Hva er normalt? Med enkle ord, normalen er vinkelrett. Det vil si at normalvektoren til en linje er vinkelrett på den gitte linjen. Det er åpenbart at enhver rett linje har et uendelig antall av dem (i tillegg til retningsvektorer), og alle de normale vektorene til den rette linjen vil være kollineære (samdireksjonelle eller ikke - det spiller ingen rolle).

Å håndtere dem vil være enda enklere enn med retningsvektorer:

Hvis linjen er gitt av den generelle ligningen i rektangulært system koordinater, så er vektoren normalvektoren til den gitte linjen.

Hvis koordinatene til retningsvektoren må "trekkes ut" forsiktig fra ligningen, blir koordinatene til normalvektoren ganske enkelt "fjernet".

Normalvektoren er alltid ortogonal på retningsvektoren til linjen. La oss sørge for at disse vektorene er ortogonale ved å bruke skalarproduktet:

Jeg vil gi eksempler med de samme ligningene som for retningsvektoren:

Er det mulig å skrive en likning av en rett linje, kjenne til ett punkt og en normalvektor? Hvis normalvektoren er kjent, er retningen til den retteste linjen også unikt bestemt - dette er en "stiv struktur" med en vinkel på 90 grader.

Hvordan skrive en likning av en rett linje gitt et punkt og en normalvektor?

Hvis et punkt som tilhører linjen og normalvektoren til denne linjen er kjent, uttrykkes ligningen til denne linjen med formelen:

Komponer ligningen for en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til den rette linjen.

Løsning: Bruk formelen:

Den generelle ligningen for den rette linjen er oppnådd, la oss sjekke:

1) "Fjern" koordinatene til normalvektoren fra ligningen: - ja, faktisk, den opprinnelige vektoren er hentet fra tilstanden (eller vektoren bør være kollineær til den opprinnelige vektoren).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller ligningen:

Ekte likestilling.

Etter at vi er overbevist om at ligningen er riktig, vil vi fullføre den andre, enklere delen av oppgaven. Vi trekker ut retningsvektoren til den rette linjen:

Svar:

På tegningen er situasjonen som følger:

For opplæringsformål, en lignende oppgave for uavhengig avgjørelse:

Komponer ligningen for en rett linje gitt et punkt og en normalvektor. Finn retningsvektoren til den rette linjen.

Den siste delen av leksjonen vil bli viet til mindre vanlige, men også viktige arter ligninger av en rett linje på et plan

Ligning av en rett linje i segmenter.
Ligning av en rett linje i parametrisk form

Ligningen av en rett linje i segmenter har formen , hvor er konstanter som ikke er null. Noen typer ligninger kan ikke representeres i denne formen, for eksempel direkte proporsjonalitet (siden frileddet er null og det ikke er mulig å få en på høyre side).

Dette er, billedlig talt, en "teknisk" type ligning. Den vanlige oppgaven er å representere den generelle ligningen til en rett linje som en ligning av en rett linje i segmenter. Hvorfor er det praktisk? Ligningen av en rett linje i segmenter lar deg raskt finne skjæringspunktene til en rett linje med koordinatakser, som er veldig viktig i noen problemer med høyere matematikk.

Finn skjæringspunktet mellom linjen og aksen. Vi tilbakestiller "y", og ligningen har formen . Det ønskede punktet oppnås automatisk: .

Samme med akse er punktet der linjen skjærer y-aksen.

Handlingene som jeg nettopp har forklart i detalj, utføres verbalt.

Gitt en rett linje. Komponer ligningen for en rett linje i segmenter og bestem skjæringspunktene til grafen med koordinataksene.

Løsning: La oss bringe ligningen til skjemaet . Først flytter vi friterminen til høyre side:

For å få en enhet til høyre deler vi hvert ledd i ligningen med -11:

Vi lager brøker i tre etasjer:

Skjæringspunktene for den rette linjen med koordinataksene dukket opp:

Svar:

Det gjenstår å feste en linjal og tegne en rett linje.

Det er lett å se at denne rette linjen er unikt bestemt av de røde og grønne segmentene, derav navnet - "ligningen av en rett linje i segmenter".

Selvfølgelig er ikke poengene så vanskelige å finne ut fra ligningen, men problemet er likevel nyttig. Den betraktede algoritmen vil være nødvendig for å finne skjæringspunktene til planet med koordinataksene, for å bringe andreordens linjeligningen til den kanoniske formen, og i noen andre problemer. Derfor et par rette linjer for en uavhengig løsning:

Komponer ligningen til en rett linje i segmenter og bestem punktene for dens skjæringspunkt med koordinataksene.

Løsninger og svar til slutt. Ikke glem at hvis du ønsker det, kan du tegne alt.

Hvordan skrive parametriske ligninger for en rett linje?

Parametriske ligninger linjer er mer relevante for linjer i rommet, men uten dem vil vårt abstrakte bli foreldreløst.

Hvis et punkt som tilhører linjen og retningsvektoren til denne linjen er kjent, er de parametriske ligningene til denne linjen gitt av systemet:

Komponer parametriske ligninger av en rett linje med et punkt og en retningsvektor

Løsningen ble avsluttet før den kunne starte:

Parameteren "te" kan ta hvilken som helst verdi fra "minus uendelig" til "pluss uendelig", og hver parameterverdi tilsvarer et spesifikt punkt på planet. For eksempel, hvis , så får vi et poeng .

Omvendt problem: hvordan sjekke om et betingelsespunkt tilhører en gitt linje?

La oss erstatte koordinatene til punktet i de oppnådde parametriske ligningene:

Fra begge ligningene følger det at , det vil si at systemet er konsistent og har en unik løsning.

La oss vurdere mer meningsfulle oppgaver:

Komponer parametriske ligninger av en rett linje

Løsning: Etter betingelse er linjen gitt inn generelt syn. For å komponere de parametriske ligningene til en rett linje, må du kjenne dens retningsvektor og et punkt som tilhører denne rette linjen.

