Typer av vektorer. Vektorer

En vektor er et rettet segment av en rett linje i det euklidiske rom, hvor den ene enden (punkt A) kalles begynnelsen av vektoren, og den andre enden (punkt B) enden av vektoren (fig. 1). Vektorer er utpekt:

Hvis begynnelsen og slutten av vektoren faller sammen, kalles vektoren null vektor og er utpekt 0 .

Eksempel. La begynnelsen av vektoren i todimensjonalt rom ha koordinater EN(12.6) , og slutten av vektoren er koordinatene B(12.6). Da er vektoren nullvektoren.

Seksjonslengde AB ringte modul (lengde, normen) vektor og er betegnet med | en|. En vektor med lengde lik én kalles enhetsvektor. I tillegg til modulen er vektoren preget av retning: vektoren har en retning fra EN Til B. En vektor kalles en vektor, motsatt vektor.

De to vektorene kalles kollineær, hvis de ligger på samme linje eller på parallelle linjer. På bildet Fig. De 3 røde vektorene er kollineære, fordi de ligger på samme rette linje, og de blå vektorene er kollineære, fordi de ligger på parallelle linjer. To kollineære vektorer kalles like rettet, hvis endene deres ligger på samme side av den rette linjen som forbinder begynnelsen deres. To kollineære vektorer kalles motsatt rettet, hvis endene deres ligger på motsatte sider av den rette linjen som forbinder begynnelsen. Hvis to kollineære vektorer ligger på samme rette linje, kalles de identisk rettet hvis en av strålene dannet av den ene vektoren fullstendig inneholder strålen dannet av den andre vektoren. Ellers sies vektorene å være motsatt rettet. I figur 3 er de blå vektorene likt rettet, og de røde vektorene er motsatt rettet.

De to vektorene kalles lik hvis de har like moduler og samme retninger. I figur 2 er vektorene like pga deres moduler er like og har samme retning.

Vektorene kalles koplanar, hvis de ligger på samme plan eller i parallelle plan.

I n I et dimensjonalt vektorrom, vurder settet av alle vektorer hvis startpunkt sammenfaller med opprinnelsen til koordinatene. Deretter kan vektoren skrives i følgende form:

(1)

Hvor x 1, x 2, ..., x n vektorendepunktkoordinater x.

En vektor skrevet på formen (1) kalles rad vektor, og vektoren skrevet i skjemaet

(2)

ringte kolonnevektor.

Tall n ringte dimensjon (i rekkefølge) vektor. Hvis da kalles vektoren null vektor(siden startpunktet til vektoren ). To vektorer x Og y er like hvis og bare hvis deres korresponderende elementer er like.

Når man studerer ulike grener av fysikk, mekanikk og tekniske vitenskaper, møter man mengder som er fullstendig bestemt ved å spesifisere deres numeriske verdier. Slike mengder kalles skalar eller kort sagt, skalarer.

Skalære mengder er lengde, areal, volum, masse, kroppstemperatur osv. I tillegg til skalarmengder er det i ulike problemer mengder som det i tillegg til deres numeriske verdi også er nødvendig å kjenne deres retning. Slike mengder kalles vektor. Fysiske eksempler på vektormengder kan være forskyvningen av et materialpunkt som beveger seg i rommet, hastigheten og akselerasjonen til dette punktet, samt kraften som virker på det.

Vektormengder er representert ved hjelp av vektorer.

Vektordefinisjon. En vektor er et rettet segment av en rett linje som har en viss lengde.

En vektor er karakterisert ved to punkter. Det ene punktet er startpunktet til vektoren, det andre punktet er vektorens sluttpunkt. Hvis vi betegner begynnelsen av vektoren med en prikk EN , og slutten av vektoren er et punkt I , så er selve vektoren betegnet . En vektor kan også betegnes med én liten latinsk bokstav med en strek over (for eksempel ).

Grafisk er en vektor betegnet med et segment med en pil på slutten.

Begynnelsen av vektoren kalles sitt anvendelsespunkt. Hvis poenget EN er begynnelsen av vektoren , da vil vi si at vektoren brukes på punktet EN.

En vektor er karakterisert ved to størrelser: lengde og retning.

