I hvilke tilfeller brukes Bernoulli-formelen? Numeriske egenskaper til en tilfeldig variabel fordelt i henhold til binomialloven

1. Bogolyubov A.N. Matematikere. Mekanikk: biografisk oppslagsbok. – Kiev: Naukova Dumka, 1983.

2. Gulay T.A., Dolgopolova A.F., Litvin D.B. Analyse og vurdering av prioriteringen av deler av matematiske disipliner studert av studenter av økonomiske spesialiteter landbruksuniversiteter// Bulletin fra AIC i Stavropol. – 2013. – nr. 1 (9). – S. 6-10.

3. Dolgopolova A.F., Gulay T.A., Litvin D.B. Søknadsutsikter matematiske metoder V økonomisk forskning// Landbruksvitenskap, kreativitet, vekst. – 2013. – S. 255-257.

I matematikk er det ganske ofte problemer som det er et stort nummer av repetisjoner av samme tilstand, test eller eksperiment. Resultatet av hver test vil bli betraktet som et helt annet resultat enn den forrige. Det vil heller ikke være noen avhengighet i resultatene. Som et testresultat kan det skilles mellom flere muligheter for elementære konsekvenser: forekomsten av en hendelse (A) eller forekomsten av en hendelse som utfyller A.

La oss så prøve å anta at sannsynligheten for at hendelsen P(A) inntreffer er regelmessig og lik p(0)<р<1).

Eksempler på en slik test kan være et stort antall oppgaver, som å kaste en mynt, tegne svarte og hvite kuler fra en mørk pose eller å føde svarte og hvite kaniner.

Dette eksperimentet kalles et gjentatt uavhengig forsøksdesign eller Bernoulli-design.

Jacob Bernoulli ble født inn i familien til en farmasøyt. Faren prøvde å sette sønnen inn på den medisinske banen, men J. Bernoulli ble interessert i matematikk på egen hånd, og senere ble det hans yrke. Han eier ulike trofeer i arbeider om emner i teorien om sannsynlighet og tall, serier og differensialregning. Etter å ha studert sannsynlighetsteorien fra et av Huygens verk "On Calculations in Gambling", ble Jacob interessert i den. Det var ikke engang en klar definisjon av begrepet "sannsynlighet" i denne boken. Det var J. Bernoulli som introduserte de fleste moderne begreper innen sannsynlighetsteori i matematikk. Bernoulli var også den første som ga uttrykk for sin versjon av loven om store tall. Ulike verk, teoremer og skjemaer bærer Jakobs navn: "Bernoulli-tall", "Bernoulli-polynom", "Bernoulli-differensialligning", "Bernoulli-fordeling" og "Bernoulli-ligning".

La oss gå tilbake til reps. Som allerede angitt ovenfor, som et resultat av forskjellige tester, er to utfall mulige: enten hendelse A vil vises, eller det motsatte av denne hendelsen. Selve Bernoulli-skjemaet angir produksjonen av det n-te antallet typiske frie eksperimenter, og i hvert av disse eksperimentene kan hendelsen A vi trenger vises (sannsynligheten for denne hendelsen er kjent: P(A) = p), sannsynligheten av den motsatte hendelsen til hendelse A er betegnet med q = P( A)=1-p. Det kreves å bestemme sannsynligheten for at når man tester en ukjent mengde, vil hendelse A vises nøyaktig k ganger.

Det er viktig å huske hovedbetingelsen når du løser problemer ved hjelp av Bernoulli-ordningen - dette er konstanthet. Uten det mister ordningen all mening.

Denne ordningen kan brukes til å løse problemer med ulike nivåer av kompleksitet: fra enkel (samme mynt) til kompleks (interesser). Imidlertid brukes Bernoulli-ordningen oftere for å løse problemer som involverer overvåking av egenskapene til ulike produkter og tillit til en rekke mekanismer. Bare for å løse et problem, må alle forhold og verdier være kjent på forhånd før du starter arbeidet.

Ikke alle problemer i sannsynlighetsteori er redusert til konstans i forhold. Selv om vi tar svarte og hvite kuler i en mørk pose som eksempel: Når én ball trekkes, endres forholdet mellom antall og farge på kuler i posen, noe som betyr at selve sannsynligheten også endres.

Imidlertid, hvis betingelsene våre er konstante, kan vi nøyaktig bestemme sannsynligheten som kreves av oss for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig k ganger ut av n mulige.

Jacob Bernoulli kompilerte dette faktum til et teorem, som senere begynte å bli kalt etter ham. "Bernoullis teorem" er en av hovedsetningene i sannsynlighetsteori. Den ble først publisert i J. Bernoullis verk «The Art of Assumptions». Hva er dette teoremet? "Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant, så er sannsynligheten Pk,n for at hendelsen vil inntreffe k ganger i n forsøk som er uavhengige av hverandre lik: , hvor q=1-p ."

Problemer kan siteres for å bevise effektiviteten til formelen.

Oppgave 1:

Ut av n glasskrukker, k pause i løpet av en måneds lagring. Vi tok m bokser tilfeldig. Finn sannsynligheten for at de blant disse boksene ikke går i stykker. n=250, k=10, m=8,l=4.

