Termodynamikk og statisk fysikk. Statistisk fysikk og termodynamikk

Statistisk fysikk og termodynamikk

Statistiske og termodynamiske forskningsmetoder . Molekylærfysikk og termodynamikk er grener av fysikk der de studerer makroskopiske prosesser i legemer, assosiert med det enorme antallet atomer og molekyler som finnes i kroppene. For å studere disse prosessene brukes to kvalitativt forskjellige og gjensidig komplementære metoder: statistisk (molekylær kinetikk) Og termodynamisk. Den første ligger til grunn for molekylfysikk, den andre - termodynamikk.

Molekylær fysikk - en gren av fysikken som studerer materiens struktur og egenskaper basert på molekylære kinetiske konsepter, basert på det faktum at alle legemer består av molekyler i kontinuerlig kaotisk bevegelse.

Ideen om atomstruktur stoffer ble uttrykt av den antikke greske filosofen Democritus (460-370 f.Kr.). Atomisme ble gjenopplivet igjen først på 1600-tallet. og utvikler seg i verk hvis syn på materiens struktur og termiske fenomener var nær moderne. Den strenge utviklingen av molekylær teori refererer til midten av 19 V. og er assosiert med verkene til den tyske fysikeren R. Clausius (1822-1888), J. Maxwell og L. Boltzmann.

Prosesser studert molekylær fysikk, er resultatet av den kombinerte virkningen av et stort antall molekyler. Atferdslovene til et stort antall molekyler, som er statistiske lover, studeres ved hjelp av statistisk metode . Denne metoden er basert på det faktum at egenskapene til et makroskopisk system til slutt bestemmes av egenskapene til partiklene i systemet, egenskapene til deres bevegelse og gjennomsnitt verdier for de dynamiske egenskapene til disse partiklene (hastighet, energi, etc.). For eksempel bestemmes temperaturen til en kropp av hastigheten på den kaotiske bevegelsen til molekylene, men siden forskjellige molekyler til enhver tid har forskjellige hastigheter, da kan det bare uttrykkes gjennom gjennomsnittsverdien av bevegelseshastigheten til molekylene. Du kan ikke snakke om temperaturen til ett molekyl. Dermed har de makroskopiske egenskapene til kropper fysisk betydning bare i tilfellet stort antall molekyler.

Termodynamikk- gren av fysikk som studerer generelle egenskaper makroskopiske systemer i en tilstand av termodynamisk likevekt, og overgangsprosessene mellom disse tilstandene. Termodynamikk tar ikke hensyn til mikroprosessene som ligger til grunn for disse transformasjonene. Dette termodynamisk metode forskjellig fra statistisk. Termodynamikk er basert på to prinsipper - grunnleggende lover etablert som et resultat av generalisering av eksperimentelle data.

Omfanget av termodynamikk er mye bredere enn molekylært kinetisk teori, fordi det ikke er noen områder innen fysikk og kjemi der det ville være umulig å bruke den termodynamiske metoden. På den annen side er den termodynamiske metoden imidlertid noe begrenset: termodynamikken sier ikke noe om materiens mikroskopiske struktur, om fenomenenes mekanisme, men etablerer kun sammenhenger mellom materiens makroskopiske egenskaper. Molekylær kinetisk teori og termodynamikk utfyller hverandre, danner en enkelt helhet, men er forskjellige i ulike forskningsmetoder.

Grunnleggende postulater av molekylær kinetisk teori (MKT)

1. Alle kropper i naturen består av enormt beløp små partikler(atomer og molekyler).

2. Disse partiklene er inne kontinuerlig kaotisk(uordnet) bevegelse.

3. Bevegelsen av partikler er relatert til kroppstemperatur, og det er derfor det kalles termisk bevegelse.

4. Partikler samhandler med hverandre.

Bevis på gyldigheten av MCT: diffusjon av stoffer, Brownsk bevegelse, termisk ledningsevne.

Fysiske mengder som brukes til å beskrive prosesser i molekylær fysikk delt inn i to klasser:

mikroparametere- mengder som beskriver oppførselen til individuelle partikler (atom (molekyl) masse, hastighet, momentum, kinetisk energi individuelle partikler);
makro parametere– mengder som ikke kan reduseres til enkeltpartikler, men som karakteriserer egenskapene til stoffet som helhet. Verdiene til makroparametere bestemmes av resultatet av den samtidige virkningen av et stort antall partikler. Makroparametere er temperatur, trykk, konsentrasjon osv.

Temperatur er et av de grunnleggende begrepene som spiller viktig rolle ikke bare i termodynamikk, men også i fysikk generelt. Temperatur - fysisk mengde, som karakteriserer tilstanden til termodynamisk likevekt til et makroskopisk system. I samsvar med beslutningen fra XI General Conference on Weights and Measures (1960), kan bare to temperaturskalaer brukes for øyeblikket - termodynamisk Og Internasjonal praktisk, gradert i henholdsvis kelvin (K) og grader Celsius (°C).

På den termodynamiske skalaen er frysepunktet til vannet 273,15 K (på samme måte

trykk som i den internasjonale praktiske skalaen), derfor per definisjon termodynamisk temperatur og internasjonal praktisk temperatur

skalaen er relatert av forholdet

T= 273,15 + t.

Temperatur T = 0 K kalles null kelvin. Analyse ulike prosesser viser at 0 K er uoppnåelig, selv om det er mulig å nærme seg det så nært som ønsket. 0 K er temperaturen ved hvilken teoretisk all termisk bevegelse av partikler av et stoff skal opphøre.

I molekylær fysikk utledes et forhold mellom makroparametre og mikroparametre. For eksempel press ideell gass kan uttrykkes med formelen:

stilling:slektning; topp:5.0pt">- masse av ett molekyl, - konsentrasjon, font-size: 10.0pt">Fra den grunnleggende MKT-ligningen kan du få en praktisk for praktisk bruk ligning:

font-size: 10.0pt">En ideell gass er en idealisert gassmodell der det antas at:

1. det indre volumet av gassmolekyler er ubetydelig sammenlignet med volumet til beholderen;

2. det er ingen interaksjonskrefter mellom molekyler (tiltrekning og frastøting på avstand;

3. kollisjoner av molekyler med hverandre og med veggene i fartøyet er absolutt elastiske.

En ideell gass er en forenklet teoretisk modell gass Men tilstanden til mange gasser under visse forhold kan beskrives med denne ligningen.

