Magic Square av Albrecht Durer. "Melancholia I" - den mest mystiske graveringen av Albrecht Dürer, der hemmelige meldinger er kryptert

Durer (Durer) Albrecht (1471-1528), tysk maler, tegner, gravør, kunstteoretiker.

studerte med sin far.
Faren, en gullsmed, ønsket å involvere sønnen i arbeid i et smykkeverksted, men Albrecht uttrykte ikke noe ønske. Han elsket og ble tiltrukket av å male.

Hos Nürnberg-kunstneren Wolgemut Durer mestret ikke bare maleri, men også gravering på tre.
Inspirert av verkene til kunstneren Martin Schongauer, som han aldri møtte, reiste Albrecht mye og studerte overalt, studerte, studerte ...

Men tiden kom da Albrecht trengte å gifte seg. Og så valgte han Agnes Frey, datteren til farens venn, fra en gammel og respektert Nürnberg-familie. Ekteskapet med Agnes var barnløst, og ektefellene var forskjellige av karakter, noe som gjorde at familien ikke var særlig fornøyd.

Likevel åpnet han sin egen virksomhet og skapte en betydelig del av graveringene sine i verkstedet sitt.
I Venezia sirkulerte rykter om hans kjærlighet til begge kjønn ... Kanskje Dürer praktiserte likekjønnet kjærlighet med en hjertelig venn, en kjenner av gammel litteratur Pirkheimer.

Langt, krøllet hår, dansetimer, frykt for å få syfilis i Venezia og kjøpe en kur mot denne sykdommen i Nederland, elegante klær, småforfengelighet i alt som angår hans skjønnhet og utseende, melankoli, narsissisme og ekshibisjonisme, Kristuskomplekset , barnløst ekteskap, underkastelse til sin kone, ømt vennskap med libertineren Pirkheimer, som han selv i et oktoberbrev fra 1506 spøkefullt foreslo å kastrere -

alt dette er kombinert i Dürer med øm omsorg for hans mor og brødre, med mange års hardt arbeid, hyppige klager over fattigdom, sykdom, ulykke, som angivelig forfølger ham.

Vær trofast mot Gud!
Bli sunn
Og evig liv i himmelen
Som den hellige jomfru Maria.
Albrecht Dürer forteller deg -
Omvend deg fra synder
Helt til siste fastedag,
Og hold kjeft djevelens munn
Beseire de urene.
Måtte Herren Jesus Kristus hjelpe deg
Pass på at du har det bra!
Tenk mer på døden
Om begravelsen av kroppene dine.
Det skremmer sjelen
Distraherer fra det onde
Og den syndige verden
Fra kjødets undertrykkelse
Og djevelens oppfordringer...

Da i 1498 publiserte Koberger"Verdens undergang",

Durer laget 15 tresnitt, noe som ga ham europeisk berømmelse.Bekjentskap med den venetianske skolen hadde sterk innflytelse på kunstnerens malestil.
I Venezia ble kunstneren henrettet etter ordre fra tyske kjøpmenn "Rose Wreath Festival" og så var det andre forslag, malerier som etterlot et uutslettelig inntrykk med allsidigheten til farger og motiver.

keiseren selv Maximilian I

var i ærefrykt for kunsten til Albrecht Dürer.
Durer holdt seg til synspunktene til «ikonoklaster, men i de senere verkene til A. Durer finner noen forskere sympati for protestantismen.

På slutten av livet jobbet Dürer mye som maler, i denne perioden skapte han de mest dyptgripende verkene der kjennskap til nederlandsk kunst manifesteres.

Et av de viktigste maleriene de siste årene - diptykon "Fire apostler", som kunstneren presenterte for bystyret i 1526.

I Nederland ble Dürer offer for en ukjent sykdom (muligens malaria), som han led av til slutten av livet.

Albrech laget den såkalte magiske firkanten, avbildet i en av hans mest perfekte graveringer -"Melankoli". Meritter Durer ligger i det faktum at han klarte å skrive inn tall fra 1 til 16 i den linjerede firkanten på en slik måte at summen 34 ble oppnådd ikke bare ved å legge til tall vertikalt, horisontalt og diagonalt, men også i alle fire kvartalene, i den sentrale firkanten og selv når du legger til fire hjørneceller. Dürer klarte også å konkludere i tabellen året for opprettelsen av graveringen "» (1514).

Det er tre kjente tresnitt i verkene til Albrecht Dürer, som viser kart over den sørlige og nordlige halvkule av stjernehimmelen og den østlige halvkule av jorden, som ble den første i historien som ble trykt på en typografisk måte.

I 1494 utgis Sebastian Brants bok under den symbolske tittelen"Fool of Fools" (Das Narrenschiff oder das Schiff von Narragonia).
Under reisene langs Rhinen, som er obligatoriske for en verkstedlærling, laget Dürer flere staffeligraveringer i sengotisk ånd, illustrasjoner til S. Brants «Fools skip»,

som flåten krysser havet på. Det er mange tullinger rundt omkring. Her ler de av Imperiets tåpelige sjømenn og skip.

Det antas at i tillegg til A. Durer, jobbet flere tegnere-skjærere med prosjektet samtidig ... Maleri "Ship of Fools"- skrevet av en kjent kunstnerHieronymus Bosch.

Durers tegning "Ship of Fools"

Over til høyre er tullinger på en vogn, under seiler et skip langs sjøen omgitt av båter, og på skipet og i båtene alle tullingene.
Mange av illustrasjonene til "Fools skip", som kommentatorer bemerker, HAR LITE FORHOLD TIL INNHOLDET I SELVE BOKEN.
Som det viser seg, ble selve Brants bok bare valgt som et påskudd, et påskudd, for publisering av et stort antall graveringer (ett hundre og seksten) med temaet "Fools skip".

Ha Albrecht Dürer og et slikt bilde som "Allhelgens fest" (Landauer altertavle) 1511. Kunsthistorisches Museum, Wien. Dette bildet brakte også stor berømmelse til kunstneren.

DURERS MAGISKE SQUARE

Det magiske torget, gjengitt av den tyske kunstneren Albrecht Dürer på graveringen "Melancholia", er kjent for alle forskere av magiske firkanter.

Denne firkanten er beskrevet i detalj her. Først vil jeg vise graveringen «Melancholia» (fig. 1) og den magiske firkanten som er avbildet på den (fig. 2).

Ris. en

Ris. 2

Nå skal jeg vise denne firkanten i sin vanlige form (fig. 3):

16	3	2	13
5	10	11	8
9	6	7	12
4	15	14	1

Ris. 3

Interessant nok utgjør de to midterste tallene i den siste raden av firkanten (de er uthevet) året for graveringen - 1514.

Det antas at dette torget, som så fascinerte Albrecht Dürer, kom til Vest-Europa fra India i begynnelsen XVIårhundre. I India var dette torget kjent i Jegårhundre e.Kr. Det antas at magiske firkanter ble oppfunnet av kineserne, siden den tidligste omtale av dem finnes i et kinesisk manuskript skrevet mellom 4000-5000 f.Kr. Så gamle er de magiske rutene!

Vurder nå alle egenskapene til dette fantastiske torget. Men vi vil gjøre dette på et annet torg, gruppen som inkluderer Durer-plassen. Dette betyr at Dürer-firkanten er hentet fra kvadratet som vi nå skal vurdere ved en av de syv grunnleggende transformasjonene av magiske firkanter, nemlig en rotasjon på 180 grader. Alle de 8 rutene som utgjør denne gruppen har egenskapene som vil bli oppført nå, bare i egenskap 8 for noen ruter vil ordet "rad" bli erstattet med ordet "kolonne" og omvendt.

Hovedtorget til denne gruppen kan sees på fig. fire.

1	14	15	4
12	7	6	9
8	11	10	5
13	2	3	16

Ris. fire

Nå viser vi alle egenskapene til dette berømte torget.

Eiendom 1 . Dette kvadratet er assosiativt, det vil si at ethvert tallpar symmetrisk plassert i forhold til midten av kvadratet gir totalt 17=1+ n 2 .

Eiendom 2. Summen av tallene i hjørnecellene til kvadratet er lik den magiske konstanten til kvadratet - 34.

Eiendom 3. Summen av tallene i hvert hjørne 2x2 kvadrat, så vel som i det sentrale 2x2 kvadratet, er lik den magiske konstanten til kvadratet.

