Ligninger med parentes. Lineære ligninger

• En likhet med en variabel kalles en ligning.
• Å løse en ligning betyr å finne dens mange røtter. En ligning kan ha én, to, flere, mange røtter eller ingen i det hele tatt.
• Hver verdi av en variabel der en gitt ligning blir til en sann likhet kalles en rot av ligningen.
• Ligninger som har samme røtter kalles ekvivalente ligninger.
• Ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, mens man endrer begrepets fortegn til det motsatte.
• Hvis begge sider av en likning multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en likning som tilsvarer den gitte likningen.

Eksempler. Løs ligningen.

1. 1,5x+4 = 0,3x-2.

1,5x-0,3x = -2-4. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt:

1,2x = -6. Brakt lignende vilkår etter regelen:

x = -6 : 1.2. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden

x = -5. Delt etter regelen for å dele en desimalbrøk med desimal:

For å dele et tall med en desimalbrøk, må du flytte kommaene i dividenden og divisoren like mange sifre til høyre som det er etter desimaltegnet i divisoren, og deretter dele med det naturlige tallet:

6 : 1,2 = 60 : 12 = 5.

Svare: 5.

2. 3∙ (2x-9) = 4 ∙ (x-4).

6x-27 = 4x-16. Vi åpnet parentesene ved å bruke den distributive loven om multiplikasjon i forhold til subtraksjon: (a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

6x-4x = -16+27. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

2x = 11. Lignende termer ble gitt i henhold til regelen: for å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med deres felles bokstavdel (dvs. legge til deres felles bokstavdel til resultatet som oppnås).

x = 11 : 2. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte ligningen.

Svare: 5,5.

3. 7x- (3+2x)=x-9.

7x-3-2x = x-9. Vi åpnet parentesene i henhold til regelen for åpning av parentes med et "-"-tegn foran: hvis det er et "-"-tegn foran parentesene, fjern deretter parentesene, "-"-tegnet og skriv termene i parentesene med motsatte fortegn.

7x-2x-x = -9+3. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

4x = -6. Lignende vilkår ble gitt i henhold til regelen: for å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med deres felles bokstavdel (dvs. legge til deres felles bokstavdel til resultatet som oppnås).

x = -6 : 4. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte ligningen.

Svare: -1,5.

3 ∙ (x-5) = 7 ∙ 12 — 4 ∙ (2x-11). Multipliser begge sider av ligningen med 12 - den minste fellesnevner for nevnerne til disse brøkene.

3x-15 = 84-8x+44. Vi åpnet parentesene ved å bruke den distributive loven om multiplikasjon i forhold til subtraksjon: For å multiplisere forskjellen mellom to tall med et tredje tall, kan du multiplisere minuend og subtrahend separat med det tredje tallet, og deretter trekke det andre resultatet fra det første resultatet, dvs.(a-b) ∙ c = a ∙ c-b ∙ c.

3x+8x = 84+44+15. Vi samlet termene som inneholder variabelen på venstre side av likheten, og de frie termene på høyre side av likheten. I dette tilfellet ble følgende egenskap brukt: ethvert ledd i ligningen kan overføres fra en del av likheten til en annen, og dermed endre fortegnet på begrepet til det motsatte.

11x = 143. Lignende termer ble gitt i henhold til regelen: for å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene deres og multiplisere resultatet med deres felles bokstavdel (dvs. legge til deres felles bokstavdel til resultatet som oppnås).

x = 143 : 11. Begge sider av likheten ble delt med koeffisienten til variabelen, siden Hvis begge sider av ligningen multipliseres eller divideres med samme tall som ikke er null, får du en ligning tilsvarende den gitte ligningen.

Svare: 13.

5. Løs ligningene selv:

EN) 3-2,6x = 5x+1,48;

b) 1,6 · (x+5) = 4 · (4,5-0,6x);

V) 9x- (6x+2,5) = - (x-5,5);

5a) 0,2; 5b) 2,5; 5c) 2; 5d) -1.

Side 1 av 1 1

Den delen av ligningen er uttrykket i parentes. For å åpne parenteser, se på skiltet foran parentesen. Hvis det er et plusstegn, vil ikke åpning av parentesen i uttrykket endre noe: bare fjern parentesene. Hvis det er et minustegn, når du åpner parentesene, må du endre alle skiltene som opprinnelig var i parentesene til de motsatte. For eksempel, -(2x-3)=-2x+3.

Multiplisere to parenteser.
Hvis ligningen inneholder produktet av to parenteser, utvider parentesene i henhold til standardregelen. Hvert ledd i den første parentesen multipliseres med hvert ledd i den andre parentesen. De resulterende tallene summeres. I dette tilfellet gir produktet av to "pluss" eller to "minuser" begrepet et "pluss"-tegn, og hvis faktorene har forskjellige tegn, får deretter et minustegn.
La oss vurdere.
(5x+1)(3x-4)=5x*3x-5x*4+1*3x-1*4=15x^2-20x+3x-4=15x^2-17x-4.

Ved å åpne parenteser, noen ganger heve et uttrykk til . Formlene for kvadrering og terninger må være kjent utenat og husket.
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2
(a-b)^2=a^2-2ab+b^2
(a+b)^3=a^3+3a^2*b+3ab^2+b^3
(a-b)^3=a^3-3a^2*b+3ab^2-b^3
Formler for å konstruere et uttrykk større enn tre kan gjøres ved å bruke Pascals trekant.

Kilder:

• formel for utvidelse av parenteser

Matematiske operasjoner i parentes kan inneholde variabler og uttrykk varierende grad kompleksitet. For å multiplisere slike uttrykk, må du lete etter en løsning i generelt syn, åpne parentesene og forenkle resultatet. Hvis parentesene inneholder operasjoner uten variabler, bare med numeriske verdier, er det ikke nødvendig å åpne parentesene, siden hvis du har en datamaskin, har brukeren tilgang til svært betydelige dataressurser - det er lettere å bruke dem enn å forenkle uttrykket.

Instruksjoner

Multipliser sekvensielt hver (eller minuend med ) i én parentes med innholdet i alle andre parenteser hvis du ønsker å få resultatet i generell form. La for eksempel det opprinnelige uttrykket skrives slik: (5+x)∗(6-x)∗(x+2). Deretter vil sekvensiell multiplikasjon (det vil si å åpne parentesene) gi følgende resultat: (5+x)∗(6-x)∗(x+2) = (5∗6-5∗x)∗(5∗x+ 5∗2) + (6∗x-x∗x)∗(x∗x+2∗x) = (5∗6∗5∗x+5∗6∗5∗2) - (5∗x∗5∗x+ 5∗ x∗5∗2) + (6∗x∗x∗x+6∗x∗2∗x) - (x∗x∗x∗x+x∗x∗2∗x) = 5∗6∗5 ∗x + 5∗6∗5∗2 - 5∗x∗5∗x - 5∗x∗5∗2 + 6∗x∗x∗x + 6∗x∗2∗x - x∗x∗x∗x - x ∗x∗2∗x = 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³.

Forenkle resultatet ved å forkorte uttrykkene. For eksempel kan uttrykket oppnådd i forrige trinn forenkles som følger: 150∗x + 300 - 25∗x² - 50∗x + 6∗x³ + 12∗x² - x∗x³ - 2∗x³ = 100∗x + 300 - 13∗ x² - 8∗x³ - x∗x³.

Bruk en kalkulator hvis du trenger å multiplisere x er lik 4,75, det vil si (5+4,75)∗(6-4,75)∗(4,75+2). For å beregne denne verdien, gå til Google eller Nigmas søkemotornettsted og skriv inn uttrykket i søkefeltet i sin opprinnelige form (5+4.75)*(6-4.75)*(4.75+2). Google vil vise 82.265625 umiddelbart, uten å klikke på en knapp, men Nigma må sende data til serveren med et klikk på en knapp.

Lineære ligninger. Løsning, eksempler.

Oppmerksomhet!
Det er flere
materialer i spesialseksjon 555.
For de som er veldig "ikke veldig..."
Og for de som "veldig mye...")

Lineære ligninger.

Lineære ligninger- ikke den beste komplekst tema skolens matematikk. Men det er noen triks der som kan pusle selv en utdannet student. La oss finne ut av det?)

Vanligvis er en lineær ligning definert som en ligning av formen:

øks + b = 0 Hvor a og b– alle tall.

2x + 7 = 0. Her a=2, b=7

0,1x - 2,3 = 0 Her a=0,1, b=-2,3

12x + 1/2 = 0 Her a=12, b=1/2

Ikke noe komplisert, ikke sant? Spesielt hvis du ikke legger merke til ordene: "der a og b er alle tall"... Og hvis du legger merke til og uforsiktig tenker på det?) Tross alt, hvis a=0, b=0(noen tall er mulig?), så får vi et morsomt uttrykk:

Men det er ikke alt! Hvis, si, a=0, EN b=5, Dette viser seg å være noe helt utenom det vanlige:

Noe som er irriterende og undergraver selvtilliten til matematikk, ja...) Spesielt under eksamen. Men ut av disse merkelige uttrykkene må du også finne X! Som ikke eksisterer i det hele tatt. Og overraskende nok er denne X veldig lett å finne. Vi skal lære å gjøre dette. I denne leksjonen.

Hvordan gjenkjenne en lineær ligning ved utseendet? Det kommer an på hva utseende.) Trikset er at ikke bare formlikninger kalles lineære ligninger øks + b = 0 , men også alle ligninger som kan reduseres til denne formen ved transformasjoner og forenklinger. Og hvem vet om det kommer ned eller ikke?)

En lineær ligning kan tydelig gjenkjennes i noen tilfeller. La oss si, hvis vi har en ligning der det bare er ukjente i første grad og tall. Og i ligningen er det nei brøker delt på ukjent , dette er viktig! Og divisjon etter tall, eller en tallbrøk - det er velkomment! For eksempel:

Dette er en lineær ligning. Det er brøker her, men det er ingen x-er i kvadratet, terningen osv., og ingen x-er i nevnerne, dvs. Ingen divisjon på x. Og her er ligningen

kan ikke kalles lineær. Her er X-ene alle i første grad, men det er det divisjon etter uttrykk med x. Etter forenklinger og transformasjoner kan du få en lineær ligning, en kvadratisk ligning eller hva du vil.

Det viser seg at det er umulig å gjenkjenne den lineære ligningen i et eller annet komplisert eksempel før du nesten løser det. Dette er opprørende. Men i oppgaver spør de som regel ikke om formen på ligningen, ikke sant? Oppgavene ber om likninger avgjøre. Dette gjør meg glad.)

Løse lineære ligninger. Eksempler.

Hele løsningen av lineære ligninger består av identiske transformasjoner av ligningene. Disse transformasjonene (to av dem!) er forresten grunnlaget for løsningene alle matematikkens ligninger. Med andre ord, løsningen noen ligningen begynner med nettopp disse transformasjonene. Når det gjelder lineære ligninger, er den (løsningen) basert på disse transformasjonene og ender med et fullstendig svar. Det er fornuftig å følge lenken, ikke sant?) Dessuten er det også eksempler på å løse lineære ligninger der.

La oss først se på det enkleste eksemplet. Uten noen fallgruver. Anta at vi må løse denne ligningen.

x - 3 = 2 - 4x

Dette er en lineær ligning. X-ene er alle i første potens, det er ingen divisjon med X-er. Men faktisk spiller det ingen rolle for oss hva slags ligning det er. Vi må løse det. Opplegget her er enkelt. Samle alt med X-er på venstre side av ligningen, alt uten X-er (tall) til høyre.

For å gjøre dette må du overføre - 4x til venstre side, med fortegnsendring, selvfølgelig, og - 3 - til høyre. Dette er forresten den første identiske transformasjonen av ligninger. Overrasket? Dette betyr at du ikke fulgte linken, men forgjeves...) Vi får:

x + 4x = 2 + 3

Her er lignende, vi vurderer:

Hva trenger vi til fullstendig lykke? Ja, slik at det er en ren X til venstre! Fem er i veien. Bli kvitt de fem med hjelp den andre identiske transformasjonen av ligninger. Vi deler nemlig begge sider av ligningen med 5. Vi får et klart svar:

Et elementært eksempel, selvfølgelig. Dette er for oppvarming.) Det er ikke veldig klart hvorfor jeg husket identiske transformasjoner her? OK. La oss ta oksen ved hornene.) La oss bestemme noe mer solid.

For eksempel, her er ligningen:

Hvor skal vi begynne? Med X-er - til venstre, uten X-er - til høyre? Det er mulig. I små skritt lang vei. Eller du kan gjøre det med en gang, på en universell og kraftig måte. Hvis du selvfølgelig har identiske transformasjoner av ligninger i arsenalet ditt.

Jeg spør deg nøkkelspørsmål: Hva misliker du mest med denne ligningen?

95 av 100 personer vil svare: brøker ! Svaret er riktig. Så la oss bli kvitt dem. Derfor starter vi umiddelbart med andre identitetstransformasjon. Hva trenger du for å gange brøken til venstre med slik at nevneren blir fullstendig redusert? Det stemmer, på 3. Og til høyre? Med 4. Men matematikken lar oss multiplisere begge sider med samme nummer. Hvordan kan vi komme oss ut? La oss multiplisere begge sider med 12! De. til en fellesnevner. Da blir både de tre og de fire redusert. Ikke glem at du må multiplisere hver del fullstendig. Slik ser det første trinnet ut:

Utvide parentesene:

Vær oppmerksom! Teller (x+2) Jeg setter den i parentes! Dette er fordi når du multipliserer brøker, multipliseres hele telleren! Nå kan du redusere brøker:

Utvid de resterende parentesene:

Ikke et eksempel, men ren nytelse!) La oss nå huske trolldommen fra juniorklasser: med X - til venstre, uten X - til høyre! Og bruk denne transformasjonen:

Her er noen lignende:

Og del begge deler med 25, dvs. bruk den andre transformasjonen igjen:

Det er det. Svare: X=0,16

Vennligst merk: for å bringe den originale forvirrende ligningen til en fin form, brukte vi to (bare to!) identitetstransformasjoner– oversettelse venstre-høyre med endring av fortegn og multiplikasjon-divisjon av en ligning med samme tall. Dette universell metode! Vi skal jobbe på denne måten med noen ligninger! Absolutt hvem som helst. Det er derfor jeg kjedelig gjentar disse identiske transformasjonene hele tiden.)

Som du kan se, er prinsippet for å løse lineære ligninger enkelt. Vi tar ligningen og forenkler den med identitetstransformasjoner før du får svar. Hovedproblemene her ligger i beregningene, ikke i løsningsprinsippet.

Men... Det er slike overraskelser i prosessen med å løse de mest elementære lineære ligningene at de kan drive deg inn i en sterk stupor...) Heldigvis kan det bare være to slike overraskelser. La oss kalle dem spesielle tilfeller.

Spesielle tilfeller ved løsning av lineære ligninger.

Første overraskelse.

La oss si at du har det den mest elementære ligningen, noe sånt som:

2x+3=5x+5 - 3x - 2

Litt kjedelige flytter vi den med X til venstre, uten X - til høyre... Med fortegnsskifte er alt perfekt... Vi får:

2x-5x+3x=5-2-3

Vi teller, og... ops!!! Vi får:

Denne likestillingen i seg selv er ikke kritikkverdig. Null er virkelig null. Men X mangler! Og vi må skrive ned i svaret, hva er x lik? Ellers teller ikke løsningen, ikke sant...) Deadlock?

Rolig! I slike tvilsomme tilfeller, mest generelle regler. Hvordan løse likninger? Hva vil det si å løse en ligning? Dette betyr, finn alle verdiene av x som, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss den riktige likheten.

Men vi har ekte likhet allerede det fungerte! 0=0, hvor mye mer nøyaktig?! Det gjenstår å finne ut ved hvilke x-er dette skjer. Hvilke verdier av X kan erstattes med opprinnelig ligning hvis disse x-ene vil de fortsatt reduseres til null? Kom igjen?)

Ja!!! X-er kan erstattes noen! Hvilke vil du ha? Minst 5, minst 0,05, minst -220. De vil fortsatt krympe. Hvis du ikke tror meg, kan du sjekke det.) Bytt inn alle verdier av X opprinnelig ligning og beregne. Hele tiden vil du få den rene sannheten: 0=0, 2=2, -7,1=-7,1 og så videre.

Her er svaret ditt: x - et hvilket som helst tall.

Svaret kan skrives i forskjellige matematiske symboler, essensen endres ikke. Dette er et helt riktig og fullstendig svar.

Andre overraskelse.

La oss ta den samme elementære lineære ligningen og endre bare ett tall i den. Dette er hva vi skal bestemme:

2x+1=5x+5 - 3x - 2

Etter de samme identiske transformasjonene får vi noe spennende:

Som dette. Vi løste en lineær ligning og fikk en merkelig likhet. Snakker matematisk språk, vi fikk falsk likestilling. Og snakker på enkelt språk, dette er ikke sant. Rave. Men likevel er dette tullet en veldig god grunn til riktig avgjørelse ligninger.)

Igjen tenker vi ut fra generelle regler. Hva x-er, når de erstattes med den opprinnelige ligningen, vil gi oss ekte likestilling? Ja, ingen! Det finnes ingen slike X-er. Uansett hva du legger inn, vil alt reduseres, bare tull blir igjen.)

Her er svaret ditt: det finnes ingen løsninger.

Dette er også et helt komplett svar. I matematikk finner man ofte slike svar.

Som dette. Nå håper jeg at forsvinningen av X-er i ferd med å løse en hvilken som helst (ikke bare lineær) ligning ikke vil forvirre deg i det hele tatt. Dette er allerede en kjent sak.)

Nå som vi har behandlet alle fallgruvene i lineære ligninger, er det fornuftig å løse dem.

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. La oss lære - med interesse!)

Du kan bli kjent med funksjoner og derivater.

I denne videoen vil vi analysere et helt sett med lineære ligninger som er løst ved hjelp av samme algoritme - det er derfor de kalles de enkleste.

Først, la oss definere: hva er en lineær ligning og hvilken kalles den enkleste?

En lineær ligning er en der det bare er én variabel, og bare i første grad.

Den enkleste ligningen betyr konstruksjonen:

Alle andre lineære ligninger reduseres til den enkleste ved å bruke algoritmen:

1. Utvid parenteser, hvis noen;
2. Flytt termer som inneholder en variabel til den ene siden av likhetstegnet, og termer uten variabel til den andre;
3. Gi lignende termer til venstre og høyre for likhetstegnet;
4. Del den resulterende ligningen med koeffisienten til variabelen $x$.

Selvfølgelig hjelper ikke denne algoritmen alltid. Faktum er at noen ganger etter alle disse manipulasjonene, viser koeffisienten til variabelen $x$ seg å være lik null. I dette tilfellet er to alternativer mulig:

1. Ligningen har ingen løsninger i det hele tatt. For eksempel, når noe som $0\cdot x=8$ viser seg, dvs. til venstre er null, og til høyre er et annet tall enn null. I videoen nedenfor skal vi se på flere årsaker til at denne situasjonen er mulig.
2. Løsningen er alle tall. Det eneste tilfellet når dette er mulig er når ligningen er redusert til konstruksjonen $0\cdot x=0$. Det er ganske logisk at uansett hvilken $x$ vi erstatter, vil det fortsatt vise seg "null er lik null", dvs. riktig numerisk likhet.

La oss nå se hvordan alt dette fungerer ved å bruke eksempler fra det virkelige liv.

Eksempler på løsning av ligninger

I dag har vi å gjøre med lineære ligninger, og bare de enkleste. Generelt betyr en lineær ligning enhver likhet som inneholder nøyaktig én variabel, og den går bare til første grad.

Slike konstruksjoner løses på omtrent samme måte:

1. Først av alt må du åpne parentesene, hvis noen (som i vår siste eksempel);
2. Kombiner deretter lignende
3. Til slutt isolerer du variabelen, dvs. flytte alt som er knyttet til variabelen – termene den er inneholdt i – til den ene siden, og flytt alt som er uten den til den andre siden.

Deretter må du som regel ta med lignende på hver side av den resulterende likheten, og etter det gjenstår det bare å dele med koeffisienten til "x", så får vi det endelige svaret.

I teorien ser dette pent og enkelt ut, men i praksis kan selv erfarne videregående elever gjøre støtende feil i ganske enkle lineære ligninger. Vanligvis gjøres feil enten når du åpner parenteser eller når du beregner "plussene" og "minusene."

I tillegg hender det at en lineær ligning ikke har noen løsninger i det hele tatt, eller at løsningen er hele tallinjen, dvs. hvilket som helst tall. Vi skal se på disse finessene i dagens leksjon. Men vi starter, som du allerede har forstått, med selve enkle oppgaver.

Opplegg for å løse enkle lineære ligninger

Først, la meg igjen skrive hele skjemaet for å løse de enkleste lineære ligningene:

1. Utvid parentesene, hvis noen.
2. Vi isolerer variablene, dvs. Vi flytter alt som inneholder "X" til den ene siden, og alt uten "X" til den andre.
3. Vi presenterer lignende termer.
4. Vi deler alt med koeffisienten til "x".

Selvfølgelig fungerer ikke dette opplegget alltid det er visse finesser og triks i det, og nå skal vi bli kjent med dem.

Løse virkelige eksempler på enkle lineære ligninger

Oppgave nr. 1

Det første trinnet krever at vi åpner brakettene. Men de er ikke i dette eksemplet, så vi hopper over dem dette stadiet. I det andre trinnet må vi isolere variablene. Vennligst merk: vi snakker om bare om individuelle vilkår. La oss skrive det ned:

Vi presenterer lignende termer til venstre og høyre, men dette er allerede gjort her. Derfor går vi videre til det fjerde trinnet: del med koeffisienten:

\[\frac(6x)(6)=-\frac(72)(6)\]

Så vi fikk svaret.

Oppgave nr. 2

Vi kan se parentesene i denne oppgaven, så la oss utvide dem:

Både til venstre og til høyre ser vi omtrent samme design, men la oss handle etter algoritmen, dvs. skille variablene:

Her er noen lignende:

Ved hvilke røtter fungerer dette? Svar: for enhver. Derfor kan vi skrive at $x$ er et hvilket som helst tall.

Oppgave nr. 3

Den tredje lineære ligningen er mer interessant:

\[\left(6-x \right)+\left(12+x \right)-\left(3-2x \right)=15\]

Det er flere parenteser, men de multipliseres ikke med noe, de er rett og slett innledet med ulike tegn. La oss bryte dem ned:

Vi utfører det andre trinnet som allerede er kjent for oss:

\[-x+x+2x=15-6-12+3\]

La oss regne:

Vi utfører det siste trinnet - del alt med koeffisienten til "x":

\[\frac(2x)(x)=\frac(0)(2)\]

Ting å huske på når du løser lineære ligninger

Hvis vi ignorerer for enkle oppgaver, vil jeg gjerne si følgende:

• Som jeg sa ovenfor, har ikke alle lineære ligninger en løsning - noen ganger er det rett og slett ingen røtter;
• Selv om det er røtter, kan det være null blant dem - det er ikke noe galt med det.

Null er det samme tallet som de andre; du bør ikke diskriminere det på noen måte eller anta at hvis du får null, så har du gjort noe galt.

En annen funksjon er relatert til åpningen av braketter. Vennligst merk: når det er et "minus" foran dem, fjerner vi det, men i parentes endrer vi tegnene til motsatt. Og så kan vi åpne den ved hjelp av standardalgoritmer: vi får det vi så i beregningene ovenfor.

Forstår dette enkelt faktum vil tillate deg å unngå å gjøre dumme og støtende feil på videregående, når slike handlinger tas for gitt.

Løse komplekse lineære ligninger

La oss gå videre til mer komplekse ligninger. Nå vil konstruksjonene bli mer komplekse og når man utfører ulike transformasjoner vil en kvadratisk funksjon vises. Vi bør imidlertid ikke være redde for dette, for hvis vi i henhold til forfatterens plan løser en lineær ligning, vil alle monomialer som inneholder en kvadratisk funksjon nødvendigvis avbryte under transformasjonsprosessen.

Eksempel nr. 1

Det første trinnet er selvsagt å åpne brakettene. La oss gjøre dette veldig nøye:

La oss nå ta en titt på personvern:

\[-x+6((x)^(2))-6((x)^(2))+x=-12\]

Her er noen lignende:

Det er åpenbart at gitt ligning Det finnes ingen løsninger, så vi skriver dette i svaret:

\[\varnothing\]

eller det er ingen røtter.

Eksempel nr. 2

Vi utfører de samme handlingene. Første trinn:

La oss flytte alt med en variabel til venstre, og uten den - til høyre:

Her er noen lignende:

Denne lineære ligningen har åpenbart ingen løsning, så vi skriver den på denne måten:

\[\varnothing\],

eller det er ingen røtter.

Nyanser av løsningen

Begge ligningene er fullstendig løst. Ved å bruke disse to uttrykkene som eksempel, ble vi nok en gang overbevist om at selv i de enkleste lineære ligningene, kan ikke alt være så enkelt: det kan være enten én, eller ingen, eller uendelig mange røtter. I vårt tilfelle vurderte vi to ligninger, begge har rett og slett ingen røtter.

Men jeg vil gjerne trekke oppmerksomheten din til et annet faktum: hvordan du jobber med parenteser og hvordan du åpner dem hvis det er et minustegn foran dem. Tenk på dette uttrykket:

Før du åpner, må du multiplisere alt med "X". Vennligst merk: multipliserer hvert enkelt semester. Inne er det to ledd - henholdsvis to ledd og multiplisert.

Og først etter at disse tilsynelatende elementære, men veldig viktige og farlige transformasjonene er fullført, kan du åpne braketten fra synspunktet om at det er et minustegn etter den. Ja, ja: først nå, når transformasjonene er fullført, husker vi at det er et minustegn foran parentesene, som betyr at alt under rett og slett skifter fortegn. Samtidig forsvinner selve brakettene, og viktigst av alt forsvinner også den fremre "minusen".

Vi gjør det samme med den andre ligningen:

Det er ikke tilfeldig at jeg legger merke til disse små, tilsynelatende ubetydelige fakta. Fordi å løse ligninger er alltid en sekvens elementære transformasjoner, hvor manglende evne til å klart og kompetent utføre enkle trinn fører til at elever på videregående kommer til meg og igjen lærer å løse slike enkle ligninger.

Selvfølgelig vil dagen komme da du vil finpusse disse ferdighetene til det punktet av automatikk. Du trenger ikke lenger å utføre så mange transformasjoner hver gang du vil skrive alt på én linje. Men mens du bare lærer, må du skrive hver handling separat.

Løse enda mer komplekse lineære ligninger

Det vi skal løse nå kan neppe kalles den enkleste oppgaven, men meningen forblir den samme.

Oppgave nr. 1

\[\venstre(7x+1 \høyre)\venstre(3x-1 \høyre)-21((x)^(2))=3\]

La oss multiplisere alle elementene i den første delen:

La oss gjøre litt privatliv:

Her er noen lignende:

La oss fullføre det siste trinnet:

\[\frac(-4x)(4)=\frac(4)(-4)\]

Her er vårt endelige svar. Og til tross for at vi i prosessen med å løse hadde koeffisienter med en kvadratisk funksjon, kansellerte de hverandre, noe som gjør ligningen lineær og ikke kvadratisk.

Oppgave nr. 2

\[\venstre(1-4x \høyre)\venstre(1-3x \høyre)=6x\venstre(2x-1 \høyre)\]

La oss utføre det første trinnet nøye: multipliser hvert element fra den første parentesen med hvert element fra den andre. Det skal være totalt fire nye termer etter transformasjonene:

La oss nå nøye utføre multiplikasjonen i hvert ledd:

La oss flytte termene med "X" til venstre, og de uten - til høyre:

\[-3x-4x+12((x)^(2))-12((x)^(2))+6x=-1\]

Her er lignende termer:

Nok en gang har vi fått det endelige svaret.

Nyanser av løsningen

Den viktigste merknaden om disse to ligningene er følgende: så snart vi begynner å multiplisere parenteser som inneholder mer enn ett ledd, gjøres dette i henhold til følgende regel: vi tar det første leddet fra det første og multipliserer med hvert element fra den andre; så tar vi det andre elementet fra det første og multipliserer på samme måte med hvert element fra det andre. Som et resultat vil vi ha fire perioder.

Om den algebraiske summen

Med dette siste eksempelet vil jeg minne elevene på hva algebraisk sum. I klassisk matematikk mener vi med $1-7$ en enkel konstruksjon: trekk sju fra én. I algebra mener vi følgende med dette: til tallet "én" legger vi til et annet tall, nemlig "minus syv". Slik skiller en algebraisk sum seg fra en vanlig aritmetisk sum.

Så snart du, når du utfører alle transformasjonene, hver addisjon og multiplikasjon, begynner å se konstruksjoner som ligner de som er beskrevet ovenfor, vil du rett og slett ikke ha noen problemer i algebra når du arbeider med polynomer og ligninger.

Til slutt, la oss se på et par flere eksempler som vil være enda mer komplekse enn de vi nettopp så på, og for å løse dem må vi utvide standardalgoritmen vår litt.

Løse ligninger med brøker

For å løse slike oppgaver må vi legge til ett trinn til i algoritmen vår. Men først, la meg minne deg på algoritmen vår:

1. Åpne brakettene.
2. Separate variabler.
3. Ta med lignende.
4. Del på forholdet.

Akk, denne fantastiske algoritmen, til tross for all dens effektivitet, viser seg å ikke være helt passende når vi har brøker foran oss. Og i det vi skal se nedenfor, har vi en brøk til både venstre og høyre i begge ligningene.

Hvordan jobbe i dette tilfellet? Ja, det er veldig enkelt! For å gjøre dette må du legge til ett trinn til i algoritmen, som kan gjøres både før og etter den første handlingen, nemlig å bli kvitt brøker. Så algoritmen vil være som følger:

1. Bli kvitt brøker.
2. Åpne brakettene.
3. Separate variabler.
4. Ta med lignende.
5. Del på forholdet.

Hva betyr det å "bli kvitt brøker"? Og hvorfor kan dette gjøres både etter og før det første standardtrinn? Faktisk, i vårt tilfelle er alle brøker numeriske i sin nevner, dvs. Overalt er nevneren bare et tall. Derfor, hvis vi multipliserer begge sider av ligningen med dette tallet, vil vi bli kvitt brøker.

Eksempel nr. 1

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right))(4)=((x)^(2))-1\]

La oss bli kvitt brøkene i denne ligningen:

\[\frac(\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)\cdot 4)(4)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

Vennligst merk: alt multipliseres med "fire" én gang, dvs. bare fordi du har to parenteser betyr ikke det at du må gange hver med "fire". La oss skrive ned:

\[\left(2x+1 \right)\left(2x-3 \right)=\left(((x)^(2))-1 \right)\cdot 4\]

La oss nå utvide:

Vi utelukker variabelen:

Vi utfører reduksjon av lignende termer:

\[-4x=-1\venstre| :\left(-4 \right) \right.\]

\[\frac(-4x)(-4)=\frac(-1)(-4)\]

Vi fikk endelig avgjørelse, la oss gå videre til den andre ligningen.

Eksempel nr. 2

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right))(5)+((x)^(2))=1\]

Her utfører vi alle de samme handlingene:

\[\frac(\left(1-x \right)\left(1+5x \right)\cdot 5)(5)+((x)^(2))\cdot 5=5\]

\[\frac(4x)(4)=\frac(4)(4)\]

Problemet er løst.