For å beskrive tilstanden ekte gasser korrigeringer må gjøres i tilstandsligningen. Tilstedeværelsen av frastøtende krefter som motvirker penetrering av andre molekyler inn i volumet som er okkupert av et molekyl, betyr at det faktiske frie volumet som molekyler av en ekte gass kan bevege seg i vil være mindre. Hvorb - det molare volumet som opptas av molekylene selv.

Virkningen av attraktive gasskrefter fører til utseendet av ytterligere trykk på gassen, kalt indre trykk. I følge van der Waals beregninger er det indre trykket omvendt proporsjonalt med kvadratet på molvolumet, dvs. hvor A - van der Waals konstant, som karakteriserer kreftene til intermolekylær tiltrekning,V m - molar volum.

Til slutt får vi tilstandsligningen til ekte gass eller van der Waals ligning:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Fysisk betydning temperatur: temperatur er et mål på intensitet termisk bevegelse partikler av stoffer. Begrepet temperatur gjelder ikke for et enkelt molekyl. Bare for nok stor mengde molekyler som skaper en viss mengde stoff, er det fornuftig å inkludere termen temperatur.

For en ideell monatomisk gass kan vi skrive ligningen:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>First eksperimentell bestemmelse molekylære hastigheter ble utført av den tyske fysikeren O. Stern (1888-1970). Eksperimentene hans gjorde det også mulig å estimere hastighetsfordelingen til molekyler.

"Konfrontasjon" mellom de potensielle bindingsenergiene til molekyler og energiene til termisk bevegelse av molekyler ( kinetiske molekyler) fører til eksistensen av ulike aggregeringstilstander stoffer.

Termodynamikk

Ved å telle antall molekyler i et gitt system og estimere deres gjennomsnittlige kinetiske og potensiell energi, kan vi estimere den indre energien til dette systemet U.

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>For en ideell monoatomisk gass.

Intern energi systemet kan endres som følge av ulike prosesser, for eksempel å utføre arbeid på systemet eller gi varme til det. Så, ved å skyve et stempel inn i en sylinder der det er en gass, komprimerer vi denne gassen, som et resultat av at temperaturen øker, det vil si, og dermed endre (øke) den indre energien til gassen. På den annen side kan temperaturen til en gass og dens indre energi økes ved å gi den en viss mengde varme - energi som overføres til systemet av eksterne kropper gjennom varmeveksling (prosessen med å utveksle indre energier når kropper kommer i kontakt med forskjellige temperaturer).

Dermed kan vi snakke om to former for energioverføring fra en kropp til en annen: arbeid og varme. Energi mekanisk bevegelse kan omdannes til energi av termisk bevegelse, og omvendt. Under disse transformasjonene blir loven om bevaring og transformasjon av energi observert; i forhold til termodynamiske prosesser denne loven er termodynamikkens første lov, etablert som et resultat av generalisering av flere hundre år gamle eksperimentelle data:

I en lukket sløyfe, altså font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>Varmemotoreffektivitet: .

Fra termodynamikkens første lov følger det at effektiviteten til en varmemotor ikke kan være mer enn 100 %.

Postulerer eksistensen ulike former energi og sammenhengen mellom dem, den første begynnelsen av TD sier ikke noe om retningen til prosesser i naturen. I full overensstemmelse med det første prinsippet kan man mentalt konstruere en motor der, ved å redusere den indre energien til et stoff, nyttig arbeid. For eksempel i stedet for drivstoff inn varmemotor vann ville bli brukt, og ved å kjøle ned vannet og gjøre det om til is, ville det jobbes. Men slike spontane prosesser forekommer ikke i naturen.

Alle prosesser i naturen kan deles inn i reversible og irreversible.

Et av hovedproblemene i klassisk naturvitenskap forble lenge problemet med forklaring. fysisk natur irreversibilitet av reelle prosesser. Essensen av problemet er at bevegelsen til et materiell punkt, beskrevet av Newtons II lov (F = ma), er reversibel, mens et stort antall materielle poeng oppfører seg irreversibelt.

Hvis antallet partikler som studeres er lite (for eksempel to partikler i figur a)), vil vi ikke være i stand til å bestemme om tidsaksen er rettet fra venstre til høyre eller fra høyre til venstre, siden en hvilken som helst sekvens av rammer er like mulig. Dette er det reversibelt fenomen. Situasjonen endres betydelig dersom antallet partikler er svært stort (fig. b)). I dette tilfellet bestemmes tidsretningen entydig: fra venstre til høyre, siden det er umulig å forestille seg at partikler er jevnt fordelt av seg selv, uten noen ytre påvirkninger vil samles i hjørnet av "boksen". Denne oppførselen, når tilstanden til systemet bare kan endres i en viss sekvens, kalles irreversible. Alle reelle prosesser er irreversible.

Eksempler på irreversible prosesser: diffusjon, termisk ledningsevne, viskøs strømning. Nesten alle virkelige prosesser i naturen er irreversible: dette er demping av en pendel, utviklingen av en stjerne, og menneskeliv. Ureversibiliteten til prosesser i naturen setter så å si retningen på tidsaksen fra fortid til fremtid. Dette er tidens eiendom engelsk fysiker og astronomen A. Eddington kalte det billedlig «tidens pil».

Hvorfor, til tross for reversibiliteten av oppførselen til en partikkel, oppfører et ensemble av et stort antall slike partikler irreversibelt? Hva er irreversibilitetens natur? Hvordan rettferdiggjøre irreversibiliteten til virkelige prosesser basert på Newtons mekanikklover? Disse og andre lignende spørsmål bekymret hodet til de mest fremragende vitenskapsmennene på 1700- og 1800-tallet.

Termodynamikkens andre lov setter retningen latskap av alle prosesser i isolerte systemer. Skjønt total mengde energi i et isolert system er bevart, dens kvalitative sammensetning endres irreversibelt.

1. I Kelvins formulering er den andre loven: "Det er ingen prosess mulig hvis eneste resultat ville være absorpsjon av varme fra en varmeovn og fullstendig konvertering av denne varmen til arbeid."

2. I en annen formulering: "Varme kan bare overføres spontant fra en mer oppvarmet kropp til en mindre oppvarmet."

3. Den tredje formuleringen: "Entropi i et lukket system kan bare øke."

Termodynamikkens andre lov forbyr eksistensen evighetsmaskin andre typen , dvs. en maskin som er i stand til å utføre arbeid ved å overføre varme fra en kald kropp til en varm. Termodynamikkens andre lov indikerer eksistensen av to forskjellige former for energi - varme som et mål på partiklers kaotiske bevegelse og arbeid knyttet til ordnet bevegelse. Arbeid kan alltid omdannes til tilsvarende varme, men varme kan ikke fullstendig omdannes til arbeid. Dermed kan en uordnet form for energi ikke transformeres til en ordnet uten noen ekstra handlinger.