Eiendom 4. Den magiske konstanten til et kvadrat er summen av tallene på motsatte sider av de to sentrale 2x4 rektanglene, nemlig: 14+15+2+3=34, 12+8+9+5=34.

Eiendom 5. Den magiske konstanten til kvadratet er lik summen av tallene i cellene merket av sjakkridderens trekk, nemlig: 1+6+16+11=34, 14+9+3+8, 15+5+ 2+12=34 og 4+10+13 +7=34.

Eiendom 6. Den magiske konstanten til en firkant er lik summen av tallene i de tilsvarende diagonalene til 2x2-hjørnefirkantene ved siden av kvadratets motsatte hjørner. For eksempel, i hjørnerutene 2x2, som er uthevet i fig. 4, summen av tallene i det første paret med tilsvarende diagonaler: 1+7+10+16=34 (dette er forståelig, siden disse tallene er plassert på hoveddiagonalen til selve kvadratet). Summen av tall i et annet par tilsvarende diagonaler: 14+12+5+3=34.

Eiendom 7. Den magiske konstanten til kvadratet er summen av tallene i cellene merket med et trekk som ligner på trekk til en sjakkhest, men med en langstrakt bokstav G. Jeg viser disse tallene: 1+9+8+16=34, 4+12+5+13=34, 1+2 +15+16=34,4+3+14+13=34.

eiendom 8. I hver rad av kvadratet er det et par tilstøtende tall, summen av disse er 15, og et annet par tilstøtende tall, som også er tilstøtende, summen av disse er 19. I hver kolonne av kvadratet er det et par av tilstøtende tall, hvis sum er 13, og et annet par tilstøtende tall , hvis sum er 21.

Eiendom 9. Summene av kvadratene til tallene i de to ytterste radene er lik hverandre. Det samme kan sies om summene av kvadratene til tallene i de to midterste radene. Se:

1 2 + 14 2 + 15 2 + 4 2 = 13 2 + 2 2 + 3 2 + 16 2 = 438

12 2 + 7 2 + 6 2 + 9 2 = 8 2 + 11 2 + 10 2 + 5 2 = 310

Tallene i kolonnene på kvadratet har en lignende egenskap.

Eiendom 10. Hvis en firkant med toppunkter i midten av sidene er innskrevet i kvadratet som vurderes (fig. 5), så:

a) summen av tallene langs ett par motsatte sider av et innskrevet kvadrat er lik summen av tallene langs det andre paret av motsatte sider, og hver av disse summene er lik den magiske konstanten til kvadratet;

b) summene av kvadrater og summene av terninger av de angitte tallene er like:

12 2 + 14 2 + 3 2 + 5 2 = 15 2 + 9 2 + 8 2 + 2 2 = 374

12 3 + 14 3 + 3 3 + 5 3 = 15 3 + 9 3 + 8 3 + 2 3 = 4624

Ris. 5

Dette er egenskapene til det magiske kvadratet i fig. fire.

Det skal bemerkes at i det assosiative kvadratet, som er kvadratet som vurderes, er det mulig å utføre andre transformasjoner som permutasjon av symmetriske rader og/eller kolonner. For eksempel, i fig. 6 viser et kvadrat oppnådd fra kvadratet på fig. 4 ved å bytte de to midterste kolonnene.

1. Tvetydighet i lesing av gamle datoer. "Magic Square" av Albrecht Dürer

Det viktigste formelle resultatet av NC, oppnådd ved å bruke uavhengige matematiske og statistiske dateringsmetoder på materialet i den skaligerianske versjonen av antikkens og middelalderens historie, er oppdagelsen av systemet med kronologiske skift som ligger til grunn for det. Som et resultat av et av disse skiftene, tydelig uttrykt i europeisk og russisk middelalderhistorie, ble mange hendelser, dokumenter og kunstverk fra epoken på 1100- og 1600-tallet kunstig kastet tilbake med omtrent et århundre tilbake i fortiden. I tillegg til dette vises det at et praktisk (og kjent for moderne mennesker) posisjonelt desimaltall-notasjonssystem ble oppfunnet for første gang ikke i den dypeste (nesten i det 3. årtusen f.Kr.) antikken, slik den skaligerianske kronologien hevder, men bare et sted i midten av det XVI århundre. Og nesten umiddelbart, - på grunnlag av russisk kursiv skrift, brukt i det da mer primitive semi-posisjonelle (som ikke hadde en null) slavisk-gresk tallsystem, - de kjente tallene fra 0 til 9, nå kalt "arabisk" eller "indisk" dukket opp. Dessuten - og nå er dette det viktigste øyeblikket for oss - I utgangspunktet hadde symbolene som senere begynte å bli brukt til å skrive tallene 5 og 6 en annen betydning: tallet 5 betegnet først seks, og tallet 6, tvert imot, fem.

Samlet følger følgende av alt dette: "Optegnelsene som bruker de" indo-arabiske "tallene i sin moderne form kan ikke dateres til en epoke tidligere enn slutten av 1500-tallet. Hvis vi i dag blir fortalt at en dato ble satt på et dokument av en samtidig i den formen som er akseptert i dag: 1250, eller 1460, eller til og med 1520, så er dette en falsk. Enten var dokumentet forfalsket, eller så ble datoen forfalsket, det vil si at det ble lagt ned med tilbakevirkende kraft. Og når det gjelder antatt sekstende-tallets datoer...sannsynligvis kan noen av dem faktisk dateres tilbake til det syttende århundre.

Levende bevis på sistnevnte, lykkelig bevart i Albrecht Dürers berømte gravering "Melancholia", fig. en.

Ris. 1. Gravering av Albrecht Dürer "Melancholia I"

Denne graveringen viser den såkalte "magiske firkanten", det vil si en kvadratisk tabell fylt med forskjellige tall på en slik måte at summen av tallene i hver rad, hver kolonne og på begge diagonalene er den samme (og i denne kasus, tilsvarer trettifire). Men når man ser nøye på disse tallene, er det lett å se at tallet fem i den første kolonnen i den andre raden (som skal være her for at kvadratet skal vise seg å være "magisk") ble tegnet (mer presist, skåret ut på et graveringsbrett) over de seks som opprinnelig lå her, fig. 2.

Ris. 2. "Magic Square" på Durers gravering (venstre) og fem, konvertert fra seks (høyre). Forstørrede fragmenter av fig. en

2. Dürers portrett av Johann Kleberger og dyrekretsen avbildet på det

Imidlertid er Dürers "magiske firkant", som det viser seg, på ingen måte det eneste ekkoet i sitt slag som formidler til oss den sanne primære betydningen av tallene 5 og 6. Nøyaktig den samme effekten av å feillese dem - dessuten denne gangen , med henvisning til registreringen av datoen ! - finnes, ved nærmere undersøkelse, i et annet verk av samme kunstner. Vi snakker om et relativt lite (37 x 37 cm) portrett av Nürnberg-kjøpmannen og bankmannen Johann Kleberger, som angivelig levde i 1485/86-1546, fig. 3.

Ris. 3. Portrett av Johann Kleberger. Maleri av Albrecht Dürer, datert 1526. Kunsthistorisk museum, Wien

Det antas at dette portrettet ble malt etter ordre fra sistnevnte av Albrecht Dürer i 1526, noe som ser ut til å være direkte bevist av den tilsvarende inskripsjonen i øvre høyre hjørne: "1526" og Dürers monogram under det. Imidlertid, som følger av det ovenstående, kan denne inskripsjonen faktisk ikke indikere 1526, men 1625 e.Kr. Men kan denne antakelsen testes? Svar: ja, i dette tilfellet viser det seg å være mulig, for i tillegg til den digitale som er merkbar for alle, er det minst én dato til på samme portrett - skjult for et overfladisk blikk - dato registrert astronomisk og plassert i øvre venstre hjørne, Fig. . fire.

Ris. 4. "Astronomiske" (venstre) og "digitale" (høyre) datoer på portrett av Johann Kleberger. Forstørrede fragmenter av fig. 3

Ett blikk på venstre fragment av fig. 4, for å forstå at foran oss er et helt ærlig horoskop. Faktisk ser vi her seks stjerner som representerer seks planeter, så vel som solen, representert som en knallgul glød, fig. 5-12.

