Teoremer om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter

Addisjonsteorem

Sannsynligheten for forekomst av en av flere inkompatible hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene.

I tilfelle av to uforenlige hendelser A og B, har vi:

P(A+B) = P(A) + P(B) (7)

Hendelsen motsatt av hendelse A er merket med . Kombinasjonen av hendelser A og gir en pålitelig hendelse, og siden hendelsene A og er uforenlige, da

P(A) + P() = 1 (8)

Sannsynligheten for hendelse A, beregnet ut fra forutsetningen om at hendelse B har skjedd, kalles betinget sannsynlighet hendelse A og er merket med symbolet P B (A).

Hvis hendelsene A og B er uavhengige, så er P(B) = P A (B).

arrangementer A, B, C, ... kalles kollektivt uavhengig, hvis sannsynligheten for hver av dem ikke endres på grunn av forekomst eller manglende forekomst av andre hendelser individuelt eller i en kombinasjon av dem og i et hvilket som helst antall.

Multiplikasjonsteorem

Sannsynligheten for at hendelser A, B og C vil inntreffe, ... er lik produktet av sannsynlighetene deres, beregnet ut fra en antagelse om at alle hendelsene som gikk foran hver av dem fant sted, dvs.

P (AB) \u003d P (A) P A (B)(9)

Notasjonen P A (B) angir sannsynligheten for hendelse B, forutsatt at hendelse A allerede har funnet sted.

Hvis hendelser A, B, C, ... er uavhengige i aggregatet, er sannsynligheten for at alle av dem vil skje lik produktet av sannsynlighetene deres:

P(ABC) = P(A)P(B)P(C) (10)

Eksempel 3.1. En pose inneholder 10 hvite, 15 sorte, 20 blå og 25 røde kuler. Dratt ut en ball. Finne sannsynligheten for at kulen som trekkes er hvit? svart? Dessuten er den hvit eller svart?

Løsning.

Antallet av alle mulige forsøk n = 10 + 15 + 20 + 25 = 70;

Sannsynlighet P(b) = 10/70 = 1/7, P(h) = 15/70 = 3/14.

Vi bruker sannsynlighetsaddisjonsteoremet:

P(b + h) \u003d P(b) + P(h) \u003d 1/7 + 3/14 \u003d 5/14.

Merk: henholdsvis store bokstaver i parentes angir fargen på hver ball i henhold til problemets tilstand.

Eksempel 3.2 Den første boksen inneholder to hvite og ti svarte kuler. Den andre boksen inneholder åtte hvite og fire svarte kuler. En ball ble tatt fra hver boks. Bestem sannsynligheten for at begge kulene er hvite.

Løsning.

Hendelse A er utseendet til en hvit ball fra den første boksen. Hendelse B - utseendet til en hvit ball fra den andre boksen. Hendelser A og B er uavhengige.

Sannsynligheter P(A) = 2/12 = 1/6, P(B) = 8/12 = 2/3.

Vi brukerremet:

P(AB) = P(A)P(B) = 2/18 = 1/9.

Gjennomgå spørsmål

1 Hva er en faktoriell?

2 Liste hovedoppgavene til kombinatorikk.

3 Hva er permutasjoner?

4 Hva er bevegelse?

5 Hva er kombinasjoner?

6 Hvilke hendelser kalles pålitelige?

7 Hvilke hendelser kalles inkompatible?

8 Hva er sannsynligheten for en hendelse?

9 Hva er betinget sannsynlighet?

10 Formuler teoremene om addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter.

11 etc.Plassering fra P elementer av k (k ≤ s ) ethvert sett kalles Til elementer hentet i en bestemt rekkefølge fra dataene P elementer.

Dermed to plasseringer fra P elementer av Til anses som forskjellige hvis de er forskjellige i selve elementene eller i rekkefølgen de er plassert i. P elementer av Til utpeke A p k og beregnes med formelen

A p k \u003d

Hvis plasseringer fra P elementer av P skiller seg fra hverandre bare i rekkefølgen av elementene, da er de permutasjoner fra P elementer

Eksempel 1. Elever i andre klasse studerer 9 fag. På hvor mange måter kan du lage en timeplan for en dag slik at den har 4 forskjellige fag

Løsning: Enhver tidsplan for en dag, som består av 4 forskjellige emner, skiller seg fra en annen enten i settet med emner eller i rekkefølgen de vises i. Så i dette eksempelet snakker vi om plasseringer av 9 elementer med 4. Vi har

A 9 4 = = 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024

Tidsplan kan opprettes på 3024 måter

Eksempel 2. Hvor mange tresifrede tall (uten repeterende sifre i nummeroppføringen) kan lages fra sifrene 0,1,2,3,4,5,6?

Løsning Hvis det ikke er null blant de syv sifrene, er antallet tresifrede tall (uten repeterende sifre) som kan lages fra disse sifrene lik antall plasseringer

22

fra 7 elementer til 3. Blant disse sifrene er det imidlertid et siffer 0, som et tresifret tall ikke kan begynne med. Derfor, fra plasseringene av 7 elementer med 3, er det nødvendig å ekskludere de hvis første element er 0. Antallet deres er lik antall plasseringer av deres 6 elementer med 2. =

Så det ønskede antallet tresifrede tall er lik

A 7 3 - A 6 2 = - = 5 ∙ 6 ∙ 7 - 5 ∙ 6 = 180.

3. Konsolidering av ervervet kunnskap i prosessen med å løse problemer

№754 . På hvor mange måter kan en familie på tre få plass i en fireseters kupé hvis det ikke er andre passasjerer i kupeen?

Løsning. Antall måter er A 4 3 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 = 24

№755. Av de 30 deltakerne på møtet er det nødvendig å velge leder og sekretær. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning. Siden enhver av deltakerne kan være både sekretær og styreleder, er antallet måter å velge dem på

A 30 2 = = = 29 ∙ 30 = 870

№762 Hvor mange firesifrede tall som ikke har de samme sifrene kan lages av tallene: a) 1,3,5,7,9. b) 0.2.4.6.8?

Løsning a) A 5 4 = = 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 = 120

b)) A 5 4 - A 4 3 = 5! - 4! = 120 – 24= 96

Lekser #756, #757, #758, #759.

Leksjon 6 Emne: "Kombinasjoner"

Formål: Å gi konseptet kombinasjoner, å introdusere formelen for beregning av kombinasjoner, å lære hvordan man bruker denne formelen for å telle antall kombinasjoner.

1 Sjekke lekser.

№ 756 . Det er 7 nødspor på stasjonen. På hvor mange måter kan 4 tog plasseres på dem?

23

Løsning : A 7 4 = = 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 7 = 20 ∙ 42 = 840 måter

№757 På hvor mange måter kan treneren bestemme hvilke av de 12 4x100m stafettutøverne som skal løpe i første, andre, tredje og fjerde etappe?

Løsning: A 12 4 \u003d \u003d 9 10 11 12 \u003d 90 132 \u003d 11 880

№ 758. I et sektordiagram er sirkelen delt inn i 5 sektorer. Vi bestemte oss for å male over sektorene med forskjellige farger hentet fra et sett som inneholder 10 farger. På hvor mange måter kan dette gjøres?

Løsning: A 10 5 \u003d \u003d 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 ∙ 10 \u003d 30 240

№759. På hvor mange måter kan 6 studenter som tar eksamen ta plass i et rom med 20 enkeltbord?

Løsning: A 20 6 \u003d \u003d 15 16 17 18 19 20 \u003d 27 907 200

Du kan organisere sjekking av lekser på forskjellige måter: muntlig sjekk løsningen av hjemmeøvelser, skriv ned løsningene til noen av dem på tavlen, og mens beslutningene registreres, foreta en spørreundersøkelse blant elevene om følgende spørsmål:

1. Hva betyr oppføringen P!

2. Det som kalles en permutasjon av P elementer?

3. Hva er formelen for å beregne antall permutasjoner?

4. Hva kalles plassering av P elementer av Til?

5. P elementer av Til?

2 Forklaring av nytt materiale

La det være 5 nelliker i forskjellige farger. La oss merke dem med bokstaver. a, c, c, e, e. Det kreves å lage en bukett med tre nelliker. La oss finne ut hvilke buketter som kan lages.

Hvis buketten inkluderer en nellik EN , så kan du lage slike buketter:

avs, avd, ave, asd, ess, helvete.

