, 2=2); og til slutt hvilke lukkede formler som er sanne utsagn (for eksempel 2=2).

1.1.3. Grunnleggende språkpar

1.2. "Ubeviselig"

"Ubeviselig" betyr å ikke ha bevis.

1.3. Bevis

Til tross for at begrepet "bevis" kanskje er en av de viktigste i matematikk (børbakiene begynner sin bok "Fundamentals of Mathematics" med ordene: "Siden de gamle grekernes tid betydde det å si "matematikk" det samme som sier "bevis""), har han ikke en presis definisjon. Generelt tilhører begrepet bevis med alle dets semantiske grener snarere psykologien enn matematikken. Men uansett er bevis rett og slett et argument som vi selv finner ganske overbevisende for å overbevise alle andre.

Når det skrives ned, blir beviset et ord i et eller annet alfabet P, akkurat som alle andre Engelsk tekst er et ord i alfabetet L, et eksempel på dette ble gitt ovenfor. Settet med alle bevis danner en delmengde (og ganske stor delmengde) av settet P?. Vi vil ikke forsøke å gi en presis definisjon av dette både "naive" og "absolutte" beviskonseptet, eller - som er ekvivalent - å definere den tilsvarende delmengden av P?. I stedet vil vi vurdere en formell analog til dette vage konseptet, som vi fortsatt vil bruke begrepet "bevis" for i det følgende. Denne analogen har to svært viktige funksjoner som skiller den fra det intuitive konseptet (selv om den intuitive ideen om beviset fortsatt gjenspeiler disse funksjonene til en viss grad). For det første antar vi at det er forskjellige beviskonsepter, det vil si at forskjellige delmengder av bevis i P? er tillatt, og enda mer enn det: vi vil faktisk anta at alfabetet av bevis for P i seg selv kan endres . I det følgende vil vi kreve at det for hvert slikt beviskonsept finnes en effektiv metode, med andre ord en algoritme som nødvendigvis vil avgjøre om gitt ord alfabetet P bevis eller ikke. Vi antar også at det finnes en algoritme som alltid kan bestemme hvilken påstand som beviser gitt bevis. (I mange situasjoner er påstanden som bevises ganske enkelt den siste påstanden i sekvensen av trinn som danner beviset.)

Dermed er vår endelige formulering av definisjonen som følger:

(1) Vi har alfabetet L (språkets alfabet) og alfabetet P (bevisets alfabet).

(2) Vi får en mengde P som er en delmengde av P? og hvis elementer kalles "bevis". I fremtiden vil vi anta at vi også har en algoritme som lar oss bestemme om et vilkårlig ord i alfabetet P er et element i mengden P, det vil si et bevis, eller ikke.

(3) Har vi også en funksjon? (for å finne nøyaktig hva som er bevist), hvis domene er? tilfredsstiller betingelsen P???P?, og hvis rekkevidde er i P?. Vi antar at vi har en algoritme som beregner denne funksjonen (den eksakte betydningen av ordene "algoritmen beregner en funksjon" er følgende: funksjonsverdier oppnås ved hjelp av denne algoritmen - et sett med spesielle transformasjonsregler). Vi vil si at elementet p? P er et bevis på ordet?(p) i alfabetet L.

Troika<Р, Р, ?>, som tilfredsstiller betingelser (1)-(3) kalles et deduktivt system over alfabetet L.

For leseren som er kjent med den vanlige måten å definere "bevis" i termer av "aksiom" og "inferensregel", vil vi nå forklare hvordan denne metoden kan betraktes som et spesialtilfelle av definisjonen gitt i avsnitt 1.3.2. Det vil si at et bevis vanligvis defineres som en sekvens av slike språkuttrykk, som hver er enten et aksiom eller tidligere hentet fra allerede eksisterende utsagn ved bruk av en av inferensreglene. Hvis vi legger til et nytt ord * til alfabetet til språket vårt, kan vi skrive et slikt bevis som et ord sammensatt ved hjelp av det resulterende alfabetet: rekkefølgen av uttrykk blir ordet C1*C2*...*Cn. I dette tilfellet har funksjonen som bestemmer nøyaktig hva som er bevist sin verdi i delen av dette ordet rett etter den siste bokstaven * i sekvensen. Algoritmen hvis eksistens er påkrevd i avsnitt 1.3.2. definisjoner, kan enkelt konstrueres når vi har definert noen av de aksepterte betydningene av ordene "aksiom" og "inferensregel".

1.4 Forsøk på å formulere ufullstendighetsteoremet nøyaktig

1.4.1. Første forsøk

"Under visse betingelser for det grunnleggende paret av språket i alfabetet L og det deduktive systemet<Р, Р, ?>over L finnes det alltid et ord i T som ikke har noe bevis. Dette alternativet ser fortsatt vagt ut. Spesielt kan vi lett komme opp med så mange deduktive systemer som vi liker som har svært få bevisbare ord. ?) det er ingen ord i det hele tatt ville det ha bevis.

1.4.2. Andre forsøk

Det er en annen, mer naturlig tilnærming. Anta at vi får et språk - i den forstand at vi får et grunnleggende par av dette språket. Nå skal vi se etter et deduktivt system over L (intuitivt leter vi etter en bevisteknikk) som vi kan bevise hvordan flere ord fra T, i grensen beskriver alle ord fra T. Gödels teorem en situasjon der et slikt deduktivt system (ved hjelp av hvilket hvert ord i T vil kunne bevises) ikke eksisterer. Vi ønsker derfor å formulere følgende påstand:

"Under visse forhold angående det grunnleggende paret, er det ikke noe slikt deduktivt system der hvert ord fra T vil ha et bevis."

En slik påstand er imidlertid åpenbart falsk, siden det bare er nødvendig å ta et deduktivt system der P = L, P = P? og a(p) = p for alle p i P2; så hvert ord fra L? er trivielt beviselig. Derfor må vi akseptere en viss begrensning på hvilke deduktive systemer vi bruker.