Ris. 5. Kalender med verdens ptolemaiske system. Et interessant trekk ved dette opplegget, som skiller det fra andre lignende bilder, er at det har en tydelig uttalt "magisk" karakter: hvert av stjernetegnene er ledsaget av et bestemt symbol, som ifølge kompilatoren hadde
"magisk" natur (hva slags symboler dette er vil bli diskutert senere). Illustrasjon fra et middelaldersk astrologisk manuskript (Bavarian State Library, BSB-kode Clm 826)

Ris. 6. Sol, måne og fem planetstjerner. I midten er en komet på vei mot solen. Forstørret fragment av fig. 5

Ris. 7. De syv frie kunster og deres beskytterplaneter. Til venstre er: Saturn (geometri) og Jupiter (logikk). I midten (og på det forstørrede fragmentet til høyre) er: Mars (aritmetikk), Solen (grammatikk) og Venus (musikk). Til høyre vises: Merkur (fysikk) og Månen (retorikk).
I den nedre delen er det bilder av planetene og ukedagene, betinget merket med syv lamper. Illustrasjon fra Tübingen House Book - et medisinsk-astrologisk manuskript fra det påståtte 1400-tallet
(bibliotek ved universitetet i Tübingen, kode Md 2)
Ris. 8. Stjernetegn person. Et diagram som illustrerer middelalderske ideer om innflytelsen på menneskelige organer av stjernetegnene (venstre, topp og bunn) og planetene (høyre). Illustrasjon fra en timebok fra midten av 1500-tallet

Ris. 9. Solen og seks planetstjerner på tittelsiden til en alkymistisk avhandling: Johann Mylius, Anatomia Auri, sive Tyrocinium medico-chymicum, Frankfurt, 1628
Ris. 10. Jean Gerson (teolog og kansler ved universitetet i Paris, som angivelig levde i 1363-1429) i form av en pilegrim. Til høyre vises et forstørret fragment med et skjold som viser solen, månen og fem planetstjerner. Gravering angivelig fra slutten av 1400-tallet, tilskrevet Albrecht Dürer

Ris. 11. Rytter-Søn. Illustrasjon fra en festivalbok fra slutten av 1500-tallet (BSB Cod. icon. 340)
Ris. 12. Sol i gravering av Hans Weiditz. Angivelig midten av 1500-tallet

Den eneste tvetydigheten oppstår i forbindelse med definisjonen av betydningen av symbolet som er avbildet i midten av hele komposisjonen. Ved første øyekast er dette det allment aksepterte astronomiske tegnet til stjernebildet Løven, som er til stede i denne egenskapen i utallige bilder, fig. 13-14, inkludert det velkjente stjernekartet over samme Dürer, fig. femten.

Ris. 13. Sol og Løven. Over løvens rygg er dens konvensjonelle symbol. Gravering av Virgilius Solis. Angivelig midten av 1500-tallet
Ris. 14. Sol med Løven (til venstre) og et forstørret fragment med symbolet til sistnevnte (til høyre). Tegning av Erhard Schon. Angivelig 1536

Ris. 15. Bildet av Leo på stjernekartet til Dürer (til venstre) og dets fragmenter med symbolet for denne konstellasjonen (til høyre). Angivelig 1515

Som et symbol på Løven tolkes det også i nesten alle beskrivelser av det aktuelle maleriet. Likevel, som nevnt i - og som det vil bli klart senere, er det nesten helt sikkert tilfellet - i dette spesielle tilfellet har dette symbolet en smalere betydning og indikerer ikke hele Løven-konstellasjonen, men bare dens hovedstjerne - Regulus .

3. Den første versjonen av horoskopet er "med Leo." Når ble egentlig portrettet av Kleberger malt?

Vurder først den første - standard - muligheten.

I dette tilfellet får vi det i fig. 4 viser et ekstremt kortfattet horoskop - alle planetene i Løven. Spørsmålet er, i hvilke år samlet alle de syv planetene kjent i middelalderens astronomi seg på stjernehimmelen i stjernebildet Løven? HOROS-programmet gir følgende uttømmende svar på det: i de siste tusen årene har dette skjedd bare to ganger - 14.-16. august 1007 e.Kr. og 30. august - 1. september gammel stil 1624 e.Kr. Den første avgjørelsen, av åpenbare grunner, forsvinner åpenbart, men den andre viser seg å være bokstavelig talt ett år unna datoen registrert av artisten på bildet, fig. 4, forutsatt at tallene 5 og 6 for ham ikke hadde dagens, men den opprinnelige betydningen.

Det er en utmerket match. Det viser seg at i slutten av august - begynnelsen av september 1624 finner en viktig begivenhet for Johann Kleberger sted, til minne om hvilken han beordrer Durer (kanskje umiddelbart, kanskje litt senere) det aktuelle portrettet, og sistnevnte vil snart oppfylle denne ordren .

Dette er imidlertid bare en foreløpig konklusjon, som følger av et rent formelt resultat, som relaterer ovennevnte dato til 1624 og ikke tar hensyn til at i tidligere tider ble begynnelsen av året ikke alltid og overalt regnet, slik det er vanlig for oss i dag, fra første januar. Spesielt i Rus, i epoken på 1500- og 1600-tallet som interesserer oss nå, begynte det nye året i september. Og hvis vi, tatt i betraktning denne omstendigheten, antar at kunden av portrettet fulgte, i det minste i dette spesielle tilfellet, denne gamle (med opprinnelse tilbake i "det gamle" Egypt) tradisjonen med å telle det nye året fra september, så blir bildet mye mer interessant.

Det dukker nemlig opp to mulige alternativer, avhengig av om han godtok (igjen, i hvert fall i dette tilfellet) den relativt nylige – førti år tidligere – gregorianske reformen av kalenderen og innføringen av en «ny stil». I så fall bør ti dager legges til datoen som er angitt ovenfor, og det viser seg at horoskopet som er avbildet i portrettet inneholder datoen 9-11 september (ny stil), som faller på den første måneden av septemberåret 1625. Det vil si astronomiske og digitale registreringer, fig. 4 vil vise seg (delvis, siden den første er mer nøyaktig) å duplisere hverandre og peke på samme år 1625.

Hvis dette ikke var tilfelle, og kunden av maleriet holdt seg til det gamle julianske antall dager, så blir resultatet helt fantastisk, siden i dette tilfellet faller 31. august og 1. september nøyaktig på den siste dagen i 1624 og den første dagen av 1625 i septemberåret. Og så viser det seg at dyrekretsen i fig. 3 - Nyttår, og selve portrettet ble malt i anledning det nye året 1625, med begynnelsen av dette året i september.

På fig. 16 viser et "bilde" av stjernehimmelen på nyttårsmorgen i september 1625, tatt ved hjelp av StarCalc planetarium-programmet.

Ris. 16. Planetenes posisjon om morgenen (to timer etter soloppgang) den 1. september, art. Kunst. (11. september NS) 1624 e.Kr Observasjonssted - Nürnberg.

Dermed har vi tre alternativer som relaterer "stjernetegn"-datoen som er registrert i bildet, avhengig av mulige kalenderrepresentasjoner av kunden, til slutten av den åttende måneden av januar 1624, slutten av det første tiåret av den første måneden, eller nøyaktig til begynnelsen av september 1625.

Et naturlig spørsmål oppstår: hvilket av disse alternativene passer best til bildet i fig. 3? Som vi nå skal se, er sistnevnte, siden en rekke andre detaljer i bildet under vurdering er i perfekt samsvar med det.

4. "Saturns år" og den symbolske betydningen av horoskopet "løve".

Først av alt, la oss ta en titt på de to figurene som er avbildet i nedre venstre og høyre hjørne av portrettet, fig. 17, og prøv å forstå hva de betyr.

Ris. 17. Figurer i nedre del av portrettet av Johann Kleberger. Forstørrede fragmenter av fig. 3

Med venstre av dem - en kløver-shamrock som vokser på toppen av et fjell - er det ingen spørsmål. Dette er et vanlig våpenskjold med symbolikken til eieren. Nøyaktig det samme symbolet kan sees på et annet overlevende bilde av Johann Kleberger (fra kløver kommer forresten selve etternavnet hans), fig. atten.

Ris. 18. Johann Kleberger på en medalje av en ukjent Nürnbergmester, tilskrevet, i likhet med portrettet av Dürer, til 1526. På baksiden er det en hjelm, over hvilken et fjell er avbildet med en shamrock som vokser på toppen.

