Vinkel mellom to rette linjer. Vinkel mellom linjer på et plan

Dette materialet er viet til et slikt konsept som vinkelen mellom to kryssende rette linjer. I første avsnitt vil vi forklare hva det er og vise det i illustrasjoner. Deretter vil vi analysere hvordan du kan finne sinus, cosinus til denne vinkelen og selve vinkelen (vi vil separat vurdere tilfeller med et plan og tredimensjonalt rom), vi gir nødvendige formler og vise eksempler på hvordan de brukes i praksis.

Yandex.RTB R-A-339285-1

For å forstå hva en vinkel dannet i skjæringspunktet mellom to linjer er, må vi huske selve definisjonen av en vinkel, perpendikularitet og et skjæringspunkt.

Definisjon 1

Vi kaller to linjer som krysser hverandre hvis de har ett felles punkt. Dette punktet kalles skjæringspunktet mellom de to linjene.

Hver linje er delt av skjæringspunktet i stråler. I dette tilfellet danner begge linjene 4 vinkler, hvorav to er vertikale og to er tilstøtende. Hvis vi vet målet til en av dem, kan vi bestemme de andre gjenværende.

La oss si at vi vet at en av vinklene er lik α. I et slikt tilfelle vil vinkelen som er vertikal til den også være lik α. For å finne de resterende vinklene må vi beregne differansen 180 ° - α . Hvis α er lik 90 grader, vil alle vinkler være rette. Linjer som krysser i rette vinkler kalles vinkelrett (en egen artikkel er viet begrepet vinkelrett).

Ta en titt på bildet:

La oss gå videre til formuleringen av hoveddefinisjonen.

Definisjon 2

Vinkelen som dannes av to kryssende linjer er målet på den minste av de 4 vinklene som danner disse to linjene.

En viktig konklusjon må trekkes fra definisjonen: størrelsen på vinkelen i dette tilfellet vil bli uttrykt av enhver ekte nummer i intervallet (0 , 90 ] Hvis linjene er vinkelrette, så vil vinkelen mellom dem uansett være lik 90 grader.

Evnen til å finne mål på vinkelen mellom to kryssende linjer er nyttig for å løse mange praktiske problemer. Løsningsmetoden kan velges fra flere alternativer.

For det første kan vi ta geometriske metoder. Hvis vi vet noe om tilleggsvinkler, så kan vi koble dem til vinkelen vi trenger ved å bruke egenskapene til like eller lignende former. For eksempel, hvis vi kjenner sidene i en trekant og trenger å beregne vinkelen mellom linjene som disse sidene er plassert på, så er cosinussetningen egnet for å løse. Hvis vi har i tilstanden høyre trekant, så vil vi for beregninger også trenge kunnskap om sinus, cosinus og tangens til vinkelen.

Koordinatmetoden er også veldig praktisk for å løse problemer av denne typen. La oss forklare hvordan du bruker det riktig.

Vi har et rektangulært (kartesisk) koordinatsystem O x y med to rette linjer. La oss betegne dem med bokstavene a og b. I dette tilfellet kan rette linjer beskrives ved hjelp av alle ligninger. De opprinnelige linjene har et skjæringspunkt M . Hvordan bestemme ønsket vinkel (la oss betegne den α) mellom disse linjene?

La oss starte med formuleringen av det grunnleggende prinsippet om å finne en vinkel under gitte forhold.

Vi vet at slike begreper som retning og normalvektor er nært beslektet med begrepet en rett linje. Hvis vi har ligningen til en rett linje, kan vi ta koordinatene til disse vektorene fra den. Vi kan gjøre dette for to kryssende linjer samtidig.

Vinkelen dannet av to kryssende linjer kan bli funnet ved å bruke:

• vinkel mellom retningsvektorer;
• vinkel mellom normale vektorer;
• vinkelen mellom normalvektoren til en linje og retningsvektoren til den andre.

La oss nå se på hver metode separat.