1.5. Konsistens

Det vil være helt naturlig å kreve at bare «sanne utsagn», det vil si bare ord fra T, kan bevises. Vi vil si at det deduktive systemet<Р, Р, ?>er konsistent med hensyn til et fundamentalt par hvis?(P)?T. I alle påfølgende resonnementer vil vi bare være interessert i slike konsistente deduktive systemer. Hvis vi får et språk, ville det være ekstremt fristende å finne et slikt konsistent deduktivt system der enhver sann påstand ville ha et bevis. Varianten av Gödels teorem som interesserer oss, sier at under visse forhold med hensyn til fundamentalparet, er det umulig å finne et slikt deduktivt system.

1.6. fullstendighet

Det sies at det deduktive systemet<Р,Р,?>er komplett med hensyn til det fundamentale paret, forutsatt at?(P)?T. Da har vår formulering av ufullstendighetsteoremet følgende form:

Under visse forhold angående det fundamentale paret er det ikke noe slikt deduktivt system<Р,Р,?>over L som ville være både fullstendig og relativt konsistent.

Bibliografi

For utarbeidelsen av dette arbeidet ble materialer fra nettstedet http://filosof.historic.ru brukt.

En av de mest kjente teoremer matematisk logikk heldig og uheldig på samme tid. I dette er hun som spesiell teori Einsteins relativitet. På den ene siden har nesten alle hørt noe om dem. På den annen side, i den populære tolkningen, Einsteins teori, som du vet, "sier at alt i verden er relativt". Og Gödels ufullstendighetsteorem (heretter ganske enkelt TGN), i en omtrent like fri folkeformulering, "beviser at det er ting som er uforståelige for menneskesinnet". Og så prøver noen å tilpasse det som et argument mot materialisme, mens andre tvert imot beviser med dens hjelp at det ikke finnes noen gud. Det er morsomt ikke bare at begge sider ikke kan ha rett samtidig, men også at verken den ene eller den andre gidder å finne ut hva denne teoremet faktisk sier.

Hva så? Nedenfor vil jeg prøve å "på fingrene" for å snakke om det. Min utstilling vil selvfølgelig ikke være streng og intuitiv, men jeg vil be matematikere om ikke å dømme meg strengt. Det er mulig at for ikke-matematikere (som jeg faktisk også tilhører) vil det være noe nytt og nyttig i det som blir fortalt nedenfor.

Matematisk logikk er faktisk en ganske komplisert vitenskap, og viktigst av alt, ikke veldig kjent. Det krever forsiktige og strenge manøvrer, der det er viktig å ikke forveksle det virkelig beviste med det faktum at «det allerede er klart». Jeg håper imidlertid at for å forstå følgende "oversikt over beviset på TGN", trenger leseren bare kunnskap om skolematematikk / informatikk, ferdigheter logisk tenkning og 15-20 minutter.

Litt forenklet hevder TGN at det er nok vanskelige språk det er udokumenterte utsagn. Men i denne setningen trenger nesten hvert ord en forklaring.

La oss starte med å prøve å finne ut hva et bevis er. La oss ta en skoleoppgave i aritmetikk. La det for eksempel kreves å bevise riktigheten av følgende ukompliserte formel: "" (jeg minner deg om at symbolet leses "for enhver" og kalles "universell kvantifier"). Det kan bevises ved å transformere identisk, si slik:

Overgangen fra en formel til en annen skjer ifølge noen kjente regler. Overgangen fra den 4. formelen til den 5. skjedde, for eksempel, fordi hvert tall er lik seg selv - slik er aksiomet for aritmetikk. Og hele prosedyren for å bevise oversetter derfor formelen til den boolske verdien TRUE. Resultatet kan være FALSKT - hvis vi tilbakeviste en formel. I dette tilfellet vil vi bevise dens negasjon. Det er mulig å forestille seg et program (og slike programmer er faktisk skrevet) som vil bevise slike (og mer komplekse) påstander uten menneskelig innblanding.

La oss slå fast det samme litt mer formelt. Anta at vi har et sett som består av strenger av tegn i et eller annet alfabet, og det er regler som en delmengde av den s.k. uttalelser- det vil si grammatisk meningsfulle fraser, som hver er sann eller usann. Vi kan si at det er en funksjon som matcher utsagn fra en av to verdier: TRUE eller FALSE (det vil si tilordne dem til et boolsk sett med to elementer).

La oss kalle et slikt par - et sett med utsagn og en funksjon fra til - "språk for uttalelser". Merk at i daglig forstand er språkbegrepet noe bredere. For eksempel den russiske frasen "Vel, kom hit!" er ikke sant og ikke usant, det vil si fra et synspunkt av matematisk logikk, er det ikke et utsagn.

For det som følger trenger vi begrepet en algoritme. Jeg vil ikke gi dens formelle definisjon her - dette ville føre oss ganske langt til side. Jeg vil begrense meg til det uformelle: "algoritme"- denne sekvensen av entydige instruksjoner ("program"), som per endelig antall trinn konverterer inndata til utdata. Kursiv er grunnleggende viktig - hvis programmet blir hengt opp i noen innledende data, så beskriver det ikke algoritmen. For enkelhets skyld og i bruk i vårt tilfelle, kan leseren vurdere at en algoritme er et program skrevet på et hvilket som helst programmeringsspråk som er kjent for ham, som, for alle inndata fra en gitt klasse, er garantert å fullføre arbeidet med et boolsk resultat.

La oss spørre oss selv: er det en "bevisalgoritme" for hver funksjon (eller kort sagt, "deduktiv") tilsvarende denne funksjonen, det vil si å oversette hver setning til nøyaktig samme boolske verdi som den? Mer konsist kan det samme spørsmålet formuleres som følger: er hver funksjon over et sett med proposisjoner beregnelig? Som du allerede kan gjette, følger det av gyldigheten til TGN at nei, ikke noen - det er ikke-beregnbare funksjoner av denne typen. Med andre ord, ikke alle sanne utsagn kan bevises.

Det kan godt være at denne uttalelsen vil påføre deg en intern protest. Dette skyldes flere forhold. Først når vi blir undervist skolens matematikk, så er det noen ganger et feilaktig inntrykk av den nesten fullstendige identiteten til setningene "teoremet er sant" og "det er mulig å bevise eller verifisere teoremet". Men hvis du tenker deg om, er det slett ikke åpenbart. Noen teoremer bevises ganske enkelt (for eksempel ved oppregning av et lite antall alternativer), og noen er veldig vanskelige. Tenk for eksempel på Fermats berømte siste teorem:

beviset på dette ble funnet bare tre og et halvt århundre etter den første formuleringen (og det er langt fra elementært). Det er nødvendig å skille mellom sannheten i et utsagn og dets bevisbarhet. Det følger ikke fra noe sted at det ikke finnes sanne, men ubeviselige (og ikke fullt etterprøvbare) utsagn.

