oppsummering av andre presentasjoner

"Geometri "Area of ​​a trapesoid"" - Tenk på det. Arealet av en trapes. AH=. 1. AD = 4 cm. Finn arealet av trapes ABCD. Finn arealet til en rektangulær trapes. Geometri. Gjenta beviset for teoremet. Del polygonet i trekanter. En oppgave med en løsning.

"Bestemmelse av aksial symmetri" - Konstruer punktene A" og B". Aksial symmetri. Figur. Mangler koordinater. Konstruksjon av et segment. Linjestykke. Symmetriakse. Symmetri i poesi. Konstruksjon av en trekant. Punkter som ligger på samme vinkelrett. Konstruksjon av et punkt. Symmetri. Trekanter. Konstruer trekanter. Tegn et punkt. Tegn poengene. Figurer som har én symmetriakse. Rett. Figurer med to symmetriakser. Symmetri i naturen.

"Firekanter, deres tegn og egenskaper" - Tester. Vinkler på en rombe. Et rektangel med alle sider like. Typer firkanter. Introduser typene firkanter. En firkant hvis toppunkter er midt på sidene. Firkanter. Firkanter, deres tegn og egenskaper. Trapes. Parallelogram. Egenskaper til et parallellogram. Diagonaler. Hvilke to like trekanter kan brukes til å danne en firkant? Rektangel. Torget. Typer trapeser.

"The Inscribed Angle Theorem" - Lære nytt materiale. Sirklene krysser hverandre. Svar. Oppdatering av elevenes kunnskap. Sjekk deg selv. Radius av en sirkel. Korrekt svar. Sirkelens radius er 4 cm Forsterkning av det studerte materialet. Skarpt hjørne. Finn vinkelen mellom akkordene. Triangel. Innskrevet vinkelteorem. Konseptet med en innskrevet vinkel. Finn vinkelen mellom dem. Hva heter en vinkel med toppunktet i sentrum av sirkelen? Løsning. Oppdatering av kunnskap.

"Konstruere en tangent til en sirkel" - Sirkel. Den relative plasseringen av en rett linje og en sirkel. Sirkel og linje. Diameter. Felles poeng. Akkord. Løsning. En sirkel og en rett linje har ett felles punkt. Tangent til en sirkel. Gjentakelse. Teorem om tangentsegmenter.

"Geometri "Lignende trekanter"" - To trekanter kalles like. Sinus-, cosinus- og tangensverdier for vinkler på 30°, 45°, 60°. Finn arealet av en likebenet rettvinklet trekant. Teorem om forholdet mellom arealer av like trekanter. Lignende trekanter. Det andre tegnet på likhet av trekanter. Fortsettelse av sidene. Verdier av sinus, cosinus og tangens. Proporsjonale segmenter. De to sidene av trekanten er forbundet med et segment som ikke er parallelt med det tredje.

Dette kapittelet er viet utviklingen av et vektorgeometriapparat. Ved hjelp av vektorer kan du bevise teoremer og løse geometriske problemer. Eksempler på slik bruk av vektorer er gitt i dette kapittelet. Men studiet av vektorer er også nyttig fordi de er mye brukt i fysikk for å beskrive ulike fysiske størrelser, som hastighet, akselerasjon, kraft.

Mange fysiske størrelser, som kraft, forskyvning av et materialpunkt, hastighet, er ikke bare preget av deres numeriske verdi, men også av deres retning i rommet. Slike fysiske størrelser kalles vektormengder(eller kort vektorer).

La oss se på et eksempel. La en kraft på 8 N virke på kroppen På figuren er kraften representert av et segment med en pil (fig. 240). Pilen indikerer retningen til kraften, og lengden på segmentet tilsvarer den numeriske verdien av kraften på den valgte skalaen. Så, i figur 240, er en kraft på 1 N avbildet av et segment som er 0,6 cm langt, derfor er en kraft på 8 N avbildet av et segment på 4,8 cm.

Ris. 240

Abstrahere fra de spesifikke egenskapene til fysiske vektormengder, kommer vi til det geometriske konseptet til en vektor.

La oss vurdere et vilkårlig segment. Dens ender kalles også grensepunkter for segmentet.

Du kan angi to retninger på et segment: fra ett grensepunkt til et annet og omvendt.