1. Anta at vi har en linje a med retningsvektor a → = (a x , a y) og en linje b med retningsvektor b → (b x , b y) . La oss nå sette til side to vektorer a → og b → fra skjæringspunktet. Etter det skal vi se at de blir plassert på hver sin linje. Da har vi fire alternativer for dem relativ posisjon. Se illustrasjon:

Hvis vinkelen mellom to vektorer ikke er stump, vil det være vinkelen vi trenger mellom de kryssende linjene a og b. Hvis den er stump, vil den ønskede vinkelen være lik vinkelen, ved siden av vinkelen a → , b → ^ . Dermed er α = a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° , og α = 180 ° - a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .

Basert på det faktum at cosinusene til like vinkler er like, kan vi omskrive de resulterende likhetene som følger: cos α = cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ ≤ 90 ° ; cos α = cos 180 ° - a → , b → ^ = - cos a → , b → ^ hvis a → , b → ^ > 90 ° .

I det andre tilfellet ble det brukt reduksjonsformler. På denne måten,

cos α cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^ ≥ 0 - cos a → , b → ^ , cos a → , b → ^< 0 ⇔ cos α = cos a → , b → ^

La oss skrive den siste formelen med ord:

Definisjon 3

Cosinus til vinkelen dannet av to kryssende linjer er lik modulo cosinus av vinkelen mellom retningsvektorene.

Den generelle formen for formelen for cosinus til vinkelen mellom to vektorer a → = (a x, a y) og b → = (b x, b y) ser slik ut:

cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → b → = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Fra den kan vi utlede formelen for cosinus til vinkelen mellom to gitte linjer:

cos α = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 = a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Da kan selve vinkelen bli funnet ved å bruke følgende formel:

α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2

Her er a → = (a x , a y) og b → = (b x , b y) retningsvektorene til de gitte linjene.

La oss gi et eksempel på hvordan du løser problemet.

Eksempel 1

I et rektangulært koordinatsystem er to kryssende linjer a og b gitt på planet. De kan beskrives med parametriske ligninger x = 1 + 4 · λ y = 2 + λ λ ∈ R og x 5 = y - 6 - 3 . Regn ut vinkelen mellom disse linjene.

Løsning

Vi har i tilstanden parametrisk ligning, som betyr at for denne rette linjen kan vi umiddelbart skrive ned koordinatene til retningsvektoren. For å gjøre dette må vi ta verdiene til koeffisientene ved parameteren, dvs. linjen x = 1 + 4 λ y = 2 + λ λ ∈ R vil ha en retningsvektor a → = (4 , 1) .

Den andre linjen er beskrevet ved hjelp av kanonisk ligning x 5 = y - 6 - 3 . Her kan vi ta koordinatene fra nevnerne. Dermed har denne linjen en retningsvektor b → = (5 , - 3) .

Deretter fortsetter vi direkte for å finne vinkelen. For å gjøre dette, erstatt de tilgjengelige koordinatene til de to vektorene inn i formelen ovenfor α = a r c cos a x b x + a y + b y a x 2 + a y 2 b x 2 + b y 2 . Vi får følgende:

α = a r c cos 4 5 + 1 (- 3) 4 2 + 1 2 5 2 + (- 3) 2 = a r c cos 17 17 34 = a r c cos 1 2 = 45°

Svar: Disse linjene danner en vinkel på 45 grader.

Vi kan løse et lignende problem ved å finne vinkelen mellom normalvektorer. Hvis vi har en linje a med en normalvektor n a → = (n a x , n a y) og en linje b med en normalvektor n b → = (n b x , n b y) , så vil vinkelen mellom dem være lik vinkelen mellom n a → og n b → eller vinkelen som vil være ved siden av n a → , n b → ^ . Denne metoden er vist på bildet:

Formlene for å beregne cosinus til vinkelen mellom kryssende linjer og denne vinkelen ved å bruke koordinatene til normale vektorer ser slik ut:

cos α = cos n a → , n b → ^ = n a x n b x + n a y + n b y n a x 2 + n a y 2 n b x 2 + n by y 2

Her betegner n a → og n b → normalvektorene til to gitte linjer.

