Ligninger av rette linjer og kurver på planet. Ligning av en linje

Egenskaper til en rett linje i euklidisk geometri.

Et uendelig antall rette linjer kan trekkes gjennom et hvilket som helst punkt.

Gjennom to ikke-sammenfallende punkter kan en enkelt rett linje trekkes.

To divergerende linjer i et plan enten krysser hverandre i et enkelt punkt eller er

parallell (følger av den forrige).

I tredimensjonalt rom er det tre alternativer for den relative plasseringen av to linjer:

• linjer krysser hverandre;

• linjene er parallelle;

• rette linjer krysser hverandre.

Rett linje— algebraisk kurve av første orden: en rett linje i det kartesiske koordinatsystemet

er gitt på planet av en ligning av første grad (lineær ligning).

Generell ligning for en rett linje.

Definisjon. Enhver rett linje på planet kan spesifiseres med en førsteordens ligning

Axe + Wu + C = 0,

og konstant A, B er ikke lik null på samme tid. Denne førsteordensligningen kalles general

ligning av en rett linje. Avhengig av verdiene til konstantene A, B Og MED Følgende spesielle tilfeller er mulige:

. C = 0, A ≠ 0, B ≠ 0- en rett linje går gjennom origo

. A = 0, B ≠0, C ≠0 (By + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = 0, A ≠0, C ≠ 0 (Ax + C = 0)- rett linje parallelt med aksen Åh

. B = C = 0, A ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

. A = C = 0, B ≠ 0- den rette linjen faller sammen med aksen Åh

Ligningen til en rett linje kan presenteres i forskjellige former avhengig av hvilken som helst gitt

innledende forhold.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en normalvektor.

Definisjon. I et kartesisk rektangulært koordinatsystem, en vektor med komponenter (A, B)

vinkelrett på linjen gitt av ligningen

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en linje som går gjennom et punkt A(1, 2) vinkelrett på vektoren (3, -1).

Løsning. Med A = 3 og B = -1, la oss komponere ligningen for den rette linjen: 3x - y + C = 0. For å finne koeffisienten C

La oss erstatte koordinatene til det gitte punktet A i det resulterende uttrykket. Vi får derfor: 3 - 2 + C = 0

C = -1. Totalt: den nødvendige ligningen: 3x - y - 1 = 0.

Ligning av en linje som går gjennom to punkter.

La to poeng gis i rom M 1 (x 1, y 1, z 1) Og M2 (x 2, y 2, z 2), Da ligning av en linje,

passerer gjennom disse punktene:

Hvis noen av nevnerne er null, skal den tilsvarende telleren settes lik null. På

planet, er ligningen til den rette linjen skrevet ovenfor forenklet:

Hvis x 1 ≠ x 2 Og x = x 1, Hvis x 1 = x 2 .

Brøk = k ringte skråning direkte.

Eksempel. Finn ligningen til linjen som går gjennom punktene A(1, 2) og B(3, 4).

Løsning. Ved å bruke formelen skrevet ovenfor får vi:

Ligning av en rett linje ved hjelp av et punkt og en helning.

Hvis den generelle ligningen av linjen Axe + Wu + C = 0 føre til:

og utpeke , så kalles den resulterende ligningen

ligning av en rett linje med helning k.

Ligning av en rett linje fra et punkt og en retningsvektor.

I analogi med punktet som vurderer ligningen til en rett linje gjennom normalvektoren, kan du gå inn i oppgaven

en rett linje gjennom et punkt og en retningsvektor til en rett linje.

Definisjon. Hver vektor som ikke er null (α 1 , α 2), hvis komponenter tilfredsstiller betingelsen

Aα 1 + Bα 2 = 0 ringte retningsvektor for en rett linje.

Axe + Wu + C = 0.

Eksempel. Finn ligningen til en rett linje med en retningsvektor (1, -1) og passerer gjennom punkt A(1, 2).

Løsning. Vi vil se etter ligningen til ønsket linje i skjemaet: Axe + By + C = 0. I henhold til definisjonen,

koeffisienter må tilfredsstille følgende betingelser:

1 * A + (-1) * B = 0, dvs. A = B.

Da har ligningen for den rette linjen formen: Ax + Ay + C = 0, eller x + y + C / A = 0.

på x = 1, y = 2 vi får C/A = -3, dvs. nødvendig ligning:

x + y - 3 = 0

Ligning av en rett linje i segmenter.

