Ligningen har et uendelig antall løsninger if. Tre tilfeller ved løsning av systemer med lineære ligninger

1. Systemer av lineære ligninger med en parameter

Systemer av lineære ligninger med en parameter løses med de samme grunnleggende metodene som vanlige ligningssystemer: substitusjonsmetoden, metoden for å legge til ligninger og den grafiske metoden. Kunnskap om grafisk tolkning av lineære systemer gjør det enkelt å svare på spørsmålet om antall røtter og deres eksistens.

Eksempel 1.

Finn alle verdier for parameter a som ligningssystemet ikke har noen løsninger for.

(x + (a 2 – 3)y = a,
(x + y = 2.

Løsning.

La oss se på flere måter å løse denne oppgaven på.

1 vei. Vi bruker egenskapen: systemet har ingen løsninger hvis forholdet mellom koeffisientene foran x er lik forholdet mellom koeffisientene foran y, men ikke lik forholdet mellom de frie leddene (a/a 1 = b /b 1 ≠ c/c 1). Da har vi:

1/1 = (a 2 – 3)/1 ≠ a/2 eller system

(og 2 – 3 = 1,
(a ≠ 2.

Fra den første ligningen a 2 = 4, tar vi derfor i betraktning betingelsen om at a ≠ 2, får vi svaret.

Svar: a = -2.

Metode 2. Vi løser etter substitusjonsmetode.

(2 – y + (a 2 – 3)y = a,
(x = 2 – y,

((a 2 – 3)y – y = a – 2,
(x = 2 – y.

Etter å ha tatt fellesfaktoren y ut av parentes i den første ligningen, får vi:

((a 2 – 4)y = a – 2,
(x = 2 – y.

Systemet har ingen løsninger hvis den første ligningen ikke har noen løsninger, altså

(og 2 – 4 = 0,
(a – 2 ≠ 0.

Åpenbart er a = ±2, men med tanke på den andre betingelsen, kommer svaret bare med et minussvar.

Svare: a = -2.

Eksempel 2.

Finn alle verdier for parameteren a som ligningssystemet har et uendelig antall løsninger for.

(8x + ay = 2,
(ax + 2y = 1.

Løsning.

I henhold til egenskapen, hvis forholdet mellom koeffisientene til x og y er det samme, og er lik forholdet mellom de frie medlemmene av systemet, så har det et uendelig antall løsninger (dvs. a/a 1 = b/ b 1 = c/c 1). Derfor 8/a = a/2 = 2/1. Ved å løse hver av de resulterende ligningene finner vi at a = 4 er svaret i dette eksemplet.

Svare: a = 4.

2. Systemer av rasjonelle ligninger med en parameter

Eksempel 3.

(3|x| + y = 2,
(|x| + 2y = a.

Løsning.

La oss multiplisere den første ligningen i systemet med 2:

(6|x| + 2y = 4,
(|x| + 2y = a.

Trekker vi den andre ligningen fra den første, får vi 5|x| = 4 – a. Denne ligningen vil ha en unik løsning for a = 4. I andre tilfeller vil denne ligningen ha to løsninger (for en< 4) или ни одного (при а > 4).

Svar: a = 4.

Eksempel 4.

Finn alle verdiene av parameteren a som ligningssystemet har en unik løsning for.

(x + y = a,
(y – x 2 = 1.

Løsning.

Vi vil løse dette systemet ved hjelp av den grafiske metoden. Dermed er grafen til den andre ligningen til systemet en parabel hevet langs Oy-aksen oppover med ett enhetssegment. Den første ligningen spesifiserer et sett med linjer parallelt med linjen y = -x (Figur 1). Det ses tydelig av figuren at systemet har en løsning dersom den rette linjen y = -x + a er tangent til parablen i et punkt med koordinater (-0,5, 1,25). Ved å erstatte disse koordinatene i den rette linjelikningen i stedet for x og y, finner vi verdien av parameter a:

1,25 = 0,5 + a;

Svar: a = 0,75.

Eksempel 5.

Ved å bruke substitusjonsmetoden, finn ut til hvilken verdi av parameteren a, systemet har en unik løsning.

(akse – y = a + 1,
(ax + (a + 2)y = 2.

Løsning.

Fra den første ligningen uttrykker vi y og erstatter den med den andre:

(y = akse – a – 1,
(ax + (a + 2)(ax – a – 1) = 2.

La oss redusere den andre ligningen til formen kx = b, som vil ha en unik løsning for k ≠ 0. Vi har:

ax + a 2 x – a 2 – a + 2ax – 2a – 2 = 2;

a 2 x + 3ax = 2 + a 2 + 3a + 2.

Vi representerer kvadrattrinomialet a 2 + 3a + 2 som et produkt av parenteser

(a + 2)(a + 1), og til venstre tar vi x ut av parentes:

(a 2 + 3a)x = 2 + (a + 2)(a + 1).

Det er klart at a 2 + 3a ikke skal være lik null, derfor

a 2 + 3a ≠ 0, a(a + 3) ≠ 0, som betyr a ≠ 0 og ≠ -3.

Svare: a ≠ 0; ≠ -3.

Eksempel 6.

Ved hjelp av den grafiske løsningsmetoden, avgjør hvilken verdi av parameteren systemet har en unik løsning.

(x 2 + y 2 = 9,
(y – |x| = a.

Løsning.

Basert på betingelsen konstruerer vi en sirkel med et senter ved origo og en radius på 3 enhetssegmenter dette er spesifisert av systemets første ligning

x 2 + y 2 = 9. Den andre ligningen i systemet (y = |x| + a) er en stiplet linje. Ved å bruke figur 2 Vi vurderer alle mulige tilfeller av plasseringen i forhold til sirkelen. Det er lett å se at a = 3.