Eksempel 2

To rette linjer er gitt i et rektangulært koordinatsystem ved å bruke ligningene 3 x + 5 y - 30 = 0 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn sinus, cosinus til vinkelen mellom dem, og størrelsen på selve vinkelen.

Løsning

De originale rette linjene er gitt vha normale ligninger linje av formen A x + B y + C = 0 . Angi normalvektoren n → = (A , B) . Finn koordinatene til den første normal vektor for én rett linje og skriv dem ned: n a → = (3 , 5) . For den andre linjen x + 4 y - 17 = 0 vil normalvektoren ha koordinater n b → = (1 , 4) . Legg nå de oppnådde verdiene til formelen og beregn totalen:

cos α = cos n a → , n b → ^ = 3 1 + 5 4 3 2 + 5 2 1 2 + 4 2 = 23 34 17 = 23 2 34

Hvis vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne sinus ved å bruke det grunnleggende trigonometrisk identitet. Siden vinkelen α dannet av rette linjer ikke er stump, er sin α \u003d 1 - cos 2 α \u003d 1 - 23 2 34 2 \u003d 7 2 34.

I dette tilfellet er α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34 .

Svar: cos α = 23 2 34 , sin α = 7 2 34 , α = a r c cos 23 2 34 = a r c sin 7 2 34

La oss analysere siste tilfelle- finne vinkelen mellom linjene, hvis vi kjenner koordinatene til retningsvektoren til en linje og normalvektoren til den andre.

Anta at linje a har en retningsvektor a → = (a x , a y) , og linje b har en normalvektor n b → = (n b x , n b y) . Vi må utsette disse vektorene fra skjæringspunktet og vurdere alle alternativer for deres relative posisjon. Se bilde:

Hvis vinkelen mellom gitte vektorer ikke mer enn 90 grader, viser det seg at det vil komplementere vinkelen mellom a og b til en rett vinkel.

a → , n b → ^ = 90 ° - α hvis a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

Hvis det er mindre enn 90 grader, får vi følgende:

a → , n b → ^ > 90 ° , deretter a → , n b → ^ = 90 ° + α

Ved å bruke regelen om likhet for cosinus med like vinkler, skriver vi:

cos a → , n b → ^ = cos (90 ° - α) = sin α for a → , n b → ^ ≤ 90 ° .

cos a → , n b → ^ = cos 90 ° + α = - sin α ved a → , n b → ^ > 90 ° .

På denne måten,

sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ ≤ 90 ° - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 90 ° ⇔ sin α = cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^ > 0 - cos a → , n b → ^ , a → , n b → ^< 0 ⇔ ⇔ sin α = cos a → , n b → ^

La oss formulere en konklusjon.

Definisjon 4

For å finne sinusen til vinkelen mellom to linjer som skjærer hverandre i et plan, må du beregne modulen til cosinus til vinkelen mellom retningsvektoren til den første linjen og normalvektoren til den andre.

La oss skrive ned nødvendige formler. Finne sinusen til en vinkel:

sin α = cos a → , n b → ^ = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Å finne selve hjørnet:

α = a r c sin = a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2

Her er a → retningsvektoren til den første linjen, og n b → er normalvektoren til den andre.

Eksempel 3

To kryssende linjer er gitt av ligningene x - 5 = y - 6 3 og x + 4 y - 17 = 0 . Finn skjæringsvinkelen.

Løsning

Vi tar koordinatene til retnings- og normalvektoren fra de gitte ligningene. Det viser seg a → = (- 5 , 3) ​​og n → b = (1 , 4) . Vi tar formelen α \u003d a r c sin \u003d a x n b x + a y n b y a x 2 + a y 2 n b x 2 + n b y 2 og vurderer:

α = a r c sin = - 5 1 + 3 4 (- 5) 2 + 3 2 1 2 + 4 2 = a r c sin 7 2 34

Merk at vi tok likningene fra forrige oppgave og fikk nøyaktig samme resultat, men på en annen måte.

Svar:α = a r c sin 7 2 34

Her er en annen måte å finne ønsket vinkel ved å bruke helningskoeffisienten til de gitte linjene.