Fullstendig transformasjon mekanisk arbeid i varmen gjør vi hver gang vi trykker på bremsepedalen i en bil. Men uten ytterligere handlinger i en lukket syklus av motordrift, er det umulig å overføre all varmen til arbeid. En del av den termiske energien brukes uunngåelig på å varme opp motoren, pluss at det bevegelige stempelet hele tiden jobber mot friksjonskrefter (dette forbruker også en tilførsel av mekanisk energi).

Men betydningen av termodynamikkens andre lov viste seg å være enda dypere.

En annen formulering av termodynamikkens andre lov er følgende utsagn: entropien til et lukket system er en ikke-avtagende funksjon, det vil si at den enten øker eller forblir uendret under enhver reell prosess.

Begrepet entropi, introdusert i termodynamikken av R. Clausius, var opprinnelig kunstig. Den fremragende franske vitenskapsmannen A. Poincaré skrev om dette: «Entropi virker noe mystisk i den forstand at denne mengden er utilgjengelig for noen av våre sanser, selv om den har fast eiendom fysiske mengder, siden de i det minste i prinsippet er fullstendig målbare.»

I følge Clausius sin definisjon er entropi en fysisk mengde hvis økning er lik mengden varme , mottatt av systemet, delt på den absolutte temperaturen:

font-size:10.0pt;font-family:" times new roman>I samsvar med termodynamikkens andre lov i isolerte systemer, dvs. systemer som ikke utveksler med miljø energi, en forstyrret tilstand (kaos) kan ikke uavhengig transformeres til orden. Således, i isolerte systemer, kan entropi bare øke. Dette mønsteret kalles prinsippet om økende entropi. I henhold til dette prinsippet streber ethvert system etter en tilstand av termodynamisk likevekt, som identifiseres med kaos. Siden en økning i entropi karakteriserer endringer over tid i lukkede systemer, fungerer entropi som en slags tidens piler.

Vi kalte staten med maksimal entropi uordnet, og staten med lav entropi ordnet. Et statistisk system, hvis det overlates til seg selv, går fra en ordnet til en uordnet tilstand med maksimal entropi tilsvarende gitte ytre og indre parametere (trykk, volum, temperatur, antall partikler osv.).

Ludwig Boltzmann koblet begrepet entropi med begrepet termodynamisk sannsynlighet: font-size:10.0pt;font-family:" times new roman> Dermed går ethvert isolert system, overlatt til sine egne enheter, over tid fra en ordenstilstand til en tilstand av maksimal uorden (kaos).

Fra dette prinsippet følger en pessimistisk hypotese om universets varmedød, formulert av R. Clausius og W. Kelvin, ifølge hvilke:

· energien til universet er alltid konstant;

· Universets entropi øker alltid.

Dermed er alle prosesser i universet rettet mot å oppnå en tilstand av termodynamisk likevekt som tilsvarer tilstanden største kaos og uorganisering. Alle typer energi brytes ned, blir til varme, og stjernene vil avslutte sin eksistens og frigjøre energi til det omkringliggende rommet. En konstant temperatur vil kun bli etablert med hvor mange grader høyere absolutt null. Livløse, avkjølte planeter og stjerner vil bli spredt i dette rommet. Det vil ikke være noe - ingen energikilder, ikke noe liv.

Et slikt dystert perspektiv ble spådd av fysikk frem til 60-tallet av det tjuende århundre, selv om konklusjonene fra termodynamikk motsier resultatene av forskning i biologi og samfunnsvitenskap. Så, evolusjonsteori Darwin vitnet om det dyreliv utvikler seg først og fremst i retning av å forbedre og komplisere nye arter av planter og dyr. Historie, sosiologi, økonomi og andre samfunns- og humanvitenskaper har også vist at i samfunnet, til tross for individuelle utviklingssikksakk, observeres generelt fremgang.

Erfaring og praktiske aktiviteter vitnet om at begrepet et lukket eller isolert system er en ganske grov abstraksjon som forenkler virkeligheten, siden det i naturen er vanskelig å finne systemer som ikke samhandler med miljøet. Motsetningen begynte å løses da man i termodynamikk, i stedet for konseptet om et lukket isolert system, introduserte det grunnleggende konseptet om et åpent system, det vil si et system som utveksler materie, energi og informasjon med omgivelsene.

Klassisk og kvantestatistisk fysikk. Avledning av Gibbs-relasjonen. Termodynamiske prinsipper. Liouvilles teorem og kinetiske ligninger til Boltzmann og Ziegler. Metoder for statistisk fysikk i heterogene medier.

1. Utledning av Gibbs-relasjonen

Innledende notater . Den sentrale plassen i mekanikken til heterogene medier er okkupert av utledningen av styrende ligninger. Det er de konstitutive ligningene som inneholder spesifikasjonen som gjør at man kan skille mellom medier med ulike mekaniske egenskaper. Det finnes ulike måter å utlede styrende ligninger på - både strenge basert på gjennomsnittsmetoder, og heuristiske. Den vanligste metoden er en kombinasjon tankeeksperiment tar hensyn til termodynamiske prinsipper. Begge disse tilnærmingene er fenomenologiske, selv om den termodynamiske metoden er dypt utviklet og basert på grunnleggende fysiske lover. Det er åpenbart at den fenomenologiske utledningen av de definerende relasjonene må begrunnes basert på generelle fysiske prinsipper, spesielt ved bruk av statistiske metoder.

Statistisk fysikk studerer systemer som består av et stort antall identiske eller lignende elementer (atomer, molekyler, ioner, submolekylære strukturer, etc.). I mekanikken til heterogene medier er slike elementer mikroinhomogeniteter (porer, sprekker, korn, etc.). Å studere dem ved hjelp av deterministiske metoder er nesten umulig. Samtidig tillater et stort antall av disse elementene manifestasjon av statistiske mønstre og studiet av dette systemet ved hjelp av statistiske metoder.

Statistiske metoder er basert på konseptene til hovedsystemet og delsystemet. Hovedsystemet (termostaten) er mye større enn delsystemet, men begge er i en tilstand av termodynamisk likevekt. Studieobjektet i statistisk fysikk er nettopp delsystemet, som i kontinuummekanikk er identifisert med et elementært volum, og i heterogen mekanikk med et volum av faser i et elementært volum.