Det andre intuitive argumentet mot TGN er mer subtilt. Anta at vi har en ubeviselig (innenfor rammen av denne deduktive) påstanden. Hva hindrer oss i å akseptere det som et nytt aksiom? Dermed vil vi komplisere bevissystemet vårt litt, men dette er ikke forferdelig. Dette argumentet ville være helt korrekt hvis det var et begrenset antall ubevisbare påstander. I praksis kan følgende skje - etter å ha postulert et nytt aksiom, vil du snuble over et nytt ubeviselig utsagn. Ta det som et annet aksiom - du vil snuble over det tredje. Og så videre i det uendelige. De sier deductica vil bli ufullstendig. Vi kan også ta kraftfulle tiltak slik at bevisalgoritmen avsluttes etter et begrenset antall trinn med et eller annet resultat for enhver uttalelse av språket. Men samtidig vil han begynne å lyve - føre til sannheten for uriktige utsagn, eller til løgner - for de troende. I slike tilfeller sies det at deduktiv motstridende. Dermed høres enda en formulering av TGN slik ut: "Det er proposisjonelle språk som fullstendig konsistent deduktikk er umulig" - derav navnet på teoremet.

Noen ganger kalt "Gödels teorem" er påstanden om at enhver teori inneholder problemer som ikke kan løses innenfor rammen av selve teorien og krever dens generalisering. På en måte er dette sant, selv om en slik formulering skjuler problemet i stedet for å avklare det.

Jeg legger også merke til at hvis vi snakket om de vanlige funksjonene som viser settet reelle tall inn i det, så ville ikke "ikke-beregnbarheten" til funksjonen overraske noen (bare ikke bland sammen "beregnbare funksjoner" og "beregnbare tall" - dette er forskjellige ting). Ethvert skolebarn vet at, for eksempel, når det gjelder en funksjon, må du være veldig heldig med argumentet slik at prosessen med å beregne den eksakte desimalrepresentasjonen av verdien av denne funksjonen ender i et begrenset antall trinn. Og mest sannsynlig vil du beregne det ved hjelp av en uendelig serie, og denne beregningen vil aldri føre til eksakt resultat, selv om det kan komme så nært det du vil - ganske enkelt fordi verdien av sinusen til de fleste av argumentene er irrasjonell. TGN forteller oss ganske enkelt at selv blant funksjoner hvis argumenter er strenger og hvis verdier er null eller én, eksisterer også ikke-beregnbare funksjoner, selv om de er arrangert på en helt annen måte.

For det følgende vil vi beskrive "språket for formell aritmetikk". Tenk på en klasse med tekststrenger med endelig lengde, bestående av arabiske tall, variabler (bokstaver latinske alfabetet), tar naturverdier, mellomrom, karakterer aritmetiske operasjoner, likhet og ulikhet, kvantifiserere («finnes») og («for enhver») og kanskje noen andre symboler (deres nøyaktige antall og sammensetning er uviktige for oss). Det er tydelig at ikke alle slike linjer er meningsfulle (for eksempel er "" tull). Delmengden av meningsfulle uttrykk fra denne klassen (det vil si strenger som er sanne eller usanne når det gjelder vanlig aritmetikk) vil være vårt sett med utsagn.

Eksempler på formelle aritmetiske utsagn:

etc. La oss nå kalle en "formel med en fri parameter" (FSP) en streng som blir en setning hvis vi erstatter den med denne parameteren naturlig tall. Eksempler på FSP (med parameter):

etc. Med andre ord tilsvarer FSP-er funksjoner til et naturlig argument med en boolsk verdi.

Angi settet med alle FSP-er med bokstaven. Det er klart at det kan bestilles (for eksempel skriver vi først ut enbokstavsformler ordnet alfabetisk, etterfulgt av tobokstavsformler osv.; etter hvilket alfabet rekkefølgen skal skje er ikke grunnleggende for oss). Dermed tilsvarer enhver FSP nummeret i den bestilte listen, og vi vil betegne det .

La oss nå gå til en skisse av beviset for TGN i følgende formulering:

For proposisjonsspråket for formell aritmetikk er det ingen fullstendig konsistent deduksjon.

Vi vil bevise ved selvmotsigelse.

Så la oss anta at en slik deduktiv eksisterer. La oss beskrive følgende hjelpealgoritme som tildeler en boolsk verdi til et naturlig tall som følger:

Enkelt sagt, algoritmen resulterer i verdien TRUE hvis og bare hvis resultatet av å erstatte sitt eget nummer i FSP-en i listen vår gir en falsk uttalelse.

Her kommer vi til det eneste stedet hvor jeg vil be leseren ta mitt ord for det.

Åpenbart, under antakelsen ovenfor, kan enhver FSP fra assosieres med en algoritme som inneholder et naturlig tall ved inngangen og en boolsk verdi ved utgangen. Mindre åpenbart er det motsatte:

Beviset for dette lemmaet ville i det minste kreve en formell, ikke en intuitiv, definisjon av begrepet en algoritme. Men hvis du tenker deg litt om, er det ganske plausibelt. Algoritmer er faktisk skrevet på algoritmiske språk, blant dem er det så eksotiske som for eksempel Brainfuck , som består av åtte ett-tegns ord, der uansett hvilken som helst algoritme kan implementeres. Det ville være rart om det rikere språket med formelle aritmetiske formler som vi har beskrevet skulle vise seg å være fattigere – selv om det uten tvil ikke egner seg særlig godt for vanlig programmering.

Etter å ha passert dette glatte stedet kommer vi raskt til slutten.

Så vi har beskrevet algoritmen ovenfor. I følge lemmaet jeg ba deg tro, eksisterer det en tilsvarende FSP. Den har et eller annet nummer på listen - la oss si . La oss spørre oss selv, hva er vitsen? La det være SANN. Så, i henhold til konstruksjonen av algoritmen (og derav funksjonen tilsvarende den), betyr dette at resultatet av å erstatte et tall i funksjonen er FALSE. Det motsatte krysses av på samme måte: fra FALSE følger TRUE. Vi har kommet til en selvmotsigelse, som betyr at den opprinnelige antagelsen er feil. For formell aritmetikk er det altså ingen fullstendig konsistent deduksjon. Q.E.D.

