Alle formler for aritmetisk og geometrisk progresjon 9. Algebra-leksjon "Aritmetisk og geometrisk progresjon" (9. klasse)

Å forstå mange emner i matematikk og fysikk er forbundet med kunnskap om egenskapene til tallserier. Skolebarn i klasse 9, når de studerer emnet "Algebra", vurdere en av de viktige sekvensene av tall - en aritmetisk progresjon. La oss gi de grunnleggende formlene for en aritmetisk progresjon (9. klasse), samt eksempler på hvordan de brukes til å løse problemer.

Algebraisk eller aritmetisk progresjon

Nummerserien som vil bli omtalt i denne artikkelen heter to forskjellige måter presentert i tittelen til dette avsnittet. Så aritmetisk progresjon i matematikk forstås slik nummerserie, der alle to tall som står ved siden av hverandre avviker med samme mengde, som kalles differansen. Tall i en slik serie er vanligvis betegnet med bokstaver med en lavere heltallsindeks, for eksempel a 1 , a 2 , a 3 og så videre, der indeksen angir nummeret til elementet i serien.

Gitt definisjonen ovenfor av en aritmetisk progresjon, kan vi skrive følgende likhet: a 2 -a 1 =...=a n -a n-1 =d, her er d differansen til den algebraiske progresjonen og n er et hvilket som helst heltall. Hvis d>0, så kan vi forvente at hvert påfølgende ledd i serien vil være større enn den forrige, i dette tilfellet snakker vi om en økende progresjon. Hvis d<0, тогда предыдущий член будет больше последующего, то есть ряд будет убывать. Частный случай возникает, когда d = 0, то есть ряд представляет собой последовательность, в которой a 1 =a 2 =...=a n .

Aritmetiske progresjonsformler (grad 9)

Serien med tall som vurderes, siden den er ordnet og adlyder en viss matematisk lov, har to egenskaper som er viktige for bruken:

1. For det første, når du bare kjenner to tall a 1 og d, kan du finne et hvilket som helst medlem av sekvensen. Dette gjøres ved å bruke følgende formel: a n = a 1 +(n-1)*d.
2. For det andre, for å beregne summen av n ledd av de første, er det ikke nødvendig å legge dem til i rekkefølge, siden du kan bruke følgende formel: S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Den første formelen er lett å forstå, siden den er en direkte konsekvens av det faktum at hvert medlem av serien under vurdering skiller seg fra naboen med samme forskjell.

Den andre formelen for en aritmetisk progresjon kan fås ved å ta hensyn til at summen a 1 +a n er ekvivalent med summene a 2 +a n-1, a 3 +a n-2 og så videre. Faktisk, siden a 2 = d+a 1 , a n-2 = -2*d+a n , a 3 = 2*d+a 1 og a n-1 = -d+a n , og deretter erstatte disse uttrykkene i tilsvarende summer får vi at de blir like. Faktoren n/2 i den 2. formelen (for S n) vises på grunn av at summer av typen a i+1 +a n-i viser seg å være nøyaktig n/2, her er i et heltall fra 0 til n/ 2 -en.

I følge de overlevende historiske bevisene ble formelen for summen S n først oppnådd av Karl Gauss (den berømte tyske matematikeren) da han fikk i oppgave av en skolelærer å legge til de første 100 tallene.

Eksempelproblem #1: Finn forskjellen

Oppgaver som stiller spørsmålet som følger: å kjenne formlene for en aritmetisk progresjon, hvordan finne q (d), er de enkleste som bare kan være for dette emnet.

Her er et eksempel: gitt en numerisk sekvens -5, -2, 1, 4, ..., er det nødvendig å bestemme forskjellen, det vil si d.

For å gjøre dette er like enkelt som å avskalle pærer: du må ta to elementer og trekke den minste fra den større. I dette tilfellet har vi: d = -2 - (-5) = 3.

For å være sikker på svaret mottatt, anbefales det å sjekke de gjenværende forskjellene, siden den presenterte sekvensen kanskje ikke tilfredsstiller den algebraiske progresjonsbetingelsen. Vi har: 1-(-2)=3 og 4-1=3. Disse dataene indikerer at vi fikk riktig resultat (d=3) og beviste at tallrekken i problemformuleringen faktisk er en algebraisk progresjon.

