Utdannings- og vitenskapsdepartementet i Den russiske føderasjonen

føderale statsbudsjett utdanningsinstitusjon

høyere yrkesopplæring

"Tula State Pedagogical University. L. N. Tolstoy»

(FGBOU VPO "TSPU oppkalt etter L. N. Tolstoy")

Institutt for algebra, matematisk analyse og geometri

KURSARBEID

i disiplinen "Metoder for undervisning i fag: metoder for undervisning i matematikk"

om emnet:

"METODE FOR Å STUDERE SANNSYNLIGHETSTEORI PÅ SKOLEKURSET I MATEMATIKK"

Fullført:

3. års elev av gruppe 120922

Fakultet for matematikk, fysikk og informatikk

retning "Pedagogisk utdanning"

profilene "Fysikk" og "Matematikk"

Nichepurenko Natalya Alexandrovna

Vitenskapelig rådgiver:

assistent

Rarova E.M.

Tula 2015

Introduksjon……………………………………………………………………………………… 3

Kapittel 1: Grunnleggende konsepter…………………………………………………………………6

1.1 Elementer i kombinatorikk………………………………………………………………6

1.2 Sannsynlighetsteori………………………………………………………………….8

Kapittel 2: Metodiske aspekter ved å studere "Sannsynlighetsteorien" i skolekurset i algebra……………………………………………………………….….24

Kapittel 3: Et fragment av en algebra leksjon om emnet “Sannsynlighetsteori”……….32

Konklusjon

Litteratur

INTRODUKSJON

Spørsmålet om forbedring matematikkundervisning i den hjemlige skolen ble iscenesatt på begynnelsen av 60-tallet av det 20. århundre av de fremragende matematikerne B.V. Gnedenko, A.N. Kolmogorov, I.I. Kikoin, A.I. Markushevich, A.Ya. Khinchin. B.V. Gnedenko skrev: «Spørsmålet om å introdusere elementer av probabilistisk-statistisk kunnskap i skolens læreplan for matematikk er forlengst og tolererer ikke ytterligere forsinkelser. Lovene om stiv besluttsomhet, på studiet som vår skoleutdanning, bare ensidig avsløre essensen av omverdenen. Den tilfeldige naturen til mange virkelighetsfenomener er utenfor oppmerksomheten til våre skolebarn. Som et resultat er deres ideer om naturen til mange naturlige og sosiale prosesser ensidige og utilstrekkelige. moderne vitenskap. De må introduseres for statistiske lover avsløre de mangefasetterte forbindelsene til eksistensen av objekter og fenomener.

I OG. Levin skrev: «... Den statistiske kulturen som er nødvendig for ... aktivitet må tas opp med tidlige år. Det er ingen tilfeldighet at det i utviklede land vies mye oppmerksomhet til dette: studentene blir kjent med elementer av sannsynlighetsteori og statistikk fra de aller første skoleår og gjennom opplæringen lærer de sannsynlige-statistiske tilnærminger til analyse av vanlige situasjoner man møter i hverdagen.

Reformen på 1980-tallet inkluderte elementer av teorien om sannsynlighet og statistikk i programmene til spesialiserte klasser, spesielt fysikk, matematikk og naturvitenskap, samt et valgfritt kurs i matematikkstudiet.

Med tanke på det presserende behovet for å utvikle individuelle egenskaper ved studentenes tenkning, vises forfatterens utvikling valgfrie kurs på sannsynlighetsteorien. Et eksempel på dette kan være forløpet til N.N. Avdeeva om statistikk for klasse 7 og 9 og et kurs med elementer i matematisk statistikk for klasse 10 på videregående skole. I 10. klasse ble det utført tester, hvis resultater, så vel som observasjoner fra lærere og en undersøkelse av elever, viste at det foreslåtte materialet var ganske tilgjengelig for elevene, forårsaket dem stor interesse viser spesifikk applikasjon matematikk for å løse praktiske problemer innen vitenskap og teknologi.

Prosessen med å introdusere elementer av sannsynlighetsteori i obligatorisk kurs skolematematikk viste seg å være veldig hardt arbeid. Det er en oppfatning at for å assimilere prinsippene for sannsynlighetsteori, er det nødvendig med et foreløpig lager av ideer, ideer, vaner, som er fundamentalt forskjellige fra de som skolebarn utvikler under tradisjonell utdanning som en del av å bli kjent med lovene for strengt betingende fenomener. . Derfor, ifølge en rekke lærere - matematikere, bør sannsynlighetsteorien gå inn i skolematematikk som uavhengig seksjon, som ville sikre dannelse, systematisering og utvikling av ideer om den sannsynlige naturen til fenomenene i verden rundt oss.

Siden studiet av sannsynlighetsteori nylig ble introdusert i skolens læreplan, er det for tiden problemer med implementeringen av dette materialet i skolebøkene. Også, på grunn av dette kursets spesifisitet, antallet metodologisk litteratur også fortsatt liten. I henhold til tilnærmingene som er skissert i det store flertallet av litteraturen, antas det at det viktigste i studiet av dette emnet bør være studentens praktiske erfaring, så det er tilrådelig å begynne å trene med spørsmål der du vil finne en løsning til problemet på bakgrunn av den virkelige situasjonen. I læringsprosessen bør man ikke bevise alle teoremer, siden det brukes mye tid på dette, mens oppgaven med kurset er å danne nyttige ferdigheter, og evnen til å bevise teoremer gjelder ikke slike ferdigheter.

Opprinnelsen til sannsynlighetsteori skjedde på jakt etter et svar på spørsmålet: hvor ofte forekommer denne eller den hendelsen i en større serie forsøk med tilfeldige utfall som skjer under de samme forholdene?

Når vi vurderer muligheten for en hendelse, sier vi ofte: "Det er veldig mulig", "Det vil helt sikkert skje", "Det er usannsynlig", "Det vil aldri skje". Ved å kjøpe et lodd kan du vinne, men du kan ikke vinne; i morgen på mattetimen blir du kanskje kalt til tavlen eller ikke; ved neste valg kan det hende at regjeringspartiet vinner eller ikke.

La oss vurdere et enkelt eksempel.Hvor mange personer synes du bør være med bestemt gruppe slik at minst to av dem har samme fødselsdag med en sannsynlighet på 100 % (dvs. dag og måned uten å ta hensyn til fødselsår)? Dette betyr ikke skuddår, dvs. et år med 365 dager. Svaret er åpenbart – det skal være 366 personer i gruppen. Nå et annet spørsmål: hvor mange mennesker bør det være for å finne et par med samme bursdag med en sannsynlighet på 99,9%?Ved første øyekast er alt enkelt - 364 personer. Faktisk er 68 personer nok!

Her, for å utføre slike interessante beregninger oggjøre uvanlige oppdagelser for oss selv, vil vi studere en slik del av matematikken "Sannsynlighetsteori".

Formålet med emnearbeidet er å studere grunnlaget for sannsynlighetsteorien i skoleløpet i matematikk. For å nå dette målet ble følgende oppgaver formulert:

1. Vurder de metodiske aspektene ved studien"Sannsynlighetsteori" i skolekurset i algebra.
   1. Gjør deg kjent med de grunnleggende definisjonene og teoremene på «Sannsynlighetsteorien» i skolekurset.
      1. Ta i betraktning detaljert løsning oppgaver om emnet for kursarbeidet.
      2. Utvikle et fragment av leksjonen om emnet for kursarbeidet.

Kapittel 1: Grunnleggende konsepter

1.1 Elementer i kombinatorikk

Studiet av emnet bør begynne med studiet av det grunnleggende om kombinatorikk, og sannsynlighetsteorien bør studeres parallelt, siden kombinatorikk brukes i beregning av sannsynligheter.Kombinatoriske metoder er mye brukt innen fysikk, kjemi, biologi, økonomi og andre kunnskapsfelt.

I vitenskap og praksis er det ofte problemer, løse som du må lage forskjellige kombinasjoner av et begrenset antall elementer.og tell antall kombinasjoner. Slike problemer kalles kombinatoriske problemer, og den grenen av matematikken som omhandler disse problemene kalles kombinatorikk.

Kombinatorikk er studiet av måter å telle antall elementer i endelige sett. Kombinatoriske formler brukes til å beregne sannsynligheter.

Tenk på et sett X, bestående av n elementer. Vi vil velge fra dette settet forskjellige ordnede undersett Y av k elementer.

Et arrangement av n elementer av settet X med k elementer er et hvilket som helst ordnet sett () av ​​elementer i settet X.

Dersom valget av elementer i mengden Y fra X skjer med en retur, dvs. hvert element i settet X kan velges flere ganger, deretter blir antall plasseringer fra n til k funnet av formelen (plassering med repetisjoner).

Dersom valget gjøres uten retur, d.v.s. hvert element i settet X kan bare velges én gang, deretter er antall plasseringer fra n til k angitt og bestemt av likheten

(plassering uten repetisjon).

Et spesielt tilfelle av plassering for n=k kalles permutasjon av n elementer. Antallet av alle permutasjoner av n elementer er

La nå en uordnet delmengde velges fra settet X Y (rekkefølgen på elementene i delsettet spiller ingen rolle). Kombinasjoner av n elementer med k er delmengder av k elementer som skiller seg fra hverandre med minst ett element. Det totale antallet av alle kombinasjoner fra n til k er angitt og lik

Gyldige likheter: ,

Når du løser problemer, bruker kombinatorikk følgende regler:

Sumregel. Hvis et objekt A kan velges fra en samling av objekter på m måter, og et annet objekt B kan velges på n måter, så kan enten A eller B velges på m + n måter.

Produktregel. Hvis objekt A kan velges fra et sett med objekter på m måter, og etter hvert slikt valg kan objekt B velges på n måter, så kan objektparet (A, B) i den angitte rekkefølgen velges i m * n måter.

1.2 Sannsynlighetsteori

I hverdagen, i praktisk og vitenskapelig aktivitet vi observerer ofte visse fenomener, utfører visse eksperimenter.

En hendelse som kanskje eller ikke kan oppstå under en observasjon eller et eksperiment kallestilfeldig hendelse. For eksempel henger en lyspære i taket ingen vet når den vil brenne ut.Hver tilfeldig hendelse- det er en konsekvens av virkningen av veldig mange tilfeldige variabler (kraften som mynten kastes med, formen på mynten og mye mer). Det er umulig å ta hensyn til påvirkningen av alle disse årsakene på resultatet, siden antallet er stort og handlingslovene er ukjente.Mønstrene til tilfeldige hendelser studeres av en spesiell gren av matematikk kaltsannsynlighetsteori.

Sannsynlighetsteori setter seg ikke som oppgave å forutsi om en enkelt hendelse vil inntreffe eller ikke - den kan rett og slett ikke gjøre det. Hvis vi snakker om massive homogene tilfeldige hendelser, så adlyder de visse lover, nemlig sannsynlighetslover.

La oss først se på klassifiseringen av hendelser.

Skille hendelser felles og ikke-leddet . Hendelser kalles felles hvis forekomsten av en av dem ikke utelukker forekomsten av den andre. Ellers kalles hendelsene uforenlige. For eksempel, kast to terning. Begivenhet A faller ut av tre poeng på den første terningen, hendelse B faller ut av tre poeng på den andre terningen. A og B er felles arrangementer. La butikken motta et parti sko i samme stil og størrelse, men i en annen farge. Event A en tilfeldig boks vil være med svarte sko, hendelse B boksen vil være med sko brun farge, A og B er uforenlige hendelser.

Arrangementet kalles autentisk hvis det nødvendigvis skjer under betingelsene for det gitte eksperimentet.

Arrangementet kalles umulig hvis det ikke kan skje under betingelsene for det gitte eksperimentet. For eksempel er det sikkert at en standarddel er tatt fra et parti med standarddeler, men en ikke-standarddel er umulig.

Arrangementet kalles mulig eller tilfeldig , hvis det som et resultat av erfaring kan vises eller ikke. Et eksempel på en tilfeldig hendelse er identifisering av produktfeil under kontroll av et parti ferdige produkter, avviket mellom størrelsen på det behandlede produktet og det gitte, svikt i en av koblingene til det automatiserte kontrollsystemet.

Arrangementene kalleslike muligdersom ingen av disse hendelsene er objektivt sett mer sannsynlige enn de andre under testens betingelser. Anta for eksempel at en butikk leveres med lyspærer (og i like store mengder) av flere produsenter. Hendelser som består i å kjøpe en lyspære fra noen av disse fabrikkene er like sannsynlige.

Et viktig konsept erhele gruppen av arrangementer. Flere hendelser i et gitt eksperiment danner en komplett gruppe hvis minst én av dem nødvendigvis dukker opp som et resultat av eksperimentet. For eksempel er det ti kuler i en urne, hvorav seks er røde og fire er hvite, hvorav fem er nummererte. A utseendet til en rød ball i en trekning, B utseendet til en hvit ball, C utseendet til en ball med et tall. Hendelser A,B,C danne en komplett gruppe av felles arrangementer.

Arrangementet kan væremotsatte, eller tillegg . En motsatt hendelse forstås som en hendelse som nødvendigvis må inntreffe dersom en eller annen hendelse A ikke har inntruffet. Motsatte hendelser er uforenlige og er de eneste mulige. De utgjør en komplett gruppe av arrangementer. For eksempel, hvis et parti med produserte varer består av gode og defekte varer, kan det ved fjerning av en vare vise seg å være enten god hendelse A eller defekt hendelse.

Tenk på et eksempel. De kaster en terning (dvs. en liten terning, på sidene av hvilken punktene 1, 2, 3, 4, 5, 6 er slått ut). Når en terning kastes på hans øvre ansikt ett poeng, to poeng, tre poeng osv. kan falle ut. Hvert av disse utfallene er tilfeldige.

En slik test er gjennomført. Terningen ble kastet 100 ganger og observerte hvor mange ganger hendelsen "6 poeng falt på terningen" skjedde. Det viste seg at i denne serien med eksperimenter falt de "seks" ut 9 ganger. Tallet 9, som viser hvor mange ganger i denne prøven den aktuelle hendelsen skjedde, kalles frekvensen av denne hendelsen, og forholdet mellom frekvens og totalt antall tester, like, kalles den relative frekvensen av denne hendelsen.

Generelt, la en bestemt test utføres gjentatte ganger under de samme forholdene, og samtidig, hver gang det avgjøres om hendelsen av interesse for oss har inntruffet eller ikke. EN. Sannsynligheten for en hendelse er betegnet med stor bokstav P. Da vil sannsynligheten for en hendelse A bli betegnet: P(A).

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet:

Sannsynlighet for hendelse EN er lik forholdet mellom antall tilfeller m gunstig for ham, ut av totalen n de eneste mulige, like mulige og inkompatible tilfellene til nummeret n, dvs.

Derfor for å finne sannsynligheten hendelser er påkrevd:

1. vurdere ulike testresultater;
2. finn et sett med unike, like mulige og inkompatible tilfeller, beregn det totale antallet n , antall tilfeller m gunstig for denne begivenheten;
3. utføre en formelberegning.

Det følger av formelen at sannsynligheten for en hendelse er et ikke-negativt tall og kan variere fra null til en, avhengig av andelen av det gunstige antallet tilfeller fra det totale antallet tilfeller:

La oss ta et eksempel til.Det er 10 baller i boksen. 3 av dem er røde, 2 er grønne, resten er hvite. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball er rød, grønn eller hvit. Utseendet til rødt, grønt og hvite kuler utgjøre en komplett gruppe arrangementer. La oss betegne utseendet til en rød ball-hendelse A, utseendet til en grønn én-hendelse B, utseendet til en hvit én-hendelse C. Så, i samsvar med formlene skrevet ovenfor, får vi:

Merk at sannsynligheten for forekomst av en av to parvise inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

Relativ frekvenshendelse A er forholdet mellom antall eksperimenter som resulterte i hendelse A og det totale antallet eksperimenter. Forskjellen mellom den relative frekvensen og sannsynligheten ligger i at sannsynligheten beregnes uten det direkte produktet av forsøkene, og den relative frekvensen etter opplevelsen.