Gibbs-metoden i statistisk fysikk er basert på begrepene faserom og baner i faserom. Faserom er det topologiske produktet av koordinat- og momentumrommene til hver partikkel som utgjør delsystemet. Baner i faserom inneholder mye unødvendig informasjon, f.eks. startverdier og informasjon om randbetingelsene når banen når grensen. Når man beskriver en enkelt bane i faserom, brukes vanligvis den ergodiske hypotesen (eller et surrogat av den, som endrer den litt, men som er tilgjengelig for strenge bevis). Finessene i beviset for den ergodiske hypotesen er ikke viktige, og derfor dveler vi ikke ved dem. Det gjør at en bane kan erstattes av et helt ensemble av stater. En tilsvarende beskrivelse ved hjelp av et ensemble av stater lar oss bli kvitt denne unødvendige informasjonen. Ensemblet av stater gir mulighet for en enkel og transparent tolkning. Det kan tenkes som en fiktiv gass i faserom, som beskrives ved hjelp av transportligningen.

Den statistiske tilnærmingen inkluderer to nivåer av forskning - kvante og klassisk. Hver mikroskopisk inhomogenitet av et heterogent medium er beskrevet av kontinuummekanikk som en homogen homogen kropp. Det antas at teorien om statistisk kvantefysikk allerede har blitt brukt når man studerer de mekaniske og termodynamiske egenskapene til disse inhomogenitetene. Når vi utfører gjennomsnittsberegning over tilfeldige inhomogeniteter i et heterogent miljø, anser vi disse inhomogenitetene som klassiske tilfeldige objekter. Resonnementet i kvante- og klassisk statistisk fysikk er veldig likt, selv om det har noen forskjeller. I kvantestatistikk tar fasevolumet diskrete verdier. Dette er imidlertid ikke den eneste forskjellen. I kvantestatistikk er en fiktiv gass inkompressibel og gjennomgår kun transport. I klassisk statistikk inkluderer transportligningen et begrep som beskriver dissipative prosesser på molekylært nivå. Formelt ser det ut som en kilde. Det divergerende utseendet til denne kilden gjør at hele massen av fiktiv gass kan bevares, men tillater at den forsvinner og dukker opp igjen. Denne prosessen ligner diffusjon i fiktivt faserom.

Videre, på grunnlag av klassisk statistikk, blir selve termodynamikken ytterligere forklart, inkludert termodynamikken til irreversible prosesser. Begrepene termodynamiske funksjoner introduseres, ved hjelp av hvilke de styrende ligningene utledes. Poroelastiske medier inkluderer konservative og dissipative prosesser. Reversible elastiske deformasjoner forekommer i skjelettet, som representerer et konservativt termodynamisk system, og dissipative prosesser skjer i væsken. I et porøst-viskøst medium er begge fasene (skjelett og væske) dissipative.

Mikroprosesser og makroprosesser . I heterogene medier er et undersystem et elementært volum som tilfredsstiller postulatene til heterogene medier. Spesielt tilfredsstiller den betingelsene for lokal statistisk homogenitet og lokal termodynamisk likevekt. Følgelig er alle objekter og prosesser forskjellige i deres skala til mikroprosesser og makroprosesser. Vi vil beskrive makroprosesser ved hjelp av generaliserte koordinater og generaliserte krefter . Her betyr abonnentene ikke bare vektor- og tensorindekser, men også ulike mengder (inkludert mengder med ulike tensordimensjoner). Når vi vurderer mikroprosesser vil vi bruke generaliserte koordinaterOg generaliserte hastigheter. Disse koordinatene beskriver bevegelsen til store molekyler, deres assosiasjoner og inhomogeniteter, som anses som klassiske objekter. Faserommet til delsystemet dannes av koordinatene og hastigheter alle partikler som utgjør et gitt elementært volum.

Det skal bemerkes at i kvantemekanikk er partiklers natur strengt etablert. Antallet partikler er begrenset, og lovene for deres bevegelse er kjente og ensartede for hver type partikkel. En helt annen situasjon oppstår i mekanikken til heterogene medier. Som regel har vi konstitutive relasjoner utledet av fenomenologiske metoder for hver av fasene. Generelle konstitutive relasjoner for hele elementærvolumet på makronivå er vanligvis gjenstand for forskning. Av denne grunn egner ikke samspillet mellom elementer på mikronivå i heterogene miljøer seg til standard forskningsmetoder.

I denne forbindelse kreves det nye metoder og tilnærminger, som ennå ikke er fullt utviklet. En slik tilnærming er Zieglers generalisering av Gibbs teori. Essensen ligger i en modifikasjon av Liouville-ligningen. Denne tilnærmingen vil bli beskrevet mer detaljert nedenfor. Vi gir først en standard presentasjon av Gibbs teori, og presenterer deretter ideer som generaliserer den.

Systemenergi endringer på grunn av arbeid
på makronivå, som uttrykkes av relasjonen

. Det endres også på grunn av varmetilstrømningen
assosiert med bevegelse av molekyler. La oss skrive ned termodynamikkens første lov i differensialform

. (1.1)

Vi vil beskrive mikroprosesser vha Lagrange-ligninger

, (1.2) hvor
–Lagrange funksjon,– kinetisk, og – potensiell energi.

Gibbs teori pålegger følgende begrensninger. Det antas at potensiell energi avhenger av mikrokoordinater og makrokoordinater, og kinetisk energi avhenger kun av mikrokoordinater og deres hastigheter. Under slike forhold er ikke Lagrange-funksjonen avhengig av tid og makrohastigheter.

Tilnærmingen basert på bevegelseslikningene i Lagrange-form (1.2) kan erstattes av en tilsvarende Hamilton-formalisme ved å introdusere generaliserte momenta for mikrokoordinater

,
, Og Hamilton funksjon
, som har betydningen av partikkelens totale energi. La oss skrive ned økningen til Hamilton-funksjonen

På grunn av definisjonen av impulser og Lagrange bevegelsesligninger, blir dette uttrykket transformert

, (1.2) som følger Hamiltons bevegelsesligninger

,
. (1.3a) hvor
har betydningen av energien til systemet, så vel som den ekstra identiteten til raser

. (1.3b)

Det skal bemerkes her at Lagrange- og Hamilton-funksjonene uttrykkes gjennom forskjellige argumenter. Derfor har den siste identiteten en ikke helt triviell betydning. La oss skrive ned differensialuttrykket (1.2) for en partikkel langs dens bane

Ved å bruke (1.3) transformerer vi dette uttrykket

Følgelig avhenger partikkelenergien bare av de generaliserte makrokoordinatene. Hvis de ikke endres over tid, blir energien bevart.

