Trigonometri er forklart i detalj helt fra begynnelsen. Leksjoner: Trigonometri

Det var en gang på skolen et eget kurs for studiet av trigonometri. Sertifikatet inneholdt karakterer i tre matematiske disipliner: algebra, geometri og trigonometri.

Da, som en del av skoleopplæringsreformen, sluttet trigonometri å eksistere som et eget fag. I en moderne skole skjer det første bekjentskapet med trigonometri i geometrikurset i 8. klasse. En mer dyptgående studie av emnet fortsetter i 10. klasses algebrakurs.

Definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens er først gitt i geometri gjennom forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant.

Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen.

Cosinus Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og hypotenusen.

Tangent Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side.

Cotangens Den spisse vinkelen i en rettvinklet trekant er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden.

Disse definisjonene gjelder kun for spisse vinkler (0º til 90º).

For eksempel,

i trekant ABC, hvor ∠C=90°, BC er benet motsatt vinkel A, AC er benet ved siden av vinkel A, AB er hypotenusen.

Algebrakurset i 10. klasse introduserer definisjonene av sinus, cosinus, tangens og cotangens for enhver vinkel (inkludert negativ).

Betrakt en sirkel med radius R med sentrum ved origo - punktet O(0;0). La oss betegne skjæringspunktet for sirkelen med den positive retningen til abscisseaksen som P 0 .

I geometri regnes en vinkel som en del av et plan avgrenset av to stråler. Med denne definisjonen varierer vinkelen fra 0° til 180°.

I trigonometri betraktes vinkelen som et resultat av rotasjonen av strålen OP 0 rundt startpunktet O.

Samtidig ble de enige om å vurdere å dreie strålen mot klokken som en positiv retning av runden, og med klokken - negativ (denne avtalen er assosiert med den sanne bevegelsen til solen rundt jorden).

For eksempel, når strålen OP 0 roteres rundt punktet O med en vinkel α mot klokken, vil punktet P 0 gå til punktet P α,

når du dreier med vinkelen α med klokken - til punktet F.

Med denne definisjonen kan vinkelen ha hvilken som helst verdi.

Hvis vi fortsetter å rotere strålen OP 0 mot klokken, når vi dreier gjennom en vinkel α°+360°, α°+360°·2,...,α°+360°·n, der n er et heltall (n∈ Ζ), la oss igjen komme til punktet P α:

Vinkler måles i grader og radianer.

1° er en vinkel lik 1/180 av gradmålet for den utviklede vinkelen.

1 radian er den sentrale vinkelen hvis buelengde er lik radiusen til sirkelen:

∠AOB=1 rad.

Radiansymboler skrives vanligvis ikke. Gradbetegnelsen kan ikke utelates fra journalen.

For eksempel,

Punkt P α , oppnådd fra punktet P 0 ved å rotere strålen OP 0 rundt punktet O med vinkelen α mot klokken, har koordinatene P α (x;y).

La oss slippe en vinkelrett P α A fra punktet P α til abscisseaksen.

I rettvinklet trekant OP α A:

P α A - ben motsatt vinkel α,

OA - ben ved siden av vinkel α,

OP α er hypotenusen.

P a A=y, OA=x, OP α=R.

Ved definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens i en rettvinklet trekant har vi:

Således, i tilfelle av en sirkel med et senter ved opprinnelsen til vilkårlig radius sinus vinkel α er forholdet mellom ordinaten til punktet P α og lengden på radien.

Cosinus vinkel α er forholdet mellom abscissen til punktet P α og lengden av radien.

Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten til et punkt P α og abscissen.

Cotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen til punktet P α og ordinaten.

Verdiene for sinus, cosinus, tangens og cotangens avhenger bare av verdien av α og er ikke avhengig av lengden på radius R (dette følger av likheten mellom sirkler).

Derfor er det praktisk å velge R=1.

En sirkel med sentrum i origo og radius R=1 kalles en enhetssirkel.

Definisjoner

1) Sinus vinkel α kalles ordinaten til punktet P α (x;y) til enhetssirkelen:

2) Cosinus vinkel α kalles abscissen til punktet P α (x;y) i enhetssirkelen:

3) Tangent vinkel α er forholdet mellom ordinaten til et punkt P α (x;y) og abscissen, det vil si forholdet mellom sinα og cosα (hvor cosα≠0):

4) Kotangens vinkel α er forholdet mellom abscissen til et punkt P α (x;y) og ordinaten, det vil si forholdet mellom cosα og sinα (hvor sinα≠0):

Definisjonene introdusert på denne måten lar oss vurdere ikke bare trigonometriske funksjoner av vinkler, men også trigonometriske funksjoner av numeriske argumenter (hvis vi betrakter sinα, cosα, tanα og ctgα som de tilsvarende trigonometriske funksjonene til en vinkel i α radianer, det vil si, sinusen til tallet α er sinus til vinkelen i α radianer, cosinus til tallet α er cosinus til vinkelen i α radianer, etc.).

Egenskapene til trigonometriske funksjoner studeres som et eget tema i algebrakurset på 10. eller 11. trinn. Trigonometriske funksjoner er mye brukt i fysikk.

Kategori: |

Tilbake fremover

Merk følgende! Lysbildeforhåndsvisninger er kun til informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

1. Introduksjon.

Når jeg nærmer meg skolen, hører jeg stemmene til gutta fra treningsstudioet, jeg går videre - de synger, tegner... følelser og følelser er overalt. Mitt kontor, algebratime, tiendeklassinger. Her er læreboken vår, der trigonometrikurset utgjør halvparten av volumet, og det er to bokmerker i den - dette er stedene jeg fant ord som ikke er relatert til teorien om trigonometri.

Blant de få er studenter som elsker matematikk, føler dens skjønnhet og ikke spør hvorfor det er nødvendig å studere trigonometri, hvor brukes materialet lært? Flertallet er de som rett og slett fullfører oppgaver for ikke å få dårlig karakter. Og vi er overbevist om at den anvendte verdien av matematikk er å få kunnskap som er tilstrekkelig til å bestå Unified State-eksamenen og gå inn på et universitet (registrer deg og glem).

Hovedmålet med den presenterte leksjonen er å vise den anvendte verdien av trigonometri i ulike felt av menneskelig aktivitet. Eksemplene som er gitt vil hjelpe elevene til å se sammenhengen mellom denne delen av matematikk og andre fag som studeres på skolen. Innholdet i denne leksjonen er et element av profesjonell opplæring for studenter.

