Triviell løsning av systemet. Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form

Løsning av lineære systemer algebraiske ligninger(SLAU) er utvilsomt det viktigste temaet lineær algebrakurs. Stor mengde problemer fra alle grener av matematikken reduseres til å løse systemer lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til å lage denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

plukke opp beste metoden løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
studere teorien om den valgte metoden,
løse systemet med lineære ligninger, etter å ha vurdert i detalj løsningene av typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av materialet i artikkelen.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, konsepter og introduserer noen notasjon.

Deretter vurderer vi metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. Først vil vi fokusere på Cramer-metoden, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden sekvensiell ekskludering ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter det går vi over til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger generelt syn, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er degenerert. Vi formulerer Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (i tilfelle av deres kompatibilitet) ved å bruke konseptet med basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene til eksemplene.

Sørg for å dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan man skriver felles vedtak SLAE ved hjelp av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet. Til bedre forståelse la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis tar vi for oss ligningssystemer som er redusert til lineære, så vel som ulike problemer, i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n ) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - gratis medlemmer (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for SLAE kalles koordinere.

PÅ matriseform dette ligningssystemet har formen ,
hvor - hovedmatrisen til systemet, - matrisekolonnen med ukjente variabler, - matrisekolonnen av frie medlemmer.

Legger vi til matrisen A som (n + 1)-te kolonne matrisekolonnen av frie ledd, så får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er den utvidede matrisen merket med bokstaven T, og kolonnen med frie medlemmer er atskilt med en vertikal linje fra resten av kolonnene, det vil si,

Ved å løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler, som gjør alle likningene i systemet til identiteter. Matriseligning for de gitte verdiene til de ukjente variablene blir også til en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis ligningssystemet ikke har noen løsninger, kalles det uforenlig.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så - usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers - heterogen.

Løsning av elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antall systemligninger er lik antallet ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null, vil vi kalle slike SLAE-er elementær. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE-er i videregående skole. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved Cramers metode.

La oss løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og er determinanter for matriser som er hentet fra A ved å erstatte 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med slik notasjon beregnes de ukjente variablene ved formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen av et system med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden.

Eksempel.

Cramer metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . Beregn dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten for hovedmatrisen til systemet ikke er null, har systemet en unik løsning som kan finnes ved Cramers metode.

Komponer og beregn de nødvendige determinantene (determinanten oppnås ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie medlemmer, determinanten - ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne av frie medlemmer, - ved å erstatte den tredje kolonnen i matrise A med en kolonne med frie medlemmer ):

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svar:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinantene når antallet systemligninger er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke den inverse matrisen).

La systemet med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform , hvor matrisen A har dimensjon n ved n og dens determinant er ikke null.

Siden , så er matrisen A inverterbar, det vil si at det er en invers matrise . Hvis vi multipliserer begge deler av likheten med til venstre, får vi en formel for å finne kolonnematrisen med ukjente variabler. Så vi fikk løsningen på systemet med lineære algebraiske ligninger matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetoden.

Løsning.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi

da kan SLAE løses med matrisemetoden. Ved bruk av invers matrise løsningen på dette systemet kan finnes som .

La oss konstruere den inverse matrisen ved å bruke matrisen fra algebraiske tillegg elementer i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne - matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen på matrisekolonnen med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svar:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet med å finne en løsning på systemer med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser ordre høyere enn den tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består i suksessiv ekskludering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle ligninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n forblir i den siste ligningen. En slik prosess med å transformere likningene til systemet for suksessiv eliminering av ukjente variabler kalles direkte Gauss-metoden. Etter fullføringen av foroverkjøringen av Gauss-metoden, blir x n funnet fra den siste ligningen, x n-1 beregnes fra den nest siste ligningen ved å bruke denne verdien, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles omvendt Gauss-metode.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å omorganisere likningene til systemet. Vi ekskluderer den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, fra den andre. For å gjøre dette, legg til den første likningen multiplisert med til den andre likningen i systemet, legg den første multiplisert med til den tredje likningen, og så videre, legg den første multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en .

Vi ville komme til samme resultat hvis vi uttrykte x 1 i form av andre ukjente variabler i den første ligningen i systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre ligninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter handler vi på samme måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er merket på figuren

For å gjøre dette, legg til den andre multiplisert med til den tredje likningen i systemet, legg den andre multiplisert med til den fjerde likningen, og så videre, legg den andre multiplisert med til den n'te likningen. Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor en . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi til eliminering av den ukjente x 3, mens vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter det direkte forløpet til Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra nå av starter vi omvendt slag Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste likningen som , ved å bruke den oppnådde verdien av x n finner vi x n-1 fra den nest siste likningen, og så videre finner vi x 1 fra den første likningen.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gaussisk metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje ligningen i systemet. For å gjøre dette, til begge deler av den andre og tredje ligningen, legger vi til de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå eliminerer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og riktige deler venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

På dette er fremforløpet til Gauss-metoden fullført, vi begynner bakoverkurset.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og denne fullfører det omvendte forløpet til Gauss-metoden.

