En profesjonell bedre bør være godt kjent med odds, raskt og riktig vurdere sannsynligheten for en hendelse med en koeffisient og om nødvendig kunne konvertere odds fra ett format til et annet. I denne håndboken vil vi snakke om hva slags koeffisienter er, i tillegg til å bruke eksempler, vil vi analysere hvordan du kan beregne sannsynligheten fra en kjent koeffisient og vice versa.

Hva er typene koeffisienter?

Det er tre hovedtyper av odds som tilbys av bookmakere: desimal odds, brøkodds(engelsk) og amerikanske odds. De vanligste oddsene i Europa er desimaler. PÅ Nord Amerika Amerikanske odds er populære. Brøkodds er den mest tradisjonelle typen, de reflekterer umiddelbart informasjon om hvor mye du må satse for å få et visst beløp.

Desimalodds

Desimaler ellers heter de Europeiske odds er det vanlige tallformatet representert ved desimal nøyaktig til hundredeler, og noen ganger til og med til tusendeler. Et eksempel på en desimal oddetall er 1,91. Å beregne fortjeneste ved desimalodds er veldig enkelt, bare multipliser innsatsbeløpet med dette oddetall. For eksempel, i kampen "Manchester United" - "Arsenal", er seieren til "MU" satt med en koeffisient - 2,05, uavgjort er estimert med en koeffisient - 3,9, og seieren til "Arsenal" er lik - 2,95. La oss si at vi er sikre på at United vil vinne og satse $1000 på dem. Da beregnes vår mulige inntekt som følger:

2.05 * $1000 = $2050;

Er det virkelig ikke så vanskelig? På samme måte beregnes den mulige inntekten ved spill på uavgjort og Arsenal-seieren.

Tegne: 3.9 * $1000 = $3900;
Arsenal seier: 2.95 * $1000 = $2950;

Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse med desimalodds?

Tenk deg nå at vi må bestemme sannsynligheten for en begivenhet ved desimaloddsene satt av bookmakeren. Dette er også veldig enkelt å gjøre. For å gjøre dette deler vi enheten med denne koeffisienten.

La oss ta dataene vi allerede har og beregne sannsynligheten for hver hendelse:

Manchester United vinner: 1 / 2.05 = 0,487 = 48,7%;
Tegne: 1 / 3.9 = 0,256 = 25,6%;
Arsenal seier: 1 / 2.95 = 0,338 = 33,8%;

Brøkodds (engelsk)

Som navnet tilsier fraksjonskoeffisient presentert vanlig brøk. Et eksempel på en engelsk odd er 5/2. Telleren av brøken inneholder et tall som er det potensielle beløpet for nettogevinster, og nevneren inneholder et tall som indikerer beløpet som må omsettes for å motta disse gevinstene. Enkelt sagt, vi må satse $2 dollar for å vinne $5. Odds på 3/2 betyr at for å få $3 i nettogevinster, må vi satse $2.

Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse ved brøkodds?

Det er heller ikke vanskelig å beregne sannsynligheten for en hendelse med brøkkoeffisienter, du trenger bare å dele nevneren med summen av telleren og nevneren.

For brøken 5/2 beregner vi sannsynligheten: 2 / (5+2) = 2 / 7 = 0,28 = 28%;
For brøken 3/2 beregner vi sannsynligheten:

Amerikanske odds

Amerikanske odds upopulær i Europa, men svært upopulær i Nord-Amerika. Kanskje, denne arten koeffisienter er det vanskeligste, men det er bare ved første øyekast. Faktisk er det ikke noe komplisert i denne typen koeffisienter. La oss nå se på alt i rekkefølge.

Hovedtrekket til amerikanske odds er at de kan være enten positivt, og negativ. Et eksempel på amerikanske odds er (+150), (-120). Den amerikanske oddsen (+150) betyr at for å tjene $150 må vi satse $100. Med andre ord, en positiv amerikansk multiplikator reflekterer potensiell nettoinntekt ved en innsats på $100. Den negative amerikanske koeffisienten reflekterer mengden innsats som må gjøres for å motta en nettogevinst på $100. For eksempel, koeffisienten (- 120) forteller oss at ved å satse $120 vil vi vinne $100.

Hvordan beregne sannsynligheten for en hendelse ved å bruke amerikanske odds?

Sannsynligheten for en hendelse i henhold til amerikanske odds beregnes i henhold til følgende formler:

(-(M)) / ((-(M)) + 100), hvor M er en negativ amerikansk koeffisient;
100/(P+100), hvor P er en positiv amerikansk koeffisient;

For eksempel har vi en koeffisient (-120), da beregnes sannsynligheten som følger:

(-(M))/((-(M)) + 100); vi erstatter verdien (-120) i stedet for "M";
(-(-120)) / ((-(-120)) + 100 = 120 / (120 + 100) = 120 / 220 = 0,545 = 54,5%;

Dermed er sannsynligheten for en hendelse med en amerikansk koeffisient (-120) 54,5 %.

For eksempel har vi en koeffisient (+150), da beregnes sannsynligheten som følger:

100/(P+100); vi erstatter verdien (+150) i stedet for "P";
100 / (150 + 100) = 100 / 250 = 0,4 = 40%;

Dermed er sannsynligheten for en hendelse med en amerikansk koeffisient (+150) 40 %.

