Stereometri er en gren av geometrien som studerer figurer som ikke ligger i samme plan. Et av objektene for studiet av stereometri er prismer. I artikkelen vil vi gi en definisjon av et prisme fra et geometrisk synspunkt, og også kort liste opp egenskapene som er karakteristiske for det.

Geometrisk figur

Definisjonen av et prisme i geometri er som følger: det er en romlig figur som består av to identiske n-goner plassert i parallelle plan, forbundet med hverandre med sine toppunkter.

Å få et prisme er ikke vanskelig. Tenk deg at det er to identiske n-goner, der n er antall sider eller toppunkter. La oss plassere dem slik at de er parallelle med hverandre. Etter det skal toppunktene til en polygon kobles til de tilsvarende toppunktene til en annen. Den dannede figuren vil bestå av to n-gonale sider, som kalles baser, og n firkantede sider, som i det generelle tilfellet er parallellogrammer. Settet med parallellogrammer danner sideflaten til figuren.

Det er en annen måte å geometrisk fremskaffe den aktuelle figuren på. Så hvis vi tar en n-gon og overfører den til et annet plan ved å bruke parallelle segmenter av lik lengde, får vi den opprinnelige polygonen i det nye planet. Både polygoner og alle parallelle segmenter trukket fra hjørnene deres danner et prisme.

Bildet ovenfor viser det såkalte fordi basene er trekanter.

Elementene som utgjør en figur

Ovenfor ble det gitt en definisjon av et prisme, hvorfra det er klart at hovedelementene i en figur er dens ansikter eller sider, noe som begrenser alle de indre punktene til prismet fra det ytre rommet. Ethvert ansikt på figuren som vurderes tilhører en av to typer:

• lateral;
• begrunnelse.

Det er n sidestykker, og de er parallellogrammer eller deres spesielle typer (rektangler, firkanter). Generelt er sideflatene forskjellige fra hverandre. Det er bare to flater av basen, de er n-goner og er like med hverandre. Dermed har hvert prisme n+2 sider.

I tillegg til sidene er figuren preget av sine hjørner. De er punkter hvor tre ansikter berører samtidig. Dessuten tilhører to av de tre ansiktene alltid sideflaten, og en - til basen. I et prisme er det altså ikke et spesielt valgt toppunkt, for eksempel i en pyramide er alle like. Antall hjørner av figuren er 2*n (n stykker for hver base).

Til slutt er det tredje viktige elementet i prismet dets kanter. Dette er segmenter av en viss lengde, som er dannet som et resultat av skjæringspunktet mellom sidene av figuren. Som ansikter har kanter også to forskjellige typer:

• eller dannet bare av sidene;
• eller oppstår ved krysset mellom parallellogrammet og siden av den n-gonale basen.

Antall kanter er dermed 3*n, og 2*n av dem tilhører den andre av de navngitte typene.

Prismetyper

Det er flere måter å klassifisere prismer på. Imidlertid er de alle basert på to funksjoner i figuren:

• på typen n-kullbase;
• på sidetype.

Til å begynne med, la oss gå til den andre singulariteten og gi en definisjon av en rett linje. Hvis minst én side er et parallellogram av generell type, kalles figuren skrå eller skrå. Hvis alle parallellogrammer er rektangler eller firkanter, vil prismet være rett.

Du kan også gi en definisjon litt annerledes: en rett figur er et prisme der sidekantene og flatene er vinkelrette på basen. Figuren viser to firkantede figurer. Den venstre er rett, den høyre er skrå.

La oss nå gå videre til klassifisering i henhold til typen n-gon som ligger i basene. Den kan ha samme sider og vinkler eller forskjellige. I det første tilfellet kalles polygonen regulær. Hvis figuren som vurderes inneholder en polygon med like sider og vinkler ved bunnen og er en rett linje, kalles den regulær. I følge denne definisjonen kan et vanlig prisme ved bunnen ha en likesidet trekant, en firkant, en vanlig femkant eller en sekskant, og så videre. De oppførte riktige tallene er vist i figuren.

Lineære parametere for prismer

For å beskrive dimensjonene til figurene som vurderes, brukes følgende parametere:

• høyde;
• sidene av basen;
• side ribbelengder;
• volumetriske diagonaler;
• diagonale sider og baser.