Så i eksemplet ovenfor, hvis 5 baller er tilfeldig trukket fra boksen og 2 av dem viser seg å være røde, så er den relative frekvensen av utseendet til en rød ball:

Som man kan se, er denne verdien ikke sammenfallende med den funnet sannsynligheten. Når nok store tall I de utførte forsøkene endres den relative frekvensen lite, og svinger rundt ett tall. Dette tallet kan tas som sannsynligheten for hendelsen.

geometrisk sannsynlighet.Den klassiske definisjonen av sannsynlighet antar at antall elementære utfall sikkert som også begrenser dens anvendelse i praksis.

I tilfelle at en test med endeløs antall utfall, bruk definisjonen av geometrisk sannsynlighet for å treffe et punkt i et område.

Når man bestemmer geometrisk sannsynligheter antar at det er et område N og den har et mindre område M. Til område N kaste et tilfeldig punkt (dette betyr at alle punkter i området N er "like" med hensyn til å treffe et tilfeldig kastet poeng der).

Hendelse A «å treffe et kastet punkt på et område M". Region M kalt en lykkebringende begivenhet EN.

Sannsynlighet for å treffe noen del av området N proporsjonal med målet til denne delen og er ikke avhengig av dens plassering og form.

Området som dekkes av den geometriske sannsynligheten kan være:

1. segment (målet er lengde)
2. geometrisk figur på et fly (arealet er målet)
3. geometrisk kropp i verdensrommet (målet er volum)

La oss definere den geometriske sannsynligheten for tilfellet flat figur.

La området M er en del av regionen N. Hendelse A består i å treffe en tilfeldig kastet på området N peker inn i området M . geometrisk sannsynlighet hendelser A kalles arealforholdet M til områdeområdet N :

I dette tilfellet anses sannsynligheten for at et tilfeldig kastet punkt treffer grensen til regionen å være lik null.

Tenk på et eksempel: En mekanisk klokke med klokken tolv gikk i stykker og sluttet å virke. Finn sannsynligheten for at timeviseren er frosset klokken 5, men ikke klokken 8.

Løsning. Antallet utfall er uendelig, vi bruker definisjonen av geometrisk sannsynlighet. Sektoren mellom klokken 5 og 8 er en del av området til hele skiven, derfor .

Operasjoner på hendelser:

Hendelser A og B kalles lik hvis forekomsten av hendelse A innebærer forekomsten av hendelse B og omvendt.

Union eller sum hendelse kalles hendelse A, som betyr forekomsten av minst én av hendelsene.

Kryss eller produkt hendelser kalles hendelse A, som består i gjennomføring av alle hendelser.

A =∩

forskjell hendelser A og B kalles hendelse C, som betyr at hendelse A inntreffer, men hendelse B inntreffer ikke.

C=A\B

Eksempel:

A+B “rullet 2; fire; 6 eller 3 poeng"

A ∙ B "rullet 6 poeng"

A B "kastet 2 og 4 poeng"

Ytterligere hendelse A kalles en hendelse, noe som betyr at hendelse A ikke inntreffer.

elementære resultatererfaring kalles slike erfaringsresultater som gjensidig utelukker hverandre og som et resultat av erfaring inntreffer en av disse hendelsene, også uansett hva hendelsen A er, i henhold til det elementære utfallet som har kommet, kan man bedømme om denne hendelsen inntreffer eller ikke skje.

Helheten av alle elementære utfall av erfaring kallesrom for elementære begivenheter.

Sannsynlighetsegenskaper:

Eiendom 1. Hvis alle tilfeller er gunstige for den gitte hendelsen EN , så må denne hendelsen inntreffe. Derfor er hendelsen det er snakk om autentisk

Eiendom 2. Hvis det ikke er noe gunstig for denne hendelsen EN , så kan ikke denne hendelsen oppstå som et resultat av eksperimentet. Derfor er hendelsen det er snakk om umulig , og sannsynligheten for dens forekomst, siden i dette tilfellet m=0:

Eiendom 3. Sannsynligheten for forekomst av hendelser som danner en komplett gruppe er lik én.

Eiendom 4. Sannsynligheten for at den motsatte hendelsen inntreffer er definert på samme måte som sannsynligheten for at hendelsen inntreffer A:

hvor (n - m ) antall tilfeller som favoriserer forekomsten av den motsatte hendelsen. Derfor er sannsynligheten for at den motsatte hendelsen inntreffer lik forskjellen mellom enhet og sannsynligheten for at hendelsen inntreffer A:

Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Hendelse A kalles spesielt tilfelle hendelse B, hvis når A inntreffer, inntreffer også B. At A er spesialtilfelle av B, skriver vi A ⊂ B .

Hendelser A og B kalles lik hvis hver er et spesielt tilfelle av den andre. Likheten mellom hendelser A og B skrives A = B.

sum hendelser A og B kalles hendelsen A + B, som inntreffer hvis og bare hvis minst en av hendelsene inntreffer: A eller B.

Addisjonsteorem 1. Sannsynligheten for forekomst av en av to inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

P=P+P

Merk at det formulerte teoremet er gyldig for et hvilket som helst antall inkompatible hendelser:

Hvis tilfeldige hendelser utgjør en komplett gruppe av uforenlige hendelser, så er likestillingen

P + P +...+ P =1

arbeid hendelser A og B kalles hendelsen AB, som inntreffer hvis og bare hvis begge hendelsene inntreffer: A og B samtidig. Tilfeldige hendelser A og B kalles felles hvis begge disse hendelsene kan oppstå under en gitt test.

Addisjonsteorem 2. Sannsynligheten for summen av felles hendelser beregnes av formelen

P=P+P-P

Eksempler på problemer på addisjonsteoremet.

1. På geometrieksamen får eleven ett spørsmål fra listen eksamensspørsmål. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et parallellogramspørsmål er 0,15. Det er ingen spørsmål knyttet til disse to temaene samtidig. Finn sannsynligheten for at studenten får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

Løsning. Sannsynligheten for summen av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,2 + 0,15 = 0,35.

Svar: 0,35.

1. PÅ kjøpesenter to like automater selger kaffe. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,3. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,12. Finn sannsynligheten for at det mot slutten av dagen er kaffe igjen i begge automatene.
   Løsning. Vurder hendelserA "kaffe vil ende i den første maskinen", B "kaffe vil ende i den andre maskinen". Deretter A·B "kaffe vil ende i begge automatene", A + B "kaffe vil ende i minst én salgsautomat".Ved betingelse P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12.
   Hendelser A og B er felles, sannsynligheten for summen av to felles hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene uten sannsynligheten for deres produkt:
   P (A + B) \u003d P (A) + P (B) - P (A B) \u003d 0,3 + 0,3 - 0,12 \u003d 0,48.

Derfor er sannsynligheten for den motsatte hendelsen, at kaffe blir værende i begge maskinene, lik 1 − 0,48 = 0,52.

Svar: 0,52.

Hendelsene i hendelsene A og B kalles uavhengig hvis forekomsten av en av dem ikke endrer sannsynligheten for forekomst av den andre. Hendelse A kalles avhengig fra hendelse B hvis sannsynligheten for hendelse A endres avhengig av om hendelse B inntraff eller ikke.

Betinget sannsynlighet P(A|B ) hendelse A kalles sannsynligheten beregnet under forutsetning av at hendelse B inntraff. Likeså gjennom P(B|A ) er angitt betinget sannsynlighet hendelse B, forutsatt at A har inntruffet.

For uavhengige arrangementer per definisjon

P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B)

Multiplikasjonsteorem for avhengige hendelser

Sannsynlighet for produkt av avhengige hendelserer lik produktet av sannsynligheten for en av dem med den betingede sannsynligheten til den andre, forutsatt at den første skjedde:

P(A ∙ B) = P(A) ∙ P(B|A) P(A ∙ B) = P(B) ∙ P(A|B)

(avhengig av hvilken hendelse som skjedde først).

Konsekvenser av teoremet:

Multiplikasjonsteorem for uavhengige hendelser. Sannsynligheten for å produsere uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter:

P (A ∙ B ) = P (A ) ∙ P (B )

Hvis A og B er uavhengige, så er parene (;), (; B), (A;) også uavhengige.

Eksempler på oppgaver på multiplikasjonssetningen:

1. Hvis stormester A. spiller hvit, vinner han stormester B. med en sannsynlighet på 0,52. Hvis A. spiller svart, så slår A. B. med en sannsynlighet på 0,3. Stormestre A. og B. spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at A. vinner begge gangene.

Løsning. Sjansene for å vinne det første og andre spillet er uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for produktet av uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter: 0,52 0,3 = 0,156.

Svar: 0,156.

1. Butikken har to betalingsautomater. Hver av dem kan være feil med en sannsynlighet på 0,05, uavhengig av den andre automaten. Finn sannsynligheten for at minst én automat er brukbar.

Løsning. Finn sannsynligheten for at begge automatene er defekte. Disse hendelsene er uavhengige, sannsynligheten for produktet deres er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,05 0,05 = 0,0025.
En hendelse som består i at minst én automat er brukbar er det motsatte. Derfor er sannsynligheten 1 − 0,0025 = 0,9975.

Svar: 0,9975.

Formel full sannsynlighet

En konsekvens av teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter er formelen for total sannsynlighet:

Sannsynlighet P (A) hendelse A, som bare kan oppstå hvis en av hendelsene (hypotesene) B inntreffer 1, V 2, V 3 … V n , som danner en komplett gruppe av parvise inkompatible hendelser, er lik summen av produktene av sannsynlighetene for hver av hendelsene (hypotesene) B 1, V2, V3, …, Vn på de tilsvarende betingede sannsynlighetene for hendelse A:

P (A) \u003d P (B 1)  P (A | B 1) + P (B 2)  P (A | B 2) + P (B 3)  P (A | B 3) + .. + P (В n)  P (A | B n)

Tenk på et eksempel:Den automatiske linjen lager batterier. Sannsynligheten for at et ferdig batteri er defekt er 0,02. Før pakking går hvert batteri gjennom et kontrollsystem. Sannsynligheten for at systemet vil avvise et dårlig batteri er 0,99. Sannsynligheten for at systemet feilaktig vil avvise et godt batteri er 0,01. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri vil bli avvist.

Løsning. Situasjonen der batteriet vil bli avvist kan oppstå som følge av hendelsene: A "batteriet er virkelig dårlig og avvist rimelig" eller B "batteriet er bra, men avvist ved en feiltakelse". Dette er uforenlige hendelser, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Vi har:

P (A + B) \u003d P (A) + P (B) \u003d 0,02  0,99 + 0,98  0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296.

Svar: 0,0296.

Kapittel 2: Metodiske aspekter ved å studere "Sannsynlighetsteori" i skolealgebrakurset

I 2003 ble det tatt en beslutning om å inkludere elementer av sannsynlighetsteori i skolekurset i matematikk til en generell utdanningsskole (instruktivt brev nr. 0393in / 1303 datert 23. september 2003 fra Utdanningsdepartementet i Den russiske føderasjonen "Om introduksjonen" av elementer av kombinatorikk, statistikk og sannsynlighetsteori inn i innholdet i matematisk utdanning grunnskole", "Matematikk i skolen", nr. 9, 2003). På dette tidspunktet hadde elementer av sannsynlighetsteori vært til stede i forskjellige former i kjente skolebøker i algebra i mer enn ti år. forskjellige klasser(for eksempel I.F. "Algebra: Lærebøker for klasse 79 av utdanningsinstitusjoner" redigert av G.V. Dorofeev; "Algebra og begynnelsen av analysen: Lærebøker for klasse 10 11 av utdanningsinstitusjoner" G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova” ), og i form av separate læremidler. Presentasjonen av materialet om sannsynlighetsteorien i dem var imidlertid som regel ikke systematisk, og lærere refererte oftest ikke til disse delene, inkluderte dem ikke i læreplanen. Dokumentet som ble vedtatt av Kunnskapsdepartementet i 2003 ga en gradvis, trinnvis inkludering av disse seksjonene i skolekurs, slik at lærermiljøet kunne forberede seg på de tilsvarende endringene.

I 20042008 En rekke lærebøker blir publisert for å utfylle eksisterende algebra-lærebøker. Dette er publikasjonene til Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Sannsynlighetsteori og statistikk", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Sannsynlighetsteori og statistikk: En lærerveiledning", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elementer i statistikk og sannsynlighetsteori: lærebok. Godtgjørelse for studenter 79 celler. allmennutdanning institusjoner", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Elementer av statistikk og sannsynlighet: Proc. Tillegg for 7 9 celler. allmennutdanning institusjoner." De kom også ut for å hjelpe lærere. læremidler. I en årrekke har alle disse læremidlene vært utprøvd i skolen. I forhold når overgangsperioden for innføring i skoleplaner er over, og deler av statistikk og sannsynlighetsteori har tatt deres plass i læreplaner 79 klasser, det kreves analyse og forståelse av konsistensen av hoveddefinisjonene og betegnelsene som brukes i disse lærebøkene.

Alle disse lærebøkene ble laget i fravær av tradisjoner for å undervise i disse delene av matematikk på skolen. Dette fraværet, bevisst eller ubevisst, provoserte forfatterne av lærebøker til å sammenligne dem med eksisterende lærebøker for universiteter. Sistnevnte, avhengig av etablerte tradisjoner i individuelle spesialiseringer videregående skole tillot ofte betydelig terminologisk inkonsekvens og forskjeller i betegnelsene på grunnleggende konsepter og formler. En analyse av innholdet i de ovennevnte skolebøkene viser at de i dag har arvet disse trekkene fra lærebøkene på videregående skole. FRA mer nøyaktighet, kan det hevdes at valget av en bestemt undervisningsmateriell i henhold til deler av matematikk som er nye for skolen, angående konseptet "tilfeldig", forekommer i dette øyeblikket på den mest tilfeldige måten, ned til navn og betegnelser. Derfor bestemte teamene med forfattere av de ledende skolebøkene om sannsynlighetsteori og statistikk å gå sammen i deres innsats i regi av Moskva-instituttet for åpen utdanning for å utvikle avtalte posisjoner om forening av hoveddefinisjonene og notasjonen som brukes i skolebøkene om sannsynlighet teori og statistikk.

La oss analysere introduksjonen av emnet "Sannsynlighetsteori" i skolebøkene.

generelle egenskaper:

Innholdet i opplæringen om emnet "Elements of Probability Theory", fremhevet i "Program for utdanningsinstitusjoner. Matematikk", gir videre utvikling hos studenter av deres matematiske evner, orientering til yrker, betydelig relatert til matematikk, forberedelse til å studere ved et universitet. Spesifisiteten til det matematiske innholdet i emnet som vurderes gjør det mulig å konkretisere den valgte hovedoppgaven dybdestudie matematikk som følger.

1. Fortsette avsløringen av innholdet i matematikk som et deduktivt kunnskapssystem.

Bygge et system med definisjoner av grunnleggende begreper;

Avslør ytterligere egenskaper ved de introduserte konseptene;

Etablere sammenhenger mellom de introduserte og tidligere studerte konseptene.

2. Systematisere noen sannsynlige måter å løse problemer på; avsløre den operasjonelle sammensetningen av søket etter løsninger på problemer av visse typer.

3. Lag forutsetninger for at elevene kan forstå og forstå hovedideen praktisk betydning sannsynlighetsteori ved å analysere de grunnleggende teoretiske fakta. Å avsløre de praktiske anvendelsene av teorien studert i dette emnet.

Oppnåelsen av de fastsatte pedagogiske målene vil bli tilrettelagt ved løsning av følgende oppgaver:

1. Lag en idé om de ulike måtene å bestemme sannsynligheten for en hendelse (statistisk, klassisk, geometrisk, aksiomatisk)

2. Å danne kunnskap om de grunnleggende operasjonene på hendelser og evnen til å bruke dem til å beskrive noen hendelser gjennom andre.

3. Å avsløre essensen av teorien om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter; bestemme grensene for bruken av disse teoremene. Vis deres applikasjoner for utledning av full sannsynlighetsformler.

4. Identifisere algoritmer for å finne sannsynlighetene for hendelser a) i henhold til den klassiske definisjonen av sannsynlighet; b) om teorien om addisjon og multiplikasjon; c) i henhold til totalsannsynlighetsformelen.