Hvordan, vite prosentandelen av sannsynlighet, oversette den til en desimal koeffisient?

For å beregne desimalkoeffisienten for en kjent prosentandel av sannsynlighet, må du dele 100 på sannsynligheten for en hendelse i prosent. For eksempel, hvis sannsynligheten for en hendelse er 55 %, vil desimalkoeffisienten for denne sannsynligheten være lik 1,81.

100 / 55% = 1,81

Hvordan, vite prosentandelen av sannsynlighet, oversette den til en brøkkoeffisient?

For å beregne en brøkkoeffisient fra en kjent prosentandel av sannsynlighet, må du trekke en fra å dele 100 med sannsynligheten for en hendelse i prosent. For eksempel har vi en sannsynlighetsprosent på 40 %, da vil brøkkoeffisienten til denne sannsynligheten være lik 3/2.

(100 / 40%) - 1 = 2,5 - 1 = 1,5;
Fraksjonskoeffisienten er 1,5/1 eller 3/2.

Hvordan, vite prosentandelen av sannsynlighet, oversette det til en amerikansk koeffisient?

Hvis sannsynligheten for en hendelse er mer enn 50%, gjøres beregningen i henhold til formelen:

- ((V) / (100 - V)) * 100, hvor V er sannsynligheten;

For eksempel har vi 80 % sannsynlighet for en hendelse, da vil den amerikanske koeffisienten for denne sannsynligheten være lik (-400).

- (80 / (100 - 80)) * 100 = - (80 / 20) * 100 = - 4 * 100 = (-400);

Hvis sannsynligheten for en hendelse er mindre enn 50%, gjøres beregningen i henhold til formelen:

((100 - V) / V) * 100, hvor V er sannsynligheten;

For eksempel, hvis vi har en sannsynlighetsprosent for en hendelse på 20 %, vil den amerikanske koeffisienten for denne sannsynligheten være lik (+400).

((100 - 20) / 20) * 100 = (80 / 20) * 100 = 4 * 100 = 400;

Hvordan konvertere koeffisienten til et annet format?

Det er tider når det er nødvendig å konvertere koeffisienter fra ett format til et annet. For eksempel har vi en brøkkoeffisient 3/2 og vi må konvertere den til desimal. For å konvertere en brøkodds til en desimalodds, bestemmer vi først sannsynligheten for en hendelse med en brøkodds, og konverterer deretter den sannsynligheten til en desimalodds.

Sannsynligheten for en hendelse med en brøkkoeffisient på 3/2 er 40 %.

2 / (3+2) = 2 / 5 = 0,4 = 40%;

Nå oversetter vi sannsynligheten for en hendelse til en desimal koeffisient, for dette deler vi 100 med sannsynligheten for en hendelse i prosent:

100 / 40% = 2.5;

Dermed er en brøkoddling på 3/2 lik en desimalodde på 2,5. På lignende måte konverteres for eksempel amerikanske odds til brøk, desimal til amerikansk osv. Den vanskeligste delen av alt dette er bare beregningene.

Innen økonomi, så vel som på andre områder menneskelig aktivitet eller i naturen må vi hele tiden forholde oss til hendelser som ikke kan forutsies nøyaktig. Salgsvolumet av varer avhenger således av etterspørselen, som kan variere betydelig, og av en rekke andre faktorer som er nesten umulige å ta hensyn til. Derfor, i organiseringen av produksjon og salg, må man forutsi resultatet av slike aktiviteter på grunnlag av enten ens egen tidligere erfaring, eller lignende erfaring fra andre mennesker, eller intuisjon, som også i stor grad er basert på eksperimentelle data.

For på en eller annen måte å evaluere hendelsen under vurdering, er det nødvendig å ta hensyn til eller spesielt organisere forholdene der denne hendelsen er registrert.

Implementeringen av visse betingelser eller handlinger for å identifisere den aktuelle hendelsen kalles erfaring eller eksperiment.

Arrangementet kalles tilfeldig hvis det, som et resultat av eksperimentet, kan forekomme eller ikke.

Arrangementet kalles autentisk, hvis det nødvendigvis vises som et resultat denne opplevelsen, og umulig hvis det ikke kan vises i denne opplevelsen.

For eksempel er snøfall i Moskva 30. november en tilfeldig hendelse. Den daglige soloppgangen kan betraktes som en bestemt hendelse. Snøfall ved ekvator kan sees på som en umulig hendelse.

Et av hovedproblemene i sannsynlighetsteori er problemet med å bestemme kvantitativt mål muligheten for at en hendelse inntreffer.

Algebra av hendelser

Hendelser kalles uforenlige hvis de ikke kan observeres sammen i samme opplevelse. Dermed er tilstedeværelsen av to og tre biler i en butikk for salg på samme tid to uforenlige hendelser.

sum hendelser er en hendelse som består i forekomsten av minst én av disse hendelsene

Et eksempel på en sum av hendelser er tilstedeværelsen av minst ett av to produkter i en butikk.

arbeid hendelser kalles en hendelse som består i samtidig forekomst av alle disse hendelsene

En begivenhet som består i at to varer dukker opp samtidig i butikken er et produkt av hendelser: - utseendet til ett produkt, - utseendet til et annet produkt.

Hendelser utgjør en komplett gruppe av hendelser hvis minst én av dem nødvendigvis inntreffer i opplevelsen.

