Vinkel mellom parallelle vektorer. Hvordan beregne vinkler mellom vektorer

Når du studerer geometri, oppstår det mange spørsmål om temaet vektorer. Eleven opplever særlig vanskeligheter når det er nødvendig å finne vinklene mellom vektorene.

Grunnleggende vilkår

Før du vurderer vinklene mellom vektorer, er det nødvendig å gjøre deg kjent med definisjonen av en vektor og konseptet med en vinkel mellom vektorer.

En vektor er et segment som har en retning, det vil si et segment som begynnelsen og slutten er definert for.

Vinkelen mellom to vektorer på et plan som har en felles opprinnelse er den minste av vinklene, som det kreves for å flytte en av vektorene rundt et felles punkt, til en posisjon der retningene deres faller sammen.

Løsningsformel

Når du forstår hva en vektor er og hvordan dens vinkel bestemmes, kan du beregne vinkelen mellom vektorer. Løsningsformelen for dette er ganske enkel, og resultatet av dens anvendelse vil være verdien av vinkelens cosinus. Per definisjon er den lik kvotienten av skalarproduktet av vektorer og produktet av lengdene deres.

Skalarproduktet av vektorer betraktes som summen av de tilsvarende koordinatene til multiplikatorvektorer multiplisert med hverandre. Lengden til en vektor, eller dens modul, beregnes som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater.

Etter å ha mottatt verdien av cosinus til vinkelen, kan du beregne verdien av selve vinkelen ved hjelp av en kalkulator eller ved hjelp av en trigonometrisk tabell.

Eksempel

Etter at du har funnet ut hvordan du beregner vinkelen mellom vektorer, blir løsningen på det tilsvarende problemet enkel og grei. Som et eksempel, tenk på det enkle problemet med å finne størrelsen på en vinkel.

Først av alt vil det være mer praktisk å beregne verdiene av lengdene til vektorene og deres skalarprodukt som er nødvendig for å løse. Ved å bruke beskrivelsen ovenfor får vi:

Ved å erstatte de oppnådde verdiene i formelen, beregner vi verdien av cosinus til ønsket vinkel:

Dette tallet er ikke en av de fem vanlige cosinusverdiene, så for å få verdien av vinkelen, må du bruke en kalkulator eller Bradis trigonometriske tabell. Men før du får vinkelen mellom vektorene, kan formelen forenkles for å bli kvitt det ekstra negative tegnet:

Det endelige svaret kan stå i dette skjemaet for å opprettholde nøyaktigheten, eller du kan beregne verdien av vinkelen i grader. I følge Bradis-tabellen vil verdien være omtrent 116 grader og 70 minutter, og kalkulatoren vil vise en verdi på 116,57 grader.

Vinkelberegning i n-dimensjonalt rom

Når man vurderer to vektorer i tredimensjonalt rom, er det mye vanskeligere å forstå hvilken vinkel vi snakker om hvis de ikke ligger i samme plan. For å forenkle oppfatningen kan du tegne to kryssende segmenter som danner den minste vinkelen mellom dem, og det vil være den ønskede. Til tross for tilstedeværelsen av en tredje koordinat i vektoren, vil ikke prosessen med hvordan vinklene mellom vektorer beregnes endres. Beregn skalarproduktet og moduler av vektorer, arccosinus for deres kvotient og vil være svaret på dette problemet.

I geometri oppstår det ofte problemer med rom som har mer enn tre dimensjoner. Men for dem ser algoritmen for å finne svaret lik ut.

Forskjellen mellom 0 og 180 grader

En av de vanlige feilene når du skriver et svar på et problem designet for å beregne vinkelen mellom vektorer, er beslutningen om å skrive at vektorene er parallelle, det vil si at ønsket vinkel viste seg å være 0 eller 180 grader. Dette svaret er feil.

Etter å ha mottatt en vinkelverdi på 0 grader som et resultat av løsningen, vil det riktige svaret være å utpeke vektorene som co-directional, det vil si at vektorene vil ha samme retning. Når det gjelder å oppnå 180 grader, vil vektorene være i motsatte retninger.

Spesifikke vektorer

Ved å finne vinklene mellom vektorene kan man finne en av spesialtypene, i tillegg til de co-dirigerte og motsatt rettede beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelle med ett plan kalles coplanar.
Vektorer som er like i lengde og retning kalles like.
Vektorer som ligger på samme rette linje, uavhengig av retning, kalles kollineære.
Hvis lengden på vektoren er null, det vil si at dens begynnelse og slutt faller sammen, kalles den null, og hvis den er én, kalles den én.

Vinkel mellom to vektorer, :

Hvis vinkelen mellom to vektorer er spiss, er punktproduktet deres positivt; hvis vinkelen mellom vektorene er stump, så er skalarproduktet til disse vektorene negativt. Skalarproduktet av to ikke-null vektorer er null hvis og bare hvis disse vektorene er ortogonale.

Trening. Finn vinkelen mellom vektorer og

Løsning. Cosinus av ønsket vinkel

16. Beregne vinkelen mellom rette linjer, en rett linje og et plan

Vinkel mellom linje og plan skjærer denne linjen og ikke vinkelrett på den, er vinkelen mellom linjen og dens projeksjon på dette planet.

Ved å bestemme vinkelen mellom en linje og et plan kan vi konkludere med at vinkelen mellom en linje og et plan er vinkelen mellom to kryssende linjer: selve linjen og dens projeksjon på planet. Derfor er vinkelen mellom en linje og et plan en spiss vinkel.

Vinkelen mellom en vinkelrett linje og et plan regnes som lik, og vinkelen mellom en parallell linje og et plan er enten ikke bestemt i det hele tatt, eller regnes som lik .

§ 69. Beregning av vinkelen mellom rette linjer.

Problemet med å beregne vinkelen mellom to rette linjer i rommet løses på samme måte som i planet (§ 32). Angi med φ vinkelen mellom linjene l 1 og l 2 , og gjennom ψ - vinkelen mellom retningsvektorene EN Og b disse rette linjene.