Vi har en linje a , som er definert i et rektangulært koordinatsystem ved hjelp av ligningen y = k 1 · x + b 1 , og en linje b , definert som y = k 2 · x + b 2 . Dette er ligninger av linjer med en helning. For å finne skjæringsvinkelen, bruk formelen:

α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1, hvor k 1 og k 2 er stigningene til de gitte linjene. For å få denne posten ble formler for å bestemme vinkelen gjennom koordinatene til normale vektorer brukt.

Eksempel 4

Det er to rette linjer som krysser hverandre i et plan, gitt av ligninger y = - 3 5 x + 6 og y = - 1 4 x + 17 4 . Regn ut skjæringsvinkelen.

Løsning

Helningene til linjene våre er lik k 1 = - 3 5 og k 2 = - 1 4 . La oss legge dem til formelen α = a r c cos k 1 k 2 + 1 k 1 2 + 1 k 2 2 + 1 og regne ut:

α = a r c cos - 3 5 - 1 4 + 1 - 3 5 2 + 1 - 1 4 2 + 1 = a r c cos 23 20 34 24 17 16 = a r c cos 23 2 34

Svar:α = a r c cos 23 2 34

I konklusjonene til dette avsnittet bør det bemerkes at formlene for å finne vinkelen gitt her ikke trenger å læres utenat. For å gjøre dette er det tilstrekkelig å kjenne koordinatene til guidene og/eller normalvektorene til de gitte linjene og kunne bestemme dem ut fra forskjellige typer ligninger. Men formlene for å beregne cosinus til en vinkel er bedre å huske eller skrive ned.

Hvordan beregne vinkelen mellom kryssende linjer i rommet

Beregningen av en slik vinkel kan reduseres til beregningen av koordinatene til retningsvektorene og bestemmelsen av størrelsen på vinkelen som dannes av disse vektorene. For slike eksempler bruker vi samme resonnement som vi har gitt tidligere.

La oss si at vi har rektangulært system koordinater plassert på tredimensjonalt rom. Den inneholder to linjer a og b med skjæringspunktet M . For å beregne koordinatene til retningsvektorene, må vi kjenne likningene til disse linjene. Angi retningsvektorene a → = (a x , a y , a z) og b → = (b x , b y , b z) . For å beregne cosinus til vinkelen mellom dem bruker vi formelen:

cos α = cos a → , b → ^ = a → , b → a → b → = a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

For å finne selve vinkelen trenger vi denne formelen:

α = a r c cos a x b x + a y b y + a z b z a x 2 + a y 2 + a z 2 b x 2 + b y 2 + b z 2

Eksempel 5

Vi har en rett linje definert i 3D-rom ved å bruke ligningen x 1 = y - 3 = z + 3 - 2 . Det er kjent at den skjærer Oz-aksen. Regn ut skjæringsvinkelen og cosinus til den vinkelen.

Løsning

La oss betegne vinkelen som skal beregnes med bokstaven α. La oss skrive ned koordinatene til retningsvektoren for den første rette linjen - a → = (1 , - 3 , - 2) . For applikataksen kan vi ta koordinatvektoren k → = (0 , 0 , 1) som en guide. Vi har mottatt de nødvendige dataene og kan legge dem til ønsket formel:

cos α = cos a → , k → ^ = a → , k → a → k → = 1 0 - 3 0 - 2 1 1 2 + (- 3) 2 + (- 2) 2 0 2 + 0 2 + 1 2 = 2 8 = 1 2

Som et resultat fikk vi at vinkelen vi trenger vil være lik a r c cos 1 2 = 45 °.

Svar: cos α = 1 2 , α = 45 ° .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter

Det vil være nyttig for hver student som forbereder seg til eksamen i matematikk å gjenta emnet "Finne vinkelen mellom linjene". Som statistikk viser, ved bestått sertifiseringstest, oppgaver for denne seksjonen stereometri forårsaker vanskeligheter for et stort antall studenter. Samtidig finnes oppgaver som krever å finne vinkelen mellom rette linjer i USE både grunnleggende og profilnivå. Det betyr at alle skal kunne løse dem.