Vektorlengde – avstanden mellom startpunktet A og sluttpunktet B. Et annet navn på lengden til en vektor er modulen til vektoren og er indikert med symbolet . Vektormodulen er angitt Vektor , hvis lengde er 1 kalles en enhetsvektor. Det vil si betingelsen for enhetsvektoren

En vektor med null lengde kalles en nullvektor (betegnet med ). Det er klart at nullvektoren har samme begynnelses- og sluttpunkt. Nullvektoren har ingen spesifikk retning.

Definisjon av kollineære vektorer. Vektorer og plassert på samme linje eller på parallelle linjer kalles kollineære .

Merk at kollineære vektorer kan ha forskjellige lengder og forskjellige retninger.

Bestemmelse av like vektorer. To vektorer sies å være like hvis de er kollineære, har samme lengde og samme retning.

I dette tilfellet skriver de:

Kommentar. Fra definisjonen av likhet av vektorer følger det at en vektor kan overføres parallelt ved å plassere sin opprinnelse på et hvilket som helst punkt i rommet (spesielt et plan).

Alle nullvektorer regnes som like.

Bestemmelse av motsatte vektorer. To vektorer kalles motsatte hvis de er kollineære, har samme lengde, men motsatt retning.

I dette tilfellet skriver de:

Med andre ord er vektoren motsatt av vektoren betegnet som .

Side 1 av 2

Spørsmål 1. Hva er en vektor? Hvordan er vektorer utpekt?
Svare. Vi vil kalle et rettet segment for en vektor (fig. 211). Retningen til en vektor bestemmes ved å angi begynnelsen og slutten. På tegningen er retningen til vektoren angitt med en pil. For å betegne vektorer vil vi bruke små latinske bokstaver a, b, c, .... Du kan også angi en vektor ved å angi begynnelsen og slutten. I dette tilfellet plasseres begynnelsen av vektoren på første plass. I stedet for ordet "vektor", er det noen ganger plassert en pil eller en linje over bokstavbetegnelsen til vektoren. Vektoren i figur 211 kan betegnes som følger:

\(\overline(a)\), \(\overrightarrow(a)\) eller \(\overline(AB)\), \(\overrightarrow(AB)\).

Spørsmål 2. Hvilke vektorer kalles identisk rettet (motsatt rettet)?
Svare. Vektorene \(\overline(AB)\) og \(\overline(CD)\) sies å være likt rettet hvis halvlinjene AB og CD er likt rettet.
Vektorene \(\overline(AB)\) og \(\overline(CD)\) sies å være motsatt rettet hvis halvlinjene AB og CD er motsatt rettet.
I figur 212 er vektorene \(\overline(a)\) og \(\overline(b)\) likt rettet, og vektorene \(\overline(a)\) og \(\overline(c)\ ) er motsatt rettet.

Spørsmål 3. Hva er den absolutte størrelsen på en vektor?
Svare. Den absolutte verdien (eller modulen) til en vektor er lengden på segmentet som representerer vektoren. Den absolutte verdien av vektoren \(\overline(a)\) er angitt med |\(\overline(a)\)|.

Spørsmål 4. Hva er en nullvektor?
Svare. Begynnelsen av en vektor kan falle sammen med slutten. Vi vil kalle en slik vektor nullvektoren. Nullvektoren er angitt med en null med en strek (\(\overline(0)\)). De snakker ikke om retningen til nullvektoren. Den absolutte verdien av nullvektoren anses som lik null.

Spørsmål 5. Hvilke vektorer kalles like?
Svare. To vektorer sies å være like hvis de kombineres ved parallell translasjon. Dette betyr at det er en parallell translasjon som tar starten og slutten av en vektor til henholdsvis starten og slutten av en annen vektor.

Spørsmål 6. Bevis at like vektorer har samme retning og er like i absolutt verdi. Og omvendt: identisk rettede vektorer som er like i absolutt verdi er like.
Svare. Under parallell translasjon beholder vektoren sin retning, så vel som sin absolutte verdi. Dette betyr at like vektorer har samme retninger og er like i absolutt verdi.
La \(\overline(AB)\) og \(\overline(CD)\) være identisk rettede vektorer, like i absolutt verdi (fig. 213). En parallell translasjon som flytter punkt C til punkt A kombinerer halvlinje-CD med halvlinje AB, siden de har samme retning. Og siden segmentene AB og CD er like, så faller punkt D sammen med punkt B, dvs. parallell oversettelse transformerer vektoren \(\overline(CD)\) til vektoren \(\overline(AB)\). Dette betyr at vektorene \(\overline(AB)\) og \(\overline(CD)\) er like, som er det som måtte bevises.