Svar:

X 1 \u003d 4, x 2 \u003d 0, x 3 \u003d -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

PÅ generell sak antall systemligninger p samsvarer ikke med antall ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og degenerert.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt, og når det er inkompatibelt, gir Kronecker-Capelli teorem:
for at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av hovedmatrisen til systemet er lik rangering utvidet matrise, det vil si Rank(A)=Rank(T) .

La oss vurdere anvendelsen av Kronecker-Cappelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger som et eksempel.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense til mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss gå over de mindreårige av tredje orden rundt det:

Siden alle grensende tredje-ordens mindreårige er lik null, er rangeringen av hovedmatrisen to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden moll av tredje orden

forskjellig fra null.

På denne måten, Rang(A) , derfor, ifølge Kronecker-Capelli-teoremet, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svar:

Det finnes ikke noe løsningssystem.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til systemet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne løsningen til SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med basismoll av en matrise og teoremet om rangeringen av en matrise.

Liten høyeste orden matrise A som ikke er null kalles grunnleggende.

Det følger av definisjonen av basisminoren at dens rekkefølge er lik rangeringen av matrisen. For en ikke-null matrise A, kan det være flere basis minorer, en grunnleggende bifag det er alltid.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende mindreårige av andre orden er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p ved n er r, blir alle elementene i radene (og kolonnene) i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de tilsvarende elementene i radene (og kolonnene) ) som danner grunnlaget mindre.

Hva gir matriserangsetningen oss?

Hvis vi ved hjelp av Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi en hvilken som helst grunnleggende moll av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som ikke gjør det danne det valgte grunnfaget. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet de overdrevne ligningene til systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden moll av andre orden forskjellig fra null. Utvidet matriserangering er også lik to, siden den eneste moll av tredje orden er lik null

og den moll av den andre ordenen vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan man hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2 .

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:

Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende minor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på matriserangsetningen:

Dermed har vi fått et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved Cramers metode:

Svar:

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d 2.

Hvis antall ligninger r i den resulterende SLAE mindre enn antall ukjente variabler n, så lar vi på venstre side av likningene stå begrepene som danner grunnmoll, og overfører de resterende leddene til høyre side av likningene i systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (det er r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det finnes n - r av dem) som havnet på høyre side kalles gratis.

Nå antar vi at de frie ukjente variablene kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil bli uttrykt i form av de frie ukjente variablene på en unik måte. Uttrykket deres kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss ta et eksempel.

Eksempel.

Løs system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Finn rangeringen av hovedmatrisen til systemet etter metoden for grensende mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en førsteordens moll som ikke er null. La oss begynne å søke etter en annenordens moll som ikke er null rundt dette bifaget:

Så vi fant en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:

Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Den funnet ikke-null moll av tredje orden vil bli tatt som den grunnleggende.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:

Vi lar begrepene som deltar i grunnmoll på venstre side av likningene til systemet, og overfører resten fra motsatte tegn til høyre side:

Vi gir gratis ukjente variabler x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi tar , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet tar SLAE formen

Vi løser det oppnådde elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved Cramer-metoden:

Følgelig.

I svaret, ikke glem å angi gratis ukjente variabler.

Svar:

Hvor er vilkårlige tall.

Oppsummer.

For å løse et system med lineære algebraiske ligninger av en generell form, finner vi først ut dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkonsekvent.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi den grunnleggende minoren og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte grunnleggende minor.

Hvis rekkefølgen av grunnlaget mindre er lik tallet ukjente variabler, så har SLAE en unik løsning som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen på basis-minor er mindre enn antall ukjente variabler, lar vi leddene med de viktigste ukjente variablene stå på venstre side av likningene til systemet, overfører de resterende leddene til høyresiden og tildeler vilkårlige verdier til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente metodevariabler Cramer, matrisemetode eller Gaussmetode.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Ved å bruke Gauss-metoden kan man løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten deres foreløpige undersøkelse for kompatibilitet. Prosessen med suksessiv eliminering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkonsistensen til SLAE, og hvis en løsning eksisterer, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig arbeid er Gauss-metoden å foretrekke.

Se det Detaljert beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss metode for løsning av systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Registrering av den generelle løsningen av homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet.