Her er det på sin plass å minne om Epimenides (se portrettet i tittelen), som, som du vet, erklærte at alle kretensere er løgnere, og er selv en kretenser. I en mer kortfattet formulering kan uttalelsen hans (kjent som «løgnerparadokset») formuleres som: «Jeg lyver». Det er nettopp et slikt utsagn, som selv forkynner sin falskhet, vi har brukt til beviset.

Avslutningsvis vil jeg bemerke at TGN ikke påstår noe spesielt overraskende. Tross alt har alle lenge vært vant til det faktum at ikke alle tall kan representeres som et forhold mellom to heltall (husk at denne uttalelsen har et veldig elegant bevis som er mer enn to tusen år gammelt?). Og røttene til polynomer med rasjonelle koeffisienter er heller ikke alle tall. Og nå viste det seg at ikke alle funksjonene til et naturlig argument er beregnelige.

Skissen av beviset som ble gitt var for formell aritmetikk, men det er ikke vanskelig å se at THN også gjelder mange andre proposisjonsspråk. Selvfølgelig er ikke alle språk slik. La oss for eksempel definere et språk som dette:

"Hvilken som helst setning kinesisk er en sann påstand hvis den er inneholdt i sitatboken til kamerat Mao Tse Tung, og er feil hvis den ikke er inneholdt.

Da ser den tilsvarende komplette og konsistente bevisalgoritmen (den kan kalles "dogmatisk deduktiv") omtrent slik ut:

«Bla gjennom kamerat Mao Tse Tungs sitatbok til du finner utsagnet du leter etter. Hvis det er funnet, så er det sant, og hvis sitatboken er over, og utsagnet ikke blir funnet, så er det usant.

Her er vi reddet av at enhver sitering åpenbart er begrenset, så prosessen med å "bevise" vil uunngåelig ta slutt. Dermed er TGN uanvendelig på språket til dogmatiske utsagn. Men vi snakket om komplekse språk, ikke sant?

Kurt Gödels ufullstendighetsteoremer var et vendepunkt i det 20. århundres matematikk. Og i hans manuskripter, publisert etter hans død, ble det logiske beviset på Guds eksistens bevart. Ved de siste julelesningene ble det laget en interessant rapport om denne lite kjente arven av førsteamanuensis ved Tobolsk Theological Seminary, teologikandidat, prest Dimitri Kiryanov. "NS" ba om å forklare hovedideene til forskeren.

Gödels ufullstendighetsteorem: Et hull i matematikk

– Kan du på en eller annen måte populært forklare Gödels ufullstendighetsteoremer? Barberen barberer kun de som ikke barberer seg. Barberer frisøren seg selv? Har dette berømte paradokset noe med dem å gjøre?

Hovedtesen for det logiske beviset på Guds eksistens, fremsatt av Kurt Gödel: "Gud eksisterer i tenkningen. Men eksistensen i virkeligheten er større enn eksistensen i tanken alene. Derfor må Gud eksistere." På bildet: forfatteren av ufullstendighetsteoremet Kurt Godel med sin venn, forfatteren av relativitetsteorien Albert Einstein. Preston. Amerika. 1950

– Ja, selvfølgelig har det det. Før Gödel var det problemet med aksiomatisering av matematikk og problemet med slike paradoksale setninger som formelt kunne skrives på et hvilket som helst språk. For eksempel: "Denne påstanden er falsk." Hva er sannheten i denne uttalelsen? Hvis det er sant, så er det usant, hvis det er usant, så er det sant; som resulterer i et språklig paradoks. Gödel undersøkte aritmetikk og viste i sine teoremer at dens konsistens ikke kan bevises fra dens selvinnlysende prinsipper: aksiomene addisjon, subtraksjon, divisjon, multiplikasjon og så videre. Vi trenger noen ekstra forutsetninger for å rettferdiggjøre det. Det er på selve den enkleste teorien, men hva med mer komplekse (fysikkligninger osv.)! For å rettferdiggjøre et eller annet system av resonnement, er vi alltid tvunget til å ty til noen ekstra resonnementer, som ikke er berettiget innenfor rammen av systemet.

For det første indikerer dette begrensningene til menneskesinnets krav i kunnskapen om virkeligheten. Det vil si at vi ikke kan si at vi skal bygge en slags omfattende teori om universet som vil forklare alt – en slik teori kan ikke være vitenskapelig.

Hvordan føler matematikere nå om Gödels teoremer? Ingen prøver å motbevise dem, på en eller annen måte komme seg rundt?

«Det er som å prøve å motbevise Pythagoras teorem. Teoremene har et strengt logisk bevis. Samtidig forsøkes det å finne begrensninger på anvendeligheten til Gödels teoremer. Men det meste av kontroversen dreier seg om de filosofiske implikasjonene av Gödels teoremer.

Hvor forseggjort er Gödels bevis på Guds eksistens? Er den ferdig?

– Det ble utarbeidet i detalj, selv om forskeren selv ikke turte å publisere det før han døde. Gödel utvikler en ontologisk (metafysisk. — "NS") et argument først foreslått av Anselm fra Canterbury. I en fortettet form kan dette argumentet uttrykkes som følger: «Gud, per definisjon, er den som er større enn hvem ingenting kan tenkes. Gud eksisterer i tanken. Men eksistensen i virkeligheten er større enn eksistensen i tanken alene. Derfor må Gud eksistere." Anselms argument ble senere utviklet av René Descartes og Gottfried Wilhelm Leibniz. Så, ifølge Descartes, betyr det å tenke at det høyere fullkomne vesen, som mangler eksistens, å falle inn i en logisk motsetning. I sammenheng med disse ideene utvikler Gödel sin egen versjon av beviset; det passer bokstavelig talt på to sider. Dessverre er presentasjonen av hans argument umulig uten å introdusere en svært kompleks modal logikk i grunnlaget.

