Bølgefunksjon til en partikkel. Den fysiske betydningen av bølgefunksjonen

> Wave-funksjon

Lese om bølgefunksjon og teorien om sannsynlighet for kvantemekanikk: essensen av Schrödinger-ligningen, tilstanden til en kvantepartikkel, en harmonisk oscillator, et skjema.

Vi snakker om sannsynlighetsamplituden i kvantemekanikk, som beskriver kvantetilstanden til partikkelen og dens oppførsel.

Læringsoppgave

Kombiner bølgefunksjonen ogstettheten.

Viktige punkter

|ψ| 2 (x) tilsvarer sannsynlighetstettheten for å detektere en partikkel på et bestemt sted og øyeblikk.
Kvantemekanikkens lover karakteriserer utviklingen av bølgefunksjonen. Schrödinger-ligningen forklarer navnet.
Bølgefunksjonen må tilfredsstille mange matematiske begrensninger for beregning og fysisk tolkning.

Vilkår

Schrödinger-ligningen er en partiell differensial som karakteriserer endringen i tilstanden til et fysisk system. Den ble formulert i 1925 av Erwin Schrödinger.
En harmonisk oscillator er et system som, når det forskyves fra sin opprinnelige posisjon, opplever påvirkningen av en kraft F proporsjonal med forskyvningen x.

Innen kvantemekanikk reflekterer bølgefunksjonen sannsynlighetsamplituden som karakteriserer kvantetilstanden til partikkelen og dens oppførsel. Vanligvis er verdien et komplekst tall. De vanligste bølgefunksjonssymbolene er ψ (x) eller Ψ(x). Selv om ψ er et komplekst tall, |ψ| 2 er reell og tilsvarer sannsynlighetstettheten for å finne en partikkel på et bestemt sted og tidspunkt.

Her vises banene til den harmoniske oscillatoren i klassisk (A-B) og kvante (C-H) mekanikk. I kvantekulen vises bølgefunksjonen med den reelle delen i blått og den imaginære delen i rødt. BanerC-F er eksempler på stående bølger. Hver slik frekvens vil være proporsjonal med det mulige energinivået til oscillatoren

Kvantemekanikkens lover utvikler seg over tid. Bølgefunksjonen ligner andre, som bølger i vann eller en streng. Faktum er at Schrödinger-formelen er en type bølgeligning i matematikk. Dette fører til dualiteten til bølgepartikler.

Bølgefunksjonen må overholde begrensningene:

alltid endelig.
alltid kontinuerlig og kontinuerlig differensierbar.
tilfredsstiller den tilsvarende normaliseringsbetingelsen slik at partikkelen eksisterer med 100 % sikkerhet.

Hvis kravene ikke er oppfylt, kan ikke bølgefunksjonen tolkes som en sannsynlighetsamplitude. Hvis vi ignorerer disse posisjonene og bruker bølgefunksjonen til å bestemme observasjonene til et kvantesystem, vil vi ikke få endelige og bestemte verdier.

korpuskulær-bølge dualisme i kvantefysikk beskriver tilstanden til en partikkel ved å bruke bølgefunksjonen ($\psi (\overrightarrow(r),t)$- psi-funksjon).

Definisjon 1

bølgefunksjon er en funksjon som brukes i kvantemekanikk. Den beskriver tilstanden til et system som har dimensjoner i rommet. Det er en tilstandsvektor.

Denne funksjonen er kompleks og har formelt bølgeegenskaper. Bevegelsen til enhver partikkel i mikroverdenen bestemmes av sannsynlighetslover. Sannsynlighetsfordelingen avsløres når man gjør et stort antall observasjoner (målinger) eller et stort antall partikler. Den oppnådde fordelingen er lik fordelingen av bølgeintensitet. Det vil si at på steder med maksimal intensitet noteres maksimalt antall partikler.

Settet med bølgefunksjonsargumenter bestemmer representasjonen. Dermed er koordinatrepresentasjonen mulig: $\psi(\overrightarrow(r),t)$, momentumrepresentasjon: $\psi"(\overrightarrow(p),t)$, etc.