Eksempelproblem #2: Finn forskjellen ved å kjenne to vilkår for progresjonen

Vurder et annet interessant problem, som stilles av spørsmålet om hvordan du finner forskjellen. Den aritmetiske progresjonsformelen i dette tilfellet må brukes for n'te ledd. Så, oppgaven: gitt det første og femte tallet i en serie som tilsvarer alle egenskapene til en algebraisk progresjon, for eksempel, er disse tallene a 1 = 8 og a 5 = -10. Hvordan finne forskjellen d?

Du bør begynne å løse dette problemet ved å skrive den generelle formen for formelen for det n-te elementet: a n = a 1 + d * (-1 + n). Nå kan du gå på to måter: enten erstatte tallene med en gang og jobbe med dem allerede, eller uttrykke d, og deretter gå til spesifikke en 1 og en 5 . La oss bruke den siste metoden, vi får: a 5 \u003d a 1 + d * (-1 + 5) eller en 5 \u003d 4 * d + a 1, hvorfra det følger at d \u003d (a 5 -a 1 ) / 4. Nå kan du trygt erstatte de kjente dataene fra betingelsen og få det endelige svaret: d = (-10-8)/4 = -4,5.

Merk at i dette tilfellet viste progresjonsforskjellen seg å være negativ, det vil si at det er en avtagende tallrekke. Det er nødvendig å ta hensyn til dette faktum når du løser problemer for ikke å forvirre tegnene "+" og "-". Alle formlene ovenfor er universelle, så de bør alltid følges uavhengig av tegnet på tallene som operasjoner utføres med.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 3: finn a1, kjenne forskjellen og elementet

La oss endre tilstanden til problemet litt. La det være to tall: forskjellen d=6 og det 9. elementet i progresjonen a 9 = 10. Hvordan finne a1? Formlene for den aritmetiske progresjonen forblir uendret, vi vil bruke dem. For tallet a 9 har vi følgende uttrykk: a 1 +d*(9-1) = a 9 . Derfra får vi enkelt det første elementet i serien: a 1 = a 9 -8 * d = 10 - 8 * 6 = -38.

Et eksempel på å løse oppgave #4: finn a1, kjenn til to elementer

Denne versjonen av problemet er en komplisert versjon av den forrige. Essensen er den samme, det er nødvendig å beregne en 1 , men nå er forskjellen d ikke kjent, og i stedet gis ett element til i progresjonen.

Et eksempel på denne typen problemer er følgende: finn det første tallet i en sekvens som er kjent for å være en aritmetisk progresjon og hvis 15. og 23. element er henholdsvis 7 og 12.

Det er nødvendig å løse dette problemet ved å skrive et uttrykk for det n-te leddet for hvert element kjent fra betingelsen, vi har: a 15 = d*(15-1)+a 1 og a 23 = d*(23- 1)+a 1 . Som du kan se, har vi mottatt to lineære ligninger som må løses med hensyn til a 1 og d. La oss gjøre dette: trekke den første ligningen fra den andre ligningen, så får vi følgende uttrykk: a 23 -a 15 \u003d 22 * ​​​​d - 14 * d \u003d 8 * d. Ved å utlede den siste ligningen har verdiene til en 1 blitt utelatt fordi de kansellerer når de trekkes fra. Ved å erstatte de kjente dataene finner vi forskjellen: d \u003d (a 23 -a 15) / 8 \u003d (12-7) / 8 \u003d 0,625.

Verdien av d må erstattes i en hvilken som helst formel for et kjent element for å få det første medlemmet av sekvensen: a 15 = 14*d+a 1, hvorfra: a 1 = a 15 -14*d = 7- 14*0,625 = -1,75.

La oss sjekke resultatet, for dette finner vi et 1 til det andre uttrykket: a 23 \u003d d * 22 + a 1 eller en 1 \u003d a 23 -d * 22 \u003d 12 - 0,625 * 22 \u003d -1,75.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 5: finn summen av n elementer

Som du kan se, ble det til dette tidspunktet bare brukt én aritmetisk progresjonsformel (grad 9) for løsningen. Nå gir vi et problem for løsningene som vi trenger å vite den andre formelen av, det vil si for summen S n .