5. Lag en resept som lar deg rasjonelt velge en av algoritmene når du skal løse et spesifikt problem.

Dedikert pedagogiske mål for å studere elementene i sannsynlighetsteori, vil vi supplere oppsettingen av utviklingsmål og pedagogiske mål.

Utviklingsmål:

• å danne en jevn interesse hos elevene for faget, identifisere og utvikle matematiske evner;
• i prosessen med å lære å utvikle tale, tenkning, emosjonelle-viljemessige og konkret-motiverende områder;
• selvstendig funn av studenter av nye måter å løse problemer og oppgaver på; anvendelse av kunnskap i nye situasjoner og omstendigheter;
• utvikle evnen til å forklare fakta, sammenhenger mellom fenomener, konvertere materiale fra en representasjonsform til en annen (verbal, tegnsymbolsk, grafisk);
• å lære å demonstrere riktig anvendelse av metoder, å se logikken i resonnement, likheten og forskjellen mellom fenomener.

pedagogiske mål:

• å danne i skolebarn moralske og estetiske ideer, et system med syn på verden, evnen til å følge normene for atferd i samfunnet;
• danner den enkeltes behov, motiver sosial oppførsel, aktiviteter, verdier og verdiorienteringer;
• å utdanne en person som er i stand til selvopplæring og selvopplæring.

La oss analysere læreboken om algebra for klasse 9 "Algebra: elementer av statistikk og sannsynlighetsteori" Makarychev Yu.N.

Denne læreboken er beregnet på elever i klasse 7-9, den utfyller lærebøkene: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", redigert av Telyakovsky S.A.

Boken består av fire avsnitt. Hvert avsnitt inneholder teoretisk informasjon og relaterte øvelser. På slutten av avsnittet er det gitt øvelser for repetisjon. For hvert avsnitt er det gitt tilleggsøvelser med høyere kompleksitet sammenlignet med hovedøvelsene.

I henhold til "Program for generelle utdanningsinstitusjoner" er det tildelt 15 timer til å studere emnet "Sannsynlighetsteori og statistikk" i skolealgebrakurset.

Materialet om dette emnet faller på karakter 9 og presenteres i følgende avsnitt:

§3 "Elementer av kombinatorikk" inneholder 4 punkter:

Eksempler på kombinatoriske problemer.På enkle eksempler løsningen av kombinatoriske problemer ved metoden for oppregning av mulige varianter demonstreres. Denne metoden er illustrert ved å bygge et tre med mulige alternativer. Regelen for multiplikasjon vurderes.

Kombinasjonsmuligheter. Selve konseptet og formelen for telling av permutasjoner introduseres.

Overnatting. Konseptet er introdusert på et konkret eksempel. Formelen for antall plasseringer er utledet.

Kombinasjoner. Konseptet og formelen for antall kombinasjoner.

Hensikten med denne delen er å gi elevene ulike måter å beskrive alle mulige elementære hendelser i forskjellige typer tilfeldig opplevelse.

§4 "Innledende informasjon fra sannsynlighetsteorien".

Presentasjonen av materialet starter med en betraktning av eksperimentet, hvoretter begrepene «tilfeldig hendelse» og «relativ frekvens av en tilfeldig hendelse» introduseres. En statistisk og klassisk definisjon av sannsynlighet er introdusert. Avsnittet avsluttes med punktet «addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter». Teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter vurderes, de relaterte konseptene om inkompatible, motsatte, uavhengige hendelser introduseres. Dette materialet er beregnet på elever med interesse og evner for matematikk og kan brukes til individuelt arbeid eller på fritidsaktiviteter med studenter.

Retningslinjer til denne læreboken er gitt i en rekke artikler av Makarychev og Mindyuk ("Elementer av kombinatorikk i skoleløpet i algebra", "Introduksjonsinformasjon fra sannsynlighetsteorien i skoleløpet i algebra"). Og også noen kritiske bemerkninger om denne opplæringen er inneholdt i artikkelen av Studenetskaya og Fadeeva, som vil bidra til å unngå feil når du arbeider med denne læreboken.
Formål: overgang fra en kvalitativ beskrivelse av hendelser til en matematisk beskrivelse.

Emnet "Sannsynlighetsteori" i lærebøkene til Mordkovich A.G., Semenov P.V. for klasse 9-11.

For øyeblikket er en av de eksisterende lærebøkene i skolen lærebokaMordkovich A.G., Semenov P.V. "Hendelser, sannsynligheter, statistisk behandling data", den har også tilleggskapitler for klassetrinn 7-9. La oss analysere det.

I følge Algebra-arbeidsprogrammet er det tildelt 20 timer til studiet av emnet "Elementer av kombinatorikk, statistikk og sannsynlighetsteori".

Materialet om emnet "Sannsynlighetsteori" er avslørt i følgende avsnitt:

§ 1. Den enkleste kombinatoriske problemer. Multiplikasjonsregel og varianttre. Kombinasjonsmuligheter.Det starter med et enkelt kombinatorisk problem, og vurderer deretter en tabell over mulige alternativer, som viser prinsippet for multiplikasjonsregelen. Deretter vurderes trær av mulige varianter og permutasjoner. Etter teoretisk materiale det er øvelser for hvert av underpunktene.

§ 2. Valg av flere elementer. Kombinasjoner.Først utledes en formel for 2 elementer, deretter for tre, og deretter en generell for n elementer.

§ 3. Tilfeldige hendelser og deres sannsynligheter.Den klassiske definisjonen av sannsynlighet introduseres.

Fordelen med denne håndboken er at den er en av få som inneholder avsnitt som omhandler tabeller og alternativer. Disse punktene er nødvendige fordi det er tabeller og alternativtrær som lærer elevene om presentasjon og innledende analyse av data. Også i denne læreboken er kombinasjonsformelen vellykket introdusert først for to elementer, deretter for tre og generalisert for n elementer. Når det gjelder kombinatorikk, presenteres materialet like vellykket. Hvert avsnitt inneholder øvelser, som lar deg konsolidere materialet. Kommentarer til denne opplæringen er inneholdt i artikkelen av Studenetskaya og Fadeeva.

I klasse 10 er det gitt tre avsnitt om dette temaet. I den første av dem «Regelen for multiplikasjon. Permutasjoner og faktorialer», i tillegg til selve multiplikasjonsregelen, ble hovedvekten lagt på utledning av to grunnleggende kombinatoriske identiteter fra denne regelen: for antall permutasjoner og for antall mulige delmengder av settet bestående av n elementer. Samtidig ble faktorialer introdusert som en praktisk måte å forkorte svaret i mange spesifikke kombinatoriske problemer før selve konseptet "permutasjon". I andre ledd i klasse 10 "Velge flere elementer. Binomiale koeffisienter" betraktet som klassiske kombinatoriske problemer knyttet til samtidig (eller sekvensiell) valg av flere elementer fra et gitt begrenset sett. Den mest betydningsfulle og virkelig nye for den russiske allmennutdanningsskolen var det siste avsnittet "Tilfeldige hendelser og deres sannsynligheter." Den vurderte det klassiske sannsynlighetsskjemaet, analyserte formlene P (A + B )+ P (AB )= P (A )+ P (B ), P ()=1- P (A ), P (A )=1- P () og hvordan du bruker dem. Avsnittet ble avsluttet med en overgang til uavhengige repetisjoner av testen med to utfall. Dette er den viktigste sannsynlighetsmodellen fra et praktisk synspunkt (Bernoulli-forsøk), som har et betydelig antall anvendelser. Det sistnevnte materialet dannet en overgang mellom innholdet i undervisningsmateriellet på 10. og 11. trinn.

I 11. klasse er temaet «Elements of Probability Theory» viet to avsnitt i læreboka og oppgaveboken. Pŧ 22 omhandler geometriske sannsynligheter, § 23 gjentar og utvider kunnskap om uavhengige gjentakelser av forsøk med to utfall.

Kapittel 3: Et fragment av en algebra-leksjon om emnet "Sannsynlighetsteori"

Karakter: 11

Leksjonsemne: "Analyse av oppgave C6".

Leksjonstype: problemløsning.

Dannet UUD

Kognitiv: analysere,

trekke konklusjoner, sammenligne objekter i henhold til handlingsmetodene;

Regulatorisk: bestemme målet, problemet, legge frem versjoner, planlegge aktiviteter;

Kommunikativ: si din mening, bruk tale betyr;

Personlig: Vær oppmerksom på følelsene dine, utvikle en respektfull holdning til klassekamerater

Planlagte resultater

Emne: evnen til å bruke en formel for å løse problemer for beregning av sannsynlighet.

Meta-subjekt: evnen til å fremsette hypoteser, antakelser, se

ulike måter å løse problemet på.

Personlig: evnen til å uttrykke tankene sine korrekt, forstå meningen

tildelt oppgave.

Oppgave: Hver av elevgruppen gikk på kino eller teater, mens det er mulig at en av dem kunne gå både på kino og teater. Det er kjent at det ikke var mer enn 2/11 av det totale antallet elever i gruppen som besøkte teatret, og i guttekinoen var det ikke mer enn 2/5 av det totale antallet elever i gruppen som besøkte kinoen.
a) Kan det være 9 gutter i gruppen hvis det i tillegg er kjent at det var 20 elever totalt i gruppen?
b) Hva er maksimalt antall gutter i gruppen, hvis det i tillegg er kjent at det var 20 elever i gruppen?
c) Hva var den minste andelen jenter i det totale antallet elever i gruppen uten tilleggsbetingelsen i punkt a) og b)?

Analysere oppgaven:

La oss først ta for oss tilstanden:

(Parallelt med forklaringen skildrer læreren alt på tavlen).

Anta at vi har mange gutter som gikk på kino og mange gutter som gikk på kino. Fordi det sies at de dro alle sammen, så er hele gruppen enten med i settet med gutter som gikk på teater, eller i settet med gutter som gikk på kino. Hva er stedet hvor disse settene krysser hverandre?

Det betyr at disse gutta gikk på kino og teater samtidig.

Det er kjent at guttene som gikk på teatret ikke var mer enn 2/11 av det totale antallet av de som gikk på teatret. Læreren ber en av elevene tegne dette på tavla.

Og det kunne vært flere gutter som gikk på kino – ikke mer enn 2/5 av det totale antallet elever i gruppa.

La oss nå gå videre til løsningen.

a) Vi har 9 gutter, totalt studenter, la oss betegne N =20, alle betingelser må være oppfylt. Hvis vi har 9 gutter, henholdsvis jenter, 11. Punkt a) kan i de fleste tilfeller løses ved oppregning.

Tenk deg at guttene våre enten bare gikk på kino eller teater.

Og jentene gikk frem og tilbake. (Blå viser mange gutter og svart skygge viser jenter)

Siden vi bare har 9 gutter og, etter betingelse, gikk på teater færre gutter, vi antar at 2 gutter gikk på teater, og 7 på kino. Og la oss se om betingelsen vår er oppfylt.

La oss først sjekke det på eksemplet med teateret. Vi tar antall gutter som gikk på teater til alle som gikk på teater og pluss antall jenter og sammenligner dette med: . Multipliser dette med 18 og med 5: .

Derfor er brøken 7/18 2/5. Derfor er betingelsen oppfylt for kinoen.

La oss nå se om denne betingelsen er oppfylt for teatret. Selvstendig skriver en av elevene løsningen på tavlen.

Svar: Hvis gruppen består av 2 gutter som kun besøkte teatret, 7 gutter som kun besøkte kino og 11 jenter som gikk på både teater og kino, er betingelsen for problemet oppfylt. Det betyr at i en gruppe på 20 elever kan det være 9 gutter.

b) Anta at det var 10 eller flere gutter. Da var det 10 jenter eller færre. Teatret ble deltatt av ikke mer enn 2 gutter, for hvis det var 3 eller flere, ville andelen gutter i teatret ikke vært mindre = som er mer.

Tilsvarende var det ikke mer enn 7 gutter som besøkte kinoen, for da besøkte ikke minst en gutt verken teater eller kino, noe som motsier betingelsen.

I forrige avsnitt ble det vist at det kunne være 9 gutter i en gruppe på 20 elever. Derfor er det største antallet gutter i gruppen 9.

c) Tenk deg at en viss gutt gikk på både teater og kino. Hvis det i stedet for ham var to gutter i gruppen, hvorav den ene bare besøkte teatret, og den andre bare kinoen, ville andelen gutter i både teater og kino forbli den samme, og den totale andelen jenter ville bli. mindre. Derfor, for å anslå den minste andelen jenter i gruppen, kan vi anta at hver gutt gikk enten bare på teater eller bare på kino.

Slipp inn guttegjengen som besøkte teateret, gutter som besøkte kino, og d jenter.

La oss anslå andelen jenter i denne gruppen. Det er null å anta at alle jentene gikk på både teater og kino, siden deres andel i gruppen ikke vil endre seg fra dette, og andelen i teater og kino ikke vil avta.

Hvis gruppen består av 2 gutter som kun besøkte teatret, 6 gutter som kun besøkte kino og 9 jenter som gikk på både teater og kino, er tilstanden til problemet tilfredsstilt, og andelen jenter i gruppen er lik.

