Hva er Lagrange-metoden. Betinget optimalisering

Metode for Lagrange-multiplikatorer er en klassisk problemløsningsmetode matematisk programmering(spesielt konveks). Dessverre kl praktisk anvendelse Metoden kan støte på betydelige beregningsvansker, noe som begrenser omfanget av bruken. Vi vurderer her Lagrange-metoden hovedsakelig fordi det er et apparat som aktivt brukes for å rettferdiggjøre ulike moderne numeriske metoder som er mye brukt i praksis. Når det gjelder Lagrange-funksjonen og Lagrange-multiplikatorene, spiller de en uavhengig og eksklusivt viktig rolle i teori og applikasjoner ikke bare matematisk programmering.

Tenk på det klassiske optimaliseringsproblemet

maks (min) z=f(x) (7,20)

Dette problemet skiller seg fra problem (7.18), (7.19) ved det faktum at blant begrensningene (7.21) er det ingen ulikheter, det er ingen betingelser for ikke-negativiteten til variablene, deres diskretitet og funksjonene f(x) ) er begge kontinuerlige og har partielle derivater av minst andre orden.

Klassisk tilnærming til løsningen av oppgaven (7.20), gir (7.21) ligningssystemet ( nødvendige forhold), som må tilfredsstilles av punktet x* som gir funksjonen f(x) et lokalt ekstremum på settet med punkter som tilfredsstiller begrensningene (7.21) (for et konveks programmeringsproblem, punktet x* funnet, iht. Teorem 7.6, vil også være et globalt ekstremumpunkt).

Anta at ved punktet x* har funksjonen (7.20) en lokal betinget ekstremum og rangeringen av matrisen er. Deretter kan de nødvendige betingelsene skrives som:

(7.22)

er Lagrange-funksjonen; er Lagrange-multiplikatorene.

Det er også tilstrekkelige forhold under hvilke løsningen av ligningssystemet (7.22) bestemmer ekstremumpunktet til funksjonen f(x). Dette spørsmålet er løst på grunnlag av studiet av tegnet til den andre differensialen til Lagrange-funksjonen. Tilstrekkelige forhold er imidlertid hovedsakelig av teoretisk interesse.

Man kan indikere følgende prosedyre for å løse problemer (7.20), (7.21) ved hjelp av Lagrange multiplikatormetoden:

1) komponer Lagrange-funksjonen (7.23);

2) finn de partielle deriverte av Lagrange-funksjonen med hensyn til alle variabler og likestille dem til null. Dermed vil systemet (7.22) bestående av ligninger fås. Løs det resulterende systemet (hvis det viser seg å være mulig!) og finn alt på denne måten stasjonære punkter Lagrange funksjoner;

3) fra de stasjonære punktene, tatt uten koordinater, velg punktene der funksjonen f(x) har betingede lokale ekstremer i nærvær av restriksjoner (7.21). Dette valget gjøres for eksempel ved å bruke tilstrekkelige betingelser lokalt ekstremum. Ofte forenkles studien hvis spesifikke forhold ved problemet brukes.

Eksempel 7.3. Finn den optimale fordelingen av en begrenset ressurs i en enhet. mellom n forbrukere, hvis fortjenesten mottatt ved tildeling av x j enheter av ressursen til den j. forbrukeren beregnes ved hjelp av formelen .

Løsning. Den matematiske modellen av problemet har neste visning:

Vi komponerer Lagrange-funksjonen:

.

Vi finner partielle deriverte av Lagrange-funksjonen og likestille dem til null:

Ved å løse dette ligningssystemet får vi:

Således, hvis den j-te forbrukeren tildeles en enhet. ressurs, så vil den totale fortjenesten nå en maksimal verdi og beløpe seg til den. enheter

Vi har vurdert Lagrange-metoden som brukt på klassisk problem optimalisering. Det er mulig å generalisere denne metoden til tilfellet når variablene er ikke-negative og noen begrensninger er gitt i form av ulikheter. Imidlertid er denne generaliseringen hovedsakelig teoretisk og fører ikke til spesifikke beregningsalgoritmer.