Men hva betyr egentlig rett? Selvfølgelig er det fullt mulig å si at dette er "bare et vakkert bilde sammen med et skjold," og vær fornøyd med det. Men med tanke på ovenstående, er det i dette bildet lett å gjenkjenne et astronomisk plot som er litt tilslørt under den heraldiske stilen. Faktisk ser vi her en langskjegget gammel mann som holder to shamrocks i hendene. Bakgrunnen for denne komposisjonen antyder seg selv: seks identiske blader (samt seks identiske stjerner i det motsatte hjørnet av samme portrett, fig. 4), representerer mest sannsynlig seks planeter, fig. 19-21, og den eldste - en slags syvende planet.

Ris. 19. Planettre. Tittelside til en alkymistisk avhandling: Basilius Valentinus, Occulta Philosophia, Frankfurt am Mayn, 1613

Ris. 20. Planeter (de er også alkymistiske elementer), avbildet som blader på grenene til et tre.
Forstørret fragment av fig. 19
Ris. 21. Sol, måne og planeter på grenene til det alkymistiske treet. Illustrasjon fra avhandlingen: Johann Mylius, Philosophia Reformata, Frankfurt, 1622

Spørsmålet er, hva egentlig? Tydeligvis er dette enten Jupiter eller Saturn, siden det er disse to planetene som oftest (og sistnevnte nesten alltid) er avbildet i denne formen, fig. 22.

Ris. 22. Jupiter (til venstre) og Saturn (til høyre) i graveringer av Hans Burgkmair. Angivelig slutten av XV - begynnelsen av XVI århundre

Strengt tatt finner man noen ganger mer eller mindre like bilder for Mars, Merkur og Solen, men de har alltid signaturer eller karakteristiske attributter (Mars sverd, Merkurs bevingede stang osv.), som gjør det mulig å forstå hvilken planet er ment, ris. 13. I fravær av slike attributter er det Jupiter og Saturn som gjenstår, siden det eneste tegnet for identifikasjon, i dette tilfellet, er den faktiske alderen, og sistnevnte er de eldste blant de "planetariske" gudene.

Så la oss vurdere det første alternativet. I dette tilfellet viser det seg at de seks planetene er delt inn i to trippel, avbildet som shamrocks i hendene på den eldste Jupiter. Fra et astronomisk synspunkt betyr dette at tre planeter må være på den ene siden av Jupiter, og tre på den andre. Men dette er nøyaktig hva som skjedde i "nyttårsavgjørelsen" fra 1624/25 oppnådd ovenfor: til venstre for Jupiter, på siden av Jomfruen, var Merkur, Solen og Venus, til høyre - Mars, Månen og Saturn , Fig. 16. Det vil si når man identifiserer den eldste i fig. 17 med Jupiter, får hele komposisjonen betydningen av en ekstra astronomisk indikasjon til hovedhoroskopet.

I det andre tilfellet blir en slik gjennomsiktig korrespondanse selvfølgelig ikke lenger observert, men som det viser seg, motsier den ikke i det minste "nyttårsversjonen" av dateringen ovenfor. Og enda mer enn det, det bekrefter det ikke bare i tillegg, men tillater også en dypere forståelse av logikken og tankegangen som ledet forfatteren og/eller kunden til det aktuelle portrettet.

Nemlig, la oss stille oss selv spørsmålet: hva annet, foruten delingen av planetene i to grupper, kan det faktum at de alle er avbildet like, små og dessuten i hendene på en gammel mann som personifiserer (denne gangen) Saturn mener? Det er åpenbart at sistnevnte holder dem alle i en slags underordning (bokstavelig talt "i hendene"). Spørsmålet er, hva slags "underordning" kan vi snakke om? Svaret er igjen gitt av fig. 16. Faktum er at en observatør som så på stjernehimmelen nyttårsaften i september 1625 så Saturn stige opp omtrent to timer før daggry, en halvtime senere Månen (i form av en knapt merkbar eller til og med helt umulig sigd) , og etter ytterligere en time - alle andre planeter. Det vil si, billedlig talt, i disse timene før daggry "regjerte" Saturn på himmelen, og kunngjorde dermed at de kommende månedene ville passere under hans "styre" (som med alle de andre, like "underordnet" ham, planetene, skjebnen som i nær fremtid var "i hans hender", og selvfølgelig jordiske anliggender).

Og, som kjent, denne typen korrelasjon av året med planeten "hersker" det var virkelig en vanlig praksis i Kleberger-Dürers tid, fig. 23-24.

Ris. 23. Saturn er herskeren over årssirkelen. Illustrasjon fra en middelaldersk astrologisk almanakk. Angivelig 1491

Medalje utstedt i Nürnberg rundt 1810 Denne tradisjonen er bevart til i dag, fig. 25-29.

Ris. 24. Saturn. På baksiden - en vestal ved alteret og påskriften "Lykke til i det nye året" (SPENDE NEUES GLUCK IM WECHSEL DES JAHRES).
Ris. 25. "Saturn er årets hersker" (JAHRES REGENT SATURN). Medalje fra "kalender"-serien, produsert i Østerrike fra 1933 til i dag

Ris. 26. Forsiden av ytterligere to østerrikske kalendermedaljer (for 1937 og 1972) dedikert til Saturn
Ris. 27. Jupiter og Mars på østerrikske kalendermedaljer

Ris. 28. Venus og Merkur på østerrikske kalendermedaljer
Ris. 29. Sol og måne på østerrikske kalendermedaljer

Således er identifiseringen av den eldste i fig. 17 med Saturn samsvarer også perfekt med løsningen funnet ovenfor. Med mindre lesningen av komposisjonen viser seg å være litt mer intrikat, og den resulterende betydningen skifter fra et rent astronomisk til et allegorisk plan.

Det siste kan imidlertid innvendes med det faktum at Saturn, ifølge middelalderens ideer, ble ansett som en illevarslende, ekstremt ugunstig planet assosiert med død og alle slags dårlige påvirkninger. Publikasjonen [Saplin] oppsummerer disse synspunktene som følger: «Saturn er den femte planeten i astronomiske termer ... I individuell astrologi er følgende konsepter underordnet Saturn: avskjed, hindringer, vanskeligheter, tap, konfrontasjoner, utholdenhet, tålmodighet, utholdenhet , grundighet, fremmedgjøring, ensomhet, kulde, alder, vanskeligheter, grusomhet, standhaftighet, utholdenhet, misunnelse og grådighet. I verdensastrologi ... er Saturn ansvarlig for nasjonale katastrofer, epidemier, hungersnød, etc. ... ". Og også: "Stor ulykke (lat. Infortuna major) er en betegnelse på planeten Saturn, som regnes som den mest ugunstige planeten, ofte brukt i middelalderens astrologi."

Generelt, ved første øyekast, er det vanskelig å forestille seg en grunn som kan få noen til å bestille sitt portrett mot en slik bakgrunn. Og i de fleste tilfeller vil dette være nok til å avvise muligheten til å identifisere den eldste i fig. 17 nettopp med Saturn (forlater Jupiter som den eneste kandidaten for ham). Men i dette spesielle tilfellet kan et slikt nabolag veldig enkelt forklares. Faktum er at bildet beskrevet ovenfor av hvordan den «uhyggelige» Saturn var den første som reiste seg på nyttårsaften i september 1625, ikke var helt komplett. Hvis imidlertid for å være helt nøyaktig, så, som igjen tydelig sett i fig. 16, "den aller første" - ifølge de beregnede dataene, tre minutter tidligere enn Saturn - en av de lyseste stjernene på himmelen, Regulus, dukket opp i horisonten. Og allerede etter Regulus kom turen til den "regjerende" Saturn (forresten, navnet på denne stjernen er også assosiert med kongelig makt og betyr, oversatt fra latin, "lille konge").

Når det gjelder Regulus, sier publikasjonen [Saplin] dette: "Regulus (Regulus), løvens hjerte ... er stjernen α Leo, ... indikerer lykke." Det vil si, fra synspunktet til de samme middelalderske ideene, da den "store ulykken" = Saturn steg, ble dens ondsinnede hypostase nøytralisert av den "glade" Regulus, og derfor kom positive egenskaper til syne - " utholdenhet, tålmodighet, utholdenhet, grundighet, ... standhaftighet, utholdenhet. Forsterket i tillegg til den "kongelige" essensen av Regulus. Hvem ville nekte et slikt sett?