Fortell noe nytt om et tilsynelatende lenge kjent faktum. Vis en logisk sammenheng mellom det vi allerede vet og det som gjenstår å lære. Åpne døren litt og se utover skoleplanen. Uvanlige oppgaver, sammenhenger med dagens hendelser - dette er teknikkene jeg bruker for å nå mine mål. Tross alt bidrar skolematematikk som fag ikke så mye til læring som til utvikling av individet, dets tenkning og kultur.

2. Leksjonsoppsummering om algebra og analyseprinsipper (karakter 10).

Organiseringstid: Ordne seks bord i en halvsirkel (gradmålermodell), arbeidsark for elevene på bordene (vedlegg 1).

Kunngjør emnet for leksjonen: "Trigonometri er enkel og tydelig."

I løpet av algebra og elementær analyse begynner vi å studere trigonometri. Jeg vil gjerne snakke om den anvendte betydningen av denne delen av matematikken.

Leksjonsoppgave:

"Naturens store bok kan bare leses av de som kan språket den er skrevet på, og det språket er matematikk."
(G. Galileo).

På slutten av leksjonen vil vi sammen tenke over om vi klarte å se i denne boken og forstå språket den ble skrevet på.

Trigonometri av en spiss vinkel.

Trigonometri er et gresk ord og oversatt betyr "måling av trekanter." Fremveksten av trigonometri er assosiert med målinger på jorden, konstruksjon og astronomi. Og ditt første bekjentskap med det skjedde da du plukket opp en gradskive. Har du lagt merke til hvordan bordene er plassert? Tenk på det i tankene dine: hvis vi tar en tabell som en akkord, hva er så gradmålet for buen den dekker?

La oss huske målet på vinkler: 1 ° = 1/360 del av en sirkel ("grad" - fra latin grad - trinn). Vet du hvorfor sirkelen ble delt inn i 360 deler, hvorfor ikke delt inn i 10, 100 eller 1000 deler, slik det for eksempel skjer når man måler lengder? Jeg skal fortelle deg en av versjonene.

Tidligere trodde folk at jorden er sentrum av universet og den er ubevegelig, og solen gjør en revolusjon rundt jorden per dag, det geosentriske systemet i verden, "geo" - jorden ( Figur nr. 1). Babylonske prester som utførte astronomiske observasjoner oppdaget at på dagen for jevndøgn beskriver solen, fra soloppgang til solnedgang, en halvsirkel i himmelhvelvet, der solens synlige diameter (diameter) passer nøyaktig 180 ganger, 1 ° - spor av solen. ( Figur nr. 2).

I lang tid var trigonometri rent geometrisk i naturen. I fortsetter du introduksjonen til trigonometri ved å løse rette trekanter. Du lærer at sinusen til en spiss vinkel i en rettvinklet trekant er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen, cosinus er forholdet mellom tilstøtende side og hypotenusen, tangens er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side og cotangens er forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte. Og husk at i en rettvinklet trekant som har en gitt vinkel, avhenger ikke forholdet mellom sidene av størrelsen på trekanten. Lær sinus- og cosinussetningene for å løse vilkårlige trekanter.

I 2010 fylte Moskva-metroen 75 år. Hver dag går vi ned til t-banen og legger ikke merke til at...

Oppgave nr. 1. Helningsvinkelen til alle rulletrapper i Moskva-metroen er 30 grader. Når du vet dette, antall lamper på rulletrappen og den omtrentlige avstanden mellom lampene, kan du beregne den omtrentlige dybden til stasjonen. Det er 15 lamper på rulletrappen ved Tsvetnoy Boulevard-stasjonen, og 2 lamper på Prazhskaya-stasjonen. Beregn dybden på disse stasjonene hvis avstandene mellom lampene, fra rulletrappinngangen til den første lampen og fra den siste lampen til rulletrappens utgang, er 6 m ( Figur nr. 3). Svar: 48 m og 9 m

Hjemmelekser. Den dypeste stasjonen til Moskva-metroen er Victory Park. Hva er dens dybde? Jeg foreslår at du uavhengig finner de manglende dataene for å løse lekseproblemet ditt.

Jeg har en laserpeker i hendene, som også er en avstandsmåler. La oss måle for eksempel avstanden til brettet.

Den kinesiske designeren Huan Qiaokun gjettet å kombinere to laseravstandsmålere og en gradskive til én enhet og fikk et verktøy som lar deg bestemme avstanden mellom to punkter på et plan ( Figur nr. 4). Hvilket teorem tror du løser dette problemet? Husk formuleringen av cosinussetningen. Er du enig med meg i at kunnskapen din allerede er tilstrekkelig til å lage en slik oppfinnelse? Løs geometriproblemer og gjør små funn hver dag!

Sfærisk trigonometri.

I tillegg til den flate geometrien til Euklid (planimetri), kan det være andre geometrier der egenskapene til figurer vurderes ikke på et plan, men på andre overflater, for eksempel på overflaten av en ball ( Figur nr. 5). Den første matematikeren som la grunnlaget for utviklingen av ikke-euklidiske geometrier var N.I. Lobachevsky - "Copernicus of Geometry". Fra 1827 i 19 år var han rektor ved Kazan University.

Sfærisk trigonometri, som er en del av sfærisk geometri, vurderer forholdet mellom sidene og vinklene til trekanter på en sfære dannet av buer av storsirkler på en sfære ( Figur nr. 6).

Historisk oppsto sfærisk trigonometri og geometri fra behovene til astronomi, geodesi, navigasjon og kartografi. Tenk på hvilke av disse områdene som har fått en så rask utvikling de siste årene at resultatene allerede blir brukt i moderne kommunikatører. ... En moderne applikasjon av navigasjon er et satellittnavigasjonssystem, som lar deg bestemme plasseringen og hastigheten til et objekt fra et signal fra mottakeren.

Globalt navigasjonssystem (GPS). For å bestemme breddegraden og lengdegraden til mottakeren, er det nødvendig å motta signaler fra minst tre satellitter. Å motta et signal fra den fjerde satellitten gjør det mulig å bestemme høyden på objektet over overflaten ( Figur nr. 7).

Mottakerdatamaskinen løser fire likninger i fire ukjente til en løsning er funnet som trekker alle sirklene gjennom ett punkt ( Figur nr. 8).