I kvantefysikk er ikke målet å forutsi en hendelse nøyaktig, men å estimere sannsynligheten for en hendelse. Å vite størrelsen på sannsynligheten, finn gjennomsnittsverdiene av fysiske mengder. Bølgefunksjonen lar deg finne lignende sannsynligheter.

Så sannsynligheten for tilstedeværelsen av en mikropartikkel i volumet dV på tidspunktet t kan defineres som:

der $\psi^*$ er den komplekse konjugerte funksjonen til funksjonen $\psi.$ Sannsynlighetstettheten (sannsynlighet per volumenhet) er:

Sannsynlighet er en mengde som kan observeres i et eksperiment. Samtidig er ikke bølgefunksjonen tilgjengelig for observasjon, siden den er kompleks (i klassisk fysikk er parametrene som karakteriserer tilstanden til partikkelen tilgjengelige for observasjon).

Normaliseringsbetingelse for $\psi$-funksjoner

Bølgefunksjonen er definert opp til en vilkårlig konstant faktor. Dette faktum påvirker ikke tilstanden til partikkelen, som $\psi$-funksjonen beskriver. Imidlertid er bølgefunksjonen valgt på en slik måte at den tilfredsstiller normaliseringsbetingelsen:

hvor integralet tas over hele rommet eller over et område der bølgefunksjonen ikke er lik null. Normaliseringsbetingelsen (2) betyr at i hele området hvor $\psi\ne 0$ er partikkelen pålitelig tilstede. En bølgefunksjon som følger normaliseringsbetingelsen kalles normalisert. Hvis $(\left|\psi\right|)^2=0$, betyr denne tilstanden at det absolutt ikke er noen partikler i området som studeres.

Normalisering av formen (2) er mulig for et diskret spekter av egenverdier.

Normaliseringstilstanden er kanskje ikke gjennomførbar. Så hvis $\psi$ er en de Broglie planbølgefunksjon og sannsynligheten for å finne en partikkel er den samme for alle punkter i rommet. Disse tilfellene betraktes som en ideell modell der partikkelen er tilstede i et stort, men begrenset område av rommet.

Bølgefunksjon superposisjonsprinsipp

Dette prinsippet er et av hovedpostulatene til kvanteteorien. Betydningen er som følger: hvis tilstandene beskrevet av bølgefunksjonene $\psi_1\ (\rm u)\ $ $\psi_2$ for et system er mulig, så er det for dette systemet en tilstand:

hvor $C_(1\ )og\ C_2$ er konstante koeffisienter. Prinsippet om superposisjon bekreftes empirisk.

Vi kan snakke om tillegg av et hvilket som helst antall kvantetilstander:

der $(\left|C_n\right|)^2$ er sannsynligheten for at systemet er funnet i tilstanden beskrevet av bølgefunksjonen $\psi_n.$

Stasjonære tilstander

I kvanteteorien spiller stasjonære tilstander (tilstander der alle observerbare fysiske parametere ikke endres over tid) en spesiell rolle. (Bølgefunksjonen i seg selv er grunnleggende uobserverbar). I stasjonær tilstand har $\psi$-funksjonen formen:

der $\omega =\frac(E)(\hbar )$, $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ ikke er avhengig av tid, er $E$ energien til partikkelen. I form (3) av bølgefunksjonen er sannsynlighetstettheten ($P$) en tidskonstant:

Fra de fysiske egenskapene til stasjonære tilstander følger de matematiske kravene til bølgefunksjonen $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)\to \ (\psi(x,y,z))$.

Matematiske krav til bølgefunksjonen for stasjonære tilstander

$\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ - funksjonen må være på alle punkter:

kontinuerlige,
entydig,
avgrenset.

Hvis den potensielle energien har en diskontinuitetsoverflate, må funksjonen $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ og dens førstederiverte forbli kontinuerlige på slike flater. I et område av rommet hvor den potensielle energien blir uendelig, må $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ være lik null. Kontinuiteten til funksjonen $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)$ krever at $\psi\left(\overrightarrow(r)\right)=0$ på en hvilken som helst grense for denne regionen. Kontinuitetsbetingelsen pålegges de partielle deriverte av bølgefunksjonen ($\frac(\partial \psi)(\partial x),\ \frac(\partial \psi)(\partial y),\frac(\partial \ psi)(\ delvis z)$).