Selvfølgelig tvinger ikke den logiske uklanderligheten til Godels konklusjoner en person til å bli troende under presset fra bevisstyrken. Vi skal ikke være naive og tro at vi kan overbevise noen med rimelighet tenkende person tro på Gud gjennom ontologisk argumentasjon eller andre bevis. Tro blir født når man står ansikt til ansikt med den åpenbare tilstedeværelsen av Guds øverste transcendente virkelighet. Men det er minst én person som det ontologiske argumentet førte til religiøs tro, og det er forfatteren Clive Staples Lewis, som selv innrømmet det.

Den fjerne fremtiden er den fjerne fortiden

Hvordan opplevde Gödels samtidige ham? Var han venn med en av de store forskerne?

Einsteins assistent i Princeton vitner om det den eneste personen som han var venn med i fjor livet var Kurt Gödel. De var forskjellige i nesten alt – Einstein er omgjengelig, blid, og Gödel er ekstremt alvorlig, fullstendig ensom og mistillit. Men det hadde de generell kvalitet: begge gikk rett og oppriktig til vitenskapens og filosofiens sentrale spørsmål. Til tross for vennskapet med Einstein, hadde Gödel sitt eget spesifikke syn på religion. Han avviste ideen om Gud som et upersonlig vesen, slik Gud var for Einstein. Ved denne anledningen bemerket Gödel: «Einsteins religion er for abstrakt, som den til Spinoza og indisk filosofi. Spinozas Gud er mindre enn en person; min Gud er mer enn en person; fordi Gud kan spille rollen som en person." Det kan være ånder som ikke har en kropp, men som kan kommunisere med oss og påvirke verden.»

Hvordan havnet Gödel i Amerika? På flukt fra nazistene?

– Ja, han kom til Amerika i 1940 fra Tyskland, til tross for at nazistene anerkjente ham som en arisk og en stor vitenskapsmann, og frigjorde ham fra militærtjeneste. Han og kona Adele tok seg gjennom Russland langs den transsibirske jernbanen. Han etterlot seg ingen minner fra denne reisen. Adele husker bare konstant frykt om natten, at de stopper og kommer tilbake. Etter åtte år med å bo i Amerika, ble Gödel amerikansk statsborger. Som alle søkere om statsborgerskap, måtte han svare på spørsmål angående den amerikanske grunnloven. Som en nøye person forberedte han seg veldig nøye til denne eksamen. Til slutt sa han at han hadde funnet en inkonsekvens i Grunnloven: «Jeg oppdaget en logisk legitim mulighet der USA kunne bli et diktatur». Vennene hans erkjente at, uavhengig av de logiske fordelene ved Gödels argument, var denne muligheten rent hypotetisk, og advarte mot lange samtaler om emnet i eksamen.

Brukte Gödel og Einstein hverandres ideer i vitenskapelig arbeid?

— I 1949 uttrykte Gödel sine kosmologiske ideer i et matematisk essay, som ifølge Albert Einstein var et viktig bidrag til generell teori relativt. Gödel mente at tiden - "den mystiske og samtidig selvmotsigende enheten som danner grunnlaget for verden og vår egen eksistens" - til slutt ville bli største illusjon. Den "en dag" vil slutte å eksistere, og en annen form for væren vil komme, som kan kalles evighet. Denne ideen om tid førte den store logikeren til en uventet konklusjon. Han skrev: «Jeg er overbevist om et liv etter døden, uavhengig av teologi. Hvis verden er intelligent konstruert, så må det finnes et liv etter døden.»

"Tid er en selvmotsigende enhet." Høres rart ut; den har noen fysisk mening?

Gödel viste at innenfor rammen av Einstein-ligningen er det mulig å konstruere en kosmologisk modell med lukket tid, der fjern fortid og fjern fremtid faller sammen. I denne modellen blir det teoretisk mulig reise i tide. Det høres rart ut, men det er matematisk uttrykkbart – det er poenget. Denne modellen kan ha eksperimentelle implikasjoner eller ikke. Det er en teoretisk konstruksjon som kanskje eller ikke kan være nyttig for å bygge nye kosmologiske modeller. Moderne teoretisk fysikk, spesielt kvantekosmologi, har en så kompleks matematisk struktur at det er svært vanskelig å gi disse strukturene en entydig filosofisk forståelse. Dessuten er noen av dens teoretiske konstruksjoner fortsatt eksperimentelt uverifiserbare av den enkle grunn at deres verifisering krever påvisning av partikler med svært høy energi. Husk hvordan folk freaked ut over lanseringen av Large Hadron Collider: midler massemedia stadig skremte mennesker med tilnærmingen til verdens ende. Faktisk en alvorlig vitenskapelig eksperimentå teste modeller for kvantekosmologi og de såkalte «grand unification theories». Hvis det var mulig å oppdage de såkalte Higgs-partiklene, ville dette være neste steg i vår forståelse av de mest tidlige stadier eksistensen av vårt univers. Men inntil det er eksperimentelle data, fortsetter konkurrerende modeller av kvantekosmologi å være bare matematiske modeller.

Tro og intuisjon

«...Min Gud er mer enn en person; siden Gud kan spille rollen som en person...» Er Gödels tro fortsatt langt fra den ortodokse bekjennelsen?

— Svært få av Gödels utsagn om hans tro er bevart, de er samlet bit for bit. Til tross for at Gödel laget de første utkastene til sin egen versjon av argumentasjonen allerede i 1941, frem til 1970, i frykt for latterliggjøringen av kollegene, snakket han ikke om det. I februar 1970, da han kjente at døden nærmet seg, lot han assistenten sin kopiere en versjon av beviset hans. Etter Gödels død i 1978 ble det funnet en litt annen versjon av det ontologiske argumentet i papirene hans. Kurt Gödels kone, Adele, sa to dager etter ektemannens død at Gödel, "selv om han ikke gikk i kirken, var religiøs og leste Bibelen i sengen hver søndag morgen."

Når vi snakker om forskere som Gödel, Einstein eller for eksempel Galileo eller Newton, er det viktig å understreke at de ikke var ateister. De så at bak universet er det fornuft, en viss Høy effekt. For mange forskere, troen på eksistensen Høyeste intelligens var en av konsekvensene av deres vitenskapelige refleksjon, og denne refleksjonen førte ikke alltid til at det oppsto en dyp religiøs forbindelse mellom mennesket og Gud. Med hensyn til Gödel kan man si at han følte behov for denne forbindelsen, siden han understreket at han var teist, at han tenkte på Gud som person. Men hans tro kan selvfølgelig ikke kalles ortodoks. Han var så å si «hjemmelutheraner».