Kunnskap om spissvinkeltrigonometri viste seg å være utilstrekkelig for å løse mer komplekse praktiske problemer. Når man studerer rotasjons- og sirkulære bevegelser, er verdien av vinkelen og sirkelbuen ikke begrenset. Behovet oppsto for å gå over til trigonometrien til et generalisert argument.

Trigonometri av et generalisert argument.

Sirkelen ( Figur nr. 9). Positive vinkler plottes mot klokken, negative vinkler plottes med klokken. Er du kjent med historien til en slik avtale?

Som du vet, er mekaniske klokker og solklokker designet på en slik måte at hendene deres roterer "langs solen", dvs. i samme retning som vi ser solens tilsynelatende bevegelse rundt jorden. (Husk begynnelsen av leksjonen - verdens geosentriske system). Men med oppdagelsen av Copernicus av den sanne (positive) bevegelsen til jorden rundt solen, er bevegelsen til solen rundt jorden som vi ser (dvs. tilsynelatende) fiktiv (negativ). Heliosentriske system av verden (helio - sol) ( Figur nr. 10).

Varme opp.

Strekk ut høyre arm foran deg, parallelt med bordets overflate, og utfør en sirkulær rotasjon på 720 grader.
Strekk ut venstre arm foran deg, parallelt med bordets overflate, og utfør en sirkulær rotasjon på (–1080) grader.
Plasser hendene på skuldrene og gjør 4 sirkulære bevegelser frem og tilbake. Hva er summen av rotasjonsvinklene?

I 2010 ble de olympiske vinterlekene arrangert i Vancouver, vi lærer kriteriene for å gradere en skøyteløper ved å løse problemet.

Oppgave nr. 2. Hvis en skater gjør en 10 800-graders sving mens han utfører "skrue"-øvelsen på 12 sekunder, får han en "utmerket" vurdering. Bestem hvor mange omdreininger skateren vil gjøre i løpet av denne tiden og hastigheten på rotasjonen hans (omdreininger per sekund). Svar: 2,5 omdreininger/sek.

Hjemmelekser. I hvilken vinkel svinger skøyteløperen, som fikk en "utilfredsstillende" vurdering, hvis hastigheten hans på samme rotasjonstid var 2 omdreininger per sekund.

Det mest praktiske målet på buer og vinkler assosiert med rotasjonsbevegelser viste seg å være radianmålet (radius), som en større måleenhet for en vinkel eller bue ( Figur nr. 11). Dette vinklemålet kom inn i vitenskapen gjennom de bemerkelsesverdige verkene til Leonhard Euler. Sveitsisk av fødsel bodde han i Russland i 30 år og var medlem av St. Petersburgs vitenskapsakademi. Det er til ham vi skylder den "analytiske" tolkningen av all trigonometri, han avledet formlene som du nå studerer, introduserte uniforme tegn: synd x,cos x, tg x,ctg x.

Hvis utviklingen av læren om trigonometriske funksjoner frem til 1600-tallet ble bygget på geometrisk basis, begynte trigonometriske funksjoner fra 1600-tallet å bli brukt for å løse problemer innen mekanikk, optikk, elektrisitet, for å beskrive oscillerende prosesser og bølger. forplantning. Uansett hvor vi har å gjøre med periodiske prosesser og svingninger, har trigonometriske funksjoner funnet anvendelse. Funksjoner som uttrykker lovene til periodiske prosesser har en spesiell egenskap som bare er iboende for dem: de gjentar verdiene sine gjennom samme intervall for endring i argument. Endringer i enhver funksjon er tydeligst formidlet på grafen ( Figur nr. 12).

Vi har allerede henvendt oss til kroppen vår for å få hjelp når vi løser problemer som involverer rotasjon. La oss lytte til hjerteslag. Hjertet er et uavhengig organ. Hjernen styrer alle musklene våre bortsett fra hjertet. Den har sitt eget kontrollsenter - sinusknuten. Med hver sammentrekning av hjertet sprer en elektrisk strøm seg gjennom hele kroppen - fra sinusknuten (størrelsen på et hirsekorn). Det kan tas opp ved hjelp av en elektrokardiograf. Han tegner et elektrokardiogram (sinusformet) ( Figur nr. 13).

La oss nå snakke om musikk. Matematikk er musikk, det er en forening av intelligens og skjønnhet.
Musikk er matematikk i regning, algebra i abstraksjon, trigonometri i skjønnhet. Harmonisk oscillasjon (harmonisk) er en sinusformet svingning. Grafen viser hvordan lufttrykket på lytterens trommehinne endres: opp og ned i en bue, med jevne mellomrom. Luften presser, nå sterkere, nå svakere. Slagkraften er veldig liten og vibrasjoner oppstår veldig raskt: hundrevis og tusenvis av støt hvert sekund. Vi oppfatter slike periodiske vibrasjoner som lyd. Tilsetningen av to forskjellige harmoniske gir en vibrasjon av en mer kompleks form. Summen av tre harmoniske er enda mer kompleks, og naturlige lyder og lyder av musikkinstrumenter består av et stort antall harmoniske. ( Figur nr. 14.)

Hver harmonisk er preget av tre parametere: amplitude, frekvens og fase. Oscillasjonsfrekvensen viser hvor mange sjokk av lufttrykk som oppstår i løpet av ett sekund. Høye frekvenser oppfattes som "høye", "tynne" lyder. Over 10 KHz – knirk, fløyte. Små frekvenser oppfattes som "lave", "bass" lyder, rumling. Amplitude er rekkevidden av vibrasjoner. Jo større omfang, jo større innvirkning på trommehinnen, og jo høyere lyd hører vi ( Figur nr. 15). Fase er forskyvningen av svingninger i tid. Fase kan måles i grader eller radianer. Avhengig av fasen, skifter nullpunktet på grafen. For å stille inn en harmonisk er det nok å spesifisere fasen fra -180 til +180 grader, siden svingningen gjentas ved store verdier. To sinusformede signaler med samme amplitude og frekvens, men forskjellige faser, legges til algebraisk ( Figur nr. 16).

Leksjonssammendrag. Tror du vi klarte å lese noen sider fra den store naturboken? Etter å ha lært om den anvendte betydningen av trigonometri, ble dens rolle i ulike sfærer av menneskelig aktivitet tydeligere for deg Forsto du materialet som ble presentert? Husk og skriv opp bruksområdene for trigonometri som du møtte i dag eller kjente fra før. Jeg håper at hver og en av dere fant noe nytt og interessant i dagens leksjon. Kanskje vil denne nye tingen fortelle deg hvordan du skal velge et fremtidig yrke, men uansett hvem du blir, vil din matematiske utdannelse hjelpe deg til å bli en profesjonell og en intellektuelt utviklet person.