I denne seksjonen vi skal snakke på felles homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har uendelig sett løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende beslutningssystem Et homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er et sett med (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, der r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) er matriser kolonner med dimensjon n med 1), så er den generelle løsningen til dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlig konstante koeffisienterС 1 , С 2 , …, С (n-r) , det vil si .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen setter alt mulige løsninger den opprinnelige SLAE, med andre ord, tar ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter С 1 , С 2 , …, С (n-r), i henhold til formelen får vi en av løsningene til den opprinnelige homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi sette alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger for en homogen SLAE.

Vi velger grunnmoll i det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet, og overfører til høyre side av systemets ligninger med motsatte fortegn alle ledd som inneholder frie ukjente variabler. La oss gi gratis ukjente variable verdier 1,0,0,…,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på en hvilken som helst måte, for eksempel ved Cramer-metoden. Dermed vil X (1) bli oppnådd - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis gitt gratis ukjente verdier 0,1,0,0,…,0 og beregne de viktigste ukjente, så får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi gir de frie ukjente variablene verdiene 0,0,...,0,1 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . Dette er hvordan det grunnleggende løsningssystemet til den homogene SLAE vil bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen.

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger er den generelle løsningen representert som

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved hjelp av metoden for å frynse mindreårige. Som ulik null-moll av første orden tar vi elementet a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. Finn den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En moll av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom de mindreårige av tredje orden som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle grensende mindreårige av tredje orden er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen to. La oss ta den grunnleggende minor. For klarhetens skyld noterer vi oss elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av den grunnleggende mindreårige, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente stå på høyresiden av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyresiden:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Grunnleggende system løsninger av denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens grunnleggende mindre er to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 \u003d 1, x 4 \u003d 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.

Selv på skolen studerte hver av oss ligninger og, helt sikkert, ligningssystemer. Men det er ikke mange som vet at det er flere måter å løse dem på. I dag vil vi analysere i detalj alle metodene for å løse et system med lineære algebraiske ligninger, som består av mer enn to likheter.

Historie

I dag er det kjent at kunsten å løse ligninger og deres systemer oppsto i Det gamle Babylon og Egypt. Imidlertid dukket likheter i sin vanlige form opp etter fremveksten av likhetstegnet "=", som ble introdusert i 1556. Engelsk matematiker Ta opp. Forresten, dette tegnet ble valgt av en grunn: det betyr to parallelle like segmenter. Og sannheten er beste eksempel likestilling kan ikke tenkes.

Grunnleggeren av moderne bokstavbetegnelser på ukjente og tegn på grader er fransk matematiker Imidlertid skilte betegnelsene hans seg betydelig fra dagens. For eksempel en firkant ukjent nummer han betegnet bokstaven Q (lat. "quadratus"), og kuben - bokstaven C (lat. "cubus"). Disse notasjonene virker vanskelige nå, men den gang var det den mest forståelige måten å skrive systemer med lineære algebraiske ligninger på.

En ulempe ved de daværende løsningsmetodene var imidlertid at matematikere bare vurderte positive røtter. Kanskje dette skyldes det faktum at negative verdier hadde ingen praktisk anvendelse. På en eller annen måte, men den første til å vurdere negative røtter Det var de italienske matematikerne Niccolo Tartaglia, Gerolamo Cardano og Rafael Bombelli som startet det på 1500-tallet. MEN moderne utseende, ble hovedløsningsmetoden (gjennom diskriminanten) opprettet først på 1600-tallet takket være arbeidet til Descartes og Newton.

På midten av 1700-tallet fant den sveitsiske matematikeren Gabriel Cramer ny måte for å gjøre det enklere å løse systemer av lineære ligninger. Denne metoden ble senere oppkalt etter ham, og den dag i dag bruker vi den. Men vi skal snakke om Cramers metode litt senere, men foreløpig vil vi diskutere lineære ligninger og metoder for å løse dem separat fra systemet.

Lineære ligninger

Lineære ligninger er de enkleste likhetene med variabel(er). De er klassifisert som algebraiske. skriv i generell form som følger: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... og n * x n \u003d b. Vi vil trenge deres representasjon i denne formen når vi sammenstiller systemer og matriser videre.

Systemer av lineære algebraiske ligninger

Definisjonen av dette begrepet er som følger: det er et sett med ligninger som har felles ukjente og en felles løsning. Som regel, på skolen, ble alt løst av systemer med to eller til og med tre ligninger. Men det finnes systemer med fire eller flere komponenter. La oss først finne ut hvordan du skriver dem ned slik at det er praktisk å løse dem senere. For det første vil systemer med lineære algebraiske ligninger se bedre ut hvis alle variabler skrives som x med passende indeks: 1,2,3, og så videre. For det andre bør alle ligninger bringes til den kanoniske formen: a 1 * x 1 + a 2 * x 2 + ... a n * x n =b.