I hverdagen, i praktiske og vitenskapelige aktiviteter, observerer vi ofte visse fenomener, utfører visse eksperimenter. En hendelse som kanskje eller ikke kan oppstå under en observasjon eller et eksperiment kalles en tilfeldig hendelse. For eksempel henger en lyspære under taket - ingen vet når den brenner ut. Hver tilfeldig hendelse er en konsekvens av handlingen til svært mange tilfeldige variabler (kraften som mynten kastes med, formen på mynten og mye mer). Det er umulig å ta hensyn til påvirkningen av alle disse årsakene på resultatet, siden antallet er stort og handlingslovene er ukjente. Mønstrene til tilfeldige hendelser studeres av en spesiell gren av matematikken kalt sannsynlighetsteori. Sannsynlighetsteori setter seg ikke som oppgave å forutsi om en enkelt hendelse vil inntreffe eller ikke - den kan rett og slett ikke gjøre det. Hvis vi snakker om massive homogene tilfeldige hendelser, så adlyder de visse mønstre, nemlig sannsynlighetsmønstre. La oss først se på klassifiseringen av hendelser. Skille mellom felles og ikke-felles arrangementer. Hendelser kalles felles hvis forekomsten av en av dem ikke utelukker forekomsten av den andre. Ellers kalles hendelsene uforenlige. For eksempel kastes to terninger. Hendelse A - tre poeng på den første terningen, hendelse B - tre poeng på den andre terningen. A og B er felles arrangementer. La butikken motta et parti sko i samme stil og størrelse, men i en annen farge. Event A - en boks tatt tilfeldig vil være med svarte sko, hendelse B - boksen vil være med brune sko, A og B er uforenlige hendelser. En hendelse kalles sikker hvis den nødvendigvis vil skje under betingelsene for et gitt eksperiment. En hendelse sies å være umulig hvis den ikke kan skje under betingelsene for den gitte opplevelsen. For eksempel er det sikkert at en standarddel er tatt fra et parti med standarddeler, men en ikke-standarddel er umulig. En hendelse kalles mulig eller tilfeldig hvis den, som et resultat av erfaring, kan eller ikke kan skje. Et eksempel på en tilfeldig hendelse er identifisering av produktfeil under kontroll av et parti ferdige produkter, avviket mellom størrelsen på det behandlede produktet og det gitte, svikt i en av koblingene til det automatiserte kontrollsystemet. Hendelser sies å være like sannsynlige dersom ingen av disse hendelsene objektivt sett er mer sannsynlige enn de andre under testens betingelser. Anta for eksempel at en butikk leveres med lyspærer (og i like store mengder) av flere produsenter. Hendelser som består i å kjøpe en lyspære fra noen av disse fabrikkene er like sannsynlige. Et viktig konsept er hele gruppen av arrangementer. Flere hendelser i et gitt eksperiment danner en komplett gruppe hvis minst én av dem nødvendigvis dukker opp som et resultat av eksperimentet. For eksempel er det ti kuler i en urne, hvorav seks er røde og fire er hvite, hvorav fem er nummererte. A - utseendet til en rød ball i en tegning, B - utseendet til en hvit ball, C - utseendet til en ball med et tall. Arrangementer A,B,C utgjør en komplett gruppe fellesarrangementer. Arrangementet kan være motsatt eller tillegg. En motsatt hendelse forstås som en hendelse som nødvendigvis må inntreffe dersom en eller annen hendelse A ikke har inntruffet. Motsatte hendelser er uforenlige og er de eneste mulige. De utgjør en komplett gruppe av arrangementer. For eksempel, hvis et parti med produserte varer består av gode og defekte varer, så når en vare fjernes, kan det vise seg å være enten god - hendelse A, eller defekt - hendelse. Tenk på et eksempel. De kaster en terning (dvs. en liten terning, på sidene av hvilken punktene 1, 2, 3, 4, 5, 6 er slått ut). Når du kaster en terning, kan ett poeng, to poeng, tre poeng osv. falle på toppflaten. Hvert av disse utfallene er tilfeldige. En slik test er gjennomført. Terningen ble kastet 100 ganger og observerte hvor mange ganger hendelsen "6 poeng falt på terningen" skjedde. Det viste seg at i denne serien med eksperimenter falt de "seks" ut 9 ganger. Tallet 9, som viser hvor mange ganger den aktuelle hendelsen skjedde i denne prøven, kalles frekvensen av denne hendelsen, og forholdet mellom frekvensen og det totale antallet forsøk, som er likt, kalles den relative frekvensen av denne. begivenhet. La generelt en bestemt test gjennomføres gjentatte ganger under de samme forholdene, og hver gang blir det fastslått om hendelsen A som er av interesse for oss har inntruffet eller ikke.. Sannsynligheten for en hendelse er betegnet med stor latinsk bokstav P. Da sannsynligheten for en hendelse A vil bli betegnet: P (A). Den klassiske definisjonen av sannsynlighet: Sannsynligheten for en hendelse A er lik forholdet mellom antall tilfeller m som favoriserer den, av det totale antallet n av de eneste mulige, like mulige og inkompatible tilfellene, og antallet n, dvs. , for å finne sannsynligheten for en hendelse, er det nødvendig: å vurdere ulike testresultater; finn totalen av de eneste mulige, like mulige og inkompatible tilfellene, beregn deres totale antall n, antall tilfeller m som favoriserer den gitte hendelsen; utføre en formelberegning. Det følger av formelen at sannsynligheten for en hendelse er et ikke-negativt tall og kan variere fra null til én, avhengig av andelen av det gunstige antallet tilfeller av det totale antallet tilfeller: Tenk på et annet eksempel. Det er 10 baller i boksen. 3 av dem er røde, 2 er grønne, resten er hvite. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball er rød, grønn eller hvit. Utseendet til de røde, grønne og hvite ballene utgjør en komplett gruppe begivenheter. La oss betegne utseendet til en rød ball - hendelse A, utseendet til en grønn en - hendelse B, utseendet til en hvit en - hendelse C. Så, i samsvar med formlene skrevet ovenfor, får vi: ; ; Merk at sannsynligheten for forekomst av en av to parvise inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Den relative frekvensen av hendelse A er forholdet mellom antall opplevelser som resulterte i hendelse A og det totale antallet opplevelser. Forskjellen mellom den relative frekvensen og sannsynligheten ligger i at sannsynligheten beregnes uten det direkte produktet av forsøkene, og den relative frekvensen - etter opplevelsen. Så i eksemplet ovenfor, hvis 5 baller er tilfeldig trukket fra boksen og 2 av dem viste seg å være røde, så er den relative frekvensen av utseendet til en rød ball: Som du kan se, er denne verdien ikke sammenfallende med funnet sannsynlighet. Med et tilstrekkelig stort antall utførte eksperimenter endres den relative frekvensen lite, og svinger rundt ett tall. Dette tallet kan tas som sannsynligheten for hendelsen. geometrisk sannsynlighet. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet antar at antallet elementære utfall er begrenset, noe som også begrenser dens anvendelse i praksis. I tilfellet når det er en test med et uendelig antall utfall, brukes definisjonen av geometrisk sannsynlighet - å treffe et punkt i et område. Når man skal bestemme den geometriske sannsynligheten, antas det at det er et område N og et mindre område M. Et punkt kastes tilfeldig inn på regionen N (dette betyr at alle punktene i regionen N er "like" når det gjelder å få et tilfeldig kastet poeng der). Hendelse A - "det kastede punktet treffer området M". Området M kalles gunstig for hendelsen A. Sannsynligheten for å komme inn i noen del av området N er proporsjonal med målet på denne delen og avhenger ikke av dens plassering og form. Arealet som dekkes av den geometriske sannsynligheten kan være: et segment (målet er lengden) en geometrisk figur på planet (målet er arealet) et geometrisk legeme i rommet (målet er volumet) La oss definere den geometriske sannsynligheten for tilfellet med en flat figur. La området M være en del av området N. Hendelsen A består i treffet av et tilfeldig kastet punkt på området N i området M. Den geometriske sannsynligheten for hendelsen A er forholdet mellom arealet av område M til området til området N: I dette tilfellet antas sannsynligheten for at et tilfeldig kastet punkt treffer grensen til området å være lik null. Tenk på et eksempel: En mekanisk klokke med klokken tolv gikk i stykker og sluttet å virke. Finn sannsynligheten for at timeviseren er frosset klokken 5, men ikke klokken 8. Løsning. Antallet utfall er uendelig, vi bruker definisjonen av geometrisk sannsynlighet. Sektoren mellom klokken 5 og 8 er en del av området til hele skiven, derfor . Operasjoner på hendelser: Hendelser A og B kalles like hvis forekomsten av hendelse A innebærer forekomst av hendelse B og omvendt. En forening eller sum av hendelser er en hendelse A, som betyr forekomsten av minst en av hendelsene. A = Skjæringspunkt eller produkt av hendelser kalles hendelse A, som består i gjennomføringen av alle hendelser. A=? Forskjellen mellom hendelser A og B kalles hendelse C, som betyr at hendelse A inntreffer, men hendelse B inntreffer ikke C=AB Eksempel: A + B - “2 falt ut; fire; 6 eller 3 poeng” A B - “6 poeng rullet” A - B – “2 og 4 poeng rullet ut” En tilleggsbegivenhet til hendelse A er en hendelse som betyr at hendelse A ikke inntreffer. Elementære utfall av erfaring er de resultatene av erfaring som gjensidig utelukker hverandre og som et resultat av opplevelsen inntreffer en av disse hendelsene, og uansett hva hendelsen A er, kan det bedømmes ut fra det elementære utfallet at denne hendelsen inntreffer eller gjør ikke forekomme. Helheten av alle elementære utfall av erfaring kalles rommet for elementære hendelser. Egenskaper for sannsynligheter: Egenskap 1. Hvis alle tilfeller er gunstige for en gitt hendelse A, vil denne hendelsen definitivt inntreffe. Derfor er hendelsen under vurdering sikker, og sannsynligheten for at den inntreffer, siden i dette tilfellet Egenskap 2. Hvis det ikke er et enkelt tilfelle gunstig for denne hendelsen A, kan ikke denne hendelsen oppstå som et resultat av eksperimentet. Derfor er hendelsen under vurdering umulig, og sannsynligheten for at den inntreffer, siden i dette tilfellet m=0: Egenskap 3. Sannsynligheten for forekomst av hendelser som danner en komplett gruppe er lik én. Egenskap 4. Sannsynligheten for at den motsatte hendelsen skal inntreffe bestemmes på samme måte som sannsynligheten for at hendelsen A skal inntreffe: hvor (n-m) er antall tilfeller som favoriserer inntreffet av den motsatte hendelsen. Derfor er sannsynligheten for at den motsatte hendelsen inntreffer lik differansen mellom en og sannsynligheten for at hendelsen inntreffer A: Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Hendelse A kalles et spesialtilfelle av hendelse B hvis, når A inntreffer, også B inntreffer. Det faktum at A er et spesialtilfelle av B, skriver vi A? B. Hendelser A og B kalles like hvis hver av dem er et spesialtilfelle av den andre. Vi skriver likheten til hendelsene A og B som A \u003d B. Summen av hendelsene A og B er hendelsen A + B, som inntreffer hvis og bare hvis minst én av hendelsene inntreffer: A eller B. Sannsynlighetsaddisjonsteorem 1. Sannsynligheten for forekomst av en av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. P=P+P og bare når begge hendelsene inntreffer: A og B samtidig. Tilfeldige hendelser A og B kalles felles hvis begge disse hendelsene kan oppstå under en gitt test. Addisjonsteoremet 2. Sannsynligheten for summen av felleshendelser beregnes ved formelen P=P+P-P Eksempler på oppgaver på addisjonsteoremet. På geometrieksamen får studenten ett spørsmål fra listen over eksamensoppgaver. Sannsynligheten for at dette er et innskrevet sirkelspørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et parallellogramspørsmål er 0,15. Det er ingen spørsmål knyttet til disse to temaene samtidig. Finn sannsynligheten for at studenten får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen. Løsning. Sannsynligheten for summen av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,2 + 0,15 = 0,35. Svar: 0,35. To like automater selger kaffe i kjøpesenteret. Sannsynligheten for at maskinen går tom for kaffe ved slutten av dagen er 0,3. Sannsynligheten for at begge maskinene går tom for kaffe er 0,12. Finn sannsynligheten for at det mot slutten av dagen er kaffe igjen i begge automatene. Løsning. Tenk på hendelsene A - "kaffen slutter i den første maskinen", B - "kaffen slutter i den andre maskinen". Deretter A B - "kaffe vil ende i begge automater", A + B - "kaffe vil ende i minst en automat". Ved betingelse P(A) = P(B) = 0,3; P(AB) = 0,12. Hendelser A og B er felles, sannsynligheten for summen av to felles hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene uten sannsynligheten for deres produkt: P(A + B) = P(A) + P(B) ? P(A B) = 0,3 + 0,3? 0,12 = 0,48. Derfor er sannsynligheten for den motsatte hendelsen, som består i det faktum at kaffen forblir i begge maskinene, lik 1? 0,48 = 0,52. Svar: 0,52. Hendelser av hendelser A og B kalles uavhengige hvis forekomsten av en av dem ikke endrer sannsynligheten for at den andre inntreffer. Hendelse A sies å være avhengig av hendelse B hvis sannsynligheten for hendelse A endrer seg avhengig av om hendelse B inntraff eller ikke. Den betingede sannsynligheten P(A|B) for en hendelse A er sannsynligheten beregnet forutsatt at hendelse B har skjedd. På samme måte betegner P(B|A) den betingede sannsynligheten for en hendelse B, forutsatt at A har skjedd. For uavhengige hendelser, per definisjon, P(A|B) = P(A); P(B|A) = P(B) Multiplikasjonsteorem for avhengige hendelser Sannsynligheten for produktet av avhengige hendelser er lik produktet be0,01 = 0,0198 + 0,0098 = 0,0296. Svar: 0,0296.