Gitt følgende ordnede serie med tall -1.1, -2.1, -3.1,..., må du beregne summen av de første 11 elementene.

Det kan sees fra denne serien at den synker, og en 1 \u003d -1.1. Forskjellen er: d = -2,1 - (-1,1) = -1. La oss nå definere det 11. leddet: a 11 \u003d 10 * d + a 1 \u003d -10 + (-1.1) \u003d -11.1. Etter å ha fullført de forberedende beregningene, kan du bruke formelen ovenfor for summen, vi har: S 11 \u003d 11 * (-1,1 + (-11,1)) / 2 \u003d -67,1. Siden alle leddene var negative tall, har summen deres også tilsvarende fortegn.

Et eksempel på å løse oppgave nr. 6: finn summen av elementene fra n til m

Kanskje er denne typen problemer det vanskeligste for de fleste elever. La oss gi et typisk eksempel: gitt en serie med tall 2, 4, 6, 8 ..., må du finne summen fra 7. til 13. ledd.

Formler aritmetisk progresjon(Klasse 9) brukes nøyaktig likt som i alle oppgaver tidligere. Denne oppgaven anbefales å løses i etapper:

1. Finn først summen av 13 ledd ved å bruke standardformelen.
2. Regn deretter ut denne summen for de første 6 elementene.
3. Trekk deretter 2. fra 1. sum.

La oss komme til løsningen. Som i forrige tilfelle vil vi utføre forberedende beregninger: a 6 = 5*d+a 1 = 10+2 = 12, a 13 = 12*d+a 1 = 24+2 = 26.

La oss regne ut to summer: S 13 = 13*(2+26)/2 = 182, S 6 = 6*(2+12)/2 = 42. Vi tar differansen og får ønsket svar: S 7-13 = S 13 - S 6 = 182-42 = 140. Merk at når denne verdien ble oppnådd, var det summen av 6 elementer av progresjonen som ble brukt som subtrahert, siden det 7. elementet er inkludert i summen S 7-13 .

Emne: Aritmetiske og geometriske progresjoner

Klasse: 9

Treningssystem: materiale for å forberede studiet av et emne i algebra og det forberedende stadiet for å bestå OGE-eksamenen

Mål: dannelse av begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon

Oppgaver: lære å skille mellom typer progresjon, lære riktig, bruke formler

Aritmetisk progresjon navngi en tallsekvens (medlemmer av en progresjon)

der hvert påfølgende ledd skiller seg fra det forrige med et stålledd, som også kalles en trinn- eller progresjonsforskjell.

Ved å angi trinnet i progresjonen og dets første ledd, kan du finne alle elementene ved å bruke formelen

1) Hvert medlem av den aritmetiske progresjonen, fra det andre tallet, er det aritmetiske gjennomsnittet av forrige og neste medlem av progresjonen

Det motsatte er også sant. Hvis det aritmetiske gjennomsnittet av tilstøtende oddelige (partall) medlemmer av progresjonen er lik elementet som står mellom dem, er denne tallrekkefølgen en aritmetisk progresjon. Med denne påstanden er det veldig enkelt å kontrollere hvilken som helst sekvens.

Også ved egenskapen til aritmetisk progresjon, kan formelen ovenfor generaliseres til følgende

Dette er lett å verifisere hvis vi skriver vilkårene til høyre for likhetstegnet

Det brukes ofte i praksis for å forenkle beregninger i oppgaver.

2) Summen av de første n leddene i en aritmetisk progresjon beregnes ved hjelp av formelen

Husk godt formelen for summen av en aritmetisk progresjon, den er uunnværlig i beregninger og er ganske vanlig i enkle livssituasjoner.

3) Hvis du ikke trenger å finne hele summen, men en del av sekvensen som starter fra dets k-te medlem, vil følgende sumformel være nyttig for deg

4) Av praktisk interesse er å finne summen av n medlemmer av en aritmetisk progresjon fra det k-te tallet. For å gjøre dette, bruk formelen

Finn det førtiende leddet i den aritmetiske progresjonen 4;7;...