Avslutningsvis gir vi en økonomisk tolkning til Lagrange-multiplikatorene. For å gjøre dette går vi til det enkleste klassiske optimaliseringsproblemet

maks (min) z=f(x 1 , X 2); (7.24)

𝜑(x 1, x 2)=b. (7,25)

La oss anta at det betingede ekstremum er nådd på punktet. Den tilsvarende ekstremverdien til funksjonen f(x)

La oss anta at i begrensningene (7.25) er mengden b kan endre seg, så koordinatene til ekstremumpunktet, og derav ekstremverdien f* funksjoner f(x) vil bli mengder avhengig av b, dvs. ,, og derfor den deriverte av funksjonen (7.24)

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = f(t)

består i å erstatte vilkårlige konstanter ck i den generelle løsningen

z(t) = c1z1(t) + c2z2(t) + ...

Cnzn(t)

tilsvarende homogen ligning

an(t)z(n)(t) + an − 1(t)z(n − 1)(t) + ... + a1(t)z"(t) + a0(t)z(t) = 0

til hjelpefunksjoner ck(t) hvis deriverte tilfredsstiller det lineære algebraiske systemet

Determinanten for system (1) er Wronskian av funksjonene z1,z2,...,zn, som sikrer dens unike løsebarhet med hensyn til .

Hvis er antiderivater for tatt ved faste verdier av integrasjonskonstantene, så er funksjonen

er en løsning på den opprinnelige lineære inhomogene differensialligningen. Integrering inhomogen ligning i nærvær av en generell løsning av den tilsvarende homogene ligningen, reduseres dermed til kvadraturer.

Lagrange-metoden (metode for variasjon av vilkårlige konstanter)

En metode for å oppnå en generell løsning på en inhomogen ligning, vel vitende felles vedtak homogen likning uten å finne en bestemt løsning.

For en lineær homogen differensialligning av n-te orden

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = 0,

hvor y = y(x) er en ukjent funksjon, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) er kjent, kontinuerlig, sann: 1) det er n lineært uavhengige løsninger ligninger y1(x), y2(x), ..., yn(x); 2) for alle verdier av konstantene c1, c2, ..., cn, er funksjonen y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) en løsning på ligningen; 3) for enhver startverdier x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 det er verdier c*1, c*n, ..., c*n slik at løsningen y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) tilfredsstiller for x = x0 Innledende forhold y*(x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Uttrykket y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) kalles den generelle løsningen av en lineær homogen differensialligning av n-te orden.

Settet med n lineært uavhengige løsninger av en lineær homogen differensialligning av n-te orden y1(x), y2(x), ..., yn(x) kalles det grunnleggende løsningssystemet til ligningen.

For en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter det er en enkel algoritme for å konstruere et grunnleggende system av løsninger. Vi vil se etter en løsning på ligningen på formen y(x) = exp(lx): exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx) " + anexp(lx) = = (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0, dvs. tallet l er roten karakteristisk ligning ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0. Venstre side av den karakteristiske ligningen kalles det karakteristiske polynomet til en lineær differensialligning: P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an. Dermed er problemet med å løse en lineær homogen ligning av n-te orden med konstante koeffisienter redusert til å løse en algebraisk ligning.

Hvis den karakteristiske ligningen har n forskjellige reelle røtter l1№ l2 № ... № ln, så består det grunnleggende løsningssystemet av funksjonene y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), . .., yn (x) = exp(lnx), og den generelle løsningen av den homogene ligningen er: y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

et grunnleggende system av løsninger og en generell løsning for tilfellet med enkle reelle røtter.

Hvis noen av de reelle røttene til den karakteristiske ligningen gjentas r ganger (en r-fold rot), så tilsvarer r funksjoner det i det grunnleggende løsningssystemet; hvis lk=lk+1 = ... = lk+r-1, så inn grunnleggende system løsninger til ligningen, er det r funksjoner: yk(x) = exp(lkx), yk+1(x) = xexp(lkx), yk+2(x) = x2exp(lkx), ..., yk+ r-1(x)=xr-1exp(lnx).

EKSEMPEL 2. Grunnleggende system av løsninger og generell løsning for tilfellet med flere reelle røtter.

Hvis den karakteristiske ligningen har komplekse røtter, tilsvarer hvert par av enkle (av multiplisitet 1) komplekse røtter lk,k+1=ak ± ibk i det fundamentale løsningssystemet et funksjonspar yk(x) = exp(akx) cos(bkx), yk+ 1(x) = exp(akx)sin(bkx).

EKSEMPEL 4. Grunnleggende system av løsninger og generell løsning for tilfellet med enkle komplekse røtter. imaginære røtter.

Hvis et komplekst røtterpar har multiplisitet r, så tilsvarer et slikt par lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk, i det fundamentale løsningssystemet funksjonene exp(akx)cos( bkx), exp(akx )sin(bkx), xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx), x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx), .. ...... ........ xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).

EKSEMPEL 5. Grunnleggende system av løsninger og generell løsning for tilfellet med flere komplekse røtter.

For å finne en generell løsning på en lineær homogen differensialligning med konstante koeffisienter bør man altså: skrive ned den karakteristiske ligningen; finn alle røttene til den karakteristiske ligningen l1, l2, ... , ln; skriv ned det grunnleggende løsningssystemet y1(x), y2(x), ..., yn(x); skriv et uttrykk for den generelle løsningen y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x). For å løse Cauchy-problemet, må vi erstatte uttrykket for den generelle løsningen i startbetingelsene og bestemme verdiene til konstantene c1,..., cn, som er løsninger av systemet med lineært algebraiske ligninger c1 y1(x0) + c2 y2(x0) + ... + cn yn(x0) = y0, c1 y"1(x0) + c2 y"2(x0) + ... + cn y"n(x0) ) =y0,1, ........... , c1 y1(n-1)(x0) + c2 y2(n-1)(x0) + ... + cn yn(n-1)( x0) = y0,n-1

For en lineær inhomogen differensialligning av n-te orden

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y" + an(x) y = f(x),

hvor y = y(x) er en ukjent funksjon, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x), f(x) er kjente, kontinuerlige, gyldige: 1 ) hvis y1(x) og y2(x) er to løsninger av en inhomogen ligning, så er funksjonen y(x) = y1(x) - y2(x) en løsning til den tilsvarende homogene ligningen; 2) hvis y1(x) er en løsning på en inhomogen ligning, og y2(x) er en løsning på den tilsvarende homogene ligningen, så er funksjonen y(x) = y1(x) + y2(x) en løsning på en inhomogen ligning; 3) hvis y1(x), y2(x), ..., yn(x) er n lineært uavhengige løsninger av den homogene ligningen, og ych(x) - vilkårlig avgjørelse ikke-homogen ligning, så for alle startverdier x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 er det verdier c*1, c*n, ..., c*n slik at løsning y*(x )=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x) + ych(x) tilfredsstiller for x = x0 startbetingelsene y*( x0)=y0, (y*)"(x0)=y0,1, ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Uttrykket y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) + ych(x) kalles den generelle løsningen av en lineær inhomogen differensialligning av n-te orden.

For å finne spesielle løsninger av inhomogene differensiallikninger med konstante koeffisienter med høyre side av formen: Pk(x)exp(ax)cos(bx) + Qm(x)exp(ax)sin(bx), der Pk(x), Qm(x) er polynomer av grad k og m tilsvarende, er det en enkel algoritme for å konstruere en bestemt løsning, kalt seleksjonsmetoden.

Seleksjonsmetoden, eller metoden for usikre koeffisienter, er som følger. Den ønskede løsningen av ligningen skrives som: (Pr(x)exp(ax)cos(bx) + Qr(x)exp(ax)sin(bx))xs, hvor Pr(x), Qr(x) er polynomer av grad r = max(k, m) med ukjente koeffisienter pr , pr-1, ..., p1, p0, qr, qr-1, ..., q1, q0. Faktoren xs kalles resonansfaktoren. Resonans finner sted i tilfeller der det blant røttene til den karakteristiske ligningen er en rot l = a ± ib av multiplisitet s. De. hvis det blant røttene til den karakteristiske ligningen til den tilsvarende homogene ligningen er slik at dens reelle del faller sammen med koeffisienten i eksponenten, og den imaginære delen sammenfaller med koeffisienten i argumentet trigonometrisk funksjon på høyre side av ligningen, og multiplisiteten til denne roten er s, så er det i den ønskede spesielle løsningen en resonansfaktor xs. Hvis det ikke er en slik tilfeldighet (s=0), så er det ingen resonansfaktor.

Ved å erstatte uttrykket for den bestemte løsningen på venstre side av ligningen, får vi et generalisert polynom av samme form som polynomet på høyre side av ligningen, hvis koeffisienter er ukjente.

To generaliserte polynomer er like hvis og bare hvis koeffisientene til faktorer av formen xtexp(ax)sin(bx), xtexp(ax)cos(bx) med samme potenser av t er like. Ved å likestille koeffisientene til slike faktorer får vi et system med 2(r+1) lineære algebraiske ligninger i 2(r+1) ukjente. Det kan vises at et slikt system er konsistent og har en unik løsning.

multiplikatormetodenLagrange(i engelsk litteratur "LaGrange's method of undetermined multipliers") ˗ dette numerisk metode løsninger optimaliseringsproblemer, som lar deg bestemme det "betingede" ekstremumet til objektivfunksjonen (minimum eller maksimum verdi)

i nærvær av gitte restriksjoner på variablene i form av likheter (dvs. området tillatte verdier)

˗ dette er verdiene til funksjonsargumentet (kontrollerte parametere) på det reelle området der verdien av funksjonen har en tendens til et ekstremum. Bruken av navnet "betinget" ekstremum skyldes det faktum at variablene pålegges en tilleggsbetingelse, som begrenser området med tillatte verdier når man søker etter funksjonens ekstremum.

Lagrange-multiplikatormetoden lar problemet med å finne det betingede ekstremumet til objektivfunksjonen på settet med tillatte verdier konverteres til problemet ubetinget optimalisering funksjoner.

Hvis funksjonene og er kontinuerlige sammen med deres partielle deriverte, så er det variabler λ som ikke samtidig er lik null, under hvilke følgende betingelse er oppfylt:

I samsvar med metoden til Lagrange-multiplikatorer for å søke etter ekstremumet til objektivfunksjonen på settet med tillatte verdier, komponerer jeg Lagrange-funksjonen L(x, λ), som er ytterligere optimalisert:

hvor λ ˗ er en vektor av tilleggsvariabler kalt ubestemte multiplikatorer Lagrange.

Dermed er problemet med å finne det betingede ekstremumet til funksjonen f(x) redusert til problemet med å finne det ubetingede ekstremumet til funksjonen L(x, λ).

og

Den nødvendige betingelsen for ekstremumet til Lagrange-funksjonen er gitt av et system av ligninger (systemet består av "n + m" ligninger):

Løsningen av dette ligningssystemet gjør det mulig å bestemme argumentene til funksjonen (X), hvor verdien av funksjonen L(x, λ), samt verdien av objektivfunksjonen f(x) tilsvarer ekstremumet.

Verdien av Lagrange-multiplikatorene (λ) er av praktisk interesse hvis begrensningene presenteres i form med en fri term av ligningen (konstant). I dette tilfellet kan vi vurdere ytterligere (øke/redusere) verdien av objektivfunksjonen ved å endre verdien av konstanten i ligningssystemet . Dermed karakteriserer Lagrange-multiplikatoren endringshastigheten i maksimum av objektivfunksjonen med en endring i grensekonstanten.

Det er flere måter å bestemme arten av ekstremumet til den resulterende funksjonen:

Den første måten: La - koordinatene til ekstremumpunktet, og - den tilsvarende verdien til objektivfunksjonen. Et punkt tas som er nær punktet , og verdien av objektivfunksjonen beregnes:

Hvis en , så er det et maksimum på punktet.

Hvis en , så er det et minimum på punktet.

Andre vei: Tilstrekkelig tilstand, hvorfra du kan finne ut ekstremumets natur, er tegnet på den andre differensialen til Lagrange-funksjonen. Den andre differensialen til Lagrange-funksjonen er definert som følger:

Hvis i gitt poeng minimum, hvis , så har objektivfunksjonen f(x) betinget maksimum.

Den tredje måten: Dessuten kan arten av ytterpunktet til funksjonen bli funnet ved å vurdere Hessian av Lagrange-funksjonen. Den hessiske matrisen er en symmetrisk kvadratisk matrise andre partielle deriverte av funksjonen ved punktet der elementene i matrisen er symmetriske i forhold til hoveddiagonalen.

For å bestemme typen ekstremum (maksimum eller minimum av en funksjon), kan du bruke Sylvester-regelen:

1. For at den andre differensialen til Lagrange-funksjonen skal ha positivt fortegn det er nødvendig at de vinkelformede minorene til funksjonen er positive. Under slike forhold har funksjonen et minimum på dette tidspunktet.

2. For at den andre differensialen til Lagrange-funksjonen skal være fortegnsnegativ , er det nødvendig at de vinkelformede minorene til funksjonen veksler, og det første elementet i matrisen må være negativ sv . Under slike forhold har funksjonen et maksimum på dette tidspunktet.

En vinkelmoll er en moll som ligger i de første k radene og k kolonnene i den opprinnelige matrisen.

Hoved praktisk verdi Lagrange-metoden er at den lar deg gå fra betinget optimalisering til ubetinget og følgelig utvide arsenalet av tilgjengelige metoder for å løse problemet. Imidlertid er problemet med å løse ligningssystemet, som denne metoden er redusert til, i generell sak ikke lettere opprinnelig oppgave ekstremum søk. Slike metoder kalles indirekte. Bruken deres forklares av behovet for å få en løsning på et ekstremt problem i en analytisk form (for eksempel for visse teoretiske beregninger). Når du løser spesifikke praktiske problemer, brukes vanligvis direkte metoder, basert på iterative prosesser for å beregne og sammenligne verdiene til funksjonene som optimaliseres.

Beregningsmetode

1 trinn: Vi bestemmer Lagrange-funksjonen fra den gitte objektivfunksjonen og systemet med begrensninger:

Framover

For å legge til kommentaren din til artikkelen, vennligst registrer deg på nettstedet.

LAGRANGE-METODE

Cast metode kvadratisk form til summen av kvadrater, angitt i 1759 av J. Lagrange. La det bli gitt

fra variabler x 0 , x 1 ,..., x n. med koeffisienter fra feltet k egenskaper Det kreves å bringe denne formen til kanonisk. sinn

ved hjelp av ikke-degenerert lineær transformasjon variabler. L. m. består av følgende. Vi kan anta at ikke alle koeffisienter av form (1) er lik null. Derfor er to tilfeller mulige.

1) For noen g, diagonal Da

der formen f 1 (x) ikke inneholder en variabel x g. 2) Hvis alle men deretter

der formen f 2 (x) ikke inneholder to variabler xg og x h. Skjemaene under de firkantede tegnene i (4) er lineært uavhengige. Ved å bruke transformasjoner av formen (3) og (4) form (1) etter endelig antall trinn reduseres til summen av kvadratene av lineært uavhengige lineære former. Ved å bruke partielle derivater kan formlene (3) og (4) skrives som

Tent.: G a n t m a h e r F. R., Theory of Matrices, 2. utgave, Moskva, 1966; K ur o sh A. G., Course of Higher Algebra, 11. utgave, M., 1975; Alexandrov P.S., Forelesninger om analytisk geometri..., M., 1968. I. V. Proskuryakov.

Matematisk leksikon. - M.: Sovjetisk leksikon. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Se hva "LAGRANGE METHOD" er i andre ordbøker:

Lagrange-metoden- Lagrange-metoden - en metode for å løse en rekke klasser av matematiske programmeringsproblemer ved å finne et sadelpunkt (x *, λ *) til Lagrange-funksjonen, som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen til null med hensyn til . ... ... Økonomisk og matematisk ordbok

Lagrange-metoden- En metode for å løse en rekke klasser av matematiske programmeringsproblemer ved å finne sadelpunktet (x*,?*) til Lagrange-funksjonen, som oppnås ved å likestille de partielle deriverte av denne funksjonen med null med hensyn til xi og?i . Se Lagrangian. )