For vanlige prismer er alle de navngitte mengdene relatert til hverandre. For eksempel er lengdene på sideribbene de samme og lik høyden. For en spesifikk n-gonal regulær figur er det formler som lar oss bestemme resten fra to lineære parametere.

Figuroverflate

Hvis vi vender oss til definisjonen av et prisme gitt ovenfor, vil det ikke være vanskelig å forstå hva overflaten til figuren representerer. Overflaten er arealet av alle ansiktene. For et rett prisme beregnes det med formelen:

S = 2*S o + Po *h

der So er arealet av basen, Po er omkretsen av n-gonen ved basen, h er høyden (avstanden mellom basene).

figurvolum

Sammen med overflaten for praksis er det viktig å kjenne volumet til prismet. Det kan bestemmes ved hjelp av følgende formel:

Dette uttrykket er sant for absolutt alle slags prismer, inkludert de som er skrå og dannet av uregelmessige polygoner.

For korrekt er det en funksjon av lengden på siden av basen og høyden på figuren. For det tilsvarende n-gonale prismet har formelen for V en spesifikk form.

I skolens læreplan for løpet av solid geometri begynner studiet av tredimensjonale figurer vanligvis med en enkel geometrisk kropp - et prismepolyeder. Rollen til basene utføres av 2 like polygoner som ligger i parallelle plan. Et spesielt tilfelle er et vanlig firkantet prisme. Basene er 2 identiske vanlige firkanter, som sidene er vinkelrette på, og har form av parallellogrammer (eller rektangler hvis prismet ikke er skråstilt).

Hvordan ser et prisme ut

Et vanlig firkantet prisme er en sekskant, ved basen av hvilken det er 2 firkanter, og sideflatene er representert av rektangler. Et annet navn for denne geometriske figuren er et rett parallellepiped.

Figuren, som viser et firkantet prisme, er vist nedenfor.

Du kan også se på bildet de viktigste elementene som utgjør en geometrisk kropp. De blir ofte referert til som:

Noen ganger i problemer i geometri kan du finne konseptet med en seksjon. Definisjonen vil høres slik ut: en seksjon er alle punkter i en volumetrisk kropp som tilhører skjæreplanet. Seksjonen er vinkelrett (krysser kantene på figuren i en vinkel på 90 grader). For et rektangulært prisme vurderes også en diagonal seksjon (maksimalt antall seksjoner som kan bygges er 2), som går gjennom 2 kanter og diagonalene til basen.

Hvis snittet er tegnet på en slik måte at skjæreplanet ikke er parallelt med verken basene eller sideflatene, blir resultatet et avkortet prisme.

Ulike forholdstall og formler brukes for å finne de reduserte prismatiske elementene. Noen av dem er kjent fra løpet av planimetri (for eksempel for å finne arealet av bunnen av et prisme, er det nok å huske formelen for arealet av en firkant).

Overflateareal og volum

For å bestemme volumet til et prisme ved hjelp av formelen, må du kjenne arealet av bits base og høyde:

V = Sprim h

Siden bunnen av et vanlig tetraedrisk prisme er en firkant med side en, Du kan skrive formelen i en mer detaljert form:

V = a² h

Hvis vi snakker om en terning - et vanlig prisme med lik lengde, bredde og høyde, beregnes volumet som følger:

For å forstå hvordan du finner sideoverflatearealet til et prisme, må du forestille deg sveipet.

Det kan ses av tegningen at sideflaten er bygd opp av 4 like rektangler. Området beregnes som produktet av omkretsen av basen og høyden på figuren:

Side = Pos h

Siden omkretsen av en firkant er P = 4a, formelen har formen:

Side = 4a t

For kube:

Side = 4a²

For å beregne det totale overflatearealet til et prisme, legg til 2 grunnflater til sidearealet:

Full = Sside + 2Sbase

Som brukt på et firkantet regulært prisme, har formelen formen:

Full = 4a t + 2a²

For overflatearealet til en kube:

Full = 6a²

Når du kjenner volumet eller overflaten, kan du beregne de individuelle elementene i en geometrisk kropp.

Finne prismeelementer

Ofte er det problemer der volumet er gitt eller verdien av det laterale overflatearealet er kjent, hvor det er nødvendig å bestemme lengden på siden av basen eller høyden. I slike tilfeller kan formler utledes:

• base side lengde: a = Sside / 4h = √(V / h);
• høyde eller sideribbelengde: h = side / 4a = V / a²;
• basisareal: Sprim = V/h;
• sideflate: Side gr = side / 4.

For å bestemme hvor stort areal et diagonalt snitt har, må du vite lengden på diagonalen og høyden på figuren. For en firkant d = a√2. Derfor:

Sdiag = ah√2

For å beregne diagonalen til prismet, brukes formelen:

dprize = √(2a² + h²)

For å forstå hvordan du bruker forholdstallene ovenfor, kan du øve og løse noen få enkle oppgaver.

Eksempler på problemer med løsninger

Her er noen av oppgavene som vises på de statlige avsluttende eksamenene i matematikk.

Øvelse 1.

Sand helles i en boks formet som et vanlig firkantet prisme. Høyden på nivået er 10 cm. Hva vil nivået av sand være hvis du flytter det inn i en beholder med samme form, men med en baselengde som er 2 ganger lengre?

Det bør argumenteres som følger. Mengden sand i den første og andre beholderen endret seg ikke, det vil si at volumet i dem er det samme. Du kan definere lengden på basen som en. I dette tilfellet, for den første boksen, vil volumet av stoffet være:

V1 = ha² = 10a²

For den andre boksen er lengden på basen 2a, men høyden på sandnivået er ukjent:

V2 = h(2a)² = 4ha²

Fordi det V1 = V2, kan uttrykkene likestilles:

10a² = 4ha²

Etter å ha redusert begge sider av ligningen med a², får vi:

Som et resultat blir det nye sandnivået h = 10/4 = 2,5 cm.

Oppgave 2.

ABCDA₁B₁C₁D₁ er et vanlig prisme. Det er kjent at BD = AB₁ = 6√2. Finn det totale overflatearealet av kroppen.

For å gjøre det lettere å forstå hvilke elementer som er kjent, kan du tegne en figur.

Siden vi snakker om et regulært prisme, kan vi konkludere med at grunnflaten er en firkant med en diagonal på 6√2. Diagonalen til sideflaten har samme verdi, derfor har sideflaten også formen av en firkant lik basen. Det viser seg at alle tre dimensjonene - lengde, bredde og høyde - er like. Vi kan konkludere med at ABCDA₁B₁C₁D₁ er en kube.

Lengden på en hvilken som helst kant bestemmes gjennom den kjente diagonalen:

a = d / √2 = 6√2 / √2 = 6

Det totale overflatearealet er funnet av formelen for kuben:

Full = 6a² = 6 6² = 216

Oppgave 3.

Rommet er under oppussing. Det er kjent at gulvet har form av en firkant med et areal på 9 m². Høyden på rommet er 2,5 m. Hva er den laveste kostnaden for å tapetsere et rom hvis 1 m² koster 50 rubler?

Siden gulvet og taket er firkanter, det vil si vanlige firkanter, og veggene er vinkelrette på horisontale flater, kan vi konkludere med at det er et vanlig prisme. Det er nødvendig å bestemme arealet av sideoverflaten.

Lengden på rommet er a = √9 = 3 m.

Plassen skal dekkes med tapet Side = 4 3 2,5 = 30 m².

Den laveste kostnaden for tapet for dette rommet vil være 50 30 = 1500 rubler.

For å løse problemer for et rektangulært prisme er det altså nok å kunne beregne arealet og omkretsen til et kvadrat og et rektangel, samt å kjenne formlene for å finne volumet og overflatearealet.

Hvordan finne arealet til en kube

Polyeder

Hovedobjektet for studiet av stereometri er tredimensjonale kropper. Kropp er en del av rommet avgrenset av en overflate.

polyeder Et legeme hvis overflate består av et begrenset antall plane polygoner kalles. Et polyeder kalles konveks hvis det ligger på den ene siden av planet til hver flat polygon på overflaten. Den vanlige delen av et slikt plan og overflaten til et polyeder kalles kant. Overflatene til et konveks polyeder er flate konvekse polygoner. Sidene av ansiktene kalles kantene på polyederet, og hjørnene toppunktene til polyederet.

For eksempel består en kube av seks firkanter som er dens flater. Den inneholder 12 kanter (sider av firkanter) og 8 topper (vertekser av firkanter).