Hvis buketten ikke inneholder en nellik EN, men nellik er inkludert V , så kan du få slike buketter:

vsd, alle, vde.

Til slutt, hvis buketten ikke inneholder en nellik EN, ikke en nellik V, da er det bare ett alternativ for å komponere en bukett:

sde.

24

Vi har antydet alle mulige måter å komponere buketter der tre nelliker av 5 er kombinert på forskjellige måter. De sier at vi har samlet alle mulige kombinasjoner fra 5 elementer med 3, fant vi at C 5 3 \u003d 10.

Vi utleder formelen for antall kombinasjoner fra P elementer ved k, hvor k ≤ s.

La oss først finne ut hvordan C 5 3 uttrykkes i form av A 5 3 og P 3 . Vi fant ut at deres 5 elementer kan bestå av følgende kombinasjoner av 3 elementer:

avs, avd, ave, asd, ess, helvete, vsd, alle, vde, sde.

I hver kombinasjon utfører vi alle permutasjonene. Antall permutasjoner av 3 elementer er R 3 . Som et resultat får vi alle mulige kombinasjoner av 5 elementer med 3, som er forskjellige enten i selve elementene eller i rekkefølgen på elementene, dvs. alle plasseringer av 5 elementer av 3. Totalt får vi A 5 3 plasseringer.

Midler , C 5 3 ∙ R 3 \u003d A 5 3, derav C 5 3 \u003d A 5 3: R 3

Kranglet i den generelle saken, får vi C p k \u003d A p k: R k,

Ved å bruke det faktum at A p k = , hvor k ≤ s., vi får C p k =.

Dette er formelen for å beregne antall kombinasjoner fra P elementer av Til for noen

k ≤ s.

Eksempel 1. Fra et sett med 15 malinger må du velge 3 malinger for å fargelegge boksen. På hvor mange måter kan dette valget gjøres?

Løsning: Hvert valg av tre farger skiller seg fra den andre med minst én farge. Så her snakker vi om kombinasjoner av 15 elementer av 3

С 15 3 = = (13∙ 14∙15) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 455

Notat 2 Det er 12 gutter og 10 jenter i klassen. Tre gutter og to jenter er pålagt å rydde området rundt skolen. På hvor mange måter kan dette valget gjøres?

Løsning: Du kan velge 3 gutter av 12 C 12 3 , og du kan velge to jenter av 10 C 10 2 . Siden det med hvert valg av gutter er mulig å velge jenter på C 10 2 måter, kan du gjøre et valg av elever, som diskuteres i oppgaven

С 12 3 ∙ С 10 2 = ∙ = 220 ∙ 45 = 9900

3) Konsolidering av nytt materiale i prosessen med å løse problemer

25

Oppgave

Sasha har 8 historiske romaner i hjemmebiblioteket. Petya ønsker å ta hvilke som helst 2 romaner fra ham. På hvor mange måter kan dette valget gjøres?

Løsning: C 8 2 = = ( 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2) = 56: 2 = 28

№779 a

Det er 16 personer i sjakklubben. På hvor mange måter kan treneren velge et lag på 4 blant dem for den kommende turneringen?

Løsning: C 16 4 = = ( 13∙ 14∙15 ∙16) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 13 ∙ 7 ∙5∙ 4 = 91 ∙20 = 1820

№774 Skoleoppussingslaget består av 12 malere og 5 snekkere. Av disse bør det tildeles 4 malere og 2 snekkere til reparasjon av treningsstudioet. På hvor mange måter kan dette gjøres?

С 12 4 ∙ С 5 2 = ∙ = 495 ∙ 10 = 4950

Lekser #768, #769, #770, #775

Leksjon 7 Emne: "Løse problemer med bruk av formler for å telle antall bevegelser, plasseringer, kombinasjoner"

Formål: Konsolidering av kunnskap hos elevene. Dannelse av ferdigheter for å løse de enkleste kombinatoriske problemene

1 Sjekke lekser

№768 Det er 7 personer i klassen som klarer matematikk. På hvor mange måter kan to av dem velges ut til å delta i matematisk olympiade?

Løsning: C 7 2 \u003d \u003d (6 ∙ 7): 2 \u003d 21

№769 Filatelibutikken selger 8 forskjellige sett med frimerker dedikert til sport. På hvor mange måter kan 3 sett velges fra dem?

Løsning: C 8 3 = = ( 6 ∙ 7 ∙ 8) : ( 1∙ 2 ∙ 3) = 56

26

№770 Elevene fikk en liste med 10 bøker som anbefales å lese i ferien. På hvor mange måter kan en student velge 6 bøker fra dem?

Løsning: C 10 6 = = ( 7 ∙ 8 ∙ 9∙ 10) : ( 1∙ 2 ∙ 3 ∙ 4) = 210

№775 I biblioteket ble leseren tilbudt å velge mellom 10 bøker og 4 magasiner fra nyankomne. På hvor mange måter kan han velge 3 bøker og 2 blader fra dem?

Løsning: С 10 3 ∙ С 4 2 = ∙ = 120 ∙ 6 = 720

Spørsmål til klassen

1. Det som kalles en permutasjon av P elementer?

2. Hvilken formel brukes for å beregne antall permutasjoner?

3. Hva kalles plassering av P elementer av Til?

4. Hvilken formel brukes for å beregne antall plasseringer fra P elementer av Til?

5. Det som kalles en kombinasjon av P elementer av Til?

6. Hvilken formel brukes for å beregne antall kombinasjoner av P elementer av Til?

Oppgaver for felles løsning

Når du løser hvert problem, er det først en diskusjon: hvilken av de tre studerte formlene vil hjelpe deg med å få et svar og hvorfor

1. Hvor mange firesifrede tall kan lages av tallene 4,6,8,9, forutsatt at alle tallene er forskjellige?

2. Fra 15 personer i en gruppe studenter, må du velge en rektor og hans stedfortreder. På hvor mange måter kan dette gjøres?

3. Av de 10 beste elevene i skolen skal to personer sendes til ledermøtet.

På hvor mange måter kan dette gjøres?

Kommentar: I oppgave nummer 3 spiller det ingen rolle hvem du skal velge: 2 personer av 10, så formelen for å telle antall kombinasjoner fungerer her.

I oppgave nr. 2 velges et bestilt par, pga i det valgte paret, hvis etternavnene byttes, vil det være et annet valg, så formelen for å telle antall plasseringer fungerer her

Svar på problemer for felles løsning:

nr. 1 den 24. #2 210 måter. #3 45 måter

Oppgaver for felles diskusjon og selvstendige beregninger

Nr. 1 6 venner møttes og håndhilste hver av vennene sine. Hvor mange håndtrykk var det?

27

nr. 2 På hvor mange måter kan man lage en timeplan for elever i 1. klasse for én dag, hvis de har 7 fag, og denne dagen skal det være 4 leksjoner?

(Antall plasseringer fra 7 til 4)

nr. 3 Det er 6 personer i familien, og det er 6 stoler ved bordet på kjøkkenet. Det ble bestemt hver kveld før middag å sette seg ned på disse 6 stolene på en ny måte. Hvor mange dager vil familiemedlemmer kunne gjøre dette uten repetisjon.

nr. 4 Gjestene A, B, C, D kom til eieren av huset. Det er fem forskjellige stoler ved det runde bordet. Hvor mange sitteplasser er det?

(4 personer kom på besøk + eieren = 5 personer sitter på 5 stoler, du må telle antall permutasjoner)

5. En ikke-skjærende trekant, firkant og sirkel er tegnet i fargeleggingsboken. Hver figur skal males i en av regnbuens farger, forskjellige figurer i forskjellige farger. Hvor mange måter er det å fargelegge på?

(Tell antall plasseringer fra 7 til 3)

nr. 6 Det er 10 gutter og 4 jenter i klassen. Det er nødvendig å velge 3 personer på vakt, slik at det er 2 gutter og 1 jente blant dem. På hvor mange måter kan dette gjøres?

(Antall kombinasjoner av 10 ganger 2 ganger antall kombinasjoner av 4 ganger 1)

Svar på problemer med egenberegning

№1 15 håndtrykk

№2 840 måter

№3 720 dager

№5 120 måter

№6 180 måter

Lekse #835, #841

Leksjon 8 Emne: "Selvstendig arbeid"

Formål: Teste elevenes kunnskaper

1.Sjekker lekser

№^ 835 Hvor mange like firesifrede tall der sifrene ikke gjentar seg kan skrives med tallene a) 1,2,3,7. b) 1,2,3,4.