La oss finne retningsvektoren:

Nå må du finne et punkt som tilhører linjen (enhver vil gjøre det), for dette formålet er det praktisk å omskrive den generelle ligningen i form av en ligning med en helning:

Det gir selvfølgelig poenget

Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen:

Og til slutt en liten kreativ oppgave for en uavhengig løsning.

Komponer parametriske ligninger av en rett linje hvis punktet som tilhører den og normalvektoren er kjent

Oppgaven kan fullføres den eneste måten. En av versjonene av løsningen og svaret på slutten.

Løsninger og svar:

Eksempel 2: Løsning: Finn skråningen:

Vi komponerer likningen av en rett linje ved hjelp av et punkt og vinkelkoeffisient :

Svar:

Eksempel 4: Løsning: Vi skal komponere likningen av en rett linje i henhold til formelen:

Svar:

Eksempel 6: Løsning: Bruk formelen:

Svar: (y-akse)

Eksempel 8: Løsning: La oss lage likningen av en rett linje på to punkter:

Multipliser begge sider med -4:

Og del på 5:

Svar:

Eksempel 10: Løsning: Bruk formelen:

Vi reduserer med -2:

Retning vektor direkte:
Svar:

Eksempel 12:
en) Løsning: La oss transformere ligningen:

På denne måten:

Svar:

b) Løsning: La oss transformere ligningen:

På denne måten:

Svar:

Eksempel 15: Løsning: Først skriver vi den generelle ligningen for en rett linje gitt et punkt og normalvektoren :

Multipliser med 12:

Vi multipliserer med 2 til, slik at etter å ha åpnet den andre parentesen, blir du kvitt brøken:

Retning vektor direkte:
Vi komponerer de parametriske ligningene til den rette linjen ved punktet og retningsvektor :
Svar:

De enkleste problemene med en rett linje på et fly.
Gjensidig ordning direkte. Vinkel mellom linjene

Vi fortsetter å vurdere disse uendelig-uendelige linjene.

Hvordan finne avstanden fra et punkt til en linje?
Hvordan finne avstanden mellom to parallelle linjer?
Hvordan finne vinkelen mellom to linjer?

Gjensidig arrangement av to rette linjer

Tenk på to rette linjer gitt av ligninger i generell form:

Saken når salen synger med i kor. To linjer kan:

1) match;

2) være parallell: ;

3) eller kryss på et enkelt punkt: .

Vennligst husk matematisk tegn kryss, vil det forekomme svært ofte. Oppføringen betyr at linjen skjærer linjen i punktet.

Hvordan bestemme den relative plasseringen av to linjer?

La oss starte med det første tilfellet:

To linjer faller sammen hvis og bare hvis deres respektive koeffisienter er proporsjonale, det vil si at det er så mange "lambda" at likhetene holder

La oss vurdere rette linjer og komponere tre likninger fra de tilsvarende koeffisientene: . Fra hver ligning følger det at derfor disse linjene faller sammen.

Faktisk, hvis alle koeffisientene til ligningen multipliser med -1 (endre fortegn), og alle koeffisientene til ligningen reduser med 2, du får samme ligning:.

Det andre tilfellet når linjene er parallelle:

To linjer er parallelle hvis og bare hvis koeffisientene ved variablene er proporsjonale: , men .

Som et eksempel, tenk på to rette linjer. Vi sjekker proporsjonaliteten til de tilsvarende koeffisientene for variablene:

Det er imidlertid klart at.

Og det tredje tilfellet, når linjene krysser hverandre:

To linjer krysser hverandre hvis og bare hvis koeffisientene deres ved variablene IKKE er proporsjonale, det vil si at det IKKE er en slik verdi av "lambda" at likhetene er oppfylt

Så for rette linjer vil vi komponere et system:

Det følger av den første ligningen at , og av den andre ligningen: , som betyr at systemet er inkonsekvent (det finnes ingen løsninger). Dermed er koeffisientene ved variablene ikke proporsjonale.

Konklusjon: linjer krysser hverandre

I praktiske problemer kan løsningsskjemaet som nettopp er vurdert, brukes. Den er forresten veldig lik algoritmen for å sjekke vektorer for kollinearitet. Men det er en mer sivilisert pakke:

Finn ut den relative plasseringen av linjene:

Løsningen er basert på studiet av retningsvektorer av rette linjer:

a) Fra ligningene finner vi retningsvektorene til linjene: .

, så vektorene er ikke kollineære og linjene krysser hverandre.

b) Finn retningsvektorene til linjene:

Linjene har samme retningsvektor, noe som betyr at de enten er parallelle eller like. Her er ikke determinanten nødvendig.

Selvfølgelig er koeffisientene til de ukjente proporsjonale, mens .

La oss finne ut om likheten er sann:

På denne måten,

c) Finn retningsvektorene til linjene:

La oss beregne determinanten, sammensatt av koordinatene til disse vektorene:
, derfor er retningsvektorene kollineære. Linjene er enten parallelle eller sammenfallende.

Proporsjonalitetskoeffisienten "lambda" kan finnes direkte ved forholdet mellom kollineære retningsvektorer. Imidlertid er det også mulig gjennom koeffisientene til selve ligningene: .

La oss nå finne ut om likheten er sann. Begge gratisvilkårene er null, så:

Den resulterende verdien tilfredsstiller denne ligningen (hvilket som helst tall tilfredsstiller den vanligvis).

Dermed faller linjene sammen.

Hvordan tegne en linje parallelt med en gitt?

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en ligning for en parallell linje som går gjennom punktet.

Løsning: Angi den ukjente rette linjen med bokstaven . Hva sier tilstanden om det? Linjen går gjennom punktet. Og hvis linjene er parallelle, så er det åpenbart at retningsvektoren til linjen "ce" også er egnet for å konstruere linjen "te".

Vi tar ut retningsvektoren fra ligningen:

Geometrien til eksemplet ser enkel ut:

Analytisk verifisering består av følgende trinn:

1) Vi sjekker at linjene har samme retningsvektor (hvis likningen til linjen ikke er riktig forenklet, vil vektorene være kollineære).

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen.