De enkleste polyedrene er prismer og pyramider, som vi skal studere videre.

Prisme

Definisjon og egenskaper til et prisme

prisme kalles et polyeder som består av to flate polygoner som ligger i parallelle plan kombinert ved parallell translasjon, og alle segmenter som forbinder de tilsvarende punktene til disse polygonene. Polygonene kalles prismebaser, og segmentene som forbinder de tilsvarende toppunktene til polygonene er sidekanter av prismet.

Prismehøyde kalt avstanden mellom planene til basene (). Et segment som forbinder to hjørner av et prisme som ikke tilhører samme flate kalles prisme diagonal(). Prismet kalles n-kull hvis basen er en n-gon.

Ethvert prisme har følgende egenskaper, som følger av det faktum at basene til prismet er kombinert ved parallell oversettelse:

1. Basene til prismet er like.

2. Sidekantene på prismet er parallelle og like.

Overflaten til et prisme er bygd opp av baser og sideflate. Sideflaten til prismet består av parallellogrammer (dette følger av prismets egenskaper). Arealet av sideflaten til et prisme er summen av arealene til sideflatene.

rett prisme

Prismet kalles rett hvis sidekantene er vinkelrette på basene. Ellers kalles prismet skrå.

Overflatene til et rett prisme er rektangler. Høyden på et rett prisme er lik sideflatene.

full prismeoverflate er summen av sideoverflatearealet og arealene til basene.

Riktig prisme kalles et rett prisme med en regulær polygon i bunnen.

Teorem 13.1. Arealet av sideoverflaten til et rett prisme er lik produktet av omkretsen og høyden på prismet (eller tilsvarende sidekanten).

Bevis. Sideflatene til et rett prisme er rektangler hvis basis er sidene til polygonene ved prismets basis, og høydene er sidekantene til prismet. Da er det laterale overflatearealet per definisjon:

,

hvor er omkretsen av bunnen av et rett prisme.

Parallelepiped

Hvis parallellogrammer ligger ved bunnen av et prisme, kalles det parallellepipedum. Alle flatene til et parallellepiped er parallellogrammer. I dette tilfellet er de motsatte flatene til parallellepipedet parallelle og like.

Teorem 13.2. Diagonalene til parallellepipedet skjærer hverandre i ett punkt og skjæringspunktet er delt i to.

Bevis. Tenk på to vilkårlige diagonaler, for eksempel, og . Fordi flatene til parallellepipedet er parallellogrammer, da og , som betyr at ifølge T om lag to rette linjer parallelt med den tredje . I tillegg betyr dette at linjene og ligger i samme plan (planet). Dette planet skjærer parallelle plan og langs parallelle linjer og . Dermed er en firkant et parallellogram, og av egenskapen til et parallellogram er dets diagonaler og skjæringspunkt og skjæringspunktet delt i to, noe som skulle bevises.

Et rett parallellepiped hvis base er et rektangel kalles kuboid. Alle flatene til en kuboid er rektangler. Lengden på ikke-parallelle kanter på et rektangulært parallellepiped kalles dets lineære dimensjoner (mål). Det er tre størrelser (bredde, høyde, lengde).

Teorem 13.3. I en kuboid er kvadratet til en hvilken som helst diagonal lik summen av kvadratene av dens tre dimensjoner (bevist ved å bruke Pythagoras T to ganger).

Et rektangulært parallellepiped der alle kanter er like kalles kube.

Oppgaver

13.1 Hvor mange diagonaler gjør n- karbonprisme

13.2 I et skråstilt trekantet prisme er avstandene mellom sidekantene 37, 13 og 40. Finn avstanden mellom den større sideflaten og den motsatte sidekanten.

13.3 Gjennom siden av den nedre bunnen av et vanlig trekantet prisme tegnes et plan som skjærer sideflatene langs segmenter, vinkelen mellom disse er . Finn helningsvinkelen til dette planet til bunnen av prismet.

Definisjon.

Dette er en sekskant, hvis basis er to like firkanter, og sideflatene er like rektangler.

Sideribbe er fellessiden av to tilstøtende sideflater

Prismehøyde er et linjestykke vinkelrett på basen til prismet

Prisme diagonal- et segment som forbinder to hjørner av basene som ikke tilhører samme side

Diagonalt plan- et plan som går gjennom prismets diagonal og sidekantene

Diagonalt snitt- grensene for skjæringspunktet mellom prismet og diagonalplanet. Den diagonale delen av et regulært firkantet prisme er et rektangel

Perpendikulært snitt (ortogonalt snitt)- dette er skjæringspunktet mellom et prisme og et plan tegnet vinkelrett på sidekantene

Elementer av et vanlig firkantet prisme

Figuren viser to vanlige firkantede prismer, som er merket med de tilsvarende bokstavene:

• Basene ABCD og A 1 B 1 C 1 D 1 er like og parallelle med hverandre
• Sideflater AA 1 D 1 D, AA 1 B 1 B, BB 1 C 1 C og CC 1 D 1 D, som hver er et rektangel
• Lateral overflate - summen av arealene til alle sideflatene til prismet
• Total overflate - summen av arealene til alle baser og sideflater (summen av arealet av sideoverflaten og basene)
• Sideribber AA 1 , BB 1 , CC 1 og DD 1 .
• Diagonal B 1 D
• Base diagonal BD
• Diagonalsnitt BB 1 D 1 D
• Perpendikulært snitt A 2 B 2 C 2 D 2 .

Egenskaper til et regulært firkantet prisme

• Basene er to like firkanter
• Basene er parallelle med hverandre
• Sidene er rektangler.
• Sideflatene er like med hverandre
• Sideflatene er vinkelrette på basene
• Sideribbene er parallelle med hverandre og like
• Vinkelrett snitt vinkelrett på alle sideribber og parallelt med basene
• Vinkler i vinkelrett snitt - høyre
• Den diagonale delen av et regulært firkantet prisme er et rektangel
• Vinkelrett (ortogonalt snitt) parallelt med basene

Formler for et vanlig firkantet prisme

Instruksjoner for å løse problemer

Når du løser problemer om emnet " vanlig firkantet prisme" impliserer at:

Riktig prisme- et prisme ved bunnen av det ligger en regulær polygon, og sidekantene er vinkelrette på bunnens plan. Det vil si at et vanlig firkantet prisme inneholder ved bunnen torget. (se ovenfor egenskapene til et vanlig firkantet prisme) Merk. Dette er en del av timen med oppgaver i geometri (seksjon solid geometri - prisme). Her er oppgavene som skaper problemer med å løse. Hvis du trenger å løse et problem i geometri, som ikke er her - skriv om det i forumet. For å betegne handlingen med å trekke ut en kvadratrot for å løse problemer, brukes symbolet√ .

Oppgave.

I et vanlig firkantet prisme er grunnflaten 144 cm 2 og høyden 14 cm Finn prismets diagonal og det totale overflatearealet.

Løsning.
En vanlig firkant er en firkant.
Følgelig vil siden av basen være lik

√144 = 12 cm.
Hvorfra vil diagonalen til basen til et vanlig rektangulært prisme være lik
√(12 2 + 12 2 ) = √288 = 12√2

Diagonalen til et vanlig prisme danner en rettvinklet trekant med diagonalen til basen og høyden til prismet. Følgelig, i henhold til Pythagoras teorem, vil diagonalen til et gitt regulært firkantet prisme være lik:
√((12√2) 2 + 14 2 ) = 22 cm

Svar: 22 cm

Oppgave

Finn det totale overflatearealet til et vanlig firkantet prisme hvis diagonalen er 5 cm og diagonalen på sideflaten er 4 cm.

Løsning.
Siden basen til et regulært firkantet prisme er et kvadrat, er siden av basen (betegnet som a) funnet av Pythagoras teorem:

A 2 + a 2 = 5 2
2a 2 = 25
a = √12,5

Høyden på sideflaten (betegnet som h) vil da være lik:

H 2 + 12,5 \u003d 4 2
h 2 + 12,5 = 16
h 2 \u003d 3.5
h = √3,5

Det totale overflatearealet vil være lik summen av sideoverflaten og to ganger grunnflaten

S = 2a 2 + 4ah
S = 25 + 4√12,5 * √3,5
S = 25 + 4√43,75
S = 25 + 4√(175/4)
S = 25 + 4√(7*25/4)
S \u003d 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.

Svar: 25 + 10√7 ≈ 51,46 cm 2.