Parabelligningen har formen. Parabel - egenskaper og graf for en kvadratisk funksjon

Tenk på en linje i planet og et punkt som ikke ligger på denne linjen. Og ellipse, og hyperbel kan defineres på en enhetlig måte som stedet for punkter der forholdet mellom avstanden til et gitt punkt og avstanden til en gitt rett linje er en konstant

rang ε. Ved 0 1 - hyperbole. Parameteren ε er eksentrisiteten til både ellipsen og hyperbelen. Av de mulige positive verdiene til parameteren ε, viser en, nemlig ε = 1, seg å være ubrukt. Denne verdien tilsvarer stedet for punkter like langt fra det gitte punktet og fra den gitte linjen.

Definisjon 8.1. Lokuset for punkter i et plan like langt fra et fast punkt og fra en fast linje kalles parabel.

Det faste punktet kalles fokus på parablen, og den rette linjen retningslinjen til parablen. Samtidig forutsettes det parabels eksentrisitet er lik en.

Fra geometriske betraktninger følger det at parablen er symmetrisk med hensyn til en rett linje vinkelrett på retningslinjen og som går gjennom parablens fokus. Denne linjen kalles symmetriaksen til parabelen eller ganske enkelt parabelaksen. Parabelen skjærer med sin symmetriakse på et enkelt punkt. Dette punktet kalles toppen av parabelen. Den er plassert i midten av segmentet som forbinder parabelens fokus med skjæringspunktet mellom dens akse og retningslinjen (fig. 8.3).

Parabelligning. For å utlede parabelligningen velger vi på planet opprinnelse på toppen av parabelen, som abscisse- aksen til parablen, den positive retningen som er gitt av posisjonen til fokuset (se fig. 8.3). Dette koordinatsystemet kalles kanonisk for parablen under vurdering, og de tilsvarende variablene er kanonisk.

La oss angi avstanden fra fokus til retningslinjen som s. Han blir kalt parabel fokal parameter.

Da har fokuset koordinatene F(p/2; 0), og retningslinjen d er beskrevet av ligningen x = - p/2. Lokuset til punktene M(x; y), like langt fra punktet F og fra linjen d, er gitt av ligningen

Vi kvadrerer ligningen (8.2) og gir lignende. Vi får ligningen

som kalles den kanoniske ligningen til parablen.

Merk at kvadrering i dette tilfellet er en ekvivalent transformasjon av ligning (8.2), siden begge deler av ligningen er ikke-negative, slik uttrykket under radikalet er.

Type parabel. Hvis parabelen y 2 \u003d x, formen som vi anser som kjent, komprimeres med en koeffisient 1 / (2p) langs abscissen, får vi en parabel av en generell form, som er beskrevet av ligning (8.3).

Eksempel 8.2. La oss finne koordinatene til fokuset og ligningen til parabelens retningslinje hvis den går gjennom et punkt hvis kanoniske koordinater er (25; 10).

I kanoniske koordinater har parabelligningen formen y 2 = 2px. Siden punktet (25; 10) er på parablen, så er 100 = 50p og derfor p = 2. Derfor er y 2 = 4x den kanoniske ligningen til parablen, x = - 1 er ligningen for dens retning, og fokus er på punktet (1; 0 ).

Optisk egenskap til en parabel. Parablen har følgende optisk egenskap. Hvis en lyskilde er plassert i parablens fokus, vil alle lysstråler etter refleksjon fra parablen være parallelle med parablens akse (fig. 8.4). Den optiske egenskapen betyr at på ethvert punkt M av parablen normal vektor tangenten lager de samme vinklene med brennradiusen MF og abscisseaksen.

For resten av leserne foreslår jeg å fylle på skolekunnskapen deres om parabel og hyperbel betydelig. Hyperbel og parabel - er det enkelt? ... ikke vent =)

Hyperbel og dens kanoniske ligning

Den generelle strukturen i presentasjonen av materialet vil ligne forrige avsnitt. La oss starte med det generelle konseptet om en hyperbel og problemet med dens konstruksjon.

Den kanoniske ligningen til en hyperbel har formen , hvor er positive reelle tall. Merk at, i motsetning til ellipse, vilkåret er ikke pålagt her, det vil si at verdien av "a" kan være mindre enn verdien av "be".

Jeg må si, ganske uventet ... ligningen for "skole"-hyperbolen ligner ikke engang den kanoniske rekorden. Men denne gåten må fortsatt vente på oss, men la oss foreløpig klø oss i bakhodet og huske hvilke karakteristiske trekk den aktuelle kurven har? La oss spre det på skjermen til fantasien vår funksjonsgraf ….

En hyperbel har to symmetriske grener.

God fremgang! Enhver hyperbole har disse egenskapene, og nå vil vi se med ekte beundring på halsen til denne linjen:

Eksempel 4

Konstruer en hyperbel gitt av ligningen

Løsning: i det første trinnet bringer vi denne ligningen til den kanoniske formen . Husk den typiske prosedyren. Til høyre må du få en "en", så vi deler begge deler av den opprinnelige ligningen med 20:

Her kan du redusere begge brøkene, men det er mer optimalt å lage hver av dem tre-etasjers:

Og først etter det for å gjennomføre reduksjonen:

Vi velger rutene i nevnerne:

Hvorfor er det bedre å gjennomføre transformasjoner på denne måten? Tross alt kan brøkdelene av venstre side umiddelbart reduseres og få. Faktum er at i eksemplet under vurdering var vi litt heldige: Tallet 20 er delelig med både 4 og 5. I det generelle tilfellet fungerer ikke et slikt tall. Tenk for eksempel på ligningen. Her, med delbarhet, er alt tristere og uten tre-etasjers brøker ikke lenger nødvendig:

Så la oss bruke frukten av vårt arbeid - den kanoniske ligningen:

Hvordan bygge en hyperbole?

Det er to tilnærminger til å konstruere en hyperbel - geometrisk og algebraisk.
Fra et praktisk synspunkt, tegning med et kompass ... jeg vil til og med si utopisk, så det er mye mer lønnsomt å igjen bringe enkle beregninger til unnsetning.

Det anbefales å følge følgende algoritme, først den ferdige tegningen, deretter kommentarene:

I praksis er det ofte en kombinasjon av rotasjon gjennom en vilkårlig vinkel og parallell translasjon av en hyperbel. Denne situasjonen diskuteres i leksjonen. Reduksjon av 2. ordens linjeligningen til den kanoniske formen.

Parabel og dens kanoniske ligning

Det er gjort! Hun er mest. Klar til å avsløre mange hemmeligheter. Den kanoniske ligningen til en parabel har formen , hvor er et reelt tall. Det er lett å se at i sin standardposisjon "ligger parabelen på siden" og toppunktet er i origo. I dette tilfellet setter funksjonen den øvre grenen av denne linjen, og funksjonen setter den nedre grenen. Det er klart at parablen er symmetrisk om aksen. Faktisk, hva du skal bade:

Eksempel 6

Bygg en parabel

Løsning: toppunktet er kjent, la oss finne flere punkter. Ligningen bestemmer den øvre buen av parablen, bestemmer ligningen den nedre buen.

For å forkorte posten vil vi utføre beregninger "under samme pensel":

For kompakt notasjon kan resultatene oppsummeres i en tabell.

Før vi utfører en elementær punkt-for-punkt-tegning, formulerer vi en streng

definisjon av en parabel:

En parabel er settet av alle punkter i et plan som er like langt fra et gitt punkt og en gitt linje som ikke går gjennom punktet.

Poenget heter fokus parabler, rett linje rektor (skrevet med ett "es") parabler. Den konstante "pe" av den kanoniske ligningen kalles fokal parameter, som er lik avstanden fra fokus til retningslinjen. I dette tilfellet . I dette tilfellet har fokuset koordinater, og retningslinjen er gitt av ligningen.
I vårt eksempel:

Definisjonen av en parabel er enda lettere å forstå enn definisjonene av en ellipse og en hyperbel. For et hvilket som helst punkt på parablen er lengden på segmentet (avstanden fra fokus til punktet) lik lengden på perpendikulæren (avstanden fra punktet til retningslinjen):

Gratulerer! Mange av dere har gjort en virkelig oppdagelse i dag. Det viser seg at hyperbelen og parabelen slett ikke er grafer av "vanlige" funksjoner, men har en uttalt geometrisk opprinnelse.

Åpenbart, med en økning i fokalparameteren, vil grenene til grafen "spre seg" opp og ned, og nærme seg aksen uendelig nær. Med en reduksjon i verdien av "pe", vil de begynne å krympe og strekke seg langs aksen

Eksentrisiteten til enhver parabel er lik én:

Rotasjon og translasjon av en parabel

Parabelen er en av de vanligste linjene i matematikk, og du må bygge den veldig ofte. Vær derfor spesielt oppmerksom på det siste avsnittet i leksjonen, der jeg vil analysere de typiske alternativene for plasseringen av denne kurven.

! Merk : som i tilfellene med de foregående kurvene, er det mer riktig å snakke om rotasjon og parallelltranslasjon av koordinataksene, men forfatteren vil begrense seg til en forenklet versjon av presentasjonen slik at leseren har en elementær idé om disse transformasjonene.

Vi introduserer et rektangulært koordinatsystem, hvor . La aksen gå gjennom fokuset F parabel og er vinkelrett på retningslinjen, og aksen passerer midt mellom fokuset og retningslinjen. Angi med avstanden mellom fokus og retningslinje. Deretter retningslikningen.

Tallet kalles fokalparameteren til parablen. La være det nåværende punktet til parabelen. La være brennradiusen til et hyperbelpunkt, være avstanden fra punktet til retningslinjen. Deretter( tegning 27.)

Tegning 27.

Per definisjon av en parabel. Følgelig

La oss kvadrere ligningen, vi får:

(15)

hvor (15) er den kanoniske ligningen for en parabel som er symmetrisk om aksen og som går gjennom origo.

Undersøkelse av egenskapene til en parabel

1) Toppen av parabelen:

Ligning (15) tilfredsstilles av tall, og derfor går parablen gjennom origo.

2) Parabelsymmetri:

La det tilhøre en parabel, dvs. en ekte likhet. Punktet er symmetrisk til punktet om aksen, derfor er parablen symmetrisk om x-aksen.

Parabeleksentrisitet:

Definisjon 4.2. Eksentrisiteten til en parabel er et tall lik en.

Siden per definisjon en parabel .

4) Tangent av en parabel:

Tangenten til parabelen ved tangenspunktet er gitt av ligningen

Hvor ( tegning 28.)

Tegning 28.

Bilde av en parabel

Tegning 29.

Bruk av ESO-Mathcad:

tegning 30.)

Tegning 30.

a) Konstruksjon uten bruk av IKT: For å konstruere en parabel setter vi et rektangulært koordinatsystem med et senter i punkt O og et enhetssegment. Vi markerer fokuset på OX-aksen, siden vi tegner slik, og retningen til parablen. Vi bygger en sirkel i et punkt og med en radius lik avstanden fra den rette linjen til parabelens retning. Sirkelen skjærer linjen på punkter. Vi bygger en parabel slik at den går gjennom origo og gjennom punktene. ( tegning 31.)

Tegning 31.

b) Ved å bruke ESO-Mathcad:

Den resulterende ligningen har formen: . For å konstruere en andreordens linje i Mathcad, bringer vi ligningen til formen: .( tegning 32.)

Tegning 32.

For å oppsummere arbeidet med teorien om andreordens linjer i elementær matematikk og for enkelhets skyld å bruke informasjon om linjer for å løse problemer, konkluderer vi med alle data om andreordens linjer i tabell nr. 1.

Tabell nummer 1.

Andre ordens linjer i elementær matematikk

2. ordens linjenavn	Sirkel	Ellipse	Hyperbel	Parabel
Karakteristiske egenskaper
Linjeligning
Eksentrisitet
Tangentligning ved punkt (x 0 ; y 0 )
Fokus
Linjediametre		Der k er skråning	Hvor k skråning	Hvor k skråning

Muligheter for å bruke IKT i studiet av andreordens linjer

Informatiseringsprosessen, som i dag har dekket alle aspekter av livet til det moderne samfunnet, har flere prioriterte områder, som selvfølgelig inkluderer informatisering av utdanning. Det er det grunnleggende grunnlaget for global rasjonalisering av menneskelig intellektuell aktivitet gjennom bruk av informasjons- og kommunikasjonsteknologi (IKT).