Eksempel. Havnen har to båtplasser for skip. Tre hendelser kan vurderes: - fravær av fartøy ved kai, - tilstedeværelse av ett fartøy ved en av kai, - tilstedeværelse av to fartøy ved to kaier. Disse tre arrangementene utgjør en komplett gruppe av arrangementer.

Motsatte to unike mulige hendelser som utgjør en komplett gruppe kalles.

Hvis en av hendelsene som er motsatt er angitt med , så er den motsatte hendelsen vanligvis angitt med .

Klassiske og statistiske definisjoner av sannsynligheten for en hendelse

Hvert av de like mulige testresultatene (eksperimentene) kalles et elementært utfall. De er vanligvis merket med bokstaver. For eksempel kast terning. Det kan være seks elementære utfall i henhold til antall poeng på sidene.

Fra elementære resultater du kan lage en mer kompleks hendelse. Så hendelsen med et partall poeng bestemmes av tre utfall: 2, 4, 6.

Et kvantitativt mål på muligheten for å inntreffe den aktuelle hendelsen er sannsynligheten.

Mest bred bruk mottatt to definisjoner av sannsynligheten for en hendelse: klassisk og statistisk.

Den klassiske definisjonen av sannsynlighet er knyttet til forestillingen om et gunstig utfall.

Exodus kalles gunstig denne hendelsen, hvis forekomsten medfører forekomsten av denne hendelsen.

I eksemplet som er gitt, er den aktuelle hendelsen − partall punkter på rullekanten, har tre gunstige utfall. PÅ denne saken kjent og vanlig
antall mulige utfall. Så her kan du bruke den klassiske definisjonen av sannsynligheten for en hendelse.

Klassisk definisjon er lik forholdet mellom antall gunstige utfall og det totale antallet mulige utfall

hvor er sannsynligheten for hendelsen , er antall gunstige utfall for hendelsen, er totalt antall mulige utfall.

I det betraktede eksemplet

Den statistiske definisjonen av sannsynlighet er assosiert med konseptet om den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse i eksperimenter.

Den relative hyppigheten av forekomst av en hendelse beregnes ved hjelp av formelen

hvor er antallet forekomster av en hendelse i en serie eksperimenter (tester).

Statistisk definisjon. Sannsynligheten for en hendelse er tallet i forhold til som den relative frekvensen er stabilisert (etablert) med en ubegrenset økning i antall eksperimenter.

I praktiske problemer er den relative frekvensen tatt som sannsynligheten for en hendelse på en tilstrekkelig store tall tester.

Fra disse definisjonene av sannsynligheten for en hendelse kan man se at ulikheten alltid holder

For å bestemme sannsynligheten for en hendelse basert på formel (1.1), brukes ofte kombinatoriske formler for å finne antall gunstige utfall og totalt antall mulige utfall.

Å vite hvordan man estimerer sannsynligheten for en hendelse basert på odds er avgjørende for å velge riktig innsats. Hvis du ikke forstår hvordan du oversetter bettingodds til odds, vil du aldri kunne finne ut hvordan bettingodds er sammenlignet med de faktiske oddsene for at en begivenhet vil finne sted. Det skal forstås at hvis sannsynligheten for en begivenhet ifølge bookmakerne er lavere enn sannsynligheten for den samme begivenheten i henhold til din egen versjon, vil en innsats på denne begivenheten være verdifull. Du kan sammenligne odds for forskjellige begivenheter på nettsiden Odds.ru.

1.1. Koeffisienttyper

Bookmakere tilbyr vanligvis tre typer odds – desimal, brøk og amerikanske. La oss ta en titt på hver av variantene.

1.2. Desimalodds

Desimalodds, multiplisert med størrelsen på innsatsen, lar deg beregne hele beløpet du vil motta i hånden hvis du vinner. For eksempel, hvis du satser $1 til oddsen 1,80, hvis du vinner, vil du motta $1,80 ($1 er det returnerte beløpet av innsatsen, $0,80 er gevinsten på innsatsen, som også er nettofortjenesten din).

Det vil si at sannsynligheten for et utfall, ifølge bookmakerne, er 55%.

1.3. Fraksjonelle odds

Brøkodds er den mest tradisjonelle typen odds. Telleren viser potensielle nettogevinster. Nevneren er mengden innsats som må gjøres for å få den samme gevinsten. For eksempel betyr odds på 7/2 at for å få en nettogevinst på $7, må du satse $2.

For å beregne sannsynligheten for en hendelse basert på en desimal koeffisient bør man gjennomføre enkle beregninger Del nevneren med summen av telleren og nevneren. For ovennevnte koeffisient 7/2 vil beregningen være som følger:

2 / (7+2) = 2 / 9 = 0,22

Det vil si at sannsynligheten for et utfall, ifølge bookmakerne, er 22%.

1.4. Amerikanske odds

Denne typen odds er populær i Nord-Amerika. Ved første øyekast virker de ganske kompliserte og uforståelige, men vær ikke redd. Å forstå amerikanske odds kan være nyttig, for eksempel når du spiller i amerikanske kasinoer, for å forstå sitater som vises i nordamerikanske sportssendinger. La oss finne ut hvordan vi vurderer sannsynligheten for et utfall basert på amerikanske odds.