Analytisk verifisering er i de fleste tilfeller lett å utføre verbalt. Se på de to ligningene, og mange av dere vil raskt finne ut hvordan linjene er parallelle uten noen tegning.

Eksempler på selvløsning i dag vil være kreative.

Skriv en ligning for en linje som går gjennom et punkt parallelt med linjen if

Den korteste veien er på slutten.

Hvordan finne skjæringspunktet mellom to linjer?

Hvis rett skjærer i punktet , så er koordinatene løsningen av systemet lineære ligninger

Hvordan finne skjæringspunktet mellom linjer? Løs systemet.

Her er til deg geometrisk betydning systemer av to lineære ligninger med to ukjente er to kryssende (oftest) rette linjer i planet.

Finn skjæringspunktet mellom linjer

Løsning: Det er to måter å løse - grafisk og analytisk.

Grafisk måte er å ganske enkelt tegne de gitte linjene og finne ut skjæringspunktet direkte fra tegningen:

Her er poenget vårt:. For å sjekke, bør du erstatte koordinatene i hver ligning på en rett linje, de skal passe både der og der. Med andre ord er koordinatene til et punkt løsningen av systemet. Faktisk har vi vurdert en grafisk metode for å løse et system av lineære ligninger med to ligninger, to ukjente.

Den grafiske metoden er selvfølgelig ikke dårlig, men det er merkbare ulemper. Nei, poenget er ikke at sjuendeklassinger bestemmer seg på denne måten, poenget er at det vil ta tid å lage en riktig og NØYAKTIG tegning. I tillegg er noen linjer ikke så enkle å konstruere, og selve skjæringspunktet kan være et sted i det trettiende rike utenfor notatbokarket.

Derfor er det mer hensiktsmessig å se etter skjæringspunktet analytisk metode. La oss løse systemet:

For å løse systemet ble metoden med termvis addisjon av ligninger brukt.

Verifikasjonen er triviell - koordinatene til skjæringspunktet må tilfredsstille hver likning i systemet.

Finn skjæringspunktet for linjene hvis de skjærer hverandre.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er praktisk å dele problemet inn i flere stadier. Analyse av tilstanden tyder på at det er nødvendig:
1) Skriv ligningen til en rett linje.
2) Skriv ligningen til en rett linje.
3) Finn ut den relative plasseringen av linjene.
4) Hvis linjene skjærer hverandre, finn skjæringspunktet.

Utviklingen av en handlingsalgoritme er typisk for mange geometriske problemer, og jeg vil fokusere på dette gjentatte ganger.

Komplett løsning og svaret på slutten:

Vinkelrette linjer. Avstanden fra et punkt til en linje.
Vinkel mellom linjene

Hvordan tegne en linje vinkelrett på en gitt?

Den rette linjen er gitt av ligningen. Skriv en likning for en vinkelrett linje som går gjennom et punkt.

Løsning: Det er kjent ved å anta at . Det ville vært fint å finne retningsvektoren til den rette linjen. Siden linjene er vinkelrette, er trikset enkelt:

Fra ligningen "fjerner" vi normalvektoren: , som vil være retningsvektoren til den rette linjen.

Vi komponerer likningen av en rett linje med et punkt og en retningsvektor:

Svar:

La oss brette ut den geometriske skissen:

Analytisk verifisering av løsningen:

1) Trekk ut retningsvektorene fra ligningene og ved å bruke skalarproduktet til vektorer konkluderer vi med at linjene faktisk er vinkelrette: .

Du kan forresten bruke vanlige vektorer, det er enda enklere.

2) Sjekk om punktet tilfredsstiller den resulterende ligningen .

Verifisering, igjen, er enkel å utføre verbalt.

Finn skjæringspunktet mellom vinkelrette linjer, hvis ligningen er kjent og prikk.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Det er flere handlinger i oppgaven, så det er praktisk å ordne løsningen punkt for punkt.

Avstand fra punkt til linje

Avstanden i geometri er tradisjonelt betegnet med den greske bokstaven "p", for eksempel: - avstanden fra punktet "m" til den rette linjen "d".

Avstand fra punkt til linje uttrykkes med formelen

Finn avstanden fra et punkt til en linje

Løsning: alt du trenger å gjøre er å koble tallene forsiktig inn i formelen og gjøre beregningene:

Svar:

La oss utføre tegningen:

Avstanden funnet fra punktet til linjen er nøyaktig lengden på det røde segmentet. Hvis du lager en tegning på rutete papir i en skala på 1 enhet. \u003d 1 cm (2 celler), så kan avstanden måles med en vanlig linjal.

Vurder en annen oppgave i henhold til samme tegning:

Hvordan konstruere et punkt symmetrisk om en rett linje?

Oppgaven er å finne koordinatene til punktet, som er symmetrisk med punktet i forhold til linjen . Jeg foreslår å utføre handlingene på egen hånd, men jeg vil utpeke løsningsalgoritmen med mellomresultater:

1) Finn en linje som er vinkelrett på en linje.

2) Finn skjæringspunktet mellom linjene: .

I geometri er vinkelen mellom to rette linjer tatt som den MINDRE vinkelen, hvorav det automatisk følger at den ikke kan være stump. På figuren regnes ikke vinkelen angitt av den røde buen som vinkelen mellom kryssende linjer. Og dens "grønne" nabo eller motsatt orienterte "bringebær"-hjørne betraktes som sådan.

Hvis linjene er vinkelrette, kan en hvilken som helst av de 4 vinklene tas som vinkelen mellom dem.

Hvordan er vinklene forskjellige? Orientering. For det første er retningen for å "rulle" hjørnet grunnleggende viktig. For det andre skrives en negativt orientert vinkel med et minustegn, for eksempel hvis .

Hvorfor sa jeg dette? Det ser ut til at du kan klare deg med det vanlige konseptet med en vinkel. Faktum er at i formlene som vi vil finne vinklene med, kan det lett vise seg negativt resultat og det burde ikke overraske deg. En vinkel med et minustegn er ikke verre, og har en veldig spesifikk geometrisk betydning. På tegningen for negativ vinkel sørg for å angi orienteringen (med klokken) med en pil.