I 2003 ble det tatt en beslutning om å inkludere elementer av sannsynlighetsteori i skolekurset i matematikk ved en generell utdanningsskole (instruktivt brev nr. 03-93in / 13-03 av 23. september 2003 fra Utdanningsdepartementet i Den russiske føderasjonen "Om innføring av elementer av kombinatorikk, statistikk og sannsynlighetsteori i innholdet i matematisk utdanning grunnskole", "Matematikk i skolen", nr. 9, 2003). På dette tidspunktet hadde elementer av sannsynlighetsteori vært tilstede i forskjellige former i kjente algebraskolebøker for forskjellige klasser i mer enn ti år (for eksempel I.F. "Algebra: Lærebøker for klasse 7-9 av utdanningsinstitusjoner" redigert av G.V. Dorofeev; "Algebra og begynnelsen av analyse: lærebøker for klasse 10-11 av generelle utdanningsinstitusjoner "G.V. Dorofeev, L.V. Kuznetsova, E.A. Sedova"), og i form av separate læremidler. Presentasjonen av materialet om sannsynlighetsteorien i dem var imidlertid som regel ikke systematisk, og lærere refererte oftest ikke til disse delene, inkluderte dem ikke i læreplanen. Dokumentet som ble vedtatt av Kunnskapsdepartementet i 2003 ga en gradvis, trinnvis inkludering av disse seksjonene i skolekurs, slik at lærermiljøet kunne forberede seg på de tilsvarende endringene. I 2004-2008 En rekke lærebøker blir publisert for å utfylle eksisterende algebra-lærebøker. Dette er publikasjonene til Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Sannsynlighetsteori og statistikk", Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. "Sannsynlighetsteori og statistikk: En lærerveiledning", Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: elementer i statistikk og sannsynlighetsteori: lærebok. Godtgjørelse for studenter 7-9 celler. allmennutdanning institusjoner", Tkacheva M.V., Fedorova N.E. "Elementer av statistikk og sannsynlighet: Proc. Tillegg for 7-9 celler. allmennutdanning institusjoner." Læremidler er også tilgjengelige for å hjelpe lærere. I en årrekke har alle disse læremidlene vært utprøvd i skolen. I forhold når overgangsperioden for introduksjon i skoleplaner er over, og deler av statistikk og sannsynlighetsteori har tatt plass i læreplanene til 7.-9. klassetrinn, analyse og forståelse av konsistensen av hoveddefinisjonene og betegnelsene som brukes i disse lærebøkene er nødvendig. Alle disse lærebøkene ble laget i fravær av tradisjoner for å undervise i disse delene av matematikk på skolen. Dette fraværet, bevisst eller ubevisst, provoserte forfatterne av lærebøker til å sammenligne dem med eksisterende lærebøker for universiteter. Sistnevnte, avhengig av de etablerte tradisjonene i individuelle spesialiseringer av høyere utdanning, tillot ofte betydelig terminologisk inkonsekvens og forskjeller i betegnelsene på grunnleggende begreper og formler. En analyse av innholdet i de ovennevnte skolebøkene viser at de i dag har arvet disse trekkene fra lærebøkene på videregående skole. Med større grad av nøyaktighet kan det argumenteres for at valg av spesifikt undervisningsmateriell i nye matematikkdeler for skolen, angående begrepet «tilfeldig», for tiden skjer på den mest tilfeldige måten, opp til navn og notasjon. Derfor bestemte teamene med forfattere av de ledende skolebøkene om sannsynlighetsteori og statistikk å gå sammen i deres innsats i regi av Moskva-instituttet for åpen utdanning for å utvikle avtalte posisjoner om forening av hoveddefinisjonene og notasjonen som brukes i skolebøkene om sannsynlighet teori og statistikk. La oss analysere introduksjonen av emnet "Sannsynlighetsteori" i skolebøkene. Generelle kjennetegn: Innholdet i undervisningen i emnet "Elements of Probability Theory", fremhevet i "Program for allmenne utdanningsinstitusjoner. Matematikk", sikrer videreutvikling av elevenes matematiske evner, orientering til yrker som er vesentlig relatert til matematikk, og forberedelse til å studere ved et universitet. Spesifisiteten til det matematiske innholdet i emnet som vurderes gjør det mulig å konkretisere den identifiserte hovedoppgaven med dybdestudier av matematikk som følger. 1. Fortsette avsløringen av innholdet i matematikk som et deduktivt kunnskapssystem. - bygge et system med definisjoner av grunnleggende begreper; - identifisere tilleggsegenskaper til de introduserte konseptene; - å etablere sammenhenger mellom de introduserte og tidligere studerte konseptene. 2. Systematisere noen sannsynlige måter å løse problemer på; avsløre den operasjonelle sammensetningen av søket etter løsninger på problemer av visse typer. 3. Å skape forhold for studenter til å forstå og forstå hovedideen om den praktiske betydningen av sannsynlighetsteori ved å analysere de viktigste teoretiske fakta. Å avsløre de praktiske anvendelsene av teorien studert i dette emnet. Oppnåelsen av de fastsatte pedagogiske målene vil bli forenklet ved å løse følgende oppgaver: 1. Å danne seg en idé om de ulike måtene å bestemme sannsynligheten for en hendelse (statistisk, klassisk, geometrisk, aksiomatisk) 2. Å danne kunnskap om de grunnleggende operasjonene på hendelser og evnen til å bruke dem til å beskrive noen hendelser gjennom andre. 3. Å avsløre essensen av teorien om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter; bestemme grensene for bruken av disse teoremene. Vis deres applikasjoner for utledning av full sannsynlighetsformler. 4. Identifisere algoritmer for å finne sannsynlighetene for hendelser a) i henhold til den klassiske definisjonen av sannsynlighet; b) om teorien om addisjon og multiplikasjon; c) i henhold til formelen 0,99 + 0,98P(A|Bn) Tenk på et eksempel: En automatisk linje produserer batterier. Sannsynligheten for at et ferdig batteri er defekt er 0,02. Før pakking går hvert batteri gjennom et kontrollsystem. Sannsynligheten for at systemet vil avvise et dårlig batteri er 0,99. Sannsynligheten for at systemet feilaktig vil avvise et godt batteri er 0,01. Finn sannsynligheten for at et tilfeldig valgt batteri vil bli avvist. Løsning. Situasjonen der batteriet vil bli avvist kan oppstå som et resultat av følgende hendelser: A - "batteriet er virkelig defekt og avvist rimelig" eller B - "batteriet er bra, men avvist ved en feiltakelse". Dette er uforenlige hendelser, sannsynligheten for summen deres er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene. Vi har: P (A+B) = P(A) + P(B) = 0,02P(A|B3) + … + P(Bn)P(A|B2) + P(B3)P(A|B1) ) + P(B2) av sannsynligheten for en av dem ved den betingede sannsynligheten for den andre, forutsatt at den første skjedde: P(A B) = P(A) P(B|A) P(A B) = P( B) P(A| B) (avhengig av hvilken hendelse som skjedde først). Konsekvenser fra teoremet: Multiplikasjonsteorem for uavhengige hendelser. Sannsynligheten for et produkt av uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter: P(A B) = P(A) P(B) Hvis A og B er uavhengige, så er parene også uavhengige: (;), (; B), (A;). Eksempler på oppgaver på multiplikasjonssetningen: Hvis stormester A. spiller hvit, vinner han stormester B. med en sannsynlighet på 0,52. Hvis A. spiller svart, så slår A. B. med en sannsynlighet på 0,3. Stormestre A. og B. spiller to partier, og i det andre spillet endrer de fargen på brikkene. Finn sannsynligheten for at A. vinner begge gangene. Løsning. Sjansene for å vinne det første og andre spillet er uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for produktet av uavhengige hendelser er lik produktet av deres sannsynligheter: 0,52 0,3 = 0,156. Svar: 0,156. Butikken har to betalingsautomater. Hver av dem kan være feil med en sannsynlighet på 0,05, uavhengig av den andre automaten. Finn sannsynligheten for at minst én automat er brukbar. Løsning. Finn sannsynligheten for at begge automatene er defekte. Disse hendelsene er uavhengige, sannsynligheten for produktet deres er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene: 0,05 0,05 = 0,0025. En hendelse som består i at minst én automat er brukbar er det motsatte. Derfor er sannsynligheten 1? 0,0025 = 0,9975. Svar: 0,9975. Total sannsynlighetsformel Konsekvensen av teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter er formelen for total sannsynlighet: Sannsynlighet P(A) for hendelse A, som bare kan oppstå hvis en av hendelsene (hypotesene) B1, B2, B3 ... Bn oppstår, og danner en komplett gruppe av parvise inkompatible hendelser, er lik summen av produktene av sannsynlighetene for hver av hendelsene (hypotesene) B1, B2, B3, ..., Bn og de tilsvarende betingede sannsynlighetene for hendelsen A: P(A) = P(B1) av den totale sannsynligheten. 5. Lag en resept som lar deg rasjonelt velge en av algoritmene når du skal løse et spesifikt problem. De utvalgte utdanningsmålene for å studere elementene i sannsynlighetsteori vil bli supplert med å sette utviklings- og utdanningsmål. Utvikle mål: å danne hos elevene en jevn interesse for emnet, å identifisere og utvikle matematiske evner; i prosessen med å lære å utvikle tale, tenkning, emosjonelle-viljemessige og konkret-motiverende områder; selvstendig funn av studenter av nye måter å løse problemer og oppgaver på; anvendelse av kunnskap i nye situasjoner og omstendigheter; utvikle evnen til å forklare fakta, sammenhenger mellom fenomener, konvertere materiale fra en representasjonsform til en annen (verbal, tegnsymbolsk, grafisk); å lære å demonstrere riktig anvendelse av metoder, å se logikken i resonnement, likheten og forskjellen mellom fenomener. Utdanningsmål: å danne moralske og estetiske ideer hos skolebarn, et system med syn på verden, evnen til å følge normene for atferd i samfunnet; å danne individets behov, motivene til sosial atferd, aktiviteter, verdier og verdiorienteringer; å utdanne en person som er i stand til selvopplæring og selvopplæring. La oss analysere læreboken om algebra for klasse 9 "Algebra: elementer av statistikk og sannsynlighetsteori" Makarychev Yu.N. Denne læreboken er beregnet på elever i klasse 7-9, den utfyller lærebøkene: Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. "Algebra 7", "Algebra 8", "Algebra 9", redigert av Telyakovsky S.A. Boken består av fire avsnitt. Hvert avsnitt inneholder teoretisk informasjon og relaterte øvelser. På slutten av avsnittet er det gitt øvelser for repetisjon. For hvert avsnitt er det gitt tilleggsøvelser med høyere kompleksitet sammenlignet med hovedøvelsene. I henhold til "Program for generelle utdanningsinstitusjoner" er det tildelt 15 timer til å studere emnet "Sannsynlighetsteori og statistikk" i skolealgebrakurset. Materialet om dette emnet faller på 9. klasse og presenteres i følgende avsnitt: §3 "Elementer av kombinatorikk" inneholder 4 punkter: Eksempler på kombinatoriske problemer. Enkle eksempler demonstrerer løsningen av kombinatoriske problemer ved oppregning av mulige alternativer. Denne metoden er illustrert ved å bygge et tre med mulige alternativer. Regelen for multiplikasjon vurderes. Kombinasjonsmuligheter. Selve konseptet og formelen for telling av permutasjoner introduseres. Overnatting. Konseptet er introdusert på et konkret eksempel. Formelen for antall plasseringer er utledet. Kombinasjoner. Konseptet og formelen for antall kombinasjoner. Hensikten med denne delen er å gi elevene ulike måter å beskrive alle mulige elementære hendelser i ulike typer tilfeldig opplevelse. §4 "Innledende informasjon fra sannsynlighetsteorien". Presentasjonen av materialet starter med en betraktning av eksperimentet, hvoretter begrepene «tilfeldig hendelse» og «relativ frekvens av en tilfeldig hendelse» introduseres. En statistisk og klassisk definisjon av sannsynlighet er introdusert. Avsnittet avsluttes med punktet «addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter». Teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter vurderes, de relaterte konseptene om inkompatible, motsatte, uavhengige hendelser introduseres. Dette materialet er laget for elever som viser interesse og evner for matematikk og kan brukes til individuelt arbeid eller i fritidsaktiviteter med elever. Metodologiske anbefalinger for denne læreboken er gitt i en rekke artikler av Makarychev og Mindyuk ("Elementer av kombinatorikk i algebra skolekurs", "Introduksjonsinformasjon fra sannsynlighetsteori i algebraskolekurs"). Og også noen kritiske bemerkninger om denne opplæringen er inneholdt i artikkelen av Studenetskaya og Fadeeva, som vil bidra til å unngå feil når du arbeider med denne læreboken. Formål: overgang fra en kvalitativ beskrivelse av hendelser til en matematisk beskrivelse. Emnet "Sannsynlighetsteori" i lærebøkene til Mordkovich A.G., Semenov P.V. for klasse 9-11. For øyeblikket er en av de eksisterende lærebøkene på skolen læreboken til Mordkovich A.G., Semenov P.V. "Hendelser, sannsynligheter, statistisk databehandling", den har også tilleggskapitler for klassetrinn 7-9. La oss analysere det. I følge Algebra-arbeidsprogrammet er det tildelt 20 timer til studiet av emnet "Elementer av kombinatorikk, statistikk og sannsynlighetsteori". Materiale om emnet "Sannsynlighetsteori" er beskrevet i følgende avsnitt: § 1. De enkleste kombinatoriske problemene. Multiplikasjonsregel og varianttre. Kombinasjonsmuligheter. Det starter med et enkelt kombinatorisk problem, og vurderer deretter en tabell over mulige alternativer, som viser prinsippet for multiplikasjonsregelen. Deretter vurderes trær av mulige varianter og permutasjoner. Etter det teoretiske stoffet er det øvinger til hvert av delpunktene. § 2. Valg av flere elementer. Kombinasjoner. Først vises formelen for 2 elementer, deretter for tre, og deretter den generelle for n elementer. § 3. Tilfeldige hendelser og deres sannsynligheter. Den klassiske definisjonen av sannsynlighet introduseres. Fordelen med denne håndboken er at den er en av få som inneholder avsnitt som omhandler tabeller og alternativer. Disse punktene er nødvendige fordi det er tabeller og alternativtrær som lærer elevene om presentasjon og innledende analyse av data. Også i denne læreboken er kombinasjonsformelen vellykket introdusert først for to elementer, deretter for tre og generalisert for n elementer. Når det gjelder kombinatorikk, presenteres materialet like vellykket. Hvert avsnitt inneholder øvelser, som lar deg konsolidere materialet. Kommentarer til denne opplæringen er inneholdt i artikkelen av Studenetskaya og Fadeeva. I klasse 10 er det gitt tre avsnitt om dette temaet. I den første av dem «Regelen for multiplikasjon. Permutasjoner og faktorialer», i tillegg til selve multiplikasjonsregelen, ble hovedvekten lagt på utledning av to grunnleggende kombinatoriske identiteter fra denne regelen: for antall permutasjoner og for antall mulige delmengder av et sett bestående av n elementer. Samtidig ble faktorialer introdusert som en praktisk måte å forkorte svaret i mange spesifikke kombinatoriske problemer før selve konseptet "permutasjon". I andre ledd i klasse 10 "Velge flere elementer. Binomiale koeffisienter" betraktet som klassiske kombinatoriske problemer knyttet til samtidig (eller sekvensiell) valg av flere elementer fra et gitt begrenset sett. Den mest betydningsfulle og virkelig nye for den russiske allmennutdanningsskolen var det siste avsnittet "Tilfeldige hendelser og deres sannsynligheter." Den vurderte det klassiske sannsynlighetsskjemaet, analyserte formlene P(A+B)+P(AB)=P(A)+P(B), P()=1-P(A), P(A)=1- P() og hvordan du bruker dem. Avsnittet ble avsluttet med en overgang til uavhengige repetisjoner av testen med to utfall. Dette er den viktigste sannsynlighetsmodellen fra et praktisk synspunkt (Bernoulli-forsøk), som har et betydelig antall anvendelser. Det sistnevnte materialet dannet en overgang mellom innholdet i undervisningsmateriellet på 10. og 11. trinn. I 11. klasse er temaet «Elements of Probability Theory» viet to avsnitt i læreboka og oppgaveboken. § 22 omhandler geometriske sannsynligheter, § 23 gjentar og utvider kunnskap om uavhengige gjentakelser av forsøk med to utfall.

Hendelser som skjer i virkeligheten eller i vår fantasi kan deles inn i 3 grupper. Dette er visse hendelser som er nødt til å skje, umulige hendelser og tilfeldige hendelser. Sannsynlighetsteori studerer tilfeldige hendelser, dvs. hendelser som kan eller ikke kan skje. Denne artikkelen vil bli presentert i sammendrag sannsynlighetsteoriformler og eksempler på problemløsning i sannsynlighetsteori, som vil være i 4. oppgave av USE i matematikk (profilnivå).

Hvorfor trenger vi sannsynlighetsteorien

Historisk sett oppsto behovet for å studere disse problemene på 1600-tallet i forbindelse med utvikling og profesjonalisering av gambling og ankomsten av kasinoet. Det var et virkelig fenomen som krevde sine studier og forskning.

Spillekort, terninger, rulett skapte situasjoner der en hvilken som helst av et begrenset antall like sannsynlige hendelser kunne inntreffe. Det var behov for å gi numeriske estimater for muligheten for at en hendelse skulle inntreffe.

På 1900-tallet viste det seg at denne tilsynelatende useriøse vitenskapen spiller viktig rolle i kunnskap om de grunnleggende prosessene som skjer i mikroverdenen. Den moderne teorien om sannsynlighet ble skapt.

Grunnleggende begreper i sannsynlighetsteori

Objektet for studiet av sannsynlighetsteori er hendelser og deres sannsynligheter. Hvis hendelsen er kompleks, kan den brytes ned i enkle komponenter, hvor sannsynlighetene er enkle å finne.

Summen av hendelser A og B kalles hendelse C, som består i at enten hendelse A, eller hendelse B, eller hendelser A og B skjedde samtidig.

Produktet av hendelser A og B er hendelsen C, som består i at både hendelsen A og hendelsen B skjedde.

Hendelser A og B sies å være uforenlige hvis de ikke kan skje samtidig.

En hendelse A sies å være umulig hvis den ikke kan skje. En slik hendelse er merket med symbolet .

En hendelse A kalles sikker om den definitivt vil skje. En slik hendelse er merket med symbolet .

La hver hendelse A tildeles et nummer P(A). Dette tallet P(A) kalles sannsynligheten for hendelsen A hvis følgende betingelser er tilfredsstilt med en slik korrespondanse.

Et viktig spesialtilfelle er situasjonen når det er like sannsynlige elementære utfall, og vilkårlige av disse utfallene danner hendelser A. I dette tilfellet kan sannsynligheten introduseres med formelen . Sannsynligheten introdusert på denne måten kalles den klassiske sannsynligheten. Det kan bevises at eiendommene 1-4 holder i dette tilfellet.

Problemer i sannsynlighetsteorien, som finnes på eksamen i matematikk, er hovedsakelig knyttet til klassisk sannsynlighet. Slike oppgaver kan være veldig enkle. Spesielt enkle er problemer i sannsynlighetsteori i demoversjoner. Det er enkelt å beregne antall gunstige utfall, antallet av alle utfall skrives direkte i betingelsen.

Vi får svaret etter formelen.

Et eksempel på en oppgave fra eksamen i matematikk for å bestemme sannsynligheten

Det er 20 paier på bordet - 5 med kål, 7 med epler og 8 med ris. Marina vil ta en pai. Hva er sannsynligheten for at hun tar riskaken?

Løsning.

Det er 20 like sannsynlige elementære utfall totalt, det vil si at Marina kan ta hvilken som helst av de 20 paiene. Men vi må estimere sannsynligheten for at Marina tar rispatten, det vil si der A er valget av rispatten. Dette betyr at vi har totalt 8 gunstige utfall (velge rispaier) Da vil sannsynligheten bli bestemt av formelen:

Uavhengige, motsatte og vilkårlige hendelser

Imidlertid begynte mer komplekse oppgaver å dukke opp i den åpne oppgavebanken. La oss derfor trekke leserens oppmerksomhet til andre spørsmål som er studert i sannsynlighetsteori.

Hendelser A og B kalles uavhengige hvis sannsynligheten for hver av dem ikke avhenger av om den andre hendelsen skjedde.

Hendelse B består i at hendelse A ikke inntraff, dvs. hendelse B er motsatt av hendelse A. Sannsynligheten for den motsatte hendelsen er lik én minus sannsynligheten for den direkte hendelsen, dvs. .

Addisjons- og multiplikasjonssetninger, formler

For vilkårlige hendelser A og B er sannsynligheten for summen av disse hendelsene lik summen av deres sannsynligheter uten sannsynligheten for deres felles arrangement, dvs. .

For uavhengige hendelser A og B er sannsynligheten for produktet av disse hendelsene lik produktet av deres sannsynligheter, dvs. i dette tilfellet .

De to siste påstandene kalles teoremene for addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

Ikke alltid telle antall utfall er så enkelt. I noen tilfeller er det nødvendig å bruke kombinatoriske formler. Det viktigste er å telle antall arrangementer som oppfyller visse betingelser. Noen ganger kan slike beregninger bli selvstendige oppgaver.