Statistisk metode for å beskrive et system . Mangelen på informasjon om startbetingelsene for systemet (1.3) og om dets oppførsel ved kroppens grense kan overvinnes hvis vi bruker en statistisk tilnærming til å studere dette systemet. La dette mekaniske systemet ha frihetsgrader knyttet til mikroskopiske variabler. Med andre ord, plasseringen av alle punkter i det vanlige tredimensjonalt rom preget generaliserte koordinater(
). La oss vurdere faserommet til et større antall variabler
. Fasetilstanden er preget av et punkt med koordinater
V
-dimensjonalt euklidisk rom. I praksis studerer vi alltid et spesifikt objekt som er en del av et stort (sammenlignet med det gitte objektet) system ( ytre miljø ). Dette objektet samhandler vanligvis med det ytre miljøet. Derfor vil vi snakke om i fremtiden delsystem(som opptar en del av faserommet) som samhandler med systemet (som opptar hele faserommet).

Ved innflytting
-dimensjonalt rom, en enkelt bane fyller gradvis hele dette faserommet. La oss sette
og betegne med
den delen av faseromsvolumet der dette delsystemet bruker "nesten hele tiden". Her mener vi tiden hvor undersystemet er i en kvasi-likevektstilstand. Over en tilstrekkelig lang tidsperiode vil fasebanen gå gjennom denne delen av faserommet mange ganger. La oss akseptere den ergodiske hypotesen, ifølge hvilken vi i stedet for ett bevegelig punkt i faserommet kan vurdere mange punkter som danner et statistisk ensemble. Overgang til det uendelige elementære fasevolumet

, la oss introdusere en kontinuerlig distribusjonsfunksjon ved å bruke forholdet

. Her – antall punkter i fasevolumelementet
,
– fullt antall punkter i hele faserommet, – en viss normaliseringskoeffisient som har handlingsdimensjonen. Det karakteriserer den statistiske vekten til det valgte faseromvolumelementet. Fordelingsfunksjonen tilfredsstiller normaliseringsbetingelsen

eller
. (1.4)

La
– den totale tiden systemet bruker innenfor det elementære volumet
, A – heltid bevegelse av et materiell punkt langs dets bane. I samsvar med den ergodiske hypotesen antar vi det

. (1.5)

For å resonnere rent formelt kan vi anta at det er noe fiktiv gass i faserommet, hvis tetthet er lik tettheten til antall punkter i faserommet. Bevaringen av antall fiktive gassmolekyler uttrykkes ved en transportligning i faserom, lik loven om bevaring av masse i vanlig tredimensjonalt rom. Denne bevaringsloven kalles Liouvilles teorem

. (1.6)

I kraft av Hamiltons ligninger følger betingelsen for inkompressibiliteten til fasevæsken:

(1.7)

La oss introdusere den konvektive deriverte

Ved å kombinere (1.6) og (1.7), får vi fasefluidtransportligningen

eller
. (1.8)

I kraft av den ergodiske hypotesen er tettheten av antall partikler i faserommet proporsjonal med sannsynlighetstettheten i ensemblet av tilstander. Derfor kan ligning (1.8) representeres som

. (1.9)

I en tilstand av likevekt med konstante eksterne parametere, er energien til mikrosystemet, representert ved Hamiltonian, bevart langs banen i faserommet. På samme måte, på grunn av (1.9), er sannsynlighetstettheten bevart. Det følger at sannsynlighetstettheten er en funksjon av energi.

. (1.10)

Avhengighet fra er lett å få tak i hvis du legger merke til at energiene til delsystemene legges til, og sannsynlighetene multipliseres. Denne tilstanden tilfredsstilles av den eneste formen for funksjonell avhengighet

. (1.11) Denne fordelingen kalles kanonisk. Her – Boltzmann konstant, mengder
Og
har dimensjonen energi. Mengder
Og kalles fri energi og temperatur.

La oss bestemme den indre energien som gjennomsnittsverdien av den sanne energien

. (1.12)

Å erstatte (1.11) her, får vi

Entropi definert som

Relasjon (1.13) introduserer et nytt konsept – entropi. Termodynamikkens andre lov sier at i en ikke-likevektstilstand av et system, har entropien en tendens til å øke, og i en tilstand av termodynamisk likevekt forblir entropien konstant. Ved å kombinere (1.12) og (1.13), får vi

. (1.14) Relasjon (1.14) er grunnlaget for å utlede andre termodynamiske funksjoner som beskriver likevektstilstanden til delsystemet.

La oss anta at inne i fasevolumet
for et gitt delsystem er sannsynlighetstettheten nesten konstant. Dette delsystemet er med andre ord svakt forbundet med miljøet og er i en tilstand av likevekt. Forholdet er gyldig for det

. (1.15) Her
– deltafunksjon.

Denne fordelingen kalles mikrokanonisk i motsetning til den kanoniske fordelingen (1.11). Ved første øyekast ser det ut til at begge distribusjonene er svært forskjellige og til og med motsier hverandre. Faktisk er det ingen motsetning mellom dem. La oss gå inn i radiusen i et flerdimensjonalt faserom med et meget stort antall dimensjoner. I et tynt, ekvidistant (i energi) sfærisk lag, overstiger antall punkter betydelig antall punkter inne i denne sfæren. Det er av denne grunn at fordelinger (1.11) og (1.15) skiller seg lite fra hverandre.

For å tilfredsstille den siste relasjonen (1.4) er det nødvendig at denne sannsynlighetstettheten er lik

. (1.16)

La oss erstatte distribusjon (1.11) i den siste relasjonen (1.4)

og skille det. Med tanke på det
er en funksjon av makrokoordinater, vi har

,
.

Ved å bruke (1.14) transformerer vi dette uttrykket

. (1.17a) Her
- varmestrøm,
- Jobb ytre krefter. Dette forholdet ble først utviklet av Gibbs, og det bærer navnet hans. For gass har den en spesielt enkel form

. (1.17b) Her - press, - volum.

På det fenomenologiske nivået er også definisjonen av temperatur gitt. Merk at varmestrøm ikke er en differensial av den termodynamiske funksjonen, mens entropi er slik per definisjon. Av denne grunn er det i uttrykk (1.17) en integrerende faktor , som kalles temperatur. Du kan ta litt arbeidsvæske (vann eller kvikksølv) og innføre en temperaturendringsskala. En slik kropp kalles termometer. La oss skrive (1.17) i skjemaet

. Temperatur i dette forholdet er en intensiv mengde.