Så hvis

ψ 90° (fig. 206.6), så φ = 180° - ψ. Det er åpenbart at i begge tilfeller er likheten cos φ = |cos ψ| sann. Ved formel (1) § 20 har vi

derfor,

La linjene være gitt av deres kanoniske ligninger

Deretter bestemmes vinkelen φ mellom linjene ved hjelp av formelen

Hvis en av linjene (eller begge) er gitt av ikke-kanoniske ligninger, må du for å beregne vinkelen finne koordinatene til retningsvektorene til disse linjene, og deretter bruke formel (1).

17. Parallelle linjer, teoremer om parallelle linjer

Definisjon. To linjer i et plan kalles parallell hvis de ikke har felles poeng.

To linjer i tre dimensjoner kalles parallell hvis de ligger i samme plan og ikke har felles punkter.

Vinkel mellom to vektorer.

Fra definisjonen av punktproduktet:

Betingelse for ortogonalitet av to vektorer:

Kollinearitetsbetingelse for to vektorer:

Følger av definisjon 5 - . Faktisk, fra definisjonen av produktet av en vektor med et tall, følger det. Derfor, basert på vektorlikhetsregelen, skriver vi , , , som innebærer . Men vektoren som er et resultat av multiplikasjonen av en vektor med et tall, er kollineær med vektoren.

Vektor-til-vektor-projeksjon:

Eksempel 4. Gitt poeng , , , .

Finn det skalære produktet.

Løsning. finner vi ved formelen til skalarproduktet av vektorer gitt av deres koordinater. Fordi det

, ,

Eksempel 5 Gitt poeng , , , .

Finn projeksjon.

Løsning. Fordi det

, ,

Basert på projeksjonsformelen har vi

Eksempel 6 Gitt poeng , , , .

Finn vinkelen mellom vektorene og .

Løsning. Merk at vektorene

, ,

er ikke kollineære, siden deres koordinater ikke er proporsjonale:

Disse vektorene er heller ikke vinkelrette, siden punktproduktet deres er .

La oss finne,

Hjørne finn fra formelen:

Eksempel 7 Bestem for hvilke vektorer og kollineær.

Løsning. I tilfelle av kollinearitet, de tilsvarende koordinatene til vektorene og må være proporsjonal, det vil si:

Herfra og .

Eksempel 8. Bestem hvilken verdi av vektoren Og er vinkelrett.

Løsning. Vektor og er vinkelrett hvis punktproduktet deres er null. Fra denne tilstanden får vi: . Det er, .

Eksempel 9. Finne , Hvis , , .

Løsning. På grunn av egenskapene til skalarproduktet har vi:

Eksempel 10. Finn vinkelen mellom vektorene og , hvor og - enhetsvektorer og vinkelen mellom vektorene og er lik 120o.

Løsning. Vi har: , ,

Endelig har vi: .

5 B. vektor produkt.

Definisjon 21.vektor kunst vektor til vektor kalles vektor , eller , definert av følgende tre forhold:

1) Modulen til vektoren er , hvor er vinkelen mellom vektorene og , dvs. .

Det følger at modulen til et kryssprodukt er numerisk lik arealet til et parallellogram bygget på vektorer og som på sider.

2) Vektoren er vinkelrett på hver av vektorene og ( ; ), dvs. vinkelrett på planet til parallellogrammet bygget på vektorene og .

3) Vektoren er rettet på en slik måte at hvis den ses fra enden, vil den korteste svingen fra vektor til vektor være mot klokken (vektorer , , danner en rett trippel).

Hvordan beregne vinkler mellom vektorer?

Når du studerer geometri, oppstår det mange spørsmål om temaet vektorer. Eleven opplever særlig vanskeligheter når det er nødvendig å finne vinklene mellom vektorene.

Grunnleggende vilkår

Før du vurderer vinklene mellom vektorer, er det nødvendig å gjøre deg kjent med definisjonen av en vektor og konseptet med en vinkel mellom vektorer.

En vektor er et segment som har en retning, det vil si et segment som begynnelsen og slutten er definert for.

Løsningsformel

Etter å ha mottatt verdien av cosinus til vinkelen, kan du beregne verdien av selve vinkelen ved hjelp av en kalkulator eller ved hjelp av en trigonometrisk tabell.

Eksempel

Først av alt vil det være mer praktisk å beregne verdiene av lengdene til vektorene og deres skalarprodukt som er nødvendig for å løse. Ved å bruke beskrivelsen ovenfor får vi:

Ved å erstatte de oppnådde verdiene i formelen, beregner vi verdien av cosinus til ønsket vinkel:

Vinkelberegning i n-dimensjonalt rom

I geometri oppstår det ofte problemer med rom som har mer enn tre dimensjoner. Men for dem ser algoritmen for å finne svaret lik ut.

Forskjellen mellom 0 og 180 grader

Spesifikke vektorer

Ved å finne vinklene mellom vektorene kan man finne en av spesialtypene, i tillegg til de co-dirigerte og motsatt rettede beskrevet ovenfor.

Flere vektorer parallelle med ett plan kalles coplanar.
Vektorer som er like i lengde og retning kalles like.
Vektorer som ligger på samme rette linje, uavhengig av retning, kalles kollineære.
Hvis lengden på vektoren er null, det vil si at dens begynnelse og slutt faller sammen, kalles den null, og hvis den er én, kalles den én.