Basert på det foregående er løsningen praktisk formalisert i to trinn:

1) Beregn skalarproduktet av retningsvektorer av rette linjer:
så linjene er ikke vinkelrette.

2) Vi finner vinkelen mellom linjene ved formelen:

Ved bruk av invers funksjon lett å finne selve hjørnet. I dette tilfellet bruker vi oddeligheten til buetangensen:

Svar:

I svaret angir vi den nøyaktige verdien, samt den omtrentlige verdien (gjerne både i grader og i radianer), beregnet ved hjelp av en kalkulator.

Vel, minus, så minus, det er greit. Her er en geometrisk illustrasjon:

Det er ikke overraskende at vinkelen viste seg å ha en negativ orientering, fordi i tilstanden til problemet er det første tallet en rett linje og "vridningen" av vinkelen begynte nøyaktig fra den.

Det finnes også en tredje løsning. Ideen er å beregne vinkelen mellom retningsvektorene til linjene:

Her snakker vi ikke om en orientert vinkel, men "bare om en vinkel", det vil si at resultatet helt sikkert vil være positivt. Haken er at det kan skje stump vinkel(ikke den du vil ha). I dette tilfellet må du ta forbehold om at vinkelen mellom linjene er en mindre vinkel, og trekke den resulterende buecosinus fra "pi" radianer (180 grader).

Finn vinkelen mellom linjene.

Dette er et gjør-det-selv eksempel. Prøv å løse det på to måter.

Løsninger og svar:

Eksempel 3: Løsning: Finn retningsvektoren til den rette linjen:

Vi skal komponere ligningen for den ønskede rette linjen ved å bruke punktet og retningsvektoren

Merk: her multipliseres den første ligningen i systemet med 5, deretter trekkes den andre ledd for ledd fra den første ligningen.
Svar:

Koordinatmetoden er meget effektiv og universell måte finne vinkler eller avstander mellom stereometriske objekter i rommet. Hvis mattelæreren din har høyt kvalifisert da burde han vite det. Ellers vil jeg anbefale for "C"-delen å bytte veileder. Min forberedelse til eksamen i matematikk C1-C6 inkluderer vanligvis en analyse av de grunnleggende algoritmene og formlene beskrevet nedenfor.

Vinkel mellom linje a og b

Vinkelen mellom linjer i rommet er vinkelen mellom eventuelle kryssende linjer parallelt med dem. Dette hjørnet lik vinkelen mellom retningsvektorene til disse linjene (eller utfyller den til 180 grader).

Hvilken algoritme bruker matteveilederen for å finne vinkelen?

1) Velg hvilke som helst vektorer og har retninger av linjene a og b (parallell med dem).
2) Vi bestemmer koordinatene til vektorene og av de tilsvarende koordinatene til deres begynnelse og slutt (koordinatene til begynnelsen må trekkes fra koordinatene til slutten av vektoren).
3) Vi erstatter de funnet koordinatene i formelen:
. For å finne selve vinkelen må du finne buekosinus til resultatet.

Normal til fly

En normal til et plan er en hvilken som helst vektor vinkelrett på det planet.
Hvordan finne det normale? For å finne koordinatene til normalen, er det nok å kjenne koordinatene til alle tre punkter M, N og K som ligger i det gitte planet. Ved å bruke disse koordinatene finner vi koordinatene til vektorene og krever at betingelsene og er tilfredsstilt. Ved å likestille skalarproduktet av vektorer til null, komponerer vi et likningssystem med tre variabler, hvorfra vi kan finne koordinatene til normalen.

Mattelærerens notat : Det er ikke nødvendig å løse systemet fullstendig, fordi det er nok å velge minst en normal. For å gjøre dette, kan du erstatte et hvilket som helst tall (for eksempel en) i stedet for noen av dets ukjente koordinater og løse et system med to ligninger med de resterende to ukjente. Hvis den ikke har noen løsninger, betyr dette at i normalfamilien er det ingen som har en enhet for den valgte variabelen. Bytt deretter ut en med en annen variabel (en annen koordinat) og løs nytt system. Hvis du bommer igjen, vil normalen din ha en enhet langs den siste koordinaten, og den vil vise seg å være parallell med noen koordinatplan(i dette tilfellet er det lett å finne det uten system).

La oss si at vi får en linje og et plan med koordinatene til retningsvektoren og normalen
Vinkelen mellom en rett linje og et plan beregnes ved hjelp av følgende formel:

La og være hvilke som helst to normaler til de gitte planene. Deretter cosinus til vinkelen mellom planene lik modulo cosinus av vinkelen mellom normalene:

Ligning av et plan i rommet

Poeng som tilfredsstiller likheten danner et plan med normalen. Koeffisienten er ansvarlig for mengden av avvik (parallellforskyvning) mellom to plan med samme gitte normal. For å skrive ligningen til et plan, må du først finne normalen (som beskrevet ovenfor), og deretter erstatte koordinatene til et hvilket som helst punkt på planet, sammen med koordinatene til den funnet normalen, inn i ligningen og finne koeffisienten .

Normalvektoren til overflaten i et punkt faller sammen med normalen til tangentplanet i det punktet.

Normal vektor til overflaten i et gitt punkt er enhetsvektoren påført det gitte punktet og parallelt med retningen til normalen. For hvert punkt på en jevn overflate kan du angi to normalvektorer som er forskjellige i retning. Hvis et kontinuerlig felt av normale vektorer kan defineres på en overflate, så sies dette feltet å definere orientering overflate (det vil si velger en av sidene). Hvis dette ikke lar seg gjøre, kalles overflaten ikke-orienterbar.

Tilsvarende definert normal vektor til kurven på et gitt punkt. Det er åpenbart at uendelig mange faktorer kan brukes på kurven på et gitt punkt. parallelle vektorer normaler (ligner på hvor uendelig mange ikke-parallelle tangentvektorer kan brukes på en overflate). Blant dem er to valgt som er ortogonale til hverandre: hovednormalvektoren og binormalvektoren.

se også

Litteratur

• Pogorelov A. I. Differensialgeometri (6. utgave). M.: Nauka, 1974 (djvu)

Wikimedia Foundation. 2010 .

