Teoretisk materiale.

Som kjent er en implisitt gitt funksjon av en variabel definert som følger: funksjonen y til den uavhengige variabelen x kalles implisitt hvis den er gitt av en ligning som ikke er løst med hensyn til y:

Eksempel 1.11.

Ligning

spesifiserer implisitt to funksjoner:

Og ligningen

spesifiserer ingen funksjon.

Teorem 1.2 (eksistensen av en implisitt funksjon).

La funksjonen z =f(x,y) og dens partielle deriverte f"x og f"y være definert og kontinuerlig i et eller annet nabolag UM0 av punktet M0(x0y0). I tillegg, f(x0,y0)=0 og f"(x0,y0)≠0, så definerer ligning (1.33) i nærheten av UM0 en implisitt funksjon y= y(x), kontinuerlig og differensierbar i et eller annet intervall D med sentrum i punktet x0, og y(x0)=y0.

Ingen bevis.

Fra teorem 1.2 følger det at på dette intervallet D:

det vil si at det er en identitet i

hvor den "totale" deriverte er funnet i henhold til (1.31)

Det vil si at (1.35) gir en formel for å finne den deriverte av en implisitt gitt funksjon av én variabel x.

En implisitt funksjon av to eller flere variabler er definert på samme måte.

For eksempel, hvis i et område V i Oxyz-rommet, gjelder ligningen:

så under visse betingelser på funksjonen F definerer den implisitt funksjonen

Videre, analogt med (1.35), finnes dets partielle derivater som følger:

Eksempel 1.12. Forutsatt at ligningen

definerer implisitt en funksjon

finn z"x, z"y.

derfor får vi i følge (1.37) svaret.

11.Bruk av partielle derivater i geometri.

12.Ekstrema av en funksjon av to variabler.

Begrepene maksimum, minimum og ekstremum av en funksjon av to variabler ligner på de tilsvarende konseptene for en funksjon av en uavhengig variabel (se avsnitt 25.4).

La funksjonen z = ƒ(x;y) være definert i et eller annet domene D, punkt N(x0;y0) О D.

Et punkt (x0;y0) kalles et maksimumspunkt for funksjonen z=ƒ(x;y) hvis det er et d-område til punktet (x0;y0) slik at for hvert punkt (x;y) er forskjellig fra (xo;yo), fra dette nabolaget gjelder ulikheten ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

EN Minimumspunktet for funksjonen bestemmes på lignende måte: for alle punkter (x; y) bortsett fra (x0; y0), fra d-området til punktet (xo; yo) gjelder følgende ulikhet: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

I figur 210: N1 er maksimumspunktet, og N2 er minimumspunktet for funksjonen z=ƒ(x;y).

Verdien av funksjonen ved punktet for maksimum (minimum) kalles maksimum (minimum) av funksjonen. Maksimum og minimum av en funksjon kalles dens ekstreme.

Legg merke til at ytterpunktet for funksjonen per definisjon ligger innenfor definisjonsdomenet til funksjonen; maksimum og minimum har en lokal (lokal) karakter: verdien av funksjonen i punktet (x0; y0) sammenlignes med verdiene på punkter som er tilstrekkelig nær (x0; y0). I region D kan en funksjon ha flere ekstrema eller ingen.

46,2. Nødvendig og tilstrekkelige forhold ekstremum

La oss vurdere betingelsene for eksistensen av et ekstremum av en funksjon.

Teorem 46.1 (nødvendige betingelser for et ekstremum). Hvis den differensierbare funksjonen z=ƒ(x;y) i punktet N(x0;y0) har et ekstremum, er dens partielle deriverte på dette punktet lik null: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0)=0.

La oss fikse en av variablene. La oss for eksempel sette y=y0. Da får vi en funksjon ƒ(x;y0)=φ(x) av en variabel, som har et ekstremum ved x = x0. Derfor, i henhold til den nødvendige betingelsen for ekstremumet til en funksjon av én variabel (se avsnitt 25.4), φ"(x0) = 0, dvs. ƒ"x(x0;y0)=0.