Løsning: Vi har et Bernoulli-opplegg med verdiene:

p=10/250=0,04 (sannsynlighet for at glassene går i stykker);

n=8 (antall forsøk);

k=8-4=4 (antall ødelagte bokser).

Vi bruker Bernoullis formel

Fikk:

Svar: 0,0141

Oppgave #2:

Sannsynligheten for å produsere et defekt produkt i produksjonen er 0,2. Finn sannsynligheten for at av 10 produkter produsert på dette produksjonsstedet nøyaktig k skal være i god stand. Løs for k = 0, 1, 10.

Vi er interessert i hendelse A - produksjon av deler som kan repareres, som skjer en gang i timen med sannsynlighet p=1-0,2=0,8. Vi må finne sannsynligheten for at denne hendelsen vil skje k ganger. Det motsatte av hendelse A er hendelsen "ikke A", dvs. å produsere et defekt produkt.

Derfor har vi: n=10; p=0,8; q=0,2.

Som et resultat vil vi finne sannsynligheten for at av 10 produserte produkter er alle produkter defekte (k=0), at ett produkt fungerer (k=1), at det ikke er noen defekte i det hele tatt (k=10):

Avslutningsvis vil jeg merke at i moderne tid prøver mange forskere å bevise at "Bernoulli-formelen" ikke samsvarer med naturlovene, og at problemer kan løses uten å bruke den. Selvfølgelig er dette mulig, de fleste problemer i sannsynlighetsteori kan fullføres uten Bernoullis formel, det viktigste er ikke å bli forvirret i store mengder tall.

Bibliografisk lenke

Khomutova E.A., Kalinichenko V.A. BERNOULLI FORMEL I SANNSYNLIGHETSTEORI // International Student Scientific Bulletin. – 2015. – nr. 3-4.;
URL: http://eduherald.ru/ru/article/view?id=14141 (tilgangsdato: 03/12/2019). Vi gjør deg oppmerksom på magasiner utgitt av forlaget "Academy of Natural Sciences"

Kort teori

Sannsynlighetsteori omhandler eksperimenter som kan gjentas (i hvert fall teoretisk) et ubegrenset antall ganger. La noen eksperimenter gjentas en gang, og resultatene av hver repetisjon avhenger ikke av resultatene fra tidligere repetisjoner. Slike serier av repetisjoner kalles uavhengige forsøk. Et spesielt tilfelle av slike tester er uavhengige Bernoulli-tester, som er preget av to forhold:

1) resultatet av hver test er ett av to mulige utfall, kalt henholdsvis "suksess" eller "fiasko".

2) sannsynligheten for "suksess" i hver påfølgende test avhenger ikke av resultatene fra tidligere tester og forblir konstant.

Bernoullis teorem

Hvis det utføres en serie uavhengige Bernoulli-forsøk, i hver av disse "suksess" vises med sannsynlighet , så er sannsynligheten for at "suksess" vises nøyaktig én gang i forsøkene, uttrykt med formelen:

hvor er sannsynligheten for "feil".

– antall kombinasjoner av elementer etter (se grunnleggende kombinatoriske formler)

Denne formelen kalles Bernoullis formel.

Bernoullis formel lar deg bli kvitt et stort antall beregninger - addere og multiplisere sannsynligheter - med et tilstrekkelig stort antall tester.

Bernoulli-testskjemaet kalles også binomialskjemaet, og de tilsvarende sannsynlighetene kalles binomialt, som er assosiert med bruk av binomiale koeffisienter.

Fordelingen i henhold til Bernoulli-skjemaet gjør det spesielt mulig å finne det mest sannsynlige antallet forekomster av en hendelse.

Hvis antall tester n er stor, bruk deretter:

Eksempel på problemløsning

Oppgaven

Spirehastigheten til noen plantefrø er 70 %. Hva er sannsynligheten for at av 10 frø sådd: 8, minst 8; minst 8?

Løsningen på problemet

La oss bruke Bernoullis formel:

I vårt tilfelle

La hendelsen være at av 10 frø spirer 8:

La hendelsen være minst 8 (det betyr 8, 9 eller 10)

La hendelsen stige minst 8 (dette betyr 8,9 eller 10)

Svar

Gjennomsnitt kostnaden for å løse en test er 700 - 1200 rubler (men ikke mindre enn 300 rubler for hele bestillingen). Prisen er sterkt påvirket av det haster med avgjørelsen (fra en dag til flere timer). Kostnaden for online hjelp for en eksamen/test er fra 1000 rubler. for å løse billetten.

Du kan legge igjen en forespørsel direkte i chatten, etter å ha sendt vilkårene for oppgavene tidligere og informert deg om fristene for løsningen du trenger. Responstiden er noen få minutter.

Gjentatte uavhengige forsøk kalles Bernoulli-forsøk hvis hver prøve kun har to mulige utfall og sannsynlighetene for utfallene forblir de samme på tvers av alle forsøk.

