SCHROEDINGER-LIGNING
OG DENS SPESIELLE TILFELLER (fortsatt): passasje av en partikkel gjennom en POTENSIELL BARRIERE, harmonisk oscillator

Passasje av en partikkel gjennom en potensiell barriere Til klassisk sak vi har allerede vurdert i FOREDELSE 7 DEL 1 (se fig. 7.2). La oss nå vurdere en mikropartikkel hvis totale energi er mindre enn nivået U potensiell barriere (Fig. 19.1). I den klassiske versjonen, i dette tilfellet, er passasjen av en partikkel gjennom barrieren umulig. Imidlertid, i kvantefysikk det er en sannsynlighet for at partikkelen vil passere. Dessuten vil den ikke "hoppe" over den, men så å si "lekke gjennom" ved å bruke bølgekvalitetene. Derfor kalles effekten også "tunneling". For hvert område I, II, III skrive ned stasjonær ligning Schrödinger (18.3).

Til Jeg Og III: , (19.1, a)

Til II: https://pandia.ru/text/78/010/images/image005_107.gif" width="71" height="32">, der en = konst. Deretter og y" = . Å erstatte y" i (19.1a) gir: felles vedtak for regionen Jeg skrevet som en superposisjon

https://pandia.ru/text/78/010/images/image010_62.gif" width="132" height="32 src="> . (19.3)

I dette tilfellet blir det innledende punktet for bølgeutbredelse forskjøvet med L, a I 3 = 0 , fordi i regionen III det er bare en forbigående bølge.

I området II(barriere) substitusjon y" i (19.1b) gir

https://pandia.ru/text/78/010/images/image012_51.gif" width="177" height="32">.

Sannsynligheten for å bestå er karakterisert overføringskoeffisient- forholdet mellom intensiteten til den overførte bølgen og intensiteten av hendelsen:

(0) = y2"(0) , y2"( L) = y3"( L); (19.5)

hvorav de to første betyr "sying" av funksjoner på venstre og høyre grense av barrieren, og den tredje og fjerde - jevnheten til en slik overgang. Ved å erstatte funksjonene y1, y2 og y3 i (19.5), får vi ligningene

La oss dele dem inn i EN 1 og angi en 2=A 2/EN 1; b 1=B 1/EN 1; en 3=A 3/EN 1; b 2=B 2/EN 1.

. (19.6)

Vi multipliserer den første ligningen (19,6) med Jegk og legg den til den andre. La oss få 2 Jegk = a 2(q +Jegk)-b 2(q-Jegk) . (19.7)

Det andre ligningsparet (19.6) vil bli betraktet som et system av to ligninger med ukjente en 2 og b 2.

Determinantene for dette systemet er:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image017_33.gif" width="319" height="32">,

hvor e- qL(q+Jegk) 2 » 0, fordi qL >> 1.

Derfor https://pandia.ru/text/78/010/images/image019_32.gif" width="189" height="63">, og for å finne modulen til den komplekse verdien EN 3, multipliser telleren og nevneren til den resulterende brøken med ( q +Jegk)2. Etter enkle transformasjoner får vi

https://pandia.ru/text/78/010/images/image021_30.gif" width="627" height="135 src=">Vanligvis E/U~ 90% og hele koeffisienten før "e" er i størrelsesorden én. Derfor er sannsynligheten for at en partikkel passerer gjennom barrieren bestemt av følgende forhold:

https://pandia.ru/text/78/010/images/image023_24.gif" width="91" height="44">.

Dette betyr at kl E< U partikkelen vil ikke overvinne barrieren, dvs. det er ingen tunneleffekt i klassisk fysikk.

Denne effekten brukes i ingeniørpraksis for å lage tunneldioder som er mye brukt i radiotekniske enheter (se DEL 3, FOREDELSE 3).

I tillegg viste det seg å være mulig å sette i gang en termonukleær fusjonsreaksjon under terrestriske forhold, som Solen kommer under normale forhold for solen - ved en temperatur T ~ 109 K. Det er ingen slik temperatur på jorden, men på grunn av tunneleffekten er det mulig å starte reaksjonen ved en temperatur T ~ 107 K, som finner sted under eksplosjonen atombombe, som var tenningsanordningen for hydrogen. Mer om dette i neste del av kurset.