Først av alt må du forstå at amerikanske odds er positive og negative. Negative amerikanske odds er alltid i formatet, for eksempel "-150". Dette betyr at for å motta $100 i netto fortjeneste (vinnende), må du satse $150.

En positiv amerikansk koeffisient beregnes i revers. For eksempel har vi en koeffisient på "+120". Dette betyr at for å motta $120 netto fortjeneste (vinnende), må du satse $100.

Sannsynlighetsberegningen basert på negative amerikanske odds gjøres ved å bruke følgende formel:

(-(negative amerikanske odds)) / ((-(negative amerikanske odds)) + 100)

(-(-150)) / ((-(-150)) + 100) = 150 / (150 + 100) = 150 / 250 = 0,6

Det vil si at sannsynligheten for en hendelse som en negativ amerikansk koeffisient på "-150" er gitt for er 60%.

Vurder nå lignende beregninger for en positiv amerikansk koeffisient. Sannsynligheten i dette tilfellet beregnes ved å bruke følgende formel:

100 / (positive amerikanske odds + 100)

100 / (120 + 100) = 100 / 220 = 0.45

Det vil si at sannsynligheten for en hendelse som en positiv amerikansk koeffisient på "+120" er gitt for er 45%.

1.5. Hvordan konvertere koeffisienter fra ett format til et annet?

Muligheten til å oversette odds fra ett format til et annet kan tjene deg godt senere. Merkelig nok er det fortsatt bookmakere der odds ikke konverteres og vises i bare ett format, noe som er uvanlig for oss. La oss se på eksempler på hvordan du gjør dette. Men først må vi lære å beregne sannsynligheten for et utfall basert på koeffisienten gitt til oss.

1.6. Hvordan beregne en desimal koeffisient basert på sannsynlighet?

Alt er veldig enkelt her. Det er nødvendig å dele 100 på sannsynligheten for en hendelse i prosentdel. Det vil si at hvis den estimerte sannsynligheten for en hendelse er 60 %, må du:

Med en estimert sannsynlighet for en hendelse på 60 %, vil desimaloddsen være 1,66.

1.7. Hvordan beregne en brøkkoeffisient basert på sannsynlighet?

I dette tilfellet er det nødvendig å dele 100 med sannsynligheten for en hendelse og trekke en fra det oppnådde resultatet. For eksempel er sannsynligheten for en hendelse 40 %:

(100 / 40) — 1 = 2,5 — 1 = 1,5

Det vil si at vi får en brøkkoeffisient på 1,5/1 eller, for enkelhets skyld, - 3/2.

1.8. Hvordan beregne den amerikanske koeffisienten basert på det sannsynlige utfallet?

Her vil mye avhenge av sannsynligheten for hendelsen – om den blir mer enn 50 % eller mindre. Hvis sannsynligheten for en hendelse er mer enn 50 %, vil beregningen bli gjort i henhold til følgende formel:

- ((sannsynlighet) / (100 - sannsynlighet)) * 100

For eksempel, hvis sannsynligheten for en hendelse er 80 %, så:

— (80 / (100 — 80)) * 100 = — (80 / 20) * 100 = -4 * 100 = (-400)

Med en estimert sannsynlighet for en hendelse på 80 %, fikk vi en negativ amerikansk koeffisient på "-400".

Hvis sannsynligheten for en hendelse er mindre enn 50 prosent, vil formelen være som følger:

((100 - sannsynlighet) / sannsynlighet) * 100

For eksempel, hvis sannsynligheten for en hendelse er 40 %, så:

((100-40) / 40) * 100 = (60 / 40) * 100 = 1,5 * 100 = 150

Med en estimert sannsynlighet for en hendelse på 40 %, fikk vi en positiv amerikansk koeffisient på "+150".

Disse beregningene vil hjelpe deg å bedre forstå konseptet med spill og odds, lære hvordan du vurderer den sanne verdien av et bestemt spill.

Sannsynlighet for motsatt hendelse

Tenk på en tilfeldig hendelse EN, og la sin sannsynlighet p(A) kjent. Deretter sannsynligheten for den motsatte hendelsen bestemmes av formelen

. (1.8)

Bevis. Husk at i henhold til aksiom 3 for uforenlige hendelser

p(A+B) = p(A) + p(B).

På grunn av inkompatibiliteten EN og

Konsekvens., det vil si at sannsynligheten for en umulig hendelse er null.

Formel (1.8) brukes til å bestemme for eksempel sannsynligheten for å bomme hvis sannsynligheten for å treffe er kjent (eller omvendt sannsynligheten for å treffe hvis sannsynligheten for å bom er kjent; for eksempel hvis sannsynligheten for å treffe for en pistol er 0,9, sannsynligheten for en glipp for den er (1 - 0, 9 = 0,1).

1. Sannsynlighet for summen av to hendelser

Her vil det være på sin plass å minne om det for uforenlige hendelser denne formelen ser slik ut:

Eksempel. Anlegget produserer 85% av produktene i første klasse og 10% av andre. Resten av varene anses som defekte. Hva er sannsynligheten for at hvis vi tar et produkt tilfeldig, får vi en defekt?

Løsning. P \u003d 1 - (0,85 + 0,1) \u003d 0,05.