For å velge en av disse retningene kaller vi ett grensepunkt for segmentet begynnelsen av segmentet, og den andre - slutten av segmentet og vi vil anta at segmentet er rettet fra begynnelse til slutt.

Definisjon

På bildene er en vektor avbildet som et segment med en pil som viser retningen til vektoren. Vektorer er for eksempel merket med to store latinske bokstaver med en pil over dem. Den første bokstaven indikerer begynnelsen av vektoren, den andre slutten (fig. 242).

Ris. 242

Figur 243a viser vektorer punktene A, C, E er begynnelsen på disse vektorene, og B, D, F er deres ender. Vektorer er ofte betegnet med én liten latinsk bokstav med en pil over: (Fig. 243, b).

Ris. 243

For ytterligere formål er det tilrådelig å avtale at ethvert punkt på planet også er en vektor. I dette tilfellet kalles vektoren null. Begynnelsen av nullvektoren faller sammen med slutten. På figuren er en slik vektor representert med ett punkt. Hvis for eksempel punktet som representerer nullvektoren er betegnet med bokstaven M, kan denne nullvektoren betegnes som følger: (Fig. 243, a). Nullvektoren er også angitt med symbolet. Det er 243 vektorer i figuren er ikke-null, og vektoren er null.

Lengden eller modulen til en vektor som ikke er null er lengden til segmentet AB. Lengden på vektoren (vektoren) er betegnet som følger: . Lengden på nullvektoren regnes som lik null:

Lengdene til vektorene vist i figur 243, a og 243, 6 er som følger:

(hver celle i figur 243 har en side som er lik måleenheten til segmentene).

Likhet av vektorer

Før vi definerer like vektorer, la oss se på et eksempel. La oss se på bevegelsen til et legeme der alle punktene beveger seg med samme hastighet og i samme retning.

Hastigheten til hvert punkt M i kroppen er en vektormengde, så den kan representeres av et rettet segment, hvis begynnelse sammenfaller med punktet M (fig. 244). Siden alle punkter på kroppen beveger seg med samme hastighet, har alle rettede segmenter som viser hastighetene til disse punktene samme retning og lengdene deres er like.

Ris. 244

Dette eksemplet forteller oss hvordan vi bestemmer om vektorer er like.

La oss først introdusere konseptet med kollineære vektorer.

Vektorer som ikke er null kalles kollineær, hvis de ligger enten på samme linje eller på parallelle linjer; nullvektoren regnes som kollineær til enhver vektor.

I figur 245 er vektorene (vektor null) kollineære, og vektorene og er heller ikke kollineære.

Ris. 245

Hvis to vektorer som ikke er null er kollineære, kan de ha enten samme eller motsatte retninger. I det første tilfellet kalles vektorene og co-regissert, og i den andre - motsatt rettet 1 .

Samdireksjonaliteten til vektorene er angitt som følger: Hvis vektorene er motsatt rettet, så er det angitt som følger: Figur 245 viser både sam-rettet og motsatt rettet vektorer:

Begynnelsen av nullvektoren faller sammen med slutten, så nullvektoren har ingen spesifikk retning. Med andre ord kan enhver retning betraktes som retningen til nullvektoren. La oss bli enige om å anta at nullvektoren er codirectional med en hvilken som helst vektor. Således, i figur 245, etc.

Ikke-null kollineære vektorer har egenskaper som er illustrert i figur 246, a - c.




Ris. 246

La oss nå gi definisjonen av like vektorer.

Definisjon

Dermed er vektorene og like hvis . Likhet av vektorer er betegnet som følger:

Forsinke en vektor fra et gitt punkt

Hvis punkt A er begynnelsen av vektoren, så sier de det vektoren er forsinket fra punkt A(Fig. 247). La oss bevise følgende utsagn:

fra et hvilket som helst punkt M er det mulig å plotte en vektor lik en gitt vektor, og dessuten bare én.




Ris. 247

Faktisk, hvis er nullvektoren, så er den ønskede vektoren vektoren. La oss anta at vektoren ikke er null, og punktene A og B er begynnelsen og slutten. La oss tegne en rett linje p parallelt med AB gjennom punktet M (fig. 248; hvis M er et punkt på den rette linjen AB, så tar vi som den rette linjen p selve den rette linjen AB). På den rette linjen p plotter vi segmentene MN og MN", lik segmentet AB, og velger fra vektorene den som er samrettet med vektoren (i vektoren figur 248). Denne vektoren er den ønskede vektoren, lik vektoren. Av konstruksjonen følger det at det kun er én slik vektor.