Eksempel 1

Trening: For en partikkel er det gitt en bølgefunksjon av formen: $\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))$, der $r$ er avstanden fra partikkelen til kraftsenteret (fig. 1), $a=const$. Bruk normaliseringsbetingelsen, finn normaliseringsfaktoren A.

Bilde 1.

Løsning:

Vi skriver normaliseringsbetingelsen for vårt tilfelle i skjemaet:

\[\int((\venstre|\psi\høyre|)^2dV=\int(\psi\psi^*dV=1\venstre(1.1\høyre)))\]

hvor $dV=4\pi r^2dr$ (se fig.1 Det er tydelig fra betingelsene at problemet har sfærisk symmetri). Fra betingelsene for problemet har vi:

\[\psi=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a))\to \psi^*=\frac(A)(r)e^(-(r)/(a) ))\venstre(1.2\høyre).\]

La oss erstatte $dV$ og bølgefunksjoner (1.2) i normaliseringstilstanden:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=1\left(1.3\ Ikke sant).)\]

La oss integrere på venstre side:

\[\int\limits^(\infty )_0(\frac(A^2)(r^2)e^(-(2r)/(a))4\pi r^2dr=2\pi A^2a =1\venstre(1,4\høyre).)\]

Fra formel (1.4) uttrykker vi ønsket koeffisient:

Svar:$A=\sqrt(\frac(1)(2\pi a)).$

Eksempel 2

Trening: Hva er den mest sannsynlige avstanden ($r_B$) til et elektron fra kjernen hvis bølgefunksjonen som beskriver grunntilstanden til et elektron i et hydrogenatom kan defineres som: $\psi=Ae^(-(r)/ (a))$, hvor $ r$ er avstanden fra elektronet til kjernen, er $a$ den første Bohr-radiusen?

Løsning:

Vi bruker formelen som bestemmer sannsynligheten for tilstedeværelse av en mikropartikkel i volumet $dV$ på tidspunktet $t$:

hvor $dV=4\pi r^2dr.\ $Følgelig har vi:

I dette tilfellet kan $p=\frac(dP)(dr)$ skrives som:

For å bestemme den mest sannsynlige avstanden, likestiller vi den deriverte $\frac(dp)(dr)$ til null:

\[(\venstre.\frac(dp)(dr)\høyre|)_(r=r_B)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))+4\pi r^2A^ 2e^(-(2r)/(a))\venstre(-\frac(2)(a)\right)=8\pi rA^2e^(-(2r)/(a))\venstre(1- \frac(r)(a)\right)=0(2.4)\]

Siden løsningen $8\pi rA^2e^(-(2r_B)/(a))=0\ \ (\rm at)\ \ r_B\to \infty $ ikke passer oss, avvises den:

Oppdagelsen av bølgeegenskapene til mikropartikler indikerte at klassisk mekanikk ikke kan gi en korrekt beskrivelse av oppførselen til slike partikler. En teori som dekker alle egenskapene til elementærpartikler må ikke bare ta hensyn til deres korpuskulære egenskaper, men også bølgeegenskaper. Fra eksperimentene vurdert tidligere, følger det at en stråle av elementærpartikler har egenskapene til en plan bølge som forplanter seg i retning av partikkelhastighet. Når det gjelder forplantning langs aksen, kan denne bølgeprosessen beskrives av de Broglie-bølgeligningen (7.43.5):

(7.44.1)

hvor er energien og er impulsen til partikkelen. Når du forplanter deg i en vilkårlig retning:

(7.44.2)

La oss kalle funksjonen en bølgefunksjon og finne ut dens fysiske betydning ved å sammenligne diffraksjonen av lysbølger og mikropartikler.

I følge bølgeideer om lysets natur, er intensiteten til diffraksjonsmønsteret proporsjonal med kvadratet på amplituden til lysbølgen. I henhold til konseptene for fotonteori bestemmes intensiteten av antall fotoner som faller inn i et gitt punkt i diffraksjonsmønsteret. Følgelig er antallet fotoner ved et gitt punkt i diffraksjonsmønsteret gitt ved kvadratet av amplituden til lysbølgen, mens for et enkelt foton bestemmer kvadratet av amplituden sannsynligheten for at et foton treffer et bestemt punkt.

Diffraksjonsmønsteret observert for mikropartikler er også preget av en ulik fordeling av mikropartikkelflukser. Tilstedeværelsen av maksima i diffraksjonsmønsteret fra bølgeteoriens synspunkt betyr at disse retningene tilsvarer den høyeste intensiteten til de Broglie-bølger. Intensiteten er større der antallet partikler er større. Diffraksjonsmønsteret for mikropartikler er altså en manifestasjon av en statistisk regularitet, og vi kan si at kunnskap om de Broglie-bølgeformen, dvs. Ψ -funksjoner, lar deg bedømme sannsynligheten for en eller annen av de mulige prosessene.

Så i kvantemekanikk beskrives tilstanden til mikropartikler på en fundamentalt ny måte - ved hjelp av bølgefunksjonen, som er hovedbæreren av informasjon om deres korpuskulære og bølgeegenskaper. Sannsynligheten for å finne en partikkel i et volumelement er

(7.44.3)

Verdi

(7.44.4)

har betydningen av en sannsynlighetstetthet, dvs. bestemmer sannsynligheten for å finne en partikkel i en enhetsvolum i nærheten av et gitt punkt. Dermed er det ikke funksjonen i seg selv som har fysisk betydning, men kvadratet på dens modul , som bestemmer intensiteten til de Broglie-bølger. Sannsynligheten for å finne en partikkel om gangen i et begrenset volum, ifølge sannsynlighetsaddisjonsteoremet, er lik

(7.44.5)

Siden partikkelen eksisterer, finnes den nødvendigvis et sted i verdensrommet. Sannsynligheten for en viss hendelse er altså lik én

. (7.44.6)

Uttrykk (7.44.6) kallesngelsen. Bølgefunksjonen som karakteriserer sannsynligheten for å oppdage virkningen av en mikropartikkel i et volumelement må være endelig (sannsynligheten kan ikke være større enn én), entydig (sannsynligheten kan ikke være en tvetydig verdi) og kontinuerlig (sannsynligheten kan ikke endres brått).

bølgefunksjon
bølgefunksjon

bølgefunksjon (eller tilstandsvektor) er en kompleks funksjon som beskriver tilstanden til et kvantemekanisk system. Kunnskapen gjør det mulig å få den mest komplette informasjonen om systemet, som er grunnleggende oppnåelig i mikroverdenen. Så med dens hjelp kan du beregne alle de målbare fysiske egenskapene til systemet, sannsynligheten for at det er på et bestemt sted i rommet og evolusjon i tid. Bølgefunksjonen kan bli funnet ved å løse Schrödinger-bølgeligningen.
Bølgefunksjonen ψ (x, y, z, t) ≡ ψ (x, t) til en punktstrukturløs partikkel er en kompleks funksjon av koordinatene til denne partikkelen og tiden. Det enkleste eksemplet på en slik funksjon er bølgefunksjonen til en fri partikkel med momentum og total energi E (plan bølge)

Bølgefunksjonen til systemet A av partikler inneholder koordinatene til alle partikler: ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t).
Kvadratisk modul for bølgefunksjonen til en individuell partikkel | ψ (,t)| 2 = ψ *(,t) ψ (,t) gir sannsynligheten for å oppdage en partikkel på tidspunktet t på et punkt i rommet beskrevet av koordinater , nemlig | ψ (,t)| 2dv ≡ | ψ (x, y, z, t)| 2 dxdydz er sannsynligheten for å finne en partikkel i et område av rommet med et volum på dv = dxdydz rundt et punkt x, y, z. Tilsvarende er sannsynligheten for å finne ved tidspunktet t et system A av partikler med koordinatene 1 , 2 ,..., A i et volumelement i et flerdimensjonalt rom gitt av | ψ ( 1 , 2 ,..., A ,t)| 2 dv 1 dv 2 ...dv A .
Bølgefunksjonen bestemmer fullstendig alle de fysiske egenskapene til et kvantesystem. Så den gjennomsnittlige observerte verdien av den fysiske mengden F for systemet er gitt av uttrykket

hvor er operatøren av denne mengden og integrasjonen utføres over hele regionen av flerdimensjonalt rom.
I stedet for partikkelkoordinater x, y, z, kan deres momenta p x , p y , p z eller andre sett med fysiske størrelser velges som uavhengige variabler for bølgefunksjonen. Dette valget avhenger av representasjonen (koordinat, momentum eller annet).
Bølgefunksjonen ψ (,t) til en partikkel tar ikke hensyn til dens indre egenskaper og frihetsgrader, det vil si at den beskriver dens bevegelse som et helt strukturløst (punkt)objekt langs en bestemt bane (bane) i rommet. Disse interne egenskapene til en partikkel kan være dens spinn, helicitet, isospin (for sterkt interagerende partikler), farge (for kvarker og gluoner) og noen andre. De indre egenskapene til en partikkel er gitt av en spesiell bølgefunksjon av dens indre tilstand φ. I dette tilfellet kan den totale bølgefunksjonen til partikkelen Ψ representeres som produktet av orbitalbevegelsesfunksjonen ψ og den interne funksjonen φ:

fordi vanligvis ikke de indre egenskapene til en partikkel og dens frihetsgrader, som beskriver banebevegelsen, avhenger av hverandre.
Som et eksempel begrenser vi oss til tilfellet når den eneste interne karakteristikken som tas i betraktning av funksjonen er partikkelspinnet, og dette spinnet er lik 1/2. En partikkel med et slikt spinn kan være i en av to tilstander - med spinnprojeksjonen på z-aksen lik +1/2 (spinn opp), og med spinnprojeksjonen på z-aksen lik -1/2 (spinn ned). Denne dualiteten er beskrevet av en spinnfunksjon tatt som en to-komponent spinor:

Da vil bølgefunksjonen Ψ +1/2 = χ +1/2 ψ beskrive bevegelsen til en partikkel med spinn 1/2 rettet oppover langs banen bestemt av funksjonen ψ , og bølgefunksjonen Ψ -1/2 = χ -1/2 ψ vil beskrive bevegelsen langs den samme banen til den samme partikkelen, men med spinnet rettet nedover.
Avslutningsvis bemerker vi at i kvantemekanikk er slike tilstander mulige som ikke kan beskrives ved hjelp av bølgefunksjonen. Slike tilstander kalles blandede tilstander og de er beskrevet i form av en mer kompleks tilnærming ved å bruke konseptet med en tetthetsmatrise. Tilstandene til et kvantesystem beskrevet av bølgefunksjonen kalles rene.

For å beskrive korpuskulærbølgeegenskapene til et elektron i kvantemekanikk, brukes bølgefunksjonen, som er betegnet med den greske bokstaven psi (T). Hovedegenskapene til bølgefunksjonen er:

når som helst i rommet med koordinatene x, y, z den har et visst fortegn og amplitude: NPV:, på, G);
kvadratmodulen til bølgefunksjonen | FH, y,z)| 2 er lik sannsynligheten for å finne en partikkel i en volumenhet, dvs. sannsynlighetstetthet.

Sannsynlighetstettheten for å finne et elektron i forskjellige avstander fra kjernen til et atom er avbildet på flere måter. Ofte er det preget av antall poeng per volumenhet (fig. 9.1, EN). Punktgrafikken til sannsynlighetstettheten ligner en sky. Når vi snakker om en elektronsky, bør det huskes at et elektron er en partikkel som samtidig viser både korpuskulær og bølge

Ris. 9.1.

egenskaper. Sannsynlighetsområdet for elektrondeteksjon har ingen klare grenser. Det er imidlertid mulig å velge et rom hvor sannsynligheten for deteksjon er høy eller til og med maksimal.

På fig. 9.1, EN den stiplede linjen angir en sfærisk overflate, innenfor hvilken sannsynligheten for å oppdage et elektron er 90%. På fig. 9.1, b viser et konturbilde av elektrontettheten i hydrogenatomet. Konturen nærmest kjernen dekker området i rommet der sannsynligheten for å finne et elektron er 10 %, mens sannsynligheten for å finne et elektron inne i den andre konturen fra kjernen er 20 %, inne i den tredje - 30 % osv. På fig. 9.1, er elektronskyen avbildet som en sfærisk overflate, innenfor hvilken sannsynligheten for å oppdage et elektron er 90%.