Harmonisk oscillator.Klassisk den harmoniske oscillatoren har også allerede blitt vurdert av oss (FORelesninger 1,2 DEL 3). Det er de for eksempel fjærpendel, hvis totale energi E = mV 2/2 + kx 2/2. Teoretisk sett kan denne energien ta på seg en kontinuerlig serie med verdier, som starter fra null.

En kvanteharmonisk oscillator er en mikropartikkel som oscillerer i henhold til den harmoniske loven, som er i en bundet tilstand inne i et atom eller en kjerne. I dette tilfellet forblir den potensielle energien klassisk, og karakteriserer en lignende elastisk gjenopprettingskraft kx. Tatt i betraktning at den sykliske frekvensen vi får for potensiell energi https://pandia.ru/text/78/010/images/image026_19.gif" width="235" height="59">. (19.9)

Matematisk er dette problemet enda vanskeligere enn de forrige. Derfor nøyer vi oss med å oppgi hva som blir resultatet. Som i tilfellet med den endimensjonale brønnen, får vi diskret område egne funksjoner og egenenergier, og en energiegenverdi vil tilsvare en bølgefunksjon: NoÛ y n(det er ingen degenerasjon av tilstander, som i tilfellet med en tredimensjonal brønn). Sannsynlighetstettheten |yn|2 er også en oscillerende funksjon, men høyden på "puklene" er forskjellig. Det er ikke lenger banalt synd2 , mens de mer eksotiske eremittpolynomene hn(x). Bølgefunksjonen har formen

, Hvor MEDn- avhengig av n konstant. Energi egenverdispektrum:

, (19.10)

Hvor kvantenummer n = 0, 1, 2, 3 ... . Dermed er det også "null energi" , over hvilken energispekteret danner en "stabel", hvor hyllene er plassert i samme avstand fra hverandre (fig. 19.2). Den samme figuren viser den tilsvarende sannsynlighetstettheten |yn|2 for hvert energinivå, samt den potensielle energien til det ytre feltet (stiplet parabel).

Eksistensen av en minimum mulig oscillatorenergi som ikke er null dyp betydning. Dette betyr at mikropartiklenes svingninger ikke stopper aldri, som igjen betyr uoppnåelig absolutt null temperatur.

1., Bursian fysikk: Et kurs med forelesninger med datastøtte: Proc. stønad til studenter. høyere lærebok institusjoner: I 2 bind - M .: VLADOS-PRESS Publishing House, 2001.

I prinsippet ikke noe spesielt, de kan finnes i tabeller og til og med grafer.

Temporal og stasjonær Schrödinger-ligning

Den statistiske tolkningen av de Broglie-bølger og Heisenberg-usikkerhetsrelasjonen førte til konklusjonen at bevegelsesligningen i kvantemekanikk som beskriver bevegelsen til mikropartikler i forskjellige kraftfelt, bør det være en ligning som den eksperimentelt observerte bølgeegenskaper partikler. Hovedligningen må være en likning for bølgefunksjon(x, y, z, t), siden det er nettopp denne verdien, eller mer presist, verdien 2 som bestemmer sannsynligheten for at partikkelen er i volumet dV på tidspunktet t, dvs. i området med koordinatene x og x+dx, y og y+dy, z og z+dz. Siden den ønskede ligningen må ta hensyn til bølgeegenskapene til partikler, må det være en bølgeligning, lik ligningen som beskriver elektromagnetiske bølger.

Denne ligningen er postulert, og dens korrekthet er bekreftet i samsvar med erfaringen med resultatene oppnådd med dens hjelp.