28

a) Tallene våre må slutte med et partall, et slikt siffer i betingelsen en er tallet 2, sett det på siste plass, og vi vil omorganisere de resterende 3 sifrene, antallet slike permutasjoner er 3! = 6. Så du kan lage 6 partall

b) vi argumenterer som i eksempel a) ved å sette tallet 2 på siste plass får vi 6 partall, ved å sette tallet 4 på siste plass får vi 6 flere partall,

betyr bare 12 partall

№841 På hvor mange måter kan du velge fra en klasse med 24 elever: a) to ledsagere; b) den eldste og hans assistent?

a) fordi 2 personer av 24 kan være på vakt, da er antall par

C 24 2 \u003d \u003d 23 ∙ 24: 2 \u003d 276

b) her river de ut et ordnet elementpar fra 24 elementer, antall slike par er A 24 2 = = 23 ∙ 24 = 552

Alternativ 1 løser oppgave nr. 1,2,3,4,5.

Alternativ 2 løser oppgave nr. 6,7,8,9,10.

Løse enkle kombinatoriske problemer

(Basert på materialene til c.r. i april 2010)

1 . På hvor mange måter kan fem bøker av forskjellige forfattere ordnes på en hylle?

2. På hvor mange måter kan du lage en ettermiddagsmat av en drink og en pai hvis menyen viser: te, kaffe, kakao og paier med et eple eller et kirsebær?

3. På onsdag, i henhold til timeplanen i 9. "A"-klasse, skal det være 5 leksjoner: kjemi, fysikk, algebra, biologi og livssikkerhet. På hvor mange måter kan du planlegge dagen?

4. Det er 2 hvite hester og 4 bay hester. På hvor mange måter kan

lage et par hester i forskjellige farger?

5. På hvor mange måter kan 5 forskjellige mynter puttes i 5 forskjellige lommer?

29

6. Det er 3 luer i forskjellige stiler og 4 skjerf i forskjellige farger i skapet på hyllen. På hvor mange måter kan du lage et sett med én lue og ett skjerf?

7. 4 deltakere kom til finalen i skjønnhetskonkurransen. Hvor mange måter

kan jeg angi rekkefølgen for ytelsen til deltakerne i skjønnhetsfinalen?

^ 8 .Det er 4 ender og 3 gjess. På hvor mange måter kan to forskjellige fugler velges fra dem?

9. På hvor mange måter kan 5 forskjellige bokstaver deles inn i 5 forskjellige bokstaver?

konvolutter hvis bare én bokstav legges i hver konvolutt?

10. Boksen inneholder 5 røde og 4 grønne kuler. På hvor mange måter kan du lage et par kuler i forskjellige farger?

Svar på oppgaver med selvstendig arbeid

Utdanningsinstitusjon "Hviterussisk stat

landbruksakademi"

Institutt for høyere matematikk

TILLEGG OG MULTIPLIKASJON AV SANNSYNLIGHETER. GJENTE UAVHENGIGE TESTER

Forelesning for studenter ved Fakultet for arealforvaltning

fjernundervisning

Gorki, 2012

Addisjon og multiplikasjon av sannsynligheter. Gjentatt

uavhengige tester

Tillegg av sannsynligheter

Summen av to felles hendelser EN Og I kalt en hendelse MED, som består i forekomsten av minst én av hendelsene EN eller I. På samme måte er summen av flere felles hendelser en hendelse som består i at minst én av disse hendelsene inntreffer.

Summen av to usammenhengende hendelser EN Og I kalt en hendelse MED, som består i hendelsen eller hendelsen EN eller hendelser I. På samme måte er summen av flere inkompatible hendelser en hendelse som består i forekomsten av en av disse hendelsene.

Teoremet om tillegg av sannsynligheter for inkompatible hendelser er gyldig: sannsynligheten for summen av to uforenlige hendelser er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene , dvs. . Denne teoremet kan utvides til et hvilket som helst begrenset antall inkompatible hendelser.

Fra denne teoremet følger:

summen av sannsynlighetene for hendelser som danner en komplett gruppe er lik en;

summen av sannsynlighetene for motsatte hendelser er lik én, dvs.
.

Eksempel 1 . En boks inneholder 2 hvite, 3 røde og 5 blå kuler. Kulene stokkes og en trekkes tilfeldig. Hva er sannsynligheten for at ballen er farget?

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN=(fargekule fjernet);

B=(hvit ball tegnet);

C=(rød ball tegnet);

D=(blå ball fjernet).

Deretter EN= C+ D. Siden hendelsene C, D er inkompatible, så bruker vi teoremet om addisjon av sannsynligheter for uforenlige hendelser: .

Eksempel 2 . En urne inneholder 4 hvite kuler og 6 svarte kuler. 3 kuler trekkes tilfeldig fra urnen. Hva er sannsynligheten for at de alle har samme farge?

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN\u003d (baller av samme farge tas ut);

B\u003d (hvite kuler tas ut);

C= (svarte kuler tas ut).

Fordi EN= B+ C og arrangementer I Og MED er inkompatible, deretter ved teoremet om addisjon av sannsynligheter for uforenlige hendelser
. Sannsynlighet for hendelse I er lik
, Hvor
4,

. Erstatning k Og n inn i formelen og få
På samme måte finner vi sannsynligheten for en hendelse MED:
, Hvor
,
, dvs.
. Deretter
.

Eksempel 3 . Fra en kortstokk med 36 kort trekkes 4 kort tilfeldig. Finn sannsynligheten for at det vil være minst tre ess blant dem.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN\u003d (blant de trukket kortene er det minst tre ess);

B\u003d (blant de trukket kortene er det tre ess);

C= (blant de trukket kortene er det fire ess).

Fordi EN= B+ C, og hendelsene I Og MED inkonsekvent altså
. La oss finne sannsynlighetene for hendelser I Og MED:

,
. Derfor er sannsynligheten for at det blant de trukket kortene er minst tre ess lik

0.0022.

Sannsynlighetsmultiplikasjon

arbeid to hendelser EN Og I kalt en hendelse MED, som består i felles forekomst av disse hendelsene:
. Denne definisjonen strekker seg til et hvilket som helst begrenset antall hendelser.

De to hendelsene kalles uavhengig dersom sannsynligheten for at en av dem inntreffer ikke avhenger av om den andre hendelsen inntraff eller ikke. arrangementer ,, … ,kalt kollektivt uavhengig , hvis sannsynligheten for at hver av dem inntreffer ikke avhenger av om andre hendelser har inntruffet eller ikke.

Eksempel 4 . To piler skyter mot et mål. La oss betegne hendelsene:

EN=(første skytter treffer målet);

B= (den andre skytteren traff målet).

Sannsynligheten for å treffe målet av den første skytteren avhenger selvsagt ikke av om den andre skytteren traff eller bommet, og omvendt. Derfor hendelsene EN Og I uavhengig.

Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser er gyldig: sannsynligheten for produktet av to uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene : .

Denne teoremet er også gyldig for n hendelser som samlet sett er uavhengige: .

Eksempel 5 . To skyttere skyter mot samme skive. Sannsynligheten for å treffe den første skytteren er 0,9, og den andre er 0,7. Begge skytterne avfyrer ett skudd samtidig. Bestem sannsynligheten for at det vil være to treff på målet.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN

B

C=(begge pilene vil treffe målet).

Fordi
, og hendelsene EN Og I uavhengig altså
, dvs..

arrangementer EN Og I kalt avhengig hvis sannsynligheten for at en av dem inntreffer avhenger av om den andre hendelsen inntraff eller ikke. Sannsynlighet for en hendelse EN forutsatt at arrangementet I den er allerede her, heter den betinget sannsynlighet og betegnet
eller
.

Eksempel 6 . En urne inneholder 4 hvite og 7 sorte kuler. Baller trekkes fra urnen. La oss betegne hendelsene:

EN=(hvit ball fjernet);

B=(svart ball fjernet).

Før du begynner å tegne kuler fra urnen
. En kule trekkes fra urnen og den viser seg å være svart. Deretter sannsynligheten for hendelsen EN etter arrangementet I vil være annerledes, lik . Dette betyr at sannsynligheten for en hendelse EN hendelsesavhengig I, dvs. disse hendelsene vil være avhengige.

Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser er gyldig: sannsynligheten for produktet av to avhengige hendelser er lik produktet av sannsynligheten for en av dem ved den betingede sannsynligheten for den andre, beregnet ut fra antakelsen om at den første hendelsen allerede har skjedd, dvs. eller.

Eksempel 7 . En urne inneholder 4 hvite kuler og 8 røde kuler. To baller trekkes tilfeldig fra den. Finn sannsynligheten for at begge kulene er svarte.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN=(svart ball trukket først);

B=(en svart kule trekkes som nummer to).

arrangementer EN Og I avhengig pga
, A
. Deretter
.

Eksempel 8 . Tre piler skyter mot målet uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for å treffe målet for den første skytteren er 0,5, for den andre - 0,6 og for den tredje - 0,8. Finn sannsynligheten for at to treff vil skje hvis hver skytter avfyrer ett skudd.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN=(det vil være to treff på målet);

B=(første skytter treffer målet);

C=(den andre skytteren vil treffe målet);

D=(den tredje skytteren vil treffe målet);

=(den første skytteren vil ikke treffe målet);

=(den andre skytteren vil ikke treffe målet);

=(den tredje skytteren vil ikke treffe målet).

I følge eksemplet
,
,
,

,
,
. Siden, ved å bruke addisjonsteoremet for sannsynlighetene for inkompatible hendelser og teoremet for å multiplisere sannsynlighetene for uavhengige hendelser, får vi:

La hendelsene
danne en komplett gruppe av hendelser av noen rettssak, og hendelsene EN kan bare skje med en av disse hendelsene. Hvis sannsynlighetene og betingede sannsynlighetene for hendelsen er kjent EN, så beregnes sannsynligheten for hendelse A ved hjelp av formelen:

eller
. Denne formelen kalles total sannsynlighetsformel , og hendelsene
hypoteser .

Eksempel 9 . Samlebåndet mottar 700 deler fra den første maskinen og 300 deler fra den andre. Den første maskinen gir 0,5% avslag, og den andre - 0,7%. Finn sannsynligheten for at varen som er tatt er defekt.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN=(varen som tas vil være defekt);

= (delen er laget på den første maskinen);

= (delen er laget på den andre maskinen).

Sannsynligheten for at delen ble laget på den første maskinen er
. For den andre maskinen
. Ved betingelsen er sannsynligheten for å få en defekt del laget på den første maskinen lik
. For den andre maskinen er denne sannsynligheten lik
. Deretter beregnes sannsynligheten for at delen som tas vil være defekt ved totalsannsynlighetsformelen

Hvis det er kjent at en hendelse har skjedd som et resultat av en test EN, så sannsynligheten for at denne hendelsen skjedde med hypotesen
, er lik
, Hvor
- total sannsynlighet for hendelsen EN. Denne formelen kalles Bayes formel og lar deg beregne sannsynlighetene for hendelser
etter at det ble kjent at hendelsen EN har allerede kommet.

Eksempel 10 . Deler av samme type til biler produseres på to fabrikker og går til butikken. Det første anlegget produserer 80% av det totale antall deler, og det andre - 20%. Produksjonen av det første anlegget inneholder 90% standarddeler, og det andre - 95%. Kjøper kjøpte en del og den viste seg å være standard. Finn sannsynligheten for at denne delen er laget i den andre fabrikken.

Løsning . La oss betegne hendelsene:

EN=(kjøpte en standard del);

= (delen er laget på den første fabrikken);

= (delen er laget på den andre fabrikken).

I følge eksemplet
,
,
Og
. Beregn den totale sannsynligheten for en hendelse EN: 0,91. Sannsynligheten for at delen er produsert ved det andre anlegget beregnes ved å bruke Bayes-formelen:

.

Arbeidsoppgaver for selvstendig arbeid

Sannsynligheten for å treffe målet for den første skytteren er 0,8, for den andre - 0,7 og for den tredje - 0,9. Skytterne avfyrte ett skudd. Finn sannsynligheten for at det er minst to treff på målet.

Verkstedet mottok 15 traktorer. Det er kjent at 6 av dem trenger å erstatte motoren, og resten - for å erstatte individuelle komponenter. Tre traktorer er tilfeldig valgt. Finn sannsynligheten for at ikke mer enn to utvalgte traktorer trenger en motorbytte.

Betonganlegget produserer paneler, hvorav 80 % er av høyeste kvalitet. Finn sannsynligheten for at av tre tilfeldig utvalgte paneler vil minst to ha høyeste karakter.

Tre arbeidere monterer lagre. Sannsynligheten for at lageret satt sammen av den første arbeideren er av høyeste kvalitet er 0,7, det andre - 0,8 og det tredje - 0,6. For kontroll ble ett lager tatt tilfeldig fra de som ble satt sammen av hver arbeider. Finn sannsynligheten for at minst to av dem er av høyeste kvalitet.

Sannsynligheten for å vinne på en lottokupong i den første utgaven er 0,2, den andre - 0,3 og den tredje - 0,25. Det er én billett til hver utgave. Finn sannsynligheten for at minst to billetter vinner.

Regnskapsføreren utfører beregninger ved hjelp av tre oppslagsverk. Sannsynligheten for at dataene som er av interesse for ham er i den første katalogen er 0,6, i den andre - 0,7 og i den tredje - 0,8. Finn sannsynligheten for at dataene som er av interesse for regnskapsføreren finnes i ikke mer enn to kataloger.

Tre maskiner lager deler. Den første automaten produserer en del av høyeste kvalitet med en sannsynlighet på 0,9, den andre med en sannsynlighet på 0,7 og den tredje med en sannsynlighet på 0,6. Ett element tas tilfeldig fra hver maskin. Finn sannsynligheten for at minst to av dem er av høyeste kvalitet.

Samme type deler behandles på to maskiner. Sannsynligheten for å produsere en ikke-standard del for den første maskinen er 0,03, for den andre - 0,02. De behandlede delene er stablet på ett sted. Blant dem er 67% fra den første maskinen, og resten fra den andre. En tilfeldig deltatt viste seg å være standard. Finn sannsynligheten for at den ble laget på den første maskinen.

Verkstedet fikk to esker av samme type kondensatorer. Den første boksen inneholdt 20 kondensatorer, hvorav 2 var defekte. I den andre boksen er det 10 kondensatorer, hvorav 3 er defekte. Kondensatorer ble overført til en boks. Finn sannsynligheten for at en kondensator tatt tilfeldig fra boksen er god.

På tre maskiner lages samme type deler som mates til en felles transportør. Blant alle detaljene, 20 % fra den første maskinen, 30 % fra den andre og 505 fra den tredje. Sannsynligheten for å produsere en standarddel på den første maskinen er 0,8, på den andre - 0,6 og på den tredje - 0,7. Delen som ble tatt var standard. Finn sannsynligheten for at denne delen er laget på den tredje maskinen.

Plukkeren mottar 40 % av delene fra fabrikken for montering EN, og resten - fra fabrikken I. Sannsynligheten for at delen fra fabrikken EN- høyeste kvalitet, lik 0,8, og fra fabrikk I– 0,9. Plukkeren tok tilfeldig én del, og den var ikke av høyeste kvalitet. Finn sannsynligheten for at denne delen er fra fabrikk I.

10 elever fra den første gruppen og 8 elever fra den andre ble valgt ut til å delta i studentidrettskonkurranser. Sannsynligheten for at en student fra den første gruppen kommer inn på landslaget til akademiet er 0,8, og fra den andre - 0,7. En tilfeldig valgt elev ble tatt ut på landslaget. Finn sannsynligheten for at han er fra den første gruppen.

Bernoulli formel

Testene kalles uavhengig , hvis for hver av dem hendelsen EN skjer med samme sannsynlighet
, uavhengig av om denne hendelsen dukket opp eller ikke dukket opp i andre rettssaker. Sannsynlighet for motsatt hendelse i dette tilfellet lik
.

Eksempel 11 . Kaster en terning n en gang. Angi hendelsen EN= (slipper tre poeng). Sannsynlighet for en hendelse EN i hvert forsøk er lik og avhenger ikke av om denne hendelsen skjedde eller ikke skjedde i andre forsøk. Derfor er disse testene uavhengige. Sannsynlighet for motsatt hendelse
(ikke rullende tre poeng) er lik
.