Løsning:

I følge tilstanden har vi

Definer progresjonstrinnet

I følge den velkjente formelen finner vi det førtiende leddet i progresjonen

Den aritmetiske progresjonen er gitt av dens tredje og syvende medlem. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

Vi skriver de gitte elementene i progresjonen i henhold til formlene

En aritmetisk progresjon er gitt av nevneren og en av dens medlemmer. Finn det første leddet i progresjonen, summen av dets 50 ledd fra 50 og summen av de første 100 .

Løsning:

La oss skrive formelen for det hundrede elementet i progresjonen

og finn den første

Basert på den første finner vi 50. ledd i progresjonen

Finne summen av delen av progresjonen

og summen av de første 100

Summen av progresjonen er 250. Finn antall medlemmer av den aritmetiske progresjonen hvis:

a3-a1=8, a2+a4=14, Sn=111.

Løsning:

Vi skriver likningene i form av det første leddet og trinnet i progresjonen og definerer dem

Vi erstatter de oppnådde verdiene i sumformelen for å bestemme antall ledd i summen

Å gjøre forenklinger

og løse andregradsligningen

Av de to verdiene som er funnet, er bare tallet 8 egnet for tilstanden til problemet. Dermed er summen av de første åtte leddene i progresjonen 111.

løse ligningen

1+3+5+...+x=307.

Løsning:

Denne ligningen er summen av en aritmetisk progresjon. Vi skriver ut det første leddet og finner forskjellen på progresjonen

Vi erstatter de funnet verdiene i formelen for summen av progresjonen for å finne antall ledd

Som i forrige oppgave utfører vi forenklinger og løser andregradsligningen

Velg den mer logiske av de to verdiene. Vi har at summen av 18 medlemmer av progresjonen med gitte verdier a1=1, d=2 er lik Sn=307.

Eksempler på problemløsning: Aritmetisk progresjon

Oppgave 1

Elevlaget inngikk kontrakt om å legge keramiske fliser på gulvet i hallen til ungdomsklubben med et areal på 288m2. Elevene fikk erfaring hver neste dag, fra den andre, la ut 2 m2 mer enn den forrige, og de hadde nok fliser til nøyaktig 11 dagers arbeid. Arbeidslederen planla at produktiviteten skulle øke på samme måte, og bestemte at det ville ta ytterligere 5 dager å fullføre jobben. Hvor mange bokser med fliser trenger han å bestille hvis 1 boks er nok til 1,2 m2 gulv, og 3 bokser er nødvendig for å erstatte fliser av lav kvalitet?

Løsning

Ved tilstanden til problemet er det klart at vi snakker om en aritmetisk progresjon der la

a1=x, Sn=288, n=16

Da bruker vi formelen: Sn= (2а1+d(n-1))*n/0,86=200mm Hg. Kunst.

288=(2x+2*15)*16/2

Regn ut hvor mye m2 elevene skal legge ut på 11 dager: S11=(2*3+2*10)*11,2=143m 2

288-143=145m2 igjen etter 11 dagers arbeid, d.v.s. i 5 dager

145/1,2=121(ca) esker må bestilles i 5 dager.

121+3=124 esker må bestilles med mangler

Svar: 124 bokser

Oppgave 2

Etter hver bevegelse av fortynningspumpestemplet fjernes 20 % av luften i det fra karet. La oss bestemme lufttrykket inne i fartøyet etter seks stempelbevegelser, hvis starttrykket var 760 mm Hg. Kunst.

Løsning

Siden 20 % av den tilgjengelige luften fjernes fra fartøyet etter hver bevegelse av stempelet, gjenstår 80 % av luften. For å finne ut lufttrykket i fartøyet etter neste stempelbevegelse, må du øke trykket fra forrige stempelbevegelse med 0,8.

Vi har en geometrisk progresjon hvis første ledd er 760 og hvis nevner er 0,8. Tallet som uttrykker lufttrykket i karet (i mm Hg) etter seks slag med stempelet er det syvende elementet i denne progresjonen. Det er lik 760*0,86=200mm Hg. Kunst.

Svar: 200 mmHg

Gitt aritmetisk progresjon, der femte og tiende ledd er lik henholdsvis 38 og 23. Finn det femtende leddet i progresjonen og summen av dets ti første ledd.

Løsning:

Finn tallet på leddet i den aritmetiske progresjonen 5,14,23,..., hvis dets -te ledd er lik 239.