Hjemmelekser. Les leksjonssammendraget (

Tilbake i 1905 kunne russiske lesere lese i William James sin bok "Psychology" hans resonnement om "hvorfor er utenatlæring en så dårlig måte å lære på?"

«Kunnskap tilegnet gjennom enkel utenatlæring blir nesten uunngåelig glemt helt sporløst. Tvert imot, mentalt materiale, ervervet av hukommelsen gradvis, dag etter dag, i forbindelse med ulike kontekster, assosiativt assosiativt med andre ytre hendelser og gjentatte ganger utsatt for diskusjon, danner et slikt system, inngår i en slik forbindelse med de andre aspektene av vår intellekt, gjenopprettes lett i minnet ved en masse eksterne anledninger, som forblir en varig tilegnelse i lang tid.»

Mer enn 100 år har gått siden den gang, og disse ordene forblir utrolig aktuelle. Du blir overbevist om dette hver dag når du jobber med skoleelever. De massive kunnskapshullene er så store at det kan argumenteres: Skolematematikkkurset i didaktiske og psykologiske termer er ikke et system, men et slags apparat som oppmuntrer til korttidshukommelse og ikke bryr seg i det hele tatt om langtidshukommelse .

Å kjenne til skolematematikkkurset betyr å mestre materialet i hvert matematikkområde og å kunne oppdatere noen av dem når som helst. For å oppnå dette må du systematisk kontakte hver av dem, noe som noen ganger ikke alltid er mulig på grunn av den store arbeidsbelastningen i leksjonen.

Det er en annen måte for langsiktig memorering av fakta og formler - dette er referansesignaler.

Trigonometri er en av de store delene av skolematematikk, studert i løpet av geometri i klasse 8 og 9 og i løpet av algebra i klasse 9, algebra og elementær analyse i klasse 10.

Det største volumet av materiale som studeres i trigonometri faller på 10. klasse. Det meste av dette trigonometrimaterialet kan læres og memoreres på trigonometrisk sirkel(en sirkel med enhetsradius med sentrum ved opprinnelsen til det rektangulære koordinatsystemet). Vedlegg1.ppt

Dette er følgende trigonometrikonsepter:

definisjoner av sinus, cosinus, tangens og cotangens av en vinkel;
måling av radianvinkel;
definisjonsdomene og verdiområde for trigonometriske funksjoner
verdier av trigonometriske funksjoner for noen verdier av det numeriske og vinkelmessige argumentet;
periodisitet av trigonometriske funksjoner;
jevnhet og merkelighet av trigonometriske funksjoner;
økende og redusere trigonometriske funksjoner;
reduksjonsformler;
verdier av inverse trigonometriske funksjoner;
løse enkle trigonometriske ligninger;
løse enkle ulikheter;
grunnleggende formler for trigonometri.

La oss vurdere å studere disse konseptene på den trigonometriske sirkelen.

1) Definisjon av sinus, cosinus, tangens og cotangens.

Etter å ha introdusert konseptet med en trigonometrisk sirkel (en sirkel med enhetsradius med et senter ved origo), den innledende radiusen (radiusen til sirkelen i retning av okseaksen) og rotasjonsvinkelen, får elevene uavhengig definisjoner for sinus, cosinus, tangens og cotangens på en trigonometrisk sirkel, ved å bruke definisjonene fra kursgeometrien, det vil si å vurdere en rettvinklet trekant med en hypotenus lik 1.

Cosinus til en vinkel er abscissen til et punkt på en sirkel når startradiusen roteres med en gitt vinkel.

Sinusen til en vinkel er ordinaten til et punkt på en sirkel når startradiusen roteres med en gitt vinkel.

2) Radianmåling av vinkler på en trigonometrisk sirkel.

Etter å ha introdusert radianmålet for en vinkel (1 radian er den sentrale vinkelen, som tilsvarer lengden på buen lik lengden på sirkelens radius), konkluderer elevene med at radianmålet til vinkelen er den numeriske verdien av rotasjonsvinkelen på sirkelen, lik lengden på den korresponderende buen når startradiusen roteres med gitt vinkel. .

Den trigonometriske sirkelen er delt inn i 12 like deler av diameteren til sirkelen. Når du vet at vinkelen er i radianer, kan du bestemme radianmålet for vinkler som er multipler av .

Og radianmålinger av vinkler, multipler, oppnås på samme måte:

3) Definisjonsdomene og verdiområde for trigonometriske funksjoner.

Vil samsvaret mellom rotasjonsvinkler og koordinatverdier til et punkt på en sirkel være en funksjon?

Hver rotasjonsvinkel tilsvarer et enkelt punkt på sirkelen, noe som betyr at denne korrespondansen er en funksjon.

Får funksjonene

På den trigonometriske sirkelen kan du se at domenet for definisjon av funksjoner er settet med alle reelle tall, og verdiområdet er .

La oss introdusere begrepene linjer med tangenter og kotangenser på en trigonometrisk sirkel.

1) La La oss introdusere en hjelpelinje parallelt med Oy-aksen, på hvilken tangenter bestemmes for ethvert numerisk argument.

2) På samme måte får vi en linje med cotangenter. La y=1, så . Dette betyr at cotangensverdiene bestemmes på en rett linje parallelt med Ox-aksen.

På en trigonometrisk sirkel kan du enkelt bestemme definisjonsdomenet og verdiområdet for trigonometriske funksjoner:

for tangent -

for cotangens -

4) Verdier av trigonometriske funksjoner på en trigonometrisk sirkel.

Benet motsatt vinkelen i er lik halve hypotenusen, det vil si det andre beinet i henhold til Pythagoras teoremet:

Dette betyr at ved å definere sinus, cosinus, tangens, cotangens, kan du bestemme verdier for vinkler som er multipler eller radianer. Sinusverdiene bestemmes langs Oy-aksen, cosinus langs Ox-aksen, og tangent- og cotangensverdiene kan bestemmes ved å bruke tilleggsakser parallelt med henholdsvis Oy- og Ox-aksene.

De tabellerte verdiene for sinus og cosinus er plassert på de tilsvarende aksene som følger:

Tabellverdier av tangent og cotangens -

5) Periodisitet av trigonometriske funksjoner.