Generaliserte krefter og forskyvninger er termodynamisk konjugerte mengder. På samme måte er temperatur og entropi konjugerte mengder, hvorav den ene er en generalisert kraft og den andre er en generalisert forskyvning. Fra (1.17) følger det

. (1.18)

I kraft av (1.14) for gratis energi vi har et lignende differensialuttrykk

. (1.19) I denne relasjonen skifter temperatur og entropi som konjugerte mengder plass, og uttrykk (1.18) blir modifisert

. (1.20)

For å bruke disse relasjonene er det nødvendig å spesifisere uavhengige definerende parametere og uttrykk for de termodynamiske funksjonene.

En strengere definisjon kan gis for temperatur. La oss for eksempel vurdere et lukket (isolert) system som består av to kropper og i en tilstand av termodynamisk likevekt. Energi og entropi er additive mengder
,
. Merk at entropi er en funksjon av energi, altså
. Ved likevekt er entropi stasjonært punkt angående omfordeling av energi mellom to delsystemer, dvs.

Dette følger direkte

. (1.21)

Den deriverte av entropi med hensyn til energi kalles absolutt temperatur (eller ganske enkelt temperatur ). Dette faktum følger også direkte av (1.17). Relasjon (1.21) betyr noe mer: i en tilstand av termodynamisk likevekt er kroppens temperatur like

. (1.22)

Termodynamikk og statistisk fysikk

Retningslinjer og kontrolloppgaver for studenter på fjernundervisning

Shelkunova Z.V., Saneev E.L.

Metodiske instruksjoner og prøveoppgaver for fjernundervisningsstudenter innen ingeniørfag, tekniske og teknologiske spesialiteter. Inneholder deler av programmene "Statistisk fysikk", "Termodynamikk", eksempler på løsning av typiske problemer og varianter av testoppgaver.

Stikkord: Intern energi, varme, arbeid; isoprosesser, entropi: distribusjonsfunksjoner: Maxwell, Boltzmann, Bose – Einstein; Fermi – Dirac; Fermi-energi, varmekapasitet, karakteristisk temperatur for Einstein og Debye.

Redaktør T.Yu.Artyunina

Klargjort for utskrift Format 6080 1/16

Betinget p.l.

___________________________________________________

; red.l. 3,0; Opplag ____ eksemplarer. Bestillingsnr.

RIO VSTU, Ulan-Ude, Klyuchevskaya, 40a

Trykt på rotaprint av VSTU, Ulan-Ude,

Klyuchevskaya, 42.

Federal Agency for Education

Øst-sibirske stat

teknisk universitet

FYSIKK nr. 4

(Termodynamikk og statistisk fysikk)

Retningslinjer og kontrolloppgaver

for studenter på fjernundervisning

Saneev E.L.

Forlag VSTU

Ulan-Ude, 2009

Statistisk fysikk og termodynamikk

Emne 1

Dynamiske og statistiske mønstre i fysikk. Termodynamiske og statistiske metoder. Elementer i molekylær kinetisk teori. Makroskopisk tilstand. Fysiske mengder og tilstander til fysiske systemer. Makroskopiske parametere som gjennomsnittsverdier. Termisk likevekt. Ideell gassmodell. Tilstandsligning for en ideell gass. Begrepet temperatur.

Emne 2

Overføringsfenomener. Diffusjon. Termisk ledningsevne. Diffusjonskoeffisient. Termisk konduktivitetskoeffisient. Termisk diffusivitet. Diffusjon i gasser, væsker og faste stoffer. Viskositet. Viskositetskoeffisient for gasser og væsker.

Emne 3

Elementer av termodynamikk. Termodynamikkens første lov. Intern energi. Intensive og omfattende parametere.

Emne 4

Reversible og irreversible prosesser. Entropi. Termodynamikkens andre lov. Termodynamiske potensialer og likevektsforhold. Kjemisk potensial. Betingelser for kjemisk likevekt. Carnot syklus.

Emne 5

Distribusjonsfunksjoner. Mikroskopiske parametere. Sannsynlighet og svingninger. Maxwell distribusjon. Gjennomsnittlig kinetisk energi til en partikkel. Boltzmann distribusjon. Varmekapasitet til polyatomiske gasser. Begrensninger av den klassiske teorien om varmekapasitet.

Emne 6

Gibbs distribusjon. Modell av systemet i termostaten. Kanonisk Gibbs-distribusjon. Statistisk betydning av termodynamiske potensialer og temperatur. Rollen til fri energi.

Emne 7

Gibbs-fordeling for et system med et variabelt antall partikler. Entropi og sannsynlighet. Bestemmelse av entropien til et likevektssystem gjennom den statistiske vekten til en mikrotilstand.

Emne 8

Bose og Fermi distribusjonsfunksjoner. Plancks formel for vektet termisk stråling. Orden og uorden i naturen. Entropi som et kvantitativt mål på kaos. Prinsippet om økende entropi. Overgangen fra orden til uorden om tilstanden til termisk likevekt.

Emne 9

Eksperimentelle metoder for å studere vibrasjonsspekteret til krystaller. Konseptet med fononer. Spredningslover for akustiske og optiske fononer. Varmekapasitet til krystaller ved lave og høye temperaturer. Elektronisk varmekapasitet og termisk ledningsevne.

Emne 10

Elektroner i krystaller. Tilnærming av sterk og svak kobling. Gratis elektronmodell. Fermi nivå. Elementer i båndteori om krystaller. Bloch funksjon. Båndstrukturen til elektronenergispekteret.

Emne 11

Fermi overflate. Antall og tetthet av antall elektroniske tilstander i sonen. Sonefyllinger: metaller, dielektriske stoffer og halvledere. Elektrisk ledningsevne til halvledere. Konseptet med hullledningsevne. Iboende og urenheter halvledere. Konseptet med p-n-kryss. Transistor.

Emne 12

Elektrisk ledningsevne av metaller. Nåværende bærere i metaller. Insuffisiens av klassisk elektronisk teori. Electron Fermi gass i metall. Strømbærere som kvasipartikler. Fenomenet superledning. Cooper-paring av elektroner. Tunnelkontakt. Josephson-effekten og dens anvendelse. Fangst og kvantisering magnetisk fluks. Konseptet med høy temperatur ledningsevne.

STATISTISK FYSIKK. TERMODYNAMIKK

Grunnleggende formler

1. Mengde stoff av en homogen gass (i mol):

Hvor N- antall gassmolekyler; N EN- Avogadros nummer; m- masse gass; -molar masse av gass.