Ris. 248

Kommentar

Like vektorer plottet fra forskjellige punkter er ofte merket med samme bokstav. Slik er for eksempel like hastighetsvektorer av forskjellige punkter utpekt i figur 244. Noen ganger sies slike vektorer å være samme vektor, men plottet fra forskjellige punkter.

Praktiske oppgaver

738. Merk punktene A, B og C som ikke ligger på samme linje. Tegn alle vektorer som ikke er null, hvis begynnelse og slutt faller sammen med to av disse punktene. Skriv ned alle de resulterende vektorene og angi begynnelsen og slutten av hver vektor.

739. Etter å ha valgt en passende skala, tegn vektorer som viser flyvningen til et fly, først 300 km sør fra by A til B, og deretter 500 km øst fra by B til C. Tegn deretter en vektor som viser bevegelsen fra startpunktet til det siste punktet.

740. Tegn vektorer slik at:

741. Tegn to ikke-kollineære vektorer og . Tegn flere vektorer: a) codirectional med vektoren ; b) co-dirigert med vektoren; c) motsatt rettet til vektoren; d) motsatt rettet til vektoren.

742. Tegn to vektorer: a) med like lengder og ikke-kolineære; b) ha like lengder og co-directional; c) ha like lengder og motsatte retninger. I hvilket tilfelle er de resulterende vektorene like?

Svar I tilfelle b).

Vektorer kan representeres grafisk med rettede segmenter. Lengden er valgt på en bestemt skala for å indikere vektorstørrelse , og retningen til segmentet representerer vektor retning . For eksempel, hvis vi antar at 1 cm representerer 5 km/t, vil en nordøstlig vind med en hastighet på 15 km/t representeres av et retningssegment med lengde 3 cm, som vist på figuren.

Vektor på et fly er det et rettet segment. To vektorer lik hvis de har det samme størrelse Og retning.

Betrakt en vektor tegnet fra punkt A til punkt B. Punktet kalles Utgangspunktet vektor, og punkt B kalles sluttpunkt. Den symbolske notasjonen for denne vektoren er (lest som "vektor AB"). Vektorer er også representert med fete bokstaver som U, V og W. De fire vektorene i figuren til venstre har samme lengde og retning. Derfor representerer de lik vind; det er,

I sammenheng med vektorer bruker vi = for å indikere at de er like.

Lengde, eller omfanget er uttrykt som ||. For å finne ut om vektorene er like, finner vi deres størrelser og retninger.

Eksempel 1 Vektorene u, , w er vist i figuren nedenfor. Bevis at u = = w.

Løsning Først finner vi lengden på hver vektor ved å bruke avstandsformelen:
|u| = √ 2 + (4 - 3) 2 = √9 + 1 = √10,
|| = √ 2 + 2 = √9 + 1 = √10 ,
|w| = √(4 - 1) 2 + [-1 - (-2)] 2 = √9 + 1 = √10 .
Herfra
|u| = | = |w|.
Vektorene u, , og w, som kan ses av figuren, ser ut til å ha samme retning, men vi vil sjekke helningen deres. Hvis linjene de er plassert på har samme helninger, har vektorene samme retning. Vi beregner bakkene:
Siden u, , og w har like størrelser og samme retning,
u = = w.

Husk at like vektorer bare krever samme størrelse og samme retning, ikke samme plassering. Den øverste figuren viser et eksempel på vektorlikhet.

Anta at en person tar 4 skritt øst og deretter 3 skritt nord. Personen vil da være 5 skritt fra startpunktet i retningen vist til venstre. En vektor 4 enheter lang med retning til høyre representerer 4 trinn øst og en vektor 3 enheter lang med retning opp som representerer 3 trinn nord. Sum av disse to vektorene er det en vektor med 5 størrelsestrinn og i den viste retningen. Beløpet kalles også resulterende to vektorer.

Generelt kan to vektorer u og v som ikke er null adderes geometrisk ved å plassere startpunktet til vektoren v til endepunktet til vektoren u, og deretter finne en vektor som har samme startpunkt som vektoren u og vektoren. samme endepunkt som vektoren v som vist i figuren under.