På hvor mange måter kan 6 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter å plassere den andre eleven på. For den tredje eleven er det 4 ledige plasser, for den fjerde - 3, for den femte - 2, den sjette tar den eneste gjenværende plassen. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet, som er merket med symbolet 6! og les "six factorial".

PÅ generell sak svaret på dette spørsmålet er gitt av formelen for antall permutasjoner av n elementer.I vårt tilfelle, .

Vurder nå en annen sak med elevene våre. På hvor mange måter kan 2 elever sitte på 6 tomme plasser? Den første eleven vil ta en av de 6 plassene. Hvert av disse alternativene tilsvarer 5 måter å plassere den andre eleven på. For å finne antallet av alle alternativer, må du finne produktet.

I det generelle tilfellet er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall plasseringer av n elementer med k elementer

I vårt tilfelle.

Og siste tilfelle fra denne serien. Hvor mange måter er det å velge 3 elever av 6 på? Den første eleven kan velges på 6 måter, den andre på 5 måter og den tredje på 4 måter. Men blant disse alternativene forekommer de samme tre studentene 6 ganger. For å finne antallet av alle alternativer, må du beregne verdien: . I det generelle tilfellet er svaret på dette spørsmålet gitt av formelen for antall kombinasjoner av elementer etter elementer:

I vårt tilfelle.

Eksempler på å løse oppgaver fra eksamen i matematikk for å bestemme sannsynligheten

Oppgave 1. Fra samlingen, red. Jasjtsjenko.

Det er 30 paier på en tallerken: 3 med kjøtt, 18 med kål og 9 med kirsebær. Sasha velger tilfeldig én pai. Finn sannsynligheten for at han ender opp med et kirsebær.

.

Svar: 0,3.

Oppgave 2. Fra samlingen, red. Jasjtsjenko.

I hvert parti med 1000 lyspærer, i gjennomsnitt 20 defekte. Finn sannsynligheten for at en tilfeldig valgt lyspære fra et parti er god.

Løsning: Antall brukbare lyspærer er 1000-20=980. Da er sannsynligheten for at en lyspære tatt tilfeldig fra partiet vil være brukbar:

Svar: 0,98.

Sannsynligheten for at elev U. løser mer enn 9 oppgaver riktig på en matteprøve er 0,67. Sannsynligheten for at U. løser mer enn 8 oppgaver riktig er 0,73. Finn sannsynligheten for at U. løser nøyaktig 9 oppgaver riktig.

Hvis vi forestiller oss en talllinje og markerer punktene 8 og 9 på den, vil vi se at betingelsen "U. riktig løse nøyaktig 9 problemer" er inkludert i betingelsen "U. løse mer enn 8 problemer riktig", men gjelder ikke betingelsen "W. løse mer enn 9 problemer på riktig måte.

Imidlertid er betingelsen "U. riktig løse mer enn 9 problemer" er inneholdt i betingelsen "U. løse mer enn 8 problemer på riktig måte. Derfor, hvis vi utpeker hendelser: "W. løst nøyaktig 9 problemer" - gjennom A, "U. riktig løse mer enn 8 problemer" - gjennom B, "U. løse mer enn 9 problemer riktig "gjennom C. Da vil løsningen se slik ut:

Svar: 0,06.

På geometrieksamen svarer studenten på ett spørsmål fra listen over eksamensoppgaver. Sannsynligheten for at dette er et trigonometrispørsmål er 0,2. Sannsynligheten for at dette er et Outer Corners-spørsmål er 0,15. Det er ingen spørsmål knyttet til disse to temaene samtidig. Finn sannsynligheten for at studenten får et spørsmål om ett av disse to temaene på eksamen.

La oss tenke på hvilke arrangementer vi har. Vi får to uforenlige hendelser. Det vil si at enten vil spørsmålet forholde seg til emnet "Trigonometri", eller til emnet "Eksterne vinkler". I følge sannsynlighetsteoremet er sannsynligheten for uforenlige hendelser lik summen av sannsynlighetene for hver hendelse, vi må finne summen av sannsynlighetene for disse hendelsene, det vil si:

Svar: 0,35.

Rommet er opplyst av en lykt med tre lamper. Sannsynligheten for at en lampe brenner ut i løpet av et år er 0,29. Finn sannsynligheten for at minst én lampe ikke brenner ut innen et år.

La oss vurdere mulige hendelser. Vi har tre lyspærer, som hver kan eller ikke kan brenne ut uavhengig av andre lyspærer. Dette er uavhengige arrangementer.

Deretter vil vi indikere variantene av slike hendelser. Vi godtar notasjonen: - lyspæren er på, - lyspæren er utbrent. Og umiddelbart etterpå beregner vi sannsynligheten for en hendelse. For eksempel sannsynligheten for en hendelse der tre uavhengige arrangementer«lyspære utbrent», «lyspære på», «lyspære på»: hvor sannsynligheten for hendelsen «lyspære på» beregnes som sannsynligheten for en hendelse motsatt hendelsen «lyspære av», nemlig: .

Alle bøkene kan lastes ned gratis og uten registrering.

NY. Korolyuk V.S., Portenko N.I., Skorokhod A.V. Turbin A.F. Håndbok i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. 2. utg. revidert legge til. 1985 640 s. djvu. 13,2 MB.
Håndboken er en utvidet og revidert utgave av boken "Handbook of Probability Theory and Mathematical Statistics" redigert av V. S. Korolyuk, utgitt i 1978 av Naukova Dumka forlag. Når det gjelder bredden i dekningen av hovedideene, metodene og spesifikke resultatene av moderne sannsynlighetsteori, teorien om tilfeldige prosesser og til dels matematisk statistikk, er håndboken den eneste publikasjonen i sitt slag.
For forskere og ingeniører.

nedlasting

NY. F. Mosteller, R. Rourke, J. Thomas. Sannsynlighet. 1969 432 s. pdf. 12,6 MB.
Denne boken, skrevet av en gruppe kjente amerikanske matematikere og lærere, er en elementær introduksjon til sannsynlighetsteori og statistikk – grener av matematikken som nå får mer og mer bruk i vitenskap og praksis. Den er skrevet i et livlig og levende språk, og inneholder mange eksempler for det meste fra hverdagslivet. Til tross for at for å lese boken er det nok å ha kunnskap om matematikk i skolens volum, er det en helt korrekt innføring i sannsynlighetsteorien. Jeg leser i denne boken det jeg aldri har sett hos andre.

. . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Andronov A.M., Kopytov E.A., Greenglaz L.Ya. Sannsynlighetsteori og mattestatistikk. 2004 460 sider djvu. 6,7 MB.
Fra forlaget:
Før deg - en utvidet lærebok om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Det tradisjonelle materialet er supplert med spørsmål som sannsynligheten for kombinasjoner av tilfeldige hendelser, tilfeldige turer, lineære transformasjoner tilfeldige vektorer, numerisk bestemmelse av ikke-stasjonære sannsynligheter for tilstander av diskrete Markov-prosesser, anvendelse av optimeringsmetoder for å løse problemer med matematisk statistikk, regresjonsmodeller. Hovedforskjellen mellom den foreslåtte boken og kjente lærebøker og monografier om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk ligger i dens fokus på konstant bruk av en personlig datamaskin når man studerer materialet. Presentasjonen er ledsaget mange eksempler løsning av de vurderte problemene i miljøet til pakkene Mathcad og STATISTICA. Boken er skrevet på grunnlag av mer enn tretti års erfaring fra forfatterne i å undervise i fagene sannsynlighetsteori, matematisk statistikk og teorien om tilfeldige prosesser for studenter fra ulike spesialiteter ved høyere utdanningsinstitusjoner. Det er av praktisk interesse både for studenter og universitetslærere, og for alle som er interessert i anvendelse av moderne sannsynlighetsstatistiske metoder.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Agekyan. Sannsynlighetsteori for astroner og fysikere. 260 sider Størrelse 1,7 Mb. Boken inneholder materiale på en slik måte at det kan brukes i bearbeiding av måleresultater av fysikere og astronomer. En nyttig bok for å beregne feil.

nedlasting

I.I. Bavrin. Sannsynlighetsteori matematisk statistikk. 2005 år. 161 s. djv. 1,7 MB.
Grunnleggende for sannsynlighetsteori og matematisk statistikk er skissert i applikasjoner til fysikk, kjemi, biologi, geografi, økologi, øvelser for selvstendig arbeid Alle grunnleggende begreper og bestemmelser er illustrert med analyserte eksempler og oppgaver
For studenter på naturfag pedagogiske universiteter Kan brukes av studenter fra andre universiteter

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Borodin A. N. Grunnkurs i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. 1999 224 s. djvu. 3,6 MB.
Læreboken inneholder en systematisk presentasjon av hoveddelene av grunnkurset i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. En ny seksjon er lagt til de tradisjonelle seksjonene - "Prosedyre for rekursiv estimering", av hensyn til den spesielle betydningen denne prosedyren har for søknader. Det teoretiske materialet følger med stor kvantitet eksempler og oppgaver fra ulike kunnskapsfelt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

Bocharov P. P., Pechinkin A. V. Sannsynsteori. Matematisk statistikk. 2005 år. 296 s. djvu. 2,8 MB.
Den første delen omhandler de grunnleggende konseptene for sannsynlighetsteori, ved å bruke relativt enkle matematiske konstruksjoner, men presentasjonen er likevel basert på den aksiomatiske konstruksjonen foreslått av akademiker A. N. Kolmogorov. Den andre delen skisserer de grunnleggende begrepene i matematisk statistikk. De vanligste problemene med å estimere ukjente parametere og teste statistiske hypoteser vurderes, og hovedmetodene for deres løsning er beskrevet. Hver gitt posisjon er illustrert med eksempler. Materialet som presenteres som helhet tilsvarer den statlige utdanningsstandarden.
Studenter, hovedfagsstudenter og universitetsprofessorer, forskere av ulike spesialiteter og de som ønsker å få en første ide om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

V.N. Vapnik. Gjenoppretting av avhengigheter av empiri. 1979 449 s. djvu. 6,3 MB.
Monografien er viet problemet med å gjenopprette avhengigheter fra empiriske data. Den utforsker en risikominimeringsmetode på prøver av begrenset størrelse, ifølge hvilken man, når man gjenoppretter en funksjonell avhengighet, bør velge en funksjon som tilfredsstiller et visst kompromiss mellom verdien som kjennetegner dens "kompleksitet" og verdien som kjennetegner graden av dens tilnærming til settet med empiriske data. Anvendelsen av denne metoden på tre hovedproblemer med avhengighetsgjenoppretting vurderes: problemet med læringsmønstergjenkjenning, regresjonsgjenoppretting og tolkning av resultatene av indirekte eksperimenter. Det er vist at å ta i betraktning det begrensede volumet av empiriske data gjør det mulig å løse problemer med mønstergjenkjenning med en stor dimensjon av funksjonsrommet, gjenopprette regresjonsavhengigheter i fravær av en modell av den gjenopprettede funksjonen, og oppnå stabile løsninger på feil problemer med tolke resultatene av indirekte eksperimenter. De tilsvarende algoritmene for å gjenopprette avhengigheter er gitt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

A.I. Volkovets, A.B. Gurinovitsj. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Forelesningsnotater. 2003 84 s. PDF. 737 Kb.
Sammendraget av forelesninger på emnet "Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk" inkluderer 17 forelesninger om emner definert av standard arbeidsprogram for å studere denne disiplinen. Formålet med studien er å beherske de grunnleggende metodene for formalisert beskrivelse og analyse av tilfeldige fenomener, bearbeiding og analyse av resultatene av fysiske og numeriske eksperimenter. For å studere denne disiplinen, trenger studenten kunnskapen oppnådd i studiet av seksjonene "Serier", "Sett og operasjoner på dem", "Differensial- og integralregning" i løpet av høyere matematikk.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Volodin. Forelesninger om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. 2004 257 sider Størrelse 1,4 Mb. PDF. Theorver legger vekt på metoder for å konstruere sannsynlighetsmodeller og implementering av disse metodene på reelle oppgaver naturvitenskap. I statistikken fokuseres det på metoder for å beregne risiko ved spesifikke statistikkregler.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Wentzel, Ovtcharov. Sannsynlighetsteori og dens tekniske anvendelser. år 2000. 480 sider djvu. 10,3 MB.
Boken gir en systematisk presentasjon av grunnlaget for sannsynlighetsteorien med tanke på deres praktiske anvendelser i spesialitetene: kybernetikk, Anvendt matematikk, datamaskiner, automatiserte kontrollsystemer, teorien om mekanismer, radioteknikk, teorien om pålitelighet, transport, kommunikasjon, etc. Til tross for mangfoldet av områder som applikasjoner tilhører, er de alle gjennomsyret av et enkelt metodisk grunnlag.
For studenter ved høyere tekniske utdanningsinstitusjoner. Det kan være nyttig for lærere, ingeniører og forskere med ulike profiler, som i sine praktiske aktiviteter står overfor behovet for å sette og løse problemer knyttet til analyse av tilfeldige prosesser.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Wentzel, Ovtcharov. Sannsynlighetsteori. 1969 365 s. djvu. 8,3 MB.
Boken er en samling oppgaver og øvelser. Alle problemer har et svar, og de fleste har løsninger.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

N. Ya. VILENKIN, V. G. POTAPOV. PROBLEM-WORKSHOP OM SANNSYNLIGHETSTEORI MED ELEMENTER AV KOMBINATORIKK OG MATEMATISK STATISTIKK. Opplæringen. 1979 113 s. djvu. 1,3 MB.
Boken som gjøres oppmerksom på leseren er en praktisk arbeidsbok for kurset "Sannsynlighetsteori". Oppgaveboken består av tre kapitler, som igjen er delt inn i avsnitt. I begynnelsen av hvert avsnitt gis den viktigste teoretiske informasjonen så kort som mulig, deretter analyseres typiske eksempler i detalj, og til slutt foreslås problemer for uavhengig løsning, utstyrt med svar og instruksjoner. Oppgaveboken inneholder også tekster laboratoriearbeid, hvis implementering vil hjelpe en deltidsstudent til å bedre forstå de grunnleggende begrepene i matematisk statistikk.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

Gmurman. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. 2003 480 s. DJVU. 5,8 MB.
Boken inneholder stort sett alt materialet til programmet om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. stor oppmerksomhet viet til statistiske metoder for behandling av eksperimentelle data. På slutten av hvert kapittel er det problemer med svar. Den er beregnet på universitetsstudenter og personer som bruker sannsynlige og statistiske metoder for å løse praktiske problemer.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Kolmogorov. Sannsynlighetsteori. Størrelse 2,0 Mb.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Kibzun et al. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Uch. godtgjørelse. Grunnkurs med eksempler og oppgaver. Størrelse 1,7 Mb. djvu. 225 s.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

M. Katz. Statistisk uavhengighet i sannsynlighetsteori, analyse og tallteori. 152 sider djv. 1,3 MB.
Boken er presentert i en svært tilgjengelig og fascinerende form anvendelse av noen ideer om sannsynlighetsteori på andre områder av matematikken. Hoveddelen av boken er viet begrepet statistisk uavhengighet.
Boken vil være nyttig og interessant for studenter, matematikere, fysikere, ingeniører.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