Løsning:

Finne antall ledd i en aritmetisk progresjon er 9,12,15,..., hvis summen er 306.

Løsning:

Finn x-en som tallene x-1, 2x-1, x2-5 danner en aritmetisk progresjon for

Løsning:

Finn forskjellen mellom 1 og 2 medlemmer av progresjonen:

d=(2x-1)-(x-1)=x

Finn forskjellen mellom 2 og 3 medlemmer av progresjonen:

d=(x2-5)-(2x-1)=x2-2x-4

Fordi forskjellen er den samme, da kan vilkårene for progresjonen likestilles:

Ved avkrysning i begge tilfeller oppnås en aritmetisk progresjon

Svar: ved x=-1 og x=4

Den aritmetiske progresjonen er gitt av dens tredje og syvende medlem a3=5; a7=13. Finn det første leddet i progresjonen og summen av ti.

Løsning:

Vi trekker den første likningen fra den andre likningen, som et resultat finner vi progresjonstrinnet

a1+6d-(a1+2d)=4d=13-5=8, så d=2

Den funnet verdien erstattes i en av ligningene for å finne det første leddet i den aritmetiske progresjonen

Regn ut summen av de ti første leddene i progresjonen

S10=(2*1+(10-1)*2)*10/2=100

Svar: a1=1; S10=100

I en aritmetisk progresjon hvis første ledd er -3,4 og forskjellen er 3, finn femte og ellevte ledd.

Så vi vet at a1 = -3,4; d = 3. Finn: a5, a11-.

Løsning. For å finne det n-te medlemmet av den aritmetiske progresjonen bruker vi formelen: an = a1+ (n – 1)d. Vi har:

a5 \u003d a1 + (5 - 1) d \u003d -3,4 + 4 3 \u003d 8,6;

a11 \u003d a1 + (11 - 1) d \u003d -3.4 + 10 3 \u003d 26.6.

Som du kan se, i dette tilfellet er ikke løsningen vanskelig.

Det tolvte leddet i den aritmetiske progresjonen er 74, og forskjellen er -4. Finn det trettifjerde leddet i denne progresjonen.

Vi blir fortalt at a12 = 74; d = -4, og du må finne a34-.

I denne oppgaven er det ikke mulig å umiddelbart bruke formelen an = a1 + (n – 1)d, fordi det første leddet a1 er ikke kjent. Dette problemet kan løses i flere trinn.

1. Ved å bruke begrepet a12 og formelen til n-te ledd, finner vi a1:

a12 = a1 + (12 – 1)d, forenkle nå og erstatte d: a12 = a1 + 11 (-4). Fra denne ligningen finner vi a1: a1 = a12 - (-44);

Vi kjenner det tolvte leddet fra oppgavens tilstand, så vi regner ut a1 uten problemer

a1 = 74 + 44 = 118. La oss gå videre til det andre trinnet - beregne a34.

2. Igjen, i henhold til formelen an = a1 + (n - 1)d, siden a1 allerede er kjent, vil vi bestemme a34-,

a34 = a1 + (34 - 1)d = 118 + 33 (-4) = 118 - 132 = -14.

Svar: Det trettifjerde leddet i en aritmetisk progresjon er -14.

Som du kan se, er løsningen i det andre eksemplet mer komplisert. Den samme formelen brukes to ganger for å få svaret. Men alt er så komplisert. Løsningen kan forkortes ved å bruke tilleggsformler.

Som allerede nevnt, hvis a1 er kjent i oppgaven, er det veldig praktisk å bruke formelen for å bestemme det n-te medlemmet av en aritmetisk progresjon. Men hvis ikke det første leddet er spesifisert i betingelsen, kan en formel komme til unnsetning som forbinder det n-te leddet vi trenger og begrepet ak spesifisert i oppgaven.

an = ak + (n – k)d.

La oss løse det andre eksemplet, men ved å bruke den nye formelen.

Gitt: a12 = 74; d=-4. Finn: a34-.

Vi bruker formelen an = ak + (n – k)d. I vårt tilfelle vil det være:

a34 = a12 + (34 - 12) (-4) = 74 + 22 (-4) = 74 - 88 = -14.

Svaret i problemet ble oppnådd mye raskere, fordi det ikke var nødvendig å utføre ytterligere handlinger og se etter det første medlemmet av progresjonen.