Sannsynligheten for at i n uavhengige forsøk, i hver av disse er sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN er lik s, vil hendelsen inntreffe nøyaktig k ganger (uansett i hvilken rekkefølge), beregnes av formelen
, Hvor
. Denne formelen kalles Bernoulli formel og det er praktisk hvis antallet forsøk n ikke er for stort.

Eksempel 12 . Andelen fostre som er smittet med sykdommen i latent form er 25 %. 6 frukter er tilfeldig valgt. Finn sannsynligheten for at det blant de utvalgte vil være: a) nøyaktig 3 infiserte fostre; b) ikke mer enn to infiserte frukter.

Løsning . I følge eksemplet.

a) I følge Bernoulli-formelen er sannsynligheten for at nøyaktig tre av de seks utvalgte fruktene blir infisert lik

0.132.

b) Angi hendelsen EN=(infisert vil ikke være mer enn to fostre). Deretter . I følge Bernoulli-formelen:

0.297.

Derfor,
0.178+0.356+0.297=0.831.

Teoremer fra Laplace og Poisson

Bernoulli-formelen brukes til å finne sannsynligheten for at en hendelse EN Skal komme k en gang en n uavhengige forsøk og i hver rettssak sannsynligheten for en hendelse EN konstant. For store verdier av n blir beregninger med Bernoulli-formelen tidkrevende. I dette tilfellet, for å beregne sannsynligheten for en hendelse EN det er bedre å bruke en annen formel.

Lokal Laplace-teorem . La sannsynligheten s begivenhet EN i hver test er konstant og forskjellig fra null og én. Deretter sannsynligheten for at hendelsen EN kommer akkurat k ganger for et tilstrekkelig stort antall n forsøk, beregnes av formelen

, Hvor
, og verdiene til funksjonen
er gitt i tabellen.

Hovedegenskapene til funksjonen
er:

Funksjon
er definert og kontinuerlig i intervallet
.

Funksjon
er positiv, dvs.
>0.

Funksjon
selv, dvs.
.

Siden funksjonen
er jevn, viser tabellen verdiene kun for positive verdier X.

Eksempel 13 . Spiring av hvetefrø er 80%. 100 frø er valgt ut til forsøket. Finn sannsynligheten for at nøyaktig 90 av de valgte frøene vil spire.

Løsning . I følge eksemplet n=100, k=90, s=0.8, q=1-0,8=0,2. Deretter
. I følge tabellen finner vi verdien av funksjonen
:
. Sannsynligheten for at nøyaktig 90 av de valgte frøene vil spire er
0.0044.

Når man løser praktiske problemer, blir det nødvendig å finne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer EN på n uavhengige tester minst en gang og ikke mer en gang. Dette problemet løses med hjelp Laplace integralteorem : La sannsynligheten s begivenhet EN i hver av n uavhengige tester er konstante og forskjellige fra null og enhet. Da er sannsynligheten for at hendelsen inntreffer minst en gang og ikke mer ganger for et tilstrekkelig stort antall tester, beregnes av formelen

Hvor
,
.

Funksjon
kalt Laplace funksjon og er ikke uttrykt i form av elementære funksjoner. Verdiene til denne funksjonen er gitt i spesielle tabeller.

Hovedegenskapene til funksjonen
er:

.

Funksjon
øker i intervallet
.

på
.

Funksjon
merkelig, dvs.
.

Eksempel 14 . Selskapet produserer produkter, hvorav 13 % ikke er av høyeste kvalitet. Bestem sannsynligheten for at i en uprøvd batch på 150 enheter av høyeste kvalitetsprodukt vil det være minst 125 og maksimalt 135.

Løsning . La oss betegne . Beregn
,

På For å estimere sannsynligheten for at en tilfeldig hendelse skal inntreffe, er det svært viktig å ha en god idé på forhånd om sannsynligheten () for at hendelsen som er av interesse for oss, avhenger av hvordan andre hendelser utvikler seg.

Når det gjelder det klassiske opplegget, når alle utfall er like sannsynlige, kan vi allerede estimere sannsynlighetsverdiene for den individuelle hendelsen av interesse for oss på egen hånd. Vi kan gjøre dette selv om arrangementet er en kompleks samling av flere elementære utfall. Og om flere tilfeldige hendelser skjer samtidig eller etter hverandre? Hvordan påvirker dette sannsynligheten for at arrangementet er av interesse for oss?

Hvis jeg kaster en terning et par ganger og jeg ønsker å få en sekser og jeg alltid er uheldig, betyr det at jeg bør øke innsatsen min fordi jeg, ifølge sannsynlighetsteorien, er i ferd med å være heldig? Akk, sannsynlighetsteori sier ikke noe slikt. Ingen terninger, ingen kort, ingen mynter husker ikke det de viste oss forrige gang. Det spiller ingen rolle for dem i det hele tatt om jeg for første gang eller for tiende gang i dag tester skjebnen min. Hver gang jeg ruller igjen, vet jeg bare én ting: og denne gangen er sannsynligheten for å rulle en «sekser» igjen en sjettedel. Dette betyr selvfølgelig ikke at tallet jeg trenger aldri vil falle ut. Det betyr bare at tapet mitt etter det første kastet og etter ethvert annet kast er uavhengige hendelser.

Hendelser A og B kalles uavhengig, hvis implementeringen av en av dem ikke påvirker sannsynligheten for den andre hendelsen på noen måte. Sannsynlighetene for å treffe et mål med den første av to våpen avhenger for eksempel ikke av om den andre pistolen treffer målet, så hendelsene "den første pistolen traff målet" og "den andre pistolen traff målet" er uavhengige.

Hvis to hendelser A og B er uavhengige, og sannsynligheten for hver av dem er kjent, kan sannsynligheten for samtidig forekomst av både hendelse A og hendelse B (angitt med AB) beregnes ved å bruke følgende teorem.

Sanfor uavhengige hendelser

P(AB) = P(A)*P(B)- sannsynlighet samtidig to uavhengig hendelser er arbeid sannsynlighetene for disse hendelsene.

Eksempel.Sannsynlighetene for å treffe målet ved avfyring av den første og andre pistolen er henholdsvis like: p 1 =0,7; p2 = 0,8. Finn sannsynligheten for å treffe med én volley med begge våpen samtidig.

Løsning: Som vi allerede har sett, er hendelsene A (truffet av den første pistolen) og B (truffet av den andre pistolen) uavhengige, dvs. P (AB) \u003d P (A) * P (B) \u003d p 1 * p 2 \u003d 0,56.

Hva skjer med våre estimater hvis de initierende hendelsene ikke er uavhengige? La oss endre det forrige eksemplet litt.

Eksempel.To skyttere i en konkurranse skyter på mål, og hvis en av dem skyter nøyaktig, begynner motstanderen å bli nervøs, og resultatene hans forverres. Hvordan gjøre denne hverdagssituasjonen til et matematisk problem og skissere måter å løse det på? Det er intuitivt klart at det på en eller annen måte er nødvendig å skille de to scenariene for utviklingen av hendelser, for å komponere, faktisk, to scenarier, to forskjellige oppgaver. I det første tilfellet, hvis motstanderen bommer, vil scenariet være gunstig for den nervøse idrettsutøveren og hans nøyaktighet vil være høyere. I det andre tilfellet, hvis motstanderen anstendig innså sjansen sin, reduseres sannsynligheten for å treffe målet for den andre utøveren.

For å skille de mulige scenariene (de kalles ofte hypoteser) for utviklingen av hendelser, vil vi ofte bruke "sannsynlighetstreet"-skjemaet. Dette diagrammet ligner i betydningen beslutningstreet, som du sannsynligvis allerede har måttet forholde deg til. Hver gren er et eget scenario, bare nå har den sin egen betydning av den såkalte betinget sannsynligheter (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).

Denne ordningen er veldig praktisk for analyse av påfølgende tilfeldige hendelser.

Det gjenstår å avklare et viktig spørsmål: hvor kommer startverdiene til sannsynlighetene inn reelle situasjoner ? Tross alt fungerer ikke sannsynlighetsteorien med de samme myntene og terningene, gjør den vel? Vanligvis er disse estimatene hentet fra statistikk, og når statistikk ikke er tilgjengelig, utfører vi vår egen forskning. Og vi må ofte starte det ikke med å samle inn data, men med spørsmålet om hvilken informasjon vi generelt trenger.