M. Katz. Sannsynlighet og relaterte spørsmål i fysikk. 408 s. djv. 3,8 MB.
Forfatteren er kjent for den sovjetiske leseren fra oversettelsen av hans verk "Statistical Independence in Probability Theory, Analysis and Number Theory" (IL, 1963). Hans En ny bok hovedsakelig dedikert til en av de mest interessante oppgavene fysikk: beskriv hvordan et system med et veldig stort antall partikler (en gass i et kar) kommer i likevekt, og forklar hvordan irreversibiliteten til denne prosessen i tid er i samsvar med reversibiliteten i tid til de opprinnelige ligningene. Den største oppmerksomheten rettes mot det sannsynlige aspektet ved problemet; Det vurderes statistiske modeller som imiterer hovedtrekkene ved problemet. De to første kapitlene er også av uavhengig interesse - ved hjelp av velvalgte eksempler viser forfatteren hvordan sannsynlighetsbegrepet oppstår i matematiske og fysiske problemer og hvilket analyseapparat som brukes av sannsynlighetsteorien. Denne utgaven inneholder artikler av Katz og andre forfattere knyttet til problemstillingene som tas opp i boken.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Kendall. Stuart. Multivariat statistisk analyse og tidsserier. 375 s. DJVU. 8,2 MB.
Boken er siste bind av et tre-binds kurs om statistikk av M. Kendall og A. Stewart, hvor det første bindet ble utgitt i 1966 under tittelen "Theory of Distributions:", og det andre - i 1973 under tittel "Statistiske slutninger og forbindelser".
Boken inneholder informasjon om variansanalyse, design av eksperimenter, teori utvalgsundersøkelser, flerdimensjonal analyse og tidsserier.
Boken inneholder i likhet med de to første bindene mange praktiske anbefalinger og eksempler på deres anvendelse, og presentasjonen kombinerer en mer eller mindre detaljert utledning av hovedresultatene med en relativt kort oppregning. et stort antall mer privat informasjon.
Boken vil være av interesse for studenter og hovedfagsstudenter som spesialiserer seg i matematisk statistikk, så vel som for et bredt spekter av forskere som arbeider med dens applikasjoner.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Kendall. Stuart. TEORIEN OM DISTRIBUSJONER. Bind 1. 590 sider 10,3 Mb. 6,1 MB.
Innhold: Frekvensfordelinger. Mål for plassering og spredning. Momenter og semi-invarianter. Karakteristiske funksjoner. standard fordelinger. Sannsynlighetsregning. Sannsynlighet og statistisk slutning. Tilfeldig utvalg. standard feil. Nøyaktige prøvefordelinger. Tilnærming av utvalgsfordelinger. Tilnærming av utvalgsfordelinger. Ordinalstatistikk. Multivariat normalfordeling og kvadratiske former. Fordelinger knyttet til normalen.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Kendall. Stuart. STATISTISKE KONKLUSJONER OG RELASJONER. Bind 2. 900 sider djvu. 10,3 MB.
Boken inneholder informasjon om estimeringsteori, hypotesetesting, korrelasjonsanalyse, regresjon, ikke-parametriske metoder, sekvensiell analyse.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

N.Sh. Kremer. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Lærebok. 2. utg., revidert. legge til. 2004 575 s. djvu. 12,2 MB.
Dette er ikke bare en lærebok, men også en kort veiledning for å løse problemer. Det uttalte grunnlaget for sannsynlighetsteorien og matematisk statistikk er ledsaget av et stort antall problemer (inkludert økonomiske), gitt med løsninger og for selvstendig arbeid. Samtidig legges det vekt på de grunnleggende begrepene i emnet, deres teoretiske og sannsynlige betydning og anvendelse. Det gis eksempler på bruk av probabilistiske og matematisk-statistiske metoder i oppgaver i kø og finansmarkedsmodeller.
For studenter og hovedfagsstudenter innen økonomiske spesialiteter og områder, samt universitetsprofessorer, forskere og økonomer.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Kobzar A.I. Anvendt matematisk statistikk. For ingeniører og forskere. 2006 814 s. djvu. 7,7 MB.
Boken diskuterer måter å analysere observasjoner ved hjelp av metoder for matematisk statistikk. Konsekvent på et språk som er tilgjengelig for en spesialist - ikke en matematiker, moderne metoder analyse av sannsynlighetsfordelinger, evaluering av fordelingsparametere, testing av statistiske hypoteser, evaluering av sammenhenger mellom tilfeldige variabler, planlegging av et statistisk eksperiment. Hovedoppmerksomheten er gitt til forklaringen av eksempler på bruk av metodene for moderne matematisk statistikk.
Boken er beregnet på ingeniører, forskere, økonomer, leger, hovedfagsstudenter og studenter som ønsker å raskt, økonomisk og på et høyt nivå. faglig nivå bruke hele arsenalet av moderne matematisk statistikk for å løse sine anvendte problemer.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

M.L. Krasnov. Sannsynlighetsteori. Lærebok. år 2001. 296 s. djvu. 3,9 MB.
Når man studerer ulike fenomener i natur og samfunn, står forskeren overfor to typer eksperimenter - de hvis resultater er entydig forutsigbare under gitte forhold, og de hvis resultater ikke entydig kan forutsies under forhold kontrollert av forskeren, men man kan bare lage en antagelse om spekteret av mulige resultater. I det første tilfellet snakker man om deterministiske fenomener, i det andre - om fenomener som bærer tilfeldig karakter. Samtidig betyr de at vi a priori (på forhånd, før eksperimentet utføres eller observasjonen av fenomenet er fullført) i det første tilfellet er i stand til å forutsi resultatet, men ikke i det andre. For det som følger er det ikke viktig hva som forårsaket en slik uforutsigbarhet - naturlovene som ligger til grunn for fenomenet som studeres eller ufullstendig informasjon om prosessene som forårsaker dette fenomenet. En viktig omstendighet er tilstedeværelsen av selve faktumet av uforutsigbarhet. Sannsynlighetsteorien, grunnlaget for denne delen, er utformet for å gjøre forskeren i stand til å beskrive slike eksperimenter og fenomener og gir ham et pålitelig verktøy for å studere virkeligheten i situasjoner der en deterministisk beskrivelse er umulig.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

E.L. Kuleshov. Sannsynlighetsteori. Forelesninger for fysikere. 2002 116 sider djvu. 919 Kb.
For seniorstudenter.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

Lazakovich, Stashulenok, Yablonsky. Sannsynlighetsteorikurs. Opplæringen. 2003 322 s. PDF. 2,9 MB.
Opplæringsmanualen er basert på årlig rate forelesninger gitt av forfatterne i en årrekke for studenter ved fakultetet for mekanikk og matematikk ved det hviterussiske statsuniversitetet. Boken inneholder følgende deler: sannsynlighetsrom, uavhengighet, tilfeldige variabler, numeriske egenskaper tilfeldige variabler, karakteristiske funksjoner, grensesetninger, grunnleggende om teorien om tilfeldige prosesser, elementer i matematisk statistikk og applikasjoner, som inneholder tabeller over de viktigste sannsynlighetsfordelingene og verdiene til noen av dem. De fleste kapitlene inneholder vedlegg, som inneholder støttemateriale og emner for selvstudium.
Presentasjonen er ledsaget av et stort antall eksempler, øvelser og problemer som illustrerer de grunnleggende konseptene og forklarer mulige anvendelser av de beviste utsagnene.
For studenter av matematiske spesialiteter ved universiteter.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Loev M. Sannsynsteori. 1962 449 s. djvu. 6,2 MB.
Boken er et omfattende systematisk kurs i moderne sannsynlighetsteori, skrevet på et høyt teoretisk nivå. På grunnlag av måleteori studerer forfatteren tilfeldige hendelser, tilfeldige variabler og deres sekvenser, fordelingsfunksjoner og karakteristiske funksjoner, sannsynlighetsteoretiske grensesetninger og tilfeldige prosesser. Presentasjonen er ledsaget av et stort antall oppgaver varierende grader vanskeligheter.
En bok for grunn- og hovedfagsstudenter - matematikere som studerer teori.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Lvovsky B.N. Statistiske metoder for å konstruere empiriske formler: Proc. godtgjørelse. 2. utg., revidert. legge til. 1988 239 s. djvu. 2,3 MB.
Den 2. utgaven av håndboken skisserer hovedmetodene for behandling av eksperimentelle data. Metodene for foreløpig behandling av resultatene av observasjoner er beskrevet i detalj. Statistiske metoder for å konstruere empiriske formler, maximum Likelihood-metoden, metoden for middelverdier og samflytende analyse vurderes. Metodikken for planlegging og prosessering av aktive eksperimenter er dekket. Det grunnleggende om dispersjonsanalyse er gitt.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Yu.D. Maksimov redaktør. Probabilistiske grener av matematikken. Lærebok. år 2001. 581 s. djvu. 7,4 MB.
Seksjoner: !. Sannsynlighetsteori. 2. Matematisk statistikk. 3. Teori om tilfeldige prosesser. 4. Teori om kø.
Lærebok for bachelorer i teknisk feil.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Maksimov Yu.D. Matte. Vshusk 9. Sannsynlighetsteori. Detaljert oppsummering. Håndbok for endimensjonale kontinuerlige distribusjoner. 2002 98 sider djv. 4,3 MB.
Manualen er i samsvar med den statlige utdanningsstandarden og gjeldende programmer i faget "Matematikk" for bachelorstudier innen alle generelle tekniske og økonomiske områder. Det er et detaljert sammendrag av forelesninger om sannsynlighetsteori, som i utgangspunktet tilsvarer det grunnleggende abstraktet (utgave 7 av serien med grunnleggende sammendrag i matematikk utgitt av SPBPU-forlaget.) I motsetning til referanseabstraktet er her bevis på teoremer og avledninger av formler utelatt i referanseabstraktet, og en veiledning til endimensjonale kontinuerlige distribusjoner.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

J. Neveu. Matematiske grunnlag sannsynlighetsteori. 1969 310 s. djv. 3,0 MB.
Forfatteren av boken er kjent for sitt arbeid med anvendelse av metoder for funksjonell analyse og målteori på spørsmål om sannsynlighetsteori. Mesterlig skrevet bok inneholder en kompakt og samtidig en fullstendig redegjørelse for grunnlaget for sannsynlighetsteorien. Inkluderte mye nyttige tillegg og trening.
Boken kan tjene en god lærebok for studenter og hovedfagsstudenter som seriøst ønsker å studere teorien om tilfeldige prosesser, og en utmerket oppslagsbok for spesialister.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

D.T. Skriving. Forelesningsnotater om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. 2004 256 s. djvu. 1,4 MB.
Denne boken er et forelesningskurs om sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Den første delen av boken inneholder de grunnleggende begrepene og teoremene innen sannsynlighetsteori, som tilfeldige hendelser, sannsynlighet, tilfeldige funksjoner, korrelasjon, betinget sannsynlighet, loven om store tall og grensesetninger. Den andre delen av boken er viet matematisk statistikk, den beskriver det grunnleggende) av prøvetakingsmetoden, teorien om estimater og hypotesetesting. Presentasjonen av det teoretiske stoffet er ledsaget av en betraktning av en lang rekke eksempler og problemstillinger, og gjennomføres i et tilgjengelig, om mulig, strengt språk.
Designet for studenter i økonomisk og tekniske universiteter.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Poddubnaya O.N. Forelesninger om sannsynlighetsteori. 2006 125 s. pdf. 2,0 Mb.
Tydelig skrevet. Fordelene med kurset er for eksempel at teoretiske utsagn forklares med eksempler.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Yu.V. Prokhorov, Yu.A. Rozanov. Sannsynlighetsteori. Enkle konsepter. Grensesetninger. tilfeldige prosesser. 1967 498 s. djvu. 7,6 MB.
Boken er skrevet av kjente amerikanske matematikere og er viet en av de viktige moderne trendene innen sannsynlighetsteori, som ikke er tilstrekkelig reflektert i litteraturen på russisk. Forfatterne graviterer mot meningsfulle resultater, snarere enn maksimal generalitet, og vurderer en rekke eksempler og anvendelser. Boken kombinerer med suksess et høyt vitenskapelig presentasjonsnivå og samtidig tilgjengelighet for et studentpublikum.
For spesialister innen sannsynlighetsteori, fysikere, ingeniører, hovedfagsstudenter og universitetsstudenter.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Poincare A. Sannsynlighetsteori. 1999 284 s. djv. 700 Kb.
Boken er en av delene av forelesningsforløpet til A. Poincaré. Den diskuterer både det generelle grunnlaget for sannsynlighetsteorien og ikke-tradisjonelle spørsmål som praktisk talt ikke er inneholdt i noe kurs. Ulike bruksområder for fysikk, matematikk og mekanikk vurderes.
Boken er nyttig for et bredt spekter av lesere - fysikere, matematikere, vitenskapshistorikere.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Pyt'ev Yu. P. Shishmarev IA Et kurs i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk for fysikere. Proc. godtgjørelse. Moskva statsuniversitet 1983. 256 s. djvu. 4,6 MB.
Boken er basert på et seks måneders forelesningskurs, lest av forfattere ved Fysisk fakultet. Mye plass er gitt til teorien om tilfeldige prosesser: Markov og stasjonære. Presentasjonen er matematisk streng, men ikke basert på bruken av Lebesgue-integralet. Delen av kurset viet til matematisk statistikk inneholder seksjoner fokusert på anvendelser til oppgavene med å automatisere planlegging, analyse og tolkning av fysiske eksperimenter. Den statistiske teorien om måle- og datakomplekset "instrument + datamaskin" presenteres, noe som gjør det mulig å forbedre parametrene til ekte eksperimentelt utstyr betydelig ved å behandle data på en datamaskin. Teorielementer inkludert statistisk sjekk hypoteser brukt i problemet med tolkning av eksperimentelle data.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

Saveliev. elementær teori sannsynligheter. Lærebok, Novosibirsk State University, 2005.
Del 1 er viet teori. Størrelse 660 Kb. Del 2 er viet analyse av eksempler. Størrelse 810 Kb. Del 3. Riemann og Stieltjes integraler. 240 sider djvu. 5,0 Mb. Del 3 av håndboken beskriver elementene i differensial og integralregning, som ble brukt i del I. Kombinert materiale fra forfatterens manualer "Forelesninger vedr matematisk analyse, 2,1" (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1973) og "Integration of uniformly målbare funksjoner" (Novosibirsk, Novosibirsk State University, 1984). Hovedobjektet er Stieltjes-integralen. Det er definert som en avgrenset lineær funksjonell på funksjonsrommet uten komplekse diskontinuiteter, som ble vurdert i del 1. Stieltjes-integralet er mye brukt ikke bare i sannsynlighetsteori, men også i geometri, mekanikk og andre områder av matematikken. Vedlegget i del 3 av håndboken supplerer vedlegget i del 2. For fullstendighetens skyld gjentas del 3 noen steder fra del 1. Vedlegget beholder pagineringen og avsnittene til forfatterhåndboken "Forelesninger om matematisk analyse".