Sannsynligheten for summen av to tilfeldige hendelser er lik

Bevis. Tenk deg en hendelse EN + B som en sum av uforenlige hendelser

Gitt inkompatibiliteten EN og vi får i henhold til aksiom 3

På samme måte finner vi

Ved å erstatte sistnevnte i forrige formel, oppnår vi ønsket (1.10) (fig. 2).

Eksempel. Av de 20 studentene besto 5 personer eksamen i historie, 4 - i engelske språk 3 elever fikk dessuten toere i begge fagene. Hvor stor er andelen elever i gruppen som ikke har toere i disse fagene?

Løsning. P = 1 - (5/20 + 4/20 - 3/20) = 0,7 (70%).

1. Betinget sannsynlighet

I noen tilfeller er det nødvendig å bestemme sannsynligheten tilfeldig hendelse B forutsatt at en tilfeldig hendelse har skjedd EN, som har en sannsynlighet som ikke er null. Det hendelsen EN skjedde, begrenser plassen elementære hendelser for mange EN tilsvarende denne hendelsen. Ytterligere resonnementer vil bli utført på eksemplet med et klassisk opplegg. La Wbestå av n like mulige elementære hendelser (utfall) og hendelsen EN tjenester m(A), og arrangementet AB - m(AB) utfall. Betegn betinget sannsynlighet utviklingen B forutsatt at EN skjedde, - p(B|A). Per definisjon,

= .

Hvis en EN skjedde, så en av de m(A) utfall og hendelse B kan bare skje hvis et av de gunstige resultatene inntreffer AB; slike utfall m(AB). Derfor er det naturlig å sette den betingede sannsynligheten for hendelsen B forutsatt at EN skjedde, lik forholdet

Oppsummering, la oss generell definisjon: betinget sannsynlighet for hendelse B, forutsatt at hendelse A med en ikke-null sannsynlighet inntraff , kalt

. (1.11)

Det er lett å kontrollere at definisjonen introdusert på denne måten tilfredsstiller alle aksiomene, og derfor er alle tidligere beviste teoremer sanne.

Ofte den betingede sannsynligheten p(B|A) kan lett finnes fra tilstanden til problemet, i mer vanskelige saker man må bruke definisjon (1.11).

Eksempel. En urne inneholder N kuler, hvorav n er hvite og N-n svart. En ball tas ut av den og uten å sette den tilbake ( prøve uten retur ), skaff deg en annen. Hva er sannsynligheten for at begge kulene er hvite?

Løsning. Når du løser dette problemet, er både den klassiske definisjonen av sannsynlighet og produktregelen gjeldende: vi angir med A hendelsen som består i at den første som tar ut hvit ball(deretter - den svarte ballen ble tatt ut først), og gjennom B - hendelsen som bestod i at den hvite ballen ble tatt ut som nummer to; deretter

.

Det er lett å se at sannsynligheten for at tre baller tatt ut på rad (uten erstatning) er hvite er:

etc.

Eksempel. Av 30 eksamensbilletter studenten har forberedt kun 25. Hvis han nekter å svare for den første billetten som ble tatt (som han ikke vet), så har han lov til å ta den andre. Bestem sannsynligheten for at den andre billetten er heldig.

Løsning. La arrangementet EN ligger i det faktum at den første loddtrekningen viste seg å være "dårlig" for studenten, og B- den andre - ²god². Fordi etter hendelsen EN en av de "dårlige" er allerede hentet ut, da er det kun 29 billetter igjen, hvorav 25 studenten vet. Derfor er den ønskede sannsynligheten, forutsatt at utseendet til en hvilken som helst billett er like mulig og at de ikke kommer tilbake, lik .

1. Produktsannsynlighet

Relasjon (1.11), forutsatt at p(A) eller p(B) ikke er lik null, kan skrives på skjemaet

Dette forholdet kalles teorem om sannsynligheten for produktet av to hendelser , som kan generaliseres til et hvilket som helst antall faktorer, for eksempel for tre har den formen

Eksempel. Under betingelsene i det forrige eksemplet, finn sannsynligheten for å bestå eksamen, hvis for dette studenten må svare på den første billetten eller, uten å svare på den første, sørg for å svare på den andre.

Løsning. La hendelsene EN og B er at henholdsvis første og andre billett er "bra". Så - utseendet til en "dårlig" billett for første gang. Eksamen vil bli tatt hvis en hendelse inntreffer EN eller samtidig og B. Det vil si den ønskede hendelsen C - vellykket levering eksamen uttrykkes som følger: C = EN+ .Herfra

Her har vi utnyttet inkompatibiliteten EN og dermed inkompatibiliteten EN og , teoremer om sannsynligheten for sum og produkt og den klassiske definisjonen av sannsynlighet ved beregning p(A) og .

Dette problemet kan løses enda enklere hvis vi bruker teoremet om sannsynligheten for den motsatte hendelsen:

1. Uavhengighet av hendelser

Tilfeldige hendelser A og Bla oss ringeuavhengig, hvis

Til uavhengige arrangementer av (1.11) følger det at ; det motsatte er også sant.

Uavhengighet av hendelserbetyr at forekomsten av hendelse A ikke endrer sannsynligheten for forekomst av hendelse B, det vil si at den betingede sannsynligheten er lik den ubetingede .

Eksempel. La oss se på det forrige eksemplet med en urne som inneholder N kuler, hvorav n er hvite, men la oss endre opplevelsen: etter å ha tatt ut en ball, setter vi den tilbake og først da tar vi ut den neste ( hent med retur ).