På samme måte kan det vises at ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometrisk betyr likhetene ƒ"x(x0;y0)=0 og ƒ"y(x0;y0)=0 at ved ytterpunktet til funksjonen z=ƒ(x;y) er tangentplanet til overflaten som representerer funksjon ƒ(x;y) ), er parallell med Oxy-planet, siden likningen til tangentplanet er z=z0 (se formel (45.2)).

Z note. En funksjon kan ha et ekstremum på punkter der minst en av de partielle deriverte ikke eksisterer. For eksempel funksjonen har et maksimum i punktet O(0;0) (se fig. 211), men har ikke partielle deriverte på dette punktet.

Punktet hvor de første ordens partielle deriverte av funksjonen z ≈ ƒ(x; y) er lik null, dvs. f"x=0, f"y=0, kalles et stasjonært punkt for funksjonen z.

Stasjonære punkter og punkter hvor det ikke eksisterer minst én partiell derivert kalles kritiske punkter.

På kritiske punkter kan funksjonen ha eller ikke ha et ekstremum. Likheten av partielle derivater til null er en nødvendig, men ikke tilstrekkelig betingelse for eksistensen av et ekstremum. Tenk for eksempel på funksjonen z = xy. For det er punktet O(0; 0) kritisk (ved det forsvinner z"x=y og z"y - x). Funksjonen z=xy har imidlertid ikke et ekstremum i seg, siden det i et tilstrekkelig lite nabolag til punktet O(0; 0) er punkter for hvilke z>0 (punkter i første og tredje kvartal) og z< 0 (точки II и IV четвертей).

For å finne ytterpunktene til en funksjon i et gitt område, er det derfor nødvendig å utsette hvert kritiske punkt i funksjonen for ytterligere forskning.

Teorem 46.2 (tilstrekkelig tilstand for et ekstremum). Slipp inn stasjonært punkt(xo;y0) og noen av dens nabolag, funksjonen ƒ(x;y) har kontinuerlige partielle deriverte opp til andre orden inklusive. La oss beregne ved punktet (x0;y0) verdiene A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . La oss betegne

1. hvis Δ > 0, så har funksjonen ƒ(x;y) i punktet (x0;y0) et ekstremum: maksimum hvis A< 0; минимум, если А > 0;

2. hvis Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

I tilfelle av Δ = 0, kan det være et ekstremum ved punktet (x0;y0). Mer forskning er nødvendig.

OPPGAVER

Eksempel. Finn intervallene for økende og minkende funksjoner. Løsning. Det første trinnet er finne definisjonsdomenet til en funksjon. I vårt eksempel skal ikke uttrykket i nevneren gå til null, derfor . La oss gå videre til den deriverte funksjonen: For å bestemme intervallene for økning og reduksjon av en funksjon basert på et tilstrekkelig kriterium, løser vi ulikheter på definisjonsdomenet. La oss bruke en generalisering av intervallmetoden. Den eneste virkelige roten til telleren er x = 2, og nevneren går til null kl x = 0. Disse punktene deler definisjonsdomenet inn i intervaller der den deriverte av funksjonen beholder fortegn. La oss markere disse punktene på talllinjen. Vi angir konvensjonelt med plusser og minuser intervallene der den deriverte er positiv eller negativ. Pilene nedenfor viser skjematisk økning eller reduksjon av funksjonen på det tilsvarende intervallet. Slik, Og . På punktet x = 2 funksjonen er definert og kontinuerlig, så den bør legges til både økende og avtagende intervaller. På punktet x = 0 funksjonen er ikke definert, så vi inkluderer ikke dette punktet i de nødvendige intervallene. Vi presenterer en graf av funksjonen for å sammenligne resultatene som er oppnådd med den. Svare: funksjonen øker med , reduseres med intervallet (0; 2] .

Eksempler.