Grunnleggende ligning for ikke-relativistisk kvantemekanikk (1926)

4.1 Schrödinger tidsligning:

Ligningen er gyldig for ikke-relativistiske partikler<< ,

hvor (\displaystyle \hbar =(h \over 2\pi )) er massen til partikkelen; - imaginær enhet; er den potensielle funksjonen til partikkelen i kraftfeltet den beveger seg i; er ønsket bølgefunksjon; ∆ er Laplace-operatøren

Betingelser pålagt bølgefunksjonen:

Bølgefunksjonen må være begrenset, enkeltverdi og kontinuerlig.

Derivatene ∂Ψ/∂x, ∂Ψ/∂y, ∂Ψ/∂z , ∂Ψ/∂t må være kontinuerlige.

Funksjon 2 må være integrerbar (denne tilstanden reduseres til normaliseringsbetingelsen for sannsynligheter).

4.2 Stasjonær Schrödinger-ligning

Ved et stasjonært kraftfelt (funksjon U=U(x, y, z) er ikke eksplisitt avhengig av tid og har betydningen potensiell energi. I denne saken løsningen av Schrödinger-ligningen kan representeres som et produkt av to funksjoner, hvorav den ene er en funksjon av bare koordinater, den andre er bare en funksjon av tid, og avhengigheten av tid er uttrykt av faktoren ).

Deretter bølgefunksjonen for stasjonære tilstander(tilstander med faste energiverdier) kan representeres som:

Stasjonær Schrödinger-ligning:

oppnådd etter å ha erstattet bølgefunksjonen i Schrödinger-tidsligningen og transformasjoner (∆ er Laplace-operatoren, m- partikkelmasse; - redusert Planck-konstant ( = h/2π); E er den totale energien til partikkelen, U er den potensielle energien til partikkelen. I klassisk fysikk er kvantiteten (E–U) ville være lik den kinetiske energien til partikkelen. I kvantemekanikk, på grunn av usikkerhetsforholdet, er begrepet kinetisk energi meningsløst. Her er den potensielle energien U er en funksjon ytre kraftfelt der partikkelen beveger seg. Denne verdien er ganske bestemt. Det er også en funksjon av koordinatene, i dette tilfellet U =U(x,y,z)).

Schrödinger-ligningen

Bevegelsesligningen i kvantemekanikk, som beskriver bevegelsen til mikropartikler i ulike kraftfelt, bør være en ligning som bølgeegenskapene til partikler vil følge. Det må være en ligning for bølgefunksjonen Ψ( X,på,z,t), siden verdien │ Ψ │ 2 bestemmer sannsynligheten for at partikkelen er i volumet på tidspunktet.

Den grunnleggende ligningen ble formulert av E. Schrödinger: ligningen er ikke utledet, men postulert.

Schrödinger-ligningen ser ut som:

- ΔΨ + U(x,y,z,t)Ψ = iħ, (33.9)

Hvor ħ=h/(2π ), T-partikkelmasse, Δ-Laplace-operator , Jeg- imaginær enhet, U(x,y,z,t) er den potensielle funksjonen til partikkelen i kraftfeltet den beveger seg i, Ψ( x,y,z,t) er den ønskede bølgefunksjonen til partikkelen.

Ligning (32.9) er den generelle Schrödinger-ligningen. Det kalles også den tidsavhengige Schrödinger-ligningen. For mange fysiske fenomener som forekommer i mikroverdenen, kan ligning (33.9) forenkles ved å eliminere avhengigheten til Ψ av tid, med andre ord for å finne Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander - tilstander med faste energiverdier. Dette er mulig hvis kraftfeltet som partikkelen beveger seg i er stasjonært, dvs. funksjonen U(x,y,z,t) er ikke eksplisitt avhengig av tid og har betydningen potensiell energi.

∆ Ψ + ( E-U)Ψ = 0. (33.10)

Ligning (33.10) kalles Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander.

Denne ligningen inkluderer den totale energien som en parameter E partikler. Løsningen av ligningen finner ikke sted for noen verdier av parameteren E, men bare for et visst sett karakteristikk av det gitte problemet. Disse energiverdiene kalles egenverdier. Egenverdier E kan danne både kontinuerlige og diskrete serier.