På den trigonometriske sirkelen kan du se at verdiene til sinus og cosinus gjentas hver radian, og tangent og cotangens - hver radian.

6) Jevnhet og merkelighet av trigonometriske funksjoner.

Denne egenskapen kan oppnås ved å sammenligne verdiene av positive og motsatte rotasjonsvinkler for trigonometriske funksjoner. Det skjønner vi

Dette betyr at cosinus er en jevn funksjon, alle andre funksjoner er oddetall.

7) Økende og redusere trigonometriske funksjoner.

Den trigonometriske sirkelen viser at sinusfunksjonen øker og avtar

På samme måte får vi intervallene for økende og avtagende funksjoner av cosinus, tangent og cotangens.

8) Reduksjonsformler.

For vinkelen tar vi den minste verdien av vinkelen på den trigonometriske sirkelen. Alle formler oppnås ved å sammenligne verdiene til trigonometriske funksjoner på bena til utvalgte rette trekanter.

Algoritme for å bruke reduksjonsformler:

1) Bestem fortegnet for funksjonen når du roterer gjennom en gitt vinkel.

Når du svinger et hjørne funksjonen er bevart, når den roteres med en vinkel - et heltall, oddetall, kofunksjonen (

9) Verdier av inverse trigonometriske funksjoner.

La oss introdusere inverse funksjoner for trigonometriske funksjoner ved å bruke definisjonen av en funksjon.

Hver verdi av sinus, cosinus, tangens og cotangens på den trigonometriske sirkelen tilsvarer bare én verdi av rotasjonsvinkelen. Dette betyr at for en funksjon er definisjonsdomenet , verdiområdet er - For funksjonen er definisjonsdomenet , verdiområdet er . På samme måte får vi definisjonsdomenet og verdiområdet til de inverse funksjonene for cosinus og cotangens.

Algoritme for å finne verdiene til inverse trigonometriske funksjoner:

1) finne verdien av argumentet til den inverse trigonometriske funksjonen på den tilsvarende aksen;

2) finne rotasjonsvinkelen til den innledende radiusen, under hensyntagen til verdiområdet til den inverse trigonometriske funksjonen.

For eksempel:

10) Løse enkle ligninger på en trigonometrisk sirkel.

For å løse en ligning av formen finner vi punkter på sirkelen hvis ordinater er like og skriver ned de tilsvarende vinklene, tar hensyn til funksjonens periode.

For ligningen finner vi punkter på sirkelen hvis abscisser er like og skriver ned de tilsvarende vinklene, med tanke på funksjonens periode.

Tilsvarende for formlikninger Verdiene bestemmes på linjene med tangenter og cotangenter, og de tilsvarende rotasjonsvinklene registreres.

Alle begreper og formler for trigonometri lærer elevene selv under tydelig veiledning av læreren ved hjelp av en trigonometrisk sirkel. I fremtiden vil denne "sirkelen" tjene som et referansesignal eller en ekstern faktor for at de skal gjenskape konseptene og formlene for trigonometri i minnet.

Å studere trigonometri på en trigonometrisk sirkel hjelper:

velge den optimale kommunikasjonsstilen for en gitt leksjon, organisere pedagogisk samarbeid;
leksjonsmål blir personlig viktige for hver elev;
nytt materiale er basert på elevens personlige opplevelse av handling, tenkning og følelse;
leksjonen inkluderer ulike former for arbeid og måter å tilegne seg og assimilere kunnskap på; det er elementer av gjensidig og selvlæring; selv- og gjensidig kontroll;
det er rask respons på misforståelser og feil (felles diskusjon, støttetips, gjensidige konsultasjoner).

Sinus, cosinus, tangent - når du uttaler disse ordene i nærvær av videregående elever, kan du være sikker på at to tredjedeler av dem vil miste interessen for videre samtale. Årsaken ligger i det faktum at det grunnleggende om trigonometri på skolen undervises fullstendig isolert fra virkeligheten, og derfor ser ikke elevene poenget med å studere formler og teoremer.

Faktisk, ved nærmere undersøkelse, viser dette kunnskapsområdet seg å være veldig interessant, så vel som anvendt - trigonometri brukes innen astronomi, konstruksjon, fysikk, musikk og mange andre felt.

La oss bli kjent med de grunnleggende konseptene og nevne flere grunner til å studere denne grenen av matematisk vitenskap.

Historie

Det er ukjent på hvilket tidspunkt menneskeheten begynte å lage den fremtidige trigonometrien fra bunnen av. Imidlertid er det dokumentert at egypterne allerede i det andre årtusen f.Kr. var kjent med det grunnleggende i denne vitenskapen: arkeologer fant en papyrus med en oppgave der det var påkrevd å finne pyramidens helningsvinkel på to kjente sider.

Forskerne i det gamle Babylon oppnådde mer alvorlige suksesser. Gjennom århundrene, ved å studere astronomi, mestret de en rekke teoremer, introduserte spesielle metoder for å måle vinkler, som vi forresten bruker i dag: grader, minutter og sekunder ble lånt av europeisk vitenskap i den gresk-romerske kulturen, som disse enhetene kom fra babylonerne.

Det antas at det berømte Pythagoras teoremet, knyttet til det grunnleggende om trigonometri, var kjent for babylonerne for nesten fire tusen år siden.

Navn

Bokstavelig talt kan begrepet "trigonometri" oversettes som "måling av trekanter." Hovedobjektet for studiet innen denne delen av vitenskapen i mange århundrer var den rette trekanten, eller mer presist, forholdet mellom størrelsen på vinklene og lengdene på sidene (i dag begynner studiet av trigonometri fra bunnen av med denne delen) . Det er ofte situasjoner i livet når det er praktisk talt umulig å måle alle nødvendige parametere til et objekt (eller avstanden til objektet), og da blir det nødvendig å skaffe de manglende dataene gjennom beregninger.

Tidligere kunne folk for eksempel ikke måle avstanden til romobjekter, men forsøk på å beregne disse avstandene skjedde lenge før vår tidsregning. Trigonometri spilte også en avgjørende rolle i navigasjonen: med litt kunnskap kunne kapteinen alltid navigere etter stjernene om natten og justere kursen.

Enkle konsepter

Å mestre trigonometri fra bunnen av krever å forstå og huske flere grunnleggende termer.