Hvis i den generelle ligningen til den rette linjen Ах + Ву + С = 0 С≠0, så får vi, ved å dele med -С:

eller hvor

Den geometriske betydningen av koeffisientene er at koeffisienten a er koordinaten til skjæringspunktet

rett med akse Å, EN b- koordinat for skjæringspunktet mellom linjen og aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligningen for en rett linje er gitt x - y + 1 = 0. Finn ligningen til denne linjen i segmenter.

C = 1, , a = -1, b = 1.

Normal ligning av en linje.

Hvis begge sider av ligningen Axe + Wu + C = 0 dividere med tall som kalles

normaliserende faktor, så får vi

xcosφ + ysinφ - p = 0 -normal ligning av en linje.

Tegnet ± for normaliseringsfaktoren må velges slik at μ*C< 0.

r- lengden på perpendikulæren falt fra origo til den rette linjen,

EN φ - vinkelen som dannes av denne perpendikulæren med den positive retningen til aksen Åh.

Eksempel. Den generelle ligningen for linjen er gitt 12x - 5y - 65 = 0. Nødvendig for å skrive forskjellige typer ligninger

denne rette linjen.

Ligningen til denne linjen i segmenter:

Ligningen av denne linjen med helningen: (del med 5)

Ligning av en linje:

cos φ = 12/13; sin φ= -5/13; p = 5.

Det skal bemerkes at ikke hver rett linje kan representeres av en ligning i segmenter, for eksempel rette linjer,

parallelt med aksene eller går gjennom origo.

Vinkelen mellom rette linjer på et plan.

Definisjon. Hvis to linjer er gitt y = k 1 x + b 1, y = k 2 x + b 2, deretter den spisse vinkelen mellom disse linjene

vil bli definert som

To linjer er parallelle if k 1 = k 2. To linjer er vinkelrette

Hvis k 1 = -1/ k 2 .

Teorem.

Direkte Axe + Wu + C = 0 Og A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 parallell når koeffisientene er proporsjonale

A 1 = λA, B 1 = λB. Hvis også С 1 = λС, da faller linjene sammen. Koordinater til skjæringspunktet mellom to linjer

finnes som en løsning på likningssystemet til disse linjene.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt vinkelrett på en gitt linje.

Definisjon. Linje som går gjennom et punkt M 1 (x 1, y 1) og vinkelrett på linjen y = kx + b

representert ved ligningen:

Avstand fra et punkt til en linje.

Teorem. Hvis det gis et poeng M(x 0, y 0), deretter avstanden til den rette linjen Axe + Wu + C = 0 definert som:

Bevis. La poenget M 1 (x 1, y 1)- bunnen av en perpendikulær falt fra et punkt M for en gitt

direkte. Deretter avstanden mellom punktene M Og M 1:

(1)

Koordinater x 1 Og kl 1 kan finnes som en løsning på ligningssystemet:

Den andre ligningen i systemet er ligningen av en rett linje som går gjennom et gitt punkt M 0 vinkelrett

gitt rett linje. Hvis vi transformerer den første ligningen i systemet til formen:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Ved 0 + C = 0,

så når vi løser, får vi:

Ved å erstatte disse uttrykkene i ligning (1), finner vi:

Teoremet er bevist.

Ligningen til en linje som går gjennom et gitt punkt i en gitt retning. Ligning av en linje som går gjennom to gitte punkter. Vinkelen mellom to rette linjer. Betingelsen for parallellitet og perpendikularitet av to rette linjer. Bestemme skjæringspunktet mellom to linjer

Eksempler på problemer med løsninger

Finn ligningen til en linje som går gjennom to punkter: (-1, 2) og (2, 1).

Løsning.

I følge Eq.

tro på det x 1 = -1, y 1 = 2, x 2 = 2, y 2 = 1 (det spiller ingen rolle hvilket punkt som anses først og hvilket punkt som anses som andre), får vi

etter forenklinger får vi den endelige nødvendige ligningen i skjemaet

x + 3y - 5 = 0.

Sidene i trekanten er gitt av ligningene: (AB ) 2 x + 4 y + 1 = 0, (A.C. ) x - y + 2 = 0, (B.C. ) 3 x + 4 y -12 = 0. Finn koordinatene til toppunktene i trekanten.

Løsning.