Grunnleggende øyeblikk

Det er 4 typer gjensidig arrangement av linjer i rommet. De kan falle sammen, krysse hverandre, være parallelle eller kryssende. Vinkelen mellom dem kan være spiss eller rett.

For å finne vinkelen mellom linjene i Unified State Examination eller for eksempel i løsningen, kan skolebarn i Moskva og andre byer bruke flere metoder for å løse problemer i denne delen av stereometri. Du kan fullføre oppgaven med klassiske konstruksjoner. For å gjøre dette er det verdt å lære de grunnleggende aksiomer og teoremer for stereometri. Eleven må kunne logisk bygge resonnement og lage tegninger for å bringe oppgaven til et planimetrisk problem.

Du kan også bruke vektor-koordinatmetoden ved å bruke enkle formler, regler og algoritmer. Det viktigste i dette tilfellet er å utføre alle beregningene riktig. Finpne dine problemløsningsferdigheter innen stereometri og andre emner skolekurs vil hjelpe deg pedagogisk prosjekt"Sjkolkovo".

Instruksjon

Merk

Periode trigonometrisk funksjon tangenten er lik 180 grader, noe som betyr at helningsvinklene til de rette linjene modulo ikke kan overskride denne verdien.

Nyttige råd

Hvis en helningsfaktorer er lik hverandre, så er vinkelen mellom slike linjer lik 0, siden slike linjer enten sammenfaller eller er parallelle.

For å bestemme vinkelen mellom de kryssende linjene, er det nødvendig å overføre begge linjene (eller en av dem) til en ny posisjon ved metoden for parallell overføring til krysset. Etter det bør du finne vinkelen mellom de resulterende kryssende linjene.

Du vil trenge

• Linjal, rettvinklet trekant, blyant, gradskive.

Instruksjon

Så la vektoren V = (a, b, c) og planet A x + B y + C z = 0 gis, hvor A, B og C er koordinatene til normalen N. Deretter cosinus til vinkelen α mellom vektorene V og N er: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

For å beregne verdien av vinkelen i grader eller radianer, må du beregne funksjonen invers til cosinus fra det resulterende uttrykket, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Eksempel: finn hjørne mellom vektor(5, -3, 8) og flyet, gitt generell ligning 2 x - 5 y + 3 z = 0. Løsning: skriv ned koordinatene til normalvektoren til planet N = (2, -5, 3). Bytt ut alt kjente verdier i formelen ovenfor: cos α = (10 + 15 + 24) / √3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Relaterte videoer

En rett linje som har en med en sirkel felles poeng, er tangent til sirkelen. Et annet trekk ved tangenten er at den alltid er vinkelrett på radiusen trukket til kontaktpunktet, det vil si at tangenten og radien danner en rett linje hjørne. Hvis to tangenter til sirkelen AB og AC trekkes fra ett punkt A, er de alltid like hverandre. Definisjon av vinkelen mellom tangenter ( hjørne ABC) er produsert ved hjelp av Pythagoras teorem.

Instruksjon

For å bestemme vinkelen, må du kjenne radiusen til sirkelen OB og OS og avstanden til opprinnelsespunktet til tangenten fra sentrum av sirkelen - O. Så, vinklene ABO og ACO er like, radiusen OB , for eksempel 10 cm, og avstanden til sentrum av sirkelen AO er 15 cm Bestem lengden på tangenten ved formel i samsvar med Pythagoras teorem: AB = Kvadratrot fra AO2 - OB2 eller 152 - 102 = 225 - 100 = 125;

Jeg skal være kort. Vinkelen mellom to linjer er lik vinkelen mellom retningsvektorene deres. Således, hvis du klarer å finne koordinatene til retningsvektorene a \u003d (x 1; y 1; z 1) og b \u003d (x 2; y 2; z 2), kan du finne vinkelen. Mer presist, cosinus til vinkelen i henhold til formelen:

La oss se hvordan denne formelen fungerer på spesifikke eksempler:

En oppgave. Punktene E og F er markert i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.