Det er faktisk alt jeg ville fortelle deg i dag.

Nøkkelpunkter

Nøkkelfunn er:

• Kjenne til algoritmen for å løse lineære ligninger.
• Evne til å åpne braketter.
• Ikke bekymre deg hvis du ser kvadratiske funksjoner, mest sannsynlig, i ferd med ytterligere transformasjoner vil de avta.
• Det er tre typer røtter i lineære ligninger, selv de enkleste: én enkelt rot, hele tallinjen er en rot, og ingen røtter i det hele tatt.

Jeg håper denne leksjonen vil hjelpe deg å mestre et enkelt, men veldig viktig emne for videre forståelse av all matematikk. Hvis noe ikke er klart, gå til nettstedet og løs eksemplene som presenteres der. Følg med, mange flere interessante ting venter på deg!

En av de viktigste ferdighetene når opptak til 5. klasse er evnen til å løse enkle ligninger. Siden 5. klasse ennå ikke er så langt unna grunnskole, da er det ikke så mange typer ligninger som en elev kan løse. Vi vil introdusere deg for alle de grunnleggende ligningstypene du trenger for å kunne løse hvis du vil gå inn på en fysikk- og matematikkskole.

Type 1: "bulbous"
Dette er ligninger som du nesten vil støte på når opptak til hvilken som helst skole eller 5. klasse klubb som egen oppgave. De er lette å skille fra andre: i dem er variabelen bare til stede én gang. For eksempel eller.
De løses veldig enkelt: du trenger bare å "komme" til det ukjente, gradvis "fjerne" alt unødvendig som omgir det - som om du skreller en løk - derav navnet. For å løse det, husk bare noen få regler fra andre klasse. La oss liste dem alle:

Addisjon

1. term1 + term2 = sum
2. term1 = sum - term2
3. term2 = sum - term1

Subtraksjon

1. minuend - subtrahend = forskjell
2. minuend = subtrahend + forskjell
3. subtrahend = minuend - forskjell

Multiplikasjon

1. faktor1 * faktor2 = produkt
2. faktor1 = produkt: faktor2
3. faktor2 = produkt: faktor1

Inndeling

1. utbytte: divisor = kvotient
2. utbytte = divisor * kvotient
3. divisor = utbytte: kvotient

La oss se på et eksempel på hvordan du bruker disse reglene.

Merk at vi deler på og vi mottar. I denne situasjonen kjenner vi divisoren og kvotienten. For å finne utbyttet må du multiplisere divisoren med kvotienten:

Vi har blitt litt nærmere oss selv. Nå ser vi det legges til og det viser seg . Dette betyr at for å finne et av begrepene, må du trekke det kjente begrepet fra summen:

Og enda et "lag" er fjernet fra det ukjente! Nå ser vi situasjonen med kjent verdi produkt () og én kjent faktor ().

Nå er situasjonen "minuend - subtrahend = forskjell"

Og det siste trinnet - kjent verk() og en av multiplikatorene ()

Type 2: ligninger med parenteser
Ligninger av denne typen oftest finnes i oppgaver - 90% av alle oppgaver for opptak til 5. klasse. I motsetning til "løkligninger" variabelen her kan dukke opp flere ganger, så det er umulig å løse den ved hjelp av metodene fra forrige avsnitt. Typiske ligninger: eller
Den største vanskeligheten er å åpne brakettene riktig. Etter at du har klart å gjøre dette riktig, bør du redusere lignende termer (tall til tall, variabler til variabler), og etter det får vi det enkleste "løkligning" som vi kan løse. Men først ting først.

Utvidende parenteser. Vi vil gi noen regler som bør brukes i i dette tilfellet. Men som praksis viser, begynner studenten å åpne parentesene riktig først etter 70-80 fullførte problemer. Grunnregelen er denne: enhver faktor utenfor parentesene må multipliseres med hvert ledd innenfor parentesene. Og minustegnet foran parentesen endrer tegnet på alle uttrykkene inni. Så de grunnleggende reglene for avsløring:

Tar med lignende. Her er alt mye enklere: du trenger, ved å overføre vilkårene gjennom likhetstegnet, for å sikre at det på den ene siden bare er vilkår med det ukjente, og på den andre - bare tall. Grunnregelen er denne: hvert begrep som overføres gjennom, endrer fortegn - hvis det var med, vil det bli med, og omvendt. Etter en vellykket overføring er det nødvendig å telle det totale antallet ukjente, det totale antallet på den andre siden av likheten enn variablene, og løse en enkel "løkligning".