Hvordan finne vinkelen mellom vektorer?

hjelp meg vær så snill! Jeg kan formelen, men jeg kan ikke finne ut av den
vektor a (8; 10; 4) vektor b (5; -20; -10)

Alexander Titov

Vinkelen mellom vektorene gitt av deres koordinater er funnet i henhold til standardalgoritmen. Først må du finne skalarproduktet av vektorene a og b: (a, b) = x1x2 + y1y2 + z1z2. Vi erstatter her koordinatene til disse vektorene og vurderer:
(a,b) = 8*5 + 10*(-20) = 4*(-10) = 40 - 200 - 40 = -200.
Deretter bestemmer vi lengdene til hver av vektorene. Lengden eller modulen til en vektor er kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater:
|a| = roten av (x1^2 + y1^2 + z1^2) = roten av (8^2 + 10^2 + 4^2) = roten av (64 + 100 + 16) = roten av 180 = 6 røtter av 5
|b| = kvadratroten av (x2^2 + y2^2 + z2^2) = kvadratroten av (5^2 + (-20)^2 + (-10)^2) = kvadratroten av (25 + 400 + 100 ) = kvadratrot av 525 = 5 røtter av 21.
Vi multipliserer disse lengdene. Vi får 30 røtter av 105.
Og til slutt deler vi skalarproduktet av vektorer med produktet av lengdene til disse vektorene. Vi får -200 / (30 røtter av 105) eller
- (4 røtter av 105) / 63. Dette er cosinus til vinkelen mellom vektorene. Og selve vinkelen er lik buekosinus til dette tallet
f \u003d arccos (-4 røtter av 105) / 63.
Hvis jeg telte riktig.

Hvordan beregne sinusen til en vinkel mellom vektorer fra koordinatene til vektorene

Mikhail Tkachev

Vi multipliserer disse vektorene. Punktproduktet deres er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem.
Vinkelen er ukjent for oss, men koordinatene er kjent.
La oss skrive det matematisk slik.
La, gitt vektorene a(x1;y1) og b(x2;y2)
Deretter

A*b=|a|*|b|*cosA

CosA=a*b/|a|*|b|

Vi krangler.
a*b-skalarprodukt av vektorer er lik summen av produktene til de tilsvarende koordinatene til koordinatene til disse vektorene, dvs. lik x1*x2+y1*y2

|a|*|b|-produktet av vektorlengder er lik √((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2).

Så cosinus til vinkelen mellom vektorene er:

CosA=(x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+(y2)^2)

Når vi kjenner cosinus til en vinkel, kan vi beregne dens sinus. La oss diskutere hvordan du gjør det:

Hvis cosinus til en vinkel er positiv, ligger denne vinkelen i 1 eller 4 fjerdedeler, så sinusen er enten positiv eller negativ. Men siden vinkelen mellom vektorene er mindre enn eller lik 180 grader, er sinusen positiv. Vi argumenterer på samme måte hvis cosinus er negativ.

SinA=√(1-cos^2A)=√(1-((x1*x2+y1*y2)/√((x1)^2+(y1)^2)*√((x2)^2+( y2)^2))^2)

Det var det)))) lykke til med å finne ut av det)))

Dmitry Levishchev

Det faktum at det er umulig å direkte sinus er ikke sant.
I tillegg til formelen:
(a,b)=|a|*|b|*cos A
Det er også denne:
||=|a|*|b|*sin A
Det vil si at i stedet for skalarproduktet kan du ta modulen til vektorproduktet.

Punktprodukt av vektorer

Vi fortsetter å håndtere vektorer. Ved første leksjon Vektorer for dummies vi har vurdert konseptet med en vektor, handlinger med vektorer, vektorkoordinater og de enkleste problemene med vektorer. Hvis du kom til denne siden for første gang fra en søkemotor, anbefaler jeg på det sterkeste å lese introduksjonsartikkelen ovenfor, for for å assimilere materialet må du veiledes i begrepene og notasjonen jeg bruker, ha grunnleggende kunnskap om vektorer og kunne løse elementære problemer. Denne leksjonen er en logisk fortsettelse av emnet, og i den vil jeg analysere i detalj typiske oppgaver som bruker skalarproduktet til vektorer. Dette er en VELDIG VIKTIG jobb.. Prøv å ikke hoppe over eksemplene, de kommer med en nyttig bonus - praksisen vil hjelpe deg med å konsolidere materialet som dekkes og "få hånden din" på å løse vanlige problemer med analytisk geometri.

Legge til vektorer, multiplisere en vektor med et tall... Det vil være naivt å tro at matematikere ikke har funnet på noe annet. I tillegg til handlingene som allerede er vurdert, er det en rekke andre operasjoner med vektorer, nemlig: prikkprodukt av vektorer, kryssprodukt av vektorer Og blandet produkt av vektorer. Det skalare produktet av vektorer er kjent for oss fra skolen, de to andre produktene er tradisjonelt relatert til kurset i høyere matematikk. Emnene er enkle, algoritmen for å løse mange problemer er stereotyp og forståelig. Den eneste tingen. Det er en anstendig mengde informasjon, så det er uønsket å prøve å mestre og løse ALT OG PÅ EN GANG. Dette gjelder spesielt for dummies, tro meg, forfatteren vil absolutt ikke føle seg som Chikatilo fra matematikk. Vel, ikke fra matematikk, selvfølgelig, heller =) Mer forberedte studenter kan bruke materialene selektivt, i en viss forstand, for å "skaffe seg" den manglende kunnskapen, for deg vil jeg være en harmløs grev Dracula =)

Til slutt, la oss åpne døren litt og ta en titt på hva som skjer når to vektorer møter hverandre...

Definisjon av skalarproduktet til vektorer.
Egenskaper til skalarproduktet. Typiske oppgaver

Konseptet med punktprodukt

Først om vinkel mellom vektorer. Jeg tror alle intuitivt forstår hva vinkelen mellom vektorer er, men for sikkerhets skyld, litt mer. Vurder gratis vektorer som ikke er null og . Hvis vi utsetter disse vektorene fra et vilkårlig punkt, får vi et bilde som mange allerede har presentert mentalt:

Jeg innrømmer, her beskrev jeg situasjonen bare på forståelsesnivå. Hvis du trenger en streng definisjon av vinkelen mellom vektorer, se læreboken, men for praktiske oppgaver trenger vi det i prinsippet ikke. Også HER OG VIDERE vil jeg noen ganger ignorere nullvektorer på grunn av deres lave praktiske betydning. Jeg har laget en reservasjon spesielt for avanserte besøkende på nettstedet, som kan bebreide meg for den teoretiske ufullstendigheten til noen av de følgende utsagnene.

kan ta verdier fra 0 til 180 grader (fra 0 til radianer) inkludert. Analytisk er dette faktum skrevet som en dobbel ulikhet:

eller

(i radianer).

I litteraturen er vinkelikonet ofte utelatt og enkelt skrevet.

Definisjon: Skalarproduktet av to vektorer er et TALL lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem:

Nå er det en ganske streng definisjon.

Vi fokuserer på viktig informasjon:

Betegnelse: skalarproduktet er betegnet med eller ganske enkelt .

Resultatet av operasjonen er et NUMMER: Multipliser en vektor med en vektor for å få et tall. Faktisk, hvis lengdene til vektorer er tall, er cosinus til vinkelen et tall, så deres produkt vil også være et tall.

Bare et par eksempler på oppvarming:

Eksempel 1

Løsning: Vi bruker formelen . I dette tilfellet:

Svar:

Cosinusverdier finnes i trigonometrisk tabell. Jeg anbefaler å skrive det ut - det vil være nødvendig i nesten alle deler av tårnet og vil være nødvendig mange ganger.

Rent matematisk sett er skalarproduktet dimensjonsløst, det vil si at resultatet, i dette tilfellet, bare er et tall og det er det. Fra synsvinkelen til fysikkens problemer har skalarproduktet alltid en viss fysisk betydning, det vil si at etter resultatet må en eller annen fysisk enhet angis. Det kanoniske eksemplet på å beregne arbeidet til en kraft kan finnes i en hvilken som helst lærebok (formelen er nøyaktig et prikkprodukt). Arbeidet til en kraft måles i Joule, derfor vil svaret skrives ganske spesifikt, for eksempel.

Eksempel 2

Finn hvis , og vinkelen mellom vektorene er .

Dette er et eksempel for selvbestemmelse, svaret er på slutten av leksjonen.

Vinkel mellom vektorer og punktproduktverdi

I eksempel 1 viste skalarproduktet seg å være positivt, og i eksempel 2 viste det seg å være negativt. La oss finne ut hva tegnet på skalarproduktet avhenger av. La oss se på formelen vår: . Lengdene til vektorer som ikke er null er alltid positive: , så tegnet kan bare avhenge av verdien av cosinus.

Merk: For en bedre forståelse av informasjonen nedenfor, er det bedre å studere cosinusgrafen i manualen Grafer og funksjonsegenskaper. Se hvordan cosinus oppfører seg på segmentet.

Som allerede nevnt, kan vinkelen mellom vektorene variere innenfor , og følgende tilfeller er mulige:

1) Hvis hjørne mellom vektorer krydret: (fra 0 til 90 grader), deretter , Og prikkprodukt vil være positivt co-regissert, da anses vinkelen mellom dem å være null, og skalarproduktet vil også være positivt. Siden er formelen forenklet: .

2) Hvis hjørne mellom vektorer sløv: (fra 90 til 180 grader), da , og tilsvarende, prikkproduktet er negativt: . Spesialtilfelle: hvis vektorene rettet motsatt, så vurderes vinkelen mellom dem utplassert: (180 grader). Det skalære produktet er også negativt, siden

De omvendte utsagnene er også sanne:

1) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene spiss. Alternativt er vektorene codirectional.

2) Hvis , så er vinkelen mellom disse vektorene stump. Alternativt er vektorene rettet motsatt.

Men det tredje tilfellet er av spesiell interesse:

3) Hvis hjørne mellom vektorer rett: (90 grader) deretter og prikkprodukt er null: . Det motsatte er også sant: hvis , da . Den kompakte uttalelsen er formulert som følger: Skalarproduktet av to vektorer er null hvis og bare hvis de gitte vektorene er ortogonale. Kort matematisk notasjon:

! Merk : gjenta grunnlaget for matematisk logikk: dobbeltsidig logisk konsekvensikon leses vanligvis "hvis og bare da", "hvis og bare hvis". Som du kan se, er pilene rettet i begge retninger - "av dette følger dette, og omvendt - av dette følger dette." Hva er forresten forskjellen fra enveisfølge-ikonet? Ikon hevder bare det at "av dette følger dette", og ikke det faktum at det motsatte er sant. For eksempel: , men ikke alle dyr er pantere, så ikonet kan ikke brukes i dette tilfellet. Samtidig, i stedet for ikonet Kan bruk ensidig ikon. For eksempel, mens vi løste problemet, fant vi ut at vi konkluderte med at vektorene er ortogonale: - en slik post vil være riktig, og enda mer hensiktsmessig enn .

Det tredje tilfellet er av stor praktisk betydning., siden det lar deg sjekke om vektorene er ortogonale eller ikke. Vi vil løse dette problemet i den andre delen av leksjonen.

Punkt produktegenskaper

La oss gå tilbake til situasjonen når to vektorer co-regissert. I dette tilfellet er vinkelen mellom dem null, , og skalarproduktformelen har formen: .

Hva skjer hvis en vektor multipliseres med seg selv? Det er klart at vektoren er co-dirigert med seg selv, så vi bruker den forenklede formelen ovenfor:

Nummeret ringes opp skalar firkant vektor , og er betegnet som .

Dermed, skalarkvadraten til en vektor er lik kvadratet på lengden til den gitte vektoren:

Fra denne likheten kan du få en formel for å beregne lengden på en vektor:

Selv om det virker uklart, men oppgavene i leksjonen vil sette alt på sin plass. For å løse problemer trenger vi også punktproduktegenskaper.

For vilkårlige vektorer og et hvilket som helst tall, er følgende egenskaper sanne:

1) - forskyvbar eller kommutativ skalær produktlov.

2) - distribusjon eller distributive skalær produktlov. Enkelt sagt kan du åpne parenteser.

3) - kombinasjon eller assosiativ skalær produktlov. Konstanten kan tas ut av skalarproduktet.

Ofte blir alle slags egenskaper (som også må bevises!) av studentene oppfattet som unødvendig søppel, som bare må huskes og trygt glemmes umiddelbart etter eksamen. Det ser ut til at det som er viktig her, alle vet allerede fra første klasse at produktet ikke endres fra en permutasjon av faktorene:. Jeg må advare deg, i høyere matematikk med en slik tilnærming er det lett å rote til ting. Så for eksempel er den kommutative egenskapen ikke gyldig for algebraiske matriser. Det er ikke sant for kryssprodukt av vektorer. Derfor er det i det minste bedre å fordype seg i alle egenskaper du vil møte i løpet av høyere matematikk for å forstå hva som kan og ikke kan gjøres.

Eksempel 3

Løsning: Først, la oss avklare situasjonen med vektoren. Hva handler det om? Summen av vektorene og er en veldefinert vektor, som er betegnet med . Geometrisk tolkning av handlinger med vektorer finner du i artikkelen Vektorer for dummies. Den samme persillen med en vektor er summen av vektorene og .

Så, i henhold til tilstanden, er det nødvendig å finne det skalære produktet. I teorien må du bruke arbeidsformelen , men problemet er at vi ikke kjenner lengdene på vektorene og vinkelen mellom dem. Men i tilstanden er lignende parametere gitt for vektorer, så vi vil gå den andre veien:

(1) Vi erstatter uttrykk for vektorer.

(2) Vi åpner parentesene i henhold til regelen for multiplikasjon av polynomer, en vulgær tungetråder finner du i artikkelen Komplekse tall eller Integrasjon av en brøk-rasjonell funksjon. Jeg skal ikke gjenta meg selv =) Forresten, den distributive egenskapen til skalarproduktet lar oss åpne parentesene. Vi har rett.

(3) I de første og siste leddene skriver vi kompakt skalarkvadrene til vektorene: . I det andre leddet bruker vi commuterbarheten til skalarproduktet: .

(4) Her er lignende termer: .

(5) I det første leddet bruker vi skalarkvadratformelen, som ble nevnt for ikke så lenge siden. I henholdsvis siste termin fungerer det samme: . Det andre leddet utvides i henhold til standardformelen .

(6) Erstatter disse betingelsene , og utfør NØYE de endelige beregningene.

Svar:

Den negative verdien til punktproduktet angir det faktum at vinkelen mellom vektorene er stump.

Oppgaven er typisk, her er et eksempel på en uavhengig løsning:

Eksempel 4

Finn skalarproduktet av vektorene og , hvis det er kjent at .

Nå en annen vanlig oppgave, bare for den nye vektorlengdeformelen. Betegnelsene her vil overlappe litt, så for klarhetens skyld vil jeg skrive den om med en annen bokstav:

Eksempel 5

Finn lengden på vektoren if .

Løsning vil være som følger:

(1) Vi leverer vektoruttrykket .

(2) Vi bruker lengdeformelen: , mens vi har et heltallsuttrykk som vektoren "ve".

(3) Vi bruker skoleformelen for kvadratet av summen. Vær oppmerksom på hvordan det merkeligvis fungerer her: - faktisk er dette kvadratet av forskjellen, og faktisk er det slik. De som ønsker kan omorganisere vektorene på steder: - det ble det samme opp til en omorganisering av begrepene.

(4) Det som følger er allerede kjent fra de to foregående problemene.

Svar:

Siden vi snakker om lengde, ikke glem å angi dimensjonen - "enheter".

Eksempel 6

Finn lengden på vektoren if .

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen.

Vi fortsetter å presse nyttige ting ut av det skalære produktet. La oss se på formelen vår igjen . Ved proporsjonsregelen tilbakestiller vi lengdene til vektorene til nevneren på venstre side:

La oss bytte ut delene:

Hva er meningen med denne formelen? Hvis lengden av to vektorer og deres skalarprodukt er kjent, kan cosinus til vinkelen mellom disse vektorene beregnes, og følgelig selve vinkelen.

Er det skalære produktet et tall? Antall. Er vektorlengder tall? Tall. Så en brøk er også et tall. Og hvis cosinus til vinkelen er kjent: , så ved å bruke den inverse funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen: .

Eksempel 7

Finn vinkelen mellom vektorene og , hvis det er kjent at .

Løsning: Vi bruker formelen:

På sluttfasen av beregningene ble en teknikk brukt - eliminering av irrasjonalitet i nevneren. For å eliminere irrasjonalitet multipliserte jeg telleren og nevneren med .

Så hvis , Det:

Verdiene til inverse trigonometriske funksjoner kan finnes av trigonometrisk tabell. Selv om dette sjelden skjer. I problemer med analytisk geometri vises noen klønete bjørner mye oftere, og verdien av vinkelen må finnes omtrentlig ved hjelp av en kalkulator. Faktisk vil vi se dette bildet igjen og igjen.

Svar:

Igjen, ikke glem å spesifisere dimensjonen - radianer og grader. Personlig, for bevisst å "fjerne alle spørsmål", foretrekker jeg å indikere begge (med mindre det selvfølgelig er påkrevd å presentere svaret bare i radianer eller bare i grader).

Nå vil du være i stand til å takle en vanskeligere oppgave på egen hånd:

Eksempel 7*

Det er gitt lengdene på vektorene, og vinkelen mellom dem. Finn vinkelen mellom vektorene , .

Oppgaven er ikke så mye vanskelig som flerveis.
La oss analysere løsningsalgoritmen:

1) I henhold til betingelsen er det nødvendig å finne vinkelen mellom vektorene og , så du må bruke formelen .

2) Vi finner skalarproduktet (se eksempel nr. 3, 4).

3) Finn lengden på vektoren og lengden på vektoren (se eksempel nr. 5, 6).

4) Slutten på løsningen faller sammen med eksempel nr. 7 - vi kjenner tallet , som betyr at det er enkelt å finne selve vinkelen:

Kort løsning og svar på slutten av timen.

Den andre delen av leksjonen er viet det samme punktproduktet. Koordinater. Det blir enda enklere enn i første del.