Forresten, det blir umiddelbart klart hvorfor Saturn kan avbildes i fig. 17 i skikkelse av en godmodig gammel mann, uten sine vanlige egenskaper i form av en ljå og en fortærende baby, fig. 22. I dette tilfellet var de åpenbart ikke lenger nødvendige. På den annen side kunne forfatterens tankerekke ha vært mer sofistikert og bestått i det faktum at han, etter å ha avbildet den navngitte eldste uten noen karakteristiske attributter som utvetydig ville indikere Saturn eller Jupiter, ga han dermed seeren, som var ganske erfaren i denne typen finesser, med muligheten til å korrelere den med hver av dem, og i begge tilfeller avsløre en viktig del av den generelle betydningen innebygd i bildet.

Forresten har Saturn et annet aspekt, som også kan betraktes som et av fragmentene av bildets mangefasetterte symbolikk. Saturn-Kronos ble nemlig også assosiert med den tidløse Chronos, det vil si Tid. Og derfor kan plasseringen av figuren hans i portrettet, når man ser på den fra en slik vinkel, love et langt liv for den avbildede, fig. 30-31.

Ris. 30. Saturn-Chronos, ønsker lykke til i det nye året (VERTENTE ANNO - bokstavelig talt: "gjennom hele året"). Medalje utstedt i Augsburg og datert 1635
Ris. 31. Leopold Habsburg med sønnen Joseph ved Evighetens alter, overfor dem – Chronos-Saturn med en brukket ljå og et timeglass kastet i bakken og Fortune med et overflødighetshorn. På baksiden er Chronos avbildet sittende i skyene, med en slange viklet rundt tallet XVII i hånden og biter seg selv.
ved halen (et symbol på syklisitet, gjenfødelse, etc.). Augsburg-medalje, utstedt i 1700, til minne om det nye århundrets komme

Dermed ser vi at selv standardtolkningen av symbolet i fig. 4 som betegner stjernebildet Løven, fører oss til et veldig interessant og symbolsk rikt resultat. Men, som nevnt ovenfor, er det et annet lesealternativ, ifølge hvilket dette symbolet indikerer en spesifikk stjerne på himmelen - Regulus. La oss nå vurdere denne muligheten.

Fortsettelse følger...

Durer (Durer) Albrecht (1471-1528), tysk maler, tegner, gravør, kunstteoretiker.

studerte med sin far.
Faren, en gullsmed, ønsket å involvere sønnen i arbeid i et smykkeverksted, men Albrecht uttrykte ikke noe ønske. Han elsket og ble tiltrukket av å male.

alt dette er kombinert i Dürer med øm omsorg for hans mor og brødre, med mange års hardt arbeid, hyppige klager over fattigdom, sykdom, ulykke, som angivelig forfølger ham.

Vær trofast mot Gud!
Bli sunn
Og evig liv i himmelen
Som den hellige jomfru Maria.
Albrecht Dürer forteller deg -
Omvend deg fra synder
Helt til siste fastedag,
Og hold kjeft djevelens munn
Beseire de urene.
Måtte Herren Jesus Kristus hjelpe deg
Pass på at du har det bra!
Tenk mer på døden
Om begravelsen av kroppene dine.
Det skremmer sjelen
Distraherer fra det onde
Og den syndige verden
Fra kjødets undertrykkelse
Og djevelens oppfordringer...

Da i 1498 publiserte Koberger"Verdens undergang",

keiseren selv Maximilian I

var i ærefrykt for kunsten til Albrecht Dürer.
Durer holdt seg til synspunktene til «ikonoklaster, men i de senere verkene til A. Durer finner noen forskere sympati for protestantismen.

På slutten av livet jobbet Dürer mye som maler, i denne perioden skapte han de mest dyptgripende verkene der kjennskap til nederlandsk kunst manifesteres.

Et av de viktigste maleriene de siste årene - diptykon "Fire apostler", som kunstneren presenterte for bystyret i 1526.

I Nederland ble Dürer offer for en ukjent sykdom (muligens malaria), som han led av til slutten av livet.

som flåten krysser havet på. Det er mange tullinger rundt omkring. Her ler de av Imperiets tåpelige sjømenn og skip.

Det antas at i tillegg til A. Durer, jobbet flere tegnere-skjærere med prosjektet samtidig ... Maleri "Ship of Fools"- skrevet av en kjent kunstnerHieronymus Bosch.

Durers tegning "Ship of Fools"

Ha Albrecht Dürer og et slikt bilde som "Allhelgens fest" (Landauer altertavle) 1511. Kunsthistorisches Museum, Wien. Dette bildet brakte også stor berømmelse til kunstneren.

Sea Miracle, 1498 Metropolitan Museum of Art, New York

MAGISK KVADRAT

Kina regnes som fødestedet til magiske firkanter. I Kina er det Feng Shui-læren, ifølge hvilken farge, form og fysisk plassering av hvert element i rommet påvirker strømmen av Qi, bremser den, omdirigerer den eller øker hastigheten, noe som direkte påvirker energinivået til innbyggere. For å lære verdens hemmeligheter sendte gudene keiseren Yu (Yu) det eldste symbolet, Lo Shu-plassen (Lo - elven).

MAGIC SQUARE LO SHU

Legenden sier at for rundt fire tusen år siden dukket en stor skilpadde, Shu, opp fra det turbulente vannet i Lo-elven. Folk som ofret elven så skilpadden og gjenkjente den umiddelbart som en guddom. Betraktningene til de gamle vismennene virket så rimelige for keiser Yu at han beordret bildet av en skilpadde å bli foreviget på papir og forseglet det med sitt keiserlige segl. Ellers, hvordan ville vi vite om denne hendelsen?

Denne skilpadden var faktisk spesiell fordi den hadde et merkelig mønster av prikker på skallet. Punktene ble brukt på en ryddig måte, noe som førte de gamle filosofene til ideen om at firkanten med tall på skilpaddeskallet fungerer som en modell av verdensrommet - et kart over verden satt sammen av den mytiske grunnleggeren av den kinesiske sivilisasjonen, Huangdi. Faktisk er summen av tall i kolonner, rader, begge diagonalene i kvadratet den samme M=15 og tilsvarer antall dager i hver av de 24 syklusene i det kinesiske solåret.

Partall og oddetall veksler: dessuten er 4 partall (skrevet fra bunn til topp i synkende rekkefølge) i fire hjørner, og 5 oddetall (skrevet fra bunn til topp i stigende rekkefølge) danner et kryss i midten av firkanten. De fem elementene i korset reflekterer jord, ild, metall, vann og tre. Summen av alle to tall atskilt med sentrum er lik Ho Ti-tallet, dvs. ti.

Partall (jordsymboler) av Luo Shu ble innskrevet på skilpaddens kropp som svarte prikker, eller Yin-symboler, og oddetall (himmelsymboler) som hvite prikker, eller Yang-symboler. Jord 1 (eller vann) er under, ild 9 (eller himmel) er over. Det er mulig at det moderne bildet av tallet 5, plassert i midten av komposisjonen, skyldes det kinesiske symbolet på dualiteten til Yang og Yin.

MAGISK PLASS FRA KHAJURAKHO

Østrom

Magien til Joseph Rudyard Kipling, som skapte bildene av Mowgli, Bagheera, Baloo, Shere Khan og, selvfølgelig, Tobacco, begynte på tampen av det tjuende århundre. Et halvt århundre tidligere, i februar 1838, var en ung britisk offiser i Bengal Engineers, T.S. Bert, interessert i samtalen til tjenerne som bar palankinen hans, avvek fra ruten og snublet over eldgamle templer i jungelen i India.

På trappene til Vishwanath-tempelet fant offiseren en inskripsjon som vitner om strukturenes antikke. Kort tid senere tegnet den energiske generalmajoren A. Cunningham detaljerte planer for Khajuraho. Utgravninger begynte, og kulminerte med den oppsiktsvekkende oppdagelsen av 22 templer. Templer ble reist av maharajaene fra Chandel-dynastiet deres. Etter sammenbruddet av riket deres, slukte jungelen bygningene i tusen år. Fant blant bildene av nakne guder og gudinner, forbløffet kvadratet av den fjerde orden fantasien.

Ikke bare hadde denne firkanten de samme summene i rader, kolonner og diagonaler og var lik 34. De falt også sammen i brutte diagonaler som ble dannet når firkanten ble brettet til en torus, og i begge retninger. For slik trolldom av tall kalles slike firkanter "djevelske" (eller "pandiagonale", eller "nasik").

Selvfølgelig vitnet dette om de uvanlige matematiske evnene til skaperne deres, overlegne kolonialistene. Hva folk i hvite hjelmer uunngåelig følte.

DURERS MAGISKE SQUARE

Den berømte tyske kunstneren fra begynnelsen av 1500-tallet, Albrecht Durer, laget den første 4x4 magiske firkanten i europeisk kunst. Summen av tallene i en hvilken som helst rad, kolonne, diagonal og, overraskende nok, i hvert kvartal (selv i den sentrale firkanten) og til og med summen av hjørnetallene er 34. De to midterste tallene i den nederste raden indikerer datoen for maleriet (1514). Det er gjort korrigeringer i de midterste rutene i den første kolonnen - tallene er deformert.

På bildet med den okkulte bevingede musen Saturn, er det magiske kvadratet sammensatt av det bevingede sinnet Jupiter, som motsetter seg hverandre. Ruten er symmetrisk, siden summen av alle to tall som er inkludert i den, plassert symmetrisk rundt midten, er 17. Hvis du legger sammen de fire tallene som oppnås ved trekk av sjakkridderen, vil det være 34. Denne ruten er virkelig , med sin upåklagelige orden, gjenspeiler melankolien som grep kunstneren.

Morgen drøm.

Europeere ble introdusert for fantastiske numeriske firkanter av den bysantinske forfatteren og lingvisten Moshopoulos. Arbeidet hans var et spesielt essay om emnet og inneholdt eksempler på forfatterens magiske firkanter.

ORGANISERING AV MAGISKE FIRKANTER

I midten av XVI århundre. i Europa dukket det opp verk der magiske firkanter dukket opp som gjenstander for matematisk forskning. Dette ble fulgt av mange andre verk, spesielt av så kjente matematikere, grunnleggerne av moderne vitenskap, som Stiefel, Basche, Pascal, Fermat, Bessie, Euler, Gauss.

Magisk, eller magisk kvadrat, er en kvadratisk tabell fylt med n 2 tall på en slik måte at summen av tallene i hver rad, hver kolonne og begge diagonalene er den samme. Definisjonen er betinget, siden de gamle også la vekt på for eksempel farge.

vanlig kalt et magisk kvadrat fylt med heltall fra 1 til n 2 . Normale magiske firkanter finnes for alle ordener bortsett fra n = 2, selv om tilfellet n = 1 er trivielt - kvadratet består av et enkelt tall.

Summen av tallene i hver rad, kolonne og diagonal kalles magisk konstant M. Den magiske konstanten til et normalt magisk kvadrat avhenger kun av n og er gitt av

M = n (n 2 + 1) / 2

De første verdiene av magiske konstanter er gitt i tabellen

Hvis summene av tall i kvadratet er like bare i rader og kolonner, kalles det semi-magisk. Den magiske firkanten kalles assosiativ eller symmetrisk, hvis summen av to tall plassert symmetrisk rundt midten av kvadratet er n 2 + 1.

Det er bare en normal tredjeordens firkant. Mange nasjoner kjente ham. Ordningen av tall i Lo Shu-plassen ligner de symbolske betegnelsene på ånder i Kabbalah og tegnene til indisk astrologi.

Også kjent som kvadratet til Saturn. Noen hemmelige samfunn i middelalderen så i den "Kabbalaen til de ni kamrene". Utvilsomt betydde skyggen av forbudt magi mye for bevaringen av bildene hans.

Det var viktig i middelalderens numerologi, ofte brukt som en amulett eller spådomsverktøy. Hver celle i den tilsvarer en mystisk bokstav eller et annet symbol. Lest sammen langs en bestemt linje, formidlet disse tegnene okkulte budskap. Tallene som utgjør fødselsdatoen ble plassert i cellene på kvadratet og deretter dechiffrert avhengig av betydningen og plasseringen av tallene.

Blant de pandiagonale, som de også kalles, skilles det ut djevelske magiske firkanter, symmetriske - ideelle. Den djevelske firkanten forblir djevelsk hvis den roteres, reflekteres, linjen omorganiseres fra topp til bunn og omvendt, kolonnen krysses ut på høyre eller venstre side og tilskrives den på motsatt side. Det er fem transformasjoner totalt, skjemaet til sistnevnte er vist i figuren.

Det er 48 4x4 djevelruter opp til rotasjoner og refleksjoner. Hvis vi også tar i betraktning symmetrien under toriske parallelle oversettelser, så gjenstår bare tre vesentlig forskjellige 4 × 4 djevelkvadrater:

Claude F. Bragdon, en berømt amerikansk arkitekt, oppdaget at ved å koble en etter en celler med bare partall eller bare oddetall av polyline magiske firkanter, får vi i de fleste tilfeller et elegant mønster. Mønsteret han oppfant for ventilasjonsgitteret i taket til Chamber of Commerce i Rochester, New York, hvor han bodde, ble bygget av den magiske ødelagte talismanen Lo-Shu. Bragdon brukte "magiske linjer" som designmønstre for stoffer, bokomslag, arkitektonisk utsmykning og dekorative hodeplagg.

Hvis du legger ut en mosaikk fra identiske djevelske firkanter (hver rute må være nær naboene), får du noe som parkett, der tallene i en hvilken som helst gruppe med 4x4 celler vil danne en djevelsk firkant. Tallene i fire celler, som følger etter hverandre, uansett hvordan de er ordnet - vertikalt, horisontalt eller diagonalt - i summen gir alltid kvadratets konstante. Moderne matematikere kaller slike firkanter "perfekte".

LATINISK KVADRET

Den latinske firkanten er en slags uregelmessige matematiske firkanter fylt med n forskjellige symboler på en slik måte at alle n symboler vises i hver rad og hver kolonne (hver en gang).

Latinske firkanter finnes for enhver n. Ethvert latinsk kvadrat er en multiplikasjonstabell (Cayley-tabell) av en kvasigruppe. Navnet «latinsk firkant» stammer fra Leonhard Euler, som brukte latinske bokstaver i stedet for tall i tabellen.

De to latinske rutene kalles ortogonal, hvis alle ordnede symbolpar (a,b) er forskjellige, der a er et symbol i en celle i det første latinske kvadratet, og b er et symbol i samme celle i det andre latinske kvadratet.

Ortogonale latinske kvadrater finnes for alle rekkefølgen bortsett fra 2 og 6. For at n er en primpotens, er det et sett med n–1 parvise ortogonale latinske kvadrater. Hvis alle elementene i hver diagonal i en latinsk firkant er forskjellige, kalles en slik latinsk firkant diagonal. Par med ortogonale diagonale latinske firkanter finnes for alle rekkefølger bortsett fra 2, 3 og 6. Den latinske firkanten er vanlig i planleggingsproblemer fordi det ikke er gjentatte tall i rader og kolonner.

Et kvadrat med par av elementer av to ortogonale latinske kvadrater kalles gresk-latinsk kvadrat. Slike firkanter brukes ofte til å konstruere magiske firkanter og i avanserte planleggingsproblemer.

Ved å studere gresk-latinske firkanter beviste Euler at andreordens firkanter ikke eksisterer, men det ble funnet kvadrater på 3, 4 og 5 ordener. Han fant ikke et eneste kvadrat av 6. orden. Han antok at det ikke er noen kvadrater med jevne ordener som ikke er delbare med 4 (det vil si 6, 10, 14 osv.). I 1901 bekreftet Gaston Terry brute force hypotesen for sjette orden. Men i 1959 ble hypotesen tilbakevist av E. T. Parker, R. C. Bowes og CS Schrickhard, som oppdaget et gresk-latinsk kvadrat av størrelsesorden 10.

ARTHUR CLARKS POLIMINO

Polyomino - ved sin kompleksitet tilhører selvfølgelig kategorien de vanskeligste matematiske firkantene. Her er hvordan science fiction-forfatter A. Clark skriver om ham - nedenfor er et utdrag fra boken "Earthly Empire". Det er åpenbart at Clark, som bodde på øya hans, bodde på Ceylon - og hans filosofi om atskillelse fra samfunnet er interessant i seg selv, han ble revet med av underholdningen som guttens bestemor lærer bort, og ga den videre til oss. La oss foretrekke denne levende beskrivelsen fremfor de tilgjengelige systematiseringene, som kanskje formidler essensen, men ikke ånden i spillet.

«Du er en stor nok gutt nå, Duncan, til å forstå dette spillet... men det er mye mer enn et spill. I motsetning til bestemorens ord, imponerte ikke spillet Duncan. Vel, hva kan gjøres med fem hvite plastfirkanter?

«Først av alt», fortsatte bestemor, «må du sjekke hvor mange forskjellige mønstre du kan sette sammen fra rutene.

"Skal de være på bordet?" spurte Duncan.

– Ja, de burde lyve, rørende. Du kan ikke overlappe en firkant med en annen.

Duncan begynte å legge ut rutene.

"Vel, jeg kan legge dem alle ut i en rett linje," begynte han.

Gutten laget raskt et halvt dusin kombinasjoner, så en til og fant plutselig ut at de gjentok de eksisterende.

Kanskje jeg er dum, men det er alt.

Duncan savnet den enkleste av figurene - korset, for å skape det var det nok å legge ut fire firkanter på sidene av den femte, sentrale.

"De fleste starter fra korset," smilte bestemor. "Etter min mening skyndte du deg å erklære deg dum. Tenk bedre: kan det være flere tall?

Duncan konsentrerte seg om å flytte rutene og fant tre brikker til, hvoretter han sluttet å lete.

"Det er helt sikkert nå," sa han selvsikkert.

Hva kan du si om en slik figur?

Ved å bevege rutene litt, satte bestemoren dem sammen som en pukkelrygg bokstav F.

- Og her er en til.

Duncan følte seg som en total idiot, og bestemorens ord var en balsam for hans forvirrede sjel:

- Du er bare flott. Bare tenk, du savnet bare to tall. Og det totale antallet figurer er tolv. Ikke mer og ikke mindre. Nå kjenner du dem alle. Søk i minst en evighet - du finner ikke en annen.

Bestemor feide fem hvite firkanter inn i et hjørne og la ut et dusin fargerike plastbiter på bordet. Dette var de samme tolv figurene, men allerede i ferdig form, og hver besto av fem ruter. Duncan var allerede klar til å innrømme at ingen andre figurer egentlig eksisterte.

Men siden bestemor la ut de flerfargede stripene, fortsetter spillet, og Duncan fikk nok en overraskelse.

«Nå, Duncan, lytt nøye. Disse brikkene kalles pentominoer. Navnet kommer fra det greske ordet "penta", som betyr "fem". Alle figurer er like i areal, siden hver består av fem identiske firkanter. Det er tolv figurer, fem kvadrater, derfor vil det totale arealet være lik seksti kvadrater. Riktig?

- MMM ja.

- Hør videre. Seksti er et fantastisk rundt tall som kan dannes på flere måter. Det enkleste er å gange ti med seks. Denne boksen har et slikt område: ti firkanter passer horisontalt og seks vertikalt. Derfor skal alle de tolv figurene passe inn i den. Akkurat som et sammensatt bilde - en gåte.

Duncan forventet et triks. Bestemor elsket verbale og matematiske paradokser, og ikke alle var konseptet til hennes ti år gamle offer. Men denne gangen var det ingen paradokser. Bunnen av boksen ble trukket inn i seksti firkanter, som betyr ... Stopp! Området er arealet, men figurene har ulike konturer. Prøv å legge dem i en boks!

«Jeg overlater denne oppgaven til deg å bestemme selv,» kunngjorde bestemor, da han så hvordan han oppgitt beveger pentominoer langs bunnen av boksen.Tro meg, de kan samles.

Snart begynte Duncan å tvile sterkt på bestemorens ord. Han klarte enkelt å få plass ti sifre i boksen, og en gang klarte han å presse inn en ellevte. Men konturene av det tomme rommet falt ikke sammen med konturene til den tolvte figuren, som gutten snudde i hendene. Det var et kors, og den gjenværende figuren lignet bokstaven Z ...

Etter en halvtime var Duncan allerede på grensen til fortvilelse. Bestemor var fordypet i en dialog med datamaskinen sin, men fra tid til annen så hun interessert på ham, som for å si: «Det er ikke så lett som du trodde».

I en alder av ti var Duncan bemerkelsesverdig sta. De fleste av hans jevnaldrende ville ha gitt opp å prøve for lenge siden. (Det var ikke før noen år senere at han skjønte at bestemoren hans elegant hadde gitt ham en psykologisk test.) Duncan varte nesten førti minutter uten hjelp...

Så reiste bestemoren seg fra datamaskinen og bøyde seg over puslespillet. Fingrene hennes flyttet U-, X- og L-formene ...

Bunnen av boksen var helt fylt! Alle brikkene i puslespillet er på de riktige stedene.

Selvfølgelig visste du allerede svaret! sa Duncan ergerlig.

- Svar? Bestemor spurte: "Hvor mange måter tror du du kan legge pentominoer i denne boksen?"

Her er den, fellen. Duncan famlet i nesten en time uten å finne en løsning, selv om han i løpet av den tiden prøvde minst hundre alternativer. Han trodde det bare var én vei. Kan det være … tolv? Eller mer?

"Så hvor mange måter tror du det kan være?" spurte bestemor igjen.

«Tjue,» utbrøt Duncan og tenkte at bestemor ikke ville ha noe imot det nå.

- Prøv igjen.

Duncan ante fare. Moroa viste seg å være mye mer utspekulert enn han trodde, og gutten bestemte seg klokelig for ikke å risikere det.

"Jeg vet faktisk ikke," sa han og ristet på hodet.

"Og du er en mottakelig gutt," smilte bestemor igjen. "Intuisjon er en farlig dirigent, men noen ganger har vi ingen annen. Jeg kan glede deg: det er umulig å gjette det riktige svaret her. Det er over 2000 forskjellige måter å legge pentominoer i denne boksen. Mer presist, to tusen tre hundre og tretti-ni. Og hva sier du til det?

Det er usannsynlig at bestemoren hans lurte ham. Men Duncan ble så knust av sin manglende evne til å finne en løsning at han ikke klarte å holde seg tilbake og sa ut:

- Jeg tror ikke!

Helen viste sjelden irritasjon. Da Duncan fornærmet henne på en eller annen måte, ble hun rett og slett kald og fjern. Men nå gliste bestemoren og banket noe på datamaskinens tastatur.

"Se her," foreslo hun.

Et sett med tolv fargede pentominoer dukket opp på skjermen, og fylte et ti ganger seks rektangel. Noen sekunder senere ble det erstattet av et annet bilde, der brikkene, mest sannsynlig, allerede var plassert på en annen måte (Duncan kunne ikke si sikkert, fordi han ikke husket den første kombinasjonen). Snart endret bildet seg igjen, så en til og en til ... Dette fortsatte helt til bestemoren stoppet programmet.

"Selv ved høy hastighet vil det ta datamaskinen fem timer å gå gjennom alle veier," forklarte bestemor. "Du kan ta mitt ord for det: de er alle forskjellige. Hvis det ikke var for datamaskiner, tviler jeg på at folk ville ha funnet alle veiene ved ganske enkelt å sortere gjennom alternativer.

Duncan stirret lenge på de tolv villedende enkle figurene. Han fordøyde sakte bestemorens ord. Det var den første matematiske åpenbaringen i livet hans. Det han så hensynsløst betraktet som en vanlig barnelek begynte plutselig å utfolde seg foran ham uendelige stier og horisonter, selv om selv det mest begavede ti år gamle barnet neppe ville ha vært i stand til å føle grenseløsheten i dette universet.

Men så var Duncans glede og ærefrykt passive. Den virkelige eksplosjonen av intellektuell nytelse kom senere, da han uavhengig fant sin første måte å stable pentominoer på. I flere uker bar Duncan en plastboks med seg overalt. Han brukte all fritiden på pentominoer. Figurene blir til Duncans personlige venner. Han kalte dem med bokstavene de lignet, selv om likheten i noen tilfeller var mer enn fjern. Fem figurer - F, I, L, P, N gikk tilfeldig, men de resterende syv gjentok sekvensen til det latinske alfabetet: T, U, V, W, X, Y, Z.

En dag, i en tilstand av enten geometrisk transe eller geometrisk ekstase som aldri skjedde igjen, fant Duncan fem stylingsalternativer på mindre enn en time. Kanskje til og med Newton, Einstein eller Chen Tzu, i sannhetens øyeblikk, ikke følte noe mer slektskap med matematikkens guder enn Duncan Mackenzie.