Vanligvis kalles disse to utfallene "suksess" (S) eller "fiasko" (F), og de tilsvarende sannsynlighetene er angitt s Og q. Det er klart det s 0, q³ 0 og s+q=1.

Rom elementære hendelser hver prøve består av to hendelser U og H.

Rom av elementære hendelser n Bernoulli tester Ω inneholder 2 n elementære hendelser, som er sekvenser (kjeder) av n symbolene U og N. Hver elementær hendelse er et av de mulige utfallene av sekvensen n Bernoulli tester. Siden testene er uavhengige, multipliseres sannsynlighetene i henhold til multiplikasjonsteoremet, det vil si at sannsynligheten for en bestemt sekvens er produktet oppnådd ved å erstatte symbolene U og H med s Og q følgelig, det er for eksempel: R( )=(U U N U N... N U )= p p q p q ... q q p .

Legg merke til at utfallet av en Bernoulli-test ofte er merket med 1 og 0, og deretter den elementære hendelsen i sekvensen n Bernoulli tester - det er en kjede som består av nuller og enere. For eksempel:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Bernoulli-tester representerer det viktigste opplegget som vurderes i sannsynlighetsteori. Denne ordningen er oppkalt etter den sveitsiske matematikeren J. Bernoulli (1654-1705), som grundig studerte denne modellen i sine arbeider.

Hovedproblemet som vil interessere oss her er: hva er sannsynligheten for at hendelsen n Bernoulli-tester skjedde m suksess?

Hvis de spesifiserte betingelsene er oppfylt, er sannsynligheten for at hendelsen under uavhengige tester vil bli observert nøyaktig m tider (uansett hvilke eksperimenter), bestemmes av Bernoullis formel:

(21.1)

Hvor - sannsynlighet for forekomst i hver test, og
- sannsynligheten for at hendelsen i et gitt eksperiment Skjedde ikke.

Hvis vi vurderer P n (m) som en funksjon m, så spesifiserer den en sannsynlighetsfordeling, som kalles binomial. La oss utforske denne avhengigheten P n (m) fra m, 0£ m£ n.

arrangementer B m ( m = 0, 1, ..., n), som består av forskjellige antall forekomster av hendelsen EN V n tester er inkompatible og utgjør en komplett gruppe. Derfor,
.

La oss vurdere forholdet:

=
=
=
.

Det følger at P n (m+1)>P n (m), Hvis (n- m) s> (m+1)q, dvs. funksjon P n (m) øker hvis m< n.p.- q. Like måte, P n (m+1)< P n (m), Hvis (n- m) s< (m+1)q, dvs. P n (m) reduseres hvis m> n.p.- q.

Så det er et tall m 0, hvorpå P n (m) når sin største verdi. Vi finner m 0 .

I henhold til betydningen av tallet m 0 vi har P n (m 0)³ P n (m 0 -1) og P n (m 0) ³ P n (m 0 +1), herfra

, (21.2)

. (21.3)

Løse ulikheter (21.2) og (21.3) mht m 0, vi får:

s/ m 0 ³ q/(n- m 0 +1) Þ m 0 £ n.p.+ s,

q/(n- m 0 ) ³ s/(m 0 +1) Þ m 0 ³ n.p.- q.

Så det nødvendige antallet m 0 tilfredsstiller ulikhetene

n.p.- q£ m 0 £ np+p. (21.4)

Fordi s+q=1, da er lengden på intervallet definert av ulikhet (21.4) lik én og det er minst ett heltall m 0 tilfredsstillende ulikheter (21,4):

1) hvis n.p. - q er et heltall, så er det to verdier m 0, nemlig: m 0 = n.p. - q Og m 0 = n.p. - q + 1 = n.p. + s;

2) hvis n.p. - q- brøk, så er det ett tall m 0, nemlig det eneste heltall som finnes mellom brøktall, hentet fra ulikhet (21,4);

3) hvis n.p. er et heltall, så er det ett tall m 0, nemlig m 0 = n.p..

Antall m 0 kalles den mest sannsynlige eller mest sannsynlige verdien (tallet) for forekomsten av en hendelse EN i en serie av n uavhengige tester.

I denne leksjonen vil vi finne sannsynligheten for at en hendelse inntreffer i uavhengige forsøk ved gjentatte forsøk . Prøver kalles uavhengige hvis sannsynligheten for et eller annet utfall av hvert forsøk ikke avhenger av hvilke utfall andre forsøk hadde. . Uavhengige tester kan utføres både under samme forhold og under forskjellige forhold. I det første tilfellet er sannsynligheten for at en eller annen hendelse inntreffer den samme i alle rettssaker, i det andre tilfellet varierer det fra rettssak til rettssak.