Still inn intervallene for konveksitet og konkavitet for en kurve y = 2 – x 2 .

Vi finner y"" og bestemme hvor den andre deriverte er positiv og hvor den er negativ. y" = –2x, y"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

y = e x. y"" = e Fordi x x > 0 for noen

y = x 3 . y"" = 6x, så er kurven konkav overalt. y"" < 0 при x < 0 и y, Det x""> 0 kl x < 0 кривая выпукла, а при x> 0. Derfor, når

4. > 0 er konkav. Gitt funksjonen z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j og punkt A(3,2). Finn dz/dl (slik jeg forstår det, den deriverte av funksjonen med hensyn til retningen til vektoren), gradz(A), |gradz(A)|. La oss finne de partielle derivertene: z(med hensyn til x)=2x+5 z(med hensyn til y)=-2y+4 La oss finne verdiene til de deriverte i punkt A(3,2): z(med i forhold til x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(ved y)(3,2)=-2*2+4=0 Fra hvor, gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Derivert av funksjon z i retning av vektor l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, b-vinkler til vektoren

La funksjonen spesifiseres implisitt ved å bruke ligningen
(1) .
Og la denne ligningen, for en viss verdi, ha en unik løsning.
.
La funksjonen være en differensierbar funksjon ved punktet , og
(2) .

Så, ved denne verdien, er det en derivat, som bestemmes av formelen:

Bevis
.
For å bevise det, betrakt funksjonen som en kompleks funksjon av variabelen: La oss bruke regelen for differensiering av en kompleks funksjon og finne den deriverte med hensyn til variabelen fra venstre og riktige deler
(3) :
.
ligninger
(4) ;
.

Siden den deriverte av en konstant er null og , da

Formelen er bevist.

Høyere ordens derivater
(4) .
La oss omskrive ligning (4) ved å bruke forskjellige notasjoner:
;
.
På samme tid, og er komplekse funksjoner av variabelen:
(1) .

Avhengigheten bestemmes av ligning (1):
Vi finner den deriverte med hensyn til en variabel fra venstre og høyre side av ligning (4).
;
.
I henhold til formelen for den deriverte av en kompleks funksjon, har vi:

.
I henhold til produktderivatformelen:

.

Ved å bruke den deriverte sumformelen:
(5) .
Siden den deriverte av høyre side av ligning (4) er lik null, da

Ved å erstatte den deriverte her, får vi verdien av andreordens deriverte i implisitt form.
.
Ved å differensiere ligning (5) på lignende måte får vi en ligning som inneholder en tredjeordens derivert:

Ved å erstatte de funnet verdiene av den første og andre ordens deriverte her, finner vi verdien av den tredje ordens deriverte.

Fortsatt differensiering kan man finne en derivat av hvilken som helst rekkefølge.

Eksempler

Eksempel 1
Finn den førsteordens deriverte av funksjonen gitt implisitt av ligningen: .

(P1)

Løsning med formel 2
(2) .

Vi finner den deriverte ved å bruke formel (2):
.
La oss flytte alle variablene til venstre side slik at ligningen får formen .

Herfra.
;
;
;
.

Vi finner den deriverte med hensyn til , vurderer den konstant.
;
;
;
.

Vi finner den deriverte med hensyn til variabelen, med tanke på variabelkonstanten.
.

Ved å bruke formel (2) finner vi:
.
Vi kan forenkle resultatet hvis vi legger merke til at i henhold til den opprinnelige ligningen (A.1), .
.

La oss erstatte:

Multipliser telleren og nevneren med:

Andreveis løsning
.
La oss løse dette eksemplet på den andre måten. For å gjøre dette vil vi finne den deriverte med hensyn til variabelen til venstre og høyre side av den opprinnelige ligningen (A1).
;
.
Vi bruker:
.
Vi bruker den deriverte brøkformelen:
Finn den førsteordens deriverte av funksjonen gitt implisitt av ligningen: ;
;
.
Vi bruker formelen for den deriverte av en kompleks funksjon:
;
.