– Du kan gi historiske eksempler: Hvordan kommer forskjellige forskere til å tro på Gud? Her er genetikken til Francis Collins, ifølge hans tilståelser førte studiet av strukturen til DNA til tro på Gud ...

«I seg selv er naturlig kunnskap om Gud ikke tilstrekkelig for kunnskap om Gud. Det er ikke nok å oppdage Gud ved å studere naturen – det er viktig å lære ham å kjenne gjennom åpenbaringen som Gud ga mennesket. En persons komme til tro, enten han er en vitenskapsmann eller ikke, er alltid avhengig av noe som går utover bare logiske eller vitenskapelige argumenter. Francis Collins skriver at han kom til troen i en alder av 27 år etter en lang intellektuell strid med seg selv og under påvirkning av Clive Staples Lewis. To mennesker er i samme historiske situasjon, under de samme startforholdene: den ene blir en troende, den andre en ateist. Studiet av DNA alene fører til troen på Guds eksistens. Den andre studier og kommer ikke til det. To personer ser på bildet: den ene synes det er vakkert, og den andre sier: «Så som så, et vanlig bilde!» Den ene har smak, intuisjon, og den andre har ikke. Professor i den ortodokse St. Tikhon humanitært universitet Vladimir Nikolaevich Katasonov, doktor i filosofi, en matematiker med første utdanning, sier: "Ingen bevis i matematikk er mulig uten intuisjon: en matematiker ser først et bilde, og formulerer deretter et bevis."

Spørsmålet om en persons komme til tro er alltid et spørsmål som går utover bare logiske resonnementer. Hvordan forklare hva som førte deg til tro? Mannen svarer: Jeg gikk til templet, tenkte, leste dette og hint, så universets harmoni; men det viktigste, det mest eksepsjonelle øyeblikket, der en person plutselig blir klar over at han har møtt Guds nærvær, kan ikke uttrykkes. Det er alltid en hemmelighet.

– Du kan identifisere problemer som ikke kan løses moderne vitenskap?

— Likevel er vitenskapen en tilstrekkelig selvsikker, uavhengig og veletablert virksomhet til å si så skarpt. Det er et godt og veldig nyttig verktøy i hendene på mennesker. Siden Francis Bacons tid har kunnskap virkelig blitt en kraft som har forandret verden. Vitenskapen utvikler seg i samsvar med sine interne lover: forskeren søker å forstå universets lover, og det er ingen tvil om at dette søket vil føre til suksess. Men samtidig er det nødvendig å være klar over vitenskapens grenser. Man bør ikke forveksle vitenskap med de ideologiske spørsmålene som kan reises i forbindelse med vitenskap. Nøkkelsaker i dag forbindes ikke så mye med den vitenskapelige metoden som med verdiorienteringer. Vitenskap i løpet av det lange tjuende århundre ble av mennesker oppfattet som et absolutt gode som bidrar til menneskehetens fremgang; og vi ser at det tjuende århundre har blitt det mest grusomme når det gjelder menneskelige tap. Og så er det spørsmålet om verdier. vitenskapelige fremskritt, kunnskap generelt. Etiske verdier følger ikke av vitenskapen selv. En briljant vitenskapsmann kan finne opp et våpen for å ødelegge hele menneskeheten, og her oppstår spørsmålet om det moralske ansvaret til en vitenskapsmann, som vitenskapen ikke kan svare på. Vitenskapen kan ikke vise mennesket meningen og hensikten med dets eksistens. Vitenskapen vil aldri kunne svare på spørsmålet hvorfor er vi her? Hvorfor eksisterer universet? Disse spørsmålene løses på et annet kunnskapsnivå, som filosofi og religion.

— Bortsett fra Gödels teoremer, er det andre bevis for at den vitenskapelige metoden har sine begrensninger? Erkjenner forskerne selv dette?

– Allerede på begynnelsen av 1900-tallet pekte filosofene Bergson og Husserl på relativ verdi vitenskapelig kunnskap natur. Det har nå blitt en nesten universell oppfatning blant vitenskapsfilosofer at vitenskapelige teorier representerer hypotetiske modeller for å forklare fenomener. En av skaperne kvantemekanikk Erwin Schrödinger sa det elementærpartikler er bare bilder, men vi kan klare oss uten dem. I følge filosofen og logikeren Karl Popper er vitenskapelige teorier som et nett som vi prøver å fange verden gjennom, de er ikke som fotografier. vitenskapelige teorier er i konstant utvikling og endring. Skaperne av kvantemekanikk, som Pauli, Bohr, Heisenberg snakket om grensene for den vitenskapelige metoden. Pauli skrev: «... Fysikk og psyke kan betraktes som tilleggsaspekter den samme virkeligheten» - og fokuserte på irreduserbarheten høyere nivåer være til det lavere. Ulike forklaringer dekker bare ett aspekt av saken hver gang, men en omfattende teori vil aldri bli oppnådd.

Universets skjønnhet og harmoni innebærer muligheten for dets kunnskap vitenskapelige metoder. Samtidig har kristne alltid forstått det ubegripelige i mysteriet bak dette materielle universet. Universet har ikke noe grunnlag i seg selv og peker på den perfekte kilden til å være - Gud.

En av de mest kjente teoremene innen matematisk logikk, heldig og uheldig på samme tid. I denne ligner den Einsteins spesielle relativitetsteori. På den ene siden har nesten alle hørt noe om dem. På den annen side, i den populære tolkningen, Einsteins teori, som du vet, "sier at alt i verden er relativt". Og Gödels ufullstendighetsteorem (heretter ganske enkelt TGN), i en omtrent like fri folkeformulering, "beviser at det er ting som er uforståelige for menneskesinnet". Og så prøver noen å tilpasse det som et argument mot materialisme, mens andre tvert imot beviser med dens hjelp at det ikke finnes noen gud. Det er morsomt ikke bare at begge sider ikke kan ha rett samtidig, men også at verken den ene eller den andre gidder å finne ut hva denne teoremet faktisk sier.