Eksempler på uavhengige omtester :

en av enhetsnodene eller to eller tre noder vil mislykkes, og feilen til hver node avhenger ikke av den andre noden, og sannsynligheten for feil på en node er konstant i alle tester;
produsert i en eller annen konstant teknologiske forhold en del, eller tre, fire, fem deler, vil vise seg å være ikke-standard, og en del kan vise seg å være ikke-standard uavhengig av hvilken som helst annen del og sannsynligheten for at delen vil vise seg å være ikke-standard er konstant i alle tester;
av flere skudd mot en skive, treffer ett, tre eller fire skudd målet uavhengig av utfallet av de andre skuddene, og sannsynligheten for å treffe skiven er konstant i alle forsøk;
når du slipper en mynt, vil maskinen fungere riktig én, to eller et annet antall ganger, uavhengig av utfallet av andre myntfall, og sannsynligheten for at maskinen vil fungere riktig er konstant i alle forsøk.

Disse hendelsene kan beskrives i ett diagram. Hver hendelse skjer i hvert forsøk med samme sannsynlighet, som ikke endres hvis resultatene fra tidligere forsøk blir kjent. Slike tester kalles uavhengige, og kretsen kalles Bernoulli-opplegg . Det forutsettes at slike tester kan gjentas så mange ganger som ønskelig.

Hvis sannsynligheten s forekomst av en hendelse EN er konstant i hvert forsøk, så er sannsynligheten for at i n uavhengig testhendelse EN Skal komme m ganger, ligger ved Bernoullis formel :

(Hvor q= 1 – s- sannsynligheten for at hendelsen ikke vil inntreffe)

La oss sette oppgaven - å finne sannsynligheten for at en hendelse av denne typen kommer inn n uavhengige tester vil komme m en gang.

Bernoullis formel: eksempler på problemløsning

Eksempel 1. Finn sannsynligheten for at blant fem deler tatt tilfeldig er to standard, hvis sannsynligheten for at hver del viser seg å være standard er 0,9.

Løsning. Sannsynlighet for hendelse EN, som består i at en del tatt tilfeldig er standard, det er s=0,9 , og det er en sannsynlighet for at det ikke er standard q=1–s=0,1. Hendelsen angitt i problemformuleringen (vi betegner den med I) vil oppstå hvis for eksempel de to første delene viser seg å være standard, og de tre neste er ikke-standard. Men begivenheten I vil også forekomme hvis første og tredje del viser seg å være standard og resten er ikke-standard, eller hvis andre og femte del er standard og resten er ikke-standard. Det er andre muligheter for at arrangementet kan skje I. Enhver av dem er preget av det faktum at av fem deler som er tatt, vil to, som opptar en hvilken som helst plass av fem, vise seg å være standard. Derfor, totalt antall ulike muligheter for at en hendelse kan inntreffe I er lik antall muligheter for å plassere to standarddeler på fem steder, dvs. er lik antall kombinasjoner av fem elementer med to, og .

Sannsynligheten for hver mulighet, i henhold tilremet, er lik produktet av fem faktorer, hvorav to, tilsvarende utseendet standarddeler er lik 0,9, og de resterende tre, tilsvarende utseendet til ikke-standarddeler, er lik 0,1, dvs. denne sannsynligheten er . Siden disse ti mulighetene er uforenlige hendelser, ifølge addisjonsteoremet, sannsynligheten for en hendelse I, som vi betegner

Eksempel 2. Sannsynligheten for at maskinen vil kreve oppmerksomhet fra en arbeider innen en time er 0,6. Forutsatt at problemene på maskinene er uavhengige, finn sannsynligheten for at en arbeiders oppmerksomhet innen en time vil kreve en maskin av de fire han betjener.

Løsning. Ved hjelp av Bernoullis formel på n=4 , m=1 , s=0,6 og q=1–s=0,4, får vi

Eksempel 3. For normal drift av samkjøringen må det være minst åtte kjøretøy på linjen, og det er ti av dem. Sannsynligheten for at hvert kjøretøy ikke kommer inn på linjen er 0,1. Finn sannsynligheten for normal drift av bildepotet neste dag.

Løsning. Samkjøringen vil fungere normalt (arrangement F), hvis åtte eller åtte kommer på nettet (begivenhet EN), eller ni (hendelse I), eller alle ti biler-arrangementet (event C). I følge teoremet om addisjon av sannsynligheter,

Vi finner hvert begrep i henhold til Bernoullis formel. Her n=10 , m=8; 10 og s=1-0,1=0,9, siden s skal indikere sannsynligheten for at kjøretøyet kommer inn på linjen; Deretter q=0,1. Som et resultat får vi

Eksempel 4. La sannsynligheten for at en kunde trenger herresko størrelse 41 være 0,25. Finn sannsynligheten for at minst to av seks kjøpere trenger sko i størrelse 41.

Definisjon av gjentatte uavhengige tester. Bernoulli formler for beregning av sannsynlighet og det mest sannsynlige tallet. Asymptotiske formler for Bernoullis formel (lokal og integral, Laplaces teoremer). Ved å bruke integralsetningen. Poissons formel for usannsynlige tilfeldige hendelser.

Gjentatte uavhengige tester

I praksis må vi forholde oss til oppgaver som kan representeres i form av gjentatte gjentatte tester, som følge av at hendelsen A kan eller ikke vises. I dette tilfellet er ikke resultatet av interessen resultatet av hver enkelt test, men Total forekomster av hendelse A som følge av et visst antall forsøk. I slike problemer må du kunne bestemme sannsynligheten for et hvilket som helst antall m forekomster av hendelse A som et resultat av n forsøk. Tenk på tilfellet når forsøkene er uavhengige og sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i hver prøve er konstant. Slike tester kalles gjentatt uavhengig.