Hvis systemet er en blanding av flere gasser, så er mengden stoff i systemet

Hvor  jeg , N jeg , m jeg ,  jeg - henholdsvis mengden stoff, antall molekyler, masse, molar masse jeg- komponenter i blandingen.

2. Clapeyron-Mendeleev-ligning (ligning for tilstanden til en ideell gass):

Hvor m- masse gass;  - molar masse; R- universell gasskonstant;  = m/ - mengde stoff; T-termodynamisk temperatur Kelvin.

3. Eksperimentelle gasslover, som er spesielle tilfeller av Clapeyron-Mendeleev-ligningen for isoprosesser:

Boyle-Mariottes lov

(isoterm prosess - T=konst; m=konst):

eller for to gasstilstander:

Hvor s 1 og V 1 - trykk og volum av gass i den opprinnelige tilstanden; s 2 og V 2

Gay-Lussacs lov (isobarisk prosess - p=konst, m=konst):

eller for to stater:

Hvor V 1 Og T 1 - volum og temperatur på gassen i den opprinnelige tilstanden; V 2 Og T 2 - de samme verdiene i den endelige tilstanden;

Charles' lov (isokorisk prosess - V=konst, m=konst):

eller for to stater:

Hvor r 1 Og T 1 - trykk og temperatur på gassen i den opprinnelige tilstanden; r 2 Og T 2 - de samme verdiene i den endelige tilstanden;

kombinert gasslov ( m=konst):

Hvor r 1 , V 1 , T 1 - trykk, volum og temperatur på gassen i utgangstilstand; r 2 , V 2 , T 2 - de samme verdiene i den endelige tilstanden.

4. Daltons lov, som bestemmer trykket til en gassblanding:

p = p 1 + s 2 + ... +r n

Hvor s jeg - deltrykk blanding komponent; n- antall blandingskomponenter.

5. Molar masse av en blanding av gasser:

Hvor m jeg- vekt jeg-te komponent av blandingen;  jeg = m jeg / jeg- mengde stoff jeg-te komponent av blandingen; n- antall blandingskomponenter.

6. Massefraksjon  jeg jeg komponenten av gassblandingen (i brøkdeler av en enhet eller prosent):

Hvor m- massen av blandingen.

7. Konsentrasjon av molekyler (antall molekyler per volumenhet):

Hvor N-antall molekyler i et gitt system;  er tettheten til stoffet. Formelen er gyldig ikke bare for gasser, men også for enhver tilstand av aggregering av et stoff.

8. Grunnleggende ligning for kinetisk teori for gasser:

Hvor<>- gjennomsnittlig kinetisk energi av translasjonsbevegelse av et molekyl.

9. Gjennomsnittlig kinetisk energi av translasjonsbevegelse av et molekyl:

Hvor k- Boltzmann konstant.

10. Gjennomsnittlig total kinetisk energi til et molekyl:

Hvor jeg- antall frihetsgrader til molekylet.

11. Avhengighet av gasstrykk på konsentrasjonen av molekyler og temperatur:

p = nkT.

12. Molekylhastigheter:

gjennomsnittlig firkant ;

aritmetisk gjennomsnitt ;

mest sannsynlig ,

Statistisk fysikk inntar en fremtredende plass i moderne vitenskap og fortjener spesiell vurdering. Den beskriver dannelsen av makrosystemparametere fra bevegelsene til partikler. For eksempel reduseres termodynamiske parametere som temperatur og trykk til pulsenergikarakteristikkene til molekyler. Dette gjør hun ved å spesifisere en viss sannsynlighetsfordeling. Adjektivet "statistisk" går tilbake til latinsk ord status(Russisk - stat). Dette ordet alene er ikke nok til å uttrykke detaljene ved statistisk fysikk. Faktisk, noen fysisk vitenskap studier opplyser fysiske prosesser og tlf. Statistisk fysikk omhandler et ensemble av stater. Ensemblet i saken under vurdering forutsetter et flertall av stater, men ikke noen, men korrelerer med samme aggregerte tilstand, som har integrerende egenskaper. Dermed involverer statistisk fysikk et hierarki av to nivåer, ofte kalt mikroskopiske og makroskopiske. Følgelig undersøker den forholdet mellom mikro- og makrotilstander. De integrative funksjonene nevnt ovenfor utgjøres bare hvis antallet mikrotilstander er tilstrekkelig stort. For spesifikke stater har den en nedre og en øvre grense, hvis bestemmelse er en spesiell oppgave.

Som allerede nevnt, karakteristisk trekk statistisk tilnærming er behovet for å referere til begrepet sannsynlighet. Ved hjelp av distribusjonsfunksjoner beregnes statistiske gjennomsnittsverdier ( matematiske forventninger) visse funksjoner som er iboende, per definisjon, både på mikro- og makronivå. Sammenhengen mellom de to nivåene blir spesielt tydelig. Det sannsynlige målet på makrotilstander er entropi ( S). I følge Boltzmann-formelen er den direkte proporsjonal med den statistiske vekten, dvs. antall måter å realisere en gitt makroskopisk tilstand ( R):

Entropien er størst i det statistiske systemets likevektstilstand.

Det statistiske prosjektet ble utviklet innenfor rammen av klassisk fysikk. Det så ut til at det ikke var anvendelig i kvantefysikk. I virkeligheten viste situasjonen seg å være fundamentalt annerledes: i kvantefeltet er statistisk fysikk ikke begrenset til klassiske konsepter og får en mer universell karakter. Men selve innholdet i den statistiske metoden er betydelig avklart.

Av avgjørende betydning for skjebnen til den statistiske metoden i kvantefysikk er karakteren bølgefunksjon. Det bestemmer ikke mengder fysiske parametere, men sannsynlighetsloven for deres distribusjon. L dette betyr at hovedbetingelsen for statistisk fysikk er oppfylt, dvs. tildeling av sannsynlighetsfordeling. Dens tilstedeværelse er nødvendig, og tilsynelatende tilstrekkelig tilstand vellykket utvidelse av den statistiske tilnærmingen til hele feltet av kvantefysikk.

Innenfor klassisk fysikk så det ut til at den statistiske tilnærmingen ikke var nødvendig, og hvis den ble brukt, var det bare på grunn av det midlertidige fraværet av metoder som virkelig var tilstrekkelige til naturen til fysiske prosesser. Dynamiske lover, gjennom hvilke entydig forutsigbarhet oppnås, er mer relevante enn statistiske lover.