Eksempel.I en by med 100 000 innbyggere, anta at vi må anslå størrelsen på markedet for et nytt ikke-essensielt produkt, for eksempel en fargebehandlet hårbalsam. La oss vurdere ordningen med "sannsynlighetenes tre". I dette tilfellet må vi omtrent estimere verdien av sannsynligheten på hver "gren". Så våre estimater av markedskapasitet:

1) 50 % av alle innbyggerne i byen er kvinner,

2) av alle kvinner farger bare 30 % håret ofte,

3) av disse bruker bare 10 % balsam for farget hår,

4) av disse er det bare 10 % som kan samle motet til å prøve et nytt produkt,

5) 70 % av dem kjøper vanligvis ikke alt fra oss, men fra våre konkurrenter.

Løsning: I henhold til loven om multiplikasjon av sannsynligheter, bestemmer vi sannsynligheten for hendelsen av interesse for oss A \u003d (en byboer kjøper denne nye balsamen fra oss) \u003d 0,00045.

Multipliser denne sannsynlighetsverdien med antall innbyggere i byen. Som et resultat har vi bare 45 potensielle kjøpere, og gitt at ett hetteglass med dette produktet varer i flere måneder, er handelen ikke særlig livlig.

Likevel er det fordeler med våre vurderinger.

For det første kan vi sammenligne prognosene til forskjellige forretningsideer, de vil ha forskjellige "gafler" på diagrammene, og selvfølgelig vil sannsynlighetsverdiene også være forskjellige.

For det andre, som vi allerede har sagt, kalles ikke en tilfeldig variabel tilfeldig fordi den ikke er avhengig av noe i det hele tatt. Bare henne nøyaktig verdien er ikke kjent på forhånd. Vi vet at gjennomsnittlig antall kjøpere kan økes (for eksempel ved å annonsere for et nytt produkt). Så det er fornuftig å fokusere på de "gaflene" der fordelingen av sannsynligheter ikke passer oss spesielt, på de faktorene vi er i stand til å påvirke.

Tenk på et annet kvantitativt eksempel på forbrukeratferdsforskning.

Eksempel. Et gjennomsnitt på 10 000 mennesker besøker matmarkedet per dag. Sannsynligheten for at en markedsbesøkende går inn i en meieripaviljong er 1/2. Det er kjent at i denne paviljongen selges det i gjennomsnitt 500 kg forskjellige produkter per dag.

Kan det argumenteres for at gjennomsnittskjøpet i paviljongen bare veier 100 g?

Diskusjon. Selvfølgelig ikke. Det er tydelig at ikke alle som kom inn i paviljongen endte opp med å kjøpe noe der.

Som vist i diagrammet, for å svare på spørsmålet om gjennomsnittlig kjøpevekt, må vi finne svaret på spørsmålet, hva er sannsynligheten for at en person som går inn i paviljongen kjøper noe der. Hvis vi ikke har slike data til rådighet, men vi trenger dem, må vi skaffe dem selv, etter å ha observert de besøkende på paviljongen en stund. Anta at våre observasjoner viser at bare en femtedel av de besøkende til paviljongen kjøper noe.

Så snart disse estimatene er innhentet av oss, blir oppgaven allerede enkel. Av de 10 000 personene som kom til markedet skal 5 000 til paviljongen med meieriprodukter, det blir kun 1000 kjøp Gjennomsnittlig kjøpsvekt er 500 gram. Det er interessant å merke seg at for å bygge et fullstendig bilde av hva som skjer, må logikken til betinget "forgrening" defineres på hvert trinn av resonnementet vårt like klart som om vi jobbet med en "konkret" situasjon, og ikke med sannsynligheter.

Oppgaver for selvtest

1. La det være en elektrisk krets bestående av n seriekoblede elementer, som hver fungerer uavhengig av de andre.

Sannsynligheten p for ikke-svikt for hvert element er kjent. Bestem sannsynligheten for riktig drift av hele delen av kretsen (hendelse A).

2. Studenten kan 20 av de 25 eksamensoppgavene. Finn sannsynligheten for at studenten kan de tre spørsmålene som sensor har gitt ham.

3. Produksjonen består av fire påfølgende stadier, som hver driver utstyr hvor sannsynlighetene for feil innen neste måned er henholdsvis p 1 , p 2 , p 3 og p 4 . Finn sannsynligheten for at det om en måned ikke blir produksjonsstans på grunn av utstyrssvikt.

Det kan være vanskelig å direkte telle sakene som favoriserer en gitt hendelse. Derfor, for å bestemme sannsynligheten for en hendelse, er det fordelaktig å representere en gitt hendelse som en kombinasjon av noen andre, enklere hendelser. I dette tilfellet må man imidlertid kjenne til reglene som sannsynlighetene følger når en kombinasjon av hendelser inntreffer. Det er til disse reglene teoremene nevnt i avsnittets tittel refererer.

Den første av disse gjelder å beregne sannsynligheten for at minst én av flere hendelser vil inntreffe.

Addisjonsteorem.

La A og B være to uforenlige hendelser. Da er sannsynligheten for at minst én av disse to hendelsene vil skje lik summen av sannsynlighetene deres:

Bevis. La være en komplett gruppe av parvise uforenlige hendelser. Hvis det da blant disse elementære hendelsene er nøyaktig hendelser som er gunstige for A, og nøyaktig hendelser som er gunstige for B. Siden hendelsene A og B er uforenlige, kan ingen av hendelsene favorisere begge disse hendelsene. Hendelsen (A eller B), som består i det faktum at minst én av disse to hendelsene inntreffer, er åpenbart favorisert av både hver av hendelsene som er gunstige for A, og hver av hendelsene

Gunstig B. Derfor er det totale antallet hendelser som er gunstige for hendelsen (A eller B) lik summen som følger av:

Q.E.D.

Det er lett å se at addisjonsteoremet formulert ovenfor for tilfellet med to hendelser lett kan overføres til tilfellet med et hvilket som helst begrenset antall av dem. Nemlig hvis parvise uforenlige hendelser, da

For tre hendelser kan man for eksempel skrive

En viktig konsekvens av addisjonsteoremet er utsagnet: hvis hendelser er parvis inkompatible og unikt mulig, da

Faktisk er hendelsen enten eller eller ved antagelse sikker og sannsynligheten, som angitt i § 1, er lik én. Spesielt hvis to innbyrdes motsatte hendelser betyr, da

La oss illustrere addisjonsteoremet med eksempler.

Eksempel 1. Når du skyter på en skive, er sannsynligheten for et utmerket skudd 0,3, og sannsynligheten for å gjøre et godt skudd er 0,4. Hva er sannsynligheten for å få minst "bra" for et skudd?

Løsning. Hvis hendelse A betyr å få en utmerket karakter, og hendelse B betyr å få en god karakter, da

Eksempel 2. En urne som inneholder hvite, røde og svarte kuler inneholder hvite kuler og jeg røde. Hva er sannsynligheten for å tegne en ikke-svart ball?

Løsning. Hvis hendelse A er utseendet til en hvit ball, og hendelse B er en rød ball, er utseendet til en ball ikke svart

betyr utseendet til enten en hvit eller rød ball. Siden per definisjon av sannsynlighet

da, ved addisjonsteoremet, er sannsynligheten for utseendet til en ikke-svart ball lik;

Dette problemet kan løses på denne måten. La hendelsen C bestå i utseendet til en svart ball. Antallet svarte kuler er lik slik at P (C) Utseendet til en ikke-svart ball er den motsatte hendelsen C, derfor har vi, basert på konsekvensen ovenfor fra addisjonsteoremet:

som før.

Eksempel 3. I et kontant- og kleslotteri, for en serie på 1000 lodd, er det 120 kontanter og 80 klesgevinster. Hva er sannsynligheten for en gevinst per lottokupong?

Løsning. Hvis vi utpeker gjennom A en hendelse som består i tap av en pengegevinst og gjennom B - en begivenhet, så følger det av definisjonen av sannsynlighet

Hendelsen av interesse for oss er (A eller B), så addisjonsteoremet tilsier

Dermed er sannsynligheten for en eventuell gevinst 0,2.

Før du går videre til neste teorem, er det nødvendig å gjøre deg kjent med et nytt viktig konsept - begrepet betinget sannsynlighet. For dette formålet vil vi starte med å se på følgende eksempel.