Midten av 90-tallet av forrige århundre og frem til i dag er preget av massekarakteren og tilgjengeligheten av personlige datamaskiner i Russland, den utbredte bruken av telekommunikasjon, som gjør det mulig å introdusere den utviklede informasjonsteknologien for utdanning i utdanningsprosessen, forbedre og modernisere den, forbedre kvaliteten på kunnskap, øke motivasjonen for læring, utnytte prinsippet om individualisering av utdanning maksimalt. Informasjonsteknologi for utdanning er et nødvendig verktøy på dette stadiet av informatisering av utdanning.

Informasjonsteknologi letter ikke bare tilgang til informasjon og åpner opp muligheter for variasjon av utdanningsaktiviteter, dens individualisering og differensiering, men tillater også å organisere samspillet mellom alle utdanningsfagene på en ny måte, og bygge et utdanningssystem der studenten kan bli en aktiv og likeverdig deltaker i pedagogiske aktiviteter.

Dannelsen av nye informasjonsteknologier innenfor rammen av fagtimer stimulerer behovet for å lage ny programvare og metodiske komplekser rettet mot å forbedre kvaliteten på leksjonen. Derfor, for en vellykket og målrettet bruk av informasjonsteknologiverktøy i utdanningsprosessen, må lærere kjenne til den generelle beskrivelsen av funksjonsprinsippene og de didaktiske egenskapene til programvare og applikasjonsverktøy, og deretter, basert på deres erfaring og anbefalinger, "bygge inn" ” dem inn i utdanningsprosessen.

Matematikkstudiet er for tiden forbundet med en rekke funksjoner og vanskeligheter i utviklingen av skoleutdanning i vårt land.

Den såkalte krisen for matematisk utdanning dukket opp. Årsakene er som følger:

I endringen av prioriteringer i samfunnet og i vitenskapen, det vil si at det for tiden er en økning i prioriteringen av humaniora;

Ved å redusere antall matematikktimer på skolen;

Isolert av innholdet i matematisk utdanning fra livet;

I en liten innvirkning på følelsene og følelsene til elevene.

I dag er spørsmålet fortsatt åpent: "Hvordan kan man mest effektivt bruke potensialet til moderne informasjons- og kommunikasjonsteknologi i undervisningen av skolebarn, inkludert undervisning i matematikk?"

En datamaskin er en utmerket assistent for å studere et emne som "Kvadratisk funksjon", fordi du ved hjelp av spesielle programmer kan plotte forskjellige funksjoner, utforske en funksjon, enkelt bestemme koordinatene til skjæringspunktene, beregne arealene til lukkede figurer, etc. For eksempel, i en algebra-leksjon i 9. klasse, dedikert til transformasjon av grafen (strekking, kompresjon, forskyvning av koordinataksene), kan du bare se det frosne resultatet av konstruksjonen, og hele dynamikken til de påfølgende handlingene av læreren og eleven kan spores på LCD-skjermen.

Datamaskinen, som ingen andre tekniske midler, åpner nøyaktig, visuelt og fascinerende for ideelle matematiske modeller for eleven, d.v.s. hva barnet skal strebe etter i sine praktiske handlinger.

Hvor mange vanskeligheter må en lærer i matematikk oppleve for å overbevise elevene om at tangenten til grafen til en kvadratisk funksjon ved kontaktpunktet praktisk talt smelter sammen med grafen til funksjonen. Det er veldig enkelt å demonstrere dette faktum på en datamaskin - det er nok å begrense intervallet langs Ox-aksen og finne at i et veldig lite nabolag til tangentpunktet, faller grafen til funksjonen og tangenten sammen. Alle disse aktivitetene foregår foran elevene. Dette eksemplet gir en drivkraft til aktiv refleksjon i leksjonen. Bruk av datamaskin er mulig både i løpet av å forklare nytt stoff i leksjonen, og på kontrollstadiet. Ved hjelp av disse programmene, for eksempel "Min test", kan studenten selvstendig sjekke kunnskapsnivået sitt i teorien, utføre teoretiske og praktiske oppgaver. Programmer er praktiske på grunn av deres allsidighet. De kan brukes både til selvkontroll og til lærerkontroll.

En rimelig integrasjon av matematikk og datateknologi vil tillate et rikere og dypere blikk på prosessen med å løse et problem, løpet av å forstå matematiske mønstre. I tillegg vil datamaskinen bidra til å danne den grafiske, matematiske og mentale kulturen til elevene, og ved hjelp av datamaskinen kan du utarbeide didaktisk materiell: kort, undersøkelsesark, prøver osv. Gi samtidig barna muligheten til selvstendig utvikle tester om emnet, der interesse og kreativitet.

Dermed er det behov for å bruke datamaskinen, hvis mulig, i matematikktimene mer utbredt enn den er. Bruk av informasjonsteknologi vil bidra til å forbedre kunnskapskvaliteten, utvide horisonten for å studere den kvadratiske funksjonen, og derfor bidra til å finne nye perspektiver for å opprettholde studentenes interesse for faget og temaet, og dermed til en bedre og mer oppmerksom holdning til det. I dag er moderne informasjonsteknologi i ferd med å bli det viktigste verktøyet for å modernisere skolen som helhet – fra ledelse til utdanning og for å sikre tilgjengeligheten av utdanning.

III nivå

3.1. Hyperbole berører linje 5 x – 6y – 16 = 0, 13x – 10y– – 48 = 0. Skriv ned likningen til hyperbelen, forutsatt at dens akser faller sammen med koordinataksene.

3.2. Skriv likningene til tangentene til hyperbelen

1) passerer gjennom et punkt EN(4, 1), B(5, 2) og C(5, 6);

2) parallelt med en rett linje 10 x – 3y + 9 = 0;

3) vinkelrett på den rette linjen 10 x – 3y + 9 = 0.

parabel er stedet for punkter i planet hvis koordinater tilfredsstiller ligningen

Parabolparametere:

Punktum F(s/2, 0) kalles fokus parabler, størrelse s – parameter , punktum O(0, 0) – toppmøte . Samtidig er det direkte AV, som parablen er symmetrisk om, definerer aksen til denne kurven.

Verdi hvor M(x, y) er et vilkårlig punkt i parabelen, kalles brennradius , rett D: x = –s/2 – rektor (den skjærer ikke det indre av parablen). Verdi kalles parabelens eksentrisitet.

Den viktigste karakteristiske egenskapen til en parabel: alle punkter på parablen er like langt fra riktlinjen og fokuset (fig. 24).

Det er andre former for den kanoniske parabelligningen som bestemmer andre retninger av grenene i koordinatsystemet (fig. 25):

Til parametrisk definisjon av en parabel som en parameter t verdien av ordinaten til punktet til parabelen kan tas:

hvor t er et vilkårlig reelt tall.

Eksempel 1 Bestem parametrene og formen til parablen fra dens kanoniske ligning:

Løsning. 1. Ligning y 2 = –8x definerer en parabel med toppunkt i et punkt O Okse. Greinene er rettet mot venstre. Sammenligner denne ligningen med ligningen y 2 = –2px, finner vi: 2 s = 8, s = 4, s/2 = 2. Derfor er fokuset på punktet F(–2; 0), retningslikning D: x= 2 (fig. 26).

2. Ligning x 2 = –4y definerer en parabel med toppunkt i et punkt O(0; 0), symmetrisk om aksen Oy. Greinene er rettet nedover. Sammenligner denne ligningen med ligningen x 2 = –2py, finner vi: 2 s = 4, s = 2, s/2 = 1. Derfor er fokuset på punktet F(0; –1), retningslikning D: y= 1 (fig. 27).

Eksempel 2 Definer parametere og type kurve x 2 + 8x – 16y– 32 = 0. Lag en tegning.

Løsning. Vi transformerer venstre side av ligningen ved å bruke full kvadratmetoden:

x 2 + 8x– 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16 – 16y – 32 =0;

(x + 4) 2 – 16y – 48 =0;

(x + 4) 2 – 16(y + 3).

Som et resultat får vi

(x + 4) 2 = 16(y + 3).

Dette er den kanoniske ligningen til en parabel med toppunkt i punktet (–4; –3), parameteren s= 8, grener peker opp (), akse x= -4. Fokus er på punktet F(–4; –3 + s/2), dvs. F(–4; 1) Rektor D er gitt av ligningen y = –3 – s/2 eller y= -7 (fig. 28).

Eksempel 4 Komponer ligningen til en parabel med et toppunkt i et punkt V(3; –2) og fokuser på punktet F(1; –2).

Løsning. Toppunktet og fokuset til denne parabelen ligger på en rett linje parallelt med aksen Okse(de samme ordinatene), grenene til parabelen er rettet mot venstre (abscissen til fokuset er mindre enn abscissen til toppunktet), avstanden fra fokus til toppunktet er s/2 = 3 – 1 = 2, s= 4. Derfor den ønskede ligningen

(y+ 2) 2 = –2 4( x– 3) eller ( y + 2) 2 = = –8(x – 3).

Oppgaver for selvstendig løsning

jeg nivåer

1.1. Bestem parameterne til parablen og konstruer den:

1) y 2 = 2x; 2) y 2 = –3x;

3) x 2 = 6y; 4) x 2 = –y.

1.2. Skriv ligningen til en parabel med toppunkt i origo hvis du vet at:

1) parablen er plassert i venstre halvplan symmetrisk om aksen Okse og s = 4;

2) parablen er plassert symmetrisk om aksen Oy og går gjennom punktet M(4; –2).

3) retningslinje er gitt av ligning 3 y + 4 = 0.

1.3. Skriv en ligning for en kurve, der alle punkter er like langt fra punktet (2; 0) og den rette linjen x = –2.

II nivå

2.1. Definer type og parametere for kurven.

Alle vet hva en parabel er. Men hvordan du bruker det riktig, kompetent for å løse ulike praktiske problemer, vil vi forstå nedenfor.

Først, la oss betegne de grunnleggende konseptene som algebra og geometri gir til dette begrepet. Vurder alle mulige typer av denne grafen.

Vi lærer alle hovedkarakteristikkene til denne funksjonen. La oss forstå det grunnleggende om å konstruere en kurve (geometri). La oss lære hvordan du finner toppen, andre grunnleggende verdier av grafen av denne typen.

Vi vil finne ut: hvordan den nødvendige kurven er riktig konstruert i henhold til ligningen, hva du må være oppmerksom på. La oss se den viktigste praktiske anvendelsen av denne unike verdien i menneskelivet.

Hva er en parabel og hvordan ser den ut

Algebra: Dette begrepet refererer til grafen til en kvadratisk funksjon.

Geometri: Dette er en andreordenskurve som har en rekke spesifikke funksjoner:

Kanonisk parabelligning

Figuren viser et rektangulært koordinatsystem (XOY), et ekstremum, retningen til funksjonen tegner grener langs abscisseaksen.

Den kanoniske ligningen er:

y 2 \u003d 2 * p * x,

hvor koeffisienten p er fokalparameteren til parablen (AF).

I algebra skrives det annerledes:

y = a x 2 + b x + c (gjenkjennelig mønster: y = x 2).

Egenskaper og graf for en kvadratisk funksjon

Funksjonen har en symmetriakse og et senter (ekstremum). Definisjonsdomenet er alle verdiene til x-aksen.

Verdiområdet for funksjonen - (-∞, M) eller (M, +∞) avhenger av retningen til kurvegrenene. Parameteren M betyr her verdien av funksjonen øverst på linjen.

Hvordan bestemme hvor grenene til en parabel er rettet

For å finne retningen til denne typen kurve fra et uttrykk, må du spesifisere tegnet foran den første parameteren i det algebraiske uttrykket. Hvis a ˃ 0, er de rettet oppover. Ellers ned.

Hvordan finne toppunktet til en parabel ved hjelp av formelen

Å finne ekstremumet er hovedtrinnet i å løse mange praktiske problemer. Selvfølgelig kan du åpne spesielle online kalkulatorer, men det er bedre å kunne gjøre det selv.

Hvordan definere det? Det er en spesiell formel. Når b ikke er lik 0, må vi se etter koordinatene til dette punktet.

Formler for å finne toppen:

• x 0 \u003d -b / (2 * a);
• y 0 = y (x 0).

Eksempel.

Det er en funksjon y \u003d 4 * x 2 + 16 * x - 25. La oss finne toppunktene til denne funksjonen.

For en slik linje:

• x \u003d -16 / (2 * 4) \u003d -2;
• y = 4 * 4 - 16 * 2 - 25 = 16 - 32 - 25 = -41.

Vi får koordinatene til toppunktet (-2, -41).

Parabel offset

Det klassiske tilfellet er når i en kvadratisk funksjon y = a x 2 + b x + c, den andre og tredje parameteren er 0, og = 1 - toppunktet er i punktet (0; 0).

Bevegelse langs abscissen eller ordinataksen skyldes en endring i parameterne b og c, henholdsvis. Forskyvningen av linjen på flyet vil bli utført nøyaktig med antall enheter, som er lik verdien av parameteren.

Eksempel.

Vi har: b = 2, c = 3.

Dette betyr at den klassiske visningen av kurven vil forskyves med 2 enhetssegmenter langs abscisseaksen og med 3 langs ordinataksen.

Hvordan bygge en parabel ved hjelp av en andregradsligning

Det er viktig for skolebarn å lære å tegne en parabel riktig i henhold til de gitte parameterne.

Ved å analysere uttrykk og ligninger kan du se følgende:

1. Skjæringspunktet for ønsket linje med ordinatvektoren vil ha en verdi lik c.
2. Alle punktene i grafen (langs x-aksen) vil være symmetriske med hensyn til funksjonens hovedekstremum.

I tillegg kan skjæringspunktene med OX finnes ved å kjenne diskriminanten (D) til en slik funksjon:

D \u003d (b 2 - 4 * a * c).

For å gjøre dette, må du likestille uttrykket til null.

Tilstedeværelsen av parabelrøtter avhenger av resultatet:

• D ˃ 0, deretter x 1, 2 = (-b ± D 0,5) / (2 * a);
• D \u003d 0, deretter x 1, 2 \u003d -b / (2 * a);
• D ˂ 0, da er det ingen skjæringspunkter med vektoren OX.

Vi får algoritmen for å konstruere en parabel:

• bestemme retningen til grenene;
• finn koordinatene til toppunktet;
• finn skjæringspunktet med y-aksen;
• finn skjæringspunktet med x-aksen.

Eksempel 1

Gitt en funksjon y \u003d x 2 - 5 * x + 4. Det er nødvendig å bygge en parabel. Vi handler i henhold til algoritmen:

1. a \u003d 1, derfor er grenene rettet oppover;
2. ekstremum koordinater: x = - (-5) / 2 = 5/2; y = (5/2) 2 - 5 * (5/2) + 4 = -15/4;
3. skjærer med y-aksen ved verdien y = 4;
4. finn diskriminanten: D = 25 - 16 = 9;
5. på jakt etter røtter

• X 1 \u003d (5 + 3) / 2 \u003d 4; (4,0);
• X 2 \u003d (5 - 3) / 2 \u003d 1; (ti).

Eksempel 2

For funksjonen y \u003d 3 * x 2 - 2 * x - 1, må du bygge en parabel. Vi handler i henhold til algoritmen ovenfor:

1. a \u003d 3, derfor er grenene rettet oppover;
2. ekstremum koordinater: x = - (-2) / 2 * 3 = 1/3; y = 3 * (1/3) 2 - 2 * (1/3) - 1 = -4/3;
3. med y-aksen vil krysse ved verdien y \u003d -1;
4. finn diskriminanten: D \u003d 4 + 12 \u003d 16. Så røttene:

• X 1 \u003d (2 + 4) / 6 \u003d 1; (1;0);
• X 2 \u003d (2 - 4) / 6 \u003d -1/3; (-1/3; 0).

Fra de oppnådde poengene kan du bygge en parabel.

Direkte, eksentrisitet, fokus på en parabel

Basert på den kanoniske ligningen har fokus F koordinater (p/2, 0).

Rett linje AB er en dirrix (en slags parabelakkord av en viss lengde). Hennes ligning er x = -p/2.

Eksentrisitet (konstant) = 1.

Konklusjon

Vi så på temaet som elevene studerer på videregående. Nå vet du, når du ser på den kvadratiske funksjonen til en parabel, hvordan du finner toppunktet, i hvilken retning grenene vil bli rettet, om det er en forskyvning langs aksene, og med en konstruksjonsalgoritme kan du tegne grafen.