A er hendelsen at den hvite ballen ble trukket først, hendelsen at den svarte ballen ble trukket først, og B er hendelsen at den hvite ballen ble trukket nummer to; deretter

det vil si at i dette tilfellet er hendelsene A og B uavhengige.

Således, ved prøvetaking med retur, er hendelsene ved den andre trekningen av ballen uavhengig av hendelsene i den første tegningen, men ved prøvetaking uten erstatning er dette ikke tilfelle. For store N og n er imidlertid disse sannsynlighetene svært nær hverandre. Dette brukes fordi prøvetaking uten erstatning noen ganger utføres (for eksempel i kvalitetskontroll, når testing av et objekt fører til at det blir ødelagt), og beregningene utføres ved hjelp av formler for prøvetaking med erstatning, som er enklere.

I praksis, ved beregning av sannsynligheter, brukes ofte regelen, ifølge hvilken fra hendelsers fysiske uavhengighet følger deres uavhengighet i sannsynlighetsforstand .

Eksempel. Sannsynligheten for at en person på 60 år ikke dør det neste året er 0,91. Et forsikringsselskap forsikrer livet til to personer på 60 år i ett år.

Sannsynlighet for at ingen av dem dør: 0,91 × 0,91 = 0,8281.

Sannsynlighet for at de begge dør:

(1 – 0,91)×(1 – 0,91) = 0,09 × 0,09 = 0,0081.

Sannsynlighet for å dø minst en:

1 – 0,91 × 0,91 = 1 – 0,8281 = 0,1719.

Sannsynlighet for å dø en:

0,91 x 0,09 + 0,09 x 0,91 = 0,1638.

Eventsystem A 1 , A 2 ,..., A n vi kaller uavhengig i aggregatet hvis sannsynligheten for produktet er lik produktet av sannsynlighetene for en hvilken som helst kombinasjon av faktorer fra dette systemet. Spesielt i dette tilfellet

Eksempel. Sjifferet til safen består av syv desimalsifre. Hva er sannsynligheten for at tyven får rett første gang?

I hver av de 7 posisjonene kan du slå et hvilket som helst av de 10 sifrene 0,1,2,...,9, for totalt 10 7 numre, fra 0000000 og slutter med 9999999.

Eksempel. Koden til safen består av en russisk bokstav (det er 33 av dem) og tre sifre. Hva er sannsynligheten for at tyven får rett første gang?

P = (1/33) × (1/10) 3 .

Eksempel. I mer generelt syn forsikringsproblem: sannsynligheten for at en person i alderen ... år ikke dør det neste året er p. Et forsikringsselskap forsikrer livet til n personer i denne alderen i ett år.

Sannsynligheten for at ingen av dem vil ikke dø: pn (trenger ikke betale forsikringspremie til noen).

Sannsynlighet for å dø minst en: 1 - p n (betalinger kommer).

Sannsynligheten for at de alle dø: (1 – p) n (største utbetalinger).

Sannsynlighet for å dø en: n × (1 – p) × p n-1 (hvis personer er nummerert, kan den som dør ha tallet 1, 2,...,n er n ulike hendelser, som hver har en sannsynlighet (1 – p) × p n-1).

1. Formel full sannsynlighet

La hendelsene Hl, H2, ..., Hn tilfredsstille betingelsene

Hvis og .

En slik samling kalles hele gruppen av arrangementer.

La oss anta at vi kjenner sannsynlighetene s(H i), s(A/H i). I dette tilfellet gjelder total sannsynlighetsformel

. (1.14)

Bevis. La oss bruke hva H i(de kalles vanligvis hypoteser ) er parvis inkonsistente (derav inkonsistente og H i× EN), og summen deres er en bestemt hendelse

Denne ordningen finner sted når vi kan snakke om inndelingen av hele hendelsesrommet i flere, generelt sett, heterogene regioner. I økonomi er dette inndelingen av et land eller område i regioner av ulik størrelse og ulike forhold når andelen av hver region er kjent p(hei) og sannsynligheten (andelen) for en eller annen parameter i hver region (for eksempel prosentandelen arbeidsledige - den er forskjellig i hver region) - p(A/Hei). Lageret kan inneholde produkter fra tre forskjellige fabrikker som leverer forskjellig beløp produkter med ulik prosentandel av defekter osv.

Eksempel. Støping i griser kommer fra to butikker til den tredje: 70 % fra den første og 30 % fra den andre. Samtidig har produktene til det første verkstedet 10% av feilene, og det andre - 20%. Finn sannsynligheten for at en plate, tatt tilfeldig, har en defekt.

Løsning: p(Hl) = 0,7; p(H2) = 0,3; p(A/Hl) = 0,1; p(A/H2)=0,2;

P = 0,7 × 0,1 + 0,3 × 0,2 = 0,13 (i gjennomsnitt er 13 % av blankene i den tredje butikken defekte).

Matematisk modell det kan for eksempel være slik: det er flere urner med ulik sammensetning; i den første urnen er det n 1 kuler, hvorav m 1 er hvite, og så videre. Den totale sannsynlighetsformelen brukes til å finne sannsynligheten, ved å velge en tilfeldig urne, for å få en hvit kule ut av den.