Matematisk logikk er faktisk en ganske komplisert vitenskap, og viktigst av alt, ikke veldig kjent. Det krever forsiktige og strenge manøvrer, der det er viktig å ikke forveksle det virkelig beviste med det faktum at «det allerede er klart». Imidlertid håper jeg at for å forstå følgende "omriss av beviset på TGN", trenger leseren bare kunnskap om skolematematikk / informatikk, logiske tenkningsferdigheter og 15-20 minutter tid.

For å forenkle noe, hevder TGN at det på tilstrekkelig komplekse språk er upåviselige proposisjoner. Men i denne setningen trenger nesten hvert ord en forklaring.

Overgangen fra en formel til en annen skjer i henhold til visse velkjente regler. Overgangen fra den 4. formelen til den 5. skjedde, for eksempel, fordi hvert tall er lik seg selv - slik er aksiomet for aritmetikk. Og hele prosedyren for å bevise oversetter derfor formelen til den boolske verdien TRUE. Resultatet kan være FALSKT - hvis vi tilbakeviste en formel. I dette tilfellet vil vi bevise dens negasjon. Det er mulig å forestille seg et program (og slike programmer er faktisk skrevet) som vil bevise slike (og mer komplekse) påstander uten menneskelig innblanding.

For det som følger trenger vi begrepet en algoritme. Jeg vil ikke gi dens formelle definisjon her - dette ville føre oss ganske langt til side. Jeg vil begrense meg til det uformelle: "algoritme"- denne sekvensen av entydige instruksjoner ("program"), som i et begrenset antall trinn konverterer inndata til utdata. Kursiv er grunnleggende viktig - hvis programmet blir hengt opp i noen innledende data, så beskriver det ikke algoritmen. For enkelhets skyld og i bruk i vårt tilfelle, kan leseren vurdere at en algoritme er et program skrevet på et hvilket som helst programmeringsspråk som er kjent for ham, som, for alle inndata fra en gitt klasse, er garantert å fullføre arbeidet med et boolsk resultat.

Det kan godt være at denne uttalelsen vil påføre deg en intern protest. Dette skyldes flere forhold. For det første, når vi blir undervist i skolematematikk, er det noen ganger et feilaktig inntrykk av at setningene "teoremet er sant" og "det er mulig å bevise eller verifisere teoremet" er nesten identiske. Men hvis du tenker deg om, er det slett ikke åpenbart. Noen teoremer bevises ganske enkelt (for eksempel ved oppregning av et lite antall alternativer), og noen er veldig vanskelige. Tenk for eksempel på Fermats berømte siste teorem:

Jeg legger også merke til at hvis vi snakket om de vanlige funksjonene som kartlegger settet med reelle tall inn i det, så ville ikke "ikke-beregnbarheten" til funksjonen overraske noen (bare ikke forveksle "beregnbare funksjoner" og "beregnbare tall" - dette er forskjellige ting). Ethvert skolebarn vet at, for eksempel, når det gjelder en funksjon, må du være veldig heldig med argumentet slik at prosessen med å beregne den eksakte desimalrepresentasjonen av verdien av denne funksjonen ender i et begrenset antall trinn. Og mest sannsynlig vil du beregne det ved hjelp av en uendelig rekke, og denne beregningen vil aldri føre til et eksakt resultat, selv om det kan komme så nært det du vil – rett og slett fordi verdien av sinusen til de fleste av argumentene er irrasjonell. TGN forteller oss ganske enkelt at selv blant funksjoner hvis argumenter er strenger og hvis verdier er null eller én, eksisterer også ikke-beregnbare funksjoner, selv om de er arrangert på en helt annen måte.

For det følgende vil vi beskrive "språket for formell aritmetikk". Tenk på en klasse tekststrenger med endelig lengde, bestående av arabiske tall, variabler (bokstaver i det latinske alfabetet) som tar naturlige verdier, mellomrom, tegn på aritmetiske operasjoner, likhet og ulikhet, kvantifiserere ("eksisterer") og ("for enhver" ) og kanskje noen andre symboler (deres nøyaktige antall og sammensetning er uviktige for oss). Det er tydelig at ikke alle slike linjer er meningsfulle (for eksempel er "" tull). Delmengden av meningsfulle uttrykk fra denne klassen (det vil si strenger som er sanne eller usanne når det gjelder vanlig aritmetikk) vil være vårt sett med utsagn.

Eksempler på formelle aritmetiske utsagn:

etc. La oss nå kalle en "formel med en ledig parameter" (FSP) en streng som blir en setning hvis et naturlig tall er erstattet med denne parameteren. Eksempler på FSP (med parameter):

etc. Med andre ord tilsvarer FSP-er funksjoner til et naturlig argument med en boolsk verdi.

La oss nå gå til en skisse av beviset for TGN i følgende formulering:

For proposisjonsspråket for formell aritmetikk er det ingen fullstendig konsistent deduksjon.

Vi vil bevise ved selvmotsigelse.

Så la oss anta at en slik deduktiv eksisterer. La oss beskrive følgende hjelpealgoritme som tildeler en boolsk verdi til et naturlig tall som følger:

Enkelt sagt, algoritmen resulterer i verdien TRUE hvis og bare hvis resultatet av å erstatte sitt eget nummer i FSP-en i listen vår gir en falsk uttalelse.

Her kommer vi til det eneste stedet hvor jeg vil be leseren ta mitt ord for det.

Åpenbart, under antakelsen ovenfor, kan enhver FSP fra assosieres med en algoritme som inneholder et naturlig tall ved inngangen og en boolsk verdi ved utgangen. Mindre åpenbart er det motsatte:

Etter å ha passert dette glatte stedet kommer vi raskt til slutten.

"Enhver setning på det kinesiske språket er en sann uttalelse hvis den er inneholdt i kamerat Mao Tse Tungs sitatbok, og er feil hvis den ikke er inneholdt."

Da ser den tilsvarende komplette og konsistente bevisalgoritmen (den kan kalles "dogmatisk deduktiv") omtrent slik ut:

«Bla gjennom kamerat Mao Tse Tungs sitatbok til du finner utsagnet du leter etter. Hvis det er funnet, så er det sant, og hvis sitatboken er over, og utsagnet ikke blir funnet, så er det usant.