Anta at det er 400 lyspærer på lageret, laget i to forskjellige fabrikker, hvor den første produserer 75 % av alle lyspærer, og den andre - 25 %. Anta at blant pærene som produseres av den første fabrikken, oppfyller 83% betingelsene for en viss standard, og for produktene fra den andre fabrikken er denne prosentandelen 63. La oss bestemme sannsynligheten for at en lyspære som er tilfeldig tatt fra lageret, vil oppfylle standardens vilkår.

Merk at det totale antallet tilgjengelige standardpærer består av pærer laget først.

fabrikk, og 63 pærer laget av den andre fabrikken, det vil si lik 312. Siden valget av en hvilken som helst pære bør anses som like mulig, har vi 312 gunstige tilfeller av 400, slik at

hvor hendelse B er at pæren vi har valgt er standard.

I denne beregningen ble det ikke gjort noen forutsetninger om produksjonen av hvilken fabrikk lyspæren vi valgte tilhører. Hvis det gjøres noen forutsetninger av denne typen, er det åpenbart at sannsynligheten for interesse for oss kan endre seg. Så, for eksempel, hvis det er kjent at den valgte lyspæren ble produsert på den første fabrikken (hendelse A), vil sannsynligheten for at den er standard ikke lenger være 0,78, men 0,83.

Denne typen sannsynlighet, det vil si sannsynligheten for en hendelse B, forutsatt at hendelsen A finner sted, kalles den betingede sannsynligheten for hendelsen B, forutsatt at hendelsen A inntreffer og betegner

Hvis vi i forrige eksempel betegner med A hendelsen at den valgte pæren er laget i den første fabrikken, kan vi skrive

Nå kan vi formulere et viktig teorem knyttet til beregningen av sannsynligheten for sammenfall av hendelser.

Multiplikasjonsteorem.

Sannsynligheten for å kombinere hendelser A og B er lik produktet av sannsynligheten for en av hendelsene med den betingede sannsynligheten for den andre, forutsatt at den første fant sted:

I dette tilfellet forstås kombinasjonen av hendelser A og B som forekomsten av hver av dem, det vil si forekomsten av både hendelser A og hendelser B.

Bevis. Vurder en komplett gruppe av like mulige parvise inkompatible hendelser, som hver kan være gunstig eller ugunstig for både hendelse A og hendelse B.

La oss dele alle disse hendelsene inn i fire forskjellige grupper som følger. Den første gruppen inkluderer de hendelsene som favoriserer både hendelse A og hendelse B; den andre og tredje gruppen inkluderer slike hendelser som favoriserer en av de to hendelsene av interesse for oss og ikke favoriserer den andre, for eksempel den andre gruppen - de som favoriserer A, men ikke favoriserer B, og den tredje - de som favoriserer B, men ikke favoriserer A; endelig til

Den fjerde gruppen inkluderer de av hendelsene som ikke favoriserer verken A eller B.

Siden nummereringen av hendelser ikke spiller noen rolle, kan vi anta at denne inndelingen i fire grupper ser slik ut:

Jeg grupperer:

II gruppe:

III gruppe:

IV gruppe:

Således, blant like mulige og parvis inkompatible hendelser, er det hendelser som favoriserer både hendelse A og hendelse B, I-hendelser som favoriserer hendelse A, men ikke favoriserer hendelsen, hendelser som favoriserer B, men ikke favoriserer A, og til slutt , hendelser som ikke favoriserer verken A eller B.

Merk forresten at noen av de fire gruppene vi har vurdert (og til og med mer enn én) kanskje ikke inneholder en enkelt hendelse. I dette tilfellet vil det tilsvarende tallet, som indikerer antall hendelser i en slik gruppe, være lik null.

Vår gruppering lar oss skrive umiddelbart

for kombinasjonen av hendelser A og B favoriseres av hendelsene i den første gruppen og bare av dem. Det totale antallet hendelser som er gunstige for A er lik det totale antallet hendelser i den første og andre gruppen, og gunstig for B er lik det totale antallet hendelser i den første og tredje gruppen.

Vi beregner nå sannsynligheten, det vil si sannsynligheten for hendelse B, forutsatt at hendelse A fant sted. Nå forsvinner hendelsene som er inkludert i den tredje og fjerde gruppen, siden deres utseende ville motsi forekomsten av hendelse A, og antallet mulige tilfeller er ikke lenger lik . Av disse favoriseres hendelse B bare av hendelsene i den første gruppen, så vi får:

For å bevise teoremet, er det nok nå å skrive den åpenbare identiteten:

og erstatte alle tre brøkene i den med sannsynlighetene beregnet ovenfor. Vi kommer til likheten angitt i teoremet:

Det er klart at identiteten vi har skrevet ovenfor gir mening bare hvis A alltid er sann, med mindre A er en umulig hendelse.

Siden hendelsene A og B er like, ved å bytte dem, får vi en annen form for multiplikasjonsteoremet:

Imidlertid kan denne likheten oppnås på samme måte som den forrige, hvis vi merker at ved å bruke identiteten

Ved å sammenligne høyresiden av de to uttrykkene for sannsynligheten P(A og B), får vi en nyttig likhet:

La oss nå vurdere eksempler som illustrerer multiplikasjonsteoremet.

Eksempel 4. I produktene til noen bedrifter er 96 % av produktene anerkjent som passende (hendelse A). Første klasse (arrangement B) eies av 75 gjenstander av hver hundre som passer. Bestem sannsynligheten for at et vilkårlig tatt produkt vil være egnet og tilhører første klasse.

Løsning. Ønsket sannsynlighet er sannsynligheten for å kombinere hendelser A og B. I henhold til betingelsen har vi: . Så multiplikasjonssetningen gir

Eksempel 5. Sannsynligheten for å treffe målet med et enkelt skudd (hendelse A) er 0,2. Hva er sannsynligheten for å treffe målet hvis 2 % av sikringene svikter (dvs. i 2 % av tilfellene slår ikke skuddet

Løsning. La hendelsen B være at skuddet vil skje, og B være den motsatte hendelsen. Deretter ved antagelse og i henhold til konsekvensen av addisjonsteoremet . Videre i henhold til tilstanden

Å treffe målet betyr kombinasjonen av hendelser A og B (skuddet vil inntreffe og gi et treff), derfor i henhold til multiplikasjonsteoremet

Et viktig spesialtilfelle av multiplikasjonsteoremet kan oppnås ved å bruke begrepet uavhengighet av hendelser.

To hendelser sies å være uavhengige dersom sannsynligheten for en av dem ikke endres som følge av om den andre inntreffer eller ikke.

Eksempler på uavhengige hendelser er tap av et annet antall poeng når en terning kastes igjen eller en eller annen side av myntene når en mynt kastes igjen, siden det er åpenbart at sannsynligheten for at et våpenskjold faller ut på andre kast er lik uansett om våpenskjoldet falt eller ikke falt i det første.

På samme måte avhenger ikke sannsynligheten for å trekke en hvit kule en gang til fra en urne med hvite og svarte kuler, hvis den første kulen som ble trukket først er returnert, av om den hvite eller svarte ballen ble trukket første gang. Derfor er resultatene av første og andre uttak uavhengige av hverandre. Omvendt, hvis ballen som trekkes først ikke går tilbake til urnen, avhenger resultatet av den andre fjerningen av den første, fordi sammensetningen av ballene i urnen etter den første fjerningen endres avhengig av resultatet. Her har vi et eksempel på avhengige hendelser.

Ved å bruke notasjonen brukt for betingede sannsynligheter, kan vi skrive betingelsen for uavhengighet av hendelser A og B i skjemaet

Ved å bruke disse likhetene kan vi bringe multiplikasjonsteoremet for uavhengige hendelser til følgende form.

Hvis hendelser A og B er uavhengige, er sannsynligheten for kombinasjonen deres lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene:

Det er faktisk tilstrekkelig å legge inn det opprinnelige uttrykket for multiplikasjonssetningen, som følger av hendelsenes uavhengighet, og vi oppnår den nødvendige likheten.