33,5. Partikkel i en endimensjonal rektangulær "potensialbrønn med uendelig høye "vegger"

Fri partikkel - en partikkel som beveger seg i fravær av ytre felt. Siden en fri partikkel (la den bevege seg langs aksen X) krefter virker ikke, da den potensielle energien til partikkelen U(X) = const og den kan tas lik null. Da faller den totale energien til partikkelen sammen med dens kinetiske energi. Energien til en fri partikkel kan ha en hvilken som helst verdi, det vil si at energispekteret er kontinuerlig. En fri kvantepartikkel er beskrevet av en plan monokromatisk de Broglie-bølge, og alle posisjoner til en fri partikkel i rommet er like sannsynlige.

La oss gjennomføre en kvalitativ analyse av løsningene til Schrödinger-ligningen som anvendt på en fri partikkel i en endimensjonal rektangulær "potensialbrønn" med uendelig høye "vegger" (fig. 33.1). En slik "grop" er beskrevet av en potensiell energi av formen (for enkelhets skyld antar vi at partikkelen beveger seg langs aksen X)

∞, x< 0

U(x) = {0, 0≤ x ≤ l}(33.11)

∞, x > 1

Hvor l- bredden på "gropen", og energien måles fra bunnen (fig. 33.1).

Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander i tilfelle av et endimensjonalt problem kan skrives som

+ (E-U)Ψ = 0. (33.12)

I henhold til tilstanden til problemet (uendelig høye "vegger"), trenger ikke partikkelen gjennom "gropen", så sannsynligheten for deteksjon (og dermed bølgefunksjonen) utenfor "gropen" er lik null. Ved grensen til "gropen" (kl X=0 og x=l) den kontinuerlige bølgefunksjonen må også forsvinne. Derfor har grensebetingelsene i dette tilfellet formen

Ψ(0)=Ψ( l)=0. (33.13)

Innenfor "brønnen" reduseres Schrödinger-ligningen til ligningen

+ EΨ = 0. (33.14)

Den stasjonære Schrödinger-ligningen som beskriver bevegelsen til en partikkel i en "potensiell brønn" med uendelig høye "vegger" er bare oppfylt for egenverdier E s heltallsavhengig P.

E p =,(n= 1, 2, 3, …).(33.15)

Schrödingers hovedide er at den matematiske analogien mellom geometrisk optikk og klassisk mekanikk for å overføre til bølgeegenskapene til lys og partikler.

Vi får Schrödinger-ligningen fra uttrykket for bølgefunksjonen fritt elektron. La oss skrive det om kompleks form.

Ved å bruke forholdet mellom frekvens og energi, og bølgetallet med momentum, får vi: .

I generell sak er den totale energien til partikkelen, , – kinetisk energi og er interaksjonsenergien.

La oss finne den første deriverte med hensyn til og den andre med hensyn til koordinaten til funksjon Y: (1), (2).

Vi multipliserer likning (1) med , og likning (2) med (dermed vil faktorene på høyre side ha dimensjonen energi):

, .

Vi legger til de resulterende ligningene:

.

Siden kan den siste likheten skrives om i skjemaet .

Dette er Schrödinger-ligningen. Den ble oppnådd for én koordinat. Hvis det skrives om for 3 koordinater, vil vi endelig ved å introdusere Laplace-operatøren ha

.

Schrödinger-ligningen kan ikke avledes direkte fra de grunnleggende lovene klassisk fysikk. Schrodinger-ligningen lar deg finne bølgefunksjonen på et vilkårlig tidspunkt. For å gjøre dette, må du kjenne bølgefunksjonen på et fast tidspunkt, massen til partikkelen og energien til interaksjonen til partikkelen med kraftfelt. Funnet bølgefunksjonen gjør det mulig å beregne sannsynligheten for å finne en partikkel i vilkårlig poeng plass til ethvert øyeblikk.