Toppunktkoordinater EN finner vi ved å løse et system sammensatt av sidelikninger AB Og A.C.:

Vi løser et system med to lineære ligninger med to ukjente ved hjelp av metoder kjent fra elementær algebra, og vi får

Vertex EN har koordinater

Toppunktkoordinater B finner vi ved å løse likningssystemet til sidene AB Og B.C.:

vi mottar.

Toppunktkoordinater C får vi ved å løse likningssystemet til sidene B.C. Og A.C.:

Vertex C har koordinater.

EN (2, 5) parallelt med linje 3x - 4 y + 15 = 0.

Løsning.

La oss bevise at hvis to linjer er parallelle, så kan ligningene deres alltid representeres på en slik måte at de bare er forskjellige i deres frie termer. Det følger faktisk av betingelsen om parallellisme av to linjer.

La oss betegne med t den samlede verdien av disse relasjonene. Da

og av dette følger det

EN 1 = EN 2 t, B 1 = B 2 t. (1)

Hvis to linjer

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0 og

EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0

er parallelle, er betingelsene (1) oppfylt, og erstatter i den første av disse ligningene EN 1 og B 1 i henhold til formlene (1), vil vi ha

EN 2 tx + B 2 ty + C 1 = 0,

eller ved å dele begge sider av ligningen med , får vi

Sammenligning av den resulterende ligningen med ligningen til den andre rette linjen EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0, merker vi at disse ligningene bare skiller seg i frileddet; Dermed har vi bevist hva som kreves. La oss nå begynne å løse problemet. Vi vil skrive ligningen til den ønskede linjen på en slik måte at den vil skille seg fra ligningen til den gitte linjen bare med frileddet: vi vil ta de to første leddene i den ønskede ligningen fra denne ligningen, og vi vil betegne dens fri termin av C. Deretter vil den nødvendige ligningen bli skrevet i skjemaet

3x - 4y + C = 0, (3)

og skal bestemmes C.

Oppgi verdien i ligning (3). C alle mulige reelle verdier, får vi et sett med linjer parallelt med den gitte. Således er ligning (3) en ligning ikke av en linje, men av en hel familie av linjer parallelt med en gitt linje 3 x - 4y+ 15 = 0. Fra denne linjefamilien bør vi velge den som går gjennom punktet EN(2, 5).

Hvis en linje går gjennom et punkt, må koordinatene til dette punktet tilfredsstille linjens ligning. Og derfor vil vi bestemme C, hvis i (3) erstatter vi i stedet for gjeldende koordinater x Og y punktkoordinater EN, dvs. x = 2, y= 5. Vi får og C = 14.

Fant verdi C erstatte inn i (3), og den nødvendige ligningen vil bli skrevet som følger:

3x - 4y + 14 = 0.

Det samme problemet kan løses på en annen måte. Siden vinkelkoeffisientene til parallelle linjer er lik hverandre, og for en gitt linje 3 x - 4y+ 15 = 0 stigning, da er stigningen til den ønskede rette linjen også lik.

Nå bruker vi ligningen y - y 1 = k(x - x 1) en haug med rette linjer. Prikk EN(2, 5) som den rette linjen går gjennom er kjent for oss, og erstatter derfor i ligningen til blyanten av rette linjer y - y 1 = k(x - x 1) verdier, får vi

eller etter forenklinger 3 x - 4y+ 14 = 0, dvs. det samme som før.

Finn ligninger av linjer som går gjennom et punktEN (3, 4) i en vinkel på 60 grader til rett linje 2x + 3 y + 6 = 0.

Løsning.

For å løse problemet må vi bestemme vinkelkoeffisientene til linjene I og II (se figur). La oss betegne disse koeffisientene henholdsvis med k 1 og k 2, og vinkelkoeffisienten til denne linjen er gjennom k. Det er åpenbart at.

Basert på definisjonen av vinkelen mellom to rette linjer, når jeg bestemmer vinkelen mellom en gitt linje og en rett linje, følger jeg i telleren av brøken i formelen

trekk fra helningen til denne linjen, siden den må roteres mot klokken rundt punktet C til den faller sammen med rett linje I.

Med tanke på det får vi

Når man skal bestemme vinkelen mellom linje II og en gitt linje, bør man trekke fra vinkelkoeffisienten til linje II i telleren til samme brøk, dvs. k 2, siden linje II skal roteres mot klokken rundt punktet B til det faller sammen med denne linjen:

Finn ligningen til en linje som går gjennom et punktEN (5, -1) vinkelrett på linje 3x - 7 y + 14 = 0.