La oss differensiere den opprinnelige ligningen (A1).
.
Vi multipliserer med og grupperer begrepene.
.

La oss erstatte (fra ligning (A1)):

Multipliser med:

Svare
Eksempel 2 .

Finn andreordens deriverte av funksjonen gitt implisitt ved å bruke ligningen:

(A2.1)
;
.
Løsning kompleks funksjon.
.

La oss skille den opprinnelige ligningen (A2.1):
;
.
Fra den opprinnelige ligningen (A2.1) følger det at .
.
La oss erstatte:
;
Åpne parentesene og grupper medlemmene: .
(A2.2)
Vi finner den første ordens deriverte: .

(A2.3)
;
;
;
.
For å finne andreordens deriverte differensierer vi ligningen (A2.2).
.
Vi multipliserer med og grupperer begrepene.

;
.
La oss erstatte uttrykket med den førsteordens deriverte (A2.3):

La oss erstatte (fra ligning (A1)):

Herfra finner vi andreordens deriverte.

Eksempel 3
Finn tredjeordens deriverte av funksjonen gitt implisitt ved å bruke ligningen: .

Finn andreordens deriverte av funksjonen gitt implisitt ved å bruke ligningen:

(A3.1)
;
;
;
;
;
;
Vi differensierer den opprinnelige ligningen med hensyn til variabelen, forutsatt at den er en funksjon av . ;

(A3.2)
;
;
;
;
;
La oss differensiere ligning (A3.2) med hensyn til variabelen . .

(A3.3)
;
;
;
;
;
La oss differensiere ligningen (A3.3). .

(A3.4)
;
;
.

Fra ligningene (A3.2), (A3.3) og (A3.4) finner vi verdiene til de deriverte ved . x Og y Vi vil lære å finne deriverte av funksjoner spesifisert implisitt, det vil si spesifisert av visse ligninger som forbinder variabler

. Eksempler på funksjoner spesifisert implisitt: Derivater av funksjoner spesifisert implisitt, eller derivater implisitte funksjoner

, finnes ganske enkelt. La oss nå se på den tilsvarende regelen og eksemplet, og deretter finne ut hvorfor dette er nødvendig generelt.

For å finne den deriverte av en funksjon spesifisert implisitt, må du differensiere begge sider av ligningen med hensyn til x. De leddene der bare X er tilstede vil bli til den vanlige deriverten av funksjonen fra X. Og vilkårene med spillet må differensieres ved å bruke regelen for å differensiere en kompleks funksjon, siden spillet er en funksjon av X. For å si det ganske enkelt, bør den resulterende deriverte av begrepet med x resultere i: den deriverte av funksjonen fra y multiplisert med den deriverte fra y. For eksempel vil den deriverte av en term skrives som , den deriverte av en term skrives som . Deretter, fra alt dette, må du uttrykke dette "spillslaget", og ønsket derivat av funksjonen spesifisert implisitt vil bli oppnådd. La oss se på dette med et eksempel.

Eksempel 1.

Løsning. Vi differensierer begge sider av ligningen med hensyn til x, forutsatt at i er en funksjon av x:

Herfra får vi den deriverte som kreves i oppgaven: Nå noe om den tvetydige egenskapen til funksjoner spesifisert implisitt, og hvorfor spesielle regler for deres differensiering er nødvendig. I noen tilfeller kan du bekrefte at substitusjonen i gitt ligning

(se eksempler ovenfor) i stedet for y, fører dets uttrykk gjennom x til at denne ligningen blir til en identitet. Så. Ovennevnte ligning definerer implisitt følgende funksjoner:

Uttrykkene som vi erstattet ble oppnådd ved å løse ligningen for spillet.