Etter alle disse handlingene kan vi begynne å snakke om hvordan vi finner en løsning på systemer med lineære ligninger. Matriser er veldig nyttige for dette.

matriser

En matrise er en tabell som består av rader og kolonner, og i skjæringspunktet deres er elementene. Disse kan enten være spesifikke verdier eller variabler. Oftest, for å utpeke elementer, plasseres abonnenter under dem (for eksempel en 11 eller en 23). Den første indeksen betyr radnummeret og den andre kolonnenummeret. Over matriser, som over alle andre matematisk element du kan utføre ulike operasjoner. Dermed kan du:

2) Multipliser en matrise med et tall eller vektor.

3) Transponer: gjør matriserader til kolonner og kolonner til rader.

4) Multipliser matriser hvis antall rader i en av dem er lik antall kolonner i den andre.

Vi vil diskutere alle disse teknikkene mer detaljert, da de vil være nyttige for oss i fremtiden. Å trekke fra og legge til matriser er veldig enkelt. Siden vi tar matriser av samme størrelse, tilsvarer hvert element i en tabell hvert element i en annen. Dermed legger vi til (trekker fra) disse to elementene (det er viktig at de er på samme plass i matrisene). Når du multipliserer en matrise med et tall eller vektor, trenger du ganske enkelt å multiplisere hvert element i matrisen med det tallet (eller vektoren). Transponering er en veldig interessant prosess. Noen ganger er det veldig interessant å se ham det virkelige liv, for eksempel når du endrer retningen på nettbrettet eller telefonen. Ikonene på skrivebordet er en matrise, og når du endrer posisjonen transponeres den og blir bredere, men avtar i høyden.

La oss analysere en slik prosess som Selv om det ikke vil være nyttig for oss, vil det fortsatt være nyttig å vite det. Du kan multiplisere to matriser bare hvis antall kolonner i en tabell er lik antall rader i den andre. La oss nå ta elementene i en rad med en matrise og elementene i den tilsvarende kolonnen i en annen. Vi multipliserer dem med hverandre og legger dem så sammen (det vil si at for eksempel produktet av elementene a 11 og a 12 med b 12 og b 22 vil være lik: a 11 * b 12 + a 12 * b 22) . Dermed oppnås ett element i tabellen, og det fylles videre med en lignende metode.

Nå kan vi begynne å vurdere hvordan systemet med lineære ligninger er løst.

Gauss metode

Dette emnet starter på skolen. Vi kjenner godt til konseptet "system av to lineære ligninger" og vet hvordan vi skal løse dem. Men hva om antallet ligninger er mer enn to? Dette vil hjelpe oss

Selvfølgelig er denne metoden praktisk å bruke hvis du lager en matrise av systemet. Men du kan ikke transformere det og løse det i sin rene form.

Så hvordan løses systemet med lineære gaussiske ligninger ved denne metoden? Forresten, selv om denne metoden er oppkalt etter ham, ble den oppdaget i antikken. Gauss foreslår følgende: å utføre operasjoner med ligninger for på sikt å redusere hele befolkningen til trinnvis utsikt. Det vil si at det er nødvendig at fra topp til bunn (hvis plassert riktig) fra den første ligningen til den siste, minker en ukjent. Med andre ord, vi må sørge for at vi får for eksempel tre ligninger: i den første - tre ukjente, i den andre - to, i den tredje - en. Så fra den siste ligningen finner vi den første ukjente, erstatter verdien med den andre eller første ligningen, og finner deretter de resterende to variablene.

Cramer metode

For å mestre denne metoden er det viktig å mestre ferdighetene til addisjon, subtraksjon av matriser, og du må også kunne finne determinanter. Derfor, hvis du gjør alt dette dårlig eller ikke vet hvordan i det hele tatt, må du lære og øve.

Hva er essensen av denne metoden, og hvordan gjøre det slik at et system med lineære Cramer-ligninger oppnås? Alt er veldig enkelt. Vi må konstruere en matrise fra numeriske (nesten alltid) koeffisienter til et system med lineære algebraiske ligninger. For å gjøre dette tar vi ganske enkelt tallene foran de ukjente og legger dem i tabellen i den rekkefølgen de er skrevet i systemet. Hvis tallet innledes med et "-"-tegn, skriver vi ned en negativ koeffisient. Så vi har satt sammen den første matrisen av koeffisientene til de ukjente, ikke inkludert tallene etter likhetstegnet (naturligvis skal ligningen reduseres til den kanoniske formen, når bare tallet er til høyre, og alle ukjente med koeffisientene er til venstre). Deretter må du lage flere matriser - en for hver variabel. For å gjøre dette, i den første matrisen, erstatter vi på sin side hver kolonne med koeffisienter med en kolonne med tall etter likhetstegnet. Dermed får vi flere matriser og finner deretter deres determinanter.