Et eksempel på uavhengig testing er å sjekke egnetheten til produkter tatt fra en rekke batcher. Hvis prosentandelen av feil i disse partiene er den samme, er sannsynligheten for at det valgte produktet er defekt et konstant tall i hvert tilfelle.

Bernoullis formel

La oss bruke konseptet kompleks hendelse, som betyr kombinasjonen av flere elementære hendelser som består av opptreden eller ikke-forekomst av hendelse A i den i-te rettssaken. La det utføres n uavhengige forsøk, i hver av disse kan A enten vises med sannsynlighet p eller ikke vises med sannsynlighet q=1-p. Tenk på hendelsen B_m, som er at hendelsen A vil inntreffe nøyaktig m ganger i disse n forsøkene og derfor ikke vil inntreffe nøyaktig (n-m) ganger. La oss betegne A_i~(i=1,2,\ldots,(n)) forekomst av hendelse A, en \overline(A)_i - ikke-forekomst av hendelse A i den i-te prøven. På grunn av konstansen i testforholdene har vi

Hendelse A kan vises m ganger i forskjellige sekvenser eller kombinasjoner, alternerende med motsatt hendelse\overline(A) . Antall mulige kombinasjoner denne typen er lik antall kombinasjoner av n elementer med m, dvs. C_n^m. Følgelig kan hendelsen B_m representeres som en sum av komplekse hendelser som er inkonsistente med hverandre, og antall ledd er lik C_n^m:

B_m=A_1A_2\cdots(A_m)\overline(A)_(m+1)\cdots\overline(A)_n+\cdots+\overline(A)_1\overline(A)_2\cdots\overline(A)_( n-m)A_(n-m+1)\cdots(A_n),

der hvert produkt inneholder hendelsen A m ganger, og \overline(A) - (n-m) ganger.

Sannsynligheten for hver kompleks hendelse inkludert i formel (3.1), i henhold til sannsyfor uavhengige arrangementer er lik p^(m)q^(n-m) . Siden det totale antallet slike hendelser er lik C_n^m, bruker du sannsynlighetsaddisjonsteoremet for uforenlige hendelser, får vi sannsynligheten for hendelsen B_m (vi betegner den P_(m,n) )

P_(m,n)=C_n^mp^(m)q^(n-m)\quad \tekst(eller)\quad P_(m,n)=\frac(n){m!(n-m)!}p^{m}q^{n-m}. !}

Formel (3.2) kalles Bernoullis formel, og gjentatte forsøk som tilfredsstiller betingelsen om uavhengighet og konstanthet av sannsynlighetene for forekomsten av hendelse A i hver av dem kalles Bernoulli tester, eller Bernoulli-ordningen.

Eksempel 1. Sannsynligheten for å gå utover toleransesonen ved bearbeiding av deler på dreiebenk er 0,07. Bestem sannsynligheten for at av fem deler valgt tilfeldig under et skift, har en diameterdimensjoner som ikke samsvarer med den angitte toleransen.

Løsning. Tilstanden til problemet tilfredsstiller kravene i Bernoulli-ordningen. Derfor, forutsatt n=5,\,m=1,\,p=0,\!07, ved å bruke formel (3.2) får vi

P_(1,5)=C_5^1(0,\!07)^(1)(0,\!93)^(5-1)\ca.0,\!262.

Eksempel 2. Observasjoner har slått fast at i et bestemt område er det 12 regnværsdager i september. Hva er sannsynligheten for at av 8 dager valgt tilfeldig denne måneden, vil 3 dager være regnfulle?

Løsning.

P_(3;8)=C_8^3(\venstre(\frac(12)(30)\høyre)\^3{\left(1-\frac{12}{30}\right)\!}^{8-3}=\frac{8!}{3!(8-3)!}{\left(\frac{2}{5}\right)\!}^3{\left(\frac{3}{5}\right)\!}^5=56\cdot\frac{8}{125}\cdot\frac{243}{3125}=\frac{108\,864}{390\,625}\approx0,\!2787. !}

Mest sannsynlig antall forekomster av en hendelse

Mest sannsynlig dato for forekomsten hendelse A i n uavhengige forsøk kalles et slikt tall m_0 der sannsynligheten som tilsvarer dette tallet overstiger eller i det minste ikke er mindre enn sannsynligheten for hvert av de andre mulige tallene for forekomst av hendelse A. For å bestemme det mest sannsynlige antallet, er det ikke nødvendig å beregne sannsynlighetene for mulig antall forekomster av en hendelse; det er nok å vite antall forsøk n og sannsynligheten for forekomsten av hendelse A i en separat prøvelse. La oss betegne P_(m_0,n) sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet m_0. Ved å bruke formel (3.2) skriver vi

P_(m_0,n)=C_n^(m_0)p^(m_0)q^(n-m_0)=\frac(n{m_0!(n-m_0)!}p^{m_0}q^{n-m_0}. !}

I følge definisjonen av det mest sannsynlige tallet skal sannsynlighetene for at hendelse A skal inntreffe, henholdsvis m_0+1 og m_0-1 ganger, minst ikke overstige sannsynligheten P_(m_0,n), dvs.