Svar: a = 3.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser ligningssystemer?
Registrer deg for å få hjelp fra en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

når har et ligningssystem flere løsninger? og fikk det beste svaret

Svar fra CBETAET[guru]
1) når det er flere ukjente i systemet enn ligninger
2) når en av likningene i systemet kan reduseres til en annen ved å bruke operasjonene +, -*, /, uten å dele og multiplisere med 0.
3) når det er 2 eller flere identiske ligninger i systemet (dette er et spesialtilfelle av punkt 2).
4) når det er usikkerhet i systemet etter noen transformasjoner.
for eksempel x + y = x + y, dvs. 0=0.
Lykke til!
p.s. ikke glem å si takk... dette er en så fin ting =))
RS-232
Guru
(4061)
Bare rangeringen av matrisen til et system med lineære ligninger vil hjelpe her.

Svar fra Anonym[ekspert]
Kan du være mer spesifikk?

Svar fra Vladimir[nybegynner]
Når rangeringen av matrisen til SL-koeffisienter er mindre enn antall ukjente.

Svar fra Besøkende fra fortiden[guru]
Hvis vi snakker om et system med to ligninger med to ukjente, så se figuren.

Svar fra RS-232[guru]
Når rangeringen av matrisen til et system av lineære ligninger er mindre enn antall variabler.

Svar fra Bruker slettet[guru]

Svar fra Artem Kurguzov[nybegynner]
Et konsistent system av lineære ligninger er ubestemt, dvs. har mange løsninger, hvis rangeringen til det konsistente systemet er mindre enn antallet ukjente.
For at et system skal være kompatibelt, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen av matrisen til dette systemet er lik rangeringen av dens utvidede matrise. (Kronecker-Capelli teorem)

Svar fra 2 svar[guru]

Hallo! Her er et utvalg av emner med svar på spørsmålet ditt: når har et ligningssystem mange løsninger?

Bestem om et system med lineære ligninger er konsistent ved å bruke Kronecker-Capelli teoremer kan ofte være raskere enn Gauss-metoden, hvor ukjente må elimineres sekvensielt. Denne teoremet er basert på bruk av matriserangering.

Kronecker-Capelli-teoremet om systemkompatibilitet. Et system med lineære algebraiske ligninger er konsistent hvis og bare hvis rangeringen til matrisen til dette systemet er lik rangeringen til den utvidede matrisen, det vil si slik at.

Rangeringene til disse matrisene er relatert av ulikheten og rangeringen til matrisen I kan bare være én enhet større enn rangeringen til matrisen EN.

Konsekvens av Kronecker-Capelli-teoremet om antall løsninger. La for systemet m lineære ligninger med n de ukjente tilfredsstiller kompatibilitetsbetingelsen, det vil si at rangeringen av matrisen til systemets koeffisienter er lik rangeringen av dens utvidede matrise. Da er følgende sant.

Hvis rangeringen av matrisen til et system med lineære ligninger er lik antall ligninger, det vil si at systemet er konsistent for alle frie ledd. I dette tilfellet er rangeringen av den utvidede matrisen også lik m, siden rangeringen til en matrise ikke kan være større enn antall rader.

Under beviset av Kronecker-Capelli-teoremet ble det oppnådd eksplisitte formler for løsninger av systemet (i tilfelle dets kompatibilitet). Hvis det allerede er kjent at systemet er konsistent, er det nødvendig for å finne løsningene:

1) finn i systemmatrisen EN rang forskjellig fra null mindre orden lik rangeringen av systemmatrisen, det vil si rangeringen r;

2) forkast de ligningene som tilsvarer radene i matrisen EN, ikke inkludert i mindretallet;

3) overføre termer med koeffisienter som ikke er inkludert i , til høyre side, og deretter gi de ukjente på høyre side vilkårlige verdier, bestemme de gjenværende ved å bruke Cramers formler r ukjent fra systemet r ligninger med en determinant som ikke er null.

Eksempel 1.

Løsning. Vi beregner rangeringen av matrisen til dette systemet og rangeringen til den utvidede matrisen. I begge tilfeller er det lik 3. Derfor er systemet med lineære ligninger konsistent. Siden rangeringen av systemmatrisen er mindre enn antallet ukjente, har systemet uendelig mange løsninger: en ukjent kan tas vilkårlig. Mindre

er forskjellig fra null, så vi forkaster den siste ligningen og gir det ukjente en vilkårlig verdi.

De resterende ukjente bestemmes fra systemet

Å løse det siste systemet ved å bruke Cramers formler eller på annen måte, finner vi

.

Ved å legge til her får vi alle løsninger til dette lineære likningssystemet.

Eksempel 2. Etter Kronecker-Capelli-setningen, finn ut om likningssystemet er konsistent

Hvis systemet er konsistent, så løs det.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger (SLAE) er utvilsomt det viktigste temaet i et lineært algebrakurs. Et stort antall problemer fra alle grener av matematikken kommer ned til å løse systemer av lineære ligninger. Disse faktorene forklarer årsaken til denne artikkelen. Materialet til artikkelen er valgt og strukturert slik at du med dens hjelp kan

• velg den optimale metoden for å løse systemet med lineære algebraiske ligninger,
• studere teorien om den valgte metoden,
• løse systemet med lineære ligninger ved å vurdere detaljerte løsninger på typiske eksempler og problemer.

Kort beskrivelse av artikkelmaterialet.

Først gir vi alle nødvendige definisjoner, begreper og introduserer notasjoner.

Deretter vil vi vurdere metoder for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger der antall ligninger er lik antall ukjente variabler og som har en unik løsning. For det første vil vi fokusere på Cramers metode, for det andre vil vi vise matrisemetoden for å løse slike ligningssystemer, og for det tredje vil vi analysere Gauss-metoden (metoden for sekvensiell eliminering av ukjente variabler). For å konsolidere teorien vil vi definitivt løse flere SLAE-er på forskjellige måter.

Etter dette vil vi gå videre til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av generell form, der antall ligninger ikke sammenfaller med antall ukjente variabler eller hovedmatrisen til systemet er entall. La oss formulere Kronecker-Capelli-teoremet, som lar oss etablere kompatibiliteten til SLAE-er. La oss analysere løsningen av systemer (hvis de er kompatible) ved å bruke konseptet med en basis-minor av en matrise. Vi vil også vurdere Gauss-metoden og beskrive i detalj løsningene på eksemplene.

Vi vil definitivt dvele ved strukturen til den generelle løsningen av homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger. La oss gi konseptet med et grunnleggende system av løsninger og vise hvordan den generelle løsningen til en SLAE er skrevet ved å bruke vektorene til det grunnleggende løsningssystemet. For en bedre forståelse, la oss se på noen få eksempler.

Avslutningsvis vil vi vurdere likningssystemer som kan reduseres til lineære, samt ulike problemer i løsningen av hvilke SLAE-er oppstår.

Sidenavigering.

Definisjoner, begreper, betegnelser.

Vi vil vurdere systemer med p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler (p kan være lik n) av formen

Ukjente variabler, - koeffisienter (noen reelle eller komplekse tall), - frie ledd (også reelle eller komplekse tall).

Denne formen for opptak SLAE kalles koordinere.

I matriseformå skrive dette ligningssystemet har formen,
Hvor - hovedmatrisen til systemet, - en kolonnematrise med ukjente variabler, - en kolonnematrise med frie ledd.

Legger vi til en matrisekolonne med frie ledd til matrise A som (n+1)te kolonne, får vi den s.k. utvidet matrise systemer av lineære ligninger. Vanligvis er en utvidet matrise merket med bokstaven T, og kolonnen med frie termer er atskilt med en vertikal linje fra de resterende kolonnene, det vil si,

Løse et system med lineære algebraiske ligninger kalt et sett med verdier av ukjente variabler som gjør alle likninger i systemet til identiteter. Matriseligningen for gitte verdier av de ukjente variablene blir også en identitet.

Hvis et ligningssystem har minst én løsning, kalles det ledd.

Hvis et ligningssystem ikke har noen løsninger, kalles det ikke-ledd.

Hvis en SLAE har en unik løsning, kalles den sikker; hvis det er mer enn én løsning, så – usikker.

Hvis de frie leddene til alle likningene i systemet er lik null , så kalles systemet homogen, ellers – heterogen.

Løse elementære systemer av lineære algebraiske ligninger.

Hvis antallet ligninger i et system er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen ikke er lik null, vil slike SLAE-er bli kalt elementært. Slike ligningssystemer har en unik løsning, og ved et homogent system er alle ukjente variabler lik null.

Vi begynte å studere slike SLAE-er på videregående. Når vi løste dem, tok vi en likning, uttrykte en ukjent variabel i form av andre og erstattet den i de resterende likningene, tok deretter den neste likningen, uttrykte den neste ukjente variabelen og erstattet den i andre likninger, og så videre. Eller de brukte addisjonsmetoden, det vil si at de la til to eller flere ligninger for å eliminere noen ukjente variabler. Vi vil ikke dvele ved disse metodene i detalj, siden de i hovedsak er modifikasjoner av Gauss-metoden.

Hovedmetodene for å løse elementære systemer av lineære ligninger er Cramer-metoden, matrisemetoden og Gauss-metoden. La oss sortere dem.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Anta at vi må løse et system med lineære algebraiske ligninger

hvor antall ligninger er lik antall ukjente variabler og determinanten til hovedmatrisen til systemet er forskjellig fra null, det vil si .

La være determinanten for hovedmatrisen til systemet, og - determinanter av matriser som er hentet fra A ved erstatning 1., 2., …, n kolonnen til kolonnen med gratis medlemmer:

Med denne notasjonen beregnes ukjente variabler ved å bruke formlene til Cramers metode som . Slik finner man løsningen på et system med lineære algebraiske ligninger ved hjelp av Cramers metode.

Eksempel.

Cramers metode .

Løsning.

Hovedmatrisen til systemet har formen . La oss beregne dens determinant (om nødvendig, se artikkelen):

Siden determinanten for hovedmatrisen til systemet ikke er null, har systemet en unik løsning som kan bli funnet med Cramers metode.

La oss komponere og beregne de nødvendige determinantene (vi får determinanten ved å erstatte den første kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer, determinanten ved å erstatte den andre kolonnen med en kolonne med frie termer, og ved å erstatte den tredje kolonnen i matrise A med en kolonne med frie termer) :

Finne ukjente variabler ved hjelp av formler :

Svare:

Den største ulempen med Cramers metode (hvis den kan kalles en ulempe) er kompleksiteten ved å beregne determinanter når antallet ligninger i systemet er mer enn tre.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden (ved å bruke en invers matrise).

La et system med lineære algebraiske ligninger gis i matriseform, der matrisen A har dimensjon n med n og dens determinant er ikke null.

Siden , matrise A er inverterbar, det vil si at det er en invers matrise. Hvis vi multipliserer begge sider av likheten med venstre, får vi en formel for å finne en matrisekolonne med ukjente variabler. Slik fikk vi en løsning på et system av lineære algebraiske ligninger ved hjelp av matrisemetoden.

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger matrisemetode.

Løsning.

La oss omskrive ligningssystemet i matriseform:

Fordi

så kan SLAE løses ved hjelp av matrisemetoden. Ved å bruke den inverse matrisen kan løsningen på dette systemet finnes som .

La oss konstruere en invers matrise ved å bruke en matrise fra de algebraiske komplementene til elementene i matrise A (om nødvendig, se artikkelen):

Det gjenstår å beregne matrisen av ukjente variabler ved å multiplisere den inverse matrisen til en matrisekolonne med gratis medlemmer (om nødvendig, se artikkelen):

Svare:

eller i en annen notasjon x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Hovedproblemet når man finner løsninger på systemer med lineære algebraiske ligninger ved bruk av matrisemetoden, er kompleksiteten ved å finne den inverse matrisen, spesielt for kvadratiske matriser av orden høyere enn tredje.

Løse systemer av lineære ligninger ved hjelp av Gauss-metoden.

Anta at vi må finne en løsning på et system med n lineære ligninger med n ukjente variabler
determinanten til hovedmatrisen som er forskjellig fra null.

Essensen av Gauss-metoden består av sekvensiell eliminering av ukjente variabler: først ekskluderes x 1 fra alle likninger i systemet, starter fra den andre, deretter ekskluderes x 2 fra alle likninger, starter fra den tredje, og så videre, inntil bare den ukjente variabelen x n er igjen i den siste ligningen. Denne prosessen med å transformere likningene til et system for å sekvensielt eliminere ukjente variabler kalles ved å bruke den direkte gaussiske metoden. Etter å ha fullført foroverslaget til Gauss-metoden, blir x n funnet fra den siste ligningen, ved å bruke denne verdien fra den nest siste ligningen, beregnes x n-1, og så videre, x 1 blir funnet fra den første ligningen. Prosessen med å beregne ukjente variabler når man går fra den siste ligningen i systemet til den første kalles invers av Gauss-metoden.

La oss kort beskrive algoritmen for å eliminere ukjente variabler.

Vi vil anta det, siden vi alltid kan oppnå dette ved å bytte ut systemets likninger. La oss eliminere den ukjente variabelen x 1 fra alle likninger i systemet, og starter med den andre. For å gjøre dette, til den andre ligningen i systemet legger vi den første, multiplisert med , til den tredje ligningen legger vi den første, multiplisert med , og så videre, til den n-te ligningen legger vi den første, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og .

Vi ville ha kommet til det samme resultatet hvis vi hadde uttrykt x 1 i form av andre ukjente variabler i den første likningen av systemet og erstattet det resulterende uttrykket i alle andre likninger. Dermed er variabelen x 1 ekskludert fra alle ligninger, fra den andre.

Deretter fortsetter vi på lignende måte, men bare med en del av det resulterende systemet, som er markert i figuren

For å gjøre dette legger vi til den tredje likningen i systemet den andre, multiplisert med , til den fjerde likningen legger vi den andre, multiplisert med , og så videre, til den n-te likningen legger vi den andre, multiplisert med . Ligningssystemet etter slike transformasjoner vil ta formen

hvor og . Dermed er variabelen x 2 ekskludert fra alle ligninger, fra den tredje.

Deretter fortsetter vi med å eliminere den ukjente x 3, og vi handler på samme måte med den delen av systemet som er merket på figuren

Så vi fortsetter den direkte progresjonen av Gauss-metoden til systemet tar formen

Fra dette øyeblikket begynner vi det motsatte av Gauss-metoden: vi beregner x n fra den siste ligningen som , ved å bruke den oppnådde verdien av x n finner vi x n-1 fra den nest siste ligningen, og så videre, vi finner x 1 fra den første ligningen .

Eksempel.

Løs system av lineære ligninger Gauss metode.

Løsning.

La oss ekskludere den ukjente variabelen x 1 fra den andre og tredje likningen i systemet. For å gjøre dette legger vi til begge sider av den andre og tredje ligningen de tilsvarende delene av den første ligningen, multiplisert med og med henholdsvis:

Nå eliminerer vi x 2 fra den tredje ligningen ved å legge til venstre og høyre side til venstre og høyre side av den andre ligningen, multiplisert med:

Dette fullfører foroverslaget til Gauss-metoden.

Fra den siste ligningen til det resulterende ligningssystemet finner vi x 3:

Fra den andre ligningen får vi .

Fra den første ligningen finner vi den gjenværende ukjente variabelen og fullfører dermed det motsatte av Gauss-metoden.

Svare:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Generelt faller ikke antall ligninger i systemet p sammen med antall ukjente variabler n:

Slike SLAE-er har kanskje ingen løsninger, har en enkelt løsning eller har uendelig mange løsninger. Denne uttalelsen gjelder også for ligningssystemer hvis hovedmatrise er kvadratisk og entall.

Kronecker-Capelli teorem.

Før du finner en løsning på et system med lineære ligninger, er det nødvendig å etablere kompatibiliteten. Svaret på spørsmålet når SLAE er kompatibelt og når det er inkonsekvent er gitt av Kronecker-Capelli-teorem:
For at et likningssystem med n ukjente (p kan være lik n) skal være konsistent, er det nødvendig og tilstrekkelig at rangeringen til systemets hovedmatris er lik rangeringen til den utvidede matrisen, dvs. , Rangering(A)=Rank(T).

La oss vurdere, som et eksempel, anvendelsen av Kronecker-Capelli-teoremet for å bestemme kompatibiliteten til et system med lineære ligninger.

Eksempel.

Finn ut om systemet med lineære ligninger har løsninger.

Løsning.

. La oss bruke metoden for å grense til mindreårige. Mindre av andre orden forskjellig fra null. La oss se på tredjeordens mindreårige som grenser til det:

Siden alle de grensende mindreårige av den tredje orden er lik null, er rangeringen til hovedmatrisen lik to.

I sin tur, rangeringen av den utvidede matrisen er lik tre, siden mindretallet er av tredje orden

forskjellig fra null.

Slik, Rang(A), derfor, ved å bruke Kronecker-Capelli-setningen, kan vi konkludere med at det opprinnelige systemet med lineære ligninger er inkonsekvent.

Svare:

Systemet har ingen løsninger.

Så vi har lært å etablere inkonsistensen til et system ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet.

Men hvordan finne en løsning på en SLAE hvis kompatibiliteten er etablert?

For å gjøre dette trenger vi konseptet med en basismoll av en matrise og et teorem om rangeringen til en matrise.

Den moll av høyeste orden av matrisen A, forskjellig fra null, kalles grunnleggende.

Fra definisjonen av en basis minor følger det at rekkefølgen er lik rangeringen av matrisen. For en matrise A som ikke er null, kan det være flere basis-moll.

Tenk for eksempel på matrisen .

Alle tredjeordens mindreårige i denne matrisen er lik null, siden elementene i den tredje raden i denne matrisen er summen av de tilsvarende elementene i den første og andre raden.

Følgende andreordens mindreårige er grunnleggende, siden de ikke er null

Mindreårige er ikke grunnleggende, siden de er lik null.

Matriserangeringsteorem.

Hvis rangeringen av en matrise av orden p til n er lik r, blir alle rad- (og kolonne-)elementer i matrisen som ikke utgjør den valgte basis-moll lineært uttrykt i form av de korresponderende rad- (og kolonneelementene) som danner basis mindre.

Hva forteller matriserangeringssetningen oss?