Siden kanten på kuben ikke er spesifisert, setter vi AB = 1. Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punktet A, og x-, y- og z-aksene er rettet langs henholdsvis AB, AD og AA 1 . Enhetssegmentet er lik AB = 1. La oss nå finne koordinatene til retningsvektorene for linjene våre.

Finn koordinatene til vektoren AE. For å gjøre dette trenger vi punktene A = (0; 0; 0) og E = (0,5; 0; 1). Siden punktet E er midten av segmentet A 1 B 1 , er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. Merk at opprinnelsen til vektoren AE sammenfaller med opprinnelsen, så AE = (0,5; 0; 1).

La oss nå ta for oss BF-vektoren. På samme måte analyserer vi punktene B = (1; 0; 0) og F = (1; 0,5; 1), fordi F - midten av segmentet B 1 C 1 . Vi har:
BF = (1 - 1; 0,5 - 0; 1 - 0) = (0; 0,5; 1).

Så retningsvektorene er klare. Cosinus til vinkelen mellom linjene er cosinus til vinkelen mellom retningsvektorene, så vi har:

En oppgave. I et vanlig trihedrisk prisme ABCA 1 B 1 C 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene D og E markert - midtpunktene til henholdsvis kantene A 1 B 1 og B 1 C 1. Finn vinkelen mellom linjene AD og BE.

Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er ved punkt A, x-aksen er rettet langs AB, z - langs AA 1 . Vi retter y-aksen slik at OXY-planet faller sammen med fly ABC. Enhetssegmentet er lik AB = 1. Finn koordinatene til retningsvektorene for de ønskede linjene.

La oss først finne koordinatene til AD-vektoren. Tenk på punktene: A = (0; 0; 0) og D = (0,5; 0; 1), fordi D - midten av segmentet A 1 B 1 . Siden begynnelsen av vektoren AD sammenfaller med origo, får vi AD = (0,5; 0; 1).

La oss nå finne koordinatene til vektoren BE. Punkt B = (1; 0; 0) er lett å beregne. Med punkt E - midten av segmentet C 1 B 1 - litt vanskeligere. Vi har:

Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen:

En oppgave. I et vanlig sekskantet prisme ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1, hvor alle kanter er lik 1, er punktene K og L markert - midtpunktene til kantene A 1 B 1 og B 1 C 1, hhv. Finn vinkelen mellom linjene AK og BL.

Vi introduserer et standard koordinatsystem for et prisme: vi plasserer opprinnelsen til koordinatene i midten av den nedre basen, retter x-aksen langs FC, y-aksen gjennom midtpunktene til segmentene AB og DE, og z-aksen vertikalt oppover. Enhetssegmentet er igjen lik AB = 1. La oss skrive ut koordinatene til punktene som er av interesse for oss:

Punktene K og L er midtpunktene til henholdsvis segmentene A 1 B 1 og B 1 C 1, så deres koordinater er funnet gjennom det aritmetiske gjennomsnittet. Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AK og BL:

La oss nå finne cosinus til vinkelen:

En oppgave. Til høyre firkantet pyramide SABCD, som alle kanter er lik 1, punkt E og F er markert - midtpunktene på sidene SB og SC, henholdsvis. Finn vinkelen mellom linjene AE og BF.

Vi introduserer et standard koordinatsystem: origo er i punkt A, x- og y-aksene er rettet langs henholdsvis AB og AD, og ​​z-aksen er rettet vertikalt oppover. Enhetssegmentet er lik AB = 1.

Punktene E og F er midtpunktene til henholdsvis segmentene SB og SC, så koordinatene deres finnes som det aritmetiske gjennomsnittet av endene. Vi skriver ned koordinatene til punktene av interesse for oss:
A = (0; 0; 0); B = (1; 0; 0)

Når vi kjenner punktene, finner vi koordinatene til retningsvektorene AE og BF:

Koordinatene til vektoren AE faller sammen med koordinatene til punkt E, siden punkt A er origo. Det gjenstår å finne cosinus til vinkelen: