Mattetime. Emne: "Funksjonen y=sin x, dens egenskaper og graf"

I denne leksjonen skal vi ta en detaljert titt på funksjonen y = sin x, dens grunnleggende egenskaper og graf. I begynnelsen av leksjonen vil vi gi definisjonen av den trigonometriske funksjonen y = sin t på koordinatsirkelen og vurdere grafen til funksjonen på sirkelen og linjen. La oss vise periodisiteten til denne funksjonen på grafen og vurdere hovedegenskapene til funksjonen. På slutten av leksjonen skal vi løse flere enkle oppgaver ved å bruke grafen til en funksjon og dens egenskaper.

Emne: Trigonometriske funksjoner

Leksjon: Funksjonen y=sinx, dens grunnleggende egenskaper og graf

Når du vurderer en funksjon, er det viktig å knytte hver argumentverdi til en enkelt funksjonsverdi. Dette korrespondanseloven og kalles en funksjon.

La oss definere korrespondanseloven for .

Ethvert reelt tall tilsvarer et enkelt punkt på enhetssirkelen Et punkt har en enkelt ordinat, som kalles sinus til tallet (fig. 1).

Hver argumentverdi er knyttet til en enkelt funksjonsverdi.

Åpenbare egenskaper følger av definisjonen av sinus.

Figuren viser det fordi er ordinaten til et punkt på enhetssirkelen.

Tenk på grafen til funksjonen. La oss huske den geometriske tolkningen av argumentet. Argumentet er den sentrale vinkelen, målt i radianer. Langs aksen vil vi plotte reelle tall eller vinkler i radianer, langs aksen de tilsvarende verdiene til funksjonen.

For eksempel tilsvarer en vinkel på enhetssirkelen et punkt på grafen (fig. 2)

Vi har fått en graf over funksjonen i området, men når vi kjenner perioden til sinusen, kan vi avbilde grafen til funksjonen over hele definisjonsdomenet (fig. 3).

Funksjonens hovedperiode er Dette betyr at grafen kan hentes på et segment og deretter fortsettes gjennom hele definisjonsdomenet.

Tenk på egenskapene til funksjonen:

1) Definisjonsomfang:

2) Verdiområde:

3) Odd funksjon:

4) Den minste positive perioden:

5) Koordinater for skjæringspunktene til grafen med abscisseaksen:

6) Koordinater for skjæringspunktet for grafen med ordinataksen:

7) Intervaller der funksjonen tar positive verdier:

8) Intervaller der funksjonen tar negative verdier:

9) Økende intervaller:

10) Reduserende intervaller:

11) Minimum poeng:

12) Minimumsfunksjoner:

13) Maks poeng:

14) Maksimal funksjoner:

Vi så på egenskapene til funksjonen og dens graf. Egenskapene vil bli brukt gjentatte ganger ved løsning av problemer.

Referanser

1. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Lærebok for allmenne utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra og matematisk analyse for klasse 10 (lærebok for elever i skoler og klasser med fordypning i matematikk - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Fordypning i algebra og matematisk analyse.-M.: Education, 1997.

5. Samling av problemer i matematikk for søkere til høyere utdanningsinstitusjoner (redigert av M.I. Skanavi) - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraisk simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Problemer om algebra og analyseprinsipper (en håndbok for studenter i klasse 10-11 ved generelle utdanningsinstitusjoner - M.: Prosveshchenie, 2003).

8. Karp A.P. Samling av problemer om algebra og analyseprinsipper: lærebok. godtgjørelse for 10-11 klassetrinn. med dybde studert Matematikk.-M.: Utdanning, 2006.

Lekser

Algebra og begynnelse av analyse, karakter 10 (i to deler). Oppgavebok for utdanningsinstitusjoner (profilnivå), red.

A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Ytterligere nettressurser

3. Utdanningsportal for eksamensforberedelse ().

Vi fant ut at oppførselen til trigonometriske funksjoner, og funksjonene y = sin x spesielt, på hele talllinjen (eller for alle verdiene av argumentet X) er fullstendig bestemt av oppførselen i intervallet 0 < X < π / 2 .

Derfor vil vi først og fremst plotte funksjonen y = sin x akkurat i dette intervallet.

La oss lage følgende verditabell for funksjonen vår;

Ved å markere de tilsvarende punktene på koordinatplanet og forbinde dem med en jevn linje, får vi kurven vist på figuren

Den resulterende kurven kan også konstrueres geometrisk, uten å kompilere en tabell med funksjonsverdier y = sin x .