Sinusen til en viss vinkel er forholdet mellom motsatt side og hypotenusen. La oss presisere at det motsatte beinet er siden som ligger motsatt vinkelen vi vurderer. Således, hvis en vinkel er 30 grader, vil sinusen til denne vinkelen alltid, for enhver størrelse på trekanten, være lik ½. Cosinus til en vinkel er forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen.

Tangent er forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side (eller, som er det samme, forholdet mellom sinus og cosinus). Cotangens er enheten delt på tangenten.

Det er verdt å nevne det berømte tallet Pi (3.14...), som er halvparten av lengden av en sirkel med en radius på én enhet.

Populære feil

Folk som lærer trigonometri fra bunnen av gjør en rekke feil – mest på grunn av uoppmerksomhet.

For det første, når du løser geometriproblemer, må du huske at bruken av sinus og cosinus kun er mulig i en rettvinklet trekant. Det hender at en elev "automatisk" tar den lengste siden av en trekant som hypotenusen og får feil beregningsresultater.

For det andre, til å begynne med er det lett å forveksle verdiene til sinus og cosinus for den valgte vinkelen: husk at sinusen på 30 grader er numerisk lik cosinus på 60, og omvendt. Hvis du erstatter et feil tall, vil alle videre beregninger være feil.

For det tredje, før problemet er fullstendig løst, bør du ikke runde noen verdier, trekke ut røtter eller skrive en vanlig brøk som en desimal. Ofte prøver elevene å få et "vakkert" tall i et trigonometriproblem og trekker umiddelbart ut roten av tre, selv om denne roten kan reduseres etter nøyaktig én handling.

Etymologi av ordet "sinus"

Historien til ordet "sinus" er virkelig uvanlig. Faktum er at den bokstavelige oversettelsen av dette ordet fra latin betyr "hul". Dette er fordi den korrekte forståelsen av ordet gikk tapt under oversettelsen fra ett språk til et annet.

Navnene på de grunnleggende trigonometriske funksjonene kommer fra India, hvor konseptet sinus ble betegnet med ordet "streng" på sanskrit - faktum er at segmentet, sammen med sirkelbuen som det hvilte på, så ut som en bue . Under den arabiske sivilisasjonens storhetstid ble indiske prestasjoner innen trigonometri lånt, og begrepet gikk over til arabisk som en transkripsjon. Det hendte at dette språket allerede hadde et lignende ord som betegner en depresjon, og hvis araberne forsto den fonetiske forskjellen mellom det innfødte og det lånte ordet, så oversatte europeerne, som oversatte vitenskapelige avhandlinger til latin, feilaktig bokstavelig talt det arabiske ordet, som ikke hadde noe å gjøre med begrepet sinus . Vi bruker den fortsatt den dag i dag.

Verditabeller

Det er tabeller som inneholder numeriske verdier for sinus, cosinus og tangenter for alle mulige vinkler. Nedenfor presenterer vi data for vinkler på 0, 30, 45, 60 og 90 grader, som må læres som en obligatorisk del av trigonometri for "dummies" heldigvis, de er ganske enkle å huske.

Hvis det skjer at den numeriske verdien av sinus eller cosinus til en vinkel "kom ut av hodet ditt", er det en måte å utlede den selv.

Geometrisk representasjon

La oss tegne en sirkel og tegne abscissen og ordinere aksene gjennom midten. Abscisseaksen er horisontal, ordinataksen er vertikal. De er vanligvis signert som henholdsvis "X" og "Y". Nå skal vi tegne en rett linje fra sentrum av sirkelen slik at vinkelen vi trenger oppnås mellom den og X-aksen. Til slutt, fra punktet der den rette linjen skjærer sirkelen, slipper vi en vinkelrett på X-aksen. Lengden på det resulterende segmentet vil være lik den numeriske verdien av sinusen til vinkelen vår.

Denne metoden er veldig relevant hvis du glemte den nødvendige verdien, for eksempel under en eksamen, og du ikke har en lærebok i trigonometri for hånden. Du vil ikke få et eksakt tall på denne måten, men du vil definitivt se forskjellen mellom ½ og 1,73/2 (sinus og cosinus i en vinkel på 30 grader).

applikasjon

Noen av de første ekspertene som brukte trigonometri var sjømenn som ikke hadde noe annet referansepunkt på det åpne hav bortsett fra himmelen over hodet. I dag leter ikke skipskapteiner (fly og andre transportmåter) etter den korteste veien ved å bruke stjernene, men tyr aktivt til GPS-navigasjon, noe som ville vært umulig uten bruk av trigonometri.

I nesten alle seksjoner av fysikk vil du finne beregninger som bruker sinus og cosinus: det være seg bruk av kraft i mekanikk, beregninger av objekters bane i kinematikk, vibrasjoner, bølgeutbredelse, lysbrytning - du kan rett og slett ikke klare deg uten grunnleggende trigonometri i formlene.

Et annet yrke som er utenkelig uten trigonometri er landmåler. Ved å bruke en teodolitt og et nivå eller en mer kompleks enhet - en turteller, måler disse menneskene forskjellen i høyde mellom forskjellige punkter på jordens overflate.

Repeterbarhet

Trigonometri omhandler ikke bare vinklene og sidene til en trekant, selv om det var her den begynte sin eksistens. I alle områder der syklisitet er tilstede (biologi, medisin, fysikk, musikk, etc.) vil du møte en graf hvis navn sannsynligvis er kjent for deg - dette er en sinusbølge.

En slik graf er en sirkel utfoldet langs tidsaksen og ser ut som en bølge. Hvis du noen gang har jobbet med et oscilloskop i fysikktime, vet du hva vi snakker om. Både musikkequalizeren og pulsmåleren bruker trigonometriformler i arbeidet.

Endelig

Når man tenker på hvordan man lærer trigonometri, begynner de fleste ungdomsskoleelever og videregående elever å betrakte det som en vanskelig og upraktisk vitenskap, siden de bare blir kjent med kjedelig informasjon fra en lærebok.

Når det gjelder upraktiskhet, har vi allerede sett at det i en eller annen grad kreves evnen til å håndtere sinus og tangenter i nesten alle aktivitetsfelt. Når det gjelder kompleksiteten... Tenk: hvis folk brukte denne kunnskapen for mer enn to tusen år siden, da en voksen hadde mindre kunnskap enn dagens videregående elev, er det realistisk for deg personlig å studere dette vitenskapsfeltet på et grunnleggende nivå? Noen timer med gjennomtenkt øvelse på å løse problemer - og du vil nå målet ditt ved å studere grunnkurset, såkalt trigonometri for dummies.