Hvis vi i henhold til Kronecker-Capelli-teoremet har etablert kompatibiliteten til systemet, velger vi hvilken som helst basis-minor av hovedmatrisen til systemet (rekkefølgen er lik r), og ekskluderer fra systemet alle ligninger som gjør det ikke utgjør den valgte basis mindreårige. SLAE oppnådd på denne måten vil være ekvivalent med den opprinnelige, siden de forkastede ligningene fortsatt er overflødige (ifølge matriserangsetningen er de en lineær kombinasjon av de gjenværende ligningene).

Som et resultat, etter å ha forkastet unødvendige ligninger av systemet, er to tilfeller mulige.

Hvis antall ligninger r i det resulterende systemet er lik antallet ukjente variabler, vil det være definitivt og den eneste løsningen kan finnes ved Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Eksempel.

.

Løsning.

Rangering av hovedmatrisen til systemet er lik to, siden minor er av andre orden forskjellig fra null. Rangering av den utvidede matrisen er også lik to, siden den eneste tredje ordens moll er null

og andreordens moll som er vurdert ovenfor er forskjellig fra null. Basert på Kronecker-Capelli-teoremet kan vi hevde kompatibiliteten til det opprinnelige systemet med lineære ligninger, siden Rank(A)=Rank(T)=2.

Som basis mindre tar vi . Den er dannet av koeffisientene til den første og andre ligningen:


Den tredje ligningen til systemet deltar ikke i dannelsen av basisminor, så vi ekskluderer den fra systemet basert på teoremet om rangeringen av matrisen:


Dette er hvordan vi fikk et elementært system av lineære algebraiske ligninger. La oss løse det ved å bruke Cramers metode:


Svare:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Hvis antall ligninger r i den resulterende SLAE er mindre enn antall ukjente variabler n, så lar vi på venstre side av ligningene vilkårene som danner basis-minor, og vi overfører de resterende leddene til høyresiden av likningene. likninger av systemet med motsatt fortegn.

De ukjente variablene (r av dem) som er igjen på venstre side av ligningene kalles hoved-.

Ukjente variabler (det er n - r-stykker) som er på høyresiden kalles gratis.

Nå tror vi at frie ukjente variabler kan ta vilkårlige verdier, mens de r viktigste ukjente variablene vil uttrykkes gjennom frie ukjente variabler på en unik måte. Deres uttrykk kan bli funnet ved å løse den resulterende SLAE ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

La oss se på det med et eksempel.

Eksempel.

Løs et system med lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

La oss finne rangeringen til hovedmatrisen til systemet ved metoden med å grense mindreårige. La oss ta en 1 1 = 1 som en moll som ikke er null av første orden. La oss begynne å søke etter et moll som ikke er null av andre orden som grenser til denne moll:


Slik fant vi en moll som ikke er null av andre orden. La oss begynne å søke etter en moll som ikke er null av tredje orden:


Dermed er rangeringen av hovedmatrisen tre. Rangeringen til den utvidede matrisen er også lik tre, det vil si at systemet er konsistent.

Vi tar den funnet ikke-null moll av tredje orden som basis en.

For klarhets skyld viser vi elementene som danner basisminor:


Vi lar begrepene som er involvert i basis-moll på venstre side av systemligningene, og overfører resten med motsatte fortegn til høyre side:


La oss gi de frie ukjente variablene x 2 og x 5 vilkårlige verdier, det vil si at vi godtar , hvor er vilkårlige tall. I dette tilfellet vil SLAE ta formen


La oss løse det resulterende elementære systemet med lineære algebraiske ligninger ved å bruke Cramers metode:


Derfor,.

I svaret ditt, ikke glem å angi ledige ukjente variabler.

Svare:

Hvor er vilkårlige tall.

La oss oppsummere.

For å løse et system med generelle lineære algebraiske ligninger, bestemmer vi først dets kompatibilitet ved å bruke Kronecker-Capelli-teoremet. Hvis rangeringen til hovedmatrisen ikke er lik rangeringen til den utvidede matrisen, konkluderer vi med at systemet er inkompatibelt.

Hvis rangeringen til hovedmatrisen er lik rangeringen til den utvidede matrisen, velger vi en basis-minor og forkaster likningene til systemet som ikke deltar i dannelsen av den valgte basis-minor.

Hvis rekkefølgen på basisminoren er lik antall ukjente variabler, har SLAE en unik løsning, som kan finnes med en hvilken som helst metode kjent for oss.

Hvis rekkefølgen til basisminor er mindre enn antall ukjente variabler, lar vi på venstre side av systemligningene vilkårene med de viktigste ukjente variablene, overføre de resterende leddene til høyre side og gi vilkårlige verdier til de frie ukjente variablene. Fra det resulterende systemet med lineære ligninger finner vi de viktigste ukjente variablene ved å bruke Cramer-metoden, matrisemetoden eller Gauss-metoden.

Gauss-metode for å løse systemer av lineære algebraiske ligninger av generell form.

Gauss-metoden kan brukes til å løse systemer med lineære algebraiske ligninger av noe slag uten først å teste dem for konsistens. Prosessen med sekvensiell eliminering av ukjente variabler gjør det mulig å trekke en konklusjon om både kompatibiliteten og inkompatibiliteten til SLAE, og hvis en løsning finnes, gjør den det mulig å finne den.

Fra et beregningsmessig synspunkt er Gauss-metoden å foretrekke.

Se dens detaljerte beskrivelse og analyserte eksempler i artikkelen Gauss-metoden for å løse systemer av generelle lineære algebraiske ligninger.

Skrive en generell løsning på homogene og inhomogene lineære algebraiske systemer ved å bruke vektorer av det fundamentale løsningssystemet.

I denne delen skal vi snakke om samtidige homogene og inhomogene systemer av lineære algebraiske ligninger som har et uendelig antall løsninger.

La oss først ta for oss homogene systemer.

Grunnleggende system av løsninger homogent system av p lineære algebraiske ligninger med n ukjente variabler er en samling av (n – r) lineært uavhengige løsninger av dette systemet, hvor r er rekkefølgen til basis-moll av hovedmatrisen til systemet.

Hvis vi betegner lineært uavhengige løsninger av en homogen SLAE som X (1) , er X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) søylematriser med dimensjon n med 1) , så er den generelle løsningen av dette homogene systemet representert som en lineær kombinasjon av vektorer av det grunnleggende løsningssystemet med vilkårlige konstante koeffisienter C 1, C 2, ..., C (n-r), det vil si .

Hva betyr begrepet generell løsning av et homogent system av lineære algebraiske ligninger (oroslau)?

Betydningen er enkel: formelen spesifiserer alle mulige løsninger av den originale SLAE, med andre ord, ved å ta ethvert sett med verdier av vilkårlige konstanter C 1, C 2, ..., C (n-r), ved å bruke formelen vil vi få en av løsningene av den originale homogene SLAE.

Derfor, hvis vi finner et grunnleggende system av løsninger, kan vi definere alle løsninger av denne homogene SLAE som .

La oss vise prosessen med å konstruere et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE.

Vi velger basis-moll av det opprinnelige systemet med lineære ligninger, ekskluderer alle andre ligninger fra systemet, og overfører alle ledd som inneholder frie ukjente variabler til høyresiden av systemets ligninger med motsatte fortegn. La oss gi de frie ukjente variablene verdiene 1,0,0,...,0 og beregne de viktigste ukjente ved å løse det resulterende elementære systemet med lineære ligninger på noen måte, for eksempel ved å bruke Cramer-metoden. Dette vil resultere i X (1) - den første løsningen av det grunnleggende systemet. Hvis vi gir de frie ukjente verdiene 0,1,0,0,...,0 og beregner de viktigste ukjente, får vi X (2) . Og så videre. Hvis vi tilordner verdiene 0.0,…,0.1 til de frie ukjente variablene og beregner de viktigste ukjente, får vi X (n-r) . På denne måten vil et grunnleggende system av løsninger til en homogen SLAE bli konstruert og dens generelle løsning kan skrives i formen .

For inhomogene systemer med lineære algebraiske ligninger, er den generelle løsningen representert i formen , hvor er den generelle løsningen av det tilsvarende homogene systemet, og er den spesielle løsningen av den opprinnelige inhomogene SLAE, som vi oppnår ved å gi de frie ukjente verdiene ​​0,0,…,0 og beregne verdiene til de viktigste ukjente.

La oss se på eksempler.

Eksempel.

Finn det grunnleggende løsningssystemet og den generelle løsningen av et homogent system av lineære algebraiske ligninger .

Løsning.

Rangeringen av hovedmatrisen til homogene systemer av lineære ligninger er alltid lik rangeringen til den utvidede matrisen. La oss finne rangeringen til hovedmatrisen ved å bruke metoden for å grense til mindreårige. Som en ikke-null moll av første orden tar vi element a 1 1 = 9 av hovedmatrisen til systemet. La oss finne den avgrensende moll som ikke er null av andre orden:

En mindreårig av andre orden, forskjellig fra null, er funnet. La oss gå gjennom tredjeordens mindreårige som grenser til den på leting etter en som ikke er null:

Alle tredje-ordens grensende mindreårige er lik null, derfor er rangeringen til hovedmatrisen og den utvidede matrisen lik to. La oss ta . For klarhets skyld, la oss merke oss elementene i systemet som danner det:

Den tredje ligningen til den opprinnelige SLAE deltar ikke i dannelsen av basisminor, derfor kan den ekskluderes:

Vi lar begrepene som inneholder de viktigste ukjente på høyre side av ligningene, og overfører begrepene med frie ukjente til høyre side:

La oss konstruere et grunnleggende system av løsninger til det opprinnelige homogene systemet med lineære ligninger. Det grunnleggende løsningssystemet til denne SLAE består av to løsninger, siden den opprinnelige SLAE inneholder fire ukjente variabler, og rekkefølgen på dens basisminor er lik to. For å finne X (1), gir vi de frie ukjente variablene verdiene x 2 = 1, x 4 = 0, så finner vi de viktigste ukjente fra ligningssystemet
.

I praksis er imidlertid ytterligere to tilfeller utbredt:

– Systemet er inkonsekvent (har ingen løsninger);
– Systemet er konsistent og har uendelig mange løsninger.

Note : Begrepet "konsistens" innebærer at systemet i det minste har en løsning. I en rekke problemer er det nødvendig å først undersøke systemet for kompatibilitet, se artikkelen om; rangering av matriser.

For disse systemene brukes den mest universelle av alle løsningsmetoder - Gaussisk metode. Faktisk vil "skole"-metoden også føre til svaret, men i høyere matematikk er det vanlig å bruke den Gaussiske metoden for sekvensiell eliminering av ukjente. De som ikke er kjent med den Gaussiske metodealgoritmen, vennligst studer leksjonen først Gaussisk metode for dummies.

Selve de elementære matrisetransformasjonene er nøyaktig de samme, vil forskjellen være i slutten av løsningen. La oss først se på et par eksempler når systemet ikke har noen løsninger (inkonsekvent).

Eksempel 1

Hva fanger umiddelbart oppmerksomheten din med dette systemet? Antall ligninger er mindre enn antall variabler. Hvis antall ligninger er mindre enn antall variabler, så kan vi umiddelbart si at systemet enten er inkonsekvent eller har uendelig mange løsninger. Og det gjenstår bare å finne ut.

Begynnelsen av løsningen er helt vanlig - vi skriver ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringer den til en trinnvis form:

(1) Øverst til venstre må vi få +1 eller –1. Det er ingen slike tall i den første kolonnen, så omorganisering av radene vil ikke gjøre noe. Enheten vil måtte organisere seg selv, og dette kan gjøres på flere måter. Jeg gjorde dette: Til den første linjen legger vi den tredje linjen, multiplisert med -1.

(2) Nå får vi to nuller i den første kolonnen. Til den andre linjen legger vi den første linjen multiplisert med 3. Til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med 5.

(3) Etter at transformasjonen er fullført, er det alltid lurt å se om det er mulig å forenkle de resulterende strengene? Kan. Vi deler den andre linjen med 2, samtidig som vi får den nødvendige –1 på det andre trinnet. Del den tredje linjen med –3.

(4) Legg til den andre linjen til den tredje linjen.

Sannsynligvis la alle merke til den dårlige linjen som ble resultatet av elementære transformasjoner: . Det er klart at det ikke kan være slik. Faktisk, la oss omskrive den resulterende matrisen tilbake til systemet med lineære ligninger:

Hvis det, som et resultat av elementære transformasjoner, oppnås en streng av formen, hvor er et annet tall enn null, så er systemet inkonsekvent (har ingen løsninger).

Hvordan skrive ned slutten på en oppgave? La oss tegne med hvitt kritt: "som et resultat av elementære transformasjoner, en streng av formen , hvor " er oppnådd og gi svaret: systemet har ingen løsninger (inkonsekvent).

Hvis det i henhold til betingelsen er nødvendig å FORSKE systemet for kompatibilitet, er det nødvendig å formalisere løsningen i en mer solid stil ved å bruke konseptet matriserangering og Kronecker-Capelli-teoremet.

Vær oppmerksom på at det ikke er noen reversering av den Gaussiske algoritmen her - det er ingen løsninger og det er rett og slett ingenting å finne.

Eksempel 2

Løs et system med lineære ligninger

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Full løsning og svar på slutten av timen. Jeg minner deg igjen om at løsningen din kan avvike fra min løsning, den Gaussiske algoritmen har ikke sterk "stivhet".

Et annet teknisk trekk ved løsningen: elementære transformasjoner kan stoppes øyeblikkelig, så snart en linje som , hvor . La oss vurdere et betinget eksempel: anta at matrisen er oppnådd etter den første transformasjonen . Matrisen er ennå ikke redusert til echelonform, men det er ikke behov for ytterligere elementære transformasjoner, siden en linje av formen har dukket opp, hvor . Svaret bør gis umiddelbart at systemet er inkompatibelt.

Når et system med lineære ligninger ikke har noen løsninger, er dette nesten en gave, på grunn av det faktum at en kort løsning oppnås, noen ganger bokstavelig talt i 2-3 trinn.

Men alt i denne verden er balansert, og et problem der systemet har uendelig mange løsninger er bare lengre.

Eksempel 3

Løs et system med lineære ligninger

Det er 4 ligninger og 4 ukjente, så systemet kan enten ha en enkelt løsning, eller ha ingen løsninger, eller ha uendelig mange løsninger. Uansett, den gaussiske metoden vil uansett føre oss til svaret. Dette er dens allsidighet.

Begynnelsen er igjen standard. La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

Det var alt, og du var redd.

(1) Vær oppmerksom på at alle tallene i den første kolonnen er delbare med 2, så 2 er greit øverst til venstre. Til den andre linjen legger vi den første linjen, multiplisert med –4. Til den tredje linjen legger vi den første linjen, multiplisert med –2. Til den fjerde linjen legger vi den første linjen, multiplisert med –1.

Oppmerksomhet! Mange kan bli fristet av den fjerde linjen subtrahere første linje. Dette kan gjøres, men det er ikke nødvendig erfaring viser at sannsynligheten for en feil i beregninger øker flere ganger. Bare legg til: Til den fjerde linjen legger vi den første linjen, multiplisert med –1 – akkurat sånn!

(2) De tre siste linjene er proporsjonale, to av dem kan slettes.

Her må vi igjen vise økt oppmerksomhet, men er linjene virkelig proporsjonale? For å være på den sikre siden (spesielt for en tekanne), vil det være en god idé å multiplisere den andre linjen med –1, og dele den fjerde linjen med 2, noe som resulterer i tre like linjer. Og først etter det fjerner du to av dem.

Som et resultat av elementære transformasjoner reduseres den utvidede matrisen til systemet til en trinnvis form:

Når du skriver en oppgave i en notatbok, er det lurt å lage de samme notatene med blyant for klarhetens skyld.

La oss omskrive det tilsvarende ligningssystemet:

Det lukter ikke en "vanlig" enkeltløsning på systemet her. Det er ingen dårlig linje heller. Det betyr at dette er det tredje gjenværende tilfellet – systemet har uendelig mange løsninger. Noen ganger, i henhold til betingelsen, er det nødvendig å undersøke kompatibiliteten til systemet (dvs. bevise at en løsning eksisterer i det hele tatt), du kan lese om dette i siste avsnitt av artikkelen Hvordan finne rangeringen til en matrise? Men la oss nå gå gjennom det grunnleggende:

Et uendelig sett med løsninger til et system er kort skrevet i form av den såkalte generell løsning av systemet .

Vi finner den generelle løsningen av systemet ved å bruke det inverse av Gauss-metoden.

Først må vi definere hvilke variabler vi har grunnleggende, og hvilke variabler gratis. Du trenger ikke å bry deg med vilkårene for lineær algebra, bare husk at det finnes slike grunnleggende variabler Og frie variabler.

Grunnleggende variabler "sitter" alltid strengt på trinnene i matrisen.
I dette eksemplet er de grunnleggende variablene og

Frie variabler er alt gjenværende variabler som ikke fikk et trinn. I vårt tilfelle er det to av dem: – frie variabler.

Nå trenger du Alle grunnleggende variabler uttrykke bare gjennom frie variabler.

Det motsatte av Gauss-algoritmen fungerer tradisjonelt fra bunnen og opp.
Fra den andre ligningen i systemet uttrykker vi den grunnleggende variabelen:

Se nå på den første ligningen: . Først erstatter vi det funnet uttrykket i det:

Det gjenstår å uttrykke den grunnleggende variabelen i form av frie variabler:

Til slutt fikk vi det vi trengte - Alle grunnleggende variabler ( og ) uttrykkes bare gjennom frie variabler:

Faktisk er den generelle løsningen klar:

Hvordan skrive den generelle løsningen riktig?
Frie variabler skrives inn i den generelle løsningen "av seg selv" og strengt tatt på sine steder. I dette tilfellet bør frie variabler skrives i andre og fjerde posisjon:
.

De resulterende uttrykkene for de grunnleggende variablene og må åpenbart skrives i første og tredje posisjon:

Å gi gratis variabler vilkårlige verdier, kan du finne uendelig mange private løsninger. De mest populære verdiene er nuller, siden den spesielle løsningen er den enkleste å få tak i. La oss bytte inn i den generelle løsningen:

– privat løsning.

Et annet søtt par er de, la oss erstatte dem med den generelle løsningen:

– en annen privat løsning.

Det er lett å se at ligningssystemet har uendelig mange løsninger(siden vi kan gi gratis variabler noen verdier)

Hver den spesielle løsningen må tilfredsstille til alle systemets ligning. Dette er grunnlaget for en "rask" sjekk av løsningens riktighet. Ta for eksempel en bestemt løsning og bytt den inn på venstre side av hver ligning i det opprinnelige systemet:

Alt må komme sammen. Og med en hvilken som helst spesiell løsning du får, bør også alt stemme.

Men strengt tatt er det å sjekke en bestemt løsning noen ganger lure, dvs. en bestemt løsning kan tilfredsstille hver ligning i systemet, men selve den generelle løsningen er faktisk funnet feil.

Derfor er verifisering av den generelle løsningen mer grundig og pålitelig. Hvordan sjekke den resulterende generelle løsningen ?

Det er ikke vanskelig, men ganske kjedelig. Vi må ta uttrykk grunnleggende variabler, i dette tilfellet og , og erstatte dem i venstre side av hver likning av systemet.

Til venstre side av den første ligningen av systemet:

Til venstre side av den andre ligningen av systemet:


Høyre side av den opprinnelige ligningen oppnås.

Eksempel 4

Løs systemet ved hjelp av Gauss-metoden. Finn den generelle løsningen og to spesielle. Sjekk den generelle løsningen.

Dette er et eksempel du kan løse på egen hånd. Her er forresten igjen antallet ligninger mindre enn antallet ukjente, noe som betyr at det umiddelbart er klart at systemet enten vil være inkonsekvent eller ha et uendelig antall løsninger. Hva er viktig i selve beslutningsprosessen? Oppmerksomhet, og atter oppmerksomhet. Full løsning og svar på slutten av timen.

Og et par eksempler til for å forsterke materialet

Eksempel 5

Løs et system med lineære ligninger. Hvis systemet har uendelig mange løsninger, finn to spesielle løsninger og sjekk den generelle løsningen

Løsning: La oss skrive ned den utvidede matrisen til systemet og, ved hjelp av elementære transformasjoner, bringe den til en trinnvis form:

(1) Legg til den første linjen til den andre linjen. Til den tredje linjen legger vi den første linjen multiplisert med 2. Til den fjerde linjen legger vi den første linjen multiplisert med 3.
(2) Til den tredje linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –5. Til den fjerde linjen legger vi den andre linjen, multiplisert med –7.
(3) Den tredje og fjerde linjen er den samme, vi sletter en av dem.

Dette er slik skjønnhet:

Grunnvariabler sitter på trinnene, derfor - grunnleggende variabler.
Det er bare én gratis variabel som ikke fikk et trinn:

Omvendt:
La oss uttrykke de grunnleggende variablene gjennom en fri variabel:
Fra den tredje ligningen:

La oss vurdere den andre ligningen og erstatte det funnet uttrykket i den:

La oss vurdere den første ligningen og erstatte de funnet uttrykkene og inn i den:

Ja, en kalkulator som regner ut vanlige brøker er fortsatt praktisk.

Så den generelle løsningen er:

Nok en gang, hvordan ble det? Den frie variabelen sitter alene på sin rettmessige fjerdeplass. De resulterende uttrykkene for de grunnleggende variablene tok også sine ordinalplasser.

La oss umiddelbart sjekke den generelle løsningen. Jobben er for svarte, men jeg har allerede gjort den, så ta den =)

Vi setter inn tre helter , , på venstre side av hver likning i systemet:

De korresponderende høyresidene av ligningene oppnås, og dermed er den generelle løsningen funnet riktig.

Nå fra den funnet generelle løsningen vi får to spesielle løsninger. Den eneste gratis variabelen her er kokken. Du trenger ikke å gruble på hjernen din.

La det være da – privat løsning.
La det være da – en annen privat løsning.

Svare: Generell løsning: , private løsninger: , .

Jeg burde ikke ha husket svarte... ...fordi alle slags sadistiske motiver kom inn i hodet mitt og jeg husket den berømte photoshopen der Ku Klux Klansmen i hvite kapper løper over banen etter en svart fotballspiller. Jeg sitter og smiler stille. Du vet hvor distraherende...

Mye matematikk er skadelig, så et lignende siste eksempel for å løse det selv.

Eksempel 6

Finn den generelle løsningen til systemet med lineære ligninger.

Jeg har allerede sjekket den generelle løsningen, svaret kan stole på. Din løsning kan avvike fra min løsning, hovedsaken er at de generelle løsningene er sammenfallende.

Sannsynligvis la mange mennesker merke til et ubehagelig øyeblikk i løsningene: veldig ofte, under omvendt kurs av Gauss-metoden, måtte vi tukle med vanlige brøker. I praksis er dette faktisk tilfellet hvor det ikke er brøker, er mye mindre vanlige. Vær forberedt mentalt og, viktigst av alt, teknisk.

Jeg vil dvele ved noen funksjoner ved løsningen som ikke ble funnet i de løste eksemplene.

Den generelle løsningen av systemet kan noen ganger inkludere en konstant (eller konstanter), for eksempel: . Her er en av grunnvariablene lik et konstant tall: . Det er ikke noe eksotisk med dette, det skjer. Åpenbart, i dette tilfellet, vil enhver spesiell løsning inneholde en femmer i første posisjon.

Sjelden, men det er systemer der antall ligninger er større enn antall variabler. Gaussmetoden fungerer under de mest alvorlige forhold; man bør rolig redusere den utvidede matrisen til systemet til en trinnvis form ved hjelp av en standardalgoritme. Et slikt system kan være inkonsekvent, kan ha uendelig mange løsninger, og merkelig nok kan det ha en enkelt løsning.