Tags: Legg til tagger

Ethvert system av matematiske aksiomer, med utgangspunkt i et visst kompleksitetsnivå, er enten internt inkonsekvent eller ufullstendig.

I 1900 ble verdenskonferansen for matematikere holdt i Paris, hvor David Hilbert (1862-1943) presenterte i form av sammendrag de 23 viktigste, etter hans mening, problemer formulert av ham, og som skulle løses av teoretiske vitenskapsmenn av det kommende tjuende århundre. Nummer to på listen hans var en av dem enkle oppgaver, svaret på det virker åpenbart inntil du graver litt dypere. snakker moderne språk, det var spørsmålet: er matematikk tilstrekkelig alene? Hilberts andre problem var å bevise strengt at systemet aksiomer- de grunnleggende utsagnene tatt i matematikk som grunnlag uten bevis - er perfekte og fullstendige, det vil si at de lar deg matematisk beskrive alt som eksisterer. Det var nødvendig å bevise at det er mulig å sette et slikt system av aksiomer at de for det første vil være gjensidig konsistente, og for det andre kan man trekke en konklusjon fra dem angående sannheten eller usannheten til ethvert utsagn.

La oss ta et eksempel fra skolegeometri. Standard Euklidisk planimetri(geometri på planet) er det mulig å bevise ubetinget at påstanden "summen av vinklene til en trekant er 180°" er sann, og påstanden "summen av vinklene til en trekant er 137°" er usann. I hovedsak, i euklidisk geometri, er enhver påstand enten usann eller sann, og den tredje er ikke gitt. Og på begynnelsen av det tjuende århundre trodde matematikere naivt at den samme situasjonen burde observeres i ethvert logisk konsistent system.

Og så i 1931 tok en eller annen wienerbrillete matematiker Kurt Godel og publiserte en kort artikkel som rett og slett veltet hele verden av såkalt "matematisk logikk". Etter lange og komplekse matematiske og teoretiske innledninger, etablerte han bokstavelig talt følgende. La oss ta ethvert utsagn som: "Antakelse #247 er logisk ubeviselig i dette aksiomsystemet" og kalle det "utsagn A". Så Gödel beviste ganske enkelt følgende fantastiske eiendom noen aksiomsystemer:

"Hvis en påstand A kan bevises, kan en ikke-A-påstand bevises."

Med andre ord, hvis det er mulig å bevise gyldigheten av utsagnet "Antagelse 247 ikke beviselig", så er det mulig å bevise gyldigheten av utsagnet "Antagelse 247 beviselig". Det vil si, for å gå tilbake til formuleringen av det andre Hilbert-problemet, hvis systemet med aksiomer er komplett (det vil si at ethvert utsagn i det kan bevises), så er det inkonsekvent.

Den eneste veien ut av denne situasjonen er å akseptere et ufullstendig system av aksiomer. Det vil si at man må tåle at i sammenheng med evt logisk system vi vil sitte igjen med "type A"-utsagn som er kjent for å være sanne eller usanne - og vi kan bare bedømme sannheten deres utenfor rammeverket for aksiomatikken vi har tatt i bruk. Hvis det ikke finnes slike utsagn, så er vår aksiomatikk selvmotsigende, og innenfor dens rammer vil det uunngåelig være formuleringer som både kan bevises og tilbakevises.

Så ordlyden først,eller svak Gödels ufullstendighetsteoremer: "Ethvert formelt system av aksiomer inneholder uavklarte antakelser." Men Gödel stoppet ikke der, formulerte og beviste sekund, eller sterk Godels ufullstendighetsteorem: «Den logiske fullstendigheten (eller ufullstendigheten) til ethvert system av aksiomer kan ikke bevises innenfor rammen av dette systemet. For å bevise eller motbevise det, kreves det ytterligere aksiomer (styrking av systemet).

Det ville være tryggere å tro at Godels teoremer er abstrakte og ikke angår oss, men bare områder med sublim matematisk logikk, men faktisk viste det seg at de er direkte relatert til strukturen til den menneskelige hjernen. Engelsk matematiker og fysikeren Roger Penrose (f. 1931) viste at Gödels teoremer kunne brukes til å bevise grunnleggende forskjeller mellom den menneskelige hjernen og en datamaskin. Poenget med resonnementet hans er enkelt. Datamaskinen opererer strengt logisk og er ikke i stand til å avgjøre om påstand A er sann eller usann hvis den går utover omfanget av aksiomatikk, og slike utsagn, ifølge Gödels teorem, eksisterer uunngåelig. En person, som står overfor et slikt logisk ubeviselig og ugjendrivelig utsagn A, er alltid i stand til å fastslå sannheten eller usannheten - basert på hverdagserfaring. I hvert fall i dette Menneskehjerne utkonkurrerer en datamaskin lenket med ren logiske kretser. Den menneskelige hjernen er i stand til å forstå den fulle dybden av sannheten i Gödels teoremer, men en datamaskin kan man aldri. Derfor er den menneskelige hjernen alt annet enn en datamaskin. Han er kapabel å ta avgjørelser, og Turing-testen vil bestå.

Jeg lurer på om Hilbert hadde noen anelse om hvor langt spørsmålene hans ville ta oss?

Kurt Godel, 1906-78

Østerriksk, daværende amerikansk matematiker. Født i Brünn (Brünn, nå Brno, Tsjekkia). Han ble uteksaminert fra universitetet i Wien, hvor han forble lærer ved Institutt for matematikk (siden 1930 - professor). I 1931 publiserte han et teorem som senere fikk navnet hans. Som en rent apolitisk person, overlevde han ekstremt hardt drapet på sin venn og avdelingsansatt av en nazistudent og falt i en dyp depresjon, hvis tilbakefall hjemsøkte ham til slutten av livet. På 1930-tallet emigrerte han til USA, men returnerte til hjemlandet Østerrike og giftet seg. I 1940, på høyden av krigen, ble han tvunget til å flykte til Amerika på transitt gjennom Sovjetunionen og Japan. Jobbet en stund ved Princeton Institute avansert forskning. Dessverre kunne ikke psyken til forskeren tåle det, og han døde av sult på en psykiatrisk klinikk og nektet å spise, fordi han var overbevist om at de hadde til hensikt å forgifte ham.