I denne leksjonen skal vi lære definisjonene trigonometriske funksjoner og deres grunnleggende egenskaper, lære hvordan du jobber med trigonometrisk sirkel, la oss finne ut hva det er funksjonens periode og husk de forskjellige måter å måle vinkler på. I tillegg vil vi forstå bruken reduksjonsformler.

Denne leksjonen vil hjelpe deg med å forberede deg på en av oppgavetypene KLOKKEN 7.

Forberedelse til Unified State-eksamen i matematikk

Eksperiment

Leksjon 7.Introduksjon til trigonometri.

Teori

Leksjonssammendrag

I dag starter vi en seksjon som har det skumle navnet "Trigonometri" for mange. La oss gjøre det klart med en gang at dette ikke er et eget emne som i navn ligner geometri, som noen tror. Selv om ordet "trigonometri" er oversatt fra gresk, betyr det "måling av trekanter" og er direkte relatert til geometri. I tillegg er trigonometriske beregninger mye brukt innen fysikk og teknologi. Men vi vil begynne med en vurdering av hvordan de grunnleggende trigonometriske funksjonene introduseres i geometri ved hjelp av en rettvinklet trekant.

Vi har nettopp brukt begrepet "trigonometrisk funksjon" - dette betyr at vi vil introdusere en hel klasse med visse lover for samsvar mellom en variabel og en annen.

For å gjøre dette, vurder en rettvinklet trekant, der det for enkelhets skyld brukes standardnotasjoner for sider og vinkler, som du kan se på figuren:

Tenk for eksempel på vinkelenog skriv inn følgende handlinger for det:

La oss kalle forholdet mellom motsatt side og hypotenusen sinus, dvs.

La oss kalle forholdet mellom det tilstøtende benet og hypotenusen cosinus, dvs. ;

Forholdet mellom motsatt side og tilstøtende side vil kalles tangent, dvs. ;

Forholdet mellom den tilstøtende siden og den motsatte siden vil bli kalt cotangens, dvs. .

Alle disse handlingene med en vinkel kalles trigonometriske funksjoner. Selve vinkelen kalles vanligvis argumentet for den trigonometriske funksjonen og det kan for eksempel betegnes med X, slik det vanligvis er vanlig i algebra.

Det er viktig å umiddelbart forstå at trigonometriske funksjoner avhenger spesifikt av vinkelen i en rettvinklet trekant, og ikke på sidene. Dette er lett å bevise hvis vi tar for oss en trekant som ligner på denne, der lengdene på sidene vil være forskjellige, men alle vinklene og forholdene til sidene vil ikke endre seg, dvs. De trigonometriske funksjonene til vinkler vil også forbli uendret.

Etter denne definisjonen av trigonometriske funksjoner kan spørsmålet oppstå: «Er det f.eks.? Tross alt, hjørnetkan ikke være i en rettvinklet trekant» . Merkelig nok er svaret på dette spørsmålet bekreftende, og verdien av dette uttrykket er lik , og dette er enda mer overraskende, siden alle trigonometriske funksjoner er forholdet mellom sidene i en rettvinklet trekant, og lengdene på sidene er positive tall.

Men det er ikke noe paradoks i dette. Faktum er at for eksempel i fysikk, når man beskriver noen prosesser, er det nødvendig å bruke trigonometriske funksjoner av vinkler, ikke bare store, men også store og jevne. For å gjøre dette er det nødvendig å innføre en mer generell regel for beregning av trigonometriske funksjoner ved hjelp av den såkalte "enhet trigonometrisk sirkel".

Det er en sirkel med enhetsradius, tegnet slik at sentrum er ved opprinnelsen til det kartesiske planet.

For å skildre vinklene i denne sirkelen, må du bli enige om hvor du skal sette dem fra. Det er akseptert å ta abscisseaksens positive retning som vinkelreferansestrålen, dvs. x-aksen. Avsetningsretningen for vinkler anses å være mot klokken. Basert på disse avtalene, la oss først sette til side den spisse vinkelen. Det er for slike spisse vinkler vi allerede vet hvordan vi beregner verdiene til trigonometriske funksjoner i en rettvinklet trekant. Det viser seg at ved å bruke den avbildede sirkelen kan du også beregne trigonometriske funksjoner, bare mer praktisk.

Verdiene til sinus og cosinus til en spiss vinkel er koordinatene til skjæringspunktet mellom siden av denne vinkelen med enhetssirkelen:

Dette kan skrives slik:

Basert på det faktum at koordinater langs x-aksen viser verdien av cosinus, og koordinater langs y-aksen viser verdien av sinus til vinkelen, er det praktisk å gi nytt navn til aksene i et koordinatsystem med en enhetssirkel som du ser på figuren:

Abscisseaksen omdøpes til cosinus-aksen, og ordinataksen til sinusaksen.

Den angitte regelen for å bestemme sinus og cosinus er generalisert til både stumpe vinkler og vinkler som ligger i området fra til. I dette tilfellet kan sinus og cosinus få både positive og negative verdier. Diverse tegn på verdiene til disse trigonometriske funksjonene avhengig av hvilket kvarter den aktuelle vinkelen faller inn i, er det vanlig å skildre den som følger:

Som du kan se, er tegnene på trigonometriske funksjoner bestemt av de positive og negative retningene til deres tilsvarende akser.

I tillegg er det verdt å ta hensyn til det faktum at siden den største koordinaten til et punkt på enhetssirkelen både langs abscissen og ordinataksen er lik én, og den minste er minus én, så sinus- og cosinusverdier begrenset til disse tallene:

Disse postene er også vanligvis skrevet i denne formen:

For å introdusere funksjonene til tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel, er det nødvendig å tegne ytterligere elementer: tangenten til sirkelen ved punkt A - verdien av tangenten til vinkelen bestemmes fra den, og tangenten til ved punkt B - verdien av cotangensen til vinkelen bestemmes fra den.

Vi vil imidlertid ikke fordype oss i definisjonen av tangenter og kotangenser på en trigonometrisk sirkel, fordi de kan enkelt beregnes ved å kjenne verdiene til sinus og cosinus for en gitt vinkel, som vi allerede vet hvordan vi skal gjøre. Hvis du er interessert i å lære hvordan du beregner tangent og cotangens på en trigonometrisk sirkel, se gjennom pensum for algebra i 10. klasse.