Synonymer:

• Slaget ved Trebbia (1799)
• Grammonitt

Se hva "Normal" er i andre ordbøker:

VANLIG- (fr.). Vinkelrett på tangenten trukket til kurven ved det gitte punktet hvis normalen søkes etter. Ordbok fremmedord inkludert i det russiske språket. Chudinov A.N., 1910. NORMAL vinkelrett linje til tangenten trukket til ... ... Ordbok for utenlandske ord i det russiske språket

vanlig- og bra. normal f. lat. normalis. 1. matte. Vinkelrett på en tangentlinje eller et plan, som går gjennom tangentpunktet. BASS 1. Normal linje, eller normal. I analytisk geometri er dette navnet på en rett linje vinkelrett på ... ... Historisk ordbok gallisisme av det russiske språket

vanlig- vinkelrett. Maur. parallell ordbok over russiske synonymer. normalt substantiv, antall synonymer: 3 binormale (1) … Synonymordbok

VANLIG- (fra lat. normalis rett linje) til en buet linje (overflate) ved det gitte punktet, en rett linje som går gjennom dette punktet og vinkelrett på tangentlinjen (tangensplanet) på dette punktet ...

VANLIG- foreldet navn på standarden ... Stor encyklopedisk ordbok

VANLIG- NORMAL, normal, kvinne. 1. Vinkelrett på en tangentlinje eller et plan, som går gjennom kontaktpunktet (mat.). 2. Detalj av en fabrikkinstallert prøve (tech.). Ordbok Usjakov. D.N. Usjakov. 1935 1940 ... Ushakovs forklarende ordbok

vanlig- normal vertikal standard ekte - [L.G.Sumenko. Engelsk russisk ordbok for informasjonsteknologi. M.: Fastlege TsNIIS, 2003.] Emner Informasjonsteknologi generelt Synonymer normalverticalstandardreal EN normal ... Teknisk oversetterhåndbok

vanlig- og; og. [fra lat. normalis rettlinjet] 1. Mat. Vinkelrett på en tangentlinje eller et plan som går gjennom tangentpunktet. 2. Tekn. Detalj av den etablerte prøven. * * * normal I (fra lat. normalis rett) til en buet linje (overflate) i ... ... encyklopedisk ordbok

VANLIG- (fransk normal normal, norm, fra lat. normalis rett) 1) N. i standarden og for og og foreldet navn. standard. 2) N. i matematikk kalles N. til en kurve (overflate) i et gitt punkt. en rett linje som går gjennom dette punktet og vinkelrett på tangenten. ... ... Stor encyklopedisk polyteknisk ordbok

vanlig- normalė statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. vanlig vok. Normale, f rus. normal, franc. normale, f … Fizikos terminų žodynas

Bøker

• Geometry of Algebraic Equations Solvable in Radicals: With Applications in Numerical Methods and Computational Geometry, G.P. Kutishchev. I denne boken om teoretisk nivå litt høyere enn skolen, veldig detaljert vurdert algebraiske ligninger, innrømme en løsning i elementære operasjoner, eller en løsning i radikaler. Disse…

Planligning. Hvordan skrive en ligning for et fly?
Gjensidig arrangement av fly. Oppgaver

Romlig geometri er ikke mye mer komplisert enn "flat" geometri, og våre flyvninger i rommet begynner med denne artikkelen. For å forstå temaet må man ha god forståelse for vektorer, i tillegg er det ønskelig å være kjent med flyets geometri - det vil være mange likheter, mange analogier, så informasjonen vil bli fordøyd mye bedre. I en serie av leksjonene mine åpner 2D-verdenen med en artikkel Ligning av en rett linje på et plan. Men nå har Batman gått av flatskjerm-TVen og lanserer fra Baikonur Cosmodrome.

La oss starte med tegninger og symboler. Skjematisk kan flyet tegnes som et parallellogram, som gir inntrykk av plass:

Flyet er uendelig, men vi har muligheten til å avbilde bare et stykke av det. I praksis, i tillegg til parallellogrammet, tegnes også en oval eller til og med en sky. Av tekniske årsaker er det mer praktisk for meg å avbilde flyet på denne måten og i denne posisjonen. Ekte fly, som vi vil vurdere i praktiske eksempler, kan ordnes som du vil - mentalt ta tegningen i hendene og vri den i rommet, og gi flyet en hvilken som helst helling, hvilken som helst vinkel.

Notasjon: det er vanlig å angi fly med små greske bokstaver, tilsynelatende for ikke å forveksle dem med rett på flyet eller med rett i rommet. Jeg er vant til å bruke bokstaven. På tegningen er det bokstaven "sigma", og ikke et hull i det hele tatt. Selv om det er et hullet fly, er det absolutt veldig morsomt.

I noen tilfeller er det praktisk å bruke de samme greske bokstavene med abonnenter for å angi fly, for eksempel .

Det er åpenbart at flyet er unikt bestemt av tre forskjellige punkter som ikke ligger på samme rette linje. Derfor er trebokstavsbetegnelser for fly ganske populære - i henhold til punktene som tilhører dem, for eksempel, etc. Ofte er bokstaver vedlagt i parentes: , for ikke å forveksle flyet med en annen geometrisk figur.

For erfarne lesere vil jeg gi snarveimeny:

• Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og to vektorer?
• Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

og vi vil ikke syte bort lange ventetider:

Generell ligning for flyet

Den generelle ligningen til planet har formen , hvor koeffisientene samtidig er ikke-null.

En rekke teoretiske beregninger og praktiske problemer er gyldige både for det vanlige ortonormalgrunnlaget og for affint grunnlag plass (hvis oljen er olje, gå tilbake til leksjonen Lineær (ikke) avhengighet av vektorer. Vektor basis). For enkelhets skyld vil vi anta at alle hendelser skjer på ortonormal basis og et kartesisk rektangulært koordinatsystem.