Etter at vi har funnet determinantene er saken liten. Vi har en startmatrise, og det er flere resulterende matriser som tilsvarer forskjellige variabler. For å få løsningene til systemet deler vi determinanten til den resulterende tabellen med determinanten til den opprinnelige tabellen. Det resulterende tallet er verdien av en av variablene. På samme måte finner vi alle de ukjente.

Andre metoder

Det finnes flere metoder for å få en løsning på systemer med lineære ligninger. For eksempel den såkalte Gauss-Jordan-metoden, som brukes for å finne løsninger på systemet andregradsligninger og er også relatert til bruk av matriser. Det finnes også en Jacobi-metode for å løse et system med lineære algebraiske ligninger. Den er lettest å tilpasse til en datamaskin og brukes i datateknologi.

Vanskelige saker

Kompleksitet oppstår vanligvis når antall ligninger er mindre enn antall variabler. Da kan vi med sikkerhet si at enten er systemet inkonsekvent (det vil si at det ikke har noen røtter), eller at antallet løsninger har en tendens til uendelig. Hvis vi har det andre tilfellet, må vi skrive ned den generelle løsningen av systemet med lineære ligninger. Den vil inneholde minst én variabel.

Konklusjon

Her kommer vi til slutten. La oss oppsummere: vi har analysert hva et system og en matrise er, lært hvordan vi finner en generell løsning på et system med lineære ligninger. I tillegg ble andre alternativer vurdert. Vi fant ut hvordan et system med lineære ligninger løses: Gauss-metoden og Vi snakket om vanskelige saker og andre måter å finne løsninger på.

Faktisk er dette emnet mye mer omfattende, og hvis du ønsker å forstå det bedre, anbefaler vi deg å lese mer spesialisert litteratur.

Gaussmetoden har en rekke ulemper: det er umulig å vite om systemet er konsistent eller ikke før alle transformasjonene som er nødvendige i Gaussmetoden er utført; Gaussmetoden egner seg ikke for systemer med bokstavkoeffisienter.

Vurder andre metoder for å løse systemer med lineære ligninger. Disse metodene bruker konseptet rangering av en matrise og reduserer løsningen av enhver felles system til løsningen av et system som Cramers regel gjelder for.

Eksempel 1 Finn en generell løsning neste system lineære ligninger som bruker det grunnleggende løsningssystemet til det reduserte homogene systemet og en spesiell løsning av det inhomogene systemet.

1. Vi lager en matrise EN og den utvidede matrisen til systemet (1)

2. Utforsk systemet (1) for kompatibilitet. For å gjøre dette finner vi matrisenes rekker EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image006_90.gif" width="17" height="26 src=">). Hvis det viser seg at , så systemet (1) uforenlig. Hvis vi får det , så er dette systemet konsekvent, og vi vil løse det. (Konsistensstudien er basert på Kronecker-Capelli-teoremet).

en. Vi finner rA.

Å finne rA, vil vi vurdere suksessivt ikke-null molorer av den første, andre, osv. rekkefølgen av matrisen EN og de mindreårige rundt dem.

M1=1≠0 (vi tar 1 fra venstre øvre hjørne matriser MEN).

Grenser M1 den andre raden og den andre kolonnen i denne matrisen. . Vi fortsetter til grensen M1 den andre linjen og den tredje kolonnen..gif" width="37" height="20 src=">. Nå setter vi grensen for moll som ikke er null М2′ andre bestilling.

Vi har: (fordi de to første kolonnene er like)

(fordi andre og tredje linje er proporsjonale).

Det ser vi rA=2, og er basis-moll i matrisen EN.

b. Vi finner .

Tilstrekkelig grunnleggende bifag М2′ matriser EN kantlinje med en kolonne med ledige medlemmer og alle linjer (vi har bare den siste linjen).

. Det følger av dette at М3′′ forblir basis-moll av matrisen https://pandia.ru/text/78/176/images/image019_33.gif" width="168 height=75" height="75"> (2)

Fordi М2′- basis moll av matrisen EN systemer (2) , da er dette systemet ekvivalent med systemet (3) , som består av de to første likningene i systemet (2) (til М2′ er i de to første radene i matrise A).