Grunnleggende egenskaper, som må tilfredsstilles av bølgefunksjonene - løsninger av Schrödinger-ligningen:

1. Bølgefunksjonen er lineær, dvs. hvis … er løsninger av ligningen, så er deres lineære kombinasjon en løsning.

2. Første partielle deriverte med hensyn til koordinater er lineære

3. Bølgefunksjonen og dens romlige deriverte må være enkeltverdier, endelige og kontinuerlige.

4. Ettersom vi har en tendens til ∞, bør verdien av bølgefunksjonen ha en tendens til null.

Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander.

Hvis kraftfeltet som den beskrevne partikkelen beveger seg i er stasjonært, avhenger ikke potensialet eksplisitt av tid, og funksjonen har betydningen av potensiell energi og avhenger bare av koordinatene. I dette tilfellet kan bølgefunksjonen representeres som produktet av to. En funksjon avhenger bare av , den andre avhenger bare av tid :

Vi erstatter det siste uttrykket i Schrödinger-ligningen

Etter å ha kuttet med en tidsfaktor og noe elementære transformasjoner vi får: (*).

Dette er Schrödinger-ligningen for stasjonære tilstander. Den inkluderer bare koordinatdelen av bølgefunksjonen - . Hvis sistnevnte er funnet, blir den totale bølgefunksjonen funnet ved å multiplisere koordinatdelen med tidsfaktoren.

Siden sannsynligheten bestemmes av kvadratet av bølgefunksjonen, og kvadratet av den komplekse verdien er funnet ved å multiplisere med det komplekse konjugatet, gjelder følgende relasjon for stasjonære bølgefunksjoner:

Derfor, for å finne bølgefunksjonen for stasjonære tilstander, er det nødvendig å løse ligningen (*) og vite full energi.

Fri bevegelse av partikler.

I løpet av fri bevegelse ingen krefter virker på en kvantepartikkel, og det kan det være potensiell energi lik null. La partikkelen bevege seg i retningen , så tar (*) formen: .

En spesiell løsning på denne ligningen er en funksjon av formen , hvor og er konstanter. Hvis vi erstatter den ønskede løsningen i selve ligningen, vil vi få sammenhengen mellom energien til partikkelen og mengden:

Fullbølgefunksjonen, tatt i betraktning tidsavhengigheten for en fri partikkel, har formen . Det er en plan monokromatisk bølge med frekvens og bølgetall. Siden , og , da .

En partikkel med spinn har også et visst "intrinsic" magnetisk moment. Den kvantemekaniske operatoren som tilsvarer den er proporsjonal med spinnoperatoren s, dvs. den kan skrives i formen

hvor s er verdien av partikkelspinnet, er en konstant karakteristikk av partikkelen. Projeksjon egenverdier magnetisk moment er like Fra dette kan man se at koeffisienten (som vanligvis kalles bare størrelsen på det magnetiske momentet) er den størst mulige verdien oppnådd ved spinnprojeksjon

Forholdet gir forholdet mellom partikkelens eget magnetiske moment og sitt eget mekanisk moment(når begge er rettet langs aksen). Som kjent er dette forholdet likt for det ordinære (orbitale) momentumet (se II, § 44). Proporsjonalitetskoeffisienten mellom det iboende magnetiske momentet og partikkelens spinn viser seg å være forskjellig. For et elektron er det lik - det vil si to ganger den vanlige verdien (en slik verdi oppnås teoretisk fra den relativistiske Dirac-bølgeligningen - se IV, § 33). Det iboende magnetiske momentet til elektronet (spinn 1/2) er derfor hvor

Denne størrelsen kalles Bohr-magnetonen.

Det magnetiske momentet til tunge partikler måles vanligvis i kjernemagnetoner, definert som hvor er protonmassen. Eksperimentet gir det iboende magnetiske momentet til protonet som 2,79 kjernemagnetoner, med momentet rettet langs spinnet. Det magnetiske momentet til nøytronet er rettet motsatt av spinnet og er lik 1,91 kjernemagnetoner.

La oss ta hensyn til det faktum at mengdene og s, som står på begge sider av likheten (111,1), som det skal være, er like i sin vektorkarakter: begge er aksiale vektorer.

En lignende likhet for det elektriske tofeltsmomentet vil motsi symmetri med hensyn til inversjonen av koordinater: inversjonen vil endre det relative tegnet til begge sider av ligningen.