Spørsmål 7. Bevis at du fra ethvert punkt kan plotte en vektor lik en gitt vektor, og bare en.
Svare. La CD være en linje, og vektoren \(\overline(CD)\) være en del av linje-CDen. La AB være den rette linjen som den rette linjen CD går inn i under parallell overføring, \(\overline(AB)\) være vektoren som vektoren \(\overline(CD)\) går inn i under parallell overføring, og derfor vektorene \(\ overline(AB)\) og \(\overline(CD)\) er like, og linjene AB og CD er parallelle (se fig. 213). Som vi vet, gjennom et punkt som ikke ligger på en gitt linje, er det mulig å tegne på planet maksimalt en rett linje parallelt med den gitte (aksiom for parallelle linjer). Dette betyr at gjennom punkt A kan én linje trekkes parallelt med linje CD. Siden vektoren \(\overline(AB)\) er en del av linjen AB, kan man gjennom punkt A tegne en vektor \(\overline(AB)\), lik vektoren \(\overline(CD)\ ).

Spørsmål 8. Hva er vektorkoordinater? Hva er absoluttverdien til vektoren med koordinatene a 1, a 2?
Svare. La vektoren \(\overline(a)\) ha et startpunkt A 1 (x 1 ; y 1), og et sluttpunkt A 2 (x 2 ; y 2). Koordinatene til vektoren \(\overline(a)\) vil være tallene a 1 = x 2 - x 1 , a 2 = y 2 - y 1 . Vi vil sette koordinatene til vektoren ved siden av bokstavbetegnelsen til vektoren, i dette tilfellet \(\overline(a)\) (a 1 ; a 2) eller ganske enkelt \((\overline(a 1 ; a 2 ) )\). Koordinatene til nullvektoren er lik null.
Fra formelen som uttrykker avstanden mellom to punkter gjennom deres koordinater, følger det at den absolutte verdien av vektoren med koordinatene a 1, a 2 er lik \(\sqrt(a^2 1 + a^2 2)\).

Spørsmål 9. Bevis at like vektorer har henholdsvis like koordinater, og vektorer med like koordinater er like.
Svare. La A 1 (x 1 ; y 1) og A 2 (x 2 ; y 2) være begynnelsen og slutten av vektoren \(\overline(a)\). Siden vektoren \(\overline(a)\) lik den er hentet fra vektoren \(\overline(a)\) ved parallell overføring, vil dens begynnelse og slutt være A" 1 (x 1 + c; y 1 + d) henholdsvis ), A" 2 (x 2 + c; y 2 ​​​​+ d). Dette viser at begge vektorene \(\overline(a)\) og \(\overline(a")\) har samme koordinater: x 2 - x 1, y 2 - y 1.
La oss nå bevise det motsatte utsagnet. La de tilsvarende koordinatene til vektorene \(\overline(A 1 A 2 )\) og \(\overline(A" 1 A" 2 )\) være like. La oss bevise at vektorene er like.
La x" 1 og y" 1 være koordinatene til punkt A" 1, og x" 2, y" 2 være koordinatene til punkt A" 2. I henhold til betingelsene for teoremet, x 2 - x 1 = x" 2 - x" 1, y 2 - y 1 = y" 2 - y" 1. Derfor x" 2 = x 2 + x" 1 - x 1, y" 2 = y 2 + y" 1 - y 1. Parallell overføring gitt av formler

x" = x + x" 1 - x 1, y" = y + y" 1 - y 1,

overfører punkt A 1 til punkt A" 1, og punkt A 2 til punkt A" 2, dvs. vektorene \(\overline(A 1 A 2 )\) og \(\overline(A" 1 A" 2 )\) er like, som er det som måtte bevises.

Spørsmål 10. Definer summen av vektorer.
Svare. Summen av vektorene \(\overline(a)\) og \(\overline(b)\) med koordinatene a 1 , a 2 og b 1 , b 2 er vektoren \(\overline(c)\) med koordinater a 1 + b 1, a 2 + b a 2, dvs.

\(\overline(a) (a 1 ; a 2) + \overline(b)(b 1 ; b 2) = \overline(c) (a 1 + b 1 ; a 2 + b 2)\).