(3)

Siden grunnfaget er https://pandia.ru/text/78/176/images/image021_29.gif" width="153" height="51"> (4)

I dette systemet, to gratis ukjente ( x2 og x4 ). Derfor FSR systemer (4) består av to løsninger. For å finne dem tildeler vi gratis ukjente (4) verdier først x2=1 , x4=0 , og så - x2=0 , x4=1 .

På x2=1 , x4=0 vi får:

Dette systemet har allerede den eneste tingen løsning (den kan bli funnet ved Cramers regel eller ved en annen metode). Trekker vi den første likningen fra den andre likningen, får vi:

Hennes avgjørelse vil være x1= -1 , x3=0 . Gitt verdiene x2 og x4 , som vi har gitt, får vi den første grunnleggende løsning systemer (2) : .

Nå legger vi inn (4) x2=0 , x4=1 . Vi får:

Vi løser dette systemet ved å bruke Cramers teorem:

Vi får den andre grunnleggende løsningen av systemet (2) : .

Løsninger β1 , β2 og sminke FSR systemer (2) . Da blir dens generelle løsning

γ= C1 β1+С2β2=С1(-1, 1, 0, 0)+С2(5, 0, 4, 1)=(-С1+5С2, С1, 4С2, С2)

Her C1 , C2 er vilkårlige konstanter.

4. Finn en privat løsning heterogent system(1) . Som i avsnitt 3 , i stedet for systemet (1) vurdere tilsvarende system (5) , som består av de to første likningene i systemet (1) .

(5)

Vi overfører de frie ukjente til høyresiden x2 og x4.

(6)

La oss gi gratis ukjente x2 og x4 vilkårlige verdier, for eksempel, x2=2 , x4=1 og koble dem til (6) . La oss få systemet

Dette systemet har en unik løsning (fordi dets determinant М2′0). Å løse det (ved å bruke Cramer-teoremet eller Gauss-metoden), får vi x1=3 , x3=3 . Gitt verdiene til de gratis ukjente x2 og x4 , vi får spesiell løsning av et inhomogent system(1)a1=(3,2,3,1).

5. Nå gjenstår det å skrive generell løsning α av et inhomogent system(1) : det er lik summen privat avgjørelse dette systemet og generell løsning av det reduserte homogene systemet (2) :

α=α1+γ=(3, 2, 3, 1)+(‑С1+5С2, С1, 4С2, С2).

Dette betyr: (7)

6. Undersøkelse. For å sjekke om du har løst systemet riktig (1) , trenger vi en generell løsning (7) erstatte inn (1) . Hvis hver ligning blir en identitet ( C1 og C2 bør destrueres), så er løsningen funnet riktig.

Vi vil erstatte (7) for eksempel bare i siste ligning av systemet (1) (x1 + x2 + x3 ‑9 x4 =‑1) .

Vi får: (3–С1+5С2)+(2+С1)+(3+4С2)–9(1+С2)=–1

(С1–С1)+(5С2+4С2–9С2)+(3+2+3–9)=–1

Hvor -1=-1. Vi har en identitet. Vi gjør dette med alle andre likninger i systemet (1) .

Kommentar. Verifisering er vanligvis ganske tungvint. Vi kan anbefale følgende "delvis verifisering": i den totale løsningen av systemet (1) tilordne noen verdier til vilkårlige konstanter og erstatte den resulterende bestemte løsningen bare i de forkastede ligningene (dvs. i de ligningene fra (1) som ikke er inkludert i (5) ). Hvis du får identiteter, da mest sannsynlig, løsning av systemet (1) funnet riktig (men en slik sjekk gir ikke full garanti for korrekthet!). For eksempel, hvis i (7) sette C2=- 1 , C1=1, da får vi: x1=-3, x2=3, x3=-1, x4=0. Setter vi inn i siste ligning av system (1), har vi: - 3+3 - 1 - 9∙0= - 1 , dvs. –1=–1. Vi har en identitet.

Eksempel 2 Finn en generell løsning på et system med lineære ligninger (1) , som uttrykker de viktigste ukjente i form av gratis.

Løsning. Som i eksempel 1, komponer matriser EN og https://pandia.ru/text/78/176/images/image010_57.gif" width="156" height="50"> av disse matrisene. Nå forlater vi bare de likningene til systemet (1) , hvis koeffisienter er inkludert i denne grunnleggende minor (dvs. vi har de to første ligningene) og vurdere systemet som består av dem, som er ekvivalent med system (1).