Hvis vi skulle differensiere den tilsvarende eksplisitte funksjonen

da vil vi få svaret som i eksempel 1 - fra en funksjon spesifisert implisitt:

Men ikke hver funksjon spesifisert implisitt kan representeres i skjemaet y = f(x) . Så for eksempel de implisitt spesifiserte funksjonene

er ikke uttrykt gjennom elementære funksjoner, det vil si at disse ligningene ikke kan løses med hensyn til spilleren. Derfor er det en regel for å differensiere en funksjon spesifisert implisitt, som vi allerede har studert og vil videre konsekvent anvende i andre eksempler.

Eksempel 2. Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt:

Vi uttrykker primtall og - ved utgangen - den deriverte av funksjonen spesifisert implisitt:

Eksempel 3. Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt:

Løsning. Vi skiller begge sider av ligningen med hensyn til x:

Eksempel 4. Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt:

Løsning. Vi skiller begge sider av ligningen med hensyn til x:

Vi uttrykker og oppnår den deriverte:

Eksempel 5. Finn den deriverte av en funksjon gitt implisitt:

Løsning. Vi flytter leddene på høyre side av ligningen til venstre og lar null på høyre side. Vi skiller begge sider av ligningen med hensyn til x.

Gitt et ligningssystem

eller kortF(x, y)=0 (1)

Definisjon. System (1) definerer en implisitt spesifisert funksjony= f(x) påD R n

Hvis x D : F(x , f(x)) = 0.

Teorem (eksistens og unikhet av en kartlegging implisitt definert av et ligningssystem). La

Så i et eller annet nabolagU (x 0 ) det er en unik funksjon (kart) definert i dette nabolagety = f(x), slik at

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 ogy 0 = f(x 0 ).

Denne funksjonen er kontinuerlig differensierbar i noen områder av punktetx 0 .

5. Beregning av deriverte av implisitte funksjoner spesifisert av et ligningssystem

Gitt systemet

(1)

Vi vil anta at betingelsene for eksistens- og unikhetsteoremet for den implisitte funksjonen spesifisert av dette ligningssystemet er oppfylt. La oss betegne denne funksjonen y= f(x) . Så i et eller annet nabolag av punktet x 0 identitetene er gyldige

(F(x, f(x))=0) (2)

Å differensiere disse identitetene ved x j vi får

=0 (3)

Disse likhetene kan skrives inn matriseform

, (3)

eller i utvidet form

Merk at overgangen fra likestilling F(x, f(x))=0 Til
, tilsvarer differensieringsreglene for tilfellet når x Og y er punkter i endimensjonalt rom. Matrise etter tilstand er ikke degenerert, derfor matriseligningen
har en løsning
. På denne måten kan du finne første ordens partielle deriverte av implisitte funksjoner . For å finne differensialer angir vi

dy = ,dx = , differensiere likhetene (2) vi får

=0 ,

eller i matriseform

. (4)

Utvidet

Akkurat som i tilfellet med partielle derivater, formelen (4) vi har samme form som for endimensjonale rom n=1, s=1. Løsningen til denne matriseligningen vil bli skrevet på skjemaet
. For å finne andreordens partielle derivater vil det være nødvendig å differensiere identitetene (3) (for å beregne andreordens differensialer, må du differensiere identitetene (4) ). Dermed får vi

hvor gjennom EN termer som ikke inneholder de nødvendige er angitt
.

Koeffisientmatrisen til dette systemet for å bestemme derivater
fungerer som den jakobianske matrisen .

En lignende formel kan oppnås for differensialer. I hvert av disse tilfellene vil det vise seg matriseligning med samme koeffisientmatrise i et ligningssystem for å bestemme de ønskede deriverte eller differensialer. Det samme vil skje under de følgende differensieringene.

Eksempel 1. Finn ,,på punktet u=1, v=1.

Løsning. Differensiere de gitte likhetene

(5)

Merk at i henhold til problemformuleringen bør vi vurdere de uavhengige variablene x, y. Da blir funksjonene z, u, v. Dermed systemet (5) bør løses angående ukjente du, dv, dz . I matriseform ser det slik ut

La oss løse dette systemet ved å bruke Cramers regel. Determinant for koeffisientmatrisen

, Den tredje "substituerte" determinanten for dz vil være lik (vi beregner det ved å utvide den siste kolonnen)

, Deretter

dz =
, Og
,
.