Til slutt, i fig. 9.1, d og b, er sannsynligheten for å detektere et elektron Is ved forskjellige avstander vist på to måter G fra kjernen: øverst vises "kuttet" av denne sannsynligheten som går gjennom kjernen, og nederst - selve funksjonen 4lg 2 |U| 2.

Schrödingsr-ligningen. Denne grunnleggende ligningen for kvantemekanikk ble formulert av den østerrikske fysikeren E. Schrödinger i 1926. Den viser den totale energien til en partikkel E, lik summen av potensielle og kinetiske energier, potensiell energi?„, partikkelmasse T og bølgefunksjonen 4*. For en enkelt partikkel, for eksempel et elektron med masse t e, det ser slik ut:

Fra et matematisk synspunkt er dette en ligning med tre ukjente: Y, E Og?". Løs det, dvs. du kan finne disse ukjente hvis du løser det sammen med to andre ligninger (tre ligninger kreves for å finne tre ukjente). Som slike ligninger brukes ligningene for potensiell energi og randbetingelser.

Den potensielle energiligningen inneholder ikke bølgefunksjonen U. Den beskriver samspillet mellom ladede partikler i henhold til Coulombs lov. I samspillet mellom ett elektron og en kjerne som har en ladning +z, er den potensielle energien lik

Hvor r = Y* 2 + y 2+ z 2.

Dette er tilfellet med det såkalte ett-elektronatomet. I mer komplekse systemer, når det er mange ladede partikler, består den potensielle energiligningen av summen av de samme Coulomb-leddene.

Grensebetingelsesligningen er uttrykket

Det betyr at bølgefunksjonen til et elektron har en tendens til null i store avstander fra kjernen til et atom.

Å løse Schrödinger-ligningen lar deg finne bølgefunksjonen til et elektron? = (x, y, z) som en funksjon av koordinater. Denne fordelingen kalles en orbital.

Orbital - er en romdefinert bølgefunksjon.

Ligningssystemet, som inkluderer ligningene for Schrödinger, potensiell energi og grensebetingelser, har ikke én, men mange løsninger. Hver av løsningene inkluderer samtidig 4 x = (x, y, G) Og E, dvs. beskriver elektronskyen og dens tilsvarende totale energi. Hver løsning bestemmes kvantetall.

Den fysiske betydningen av kvantetall kan forstås ved å vurdere vibrasjonene til en streng, som et resultat av at det dannes en stående bølge (fig. 9.2).

Stående bølgelengde X og strenglengde b knyttet til ligningen

Den stående bølgelengden kan bare ha strengt definerte verdier som tilsvarer tallet P, som bare tar ikke-negative heltallsverdier 1,2,3, etc. Som det fremgår av fig. 9.2, antall oscillasjonsamplitudemaksima, dvs. stående bølgeform, unikt bestemt av verdien P.

Siden elektronbølgen i et atom er en mer kompleks prosess enn den stående bølgen til en streng, bestemmes verdiene til elektronbølgefunksjonen ikke av én, men av fire

Ris. 9.2.

4 tall, som kalles kvantetall og er betegnet med bokstaver P, /, T Og s. Gitt et sett med kvantetall P, /, T tilsvarer samtidig en viss bølgefunksjon H "lDl, og den totale energien E „j. Kvantenummer T på E indikerer ikke, siden i fravær av et eksternt felt, elektronenergien fra T er ikke avhengig. Kvantenummer s påvirker ikke 4 * n xt, verken på E n j.

, ~ elxv dlxv 62*s
Symbolene --, --- betyr de andre partielle deriverte av fir1 buer 8z2 H "-funksjoner. Dette er deriverte av de første deriverte. Betydningen av den første deriverte faller sammen med helningen til funksjonen H" fra argumentet x, u eller z på grafene? \u003d j (x), T \u003d / 2 (y), W " \u003d /:! (z).