Løsning.

Hvis to linjer

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0, EN 2 x + B 2 y + C 2 = 0

er vinkelrett, så likheten

EN 1 EN 2 + B 1 B 2 = 0,

eller, hva er det samme,

EN 1 EN 2 = -B 1 B 2 ,

og av dette følger det

Vi betegner den generelle betydningen av disse uttrykkene med t.

Så følger det

EN 2 = B 1 t, B 2 = -EN 1 t.

Erstatter disse verdiene EN 2 og B 2 og ligningen til den andre linjen, får vi

B 1 tx - EN 1 ty + C 2 = 0.

eller, dividere med t begge sider av likestillingen, vil vi ha

Sammenligning av den resulterende ligningen med ligningen til den første rette linjen

EN 1 x + B 1 y + C 1 = 0,

vi legger merke til at koeffisientene deres kl x Og y har byttet plass, og tegnet mellom første og andre ledd har endret seg til det motsatte, men frivilkårene er forskjellige.

La oss nå begynne å løse problemet. Ønsker å skrive ligningen til en linje vinkelrett på linje 3 x - 7y+ 14 = 0, basert på konklusjonen ovenfor, vil vi fortsette som følger: vi vil bytte koeffisientene for x Og y, og bytt ut minustegnet mellom dem med et plusstegn, og angi fribegrepet med bokstaven C. Vi får 7 x + 3y + C= 0. Denne ligningen er ligningen til en familie av linjer vinkelrett på linje 3 x - 7y+ 14 = 0. Definer C fra betingelsen at ønsket linje går gjennom punktet EN(5, -1). Det er kjent at hvis en linje går gjennom et punkt, så må koordinatene til dette punktet tilfredsstille linjens ligning. Sette inn 5 i den siste ligningen i stedet for x og -1 i stedet y, får vi

Dette er meningen C Bytt inn i den siste ligningen og få

7x + 3y - 32 = 0.

La oss løse det samme problemet på en annen måte ved å bruke ligningen til en blyant med rette linjer

y - y 1 = k(x - x 1).

Helningen på denne linjen er 3 x - 7y + 14 = 0

deretter vinkelkoeffisienten til linjen vinkelrett på den,

Substituere inn i ligningen av en blyant av rette linjer , og i stedet x 1 og y 1 koordinater til dette punktet EN(5, -1), finn eller 3 y + 3 = -7x+ 35, og til slutt 7 x + 3y- 32 = 0, dvs. det samme som før.

Ligninger det er mange kurver når vi leser økonomisk litteratur, la oss angi noen av disse kurvene.

Likegyldighetskurve - en kurve som viser ulike kombinasjoner av to produkter som har samme verdi, eller nytte, for forbrukeren.

Forbrukerbudsjettkurve - en kurve som viser de forskjellige kombinasjonene av mengder av to varer som en forbruker kan kjøpe på et gitt nivå av pengeinntekten.

Produksjonsmulighetskurve - en kurve som viser de forskjellige kombinasjonene av to varer eller tjenester som kan produseres under forhold med full sysselsetting og full produksjon i en økonomi med konstant tilførsel av ressurser og konstant teknologi.

Investeringsetterspørselskurve - en kurve som viser dynamikken i renten og volumet av investeringer ved forskjellige renter.

Phillipskurve- en kurve som viser eksistensen av et stabilt forhold mellom arbeidsledighetsraten og inflasjonsraten.

Lafferkurve- en kurve som viser forholdet mellom skattesatser og skatteinntekter, som identifiserer skattesatsen der skatteinntektene når et maksimum.

Allerede en enkel opplisting av begreper viser hvor viktig det er for økonomer å kunne bygge grafer og analysere kurvelikninger, som er rette linjer og andreordenskurver - sirkel, ellipse, hyperbel, parabel. I tillegg, når du løser en stor klasse med problemer, er det nødvendig å velge et område på planet avgrenset av noen kurver hvis ligninger er gitt. Oftest er disse problemene formulert som følger: finn den beste produksjonsplanen for gitte ressurser. Tildelingen av ressurser tar vanligvis form av ulikheter, hvis likninger er gitt. Derfor må vi se etter de største eller minste verdiene tatt av en viss funksjon i området spesifisert av likningene til ulikhetssystemet.

I analytisk geometri linje på et fly er definert som settet med punkter hvis koordinater tilfredsstiller ligningen F(x,y)=0. I dette tilfellet må det pålegges begrensninger på funksjonen F slik at denne ligningen på den ene siden har et uendelig sett med løsninger og på den andre siden slik at dette settet med løsninger ikke fyller en "bit av planet" ." En viktig klasse av linjer er de der funksjonen F(x,y) er et polynom i to variabler, i hvilket tilfelle linjen definert av ligningen F(x,y)=0 kalles algebraisk. Algebraiske linjer definert av en ligning av første grad er rette linjer. En ligning av andre grad, som har et uendelig antall løsninger, definerer en ellipse, hyperbel, parabel eller linje som deler seg i to rette linjer.

La et rektangulært kartesisk koordinatsystem spesifiseres på planet. En rett linje på et plan kan spesifiseres med en av ligningene:

1 0 . Generell ligning for en linje

Axe + By + C = 0. (2.1)

Vektor n(A,B) er ortogonalt på linjen, tallene A og B er ikke lik null på samme tid.

2 0 . Ligning av en rett linje med helning

y - y o = k (x - x o), (2,2)

hvor k er helningen til linjen, det vil si k = tg a, hvor a - størrelsen på vinkelen som dannes av den rette linjen med Ox-aksen, M (x o, y o) - et punkt som tilhører den rette linjen.

Ligning (2.2) har formen y = kx + b hvis M (0, b) er skjæringspunktet mellom den rette linjen og Oy-aksen.

3 0 . Ligning av en linje i segmenter

x/a + y/b = 1, (2,3)

hvor a og b er verdiene til segmentene avskåret av den rette linjen på koordinataksene.

4 0 . Ligningen til en linje som går gjennom to gitte punkter er A(x 1, y 1) og B(x 2, y 2):

. (2.4)

5 0 . Ligning av en linje som går gjennom et gitt punkt A(x 1, y 1) parallelt med en gitt vektor en(m, n)

. (2.5)

6 0 . Normal ligning av en linje

rn o - p = 0, (2,6)

Hvor r- radius av et vilkårlig punkt M(x, y) på denne linjen, n o er en enhetsvektor ortogonal til denne linjen og rettet fra origo til linjen; p er avstanden fra origo til den rette linjen.

Normalen i koordinatform har formen:

x cos a + y sin a - p = 0,

hvor en - størrelsen på vinkelen som dannes av den rette linjen med okseaksen.

Ligningen til en blyant av linjer med et senter i punktet A(x 1, y 1) har formen:

y-y 1 = l (x-x 1),

hvor l - stråleparameter. Hvis strålen er definert av to kryssende rette linjer A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, så har ligningen formen:

l (A 1 x + B 1 y + C 1) + m (A 2 x + B 2 y + C 2)=0,

hvor l og m - stråleparametere som ikke går til 0 samtidig.

Vinkelen mellom linjene y = kx + b og y = k 1 x + b 1 er gitt av formelen:

tg j =.

Likheten 1 + k 1 k = 0 er en nødvendig og tilstrekkelig betingelse for vinkelrett på linjer.

For de to ligningene

A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, (2,7)

A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, (2,8)

gitt den samme rette linjen, er det nødvendig og tilstrekkelig at koeffisientene deres er proporsjonale:

A 1 /A 2 = B 1 / B 2 = C 1 / C 2.

Ligninger (2.7), (2.8) definerer to forskjellige parallelle linjer hvis A 1 /A 2 = B 1 /B 2 og B 1 /B 2¹ Cl/C2; linjer krysser hverandre hvis A 1 /A 2¹ B 1 / B 2 .

Avstanden d fra punktet M o (x o, y o) til den rette linjen er lengden på vinkelrett tegnet fra punktet Mo til den rette linjen. Hvis en rett linje er gitt av en normalligning, så er d =ê r O n o - r ê , Hvor r o - radiusvektor for punktet Mo eller, i koordinatform, d =ê x o cos a + y o sin a - р ê .

Den generelle ligningen for en andreordenskurve har formen

a 11 x 2 + 2a 12 xy + a 22 y 2 + 2a 1 x +2a 2 y +a = 0.

Det antas at blant koeffisientene til ligningen a 11, a 12, a 22 er det ikke-null enere.