Og nå skal vi øve litt romlig fantasi. Det er greit hvis du har det dårlig, nå skal vi utvikle det litt. Selv å spille på nerver krever trening.

I selve generell sak, når tallene ikke er null, skjærer planet alle tre koordinataksene. For eksempel slik:

Jeg gjentar nok en gang at flyet fortsetter i det uendelige i alle retninger, og vi har mulighet til å avbilde bare en del av det.

Tenk på de enkleste likningene av fly:

Hvordan å forstå gitt ligning? Tenk på det: "Z" ALLTID, for alle verdier av "X" og "Y" er lik null. Dette er ligningen til det "native" koordinatplanet. Formelt kan ligningen faktisk omskrives som følger: , hvor det er tydelig synlig at vi ikke bryr oss, hvilke verdier "x" og "y" tar, er det viktig at "z" er lik null.

På samme måte:
er ligningen til koordinatplanet ;
er ligningen til koordinatplanet.

La oss komplisere problemet litt, vurdere et plan (her og videre i avsnittet antar vi at de numeriske koeffisientene ikke er lik null). La oss omskrive ligningen i formen: . Hvordan forstå det? "X" er ALLTID, for enhver verdi av "y" og "z" er lik et visst tall. Dette planet er parallelt med koordinatplanet. For eksempel er et plan parallelt med et plan og går gjennom et punkt.

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinatplanet;
- ligningen til et plan som er parallelt med koordinatplanet.

Legg til medlemmer: . Ligningen kan skrives om slik: , det vil si at "Z" kan være hva som helst. Hva betyr det? "X" og "Y" er forbundet med et forhold som tegner en bestemt rett linje i planet (du vil gjenkjenne ligning av en rett linje i et plan?). Siden Z kan være hva som helst, blir denne linjen "replisert" i hvilken som helst høyde. Dermed definerer ligningen et plan parallelt med koordinataksen

På samme måte:
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen;
- ligningen til planet, som er parallell med koordinataksen.

Hvis de frie leddene er null, vil flyene direkte passere gjennom de tilsvarende aksene. For eksempel den klassiske "direkte proporsjonalitet":. Tegn en rett linje i flyet og multipliser den mentalt opp og ned (siden "z" er hvilken som helst). Konklusjon: fly, gitt av ligningen, går gjennom koordinataksen .

Vi avslutter gjennomgangen: flyets ligning går gjennom origo. Vel, her er det ganske åpenbart at punktet tilfredsstiller den gitte ligningen.

Og til slutt tilfellet som er vist på tegningen: - flyet er venner med alle koordinatakser, mens det alltid "skjærer av" en trekant som kan lokaliseres i hvilken som helst av de åtte oktantene.

Lineære ulikheter i rommet

For å forstå informasjonen er det nødvendig å studere godt lineære ulikheter i planet fordi mange ting vil ligne. Avsnittet vil være en kort oversikt med noen få eksempler, siden materialet er ganske sjeldent i praksis.

Hvis ligningen definerer et plan, så er ulikhetene
spørre halve mellomrom. Hvis ulikheten ikke er streng (de to siste i listen), så inkluderer løsningen av ulikheten, i tillegg til halvrommet, selve planet.

Eksempel 5

Finn singel normal vektor flyet .

Løsning: En enhetsvektor er en vektor hvis lengde er én. Betegn gitt vektor gjennom. Det er ganske tydelig at vektorene er kollineære:

Først fjerner vi normalvektoren fra ligningen til planet: .

Hvordan finne enhetsvektor? For å finne enhetsvektoren trenger du hver vektorkoordinat delt på vektorlengde.

La oss omskrive normalvektoren i skjemaet og finne lengden:

I henhold til ovenstående:

Svar:

Sjekk: , som var nødvendig for å sjekke.

Lesere som har studert det siste avsnittet i leksjonen nøye, har nok lagt merke til det koordinatene til enhetsvektoren er nøyaktig retningscosinusene til vektoren:

La oss gå bort fra det demonterte problemet: når du får en vilkårlig vektor som ikke er null, og av tilstanden kreves det for å finne retningskosinusene (se de siste oppgavene i leksjonen Punktprodukt av vektorer), så finner du faktisk også en enhetsvektor kollineær til den gitte. Faktisk to oppgaver på én flaske.

Behovet for å finne en enhetsnormalvektor oppstår i noen problemer med matematisk analyse.

Vi fant ut fisket av normalvektoren, nå vil vi svare på det motsatte spørsmålet:

Hvordan skrive en ligning for et plan ved å bruke et punkt og en normalvektor?

Denne stive konstruksjonen av en normalvektor og et punkt er velkjent av et dartmål. Strekk hånden frem og velg mentalt vilkårlig poeng plass, for eksempel en liten katt i en skjenk. Åpenbart, gjennom dette punktet, kan du tegne et enkelt plan vinkelrett på hånden din.

Ligningen til et plan som går gjennom et punkt vinkelrett på vektoren uttrykkes med formelen:

For å bruke koordinatmetoden må du kjenne formlene godt. Det er tre av dem:

Ved første øyekast ser det truende ut, men bare litt trening - og alt vil fungere utmerket.

En oppgave. Finn cosinus til vinkelen mellom vektorene a = (4; 3; 0) og b = (0; 12; 5).

Løsning. Siden vi får koordinatene til vektorene, erstatter vi dem med den første formelen:

En oppgave. Skriv en ligning for planet som går gjennom punktene M = (2; 0; 1), N = (0; 1; 1) og K = (2; 1; 0), hvis det er kjent at det ikke går gjennom Opprinnelsen.

Løsning. Den generelle ligningen til planet: Ax + By + Cz + D = 0, men siden det ønskede planet ikke går gjennom origo - punktet (0; 0; 0) - så setter vi D = 1. Siden dette planet passerer gjennom punktene M, N og K, så skal koordinatene til disse punktene gjøre ligningen til en sann numerisk likhet.