P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0+1,n));\quad P_(m_0,n)\geqslant(P_(m_0-1,n))

Ved å erstatte verdien P_(m_0,n) og sannsynlighetsuttrykkene P_(m_0+1,n) og P_(m_0-1,n) i ulikhetene får vi

Å løse disse ulikhetene for m_0, får vi

M_0\geqslant(np-q),\quad m_0\leqslant(np+p)

Ved å kombinere de siste ulikhetene får vi dobbel ulikhet, som brukes til å bestemme det mest sannsynlige tallet:

Np-q\leqslant(m_0)\leqslant(np+p).

Siden lengden på intervallet definert av ulikhet (3.4) er lik én, dvs.

(np+p)-(np-q)=p+q=1,

og hendelsen kan forekomme i n forsøk bare et helt antall ganger, så bør det tas i betraktning at:

1) hvis np-q er et heltall, så er det to verdier av det mest sannsynlige tallet, nemlig: m_0=np-q og m"_0=np-q+1=np+p ;

2) hvis np-q er et brøktall, så er det ett mest sannsynlig tall, nemlig: det eneste heltall som finnes mellom brøktallene oppnådd fra ulikhet (3.4);

3) hvis np er et heltall, så er det ett mest sannsynlig tall, nemlig: m_0=np.

På store verdier n det er upraktisk å bruke formel (3.3) for å beregne sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet. Hvis vi erstatter Stirling-formelen med likhet (3.3)

N!\approx(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))),

gyldig for tilstrekkelig stor n, og ta det mest sannsynlige tallet m_0=np, så får vi en formel for omtrentlig beregning av sannsynligheten som tilsvarer det mest sannsynlige tallet:

P_(m_0,n)\approx\frac(n^ne^(-n)\sqrt(2\pi(n))\,p^(np)q^(nq))((np)^(np) e^(-np)\sqrt(2\pi(np))\,(nq)^(nq)e^(-nq)\sqrt(2\pi(nq)))=\frac(1)(\ sqrt(2\pi(npq)))=\frac(1)(\sqrt(2\pi)\sqrt(npq)).

Eksempel 2. Det er kjent at \frac(1)(15) en del av produktene som leveres av anlegget til handelsbasen ikke oppfyller alle kravene i standarden. Et parti på 250 varer ble levert til basen. Finn det mest sannsynlige antallet produkter som oppfyller kravene i standarden og beregn sannsynligheten for at denne batchen vil inneholde det mest sannsynlige antallet produkter.

Løsning. Etter tilstand n=250,\,q=\frac(1)(15),\,p=1-\frac(1)(15)=\frac(14)(15). I følge ulikhet (3.4) har vi

250\cdot\frac(14)(15)-\frac(1)(15)\leqslant(m_0)\leqslant250\cdot\frac(14)(15)+\frac(1)(15)

hvor 233,\!26\leqslant(m_0)\leqslant234,\!26. Følgelig er det mest sannsynlige antallet produkter som oppfyller kravene i standarden i et parti på 250 stk. tilsvarer 234. Ved å erstatte dataene i formel (3.5), beregner vi sannsynligheten for å ha det mest sannsynlige antallet produkter i partiet:

P_(234 250)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi\cdot250\cdot\frac(14)(15)\cdot\frac(1)(15)))\approx0,\!101

Lokalt Laplace-teorem

Det er veldig vanskelig å bruke Bernoullis formel for store verdier av n. For eksempel hvis n=50,\,m=30,\,p=0,\!1, så for å finne sannsynligheten P_(30.50) er det nødvendig å beregne verdien av uttrykket

P_(30.50)=\frac(50{30!\cdot20!}\cdot(0,\!1)^{30}\cdot(0,\!9)^{20} !}

Naturligvis oppstår spørsmålet: er det mulig å beregne sannsynligheten for interesse uten å bruke Bernoullis formel? Det viser seg at det er mulig. Lokal teorem Laplace gir en asymptotisk formel som lar oss tilnærmet finne sannsynligheten for at hendelser inntreffer nøyaktig m ganger i n forsøk, dersom antallet forsøk er stort nok.

Teorem 3.1. Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant og forskjellig fra null og én, så er sannsynligheten P_(m,n) for at hendelse A vil vises nøyaktig m ganger i n forsøk tilnærmet lik (jo mer nøyaktig, jo større n) til verdien av funksjonen

Y=\frac(1)(\sqrt(npq))\frac(e^(-x^2/2))(\sqrt(2\pi))=\frac(\varphi(x))(\sqrt (npq)) kl.

Det er tabeller som inneholder funksjonsverdier \varphi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\,e^(-x^2/2)), tilsvarende positive verdier av argumentet x. Til negative verdier argumenter bruker de samme tabellene, siden funksjonen \varphi(x) er partall, dvs. \varphi(-x)=\varphi(x).