Fremtidig fysikk, sier de, vil gjøre det mulig å forklare statistiske lover ved hjelp av dynamiske. Men utviklingen av kvantefysikk ga forskerne en klar overraskelse.

Faktisk ble forrangen til ikke dynamiske, men statistiske lover tydelig. Det var statistiske mønstre som gjorde det mulig å forklare dynamiske lover. Den såkalte entydige beskrivelsen er ganske enkelt en registrering av hendelser som mest sannsynlig vil inntreffe. Det er ikke entydig laplaceansk determinisme som er relevant, men probabilistisk determinisme (se paradoks 4 fra avsnitt 2.8).

Kvantefysikk i sin essens er en statistisk teori. Denne omstendigheten vitner om den vedvarende betydningen av statistisk fysikk. I klassisk fysikk den statistiske tilnærmingen krever ikke å løse bevegelseslikningene. Derfor ser det ut til at det i hovedsak ikke er dynamisk, men fenomenologisk. Teorien svarer på spørsmålet "Hvordan oppstår prosesser?", men ikke spørsmålet "Hvorfor skjer de på denne måten og ikke annerledes?" Kvantefysikk gir den statistiske tilnærmingen en dynamisk karakter, fenomenologien får en sekundær karakter.

Metoder Utdanning Om dette nettstedet Bibliotek Mat. fora

Bibliotek > Fysikkbøker > Statistisk fysikk

Statistisk fysikk

Aizenshits R. Statistisk teori om irreversible prosesser. M.: Forlag. Fremmed lit., 1963 (djvu)
Anselm A.I. Grunnleggende om statistisk fysikk og termodynamikk. M.: Nauka, 1973 (djvu)
Akhiezer A.I., Peletminsky S.V. Metoder for statistisk fysikk. M.: Nauka, 1977 (djvu)
Bazarov I.P. Metodiske problemer statistisk fysikk og termodynamikk. M.: Moscow State University Publishing House, 1979 (djvu)
Bogolyubov N.N. Utvalgte arbeider om statistisk fysikk. M.: Moscow State University Publishing House, 1979 (djvu)
Bogolyubov N.N. (Jr.), Sadovnikov B.I. Noen spørsmål om statistisk mekanikk. M.: Høyere. skole, 1975 (djvu)
Bonch-Bruevich V.L., Tyablikov S.V. Greens funksjonsmetode i statistisk mekanikk. M.: Fizmatlit, 1961 (djvu, 2,61 Mb)
Vasiliev A.M. Introduksjon til statistisk fysikk. M.: Høyere. skole, 1980 (djvu)
Vlasov A.A. Ikke-lokal statistisk mekanikk. M.: Nauka, 1978 (djvu)
Gibbs J.W. Grunnleggende prinsipper for statistisk mekanikk (presentert med spesiell anvendelse på det rasjonelle grunnlaget for termodynamikk). M.-L.: OGIZ, 1946 (djvu)
Gurov K.P. Grunnlaget for kinetisk teori. Metode N.N. Bogolyubova. M.: Nauka, 1966 (djvu)
Zaslavsky G.M. Statistisk irreversibilitet i ikke-lineære systemer. M.: Nauka, 1970 (djvu)
Zakharov A.Yu. Gittermodeller for statistisk fysikk. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
Zakharov A.Yu. Funksjonelle metoder i klassisk statistisk fysikk. Veliky Novgorod: NovSU, 2006 (pdf)
Ios G. Kurs i teoretisk fysikk. Del 2. Termodynamikk. Statistisk fysikk. Kvanteteori. Kjernefysikk. M.: Utdanning, 1964 (djvu)
Ishihara A. Statistisk fysikk. M.: Mir, 1973 (djvu)
Kadanov L., Beim G. Kvantestatistisk mekanikk. Greens funksjonsmetoder i teorien om likevekts- og ikke-likevektsprosesser. M.: Mir, 1964 (djvu)
Katz M. Sannsynlighet og relaterte problemstillinger i fysikk. M.: Mir, 1965 (djvu)
Katz M. Flere probabilistiske problemer i fysikk og matematikk. M.: Nauka, 1967 (djvu)
Kittel Ch. Elementær statistisk fysikk. M.: IL, 1960 (djvu)
Kittel Ch. Statistisk termodynamikk. M: Nauka, 1977 (djvu)
Kozlov V.V. Termisk likevekt ifølge Gibbs og Poincaré. Moskva-Izhevsk: Institutt for dataforskning, 2002 (djvu)
Kompaneets A.S. Lover om fysisk statistikk. Sjokkbølger. Supertett stoff. M.: Nauka, 1976 (djvu)
Kompaneets A.S. Kurs i teoretisk fysikk. Bind 2. Statistiske lover. M.: Utdanning, 1975 (djvu)
Kotkin G.L. Forelesninger om statistisk fysikk, NSU (pdf)
Krylov N.S. Arbeider med å underbygge statistisk fysikk. M.-L.: Fra USSR Academy of Sciences, 1950 (djvu)
Kubo R. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1967 (djvu)
Landsberg P. (red.) Problemer i termodynamikk og statistisk fysikk. M.: Mir, 1974 (djvu)
Levich V.G. Introduksjon til statistisk fysikk (2. utg.) M.: GITTL, 1954 (djvu)
Libov R. Introduksjon til teori kinetiske ligninger. M.: Mir, 1974 (djvu)
Mayer J., Geppert-Mayer M. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1980 (djvu)
Minlos R.A. (red.) Matematikk. Nytt i utenlandsk vitenskap-11. Gibbs stater i statistisk fysikk. Samling av artikler. M.: Mir, 1978 (djvu)
Nozdrev V.F., Senkevich A.A. Kurs i statistisk fysikk. M.: Høyere. skole, 1965 (djvu)
Prigogine I. Nonequilibrium statistisk mekanikk. M.: Mir, 1964 (djvu)
Radushkevich L.V. Kurs i statistisk fysikk (2. utg.) M.: Education, 1966 (djvu)
Reif F. Berkeley kurs i fysikk. Bind 5. Statistisk fysikk. M.: Nauka, 1972 (djvu)
Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodynamikk, statistisk fysikk og kinetikk. M.: Nauka, 1972 (djvu)
Rumer Yu.B., Ryvkin M.Sh. Termodynamikk, statistisk fysikk og kinetikk (2. utg.). M.: Nauka, 1977 (djvu)
Ruel D. Statistisk mekanikk. M.: Mir, 1971 (djvu)
Savukov V.V. Klargjøring av de aksiomatiske prinsippene for statistisk fysikk. SPb.: Balt. tilstand tech. Univ. "Voenmekh", 2006