La oss erstatte koordinatene til punktet M = (2; 0; 1) i stedet for x, y og z. Vi har:
A 2 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ 2A + C + 1 = 0;

På samme måte, for punktene N = (0; 1; 1) og K = (2; 1; 0) får vi ligningene:
A 0 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ B + C + 1 = 0;
A 2 + B 1 + C 0 + 1 = 0 ⇒ 2A + B + 1 = 0;

Så vi har tre ligninger og tre ukjente. Vi komponerer og løser ligningssystemet:

Vi fikk at likningen til planet har formen: − 0,25x − 0,5y − 0,5z + 1 = 0.

En oppgave. Planet er gitt av ligningen 7x − 2y + 4z + 1 = 0. Finn koordinatene til vektoren vinkelrett på det gitte planet.

Løsning. Ved å bruke den tredje formelen får vi n = (7; − 2; 4) - det er alt!

Beregning av koordinater til vektorer

Men hva om det ikke er noen vektorer i oppgaven - det er bare punkter som ligger på rette linjer, og det kreves å beregne vinkelen mellom disse rette linjene? Det er enkelt: Å kjenne koordinatene til punktene - begynnelsen og slutten av vektoren - kan du beregne koordinatene til selve vektoren.

For å finne koordinatene til en vektor, er det nødvendig å trekke koordinatene til begynnelsen fra koordinatene til slutten.

Denne teoremet fungerer likt på planet og i rommet. Uttrykket "trekk fra koordinater" betyr at x-koordinaten til et annet punkt trekkes fra x-koordinaten til ett punkt, så må det samme gjøres med y- og z-koordinatene. Her er noen eksempler:

En oppgave. Det er tre punkter i rommet, gitt av deres koordinater: A = (1; 6; 3), B = (3; − 1; 7) og C = (− 4; 3; − 2). Finn koordinatene til vektorene AB, AC og BC.

Tenk på vektoren AB: dens begynnelse er ved punkt A, og slutten er ved punkt B. Derfor, for å finne dens koordinater, er det nødvendig å subtrahere koordinatene til punkt A fra koordinatene til punkt B:
AB = (3 - 1; - 1 - 6; 7 - 3) = (2; - 7; 4).

På samme måte er begynnelsen av vektoren AC fortsatt det samme punktet A, men slutten er punktet C. Derfor har vi:
AC = (− 4 − 1; 3 − 6; − 2 − 3) = (− 5; − 3; − 5).

Til slutt, for å finne koordinatene til vektoren BC, er det nødvendig å trekke koordinatene til punkt B fra koordinatene til punkt C:
BC = (− 4 − 3; 3 − (− 1); − 2 − 7) = (− 7; 4; − 9).

Svar: AB = (2; − 7; 4); AC = (−5;−3;−5); BC = (−7; 4; − 9)

Vær oppmerksom på beregningen av koordinatene til den siste vektoren BC: mange mennesker gjør feil når de jobber med negative tall. Dette gjelder variabelen y: punkt B har koordinaten y = − 1, og punkt C har y = 3. Vi får nøyaktig 3 − (− 1) = 4, og ikke 3 − 1, som mange tror. Ikke gjør slike dumme feil!

Beregning av retningsvektorer for rette linjer

Hvis du leser problem C2 nøye, vil du bli overrasket over å finne at det ikke er noen vektorer der. Det er bare rette linjer og fly.

La oss starte med rette linjer. Alt er enkelt her: på hvilken som helst linje er det minst to ulike punkter og omvendt definerer alle to distinkte punkter en enkelt rett linje ...

Er det noen som forstår hva som står i forrige avsnitt? Jeg forsto det ikke selv, så jeg skal forklare det enklere: i oppgave C2 er linjer alltid gitt av et par punkter. Hvis vi introduserer et koordinatsystem og vurderer en vektor med begynnelsen og slutten på disse punktene, får vi den såkalte retningsvektoren for en rett linje:

Hvorfor trengs denne vektoren? Poenget er at vinkelen mellom to rette linjer er vinkelen mellom retningsvektorene deres. Dermed beveger vi oss fra uforståelige rette linjer til spesifikke vektorer, hvis koordinater lett kan beregnes. Hvor lett? Ta en titt på eksemplene:

En oppgave. Linjene AC og BD 1 er tegnet i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Finn koordinatene til retningsvektorene til disse linjene.

Siden lengden på kantene på kuben ikke er spesifisert i betingelsen, setter vi AB = 1. La oss introdusere et koordinatsystem med origo i punkt A og aksene x, y, z rettet langs linjene AB, AD og AA 1, henholdsvis. Enhetssegmentet er lik AB = 1.

La oss nå finne koordinatene til retningsvektoren for den rette linjen AC. Vi trenger to punkter: A = (0; 0; 0) og C = (1; 1; 0). Herfra får vi koordinatene til vektoren AC = (1 - 0; 1 - 0; 0 - 0) = (1; 1; 0) - dette er retningsvektoren.

La oss nå ta for oss den rette linjen BD 1 . Den har også to punkter: B = (1; 0; 0) og D 1 = (0; 1; 1). Vi får retningsvektoren BD 1 = (0 − 1; 1 − 0; 1 − 0) = (− 1; 1; 1).

Svar: AC = (1; 1; 0); BD 1 = (− 1; 1; 1)

En oppgave. Til høyre trekantet prisme ABCA 1 B 1 C 1, som alle kanter er lik 1, linjene AB 1 og AC 1 er tegnet. Finn koordinatene til retningsvektorene til disse linjene.

La oss introdusere et koordinatsystem: origo er i punkt A, x-aksen sammenfaller med AB, z-aksen sammenfaller med AA 1, y-aksen danner OXY-planet med x-aksen, som sammenfaller med ABC flyet.

La oss først ta for oss den rette linjen AB 1 . Alt er enkelt her: vi har punktene A = (0; 0; 0) og B 1 = (1; 0; 1). Vi får retningsvektoren AB 1 = (1 − 0; 0 − 0; 1 − 0) = (1; 0; 1).