Ligning av en sirkel med sentrum i punktet C(a, b) og radius lik R:

(x-a)2+ (y-b)2 = R2. (2,9)

Ellipseer det geometriske stedet for punkter hvis sum av avstander fra to gitte punkter F 1 og F 2 (foci) er en konstant verdi lik 2a.

Kanonisk (enkleste) ligning av en ellipse

x 2 /a 2 + y 2 /a 2 = 1. (2.10)

Ellipsen gitt av ligning (2.10) er symmetrisk i forhold til koordinataksene. Alternativer en Og b kalles akselaksler ellipse.

La a>b, så er brennpunktene F 1 og F 2 på okseaksen på avstand
c= fra origo. Forhold c/a = e < 1 называется eksentrisitet ellipse. Avstandene fra punktet M(x, y) til ellipsen til dens foci (fokalradiusvektorer) bestemmes av formlene:

r 1 = a - e x, r 2 = a + e x.

Hvis en< b, то фокусы находятся на оси Оy, c= , e = c/b,
r 1 = b + e x, r 2 = b - e x.

Hvis a = b, så er ellipsen en sirkel sentrert ved opprinnelsen til radiusen en.

Hyperboleer stedet for punkter hvis forskjell i avstand fra to gitte punkter F 1 og F 2 (foci) er lik i absolutt verdi med det gitte tallet 2a.

Kanonisk hyperbelligning

x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. (2.11)

Hyperbelen gitt av ligning (2.11) er symmetrisk om koordinataksene. Den skjærer Ox-aksen i punktene A (a,0) og A (-a,0) - toppunktene til hyperbelen og skjærer ikke Oy-aksen. Parameter en ringte ekte halvakse, b -imaginær halvakse. Parameteren c= er avstanden fra fokus til origo. Forhold c/a = e >1 kalles eksentrisitet hyperbole. Linjer hvis ligninger er y =± b/a x kalles asymptoter hyperbole. Avstandene fra punktet M(x,y) til hyperbelen til dens foci (fokalradiusvektorer) bestemmes av formlene:

r 1 = ê e x - a ê , r 2 = ê e x + a ê .

En hyperbel som a = b kalles for likesidet, dens likning x 2 - y 2 = a 2, og likningen av asymptoter y =± x. Hyperbler x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1 og
y 2 /b 2 - x 2 /a 2 = 1 kalles konjugert.

Parabeler lokuset til punkter like langt fra et gitt punkt (fokus) og en gitt linje (retningslinje).

Den kanoniske ligningen til en parabel har to former:

1) y 2 = 2рx - parablen er symmetrisk om okseaksen.

2) x 2 = 2рy - parablen er symmetrisk om Oy-aksen.

I begge tilfeller er p>0 og toppunktet til parabelen, det vil si punktet som ligger på symmetriaksen, plassert ved origo.

En parabel hvis ligning y 2 = 2рx har et fokus F(р/2,0) og en retningslinje x = - р/2, brennradiusvektoren til punktet M(x,y) på den er r = x+ р/ 2.

En parabel hvis likning x 2 =2рy har fokus F(0, р/2) og retningslinje y = - р/2; fokalradiusvektoren til punktet M(x,y) til parablen er lik r = y + p/2.

Ligningen F(x, y) = 0 definerer en linje som deler planet i to eller flere deler. I noen av disse delene er ulikheten F(x, y) tilfredsstilt<0, а в других - неравенство F(x, y)>0. Med andre ord, linjen
F(x, y)=0 skiller delen av planet, der F(x, y)>0, fra delen av planet, der F(x, y)<0.

En rett linje hvis ligning er Ax+By+C = 0 deler planet i to halvplan. I praksis for å finne ut i hvilket halvplan vi har Ax+By+C<0, а в какой Ax+By+C>0, brukes sjekkpunktmetoden. For å gjøre dette, ta et kontrollpunkt (selvfølgelig ikke liggende på en rett linje hvis ligning er Ax+By+C = 0) og sjekk hvilket fortegn uttrykket Ax+By+C har på dette punktet. Det samme tegnet har det indikerte uttrykket gjennom hele halvplanet der kontrollpunktet ligger. I det andre halvplanet har Ax+By+C motsatt fortegn.

Ikke-lineære ulikheter med to ukjente løses på samme måte.

La oss for eksempel løse ulikheten x 2 -4x+y 2 +6y-12 > 0. Den kan skrives om til (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 > 0.

Ligningen (x-2) 2 + (y+3) 2 - 25 = 0 definerer en sirkel med sentrum i punktet C(2,-3) og en radius på 5. Sirkelen deler planet i to deler - internt og eksterne. For å finne ut hvilken av dem denne ulikheten har, ta et kontrollpunkt i det indre området, for eksempel sentrum C(2,-3) i sirkelen vår. Setter vi inn koordinatene til punkt C i venstre side av ulikheten, får vi et negativt tall -25. Dette betyr at på alle punkter som ligger innenfor sirkelen ulikheten
x 2 -4x+y 2 +6y-12< 0. Отсюда следует, что данное неравенство имеет место во внешней для окружности области.

Eksempel 1.5.Skriv ned likninger av linjer som går gjennom punkt A(3,1) og skråner til linjen 2x+3y-1 = 0 i en vinkel på 45 o.

Løsning.Vi vil søke på formen y=kx+b. Siden linjen går gjennom punkt A, tilfredsstiller dens koordinater likningen til linjen, dvs. 1=3k+b,Þ b=1-3k. Størrelsen på vinkelen mellom rette linjer
y= k 1 x+b 1 og y= kx+b bestemmes av formelen tg j = . Siden vinkelkoeffisienten k 1 til den opprinnelige rette linjen 2x+3y-1=0 er lik - 2/3, og vinkelen j = 45 o, så har vi en ligning for å bestemme k:

(2/3 + k)/(1 - 2/3k) = 1 eller (2/3 + k)/(1 - 2/3k) = -1.

Vi har to verdier av k: k 1 = 1/5, k 2 = -5. Ved å finne de tilsvarende verdiene til b ved å bruke formelen b=1-3k, får vi de to ønskede rette linjene, hvis likninger er: x - 5y + 2 = 0 og
5x + y - 16 = 0.

Eksempel 1.6. Ved hvilken parameterverdi t er linjene hvis likninger 3tx-8y+1 = 0 og (1+t)x-2ty = 0 parallelle?

Løsning.Linjer definert av generelle ligninger er parallelle hvis koeffisientene til x Og y er proporsjonale, dvs. 3t/(1+t) = -8/(-2t). Løser vi den resulterende ligningen, finner vi t: t 1 = 2, t 2 = -2/3.

Eksempel 1.7. Finn ligningen for fellesakkorden til to sirkler:
x2+y2=10 og x2+y2 -10x-10y+30=0.

Løsning.La oss finne skjæringspunktene til sirklene for å gjøre dette, løse likningssystemet:

.

Ved å løse den første ligningen finner vi verdiene x 1 = 3, x 2 = 1. Fra den andre ligningen - de tilsvarende verdiene y: y 1 = 1, y 2 = 3. Nå får vi ligningen for den generelle akkorden, og kjenner to punkter A(3,1) og B(1,3) som tilhører denne linjen: (y-1)/(3) -1) = (x-3)/(1-3), eller y+ x - 4 = 0.

Eksempel 1.8. Hvordan er punkter plassert på planet hvis koordinater tilfredsstiller betingelsene (x-3) 2 + (y-3) 2< 8, x >y?

Løsning.Den første ulikheten i systemet bestemmer det indre av sirkelen, ikke inkludert grensen, dvs. sirkel med sentrum i punktet (3,3) og radius . Den andre ulikheten definerer et halvplan definert av en linje hvis ligning er x = y, og siden ulikheten er streng, tilhører ikke selve linjens punkter halvplanet, og alle punktene under denne linjen tilhører halvplanet. Siden vi ser etter punkter som tilfredsstiller begge ulikhetene, er området vi ser etter det indre av halvsirkelen.

Eksempel 1.9.Regn ut sidelengden til et kvadrat innskrevet i en ellipse hvis ligning er x 2 /a 2 + y 2 /b 2 = 1.

Løsning.La M(er, s)- torgets toppunkt som ligger i første kvartal. Da vil siden av kvadratet være lik 2 Med. Fordi prikk M tilhører ellipsen, dens koordinater tilfredsstiller ellipselikningen c 2 /a 2 + c 2 /b 2 = 1, hvorav
c = ab/; Dette betyr at siden av firkanten er 2ab/.

Eksempel 1.10.Kjenne til ligningen for asymptoter til hyperbelen y =± 0,5 x og ett av punktene M(12, 3), komponerer ligningen til hyperbelen.

Løsning.La oss skrive den kanoniske ligningen til hyperbelen: x 2 /a 2 - y 2 /b 2 = 1. Asymptotene til hyperbelen er gitt av ligningene y =± 0,5 x, som betyr b/a = 1/2, hvorav a=2b. Fordi M er et hyperbelpunkt, tilfredsstiller dets koordinater hyperbelligningen, dvs. 144/a 2 - 27/b 2 = 1. Med tanke på at a = 2b finner vi b: b 2 =9Þ b=3 og a=6. Da er ligningen til hyperbelen x 2 /36 - y 2 /9 = 1.

Eksempel 1.11.Regn ut sidelengden til en vanlig trekant ABC innskrevet i en parabel med parameteren r, forutsatt at punkt A sammenfaller med toppunktet til parablen.

Løsning.Kanonisk ligning av en parabel med parameter r har formen y 2 = 2рx, dens toppunkt sammenfaller med origo, og parabelen er symmetrisk om abscisseaksen. Siden rett linje AB danner en vinkel på 30 o med Ox-aksen, har ligningen for den rette linjen formen: y = x. et stort antall diagrammer

Derfor kan vi finne koordinatene til punkt B ved å løse likningssystemet y 2 = 2рx, y = x, hvorfra x = 6р, y = 2р. Dette betyr at avstanden mellom punktene A(0,0) og B(6р,2р) er lik 4р.

Linjen som går gjennom punktet K(x 0 ; y 0) og parallelt med linjen y = kx + a er funnet ved formelen:

y - y 0 = k(x - x 0) (1)

Hvor k er helningen til linjen.

Alternativ formel:
En linje som går gjennom punktet M 1 (x 1 ; y 1) og parallelt med linjen Ax+By+C=0 er representert ved ligningen

A(x-x 1)+B(y-y 1)=0. (2)

Eksempel nr. 1. Skriv en likning for en rett linje som går gjennom punktet M 0 (-2,1) og samtidig:
a) parallelt med den rette linjen 2x+3y -7 = 0;
b) vinkelrett på en rett linje 2x+3y -7 = 0.
Løsning . La oss forestille oss likningen med helningen på formen y = kx + a. For å gjøre dette, flytt alle verdier unntatt y til høyre side: 3y = -2x + 7 . Del deretter høyre side med en faktor på 3. Vi får: y = -2/3x + 7/3
La oss finne ligningen NK som går gjennom punktet K(-2;1), parallelt med den rette linjen y = -2 / 3 x + 7 / 3
Ved å erstatte x 0 = -2, k = -2 / 3, y 0 = 1 får vi:
y-1 = -2 / 3 (x-(-2))
eller
y = -2 / 3 x - 1 / 3 eller 3y + 2x +1 = 0

Eksempel nr. 2. Skriv likningen til en linje parallelt med linjen 2x + 5y = 0 og lag sammen med koordinataksene en trekant med arealet 5.
Løsning . Siden linjene er parallelle, er ligningen til den ønskede linjen 2x + 5y + C = 0. Arealet av en rettvinklet trekant, hvor a og b er dens ben. La oss finne skjæringspunktene til den ønskede linjen med koordinataksene:
;
.
Altså A(-C/2,0), B(0,-C/5). La oss erstatte det med formelen for areal: . Vi får to løsninger: 2x + 5y + 10 = 0 og 2x + 5y – 10 = 0.

Eksempel nr. 3. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2; 5) og parallelt med linjen 5x-7y-4=0.
Løsning. Denne rette linjen kan representeres av ligningen y = 5 / 7 x – 4 / 7 (her a = 5 / 7). Ligningen til ønsket linje er y – 5 = 5 / 7 (x – (-2)), dvs. 7(y-5)=5(x+2) eller 5x-7y+45=0 .

Eksempel nr. 4. Etter å ha løst eksempel 3 (A=5, B=-7) ved hjelp av formel (2), finner vi 5(x+2)-7(y-5)=0.

Eksempel nr. 5. Skriv en ligning for en linje som går gjennom punktet (-2;5) og parallelt med linjen 7x+10=0.
Løsning. Her er A=7, B=0. Formel (2) gir 7(x+2)=0, dvs. x+2=0. Formel (1) er ikke anvendelig, siden denne ligningen ikke kan løses med hensyn til y (denne rette linjen er parallell med ordinataksen).