Punktprodukt av vektorer,
gitt av koordinater på ortonormal basis

Svar:

Unødvendig å si er det mye hyggeligere å håndtere koordinater.

Eksempel 14

Finn skalarproduktet av vektorer og hvis

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Her kan du bruke assosiativiteten til operasjonen, det vil si ikke telle, men umiddelbart ta trippelen ut av skalarproduktet og gange med den sist. Løsning og svar på slutten av leksjonen.

På slutten av avsnittet, et provoserende eksempel på beregning av lengden på en vektor:

Eksempel 15

Finn lengder på vektorer , Hvis

Løsning: igjen foreslår metoden i forrige seksjon seg selv: men det er en annen måte:

La oss finne vektoren:

Og lengden i henhold til den trivielle formelen :

Skalarproduktet er ikke relevant her i det hele tatt!

Hvor ute av drift er det når man beregner lengden på en vektor:
Stoppe. Hvorfor ikke dra nytte av den åpenbare lengdeegenskapen til en vektor? Hva kan sies om lengden på en vektor? Denne vektoren er 5 ganger lengre enn vektoren. Retningen er motsatt, men det spiller ingen rolle, for vi snakker om lengde. Det er klart at lengden på vektoren er lik produktet modul tall per vektorlengde:
- tegnet til modulen "spiser" det mulige minuset til tallet.

Dermed:

Svar:

Formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer som er gitt av koordinater

Nå har vi fullstendig informasjon slik at den tidligere utledede formelen for cosinus til vinkelen mellom vektorer uttrykk i form av vektorkoordinater:

Cosinus av vinkelen mellom planvektorer og , gitt i det ortonormale grunnlaget , uttrykkes med formelen:
.

Cosinus av vinkelen mellom romvektorer, gitt i ortonormal basis , uttrykkes med formelen:

Eksempel 16

Tre hjørner av en trekant er gitt. Finn (topvinkel ).

Løsning: Etter betingelse er ikke tegningen nødvendig, men likevel:

Den nødvendige vinkelen er markert med en grønn bue. Vi husker umiddelbart skolebetegnelsen på vinkelen: - spesiell oppmerksomhet til midten bokstav - dette er toppunktet til vinkelen vi trenger. For korthets skyld kan det også skrives enkelt.

Fra tegningen er det ganske tydelig at trekantens vinkel sammenfaller med vinkelen mellom vektorene og , med andre ord: .

Det er ønskelig å lære hvordan man utfører analysen utført mentalt.

La oss finne vektorene:

La oss beregne skalarproduktet:

Og lengdene på vektorene:

Cosinus av en vinkel:

Det er denne rekkefølgen av oppgaven jeg anbefaler til dummies. Mer avanserte lesere kan skrive beregningene "på én linje":

Her er et eksempel på en "dårlig" cosinusverdi. Den resulterende verdien er ikke endelig, så det er ikke mye vits i å kvitte seg med irrasjonaliteten i nevneren.

La oss finne vinkelen:

Hvis du ser på tegningen, er resultatet ganske plausibelt. For å sjekke vinkelen kan også måles med en gradskive. Ikke skade skjermbelegget =)

Svar:

I svaret, ikke glem det spurte om vinkelen på trekanten(og ikke om vinkelen mellom vektorene), ikke glem å angi det nøyaktige svaret: og den omtrentlige verdien av vinkelen: funnet med en kalkulator.

De som har hatt glede av prosessen kan beregne vinklene, og sørge for at den kanoniske likheten er sann

Eksempel 17

En trekant er gitt i rommet ved koordinatene til dens toppunkter. Finn vinkelen mellom sidene og

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Full løsning og svar på slutten av timen

En liten siste del vil bli viet til projeksjoner, der skalarproduktet også er "involvert":

Projeksjon av en vektor på en vektor. Vektorprojeksjon på koordinatakser.
Kosinus for vektorretning

Vurder vektorer og:

Vi projiserer vektoren på vektoren, for dette utelater vi fra begynnelsen og slutten av vektoren perpendikulære per vektor (grønne stiplede linjer). Tenk deg at lysstråler faller vinkelrett på en vektor. Da vil segmentet (rød linje) være "skyggen" til vektoren. I dette tilfellet er projeksjonen av en vektor på en vektor LENGDEN av segmentet. Det vil si at PROJEKSJON ER ET TALL.

Dette NUMMER er angitt som følger: , "stor vektor" angir en vektor HVILKEN prosjekt, "liten underskriftsvektor" angir vektoren PÅ som er projisert.

Selve oppføringen lyder slik: "projeksjonen av vektoren "a" på vektoren "be"".

Hva skjer hvis vektoren "be" er "for kort"? Vi tegner en rett linje som inneholder vektoren "være". Og vektoren "a" vil allerede bli projisert til retningen til vektoren "være", ganske enkelt - på en rett linje som inneholder vektoren "være". Det samme vil skje hvis vektoren "a" settes til side i det trettiende riket - den vil fortsatt lett projiseres på linjen som inneholder vektoren "be".

Hvis vinkelen mellom vektorer krydret(som på bildet), da

Hvis vektorene ortogonal, da (projeksjonen er et punkt hvis dimensjoner antas å være null).

Hvis vinkelen mellom vektorer sløv(i figuren, omorganiser pilen til vektoren mentalt), deretter (samme lengde, men tatt med et minustegn).

Sett disse vektorene til side fra ett punkt:

Åpenbart, når du flytter en vektor, endres ikke projeksjonen

Instruksjon

La to ikke-nullvektorer gis på planet, plottet fra ett punkt: vektor A med koordinater (x1, y1) B med koordinater (x2, y2). Hjørne mellom dem er betegnet som θ. For å finne gradmålet for vinkelen θ må du bruke definisjonen av skalarproduktet.

Skalarproduktet av to vektorer som ikke er null er et tall som er lik produktet av lengdene til disse vektorene og cosinus til vinkelen mellom dem, det vil si (A,B)=|A|*|B|*cos( θ). Nå må du uttrykke cosinus til vinkelen fra dette: cos(θ)=(A,B)/(|A|*|B|).