La oss nå vurdere flere hendelser: Vi vil kalle dem uavhengige i summen hvis sannsynligheten for at noen av dem inntreffer ikke avhenger av om andre aktuelle hendelser har skjedd eller ikke

Når det gjelder hendelser som er uavhengige i aggregatet, kan multiplikasjonssetningen utvides til et hvilket som helst endelig antall av dem, på grunn av dette kan det formuleres som følger:

Sannsynligheten for å kombinere hendelser uavhengige i aggregatet er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene:

Eksempel 6. En arbeider vedlikeholder tre automatiske maskiner, som hver må kontaktes for å feilsøke hvis maskinen stopper. Sannsynligheten for at den første maskinen ikke stopper innen en time er 0,9. Den samme sannsynligheten for den andre maskinen er 0,8 og for den tredje - 0,7. Bestem sannsynligheten for at arbeideren innen en time ikke trenger å gå til noen av maskinene han betjener.

Eksempel 7. Sannsynlighet for å skyte ned et fly med et geværskudd Hva er sannsynligheten for å ødelegge et fiendtlig fly hvis 250 rifler avfyres samtidig?

Løsning. Sannsynligheten for at flyet ikke vil bli skutt ned med et enkelt skudd, i henhold til addisjonsteoremet, er Deretter, ved å bruke multiplikasjonssetningen, kan sannsynligheten for at flyet ikke blir skutt ned med 250 skudd beregnes som sannsynligheten for å kombinere arrangementer. Det er lik. Etter det kan vi bruke addisjonsteoremet igjen og finne sannsynligheten for at flyet vil bli skutt ned som sannsynligheten for den motsatte hendelsen

Dette viser at selv om sannsynligheten for å skyte ned et fly med et enkelt rifleskudd er ubetydelig, er likevel sannsynligheten for å skyte ned et fly svært håndgripelig ved skyting fra 250 rifler. Det øker betydelig hvis antall rifler økes. Så når du skyter fra 500 rifler, er sannsynligheten for å skyte ned et fly, som det er lett å beregne, lik når du skyter fra 1000 rifler - til og med.

Multiplikasjonsteoremet som er bevist ovenfor, lar oss utvide addisjonsteoremet noe ved å utvide det til å gjelde kompatible hendelser. Det er klart at hvis hendelsene A og B er kompatible, så er sannsynligheten for forekomsten av minst en av dem ikke lik summen av sannsynlighetene deres. For eksempel hvis hendelse A betyr et partall

antall poeng når du kaster en terning, og hendelse B er tap av et antall poeng som er et multiplum av tre, så favoriseres hendelsen (A eller B) av tap på 2, 3, 4 og 6 poeng , det er

På den annen side, altså. Så i dette tilfellet

Dette viser at ved kompatible hendelser må sannsynlighetsaddisjonsteoremet endres. Som vi nå skal se, kan den formuleres på en slik måte at den er gyldig for både kompatible og uforenlige hendelser, slik at addisjonsteoremet som er vurdert tidligere viser seg å være et spesialtilfelle av den nye.

Hendelser som ikke favoriserer A.

Alle elementære hendelser som favoriserer en begivenhet (A eller B) må favorisere enten bare A, eller bare B, eller både A og B. Dermed er det totale antallet slike hendelser lik

og sannsynligheten

Q.E.D.

Ved å bruke formel (9) på eksemplet ovenfor på tap av antall poeng når du kaster en terning, får vi:

som sammenfaller med resultatet av direkte beregning.

Åpenbart er formel (1) et spesialtilfelle av (9). Faktisk, hvis hendelser A og B er uforenlige, er sannsynligheten for tilfeldighet

eksempel. To sikringer er koblet i serie i en elektrisk krets. Sannsynligheten for feil på den første sikringen er 0,6, og den andre er 0,2. La oss bestemme sannsynligheten for et strømbrudd som følge av feil på minst en av disse sikringene.

Løsning. Siden hendelser A og B, som består i svikt i den første og andre av sikringene, er kompatible, bestemmes den ønskede sannsynligheten av formel (9):

Øvelser

Emne: 15. TEORIENS HOVEDTEOREMER

SANNSYNLIGHETER OG DERES KONSEKVENSER

1. Teoremet om addisjon av sannsynligheter for felles hendelser.

2. Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for uavhengige hendelser.

3. Betinget sannsynlighet for en hendelse. Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser.

4. Teoremet om addisjon av sannsynligheter for felles hendelser.

5. Total sannsynlighetsformel, Bayes-formel.

6. Repetisjon av tester.

1. Teoremet om addisjon av sannsynligheter for felles hendelser.

sum av flere hendelser kalles en hendelse som består i forekomsten av minst én av disse hendelsene.

Hvis hendelser A og B er felles, indikerer summen A + B forekomsten av enten hendelse A eller hendelse B, eller begge hendelsene sammen. Hvis A og B er inkompatible hendelser, betyr summen deres A + B forekomsten av enten hendelse A eller hendelse B.

arbeid to hendelser A og B kalles hendelsen AB, som består i felles forekomst av disse hendelsene.

Teorem: Sannsynligheten for forekomsten av en av to uforenlige hendelser, uansett hvilken, er lik summen av sannsynlighetene for disse hendelsene

P (A + B) \u003d P (A) + P (B).

Konsekvens: Summen av sannsynlighetene for uforenlige hendelser А 1 ,...,А n , som danner en komplett gruppe, er lik én:

P (A 1) + P (A 2) + ... + P (A n) \u003d 1

2. Sannsfor uavhengige

arrangementer .

De to hendelsene kalles uavhengig dersom sannsynligheten for at en av dem inntreffer ikke avhenger av om den andre hendelsen inntraff eller ikke fant sted.

Flere hendelser kalles gjensidig uavhengige (eller gjensidig uavhengige) hvis hver av dem og enhver kombinasjon som består av resten (deler eller alle) av hendelsene er uavhengige hendelser.

Hvis hendelsene А 1 ,А 2 ,...,А n er gjensidig uavhengige, så er deres motsatte hendelser også gjensidig uavhengige.

Teorem: Sannsynligheten for å produsere flere gjensidig uavhengige hendelser er lik produktet av sannsynlighetene for disse hendelsene .

P(A 1 EN 2 ,...EN n ) = P(A 1 )  P(A 2 )  ...  P(A n )

For to hendelser P(AB) = P(A)  P(B)

Oppgave. To merchandisere jobber uavhengig av hverandre. Sannsynligheten for å hoppe over et defekt produkt av den første selgeren er 0,1; den andre 0,2. Hva er sannsynligheten for at begge selgerne ikke vil gå glipp av ekteskapet når de ser på produktet.

Løsning: hendelse A - handelsmannen Jeg savnet ekteskapet, hendelse B - handelsmannen II savnet ekteskapet.

Der hendelse A - ekteskap ikke vil gå glipp av I merchandiser,

begivenhet B - ekteskap vil ikke gå glipp av II merchandiser.

Siden begge jobber uavhengig av hverandre, så er A og B uavhengige hendelser.

3. Betinget sannsynlighet for en hendelse. Teoremet om multiplikasjon av sannsynligheter for avhengige hendelser.

Hendelse B kalles avhengig fra hendelse A, hvis forekomsten av hendelse A endrer sannsynligheten for at hendelse B inntreffer.

Sannsynligheten for hendelse B, funnet under forutsetning av at hendelse A skjedde, kalles betinget sannsynlighet hendelse B og er betegnet med P A (B).

Teorem : Sannsynligheten for felles forekomst av to avhengige hendelser A og B er lik produktet av sannsynligheten for en av dem ved den betingede sannsynligheten for den andre, funnet under antagelsen om at den første hendelsen allerede har skjedd, dvs.

P(AB) = P(A) R EN (B) eller P (AB) \u003d P (B) P I (EN)

Sannskan utvides til et hvilket som helst antall m av avhengige hendelser А 1 А 2 ...А m .

P(A 1 EN 2 ..EN m )=P(A 1 ) 

og sannsynligheten for neste hendelse beregnes ut fra en antagelse om at alle de foregående har skjedd.

Oppgave. Esken inneholder 2 hvite og 3 blå penner. To penner tas ut av esken på rad. Finn sannsynligheten for at begge pennene er hvite.

Løsning: hendelse A - begge pennene er hvite, hendelse B - utseendet til den første hvite pennen, hendelse C - utseendet til den andre hvite pennen.

Deretter A=B MED.

Siden den første pennen ikke returneres til esken, dvs. sammensetningen av boksen har endret seg, da er hendelsene B og C avhengige.

P (B) \u003d 2/5; Sannsynligheten for hendelsen C finner vi under antakelsen om at B allerede har skjedd, dvs. P B (C) \u003d ¼.

Ønsket sannsynlighet