La oss overføre de frie ukjente til høyresiden av disse ligningene.

system (9) vi løser etter Gauss-metoden, vurderer de riktige delene som gratis medlemmer.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image035_21.gif" width="202 height=106" height="106">

Alternativ 2.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image039_16.gif" width="192" height="106 src=">

Alternativ 4.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image042_14.gif" width="172" height="80">

Alternativ 5.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image044_12.gif" width="179 height=106" height="106">

Alternativ 6.

https://pandia.ru/text/78/176/images/image046_11.gif" width="195" height="106">

Et system med lineære ligninger der alle frie ledd er lik null kalles homogen :

Ethvert homogent system er alltid konsistent, siden det alltid har gjort det null (triviell ) løsning. Spørsmålet oppstår under hvilke forhold et homogent system vil ha en ikke-triviell løsning.

Teorem 5.2.Et homogent system har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis rangeringen til den underliggende matrisen er mindre enn antallet ukjente.

Konsekvens. Et kvadratisk homogent system har en ikke-triviell løsning hvis og bare hvis determinanten til hovedmatrisen til systemet ikke er lik null.

Eksempel 5.6. Bestem verdiene til parameteren l som systemet har ikke-trivielle løsninger for, og finn disse løsningene:

Løsning. Dette systemet vil ha en ikke-triviell løsning når determinanten til hovedmatrisen er lik null:

Dermed er systemet ikke-trivielt når l=3 eller l=2. For l=3 er rangeringen av hovedmatrisen til systemet 1. La deretter bare én ligning stå igjen og anta at y=en og z=b, vi får x=b-a, dvs.

For l=2 er rangeringen av hovedmatrisen til systemet 2. Velg deretter som basis-moll:

vi får et forenklet system

Herfra finner vi det x=z/4, y=z/2. Forutsatt z=4en, vi får

Settet med alle løsninger av et homogent system har en veldig viktig lineær egenskap : hvis X kolonner 1 og X 2 - løsninger av det homogene systemet AX = 0, deretter en hvilken som helst lineær kombinasjon av dem en X 1+b X 2 vil også være løsningen på dette systemet. Faktisk siden ØKS 1 = 0 og ØKS 2 = 0 , deretter EN(en X 1+b X 2) = a ØKS 1+b ØKS 2 = a · 0 + b · 0 = 0. På grunn av denne egenskapen, hvis et lineært system har mer enn én løsning, vil det være uendelig mange av disse løsningene.

Lineært uavhengige kolonner E 1 , E 2 , E k, som er løsninger av et homogent system, kalles grunnleggende beslutningssystem homogent system av lineære ligninger hvis den generelle løsningen av dette systemet kan skrives som en lineær kombinasjon av disse kolonnene:

Hvis et homogent system har n variabler, og rangeringen av hovedmatrisen til systemet er lik r, deretter k = n-r.

Eksempel 5.7. Finn det grunnleggende løsningssystemet for følgende lineære ligningssystem:

Løsning. Finn rangeringen av hovedmatrisen til systemet:

Dermed danner settet med løsninger av dette ligningssystemet et lineært underrom av dimensjon n - r= 5 - 2 = 3. Vi velger som grunnmoll

Når vi så bare lar de grunnleggende ligningene (resten vil være en lineær kombinasjon av disse ligningene) og de grunnleggende variablene (resten, de såkalte frie variablene, overfører vi til høyre), får vi et forenklet system av ligninger:

Forutsatt x 3 = en, x 4 = b, x 5 = c, Vi finner

, .

Forutsatt en= 1, b=c= 0, får vi den første basisløsningen; forutsatt b= 1, a = c= 0, får vi den andre basisløsningen; forutsatt c= 1, a = b= 0, får vi den tredje grunnløsningen. Som et resultat tar det normale grunnleggende løsningssystemet formen

Ved å bruke grunnsystemet kan den generelle løsningen til det homogene systemet skrives som

X = aE 1 + være 2 + cE 3 . en

La oss merke seg noen egenskaper til løsninger av det inhomogene systemet med lineære ligninger AX=B og deres forhold til det tilsvarende homogene likningssystemet AX = 0.

Generell løsning av et inhomogent systemer lik summen av den generelle løsningen til det tilsvarende homogene systemet AX = 0 og en vilkårlig spesiell løsning av det inhomogene systemet. Faktisk, la Y 0 er en vilkårlig spesiell løsning av et inhomogent system, dvs. AY 0 = B, og Y er den generelle løsningen av et inhomogent system, dvs. AY=B. Å trekke den ene likheten fra den andre, får vi
EN(Å-Å 0) = 0, dvs. Å-Å 0 er den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet ØKS=0. Følgelig Å-Å 0 = X, eller Y=Y 0 + X. Q.E.D.