Så omtrentlig er sannsynligheten for at hendelse A vil vises nøyaktig m ganger i n forsøk

P_(m,n)\approx\frac(1)(\sqrt(npq))\,\varphi(x), Hvor x=\frac(m-np)(\sqrt(npq)).

Eksempel 3. Finn sannsynligheten for at hendelse A vil inntreffe nøyaktig 80 ganger i 400 forsøk hvis sannsynligheten for at hendelse A inntreffer i hvert forsøk er 0,2.

Løsning. Etter tilstand n=400,\,m=80,\,p=0,\!2,\,q=0,\!8. La oss bruke den asymptotiske Laplace-formelen:

P_(80 400)\approx\frac(1)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8))\,\varphi(x)=\frac(1)(8)\,\varphi (x).

La oss beregne verdien x bestemt av oppgavedataene:

X=\frac(m-np)(\sqrt(npq))=\frac(80-400\cdot0,\!2)(8)=0.

I følge tabellen adj. 1 finner vi \varphi(0)=0,\!3989. Påkrevd sannsynlighet

P_(80,100)=\frac(1)(8)\cdot0,\!3989=0,\!04986.

Bernoullis formel fører til omtrent det samme resultatet (beregninger er utelatt på grunn av deres besværlighet):

P_(80,100)=0,\!0498.

Laplaces integralteorem

Anta at det utføres n uavhengige forsøk, hvor sannsynligheten for at hendelse A inntreffer er konstant og lik p. Det er nødvendig å beregne sannsynligheten P_((m_1,m_2),n) for at hendelse A vil vises i n forsøk minst m_1 og maksimalt m_2 ganger (for korthets skyld vil vi si "fra m_1 til m_2 ganger"). Dette kan gjøres ved å bruke Laplaces integralsetning.

Teorem 3.2. Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant og forskjellig fra null og én, så omtrentlig sannsynligheten P_((m_1,m_2),n) for at hendelse A vil vises i forsøk fra m_1 til m_2 ganger,

P_((m_1,m_2),n)\approx\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2) \,dx, Hvor .

Når du løser problemer som krever anvendelse av Laplaces integralsetning, brukes spesielle tabeller, siden ubestemt integral \int(e^(-x^2/2)\,dx) ikke uttrykt gjennom elementære funksjoner. Integrert bord \Phi(x)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\int\limits_(0)^(x)e^(-z^2/2)\,dz gitt i vedlegg. 2, hvor verdiene til funksjonen \Phi(x) er gitt for positive verdier x, for x<0 используют ту же таблицу (функция \Phi(x) нечетна, т. е. \Phi(-x)=-\Phi(x) ). Таблица содержит значения функции \Phi(x) лишь для x\in ; для x>5 kan vi ta \Phi(x)=0,\!5 .

Så omtrentlig sannsynligheten for at hendelse A vil dukke opp i n uavhengige forsøk fra m_1 til m_2 ganger er

P_((m_1,m_2),n)\approx\Phi(x"")-\Phi(x"), Hvor x"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq));~x""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq)).

Eksempel 4. Sannsynligheten for at en del er produsert i strid med standarder er p=0,\!2. Finn sannsynligheten for at det blant 400 tilfeldig utvalgte deler vil være fra 70 til 100 ikke-standarddeler.

Løsning. Etter tilstand p=0,\!2,\,q=0,\!8,\,n=400,\,m_1=70,\,m_2=100. La oss bruke Laplaces integralsetning:

P_((70,100),400)\approx\Phi(x")-\Phi(x").

La oss beregne grensene for integrasjon:

Nedre

X"=\frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=\frac(70-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8)) =-1,\!25,

øverste

X""=\frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=\frac(100-400\cdot0,\!2)(\sqrt(400\cdot0,\!2\cdot0,\!8) )=2,\!5,

Dermed

P_((70,100),400)\approx\Phi(2,\!5)-\Phi(-1,\!25)=\Phi(2,\!5)+\Phi(1,\!25) .

I følge tabellen adj. 2 finner vi

\Phi(2,\!5)=0,\!4938;~~~~~\Phi(1,\!25)=0,\!3944.

Påkrevd sannsynlighet

P_((70,100),400)=0,\!4938+0,\!3944=0,\!8882.

Anvendelse av Laplaces integralteorem

Hvis tallet m (antall forekomster av hendelse A i n uavhengige forsøk) endres fra m_1 til m_2, vil brøkdelen \frac(m-np)(\sqrt(npq)) vil variere fra \frac(m_1-np)(\sqrt(npq))=x" før \frac(m_2-np)(\sqrt(npq))=x"". Derfor kan Laplaces integralteorem også skrives som følger:

P\venstre\(x"\leqslant\frac(m-np)(\sqrt(npq))\leqslant(x"")\right\)=\frac(1)(\sqrt(2\pi))\ int\limits_(x")^(x"")e^(-x^2/2)\,dx.

La oss sette oppgaven med å finne sannsynligheten for at avviket til den relative frekvensen \frac(m)(n) fra den konstante sannsynligheten p med absolutt verdi ikke overskrider det angitte tallet \varepsilon>0 . Med andre ord finner vi sannsynligheten for ulikheten \venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon, som er det samme -\varepsilon\leqslant\frac(m)(n)-p\leqslant\varepsilon. Vi vil betegne denne sannsynligheten som følger: P\venstre\(\venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon\høyre\). Ved å ta hensyn til formel (3.6) for denne sannsynligheten får vi

P\venstre\(\venstre|\frac(m)(n)-p\høyre|\leqslant\varepsilon\høyre\)\approx2\Phi\left(\varepsilon\,\sqrt(\frac(n)(pq ))\Ikke sant).

Eksempel 5. Sannsynligheten for at delen er ikke-standard er p=0,\!1. Finn sannsynligheten for at blant tilfeldig valgte 400 deler vil den relative frekvensen av forekomst av ikke-standarddeler avvike fra sannsynligheten p=0,\!1 i absolutt verdi med ikke mer enn 0,03.

Løsning. Etter tilstand n=400,\,p=0,\!1,\,q=0,\!9,\,\varepsilon=0,\!03. Vi må finne sannsynligheten P\venstre\(\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\høyre|\leqslant0,\!03\høyre\). Ved å bruke formel (3.7) får vi

P\venstre\(\venstre|\frac(m)(400)-0,\!1\høyre|\leqslant0,\!03\høyre\)\approx2\Phi\left(0,\!03\sqrt( \frac(400)(0,\!1\cdot0,\!9))\right)=2\Phi(2)

I følge tabellen adj. 2 finner vi \Phi(2)=0,\!4772, derfor 2\Phi(2)=0,\!9544 . Så den ønskede sannsynligheten er omtrent 0,9544. Betydningen av resultatet er som følger: hvis du tar et tilstrekkelig stort antall prøver på 400 deler hver, vil i omtrent 95,44 % av disse prøvene avviket til den relative frekvensen fra den konstante sannsynligheten p=0.\!1 i absolutt verdien vil ikke overstige 0,03.

Poissons formel for usannsynlige hendelser

Hvis sannsynligheten p for forekomsten av en hendelse i en separat prøve er nær null, vil selv med stort nummer tester n, men med en liten verdi av produktet np, er sannsynlighetsverdiene P_(m,n) oppnådd fra Laplaces formel ikke nøyaktige nok og det er behov for en annen omtrentlig formel.

Teorem 3.3. Hvis sannsynligheten p for forekomsten av hendelse A i hvert forsøk er konstant, men liten, er antallet uavhengige forsøk n tilstrekkelig stort, men verdien av produktet np=\lambda forblir liten (ikke mer enn ti), så er sannsynligheten at hendelse A vil inntreffe m ganger i disse forsøkene er

P_(m,n)\approx\frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda}. !}

For å forenkle beregninger ved hjelp av Poisson-formelen, er det satt sammen en tabell med Poisson-funksjonsverdier \frac(\lambda^m)(m\,e^{-\lambda} !}(se vedlegg 3).

Eksempel 6. La sannsynligheten for å produsere en ikke-standard del være 0,004. Finn sannsynligheten for at det blant 1000 deler vil være 5 ikke-standardiserte.

Løsning. Her n=1000,p=0,004,~\lambda=np=1000\cdot0,\!004=4. Alle tre tallene tilfredsstiller kravene i teorem 3.3, derfor bruker vi Poisson-formelen for å finne sannsynligheten for den ønskede hendelsen P_(5,1000). Fra verditabellen til Poisson-funksjonen (vedlegg 3) med \lambda=4;m=5 får vi P_(51000)\ca.0,\!1563.

La oss finne sannsynligheten for samme hendelse ved å bruke Laplaces formel. For å gjøre dette, beregner vi først verdien av x som tilsvarer m=5:

X=\frac(5-1000\cdot0,\!004)(\sqrt(1000\cdot0,\!004\cdot0,\!996))\approx\frac(1)(1,\!996)\approx0 ,\!501.

Derfor, i henhold til Laplaces formel, ønsket sannsynlighet

P_(5,1000)\approx\frac(\varphi(0,\!501))(1,\!996)\approx\frac(0,\!3519)(1,\!996)\approx0,\ !1763

og i henhold til Bernoullis formel er dens eksakte verdi

P_(5,1000)=C_(1000)^(5)\cdot0,\!004^5\cdot0,\!996^(995)\ca.0,\!1552.

Dermed, relativ feil beregne sannsynlighetene P_(5,1000) ved å bruke den omtrentlige Laplace-formelen er

\frac(0,\!1763-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!196, eller 13.\!6\%

og i henhold til Poisson-formelen -

\frac(0,\!1563-0,\!1552)(0,\!1552)\approx0,\!007, eller 0.\!7\%

Det vil si mange ganger mindre.
Gå til neste seksjon
Endimensjonale tilfeldige variabler JavaScript er deaktivert i nettleseren din.
For å utføre beregninger må du aktivere ActiveX-kontroller!