La oss nå finne retningsvektoren for AC 1 . Alt er likt - den eneste forskjellen er at punktet C 1 har irrasjonelle koordinater. Så, A = (0; 0; 0), så vi har:

Svar: AB 1 = (1; 0; 1);

Liten, men veldig viktig notat Om siste eksempel. Hvis begynnelsen av vektoren faller sammen med opprinnelsen, er beregningene sterkt forenklet: koordinatene til vektoren er ganske enkelt lik koordinatene til slutten. Dessverre er dette bare sant for vektorer. For eksempel, når du arbeider med fly, kompliserer tilstedeværelsen av opprinnelsen til koordinater på dem bare beregningene.

Beregning av normalvektorer for plan

Normale vektorer er ikke vektorer som har det bra, eller som føles bra. Per definisjon er en normalvektor (normal) til et plan en vektor vinkelrett på det gitte planet.

Med andre ord er en normal en vektor vinkelrett på en hvilken som helst vektor i et gitt plan. Du har sikkert kommet over en slik definisjon - men i stedet for vektorer handlet det om rette linjer. Like ovenfor ble det imidlertid vist at i C2-problemet kan man operere med et hvilket som helst praktisk objekt - til og med en rett linje, til og med en vektor.

La meg minne deg nok en gang om at et hvilket som helst plan er definert i rommet av ligningen Ax + By + Cz + D = 0, hvor A, B, C og D er noen koeffisienter. Uten å redusere løsningens generalitet, kan vi anta D = 1 hvis planet ikke passerer gjennom origo, eller D = 0 hvis det gjør det. I alle fall er koordinatene til normalvektoren til dette planet n = (A; B; C).

Så flyet kan også erstattes med en vektor - den samme normalen. Ethvert plan er definert i rommet av tre punkter. Hvordan finne ligningen til flyet (og derav normalen), har vi allerede diskutert helt i begynnelsen av artikkelen. Imidlertid forårsaker denne prosessen problemer for mange, så jeg vil gi et par flere eksempler:

En oppgave. Snittet A 1 BC 1 er tegnet i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Finn normalvektoren for planet til denne seksjonen hvis origo er i punktet A og x-, y- og z-aksene sammenfaller med henholdsvis kantene AB, AD og AA 1.

Siden flyet ikke går gjennom origo, ser dets ligning slik ut: Ax + By + Cz + 1 = 0, dvs. koeffisient D \u003d 1. Siden dette planet går gjennom punktene A 1, B og C 1, gjør koordinatene til disse punktene flyets likning til riktig numerisk likhet.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

På samme måte, for punktene B = (1; 0; 0) og C 1 = (1; 1; 1) får vi ligningene:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Men koeffisientene A = − 1 og C = − 1 er allerede kjent for oss, så det gjenstår å finne koeffisienten B:
B = − 1 − A − C = − 1 + 1 + 1 = 1.

Vi får ligningen til planet: - A + B - C + 1 = 0, Derfor er koordinatene til normalvektoren n = (- 1; 1; - 1).

En oppgave. Et snitt AA 1 C 1 C er tegnet i kuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1. Finn normalvektoren for planet til dette snittet hvis origo er i punktet A, og x-, y- og z-aksene sammenfaller med kanter AB, AD og AA 1 henholdsvis.

PÅ denne saken planet går gjennom origo, så koeffisienten D \u003d 0, og ligningen til planet ser slik ut: Ax + By + Cz \u003d 0. Siden planet går gjennom punktene A 1 og C, vil koordinatene til disse punktene snu likningen til planet til riktig numerisk likhet.

La oss erstatte koordinatene til punktet A 1 = (0; 0; 1) i stedet for x, y og z. Vi har:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Tilsvarende, for punktet C = (1; 1; 0) får vi ligningen:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

La B = 1. Da er A = − B = − 1, og likningen til hele planet er: − A + B = 0. Derfor er koordinatene til normalvektoren n = (− 1; 1; 0).

Generelt sett er det i de ovennevnte problemene nødvendig å komponere et ligningssystem og løse det. Det vil være tre likninger og tre variabler, men i det andre tilfellet vil en av dem være fri, dvs. ta vilkårlige verdier. Det er grunnen til at vi har rett til å sette B = 1 - uten at det berører løsningens allmennhet og riktigheten av svaret.

Svært ofte i oppgave C2 kreves det å jobbe med punkter som deler segmentet i to. Koordinatene til slike punkter kan lett beregnes hvis koordinatene til endene av segmentet er kjent.

Så la segmentet gis av endene - punktene A \u003d (x a; y a; z a) og B \u003d (x b; y b; z b). Da kan koordinatene til midten av segmentet - vi betegner det med punktet H - finnes med formelen:

Med andre ord, koordinatene til midten av et segment er det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til dets ender.

En oppgave. Enhetskuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plasseres i koordinatsystemet slik at x-, y- og z-aksene er rettet langs kantene henholdsvis AB, AD og AA 1 og origo sammenfaller med punkt A. Punkt K er midtpunktet på kant A 1 B en . Finn koordinatene til dette punktet.

Siden punktet K er midten av segmentet A 1 B 1 , er dets koordinater lik det aritmetiske gjennomsnittet av koordinatene til endene. La oss skrive ned koordinatene til endene: A 1 = (0; 0; 1) og B 1 = (1; 0; 1). La oss nå finne koordinatene til punkt K:

En oppgave. Enhetskuben ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 plasseres i koordinatsystemet slik at x-, y- og z-aksene er rettet langs kantene henholdsvis AB, AD og AA 1, og origo sammenfaller med punkt A. Finn koordinatene av punktet L hvor de skjærer diagonaler av kvadratet A 1 B 1 C 1 D 1 .

Fra forløpet av planimetri er det kjent at skjæringspunktet for diagonalene til en firkant er like langt fra alle hjørnene. Spesielt A 1 L = C 1 L, dvs. punkt L er midtpunktet til segmentet A 1 C 1 . Men A 1 = (0; 0; 1), C 1 = (1; 1; 1), så vi har:

Svar: L = (0,5; 0,5; 1)