Snart fant han ut, og på egen hånd, uten bestemors hint, at pentominoer kan legges i et rektangel med forskjellige sidestørrelser. Ganske enkelt fant Duncan flere alternativer for 5 x 12 og 4 x 15 rektangler. Så slet han i en hel uke med å prøve å passe tolv former inn i et lengre og smalere 3 x 20 rektangel. Igjen og igjen begynte han å fylle ut det forræderske rommet og ... få hull i rektangelet og "ekstra" figurer.

Ødelagt besøkte Duncan sin bestemor, hvor en ny overraskelse ventet ham.

"Jeg er glad for eksperimentene dine," sa Helen. "Du utforsket alle mulighetene, og prøvde å utlede et generelt mønster. Det er det matematikere alltid gjør. Men du tar feil: det finnes løsninger for et tre-til-tjue rektangel. Det er bare to av dem, og hvis du finner en, vil du kunne finne den andre.

Inspirert av bestemorens ros fortsatte Duncan å "jakte etter pentominoer" med fornyet kraft. En uke senere begynte han å forstå hvilken uutholdelig byrde han hadde lagt på skuldrene hans. Antallet måter som tolv stykker kunne ordnes på var overveldende for Duncan. Dessuten hadde hver figur tross alt fire posisjoner!

Og igjen dukket han opp for sin bestemor og fortalte henne alle vanskelighetene sine. Hvis det bare var to alternativer for et 3x20 rektangel, hvor lang tid ville det ta å finne dem?

"Hvis du er så snill, skal jeg svare deg," sa bestemor. "Hvis du oppførte deg som en hjerneløs datamaskin, gjorde en enkel oppregning av kombinasjoner og brukte ett sekund på hver, ville du trenge ..." Her stoppet hun bevisst. " Du ville trenge mer enn seks millioner … ja, over seks millioner år.

Jorden eller Titan? Spørsmålet dukket øyeblikkelig opp i Duncans sinn. Men hva er forskjellen?

"Men du er annerledes enn en hjerneløs datamaskin," fortsatte bestemor. "Du ser umiddelbart åpenbart uegnede kombinasjoner, og derfor trenger du ikke kaste bort tid på å sjekke dem. Prøv igjen.

Duncan adlød, allerede uten entusiasme og tro på suksess. Og så kom en strålende idé til ham.

Carl ble umiddelbart interessert i pentominoen og tok utfordringen. Han tok boksen med figurer fra Duncan og forsvant i flere timer.

Da Carl ringte ham, så vennen noe opprørt ut.

"Er du sikker på at dette problemet virkelig har en løsning?" – spurte han.

- Helt sikker. Det er to av dem. Har du ikke funnet minst en ennå? Jeg trodde du var god i matte.

«Bare tenk deg, jeg forstår, og derfor vet jeg hva slags arbeid oppgaven din er verdt. Vi må teste... en million milliarder mulige kombinasjoner.

"Hvordan visste du at det var så mange?" spurte Duncan, fornøyd med at han i det minste på en eller annen måte hadde klart å få vennen til å klø seg i hodet i forvirring.

Carl myste mot et ark fylt med noen diagrammer og tall.

"Hvis du ekskluderer ugyldige kombinasjoner og tar hensyn til symmetri og muligheten for rotasjon ... får du en faktoriell ... det totale antallet permutasjoner ... du forstår fortsatt ikke. Jeg skal vise deg selve nummeret.

Han holdt opp et annet ark til kameraet, der en imponerende rekke tall var avbildet i stor størrelse:

1 004 539 160 000 000.

Duncan visste ikke noe om faktorialer, men Karla var ikke i tvil om nøyaktigheten av beregningene hans. Han likte det lange nummeret veldig godt.

"Så du hadde tenkt å slutte med denne oppgaven?" spurte Duncan forsiktig.

- Hva mer! Jeg ville bare vise deg hvor vanskelig det er.

Carls ansikt viste dyster besluttsomhet. Etter å ha sagt disse ordene, besvimte han.

Dagen etter fikk Duncan et av de største sjokkene i guttetiden. Karls utslitte ansikt, med betente øyne, så på ham fra skjermen. Han så ut til å ha hatt en søvnløs natt.

"Vel, det er alt," kunngjorde han med en sliten, men triumferende stemme.

Duncan trodde nesten ikke sine egne øyne. Det virket for ham som om sjansene for suksess var ubetydelige. Han overbeviste til og med seg selv om det. Og plutselig... Foran ham lå et tre-til-tjue rektangel fylt med alle de tolv pentomino-bitene.

Så byttet og snudde Carl bitene i endene, og lot den sentrale delen være intakt. Fingrene hans skalv lett av tretthet.

"Det er den andre løsningen," forklarte han. "Og nå skal jeg legge meg. Så god natt eller god morgen, hva enn du vil.

Den ydmykede Duncan stirret lenge på den tomme skjermen. Han visste ikke hvilken vei Carl beveget seg og famlet etter løsningen på gåten. Men han visste at vennen hans hadde gått seirende ut. Mot alt.

Han misunnet ikke vennens seier. Duncan elsket Karl for mye og gledet seg alltid over suksessene hans, selv om han selv ofte viste seg å være underdog. Men det var noe annerledes med vennens triumf i kveld, noe nesten magisk.

Duncan så for første gang kraften til intuisjon. Han ble konfrontert med sinnets mystiske evne til å bryte gjennom grensene for fakta og kaste den forstyrrende logikken til side. I løpet av få timer gjorde Carl en enorm jobb, og overgikk den raskeste datamaskinen.

Deretter lærte Duncan at alle mennesker har slike evner, men de bruker dem ekstremt sjelden - kanskje en gang i livet. I Karl ble denne gaven eksepsjonelt utviklet ... Fra det øyeblikket begynte Duncan å ta på alvor argumentene til sin venn, selv de mest latterlige og opprørende fra sunn fornufts synspunkt.

Dette var for tjue år siden. Duncan husket ikke hvor plast-pentomino-bitene var blitt av. Kanskje ble de igjen hos Karl.

Bestemors gave har blitt deres nye inkarnasjon, nå i form av biter av flerfarget stein. Fantastisk, blekrosa nyanse av granitt var fra åsene i Galileo, obsidian - fra Huygens-platået og pseudo-marmor - fra Herschel-ryggen. Og blant dem ... først trodde Duncan at han tok feil. Nei, sånn er det: det var det sjeldneste og mest mystiske mineralet til Titan. Bestemor laget et pentomino-kors av stein av titanitt. Denne blå-svarte, med gylne inneslutninger mineral kan ikke forveksles med noe. Duncan hadde aldri sett så store stykker og kunne bare gjette hva verdien var.

"Jeg vet ikke hva jeg skal si," mumlet han. "For en skjønnhet. Dette er første gang jeg ser dette.

Han klemte bestemorens tynne skuldre og kjente plutselig at de skalv og hun klarte ikke å stoppe denne skjelvingen. Duncan holdt henne forsiktig i armene til skuldrene hennes sluttet å skjelve. I slike øyeblikk trengs ikke ord. Duncan forsto tydeligere enn før: han var den siste kjærligheten i det ødelagte livet til Helen Mackenzie. Og nå flyr han bort og lar henne være alene med minnene hennes.

STORT MAGISK KVADRAT

Den kinesiske matematikeren Yang Hui fra 1200-tallet var kjent med Pascals trekant (aritmetisk trekant). Han la igjen en presentasjon av metoder for å løse likninger av 4. og høyere grad, det er regler for å løse en komplett kvadratisk likning, summere progresjoner og teknikker for å konstruere magiske kvadrater. Han klarte å konstruere et magisk kvadrat av sjette orden, og sistnevnte viste seg å være nesten assosiativ (bare to par sentralt motsatte tall i den gir ikke opp til 37).

Benjamin Franklin designet et kvadrat på 16x16 som, i tillegg til å ha en konstant sum på 2056 i alle rader, kolonner og diagonaler, hadde en ekstra egenskap. Hvis vi skjærer ut en 4×4 firkant fra et ark papir og legger dette arket på en stor firkant slik at 16 celler av den større firkanten faller inn i denne spalten, vil summen av tallene som vises i denne spalten, uansett hvor vi legger det vil være det samme - 2056.

Det mest verdifulle med denne firkanten er at det er ganske enkelt å gjøre den om til en perfekt magisk firkant, mens å bygge perfekte magiske firkanter ikke er en lett oppgave. Franklin kalte dette torget "den mest sjarmerende magien av alle magiske firkanter som noen gang er laget av trollmenn."