La heterogent system har formen AX = B 1 + B 2 . Da kan den generelle løsningen til et slikt system skrives som X = X 1 + X 2 , hvor AX 1 = B 1 og AX 2 = B 2. Denne egenskapen uttrykker den universelle eiendommen til enhver lineære systemer(algebraisk, differensial, funksjonell, etc.). I fysikk kalles denne egenskapen superposisjonsprinsipp, i elektro- og radioteknikk - overleggsprinsipp. For eksempel i teorien om lineær elektriske kretser strømmen i enhver krets kan oppnås som algebraisk sum strømmer forårsaket av hver energikilde separat.

Vi vil fortsette å polere teknikken elementære transformasjoner på homogent system av lineære ligninger.
Ifølge de første avsnittene kan materialet virke kjedelig og ordinært, men dette inntrykket er villedende. I tillegg til videreutvikling teknikker det blir mye ny informasjon, så prøv å ikke overse eksemplene i denne artikkelen.

Hva er et homogent system av lineære ligninger?

Svaret tyder på seg selv. Et system med lineære ligninger er homogent hvis det frie leddet alle systemligningen er null. For eksempel:

Det er helt klart det homogent system er alltid konsistent, det vil si at den alltid har en løsning. Og først og fremst den såkalte triviell løsning . Trivielt, for de som ikke forstår betydningen av adjektivet i det hele tatt, betyr bespontovoe. Ikke akademisk, selvfølgelig, men forståelig =) ... Hvorfor slå rundt busken, la oss finne ut om dette systemet har noen andre løsninger:

Eksempel 1

Løsning: for å løse et homogent system er det nødvendig å skrive systemmatrise og ved hjelp av elementære transformasjoner bringe den til en trinnvis form. Merk at det ikke er nødvendig å skrive ned den vertikale linjen og nullkolonnen med gratis medlemmer her - uansett hva du gjør med nuller, vil de forbli null:

(1) Den første raden ble lagt til den andre raden, multiplisert med -2. Den første linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -3.

(2) Den andre linjen ble lagt til den tredje linjen, multiplisert med -1.

Å dele den tredje raden med 3 gir ikke mye mening.

Som et resultat av elementære transformasjoner oppnås et ekvivalent homogent system , og ved å bruke den omvendte bevegelsen av Gauss-metoden, er det lett å verifisere at løsningen er unik.

Svar:

La oss formulere et åpenbart kriterium: et homogent system av lineære ligninger har bare triviell løsning, hvis systemmatriserangering(i denne saken 3) er lik antall variabler (i dette tilfellet 3 stk.).

Vi varmer opp og stiller inn radioen vår til en bølge av elementære transformasjoner:

Eksempel 2

Løs et homogent system av lineære ligninger

For å endelig fikse algoritmen, la oss analysere den siste oppgaven:

Eksempel 7

Løs et homogent system, skriv svaret i vektorform.

Løsning: vi skriver matrisen til systemet, og ved å bruke elementære transformasjoner bringer vi den til en trinnvis form:

(1) Tegnet på den første linjen er endret. Nok en gang trekker jeg oppmerksomheten til den gjentatte møtte teknikken, som lar deg forenkle følgende handling betydelig.

(1) Den første linjen ble lagt til 2. og 3. linje. Den første linjen multiplisert med 2 ble lagt til den fjerde linjen.

(3) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem er fjernet.

Resultatet er en standard trinnmatrise, og løsningen fortsetter langs tommelfingersporet:

– grunnleggende variabler;
er frie variabler.

Vi uttrykker grunnvariablene i form av frie variabler. Fra den andre ligningen:

- erstatning i 1. ligning:

Så den generelle løsningen er:

Siden det er tre frie variabler i eksemplet under vurdering, inneholder det grunnleggende systemet tre vektorer.

La oss erstatte en trippel av verdier inn i den generelle løsningen og få en vektor hvis koordinater tilfredsstiller hver ligning i det homogene systemet. Og igjen, jeg gjentar at det er svært ønskelig å sjekke hver mottatt vektor - det vil ikke ta så mye tid, men det vil spare hundre prosent fra feil.

For en trippel av verdier finn vektoren

Og til slutt for trippelen vi får den tredje vektoren:

Svar: , hvor

Ønsker å rømme brøkverdier kan vurdere trillinger og få svaret i tilsvarende form:

Apropos brøker. La oss se på matrisen oppnådd i oppgaven og still spørsmålet - er det mulig å forenkle den videre løsningen? Tross alt, her uttrykte vi først den grunnleggende variabelen i form av brøker, deretter den grunnleggende variabelen i form av brøker, og jeg må si, denne prosessen var ikke den enkleste og ikke den mest behagelige.

Den andre løsningen:

Tanken er å prøve velge andre grunnleggende variabler. La oss se på matrisen og legge merke til to i den tredje kolonnen. Så hvorfor ikke få null på toppen? La oss gjøre enda en elementær transformasjon: