Planligning. Hvordan skrive en ligning for et fly? Gjensidig arrangement av fly

I selve generell sak normalen til overflaten representerer dens lokale krumning, og derav retningen til speilrefleksjonen (Figur 3.5). I forhold til vår kunnskap kan vi si at normalen er vektoren som bestemmer orienteringen til ansiktet (fig. 3.6).

Ris. 3.5 Fig. 3.6

Mange algoritmer for fjerning av skjulte linjer og overflater bruker bare kanter og toppunkter, så for å kombinere dem med belysningsmodellen, må du vite den omtrentlige verdien av normalen på kantene og toppunktene. La likningene til planene til polygonale flater gis, da er normalen til deres felles toppunkt lik gjennomsnittsverdien av normalene til alle polygoner som konvergerer til dette toppunktet. For eksempel, i fig. 3,7 retning av den omtrentlige normalen i et punkt V 1 Det er:

n v1 = (a 0 + a 1 + a 4 )i + (b 0 +b 1 +b 4 )j + (c 0 +c 1 +c 4 )k, (3.15)

Hvor en 0 , a 1 , a 4 ,b 0 ,b 1 ,b 4 , c 0 , c 1 , c 4 - koeffisienter av likningene til planene til tre polygoner P 0 , P 1 , P 4 , rundt V 1 . Merk at hvis du bare vil finne retningen til normalen, er det ikke nødvendig å dele resultatet med antall ansikter.

Hvis likningene til planene ikke er gitt, kan normalen til toppunktet bestemmes ved å beregne gjennomsnittet av vektorproduktene til alle kanter som skjærer hverandre i toppunktet. Nok en gang, med tanke på den øverste V 1 i fig. 3.7, finn retningen til den omtrentlige normalen:

n v1 = V 1 V 2 V 1 V 4 +V 1 V 5 V 1 V 2 +V 1 V 4  V 1 V 5 (3.16)

Ris. 3.7 - Tilnærming av normalen til en polygonal overflate

Merk at kun ytre normaler er nødvendig. I tillegg, hvis den resulterende vektoren ikke er normalisert, avhenger verdien av antallet og arealet til spesifikke polygoner, samt antall og lengde på spesifikke kanter. Påvirkningen av polygoner med større område og lengre ribben.

Når overflatenormalen brukes til å bestemme intensiteten og en perspektivtransformasjon utføres på bildet av et objekt eller scene, bør normalen beregnes før perspektivdelingen. Ellers vil retningen til normalen bli forvrengt, og dette vil føre til at intensiteten spesifisert av belysningsmodellen blir feilbestemt.

Hvis den analytiske beskrivelsen av planet (overflaten) er kjent, beregnes normalen direkte. Når du kjenner til ligningen til planet til hver side av polyederet, kan du finne retningen til den ytre normalen.

Hvis planligningen er:

da skrives normalvektoren til dette planet som følger:

, (3.18)

Hvor
- enhetsvektorer av akser x,y,z hhv.

Verdi d beregnes ved å bruke et vilkårlig punkt som tilhører planet, for eksempel for et punkt (
)

Eksempel. Tenk på en 4-sidig flat polygon beskrevet av 4 toppunkter V1(1,0,0), V2(0,1,0), V3(0,0,1) og V4(1,1,1) (se fig. 3.7).

Planligningen har formen:

x + y + z - 1 = 0.

La oss få normalen til dette planet ved å bruke vektorproduktet til et par vektorer som er tilstøtende kanter til en av toppunktene, for eksempel V1:

Mange algoritmer for fjerning av skjulte linjer og overflater bruker bare kanter eller toppunkter, så for å kombinere dem med belysningsmodellen, må du vite den omtrentlige verdien av normalen på kantene og toppunktene.

La ligningene til planene til polyederens flater gis, da er normalen til deres felles toppunkt lik gjennomsnittsverdien av normalene til alle flater som konvergerer ved dette toppunktet.

Nemlig om det du ser i tittelen. I hovedsak er dette en "romlig analog" problemer med å finne en tangent Og normale til grafen til en funksjon av én variabel, og derfor bør ingen vanskeligheter oppstå.

La oss starte med grunnleggende spørsmål: HVA ER et tangentplan og HVA ER en normal? Mange er klar over disse konseptene på intuisjonsnivå. Den enkleste modellen du tenker på er en ball som ligger en tynn flat papp. Kartongen er plassert så nær kulen som mulig og berører den på et enkelt punkt. I tillegg festes den ved kontaktpunktet med en nål som stikker rett opp.

I teorien er det en ganske vittig definisjon av et tangentplan. Tenk deg en vilkårlig flate og punktet som hører til. Det er åpenbart at mye går gjennom punktet. romlige linjer som tilhører denne overflaten. Hvem har hvilke assosiasjoner? =) …Jeg introduserte personlig blekkspruten. Anta at hver slik linje har romlig tangent på punktet.

Definisjon 1: tangentplan til overflaten på et punkt er flyet, som inneholder tangentene til alle kurver som hører til den gitte overflaten og går gjennom punktet.

Definisjon 2: normal til overflaten på et punkt er rett som går gjennom det gitte punktet vinkelrett på tangentplanet.

Enkelt og elegant. Forresten, slik at du ikke dør av kjedsomhet fra materialets enkelhet, vil jeg litt senere dele med deg en elegant hemmelighet som lar deg glemme å stappe forskjellige definisjoner EN GANG FOR ALLE.

Vi vil bli kjent med arbeidsformlene og løsningsalgoritmen direkte på spesifikt eksempel. I de aller fleste problemer er det nødvendig å komponere både likningen til tangentplanet og likningen til normalen:

Eksempel 1

Løsning:hvis overflaten er gitt av ligningen (dvs. implisitt), så kan ligningen til tangentplanet til en gitt overflate i et punkt finnes ved hjelp av følgende formel:

Jeg legger spesiell vekt på uvanlige partielle derivater - deres bør ikke forveksles Med partielle deriverte av en implisitt gitt funksjon (selv om overflaten er implisitt definert). Når man skal finne disse derivatene bør man være veiledet av regler for å differensiere en funksjon av tre variabler, det vil si at når man differensierer med hensyn til en hvilken som helst variabel, regnes de to andre bokstavene som konstanter:

Uten å avvike fra kassaapparatet finner vi den partielle derivativet på punktet:

På samme måte:

Dette var det mest ubehagelige øyeblikket i avgjørelsen, der en feil, hvis den ikke er tillatt, hele tiden forestiller seg. Det finnes imidlertid effektivt mottak test, som jeg snakket om i leksjonen Retningsbestemt derivat og gradient.

Alle "ingrediensene" er funnet, og nå er det opp til forsiktig erstatning med ytterligere forenklinger:

– generell ligningønsket tangentplan.

Jeg anbefaler på det sterkeste å sjekke dette stadiet av avgjørelsen. Først må du sørge for at koordinatene til berøringspunktet virkelig tilfredsstiller den funnet ligningen:

- ekte likestilling.

Nå "fjerner" vi koeffisientene generell ligning fly og kontroller dem for sammenfall eller proporsjonalitet med de tilsvarende verdiene. I denne saken proporsjonal. Som du husker fra kurs i analytisk geometri, - Dette normal vektor tangentplan, og han - guidevektor normal rett linje. La oss komponere kanoniske ligninger normaler etter punkt- og retningsvektor:

I prinsippet kan nevnerne reduseres med en "to", men det er ikke noe særlig behov for dette.

Svar:

Det er ikke forbudt å betegne ligningene med noen bokstaver, men igjen - hvorfor? Her og så er det veldig tydelig hva som er hva.

De neste to eksemplene for uavhengig avgjørelse. En liten "matematisk tungevrider":

Eksempel 2

Finn likningene til tangentplanet og normalen til overflaten i punktet .

Og en oppgave som er interessant fra et teknisk synspunkt:

Eksempel 3

Komponer likningene til tangentplanet og normalen til overflaten i et punkt

På punktet.

Det er alle muligheter for ikke bare å bli forvirret, men også å møte vanskeligheter når du skriver. kanoniske ligninger av linjen. Og normalligningene, som du sikkert har forstått, er vanligvis skrevet i denne formen. Selv om, på grunn av glemsel eller uvitenhet om noen nyanser, er en parametrisk form mer enn akseptabel.

Eksempler på etterbehandlingsløsninger på slutten av timen.

Er det et tangentplan på noe punkt på overflaten? Generelt sett, selvfølgelig ikke. Klassisk eksempel- Dette konisk overflate og punkt - tangentene på dette punktet dannes direkte konisk overflate, og selvfølgelig ikke ligge i samme plan. Det er lett å verifisere uenigheten og analytisk: .

En annen kilde til problemer er faktum ikke eksisterende en partiell derivert på et punkt. Dette betyr imidlertid ikke at det ikke er et enkelt tangentplan på et gitt punkt.

Men det var heller populærvitenskap enn praktisk talt viktig informasjon, og vi kommer tilbake til presserende saker:

Hvordan skrive likningene til tangentplanet og normalen i et punkt,
hvis overflaten er gitt av en eksplisitt funksjon?

La oss omskrive det implisitt:

Og etter de samme prinsippene finner vi partielle derivater:

Dermed blir tangentplanformelen transformert til følgende ligning:

Og tilsvarende, kanoniske ligninger normale:

Som det er lett å gjette - det er virkelig" partielle deriverte av en funksjon av to variabler på punktet , som vi brukte til å betegne med bokstaven "Z" og fant 100500 ganger.

Legg merke til at i denne artikkelen er det nok å huske den aller første formelen, som det om nødvendig er lett å utlede alt annet fra. (selvfølgelig å ha grunnnivå opplæring). Dette er tilnærmingen som bør brukes når du studerer eksakte vitenskaper, dvs. fra et minimum av informasjon bør man strebe etter å "trekke ut" et maksimum av konklusjoner og konsekvenser. "Soobrazhalovka" og allerede eksisterende kunnskap for å hjelpe! Dette prinsippet er også nyttig fordi det med stor sannsynlighet vil redde deg i en kritisk situasjon når du vet veldig lite.

La oss regne ut de "modifiserte" formlene med et par eksempler:

Eksempel 4

Komponer likningene til tangentplanet og normalen til overflaten på punktet.

Et lite overlegg her viste seg med symboler - nå betegner bokstaven et punkt på flyet, men hva kan du gjøre - en så populær bokstav ....

Løsning: vi vil komponere ligningen til det ønskede tangentplanet i henhold til formelen:

La oss beregne verdien av funksjonen ved punktet:

Beregn partielle derivater av 1. orden På dette punktet:

Dermed:

forsiktig, ikke skynd deg:

La oss skrive de kanoniske ligningene til normalen på punktet:

Svar:

Og et siste eksempel på en gjør-det-selv-løsning:

Eksempel 5

Komponer likningene til tangentplanet og normalen til overflaten i punktet.

Den siste er fordi jeg faktisk forklarte alle de tekniske punktene, og det er ikke noe spesielt å legge til. Selv funksjonene i seg selv som tilbys i denne oppgaven er kjedelige og monotone – i praksis er du nesten garantert å støte på et "polynom", og slik sett ser eksempel nr. 2 med eksponenten ut som en "svart sau". Forresten, det er mye mer sannsynlig å møte overflaten, gitt av ligningen og dette er en annen grunn til at funksjonen ble inkludert i artikkelen "andre nummer".

Og til slutt, den lovede hemmeligheten: så hvordan unngå å stappe definisjoner? (selvfølgelig mener jeg ikke situasjonen når en student febrilsk stapper i seg noe før eksamen)

Definisjonen av ethvert begrep/fenomen/objekt gir først og fremst et svar på neste spørsmål: HVA DET ER? (hvem/slik/slik/slik). Bevisst svare til dette spørsmålet, bør du prøve å reflektere betydelige tegn, helt sikkert identifisere dette eller det konseptet/fenomenet/objektet. Ja, til å begynne med viser det seg å være noe tungtveis, unøyaktig og overflødig (læreren vil korrigere =)), men over tid utvikler det seg en ganske verdig vitenskapelig tale.

Øv deg på de mest abstrakte objektene, for eksempel, svar på spørsmålet: hvem er Cheburashka? Det er ikke så enkelt ;-) Dette er " eventyrkarakter med store ører, øyne og brunt hår"? Langt og veldig langt fra definisjonen - man vet aldri at det finnes karakterer med slike egenskaper.... Men dette er mye nærmere definisjonen: "Cheburashka er en karakter oppfunnet av forfatteren Eduard Uspensky i 1966, som ... (som viser de viktigste kjennetegn)» . Vær oppmerksom på hvor godt startet

Kan stilles inn forskjellige måter(ett punkt og en vektor, to punkter og en vektor, tre punkter osv.). Det er med dette i tankene at likningen til flyet kan ha forskjellige typer. Også, under visse forhold, kan planene være parallelle, vinkelrette, kryssende, etc. Vi vil snakke om dette i denne artikkelen. Vi vil lære å skrive den generelle ligningen til flyet og ikke bare.

Normal form av ligningen

La oss si at det er et rom R 3 som har et rektangulært koordinatsystem XYZ. Vi setter vektoren α, som vil bli frigjort fra startpunktet O. Gjennom enden av vektoren α tegner vi planet P, som vil være vinkelrett på det.

Angi med P et vilkårlig punkt Q=(x, y, z). Vi vil signere radiusvektoren til punktet Q med bokstaven p. Lengden på vektoren α er p=IαI og Ʋ=(cosα,cosβ,cosγ).

Dette enhetsvektor, som er rettet til siden, som vektoren α. α, β og γ er vinklene som dannes mellom vektoren Ʋ og de positive retningene til romaksene henholdsvis x, y, z. Projeksjonen av et punkt QϵП på vektoren Ʋ er konstant verdi, som er lik p: (p,Ʋ) = p(p≥0).

Denne ligningen gir mening når p=0. Det eneste er at planet P i dette tilfellet vil skjære punktet O (α=0), som er origo, og enhetsvektoren Ʋ frigjort fra punktet O vil være vinkelrett på P, uavhengig av retningen, som betyr at vektoren Ʋ er bestemt fra fortegn-nøyaktig. Den forrige ligningen er ligningen til P-planet vårt, uttrykt i vektorform. Men i koordinater vil det se slik ut:

P her er større enn eller lik 0. Vi har funnet ligningen til et plan i rommet i normal form.

Generell ligning

Hvis vi multipliserer likningen i koordinater med et hvilket som helst tall som ikke er lik null, får vi en likning tilsvarende den gitte, som bestemmer det samme planet. Det vil se slik ut:

Her er A, B, C tall som samtidig er forskjellige fra null. Denne ligningen blir referert til som den generelle planligningen.

Planligninger. Spesielle tilfeller

Ligning i generelt syn kan endres under ytterligere forhold. La oss vurdere noen av dem.

Anta at koeffisienten A er 0. Dette betyr at det gitte planet er parallelt med den gitte aksen Ox. I dette tilfellet vil formen på ligningen endres: Ву+Cz+D=0.

På samme måte vil formen på ligningen endres under følgende forhold:

• For det første, hvis B = 0, vil ligningen endres til Ax + Cz + D = 0, som vil indikere parallellitet til Oy-aksen.
• For det andre, hvis С=0, blir ligningen transformert til Ах+Ву+D=0, noe som vil indikere parallellitet til den gitte aksen Oz.
• For det tredje, hvis D=0, vil ligningen se ut som Ax+By+Cz=0, noe som vil bety at planet skjærer O (origo).
• For det fjerde, hvis A=B=0, vil ligningen endres til Cz+D=0, som vil vise seg parallelt med Oxy.
• For det femte, hvis B=C=0, så blir ligningen Ax+D=0, som betyr at planet til Oyz er parallelt.
• For det sjette, hvis A=C=0, vil ligningen ha formen Ву+D=0, det vil si at den vil rapportere parallellitet til Oxz.

Type ligning i segmenter

I tilfellet når tallene A, B, C, D er ikke-null, kan formen til ligningen (0) være som følger:

x/a + y/b + z/c = 1,

der a \u003d -D / A, b \u003d -D / B, c \u003d -D / C.

Vi får som et resultat Det er verdt å merke seg at dette planet vil skjære Ox-aksen i et punkt med koordinater (a,0,0), Oy - (0,b,0), og Oz - (0,0,c) .

Når man tar i betraktning likningen x/a + y/b + z/c = 1, er det lett å visuelt representere plasseringen av planet i forhold til et gitt koordinatsystem.

Normale vektorkoordinater

Normalvektoren n til planet P har koordinater som er koeffisientene til den generelle ligningen til det gitte planet, det vil si n (A, B, C).

For å bestemme koordinatene til normalen n, er det tilstrekkelig å kjenne den generelle ligningen til et gitt plan.

Når man bruker ligningen i segmenter, som har formen x/a + y/b + z/c = 1, samt når man bruker den generelle ligningen, kan man skrive koordinatene til en hvilken som helst normalvektor i et gitt plan: (1 /a + 1/b + 1/ Med).

Det skal bemerkes at normalvektoren hjelper til med å løse ulike problemer. De vanligste er oppgaver som består i å bevise vinkelrett eller parallellitet til plan, problemer med å finne vinkler mellom plan eller vinkler mellom plan og linjer.

Visning av likningen til planet i henhold til koordinatene til punktet og normalvektoren

En ikke-null vektor n vinkelrett på et gitt plan kalles normal (normal) for et gitt plan.

Anta at i koordinatrommet (rektangulært koordinatsystem) er det gitt Oxyz:

• punkt Mₒ med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ);
• null vektor n=A*i+B*j+C*k.

Det er nødvendig å komponere en ligning for et plan som vil passere gjennom punktet Mₒ vinkelrett på normalen n.

I rommet velger vi et hvilket som helst vilkårlig punkt og betegner det med M (x y, z). La radiusvektoren til et hvilket som helst punkt M (x, y, z) være r=x*i+y*j+z*k, og radiusvektoren til punktet Mₒ (xₒ,yₒ,zₒ) - rₒ=xₒ* i+yₒ *j+zₒ*k. Punktet M vil tilhøre det gitte planet hvis vektoren MₒM er vinkelrett på vektoren n. Vi skriver ortogonalitetsbetingelsen ved å bruke skalarproduktet:

[MₒM, n] = 0.

Siden MₒM \u003d r-rₒ, vil vektorligningen til planet se slik ut:

Denne ligningen kan ha en annen form. Til dette brukes egenskapene til skalarproduktet, og venstre side ligninger. = - . Hvis betegnet som c, vil følgende ligning bli oppnådd: - c \u003d 0 eller \u003d c, som uttrykker konstansen til projeksjonene på normalvektoren til radiusvektorene til de gitte punktene som tilhører planet.

Nå kan du få koordinert visning oppføringer av vektorligningen til planet vårt = 0. Siden r-rₒ = (x-xₒ)*i + (y-yₒ)*j + (z-zₒ)*k, og n = A*i+B*j +C* k, vi har:

Det viser seg at vi har en ligning for et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på normalen n:

A*(x-xₒ)+B*(y-yₒ)C*(z-zₒ)=0.

Visning av planligningen i henhold til koordinatene til to punkter og en vektor i linje med planet

Vi definerer to vilkårlige punkter M′ (x′,y′,z′) og M″ (x″,y″,z″), samt vektoren a (a′,a″,a‴).

Nå kan vi komponere en ligning for et gitt plan, som vil passere gjennom de tilgjengelige punktene M′ og M ″, samt et hvilket som helst punkt M med koordinater (x, y, z) i parallell gitt vektor EN.

I dette tilfellet må vektorene M′M=(x-x′;y-y′;z-z′) og M″M=(x″-x′;y″-y′;z″-z′) være koplanare med vektoren a=(a′,a″,a‴), som betyr at (M′M, M″M, a)=0.

Så ligningen vår av et plan i rommet vil se slik ut:

Type likning for et plan som skjærer tre punkter

Anta at vi har tre punkter: (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴), som ikke tilhører den samme rette linjen. Det er nødvendig å skrive ligningen til planet som går gjennom de gitte tre punktene. Teorien om geometri hevder at denne typen plan virkelig eksisterer, bare det er det eneste og uforlignelige. Siden dette planet skjærer punktet (x′, y′, z′), vil formen på dets ligning være som følger:

Her er A, B, C forskjellige fra null på samme tid. Dessuten skjærer det gitte planet ytterligere to punkter: (x″,y″,z″) og (x‴,y‴,z‴). I denne forbindelse må følgende betingelser være oppfylt:

Nå kan vi komponere homogent system med ukjent u, v, w:

I vår tilfelle x,y eller z står vilkårlig poeng, som tilfredsstiller ligning (1). Når man tar i betraktning likningen (1) og likningssystemet (2) og (3), tilfredsstiller likningssystemet angitt i figuren ovenfor vektoren N (A, B, C), som er ikke-triviell. Det er derfor determinanten til dette systemet er lik null.

Ligning (1), som vi har fått, er ligningen til planet. Den går nøyaktig gjennom 3 punkter, og dette er enkelt å sjekke. For å gjøre dette må vi utvide vår determinant over elementene i den første raden. Det følger av de eksisterende egenskapene til determinanten at planet vårt samtidig skjærer tre opprinnelig gitte punkter (x′, y′, z′), (x″,y″,z″), (x‴,y‴,z‴) . Det vil si at vi har løst oppgaven som ligger foran oss.

Dihedral vinkel mellom planene

En dihedral vinkel er en romlig vinkel geometrisk figur, dannet av to halvplan som kommer fra én rett linje. Dette er med andre ord den delen av rommet som er begrenset av disse halvplanene.

La oss si at vi har to plan med følgende ligninger:

Vi vet at vektorene N=(A,B,C) og N¹=(A¹,B¹,C¹) er vinkelrette iht. gitte fly. I denne forbindelse er vinkelen φ mellom vektorene N og N¹ lik vinkelen (dihedral), som er mellom disse planene. Skalært produkt ser ut som:

NN¹=|N||N¹|cos φ,

nettopp fordi

cosφ= NN¹/|N||N¹|=(AA¹+BB¹+CC¹)/((√(A²+B²+C²))*(√(A¹)²+(B¹)²+(C¹)²)).

Det er nok å ta hensyn til at 0≤φ≤π.

Faktisk danner to plan som skjærer to (diedriske) vinkler: φ 1 og φ 2 . Summen deres er lik π (φ 1 + φ 2 = π). Når det gjelder cosinusene deres, er deres absolutte verdier like, men de er forskjellige i tegn, det vil si cos φ 1 =-cos φ 2. Hvis vi i ligning (0) erstatter A, B og C med henholdsvis tallene -A, -B og -C, så vil ligningen vi får bestemme det samme planet, den eneste vinkelen φ i cos-ligningφ= NN 1 /|N||N 1 | vil bli erstattet med π-φ.

Perpendikulært plan ligning

Planer kalles perpendikulære hvis vinkelen mellom dem er 90 grader. Ved å bruke materialet som er skissert ovenfor, kan vi finne ligningen til et plan vinkelrett på et annet. La oss si at vi har to plan: Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D=0. Vi kan slå fast at de vil være vinkelrette hvis cosφ=0. Dette betyr at NN¹=AA¹+BB¹+CC¹=0.

Parallellplanligning

Parallelle er to plan som ikke inneholder fellespunkter.

Betingelsen (likningene deres er de samme som i forrige avsnitt) er at vektorene N og N¹, som er vinkelrett på dem, er kollineære. Og dette betyr at følgende forhold proporsjonalitet:

A/A¹=B/B¹=C/C¹.

Hvis proporsjonalitetsbetingelsene utvides - A/A¹=B/B¹=C/C¹=DD¹,

dette indikerer at disse flyene faller sammen. Dette betyr at likningene Ax+By+Cz+D=0 og A¹x+B¹y+C¹z+D¹=0 beskriver ett plan.

Avstand til fly fra punkt

La oss si at vi har et plan P, som er gitt ved ligning (0). Det er nødvendig å finne avstanden til den fra punktet med koordinater (xₒ,yₒ,zₒ)=Qₒ. For å gjøre dette, må du bringe ligningen til planet P til normal form:

(ρ,v)=p (p≥0).

I dette tilfellet er ρ(x,y,z) radiusvektoren til vårt punkt Q plassert på P, p er lengden av vinkelrett på P som ble frigjort fra nullpunktet, v er enhetsvektoren som er plassert i a-retningen.

Forskjellen ρ-ρº til radiusvektoren til et punkt Q=(x,y,z) som tilhører P, så vel som radiusvektoren til et gitt punkt Q 0 =(xₒ,yₒ,zₒ) er en slik vektor, absolutt verdi hvis projeksjon på v er lik avstanden d, som må finnes fra Q 0 \u003d (xₒ, yₒ, zₒ) til P:

D=|(ρ-ρ 0 ,v)|, men

(ρ-ρ 0 ,v)= (ρ,v)-(ρ 0 ,v) =р-(ρ 0 ,v).

Så det viser seg

d=|(poo,v)-p|.

Slik finner vi absolutt verdi det resulterende uttrykket, det vil si den nødvendige d.

Ved å bruke parameterspråket får vi det åpenbare:

d=|Axₒ+Vuₒ+Czₒ|/√(A²+B²+C²).

Hvis gitt poeng Q 0 er på den andre siden av P-planet, så vel som origo, så mellom vektoren ρ-ρ 0 og v er derfor:

d=-(ρ-ρ 0 ,v)=(ρ 0 ,v)-p>0.

I tilfellet når punktet Q 0, sammen med origo, er plassert på samme side av P, er vinkelen som skapes spiss, det vil si:

d \u003d (ρ-ρ 0, v) \u003d p - (ρ 0, v)>0.

Som et resultat viser det seg at i det første tilfellet (ρ 0 ,v)> р, i det andre (ρ 0 ,v)<р.

Tangentplan og dets ligning

Tangentplanet til overflaten ved kontaktpunktet Mº er planet som inneholder alle mulige tangenter til kurvene trukket gjennom dette punktet på overflaten.

Med denne formen av overflateligningen F (x, y, z) \u003d 0, vil ligningen til tangentplanet ved tangentpunktet Mº (xº, yº, zº) se slik ut:

F x (xº, yº, zº)(x- xº)+ F x (xº, yº, zº)(y-yº)+ F x (xº, yº, zº)(z-zº)=0.

Hvis du spesifiserer overflaten i eksplisitt form z=f (x, y), vil tangentplanet bli beskrevet av ligningen:

z-zº = f(xº, yº)(x- xº)+f(xº, yº)(y-yº).

Skjæringspunktet mellom to plan

I koordinatsystemet (rektangulært) ligger Oxyz, to plan П′ og П″ er gitt, som krysser hverandre og ikke sammenfaller. Siden ethvert plan som ligger i et rektangulært koordinatsystem bestemmes av den generelle ligningen, vil vi anta at P′ og P″ er gitt av ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x +B″y+ С″z+D″=0. I dette tilfellet har vi den normale n′ (A′, B′, C′) til P′-planet og den normale n″ (A″, B″, C″) til P″-planet. Siden våre fly ikke er parallelle og ikke sammenfaller, er disse vektorene ikke kollineære. Ved å bruke matematikkens språk kan vi skrive denne betingelsen slik: n′≠ n″ ↔ (A′, B′, C′) ≠ (λ*A″,λ*B″,λ*C″), λϵR. La linjen som ligger i skjæringspunktet mellom P′ og P″ betegnes med bokstaven a, i dette tilfellet a = P′ ∩ P″.

a er en rett linje som består av settet av alle punkter i (felles) plan П′ og П″. Dette betyr at koordinatene til ethvert punkt som tilhører linjen a samtidig må tilfredsstille ligningene A′x+B′y+C′z+D′=0 og A″x+B″y+C″z+D″= 0. Dette betyr at koordinatene til punktet vil være en spesiell løsning av følgende ligningssystem:

Som et resultat viser det seg at den (generelle) løsningen av dette ligningssystemet vil bestemme koordinatene til hvert av punktene på den rette linjen, som vil fungere som skjæringspunktet for П′ og П″, og bestemme den rette linje a i koordinatsystemet Oxyz (rektangulær) i rommet.

Hva er normalt? Enkelt sagt er en normal en perpendikulær. Det vil si at normalvektoren til en linje er vinkelrett på den gitte linjen. Det er åpenbart at enhver rett linje har et uendelig antall av dem (i tillegg til retningsvektorer), og alle de normale vektorene til den rette linjen vil være kollineære (samdireksjonelle eller ikke - det spiller ingen rolle).

Å håndtere dem vil være enda enklere enn med retningsvektorer:

Hvis en rett linje er gitt av en generell ligning i et rektangulært koordinatsystem, så er vektoren normalvektoren til denne rette linjen.

Hvis koordinatene til retningsvektoren må "trekkes ut" forsiktig fra ligningen, blir koordinatene til normalvektoren ganske enkelt "fjernet".

Normalvektoren er alltid ortogonal på retningsvektoren til linjen. La oss sørge for at disse vektorene er ortogonale ved å bruke skalarproduktet:

Jeg vil gi eksempler med de samme ligningene som for retningsvektoren:

Er det mulig å skrive en likning av en rett linje, kjenne til ett punkt og en normalvektor? Hvis normalvektoren er kjent, er retningen til den retteste linjen også unikt bestemt - dette er en "stiv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

Hvis et punkt som tilhører linjen og normalvektoren til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Komponer ligningen for en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til den rette linjen.

Løsning: Bruk formelen:

Den generelle ligningen for den rette linjen er oppnådd, la oss sjekke:

1) "Fjern" koordinatene til normalvektoren fra ligningen: - ja, faktisk, den opprinnelige vektoren er hentet fra tilstanden (eller vektoren bør være kollineær til den opprinnelige vektoren).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller ligningen:

Ekte likestilling.

Etter at vi er overbevist om at ligningen er riktig, vil vi fullføre den andre, enklere delen av oppgaven. Vi trekker ut retningsvektoren til den rette linjen:

Svar:

På tegningen er situasjonen som følger:

For opplæringsformål, en lignende oppgave for en uavhengig løsning:

Komponer ligningen for en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til den rette linjen.

Den siste delen av leksjonen vil bli viet til mindre vanlige, men også viktige typer ligninger av en rett linje i et plan

Ligning av en rett linje i segmenter.
Ligning av en rett linje i parametrisk form

Ligningen av en rett linje i segmenter har formen , hvor er konstanter som ikke er null. Noen typer ligninger kan ikke representeres i denne formen, for eksempel direkte proporsjonalitet (siden frileddet er null og det ikke er mulig å få en på høyre side).

Dette er, billedlig talt, en "teknisk" type ligning. Den vanlige oppgaven er å representere den generelle ligningen til en rett linje som en ligning av en rett linje i segmenter. Hvorfor er det praktisk? Ligningen av en rett linje i segmenter lar deg raskt finne skjæringspunktene til en rett linje med koordinatakser, noe som er veldig viktig i noen problemer med høyere matematikk.

Finn skjæringspunktet mellom linjen og aksen. Vi tilbakestiller "y", og ligningen har formen . Det ønskede punktet oppnås automatisk: .

Samme med akse er punktet der linjen skjærer y-aksen.

Handlingene som jeg nettopp har forklart i detalj, utføres verbalt.

Gitt en rett linje. Komponer ligningen for en rett linje i segmenter og bestem skjæringspunktene til grafen med koordinataksene.

Løsning: La oss bringe ligningen til skjemaet . Først flytter vi fribegrepet til høyre side:

For å få en enhet til høyre deler vi hvert ledd i ligningen med -11:

Vi lager brøker i tre etasjer:

Skjæringspunktene for den rette linjen med koordinataksene dukket opp:

Svar:

Det gjenstår å feste en linjal og tegne en rett linje.

Det er lett å se at denne rette linjen er unikt bestemt av de røde og grønne segmentene, derav navnet - "ligningen av en rett linje i segmenter".

Selvfølgelig er ikke poengene så vanskelige å finne ut fra ligningen, men problemet er likevel nyttig. Den betraktede algoritmen vil være nødvendig for å finne skjæringspunktene til planet med koordinataksene, for å bringe andreordens linjeligningen til den kanoniske formen, og i noen andre problemer. Derfor et par rette linjer for en uavhengig løsning:

Komponer ligningen til en rett linje i segmenter og bestem punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene.

Løsninger og svar til slutt. Ikke glem at hvis du ønsker det, kan du tegne alt.

Hvordan skrive parametriske ligninger for en rett linje?

De parametriske ligningene til en rett linje er mer relevante for rette linjer i rommet, men uten dem vil vårt abstrakte bli foreldreløst.

Hvis et punkt som tilhører linjen og retningsvektoren til denne linjen er kjent, er de parametriske ligningene til denne linjen gitt av systemet:

Komponer parametriske ligninger av en rett linje med et punkt og en retningsvektor

Løsningen ble avsluttet før den kunne starte:

Parameteren "te" kan ta hvilken som helst verdi fra "minus uendelig" til "pluss uendelig", og hver parameterverdi tilsvarer et spesifikt punkt på planet. For eksempel, hvis , så får vi et poeng .

Omvendt problem: hvordan sjekke om et betingelsespunkt tilhører en gitt linje?

La oss erstatte koordinatene til punktet i de oppnådde parametriske ligningene:

Fra begge ligningene følger det at , det vil si at systemet er konsistent og har en unik løsning.

La oss vurdere mer meningsfulle oppgaver:

Komponer parametriske ligninger av en rett linje

Løsning: Ved betingelse er den rette linjen gitt i generell form. For å komponere de parametriske ligningene til en rett linje, må du kjenne dens retningsvektor og et punkt som tilhører denne rette linjen.

La oss finne retningsvektoren:

Nå må du finne et punkt som tilhører linjen (enhver vil gjøre det), for dette formålet er det praktisk å omskrive den generelle ligningen i form av en ligning med en helning:

Det gir selvfølgelig poenget

Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen:

Og til slutt, en liten kreativ oppgave for en uavhengig løsning.

Komponer parametriske ligninger av en rett linje hvis punktet som tilhører den og normalvektoren er kjent

Oppgaven kan gjøres på mer enn én måte. En av versjonene av løsningen og svaret på slutten.

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Finn skråningen:

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en helning:

Svar:

Eksempel 4: Løsning: Vi skal komponere likningen av en rett linje i henhold til formelen:

Svar:

Eksempel 6: Løsning: Bruk formelen:

Svar: (y-akse)

Eksempel 8: Løsning: La oss lage likningen av en rett linje på to punkter:

Multipliser begge sider med -4:

Og del på 5:

Svar:

Eksempel 10: Løsning: Bruk formelen:

Vi reduserer med -2:

Retning vektor direkte:
Svar:

Eksempel 12:
EN) Løsning: La oss transformere ligningen:

Dermed:

Svar:

b) Løsning: La oss transformere ligningen:

Dermed:

Svar:

Eksempel 15: Løsning: Først skriver vi den generelle ligningen for en rett linje gitt et punkt og normalvektoren :

Multipliser med 12:

Vi multipliserer med 2 til, slik at etter å ha åpnet den andre parentesen, blir du kvitt brøken:

Retning vektor direkte:
Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen ved punktet og retningsvektor :
Svar:

De enkleste problemene med en rett linje på et fly.
Gjensidig arrangement av linjer. Vinkel mellom linjene

Vi fortsetter å vurdere disse uendelig-uendelige linjene.

Hvordan finne avstanden fra et punkt til en linje?
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Hvordan finne vinkelen mellom to linjer?

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Husk det matematiske tegnet på krysset, det vil forekomme veldig ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er så mange "lambda" at likhetene holder

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: , Men .

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene deres ved variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av "lambda" at likhetene er oppfylt

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Det følger av den første ligningen at , og av den andre ligningen: , som betyr at systemet er inkonsekvent (det finnes ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet. Men det er en mer sivilisert pakke:

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsningen er basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

Dermed,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" kan finnes direkte ved forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid er det også mulig gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: Angi den ukjente rette linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "de".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller lett å utføre verbalt. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative.

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Den korteste veien er på slutten.

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer i punktet , så er dens koordinater løsningen av systemet med lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Så mye for den geometriske betydningen av et system med to lineære ligninger med to ukjente - dette er to kryssende (oftest) rette linjer på et plan.

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Den grafiske måten er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk har vi vurdert en grafisk metode for å løse et system av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å søke etter skjæringspunktet ved hjelp av den analytiske metoden. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt.

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Oppgaven kan enkelt deles inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil gjentatte ganger fokusere på dette.

Full løsning og svar til slutt:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og ved å bruke skalarproduktet til vektorer konkluderer vi med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Avstand fra punkt til linje

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "p", for eksempel: - avstanden fra punktet "m" til den rette linjen "d".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å koble tallene forsiktig inn i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Hvordan konstruere et punkt symmetrisk om en rett linje?

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil skissere løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orienterte "bringebær"-hjørne betraktes som sådan.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi finner vinklene med, kan et negativt resultat lett oppnås, og dette bør ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for en negativ vinkel er det viktig å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved å bruke den omvendte funksjonen er det enkelt å finne selve vinkelen. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen:

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Det finnes også en tredje løsning. Ideen er å beregne vinkelen mellom retningsvektorene til linjene:

Her snakker vi ikke om en orientert vinkel, men "bare om en vinkel", det vil si at resultatet helt sikkert vil være positivt. Haken er at du kan få en stump vinkel (ikke den du trenger). I dette tilfellet må du ta forbehold om at vinkelen mellom linjene er en mindre vinkel, og trekke den resulterende buecosinus fra "pi" radianer (180 grader).

Finn vinkelen mellom linjene.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Prøv å løse det på to måter.

Løsninger og svar:

Eksempel 3: Løsning: Finn retningsvektoren til den rette linjen:

Vi skal komponere ligningen for den ønskede rette linjen ved å bruke punktet og retningsvektoren

Merk: her multipliseres den første ligningen i systemet med 5, deretter trekkes den andre ledd for ledd fra den første ligningen.
Svar:

For å studere likningene til en rett linje, er det nødvendig å ha en god forståelse av vektoralgebraen. Det er viktig å finne retningsvektoren og normalvektoren til linjen. Denne artikkelen vil vurdere normalvektoren til en rett linje med eksempler og tegninger, og finne dens koordinater hvis likningene til rette linjer er kjent. En detaljert løsning vil bli vurdert.

Yandex.RTB R-A-339285-1

For å gjøre materialet lettere å fordøye, må du forstå begrepene linje, plan og definisjoner som er knyttet til vektorer. Først, la oss bli kjent med konseptet med en rett linjevektor.

Definisjon 1

Normal linjevektor enhver ikke-null vektor som ligger på en linje vinkelrett på den gitte kalles.

Det er tydelig at det er et uendelig sett med normalvektorer plassert på en gitt linje. Tenk på figuren nedenfor.

Vi får at linjen er vinkelrett på en av de to gitte parallelle linjene, så strekker dens vinkelrett seg til den andre parallelle linjen. Derfor får vi at settene med normalvektorer til disse parallelle linjene faller sammen. Når linjene a og a 1 er parallelle, og n → regnes som en normalvektor for linjen a , regnes den også som en normalvektor for linjen a 1 . Når linjen a har en direkte vektor, så er vektoren t · n → ikke-null for enhver verdi av parameteren t, og er også normal for linjen a.

Ved å bruke definisjonen av normal- og retningsvektorer kan man konkludere med at normalvektoren er vinkelrett på retningen. Tenk på et eksempel.

Hvis planet O x y er gitt, så er settet med vektorer for O x koordinatvektoren j → . Den regnes som ikke-null og tilhører koordinataksen O y, vinkelrett på O x. Hele settet med normalvektorer med hensyn til O x kan skrives som t · j → , t ∈ R , t ≠ 0 .

Det rektangulære systemet O x y z har en normalvektor i → relatert til linjen O z . Vektoren j → regnes også som normal. Dette viser at enhver vektor som ikke er null, lokalisert i et hvilket som helst plan og vinkelrett på Oz anses som normal for Oz.

Koordinater til normalvektoren til linjen - finne koordinatene til normalvektoren til linjen fra de kjente ligningene til linjen

Når vi vurderer et rektangulært koordinatsystem O x y, finner vi at ligningen til en rett linje på et plan tilsvarer det, og bestemmelsen av normalvektorer gjøres av koordinater. Hvis ligningen til en rett linje er kjent, men det er nødvendig å finne koordinatene til normalvektoren, er det nødvendig å identifisere koeffisientene fra ligningen A x + B y + C = 0, som tilsvarer koordinatene til normalvektoren til den gitte rette linjen.

Eksempel 1

En rett linje av formen 2 x + 7 y - 4 = 0 _ er gitt, finn koordinatene til normalvektoren.

Løsning

Ved betingelse har vi at den rette linjen ble gitt av den generelle ligningen, som betyr at det er nødvendig å skrive ut koeffisientene, som er koordinatene til normalvektoren. Derfor har koordinatene til vektoren verdien 2 , 7 .

Svar: 2 , 7 .

Det er tider når A eller B fra en ligning er null. La oss vurdere løsningen av en slik oppgave med et eksempel.

Eksempel 2

Spesifiser normalvektoren for den gitte linjen y - 3 = 0 .

Løsning

Ved betingelse får vi den generelle ligningen for en rett linje, som betyr at vi skriver den på denne måten 0 · x + 1 · y - 3 = 0. Nå kan vi tydelig se koeffisientene, som er koordinatene til normalvektoren. Så vi får at koordinatene til normalvektoren er 0 , 1 .

Svar: 0 , 1 .

Hvis en ligning er gitt i segmenter av formen x a + y b \u003d 1 eller en ligning med en helning y \u003d k x + b, er det nødvendig å redusere til en generell ligning av en rett linje, hvor du kan finne koordinatene av normalvektoren til denne rette linjen.

Eksempel 3

Finn koordinatene til normalvektoren hvis likningen til den rette linjen x 1 3 - y = 1 er gitt.

Løsning

Først må du gå fra likningen i intervallene x 1 3 - y = 1 til en generell likning. Da får vi at x 1 3 - y = 1 ⇔ 3 x - 1 y - 1 = 0 .

Dette viser at koordinatene til normalvektoren har verdien 3 , - 1 .

Svar: 3 , - 1 .

Hvis linjen er definert av den kanoniske ligningen til linjen på planet x - x 1 a x = y - y 1 a y eller av den parametriske x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ, blir koordinatene mer komplisert. I følge disse ligningene kan man se at koordinatene til retningsvektoren vil være a → = (a x , a y) . Muligheten for å finne koordinatene til normalvektoren n → er mulig på grunn av betingelsen om at vektorene n → og a → er vinkelrette.

Det er mulig å oppnå koordinatene til en normalvektor ved å redusere de kanoniske eller parametriske ligningene til en rett linje til en generell. Da får vi:

x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y (x - x 1) = a x (y - y 1) ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y ⇔ a y x - a x y + a x y 1 - a y x 1 = 0

For løsningen kan du velge hvilken som helst praktisk metode.

Eksempel 4

Finn normalvektoren til den gitte linjen x - 2 7 = y + 3 - 2 .

Løsning

Fra den rette linjen x - 2 7 = y + 3 - 2 er det klart at retningsvektoren vil ha koordinater a → = (7 , - 2) . Normalvektoren n → = (n x , n y) til den gitte linjen er vinkelrett på a → = (7 , - 2) .

La oss finne ut hva skalarproduktet er lik. For å finne skalarproduktet av vektorene a → = (7 , - 2) og n → = (n x , n y) skriver vi a → , n → = 7 · n x - 2 · n y = 0 .

Verdien av n x er vilkårlig, du bør finne n y . Hvis n x = 1, får vi at 7 · 1 - 2 · n y = 0 ⇔ n y = 7 2 .

Derfor har normalvektoren koordinatene 1 , 7 2 .

Den andre måten å løse på kommer ned til det faktum at det er nødvendig å komme til den generelle formen for ligningen fra den kanoniske. For dette transformerer vi

x - 2 7 = y + 3 - 2 ⇔ 7 (y + 3) = - 2 (x - 2) ⇔ 2 x + 7 y - 4 + 7 3 = 0

Resultatet av normale vektorkoordinater er 2, 7.

Svar: 2, 7 eller 1 , 7 2 .

Eksempel 5

Spesifiser koordinatene til normalvektoren til linjen x = 1 y = 2 - 3 · λ .

Løsning

Først må du utføre en transformasjon for å gå til den generelle formen for en rett linje. La oss gjøre:

x = 1 y = 2 - 3 λ ⇔ x = 1 + 0 λ y = 2 - 3 λ ⇔ λ = x - 1 0 λ = y - 2 - 3 ⇔ x - 1 0 = y - 2 - 3 ⇔ ⇔ - 3 (x - 1) = 0 (y - 2) ⇔ - 3 x + 0 y + 3 = 0

Dette viser at koordinatene til normalvektoren er -3, 0.

Svar: - 3 , 0 .

Vurder måter å finne koordinatene til en normalvektor i likningen til en rett linje i rommet, gitt av et rektangulært koordinatsystem O x y z.

Når en linje er gitt ved likningene til planene som skjærer hverandre A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , vil normalvektoren for planet refererer til A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 og A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0, da får vi vektorene på formen n 1 → = (Ai, B1, C1) og n2 → = (A2, B2, C2).

Når linjen er definert ved hjelp av den kanoniske romligningen, med formen x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z eller parametrisk, med formen x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z · λ , derfor anses a x , a y og a z å være koordinatene til retningsvektoren til den gitte rette linjen. Enhver vektor som ikke er null kan være normal for en gitt linje, og være vinkelrett på vektoren a → = (a x , a y , a z) . Det følger at å finne koordinatene til normalen med parametriske og kanoniske ligninger gjøres ved å bruke koordinatene til vektoren, som er vinkelrett på den gitte vektoren a → = (a x, a y, a z) .

Hvis du oppdager en feil i teksten, merk den og trykk Ctrl+Enter