Vi indikerer bare bildet på sirkelen tegn på tangenter og kotangenser avhengig av vinkel:

Merk at du, i likhet med områdene for sinus- og cosinusverdier, kan spesifisere områder for tangent- og cotangensverdier. Basert på deres definisjon på den trigonometriske sirkelen, betydningen av disse funksjonene er ikke begrenset:

Hva annet kan skrives slik:

I tillegg til vinkler i området fra til, lar den trigonometriske sirkelen deg jobbe med vinkler som er større og jevne med negative vinkler. Slike vinkelverdier, selv om de virker meningsløse for geometri, brukes til å beskrive noen fysiske prosesser. Hvordan svarer du for eksempel på spørsmålet: "Hvilken vinkel vil klokkeviseren snu om en dag?" I løpet av denne tiden vil den fullføre to hele omdreininger, og i en omdreining vil den passere, dvs. i løpet av en dag vil den slå til . Som du kan se, har slike verdier en veldig praktisk betydning. Vinkeltegn brukes til å indikere rotasjonsretningen - en av retningene er avtalt å måles med positive vinkler, og den andre med negative. Hvordan kan dette tas i betraktning i den trigonometriske sirkelen?

På en sirkel med slike vinkler fungerer de som følger:

1) Vinkler som er større enn , plottes mot klokken, og går gjennom origo så mange ganger som nødvendig. For eksempel, for å konstruere en vinkel må du gå gjennom to hele omdreininger og en til. Alle trigonometriske funksjoner beregnes for den endelige posisjonen. Det er lett å se at verdiene til alle trigonometriske funksjoner for og for vil være de samme.

2) Negative vinkler legges ut nøyaktig etter samme prinsipp som positive, kun med klokken.

Bare ved metoden for å konstruere store vinkler, kan vi konkludere med at verdiene til sinus og cosinus til vinkler som avviker med er de samme. Hvis vi analyserer verdiene til tangenter og cotangenter, vil de være de samme for vinkler som avviker med .

Slike minimale tall som ikke er null, når de legges til et argument, endrer ikke verdien til funksjonen, kalles periode denne funksjonen.

Dermed, periodesinus og cosinus er like, og tangent og cotangens. Dette betyr at uansett hvor mye du legger til eller trekker disse periodene fra vinklene under vurdering, vil verdiene til de trigonometriske funksjonene ikke endres.

For eksempel, , og så videre.

Vi kommer senere tilbake til en mer detaljert forklaring og anvendelse av denne egenskapen til trigonometriske funksjoner.

Det er visse forhold mellom trigonometriske funksjoner av det samme argumentet som ofte brukes og kalles grunnleggende trigonometriske identiteter.

De ser slik ut:

1) , den såkalte "trigonometriske enheten"

Merk at for eksempel notasjonen betyr at hele den trigonometriske funksjonen er kvadratisk. De. det kan representeres i denne formen: . Det er viktig å forstå at dette ikke er lik en notasjon som , i dette tilfellet er bare argumentet kvadratisk, og ikke hele funksjonen, og dessuten er uttrykk av denne typen ekstremt sjeldne.

Det er to svært nyttige konsekvenser fra den første identiteten som kan være nyttige for å løse mange typer problemer. Etter enkle transformasjoner kan du uttrykke sinusen gjennom cosinus i samme vinkel og omvendt:

To mulige uttrykkstegn vises fordi å ta den aritmetiske kvadratroten gir bare ikke-negative verdier, og sinus og cosinus, som vi allerede har sett, kan ha negative verdier. Dessuten er det mest praktisk å bestemme tegnene på disse funksjonene ved hjelp av en trigonometrisk sirkel, avhengig av hvilke vinkler som er til stede i dem.

La oss nå huske at vinkler kan måles på to måter: i grader og i radianer. La oss angi definisjonene av en grad og en radian.

En grad- dette er vinkelen som dannes av to radier som legger en bue lik en sirkel.

En radian- dette er vinkelen som dannes av to radier dekket av en bue lik lengde med radiene.

De. de er rett og slett to forskjellige måter å måle vinkler på som er helt like. Ved å beskrive fysiske prosesser som er preget av trigonometriske funksjoner, er det vanlig å bruke radianmålet for vinkler, så vi må også venne oss til det.

Det er vanlig å måle vinkler i radianer i brøkdeler av pi, for eksempel, eller. I dette tilfellet kan verdien av tallet "pi", som er lik 3,14, erstattes, men dette gjøres sjelden.

Å konvertere gradmålet for vinkler til radianer dra nytte av det faktum at vinkelen er , hvorfra det er lett å få en generell oversettelsesformel:

La oss for eksempel konvertere til radianer: .

Det er også det motsatte formelkonvertering fra radianer til grader:

La oss for eksempel konvertere til grader: .

Vi vil bruke radianmålet for vinkel ganske ofte i dette emnet.

Nå er det på tide å huske hvilke spesifikke verdier som kan gis av trigonometriske funksjoner i forskjellige vinkler. For noen vinkler som er multipler av , er det tabell over verdier for trigonometriske funksjoner. For enkelhets skyld er vinkler gitt i grader og radianmål.

Disse vinklene støtes ofte på i mange problemer, og det er tilrådelig å kunne navigere trygt i denne tabellen. Tangent- og cotangensverdiene til noen vinkler gir ikke mening, noe som er angitt i tabellen som streker. Tenk selv hvorfor det er slik eller les mer om det i vedlegget til leksjonen.

Det siste vi trenger å bli kjent med i vår første trigonometritime er transformasjon av trigonometriske funksjoner ved hjelp av de såkalte reduksjonsformlene.

Det viser seg at det er en viss type uttrykk for trigonometriske funksjoner som er ganske vanlig og praktisk forenklet. For eksempel er dette uttrykk: etc.

De. Vi skal snakke om funksjoner som tar som argument en vilkårlig vinkel, endret til en hel eller halv del. Slike funksjoner er forenklet til et argument som er lik en vilkårlig vinkel for addisjon eller subtraksjon av deler. For eksempel, , A . Som du kan se, kan resultatet bli motsatt funksjon, og funksjonen kan endre fortegn.

Derfor kan reglene for å transformere slike funksjoner deles inn i to stadier. Først må du bestemme hvilken funksjon du vil få etter transformasjonen:

1) Hvis et vilkårlig argument endres til et heltall, endres ikke funksjonen. Dette gjelder funksjoner av typen , der et hvilket som helst heltall;