1. Del den første fjerdedelen av en sirkel med radius 1 i 8 like deler. Ordinatene til sirkelens delepunkt er sinusene til de tilsvarende vinklene.

2.Den første fjerdedelen av sirkelen tilsvarer vinkler fra 0 til π / 2 . Derfor på aksen X La oss ta et segment og dele det i 8 like deler.

3. La oss tegne rette linjer parallelt med aksene X, og fra delingspunktene konstruerer vi perpendikulære til de skjærer hverandre med horisontale linjer.

4. Koble sammen skjæringspunktene med en jevn linje.

La oss nå se på intervallet π / 2 < X < π .
Hver argumentverdi X fra dette intervallet kan representeres som

x = π / 2 + φ

Hvor 0 < φ < π / 2 . I henhold til reduksjonsformler

synd( π / 2 + φ ) = cos φ = synd( π / 2 - φ ).

Aksepunkter X med abscisser π / 2 + φ Og π / 2 - φ symmetrisk til hverandre om aksepunktet X med abscisse π / 2 , og sinusene på disse punktene er de samme. Dette lar oss få en graf over funksjonen y = sin x i intervallet [ π / 2 , π ] ved ganske enkelt å vise grafen til denne funksjonen symmetrisk i intervallet i forhold til den rette linjen X = π / 2 .

Bruker nå eiendommen odde paritetsfunksjon y = sin x,

synd(- X) = - synd X,

det er enkelt å plotte denne funksjonen i intervallet [- π , 0].

Funksjonen y = sin x er periodisk med en periode på 2π ;. Derfor, for å konstruere hele grafen til denne funksjonen, er det nok å fortsette kurven vist i figuren til venstre og høyre periodisk med en periode 2π .

Den resulterende kurven kalles sinusformet . Dette er grafen til funksjonen y = sin x.

Figuren illustrerer godt alle egenskapene til funksjonen y = sin x , som vi tidligere har bevist. La oss huske disse egenskapene.

1) Funksjon y = sin x definert for alle verdier X , så domenet er settet av alle reelle tall.

2) Funksjon y = sin x begrenset. Alle verdiene den aksepterer er mellom -1 og 1, inkludert disse to tallene. Følgelig bestemmes variasjonsområdet for denne funksjonen av ulikheten -1 < på < 1. Når X = π / 2 + 2k π funksjonen tar de største verdiene lik 1, og for x = - π / 2 + 2k π - de minste verdiene er lik - 1.

3) Funksjon y = sin x er oddetall (sinusbølgen er symmetrisk om origo).

4) Funksjon y = sin x periodisk med periode 2 π .

5) I intervaller 2n π < x < π + 2n π (n er et hvilket som helst heltall) det er positivt, og i intervaller π + 2k π < X < 2π + 2k π (k er et hvilket som helst heltall) det er negativt. Ved x = k π funksjonen går til null. Derfor er disse verdiene til argumentet x (0; ± π ; ±2 π ; ...) kalles funksjonnuller y = sin x

6) Med intervaller - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π funksjon y = synd x øker monotont, og i intervaller π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π den avtar monotont.

Du bør være spesielt oppmerksom på funksjonen til funksjonen y = sin x nær punktet X = 0 .

For eksempel sin 0,012 ≈ 0,012; sin(-0,05) ≈ -0,05;

synd 2° = synd π 2 / 180 = synd π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Samtidig bør det bemerkes at for alle verdier av x

| synd x| < | x | . (1)

La radiusen til sirkelen vist på figuren være lik 1,
en / AOB = X.

Så synd x= AC. Men AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Lengden på denne buen er åpenbart lik X, siden radiusen til sirkelen er 1. Så ved 0< X < π / 2

synd x< х.

Derfor, på grunn av rarheten til funksjonen y = sin x det er lett å vise at når - π / 2 < X < 0

| synd x| < | x | .

Til slutt, når x = 0

| sin x | = | x |.

Altså for | X | < π / 2 ulikhet (1) er bevist. Faktisk gjelder denne ulikheten også for | x | > π / 2 på grunn av at | synd X | < 1, a π / 2 > 1

Øvelser

1.I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme: a) synd 2; b) synd 4; c) synd (-3).

2.I henhold til funksjonsgrafen y = sin x bestemme hvilket tall fra intervallet
[ - π / 2 , π / 2 ] har en sinus lik: a) 0,6; b) -0,8.

3. I henhold til grafen til funksjonen y = sin x bestemme hvilke tall som har en sinus,
lik 1/2.

4. Finn omtrentlig (uten å bruke tabeller): a) sin 1°; b) sin 0,03;
c) sin (-0,015); d) sin (-2°30").

X y O Enhet trigonometrisk sirkel

3 =180 3,14 rad R R О Р М R Betrakt en sirkel med radius R. Konstruer MOP: МР = R 1 radian Verdien av МОР er lik 1 radian МР =1rad МОР 57 17= 1rad Radianmål for vinkel

4 Omkretsen til en sirkel uttrykkes med formelen C=2 R, der R er radiusen til sirkelen. 3, En sirkel hvis radius er 1 kalles... Vi vil kalle punktene M, P, K, N nodal. La oss merke punktene A, B, C. Det er praktisk å måle lengden på en enhetssirkel i radianer. Hvis R=1, så er C=2 rad! Navnet radianer er vanligvis utelatt. y x K R S V A Lengden på buen til en halv sirkel er lik rad. M N rad – en fjerdedel av omkretsen rad – tre fjerdedeler av omkretsen Ca. 1 enhet Radianmål for vinkel uk-merke uk-margin-small-right"> 5 Gradsmål Radianmål0 Så verdien av rotasjonsvinkelen til et punkt, så vel som størrelsen på buen til enhetssirkelen, kan spesifiseres: I kvart II kvart III kvart IV kvart O i gradmål i radianmål Radianmål for vinkel 0 2 I kvart II kvart III kvart IV kvart O 2

6 «Slapp av» sirkelen som en tråd på en koordinatstråle med begynnelsen ved punktet 0. La oss etablere en samsvar mellom settet med reelle tall på talllinjen og punktene i enhetssirkelen. Denne "avviklingen" kan fortsette på ubestemt tid. 3.14 0 Plotte en graf x y=sin x

13 Transformasjon av grafer Funksjon Transformasjon 1 y= f (x) + mParallell overføring langs OY-aksen med m enheter 2 y= f (x – n) Parallell overføring langs OX-aksen med n enheter 3 y=A f (x) Strekking langs OY-aksen i forhold til OX-aksen med A ganger 4 y= f (k x) Kompresjon langs OX-aksen i forhold til OY-aksen med k ganger 5 y= – f (x) Symmetrisk refleksjon i forhold til OX-aksen 6 y= f (– x) Symmetrisk refleksjon i forhold til OY-aksen y =f(x)

20 La oss plotte funksjonen y= 3 sin(2x+ /3)–2 Byggetrinn: 1. y= sin x – sinusformet 3. y= sin(2x+ /3) – flytt /3 enheter til venstre 4. y= 3 sin( 2x+ /3) – strekker seg 3 ganger langs Oy-aksen 2. y= sin 2x – kompresjon 2 ganger langs Ox-aksen 5. y= 3 sin(2x+ /3)–2 – overføring med 2 enheter ned

26 Transformasjon av grafer Funksjon Transformasjon 1 y=sin(kx) Kompresjon langs OX-aksen i forhold til OY-aksen k ganger 2 y=sin(x–m) Parallell transport langs OX-aksen med m enheter 3 y=A sin x Strekking langs OY-aksen relativ OX-akse i A ganger 4 y=sin x+nParallell translasjon langs OY-aksen med n enheter 5 y= – sin x Symmetrisk refleksjon i forhold til OX-aksen 6 y= sin (–x) Symmetrisk refleksjon ift. OY-aksen y = Asin(kx–n )+m
28 1. Funksjonen y=sin x eksisterer for alle reelle verdier av x, og grafen er en heltrukket linje (uten brudd), dvs. funksjonen er kontinuerlig. 2. Funksjonen y=sin x er oddetall, grafen er symmetrisk om origo 3. De største og minste verdiene. Alle mulige verdier av funksjonen sinx er begrenset av ulikheten -1 sinx 1, og 4. Nullpunkter for funksjonen (skjæringspunkter for funksjonsgrafen med abscissen): sinx=0, hvis x= n. (n Z) Noen egenskaper ved funksjonen y=sinx sin x= – 1, hvis sin x=1, hvis

Leksjon og presentasjon om emnet: "Funksjon y=sin(x). Definisjoner og egenskaper"

Ytterligere materialer
Kjære brukere, ikke glem å legge igjen kommentarer, anmeldelser, ønsker! Alt materiale er sjekket av et antivirusprogram.

Manualer og simulatorer i Integral nettbutikk for klasse 10 fra 1C
Vi løser problemer innen geometri. Interaktive byggeoppgaver for klasse 7-10
Programvaremiljø "1C: Mathematical Constructor 6.1"

Hva vi skal studere:

• Egenskaper for funksjonen Y=sin(X).
• Funksjonsgraf.
• Hvordan bygge en graf og dens skala.
• Eksempler.

Egenskaper til sinus. Y=sin(X)

Gutter, vi har allerede blitt kjent med trigonometriske funksjoner til et numerisk argument. Husker du dem?

La oss se nærmere på funksjonen Y=sin(X)

La oss skrive ned noen egenskaper ved denne funksjonen:
1) Definisjonsdomenet er settet av reelle tall.
2) Funksjonen er merkelig. La oss huske definisjonen av en oddetallsfunksjon. En funksjon kalles oddetall hvis likheten holder: y(-x)=-y(x). Som vi husker fra spøkelsesformlene: sin(-x)=-sin(x). Definisjonen er oppfylt, noe som betyr at Y=sin(X) er en oddetallsfunksjon.
3) Funksjonen Y=sin(X) øker på segmentet og avtar på segmentet [π/2; π]. Når vi beveger oss langs første kvartal (mot klokken), øker ordinaten, og når vi beveger oss gjennom andre kvartal, reduseres den.

4) Funksjonen Y=sin(X) er begrenset nedenfra og ovenfra. Denne egenskapen følger av at
-1 ≤ sin(X) ≤ 1
5) Den minste verdien av funksjonen er -1 (ved x = - π/2+ πk). Den største verdien av funksjonen er 1 (ved x = π/2+ πk).

La oss bruke egenskapene 1-5 til å plotte funksjonen Y=sin(X). Vi vil bygge grafen vår sekvensielt ved å bruke egenskapene våre. La oss begynne å bygge en graf på segmentet.

Spesiell oppmerksomhet bør rettes mot skalaen. På ordinataksen er det mer praktisk å ta et enhetssegment lik 2 celler, og på abscisseaksen er det mer praktisk å ta et enhetssegment (to celler) lik π/3 (se figur).

Plotte sinusfunksjonen x, y=sin(x)

La oss beregne verdiene til funksjonen på vårt segment:

La oss bygge en graf ved å bruke poengene våre, og ta hensyn til den tredje egenskapen.

Konverteringstabell for spøkelsesformler

La oss bruke den andre egenskapen, som sier at funksjonen vår er odd, noe som betyr at den kan reflekteres symmetrisk med hensyn til opprinnelsen:

Vi vet at sin(x+ 2π) = sin(x). Dette betyr at på intervallet [- π; π] grafen ser lik ut som på segmentet [π; 3π] eller eller [-3π; - π] og så videre. Alt vi trenger å gjøre er å tegne omhyggelig grafen i forrige figur langs hele x-aksen.

Grafen til funksjonen Y=sin(X) kalles en sinusformet.

La oss skrive noen flere egenskaper i henhold til den konstruerte grafen:
6) Funksjonen Y=sin(X) øker på et hvilket som helst segment av formen: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k er et heltall og avtar på et hvilket som helst segment av formen: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k – heltall.
7) Funksjon Y=sin(X) er en kontinuerlig funksjon. La oss se på grafen til funksjonen og sørge for at funksjonen vår ikke har noen brudd, dette betyr kontinuitet.
8) Verdiområde: segment [- 1; 1]. Dette er også godt synlig fra grafen til funksjonen.
9) Funksjon Y=sin(X) - periodisk funksjon. La oss se på grafen igjen og se at funksjonen tar de samme verdiene med visse intervaller.

Eksempler på problemer med sinus

1. Løs ligningen sin(x)= x-π

Løsning: La oss bygge 2 grafer av funksjonen: y=sin(x) og y=x-π (se figur).
Grafene våre skjærer hverandre i ett punkt A(π;0), dette er svaret: x = π

2. Tegn grafen for funksjonen y=sin(π/6+x)-1

Løsning: Den ønskede grafen oppnås ved å flytte grafen til funksjonen y=sin(x) π/6 enheter til venstre og 1 enhet ned.

Løsning: La oss plotte funksjonen og vurdere segmentet vårt [π/2; 5π/4].
Grafen til funksjonen viser at de største og minste verdiene oppnås ved enden av segmentet, henholdsvis i punktene π/2 og 5π/4.
Svar: sin(π/2) = 1 – den største verdien, sin(5π/4) = den minste verdien.

Sinusproblemer for uavhengig løsning

• Løs ligningen: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Tegn grafen for funksjonen y=sin(π/3+x)-2
• Tegn grafen for funksjonen y=sin(-2π/3+x)+1
• Finn den største og minste verdien av funksjonen y=sin(x) på segmentet
• Finn den største og minste verdien av funksjonen y=sin(x) på intervallet [- π/3; 5π/6]

, Konkurransen "Presentasjon for leksjonen"

Presentasjon for leksjonen

Tilbake frem

Oppmerksomhet! Lysbildeforhåndsvisninger er kun for informasjonsformål og representerer kanskje ikke alle funksjonene i presentasjonen. Hvis du er interessert i dette arbeidet, last ned fullversjonen.

Jern ruster uten bruk,
stående vann råtner eller fryser i kulden,
og en persons sinn, som ikke finner noen bruk for seg selv, forsvinner.
Leonardo da Vinci

Teknologier som brukes: problembasert læring, kritisk tenkning, kommunikativ kommunikasjon.

Mål:

• Utvikling av kognitiv interesse for læring.
• Studerer egenskapene til funksjonen y = sin x.
• Dannelse av praktiske ferdigheter i å konstruere en graf av funksjonen y = sin x basert på det studerte teoretiske materialet.

Oppgaver:

1. Bruk det eksisterende kunnskapspotensialet om egenskapene til funksjonen y = sin x i spesifikke situasjoner.

2. Anvende bevisst etablering av sammenhenger mellom analytiske og geometriske modeller av funksjonen y = sin x.

Utvikle initiativ, en viss vilje og interesse for å finne en løsning; evnen til å ta beslutninger, ikke stoppe der, og forsvare ditt synspunkt.

Å fremme kognitiv aktivitet hos elevene, en følelse av ansvar, respekt for hverandre, gjensidig forståelse, gjensidig støtte og selvtillit; kommunikasjonskultur.

Leksjonsfremgang

Trinn 1. Oppdatere grunnleggende kunnskap, motivere til å lære nytt stoff

"Gå inn i leksjonen."

Det er skrevet 3 uttalelser på tavlen:

1. Den trigonometriske ligningen sin t = a har alltid løsninger.
2. Grafen til en oddetallsfunksjon kan konstrueres ved hjelp av en symmetritransformasjon om Oy-aksen.
3. En trigonometrisk funksjon kan tegnes ved å bruke én hovedhalvbølge.

Elevene diskuterer i par: er påstandene sanne? (1 minutt). Resultatene av den innledende diskusjonen (ja, nei) legges deretter inn i tabellen i "Før"-kolonnen.

Læreren setter mål og mål for leksjonen.

2. Oppdatering av kunnskap (frontalt på en modell av en trigonometrisk sirkel).

Vi har allerede blitt kjent med funksjonen s = sin t.

1) Hvilke verdier kan variabelen ta. Hva er omfanget av denne funksjonen?

2) I hvilket intervall finnes verdiene til uttrykket sin t? Finn de største og minste verdiene av funksjonen s = sin t.

3) Løs ligningen sin t = 0.

4) Hva skjer med ordinaten til et punkt når det beveger seg langs det første kvartalet? (ordinaten øker). Hva skjer med ordinaten til et punkt når det beveger seg langs andre kvartal? (ordinaten avtar gradvis). Hvordan henger dette sammen med monotoniteten til funksjonen? (funksjonen s = sin t øker på segmentet og avtar på segmentet ).

5) La oss skrive funksjonen s = sin t i formen y = sin x som er kjent for oss (vi vil konstruere den i det vanlige xOy-koordinatsystemet) og kompilere en tabell over verdiene til denne funksjonen.

X	0
på	0			1			0

Trinn 2. Persepsjon, forståelse, primær konsolidering, ufrivillig memorering

Trinn 4. Primær systematisering av kunnskap og aktivitetsmetoder, deres overføring og anvendelse i nye situasjoner

6. Nr. 10.18 (b,c)

Trinn 5. Sluttkontroll, retting, vurdering og egenvurdering

7. Gå tilbake til utsagnene (begynnelsen av leksjonen), diskuter bruk av egenskapene til den trigonometriske funksjonen y = sin x, og fyll ut «Etter»-kolonnen i tabellen.

8. D/z: klausul 10, nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)