Skalarproduktet kan også finnes ved å bruke formelen (A,B)=x1*x2+y1*y2, siden produktet av to vektorer som ikke er null er lik summen av produktene til de tilsvarende vektorene. Hvis skalarproduktet av vektorer som ikke er null er lik null, er vektorene vinkelrette (vinkelen mellom dem er 90 grader) og ytterligere beregninger kan utelates. Hvis skalarproduktet til to vektorer er positivt, så er vinkelen mellom disse vektorer akutt, og hvis negativ, så er vinkelen stump.

Beregn nå lengdene til vektorene A og B ved å bruke formlene: |A|=√(x1²+y1²), |B|=√(x2²+y2²). Lengden til en vektor beregnes som kvadratroten av summen av kvadratene av dens koordinater.

Erstatt de funnet verdiene til skalarproduktet og lengdene til vektorene i formelen for vinkelen oppnådd i trinn 2, det vil si cos(θ)=(x1*x2+y1*y2)/(√(x1²+) y1²)+√(x2²+y2²)). Nå, å vite verdien av , for å finne gradmålet for vinkelen mellom vektorer du må bruke Bradis-tabellen eller ta fra denne: θ=arccos(cos(θ)).

Hvis vektorene A og B er gitt i tredimensjonalt rom og har henholdsvis koordinater (x1, y1, z1) og (x2, y2, z2), så legges det til en koordinat til når man skal finne cosinus til vinkelen. I dette tilfellet cosinus: cos(θ)=(x1*x2+y1*y2+z1*z2)/(√(x1²+y1²+z1²)+√(x2²+y2²+z2²)).

Nyttige råd

Hvis to vektorer ikke er plottet fra ett punkt, må du kombinere begynnelsen av disse vektorene for å finne vinkelen mellom dem ved parallell oversettelse.
Vinkelen mellom to vektorer kan ikke være større enn 180 grader.

Kilder:

hvordan beregne vinkel mellom vektorer
Vinkel mellom linje og plan

For å løse mange problemer, både anvendte og teoretiske, i fysikk og lineær algebra, er det nødvendig å beregne vinkelen mellom vektorer. Denne tilsynelatende enkle oppgaven kan forårsake mange vanskeligheter hvis du ikke tydelig forstår essensen av skalarproduktet og hvilken verdi som vises som et resultat av dette produktet.

Instruksjon

Vinkelen mellom vektorer i et lineært vektorrom er minimumsvinkelen ved , der samretningen til vektorene oppnås. En av vektorene bæres rundt startpunktet. Fra definisjonen blir det åpenbart at verdien av vinkelen ikke kan overstige 180 grader (se trinnet).

I dette tilfellet antas det ganske riktig at i et lineært rom, når vektorene overføres parallelt, endres ikke vinkelen mellom dem. Derfor, for den analytiske beregningen av vinkelen, spiller den romlige orienteringen til vektorene ingen rolle.

Resultatet av punktproduktet er et tall, ellers en skalar. Husk (dette er viktig å vite) for å unngå feil i videre beregninger. Formelen for skalarproduktet, plassert på et plan eller i rommet av vektorer, har formen (se figuren for trinnet).

Hvis vektorene er plassert i rommet, utfør beregningen på lignende måte. Det eneste vil være begrepets utseende i utbyttet - dette er begrepet for søknaden, dvs. den tredje komponenten av vektoren. Følgelig, når man beregner modulen til vektorer, må z-komponenten også tas i betraktning, for vektorer lokalisert i rommet transformeres det siste uttrykket som følger (se figur 6 til trinnet).

En vektor er et linjestykke med en gitt retning. Vinkelen mellom vektorer har en fysisk betydning, for eksempel når man skal finne lengden på projeksjonen av en vektor på en akse.

Instruksjon

Vinkel mellom to vektorer som ikke er null ved hjelp av punktproduktberegning. Per definisjon er produktet lik produktet av lengdene og vinkelen mellom dem. På den annen side beregnes det indre produktet for to vektorer a med koordinater (x1; y1) og b med koordinater (x2; y2): ab = x1x2 + y1y2. Av disse to måtene er punktproduktet lett å vinkle mellom vektorer.

Finn lengdene eller modulene til vektorene. For våre vektorer a og b: |a| = (x1² + y1²)^1/2, |b| = (x2² + y2²)^1/2.

Finn det indre produktet av vektorer ved å multiplisere deres koordinater i par: ab = x1x2 + y1y2. Fra definisjonen av punktproduktet ab = |a|*|b|*cos α, hvor α er vinkelen mellom vektorene. Da får vi at x1x2 + y1y2 = |a|*|b|*cos α. Deretter cos α = (x1x2 + y1y2)/(|a|*|b|) = (x1x2 + y1y2)/((x1² + y1²)(x2² + y2²))^1/2.

Finn vinkelen α ved å bruke Bradys-tabellene.

Relaterte videoer

Merk

Det skalare produktet er en skalar karakteristikk av lengdene til vektorer og vinkelen mellom dem.

Flyet er et av de grunnleggende konseptene innen geometri. Et plan er en flate som påstanden er sann for - enhver rett linje som forbinder to av punktene tilhører helt denne overflaten. Fly er vanligvis betegnet med greske bokstaver α, β, γ, etc. To plan krysser alltid i en rett linje som hører til begge planene.

Instruksjon

Betrakt halvplanene α og β dannet i skjæringspunktet mellom . Vinkel dannet av en rett linje a og to halvplan α og β av en dihedral vinkel. I dette tilfellet, halvplanene som danner en dihedral vinkel av flater, linjen a langs hvilken planene krysser kalles kanten av den dihedral vinkelen.

Dihedral vinkel, som en flat vinkel, i grader. For å lage en dihedral vinkel er det nødvendig å velge et vilkårlig punkt O på overflaten. I begge trekkes to stråler a gjennom punktet O. Den resulterende vinkelen AOB kalles den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen a.