I ikke-relativistisk kvantemekanikk kan magnetfeltet bare betraktes som et eksternt felt. Den magnetiske interaksjonen mellom partikler med hverandre er en relativistisk effekt, og dens inkludering krever en konsistent relativistisk teori.

I klassisk teori Hamilton-funksjonen til en ladet partikkel i et elektromagnetisk felt har formen

hvor er en skalar, A er vektorpotensialet til feltet, er det generaliserte momentumet til partikkelen (se II, § 16). Hvis partikkelen ikke har en enhet, blir overgangen til kvantemekanikk gjort på vanlig måte: det generaliserte momentumet må erstattes av en operatør og vi får Hamiltonian

Hvis partikkelen har et spinn, er en slik operasjon utilstrekkelig. Faktum er at det iboende magnetiske momentet til partikkelen samhandler direkte med magnetfeltet. I klassisk funksjon Hamilton, denne interaksjonen er helt fraværende, siden selve spinn, som er en ren kvanteeffekt, forsvinner når den går til den klassiske grensen. Det korrekte uttrykket for Hamiltonian oppnås ved å introdusere (i 111.3) et tilleggsledd - tilsvarende energien til det magnetiske momentet , i feltet H. Dermed har Hamiltonianen til en partikkel med spinn formen

Når man åpner kvadratet, må man huske på at operatoren generelt sett ikke er kommutativ med vektoren A, som er en funksjon av koordinater. Derfor er det nødvendig å skrive

I henhold til kommuteringsregelen (16.4) til momentumoperatoren med en hvilken som helst koordinatfunksjon, har vi

Dermed og A er kommutative hvis, spesielt, holder for uniformsfelt, hvis vi velger vektorpotensialet i formen

(111,7)

Ligningen med Hamiltonian (111.4) er en generalisering av Schrödinger-ligningen for tilfellet med tilstedeværelse magnetfelt. Bølgefunksjonene som påvirkes av Hamiltonian i denne ligningen er symmetriske spinorer av rang

Bølgefunksjonene til en partikkel i et elektromagnetisk felt har en tvetydighet assosiert med tvetydigheten til feltpotensialene. Som kjent (se II, § 18), defineres sistnevnte kun inntil en måleomforming

Hvor - vilkårlig funksjon koordinater og tid. En slik transformasjon påvirker ikke feltstyrkeverdiene. Det er derfor klart at det heller ikke bør endre løsningene til bølgeligningen vesentlig; spesielt må kvadratet forbli uendret Det er faktisk lett å verifisere at vi vil gå tilbake til den opprinnelige ligningen hvis vi samtidig med endringen (111,8) i Hamiltonian endrer bølgefunksjonen iht.

(111,9)

Denne tvetydigheten av bølgefunksjonen påvirker ikke noen av fysisk mening kvantitet (hvis definisjon ikke eksplisitt inkluderer potensialer).

I klassisk mekanikk er det generaliserte momentumet til en partikkel relatert til dens hastighet ved relasjonen For å finne operatoren v i kvantemekanikk, er det nødvendig å pendle vektoren med Hamiltonian.

En enkel beregning fører til resultatet

(111,10)

akkurat det samme som den klassiske. For operatørene av hastighetskomponentene finner kommuteringsreglene sted

som er enkle å verifisere ved direkte beregning. Vi ser at i et magnetfelt viser operatørene av de tre hastighetskomponentene til en (ladet) partikkel seg å være ikke-kommutative. Dette betyr at en partikkel ikke kan ha begge deler visse verdier hastighet i alle tre retninger.

Når man beveger seg i et magnetfelt, skjer symmetri med hensyn til tidsreversering kun hvis tegnet til feltet H (og vektorpotensialet A) endres. Dette betyr (se §§ 18 og 60) at Schrödinger-ligningen må beholde sin form når den går over til komplekse konjugerte mengder og endrer tegnet til H. For alle ledd i Hamiltonian (111.4), med unntak av begrepet, er dette umiddelbart åpenbart. medlem