Problemer løses på samme måte i den generelle saken.

Eksempel. La oss gå tilbake til eksemplet med urnen som inneholder N kuler, hvorav n er hvite. Vi kommer ut av det (uten retur) to baller. Hva er sannsynligheten for at den andre kulen er hvit?

Løsning. H 1 - den første ballen er hvit; p(Hl)=n/N;

H 2 - den første ballen er svart; p(H2)=(N-n)/N;

B - den andre ballen er hvit; p(B|Hl)=(n-1)/(N-1); p(B|H2)=n/(N-1);

Den samme modellen kan brukes for å løse følgende problem: av N billetter lærte studenten bare n. Hva er mer lønnsomt for ham - å trekke billetten den aller første eller andre? Det viser seg at det i alle fall er med sannsynlighet n/n vil trekke en god billett og med sannsynlighet ( N-n)/N- dårlig.

Eksempel. Bestem sannsynligheten for at en reisende som forlater punkt A vil ende opp i punkt B hvis han ved et veiskille tilfeldig velger en vei (unntatt returveien). Veikartet er vist i fig. 1.3.

Løsning. La den reisendes ankomst til punktene H 1 , H 2 , H 3 og H 4 være de tilsvarende hypotesene. Det er klart at de utgjør en komplett gruppe av hendelser, og etter tilstanden til problemet,

p(H 1) = p(H 2) = p(H 3) = p(H 4) = 0,25.

(Alle retninger fra A er like mulige for den reisende). I henhold til veiordningen er de betingede sannsynlighetene for å treffe B, forutsatt at den reisende passerte gjennom H i, lik:

Ved å bruke den totale sannsynlighetsformelen får vi

1. Bayes formel

La oss anta at betingelsene i forrige avsnitt er oppfylt og det er i tillegg kjent at arrangementet EN skjedde. Finn sannsynligheten for at hypotesen ble realisert H k. Per definisjon av betinget sannsynlighet

. (1.15)

Det resulterende forholdet kalles Bayes formel. Hun gir beskjed
(før eksperimentet) a priori sannsynligheter for hypoteser p(hei) og betingede sannsynligheter p(A|Hei) bestemme den betingede sannsynligheten p(H k |A), som kalles a posteriori (det vil si oppnådd på betingelse av at hendelsen, som et resultat av opplevelsen EN allerede skjedd).

Eksempel. 30% av pasientene innlagt på sykehuset tilhører den første sosiale gruppen, 20% - til den andre og 50% - til den tredje. Sannsynligheten for å pådra seg tuberkulose for en representant for hver sosial gruppe er henholdsvis 0,02, 0,03 og 0,01. Tester utført for en tilfeldig valgt pasient viste tilstedeværelse av tuberkulose. Finn sannsynligheten for at dette er en representant for den tredje gruppen.

Dette er forholdet mellom antall observasjoner der den aktuelle hendelsen fant sted, til Total observasjoner. En slik tolkning er tillatt i tilfelle tilstrekkelig et stort antall observasjon eller erfaring. For eksempel, hvis omtrent halvparten av menneskene du møter på gaten er kvinner, så kan du si at sannsynligheten for at personen du møter på gaten er en kvinne er 1/2. Med andre ord kan frekvensen av dens forekomst i en lang rekke uavhengige repetisjoner av et tilfeldig eksperiment tjene som et estimat av sannsynligheten for en hendelse.

Sannsynlighet i matematikk

I moderne matematisk tilnærming klassisk (det vil si ikke kvante) sannsynlighet er gitt av Kolmogorovs aksiomatikk. Sannsynlighet er et mål P, som er satt på settet X, kalt sannsynlighetsrommet. Dette tiltaket må ha følgende egenskaper:

Det følger av disse forholdene at sannsynlighetsmålet P har også eiendommen additivitet: hvis setter EN 1 og EN 2 ikke krysser hverandre, da . For å bevise det, må du sette alt EN 3 , EN 4, … lik det tomme settet og bruk egenskapen tellbar additivitet.

Sannsynlighetsmålet er kanskje ikke definert for alle delmengder av settet X. Det er nok å definere det på sigma-algebraen som består av noen delmengder av settet X. I dette tilfellet er tilfeldige hendelser definert som målbare delmengder av rommet X, det vil si som elementer i sigma-algebraen.

Sannsynlighetssans

Når vi finner ut at årsakene til at et mulig faktum faktisk oppstår oppveier de motsatte årsakene, vurderer vi dette faktum sannsynlig, ellers - utrolig. Denne overvekten av positive baser over negative, og omvendt, kan representere et ubestemt sett med grader, som et resultat av sannsynlighet(og usannsynlighet) skjer mer eller mindre .

Kompleks enkelt fakta ikke tillat eksakt utregning grader av dens sannsynlighet, men også her er det viktig å etablere noen store underavdelinger. Så, for eksempel, på rettsområdet, når et personlig faktum som er gjenstand for rettssak fastslås på grunnlag av vitneforklaring, forblir det strengt tatt alltid bare sannsynlig, og det er nødvendig å vite hvor betydelig denne sannsynligheten er; i romersk lov ble en firedobbel divisjon akseptert her: probatio plena(hvor sannsynligheten praktisk talt blir til autentisitet), Lengre - probatio minus plena, deretter - probatio semiplena major og endelig probatio semiplena minor .