La oss skille (5) en gang til ( x, y – uavhengige variabler)

Koeffisientmatrisen til systemet er den samme, den tredje determinanten

Å løse dette systemet får vi et uttrykk for d 2 z hvor du kan finne ønsket derivat.

Implisitte funksjoner definert av et ligningssystem

Gitt et ligningssystem

eller kort F(x,y)= 0. (6.7)

Definisjon. System(6.7)definerer implisitt gitt funksjon y=f(x)på DÌR n

hvis "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Teorem (eksistens og unikhet av en kartlegging implisitt definert av et ligningssystem).La

1) F i(x,y)fra (6.4) er definert og har kontinuerlige partielle deriverte av første orden, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,...,p) i nærheten av U(M 0)poeng M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Så i et eller annet nabolag i U(x 0)det er en unik funksjon (kart) definert i dette nabolaget y = f(x), slik at

"xО U(x 0) :F(x,f(x))=0og y 0 = f(x 0).

Denne funksjonen er kontinuerlig differensierbar i noen områder av punktet x 0 .

Gitt systemet

Vi vil anta at betingelsene for eksistens- og unikhetsteoremet for den implisitte funksjonen spesifisert av dette ligningssystemet er oppfylt. La oss betegne denne funksjonen y=f(x) . Så i et eller annet nabolag av punktet x 0 identitetene er gyldige

Å differensiere disse identitetene ved x j vi får

= 0.(6.9)

Disse likhetene kan skrives i matriseform

eller i utvidet form

Merk at overgangen fra likestilling F(x,f(x))=0k , tilsvarer differensieringsreglene for tilfellet når x Og y er punkter i endimensjonalt rom. Etter betingelse er matrisen ikke entall, så matriseligningen har en løsning. På denne måten er det mulig å finne førsteordens partielle deriverte av implisitte funksjoner. For å finne differensialer angir vi

dy = , dx =, differensierende likheter (6.8), får vi

eller i matriseform

Utvidet

Akkurat som i tilfellet med partielle derivater, har formel (6.10) samme form som for endimensjonale rom n= 1, p= 1. Løsningen til denne matriseligningen vil bli skrevet på skjemaet. For å finne andreordens partielle derivater må du differensiere identiteter (6.9) (for å beregne andreordens differensialer må du differensiere identiteter (6.10)). Dermed får vi

hvor gjennom EN termer som ikke inneholder de nødvendige er angitt.

Koeffisientmatrisen til dette systemet for å bestemme derivater er den jakobianske matrisen.

En lignende formel kan oppnås for differensialer. I hvert av disse tilfellene vil en matriseligning bli oppnådd med samme matrise av koeffisienter i likningssystemet for å bestemme de ønskede deriverte eller differensialer. Det samme vil skje under de følgende differensieringene.

Løsning. Differensiere de gitte likhetene

Merk at av betingelsene for problemet følger det at vi bør vurdere de uavhengige variablene x, y. Da blir funksjonene z, u, v. Dermed bør system (6.11) løses med hensyn til de ukjente du, dv, dz. I matriseform ser det slik ut

La oss løse dette systemet ved å bruke Cramers regel. Determinant for koeffisientmatrisen

Den tredje "substituerte" determinanten for dz vil være lik (vi beregner det ved å utvide den siste kolonnen)

dz = , Og, .

La oss skille (6.11) igjen ( x, y – uavhengige variabler)

Koeffisientmatrisen til systemet er den samme, den tredje determinanten

Å løse dette systemet får vi et uttrykk for d 2 z hvor du kan finne ønsket derivat.

6.3. Differensierbare kartlegginger

Avledede kartlegginger. Vanlige visninger. Nødvendige og tilstrekkelige forhold for funksjonell avhengighet.