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Last ned del 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Last ned del 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Last ned del 3

Savrasov Yu.S. Optimale løsninger. Forelesninger om målebehandlingsmetoder. år 2000. 153 s. djvu. 1,1 Mb.
Metoder for prosessering av målinger som gir det mest komplette uttaket vurderes. nyttig informasjon om målte parametere eller observerte fenomener. Metodene som presenteres relaterer seg til fagfeltet sannsynlighetsteori, matematisk statistikk, beslutningsteori, nytteteori, filtreringsteori for dynamiske systemer med diskret tid. Materialet i boken er basert på forelesninger gitt av forfatteren i 1994-1997. tredjeårsstudenter ved den grunnleggende avdelingen for "Radiofysikk" ved Moskva-instituttet for fysikk og teknologi. I den foreslåtte formen vil boken være nyttig for studenter på fysisk og tekniske spesialiteter, ingeniører innen radar, informasjonsbehandling og automatiserte kontrollsystemer.
Mange eksempler er analysert.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . nedlasting

Samoilenko N.I., Kuznetsov A.I., Kostenko A.B. sannsynlighetsteori. Lærebok. år 2009. 201 s. PDF. 2,1 MB.
Læreboken introduserer grunnleggende begreper og metoder for sannsynlighetsteori. De angitte metodene er illustrert med typiske eksempler. Hvert emne avsluttes med en praktisk del for egentilegnelse av ferdigheter om bruk av metoder for sannsynlighetsteori for å løse stokastiske problemer.
For universitetsstudenter.
Eksempler fra læreboken: å kaste en mynt er en opplevelse, fallende hoder eller haler er en hendelse; trekke ut et kort fra en preferansestokk - opplevelse, utseendet til en rød eller svart drakt - hendelser; å holde en forelesning er en opplevelse, tilstedeværelsen av en student på en forelesning er en begivenhet.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Sekey. Paradokser av sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Størrelse 3,8 Mb. djv. 250 sider

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Nedlasting

Sevastyanov B.A. Kurs i sannsynlighetsteori og matematisk statistikk. Lærebok. 1982 255 s. djvu. 2,8 MB.
Boken er basert på et ettårig kurs med forelesninger gitt av forfatteren i en årrekke ved Institutt for matematikk ved fakultetet for mekanikk og matematikk ved Moskva statsuniversitet. De grunnleggende begrepene og fakta om sannsynlighetsteori introduseres innledningsvis for et begrenset skjema. Den matematiske forventningen er generelt definert på samme måte som Lebesgue-integralet, men leseren forventes ikke å ha noen forkunnskaper om Lebesgue-integrasjon.
Boken inneholder følgende seksjoner: uavhengige tester og Markov-kjeder, grensesetninger av Moivre - Laplace og Poisson, tilfeldige variabler, karakteristiske og genererende funksjoner, lov om store tall, sentral grensesetning, grunnleggende begreper for matematisk statistikk, testing av statistiske hypoteser, statistiske estimater, konfidensintervaller .
For studenter ved universiteter og tekniske høyskoler som studerer sannsynlighetsteori.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

A.N. Sobolevsky. Sannsynlighetsteori og matematisk statistikk for fysikere. 2007 47 sider djv. 515 Kb.
Læreboken inneholder en presentasjon av det grunnleggende innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk for fysikkstudenter med teoretisk spesialisering. Sammen med klassisk materiale (skjema uavhengige tester Bernoulli, begrenset homogene kjeder Markov, diffusjonsprosesser), vies betydelig oppmerksomhet til slike emner som teorien om store avvik, begrepet entropi i sin ulike alternativer, stabile lover og avtagende sannsynlighetsfordelinger, stokastisk differensialregning. Læreboken er beregnet på studenter med spesialisering i ulike deler av teoretisk og matematisk fysikk.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .nedlasting

Tarasov L. V. Mønstre fra omverdenen. I 3 bøker. 2004 djvu.
1. Sjanse, nødvendighet, sannsynlighet. 384 sider 6,8 Mb.
Denne boken er en ganske populær og samtidig strengt vitenskapelig detaljert innføring i sannsynlighetsteori, som bl.a. detaljert analyse av problemene under vurdering, brede generaliseringer av den filosofiske planen, digresjoner av historisk art. Boken har et klart definert pedagogisk preg; materialet er strengt strukturert, bygget på en evidensbasert basis, utstyrt med et stort antall grafer og diagrammer; et betydelig antall originale problemer er gitt, hvorav noen er behandlet i boken, og noen tilbys leseren for selvstendig løsning. Boken er et ferdig verk og er samtidig den første boken av forfatterens trebindssett.
2. Sannsynlighet i Moderne samfunn. 360 sider 4,5 Mb.
Denne boken demonstrerer den grunnleggende rollen til sannsynlighetsteori i moderne samfunn, som er basert på høyt utviklet informasjonsteknologi. Boken er en ganske populær og samtidig strengt vitenskapelig detaljert innføring i operasjonsforskning og informasjonsteori. Den har en klart definert pedagogisk karakter; materialet er strengt strukturert, bygget på en evidensbasert basis, utstyrt med et stort antall grafer og diagrammer; det gis et betydelig antall oppgaver, hvorav noen er behandlet i boken, og noen tilbys leseren for selvstendig løsning.
3. 440 sider 7,5 Mb. Utviklingen av naturvitenskapelig kunnskap.
Her analyseres i populær og systematisert form utviklingen av naturvitenskapelige bilder av verden: fra vitenskapelige programmer antikken til det mekaniske bildet, deretter til det elektromagnetiske bildet, og til slutt til samtidsmaleri. Overgangen fra dynamiske (rigid bestemte) regulariteter til statistiske (sannsynlighetsmessige) regulariteter demonstreres etter hvert som den vitenskapelige forståelsen av omverdenen gradvis blir dypere. Utviklingen av konseptene kvantefysikk, elementærpartikkelfysikk og kosmologi vurderes i tilstrekkelig detalj. Avslutningsvis diskuteres ideene om selvorganisering av åpne ikke-likevektssystemer (fremveksten av dissipative strukturer).
For et bredt spekter av lesere, og først og fremst for elever på videregående skole (fra og med 9. klasse), samt for studenter ved tekniske skoler og høyere utdanningsinstitusjoner.

Studiet av elementer fra statistikk og sannsynlighetsteori begynner i 7. klasse. Inkluderingen av grunnleggende informasjon fra statistikk og sannsynlighetsteori i algebrakurset er rettet mot å utvikle så viktige ferdigheter hos studentene i det moderne samfunn som å forstå og tolke resultatene av statistiske studier, som er mye presentert i media. massemedia. I moderne skolebøker introduseres begrepet sannsynligheten for en tilfeldig hendelse basert på livserfaring og studentenes intuisjon.

Jeg vil merke meg at i klasse 5-6 bør elevene allerede få en ide om tilfeldige hendelser og deres sannsynligheter, så i klasse 7-9 ville det være mulig å raskt introdusere det grunnleggende om sannsynlighetsteori, utvide spekteret av informasjon som rapporteres til dem.

Utdanningsinstitusjonen vår tester programmet " Grunnskole det 21. århundre". Og som matematikklærer bestemte jeg meg for å fortsette å teste dette prosjektet i 5-6 klassetrinn. Kurset ble implementert på grunnlag av det pedagogiske og metodologiske settet til M.B. Volovich "Matematikk. 5-6 klasser. I læreboka "Matematikk. Karakter 6 ”6 timer er tildelt til å studere elementene i sannsynlighetsteori. Her gir vi den aller første foreløpige informasjonen om slike konsepter som testing, sannsynligheten for en tilfeldig hendelse, visse og umulige hendelser. Men det viktigste elevene må lære er at med et lite antall forsøk er det umulig å forutsi utfallet av en tilfeldig hendelse. Men hvis det er mange tester, blir resultatene ganske forutsigbare. For å gjøre elevene oppmerksomme på at sannsynligheten for at en hendelse skal inntreffe kan beregnes, er det gitt en formel for å beregne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer når alle utfallene som vurderes er «like».

Emne: Konseptet "sannsynlighet". Tilfeldige hendelser.

Leksjonens mål:

• å gi en bekjentskap med konseptet "test", "utfall", "tilfeldig hendelse", "viss hendelse", "umulig hendelse", for å gi en innledende idé om hva "sannsynligheten for en hendelse" er , for å danne evnen til å beregne sannsynligheten for en hendelse;
• utvikle evnen til å bestemme påliteligheten, umuligheten av hendelser;
• øke nysgjerrigheten.

Utstyr:

1. M.B. Volovich Matematikk, 6. klasse, M.: Ventana-Graf, 2006.
2. Yu.N. Makarychev, N.G.Mindyuk Elementer av statistikk og sannsynlighetsteori, Moskva: Utdanning, 2008.
3. 1 rubelmynt, terninger.

UNDER KLASSENE

I. Organisatorisk øyeblikk

II. Aktualisering av elevenes kunnskap

Løs rebus:

(Sannsynlighet)

III. Forklaring av nytt materiale

Hvis en mynt, for eksempel en rubel, kastes opp og tillates å falle til gulvet, er bare to utfall mulig: "mynten falt hodet ned" og "mynten falt med halen opp." Tilfellet når en mynt faller på kanten, ruller opp til veggen og hviler mot den, er svært sjelden og blir vanligvis ikke vurdert.
I lang tid i Russland spilte de "kast" - de kastet en mynt hvis det var nødvendig for å løse et kontroversielt problem som ikke hadde en åpenbart rettferdig løsning, eller de spilte en slags premie. I disse situasjonene tyr de til tilfeldigheter: noen tenkte på tap av "hoder", andre - "haler".
Å kaste en mynt er noen ganger ty til selv når du løser svært viktige problemer.
For eksempel endte semifinalekampen for EM i 1968 mellom lagene fra USSR og Italia uavgjort. Vinneren ble ikke avslørt verken i ekstraomgangen eller i straffesparkkonkurransen. Så ble det bestemt at vinneren skulle avgjøres av Hans Majestets sjanse. De kastet en mynt. Saken var gunstig for italienerne.
I hverdagen, i praktiske og vitenskapelige aktiviteter, observerer vi ofte visse fenomener, utfører visse eksperimenter.
En hendelse som kanskje eller ikke kan oppstå under en observasjon eller et eksperiment kalles tilfeldig hendelse.
Mønstrene til tilfeldige hendelser studeres av en spesiell gren av matematikk kalt sannsynlighetsteori.

La oss bruke erfaring 1: Petya kastet mynten opp 3 ganger. Og alle 3 gangene falt "ørnen" ut - mynten falt med våpenskjoldet opp. Gjett om det er mulig?
Svar: Muligens. "Eagle" og "hale" faller helt ut ved et uhell.

Erfaring 2: (studenter jobber i par) Kast en 1 rubelmynt 50 ganger og tell hvor mange ganger den kommer opp. Registrer resultatene i en notatbok.
I klassen regner du ut hvor mange eksperimenter som ble utført av alle elevene og hva er det totale antallet overskrifter.

Erfaring 3: Den samme mynten ble kastet opp 1000 ganger. Og alle 1000 gangene falt «ørnen» ut. Gjett om det er mulig?
La oss diskutere denne opplevelsen.
Myntkastet kalles test. Tap av "hoder" eller "haler" - utfall(resultat) av testen. Hvis testen gjentas mange ganger under de samme forholdene, kalles informasjon om resultatene av alle testene statistikk.
Statistikk fanger opp som et tall m utfall (resultater) av interesse for oss, og det totale antallet N tester.
Definisjon: Forholdet kalles statistisk frekvens resultatet av interesse for oss.

På 1700-tallet kastet en fransk vitenskapsmann, et æresmedlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi, Buffon, en mynt 4040 ganger for å sjekke riktigheten av å beregne sannsynligheten for å falle "ørn". «Eagle» falt ut 2048 ganger.
På 1800-tallet kastet den engelske vitenskapsmannen Pearson en mynt 24 000 ganger. «Eagle» falt ut 12.012 ganger.
La oss bytte inn i formelen, som lar oss beregne den statistiske frekvensen av forekomst av resultatet av interesse for oss, m= 12 012, N= 24 000. Vi får = 0,5005.

Tenk på eksempelet med terningkast. Vi vil anta at denne terningen har en vanlig form og er laget av et homogent materiale, og derfor, når den kastes, er sjansene for å få et hvilket som helst antall poeng fra 1 til 6 på oversiden den samme. De sier det er seks like sannsynlige utfall av denne utfordringen: kast poeng 1, 2, 3, 4, 5 og 6.

Sannsynligheten for en hendelse er lettest å beregne hvis alle n mulige utfall er "like" (ingen av dem har fordeler fremfor de andre).
I dette tilfellet, sannsynligheten P beregnet med formelen R= , hvor n er antall mulige utfall.
I myntkasteksemplet er det bare to utfall ("hoder" og "haler"), dvs. P= 2. Sannsynlighet R overskrift er lik .
Erfaring 4: Hva er sannsynligheten for at når en terning kastes, vil den komme opp:
a) 1 poeng; b) mer enn 3 poeng.
Svar: a), b).

Definisjon: Hvis en hendelse alltid inntreffer under forholdene under vurdering, kalles den autentisk. Sannsynligheten for at en bestemt hendelse inntreffer er 1.

Det er hendelser som, under forholdene under vurdering, aldri inntreffer. For eksempel bestemte Pinocchio, etter råd fra reven Alice og katten Basilio, seg for å begrave gullmyntene hans i feltet Mirakler slik at et pengetre skulle dukke opp fra dem. Hva er sannsynligheten for at deres plantede mynter vil vokse et tre? Sannsynligheten for at et pengetre vokser fra mynter plantet av Pinocchio er 0.

Definisjon: Hvis en hendelse aldri inntreffer under forholdene under vurdering, kalles den umulig. Sannsynligheten for en umulig hendelse er 0.

IV. Kroppsøvingsminutt

"Magisk drøm"

Alle kan danse, løpe, hoppe og leke,
Men ikke alle vet hvordan de skal slappe av, hvile.
De har et slikt spill, veldig enkelt, enkelt.
Bevegelsen avtar, spenningen forsvinner,
Og det blir klart: avslapning er behagelig.
Øyevipper faller, øyne lukkes
Vi hviler rolig, vi sovner med en magisk drøm.
Pust lett, jevnt, dypt.
Spenningen har fløyet bort og hele kroppen er avslappet.
Det er som om vi ligger på gresset...
På grønt, mykt gress...
Solen varmer nå, hendene våre er varme.
Solen er varmere nå, føttene våre er varme.
Pust lett, fritt, dypt.
Leppene er varme og slappe, men ikke slitne i det hele tatt.
Lepper lett delte, og behagelig avslappet.
Og vår lydige tunge er vant til å være avslappet.»
Høyere, raskere, mer energisk:
«Det var deilig å hvile, og nå er det på tide å stå opp.
Knyt fingrene godt til en knyttneve
Og trykk den til brystet - sånn!
Strekk ut, smil, pust dypt, våkn opp!
Åpne øynene vidt - en, to, tre, fire!
Barna reiser seg og synger med Med lærer uttale:
"Vi er blide, blide igjen og klare for undervisning."

V. Konsolidering

Oppgave 1:

Hvilke av følgende hendelser er sikre og hvilke er umulige:

a) Kast to terninger. Gikk ned 2 poeng. (autentisk)
b) Kast to terninger. Gikk ned 1 poeng. (umulig)
c) Kast to terninger. Gikk ned 6 poeng. (autentisk)
d) Kast to terninger. Antall poeng kastet mindre enn 13. (gyldig)

Oppgave 2:

Esken inneholder 5 grønne, 5 røde og 10 sorte blyanter. Fikk 1 blyant. Sammenlign sannsynlighetene for følgende hendelser ved å bruke uttrykkene: mer sannsynlig, mindre sannsynlig, like sannsynlig.

a) Blyanten viste seg å være farget;
b) blyanten viste seg å være grønn;
c) blyanten er svart.

Svar:

a) like sannsynlig;
b) mer sannsynlig at blyanten viste seg å være svart;
c) like sannsynlig.

Oppgave 3: Petya kastet en terning 23 ganger. Imidlertid kastet 1 poeng 3 ganger, 2 poeng kastet 5 ganger, 3 poeng kastet 4 ganger, 4 poeng kastet 3 ganger, 5 poeng kastet 6 ganger. I andre tilfeller falt 6 poeng ut. Når du gjør oppgaven, avrund desimalene til hundredeler.

1. Regn ut den statistiske frekvensen av forekomst av det høyeste antall poeng, sannsynligheten for at 6 poeng faller ut, og forklar hvorfor den statistiske hyppigheten skiller seg vesentlig fra sannsynligheten for forekomst av 6 poeng funnet av formelen.
2. Beregn den statistiske frekvensen av forekomst av et partall poeng, sannsynligheten for at partall poeng, og forklar hvorfor den statistiske frekvensen er signifikant forskjellig fra sannsynligheten for et partall poeng funnet av formelen.

Oppgave 4: For å pynte juletreet hadde de med seg en boks som inneholdt 10 røde, 7 grønne, 5 blå og 8 gullkuler. En ball trekkes tilfeldig fra boksen. Hva er sannsynligheten for at den blir: a) rød; b) gull; c) rød eller gull?

VI. Hjemmelekser

1. 1 ball tas fra boksen som inneholder røde og grønne kuler og legges deretter tilbake i boksen. Er det mulig å vurdere at det å ta ballen ut av boksen er en test? Hva kan resultatet av testen bli?
2. En boks inneholder 2 røde og 8 grønne kuler.

a) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball er rød.
b) Finn sannsynligheten for at en tilfeldig trukket ball er grønn.
c) To baller trekkes tilfeldig fra boksen. Kan det vise seg at begge kulene er røde?

VII. Utfall

- Du lærte mest informasjon fra sannsynlighetsteorien - hva er en tilfeldig hendelse og den statistiske frekvensen av testresultatet, hvordan beregne sannsynligheten for en tilfeldig hendelse med like sannsynlige utfall. Men vi må huske at det ikke alltid er mulig å evaluere resultatene av forsøk med et tilfeldig utfall og finne sannsynligheten for en hendelse selv med et stort antall forsøk. For eksempel er det umulig å finne sannsynligheten for å få influensa: for mange faktorer hver gang påvirker utfallet av denne hendelsen.