I tillegg til spørsmålet om sakens sannsynlighet, kan det både på rettsområdet og på moralområdet (med et visst etisk ståsted) oppstå spørsmålet om hvor sannsynlig det er at et gitt faktum. utgjør et brudd på den alminnelige lov. Dette spørsmålet, som fungerer som hovedmotivet i Talmuds religiøse rettsvitenskap, har også gitt opphav til romersk-katolsk moralteologi (spesielt siden sent XVIårhundrer) svært komplekse systematiske konstruksjoner og en enorm litteratur, dogmatisk og polemisk (se Probabilism).

Sannsynlighetsbegrepet innrømmer et bestemt numerisk uttrykk i dets anvendelse bare på slike fakta som er en del av visse homogene rader. Så (i det enkleste eksemplet), når noen kaster en mynt hundre ganger på rad, finner vi her en felles eller stor serie (summen av alle fall av en mynt), som er sammensatt av to private eller mindre, i denne kasus numerisk lik, serie (faller "ørn" og fallende "haler"); Sannsynligheten for at mynten denne gangen vil falle, det vil si at dette nye medlemmet av den generelle serien vil tilhøre denne av de to mindre seriene, er lik en brøkdel som uttrykker det numeriske forholdet mellom denne lille serien og den store, nemlig 1/2, det vil si at den samme sannsynligheten tilhører den ene eller den andre av de to private seriene. I mindre enkle eksempler konklusjonen kan ikke trekkes direkte fra dataene om selve problemet, men krever forutgående induksjon. Så det spørs for eksempel: hva er sannsynligheten for at en gitt nyfødt kan leve opptil 80 år? Her bør lage en generell, eller stor, serie av kjent nummer mennesker født under lignende forhold og dør i ulike aldre(dette tallet må være stort nok til å eliminere tilfeldige avvik, og liten nok til å opprettholde homogeniteten til serien, fordi for en person født, for eksempel i St. arbeidere i farlige yrker - representerer en gruppe for heterogen for den nåværende definisjonen av sannsynlighet); la dette totale antallet bestå av ti tusen menneskeliv; den inkluderer mindre rader som representerer antall personer som lever til denne eller den alderen; en av disse mindre radene representerer antall personer som lever til 80 år. Men det er umulig å bestemme størrelsen på denne mindre serien (så vel som alle andre). a priori; dette gjøres på en ren induktiv måte, gjennom statistikk. Anta statistiske studier fant at av 10 000 Petersburgere i middelklassen, overlever bare 45 til 80-årsalderen; dermed er denne mindre serien relatert til den større som 45 til 10 000, og sannsynligheten for denne personenå tilhøre denne mindre serien, det vil si å leve til 80 år, uttrykkes som en brøkdel av 0,0045. Sannsynlighetsstudie med matematisk poeng visjon er spesiell disiplin- sannsynlighetsteorien.

se også

Notater

Litteratur

• Alfred Renyi. Bokstaver om sannsynlighet / overs. fra Hung. D. Saas og A. Crumley, red. B. V. Gnedenko. M.: Mir. 1970
• Gnedenko B.V. Sannsynlighetskurs. M., 2007. 42 s.
• Kuptsov V.I. Determinisme og sannsynlighet. M., 1976. 256 s.

Wikimedia Foundation. 2010 .

Synonymer:

Antonymer:

Se hva "Sannsynlighet" er i andre ordbøker:

Generell vitenskapelig og filosofisk. en kategori som angir den kvantitative graden av muligheten for opptreden av tilfeldige massehendelser under faste observasjonsforhold, som karakteriserer stabiliteten til deres relative frekvenser. I logikk er den semantiske graden ... ... Filosofisk leksikon

SANNSYNLIGHET, et tall i området fra null til én, inklusive, som representerer muligheten for at denne hendelsen skal skje. Sannsynligheten for en hendelse er definert som forholdet mellom antall sjanser for at en hendelse kan inntreffe og det totale antallet mulige ... ... Vitenskapelig og teknisk encyklopedisk ordbok

Etter all sannsynlighet .. Ordbok med russiske synonymer og uttrykk som ligner i betydning. under. utg. N. Abramova, M.: Russiske ordbøker, 1999. sannsynlighet, mulighet, sannsynlighet, sjanse, objektiv mulighet, maza, tillatelighet, risiko. Maur. umulighet...... Synonymordbok

sannsynlighet– Et tiltak på at en hendelse kan oppstå. Merk Matematisk definisjon sannsynligheter: " ekte nummer i området fra 0 til 1, relatert til en tilfeldig hendelse. Tallet kan gjenspeile den relative frekvensen i en serie observasjoner ... ... Teknisk oversetterhåndbok

Sannsynlighet- "matematisk, numerisk karakteristikk graden av mulighet for at en hendelse skal inntreffe under en eller annen spesifikke forhold som kan gjentas et ubegrenset antall ganger. Basert på denne klassikeren... Økonomisk og matematisk ordbok

- (sannsynlighet) Muligheten for forekomsten av en hendelse eller sikkert resultat. Den kan representeres som en skala med divisjoner fra 0 til 1. Hvis sannsynligheten for en hendelse er null, er dens forekomst umulig. Med en sannsynlighet lik 1, utbruddet av ... Ordliste over forretningsvilkår