Så la vektoren V = (a, b, c) og planet A x + B y + C z = 0 gis, hvor A, B og C er koordinatene til normalen N. Deretter cosinus til vinkelen α mellom vektorene V og N er: cos α \u003d (a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²)).

For å beregne verdien av vinkelen i grader eller radianer, må du beregne funksjonen invers til cosinus fra det resulterende uttrykket, dvs. arccosine: α \u003d arscos ((a A + b B + c C) / (√ (a² + b² + c²) √ (A² + B² + C²))).

Eksempel: finn hjørne mellom vektor(5, -3, 8) og flyet, gitt ved den generelle ligningen 2 x - 5 y + 3 z = 0. Løsning: skriv ned koordinatene til normalvektoren til planet N = (2, -5, 3). Bytt alle kjente verdier inn i formelen ovenfor: cos α = (10 + 15 + 24)/√3724 ≈ 0,8 → α = 36,87°.

Relaterte videoer

Skriv en ligning og isoler cosinus fra den. I følge en formel er skalarproduktet av vektorer lik lengdene deres multiplisert med hverandre og med cosinus vinkel, og på den andre - summen av produktene av koordinater langs hver av aksene. Ved å sette likhetstegn mellom begge formlene kan vi konkludere med at cosinus vinkel må være lik forholdet mellom summen av produktene til koordinatene og produktet av lengdene til vektorene.

Skriv ned den resulterende ligningen. For å gjøre dette må vi utpeke begge vektorene. La oss si at de er gitt i et 3D kartesisk system og deres utgangspunkt er i et rutenett. Retningen og størrelsen på den første vektoren vil bli gitt av punktet (X1,Y₁,Z₁), den andre - (X₂,Y₂,Z₂), og vinkelen vil bli angitt med bokstaven γ. Da kan lengdene til hver av vektorene for eksempel være i henhold til Pythagoras teorem for dannet av deres projeksjoner på hver av koordinataksene: √(X₁² + Y₁² + Z₁²) og √(X₂² + Y₂² + Z₂²). Erstatt disse uttrykkene i formelen formulert i forrige trinn, og du får likheten: cos(γ) = (X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁²) * √(X₂² + Y₂² + Z₂² )).

Bruk det faktum at summen av kvadratet sinus og co sinus fra vinkelén verdi gir alltid én. Derfor, ved å heve det som ble oppnådd på forrige trinn for co sinus kvadrat og trekke fra enhet, og deretter kvadratroten, løser du problemet. Skriv ønsket formel i generell form: sin(γ) = √(1-cos(γ)²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂) / (√(X₁² + Y₁² + Z₁² ) * √(X₂² + Y₂² + Z₂²))²) = √(1 - ((X₁*X₂ + Y₁*Y₂ + Z₁*Z₂)² / ((X₁² + Y₁² + Z₁₂² + Z₁²²) ) )).

Det skalare produktet av vektorer (heretter referert til som SP). Kjære venner! Matematikkeksamen inkluderer en gruppe oppgaver for å løse vektorer. Vi har allerede vurdert noen problemer. Du kan se dem i kategorien "Vektorer". Generelt er teorien om vektorer enkel, det viktigste er å studere den konsekvent. Beregninger og handlinger med vektorer i skolematematikkkurset er enkle, formlene er ikke kompliserte. Se nærmere på . I denne artikkelen vil vi analysere oppgaver på joint venture av vektorer (inkludert i eksamen). Nå "nedsenking" i teorien:

H For å finne koordinatene til en vektor, må du trekke fra koordinatene til dens endetilsvarende koordinater for begynnelsen

Og videre:

*Vektorlengde (modul) er definert som følger:

Disse formlene må huskes!!!

La oss vise vinkelen mellom vektorene:

Det er klart at det kan variere fra 0 til 180 0(eller i radianer fra 0 til Pi).

Vi kan trekke noen konklusjoner om tegnet til skalarproduktet. Lengdene på vektorer er selvfølgelig positive. Så tegnet til skalarproduktet avhenger av verdien av cosinus til vinkelen mellom vektorene.

Mulige tilfeller:

1. Hvis vinkelen mellom vektorene er skarp (fra 0 0 til 90 0), vil cosinus til vinkelen ha en positiv verdi.

2. Hvis vinkelen mellom vektorene er stump (fra 90 0 til 180 0), vil cosinus til vinkelen ha en negativ verdi.

*Ved null grader, det vil si når vektorene har samme retning, er cosinus lik én, og følgelig vil resultatet være positivt.

Ved 180 o, det vil si når vektorene har motsatte retninger, er cosinus lik minus én,og resultatet blir negativt.

Nå er det VIKTIGE POENGET!

Ved 90 o, det vil si når vektorene er vinkelrett på hverandre, er cosinus null, og dermed er joint venture null. Dette faktum (konsekvens, konklusjon) brukes til å løse mange problemer der vi snakker om gjensidig arrangement av vektorer, inkludert i problemer inkludert i den åpne banken av oppgaver i matematikk.

Vi formulerer påstanden: skalarproduktet er lik null hvis og bare hvis de gitte vektorene ligger på vinkelrette linjer.

Så formlene for SP-vektorene er:

Hvis koordinatene til vektorene eller koordinatene til punktene for deres begynnelse og slutt er kjent, kan vi alltid finne vinkelen mellom vektorene:

Vurder oppgavene:

27724 Finn det indre produktet av vektorene a og b .

Vi kan finne skalarproduktet av vektorer ved å bruke en av to formler:

Vinkelen mellom vektorene er ukjent, men vi kan enkelt finne koordinatene til vektorene og deretter bruke den første formelen. Siden begynnelsen av begge vektorene sammenfaller med opprinnelsen, er koordinatene til disse vektorene lik koordinatene til endene deres, dvs.

Hvordan finne koordinatene til en vektor er beskrevet i.

Vi beregner:

Svar: 40

Finn koordinatene til vektorene og bruk formelen:

For å finne koordinatene til en vektor, er det nødvendig å trekke de tilsvarende koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten av vektoren, som betyr