Summen er en vektor representert av et rettet segment fra punkt A i vektor u til endepunkt C til vektor v. Så hvis u = og v =, så
u + v = + =

Vi kan også beskrive vektoraddisjon som å plassere startpunktene til vektorene sammen, konstruere et parallellogram og finne diagonalen til parallellogrammet. (i figuren nedenfor.) Dette tillegget kalles noen ganger som parallellogramregel tillegg av vektorer. Vektortilsetning er kommutativ. Som vist på figuren er begge vektorene u + v og v + u representert av samme retningslinjesegment.

Hvis to krefter F 1 og F 2 virker på en gjenstand, resulterende kraft er summen av F 1 + F 2 av disse to separate kreftene.

Eksempel To krefter på 15 newton og 25 newton virker på ett objekt vinkelrett på hverandre. Finn summen deres, eller den resulterende kraften, og vinkelen den danner med den største kraften.

Løsning La oss tegne problembetingelsen, i dette tilfellet et rektangel, ved å bruke v eller for å representere resultanten. For å finne verdien bruker vi Pythagoras teorem:
|v| 2 = 15 2 + 25 2 Her |v| angir lengden eller størrelsen på v.
|v| = √15 2 + 25 2
|v| ≈ 29,2.
For å finne retningen, merk at siden OAB er en rett vinkel,
tanθ = 15/25 = 0,6.
Ved hjelp av en kalkulator finner vi θ, vinkelen som den større kraften lager med nettokraften:
θ = tan - 1 (0,6) ≈ 31°
Resultanten har en styrke på 29,2 og en vinkel på 31° med større kraft.

Piloter kan justere flyretningen hvis det er sidevind. Vinden og hastigheten til et fly kan representeres som vind.

Eksempel 3. Flyhastighet og retning. Flyet beveger seg langs en asimut på 100° med en hastighet på 190 km/t, mens vindhastigheten er 48 km/t og dens asimut er 220°. Finn den absolutte hastigheten til flyet og bevegelsesretningen, ta hensyn til vinden.

Løsning La oss lage en tegning først. Vinden er representert og flyets hastighetsvektor er . Den resulterende hastighetsvektoren er v, summen av de to vektorene. Vinkelen θ mellom v og kalles drivvinkel .


Merk at COA-verdien = 100° - 40° = 60°. Da er verdien av CBA også lik 60° (motsatte vinkler på parallellogrammet er like). Siden summen av alle vinklene til et parallellogram er 360° og COB og OAB har samme størrelse, må hver være 120°. Av kosinus regel i OAB har vi
|v| 2 = 48 2 + 190 2 - 2.48.190.cos120°
|v| 2 = 47,524
|v| = 218
Deretter |v| tilsvarer 218 km/t. I følge sinusregel , i samme trekant,
48 /sinθ = 218 /synd 120°,
eller
sinθ = 48.sin120°/218 ≈ 0,1907
θ ≈ 11°
Deretter, θ = 11°, til nærmeste heltallsvinkel. Den absolutte hastigheten er 218 km/t, og bevegelsesretningen tatt i betraktning vinden: 100° - 11°, eller 89°.

Gitt en vektor w, kan vi finne to andre vektorer u og v hvis sum er w. Vektorene u og v kalles komponenter w og prosessen med å finne dem kalles nedbrytning , eller representasjonen av en vektor ved dens vektorkomponenter.

Når vi utvider en vektor, ser vi vanligvis etter vinkelrette komponenter. Svært ofte vil imidlertid en komponent være parallell med x-aksen og den andre vil være parallell med y-aksen. Derfor kalles de ofte horisontal Og vertikal vektorkomponenter. I figuren under er vektoren w = dekomponert som summen av u = og v =.

Den horisontale komponenten til w er u og den vertikale komponenten er v.

Eksempel 4 Vektoren w har en styrke på 130 og en helning på 40° i forhold til horisontalen. Dekomponer vektoren i horisontale og vertikale komponenter.

Løsning Først skal vi tegne et bilde med horisontale og vertikale vektorer u og v hvis sum er w.

Fra ABC finner vi |u| og |v|, ved å bruke definisjonene av cosinus og sinus:
cos40° = |u|/130, eller |u| = 130.cos40° ≈ 100,
sin40° = |v|/130, eller |v| = 130.sin40° ≈ 84.
Deretter er den horisontale komponenten av w 100 til høyre og den vertikale komponenten av w er 84 opp.