Ved å bruke formlene ovenfor kan du løse problemer for å beregne forskjellen til en aritmetisk progresjon. Så ved å bruke formelen an = a1 + (n - 1)d, kan vi uttrykke d:

d = (an - al) / (n - 1). Imidlertid er problemer med et gitt første ledd ikke så vanlige, og de kan løses ved å bruke vår formel an = ak + (n – k)d, hvorfra det kan ses at d = (an – ak) / (n – k). La oss vurdere en slik oppgave.

Finn forskjellen på den aritmetiske progresjonen hvis det er kjent at a3 = 36; a8 = 106.

Ved å bruke formelen vi fikk, kan løsningen av problemet skrives på en linje:

d = (a8 - a3) / (8 - 3) = (106 - 36) / 5 = 14.

Hvis denne formelen ikke var i arsenalet, ville løsningen av problemet ta mye mer tid, fordi må løse et system med to ligninger.

geometriske progresjoner

1. Formel for th medlem (generelt medlem av progresjonen).
2. Formelen for summen av de første medlemmene av progresjonen:. Når det er vanlig å snakke om en konvergent geometrisk progresjon; i dette tilfellet kan du beregne summen av hele progresjonen ved å bruke formelen .
3. Formelen for "geometrisk middelverdi": hvis , , er tre påfølgende ledd av en geometrisk progresjon, så har vi i kraft av definisjonen forholdet: eller eller .

Hensikten med spillet :

1. Generalisering og systematisering av elevenes kunnskap om dette temaet.
2. Gjøre elevene kjent med historisk materiale.

Utstyr: plakat for spillet "Progressio - fremover."

Alle elevene er delt inn i fem grupper + vismennenes råd

Det tjuende århundre er over.
Hvor går personen?
Rom og hav utforsket
Strukturen til stjernene og hele jorden.
Men matematikere ringer
Kjent slagord:
"Progressio - fremover."

I dag skal vi ha råd i klassen – Vismennenes råd. Vise menn er elever som sitter i grupper i en klasse. Og de vise menn som sitter ved dette bordet.

Kjenner du dem igjen?

Sitter ved bordet: Archimedes, Gauss, Magnitsky.

Hvem fant formelen for summen av kvadrater?
Og den rette veien til fremgang kom?
Matematiker og fysiker. Jeg er Archimedes.
Det er mange legender om livet mitt.

O! Jeg er Carl Gauss! Jeg fant umiddelbart summen av alle naturlige tall fra 1 til 100, som en barneskoleelev.

Magnitsky. Lord! Jeg har æren av å presentere meg selv. Jeg er Leonty Filippovich Magnitsky, skaperen av den første læreboken "Aritmetikk".

Lærer. Fortell meg, folkens, hvorfor er disse forskerne plutselig samlet ved samme bord? Hvilket matematisk spørsmål forener dem? Hvis du ikke har funnet ut av det, så se nøye på scenen.

gammel indisk legende

En hinduisk konge dukker opp i klasserommet sammen med en tjener.

Tsar. Jeg, hindukongen Sheram, har lært meg sjakk og beundrer dets vidd og variasjon av posisjoner. Tjener, la oss kalle oppfinneren Setu. Jeg vil belønne deg tilstrekkelig, Seth, for det fantastiske spillet du kom opp med. Nevn en belønning som vil tilfredsstille deg, og du vil motta den.

Seth. Lord. Beordre meg til å gi meg ett hvetekorn til den første cellen på sjakkbrettet

Tsar. Et enkelt hvetekorn?

Seth. Ja, herre For den andre cellen, beordre å gi ut 2 korn, for den tredje - 4, for den fjerde - 8, for den femte - 16, og så videre til den 64. cellen.

Kong Sheram lo.

Lærer. O vismenn av niende klasse, la oss rådføre deg. Skulle kongen le?

Rekord på brettet: 1,2,4,8,16, ... .. S 64 -?

Elevene bestemmer. b 1 = 1, q = 2, n = 64, S 64 = 2 64 - 1.

Lærer. Hvor stort er dette tallet? Hvem kan forklare det?

Arkimedes. Den klokeste! Hvis kongen kunne så hvete på hele jordens overflate, telle havene, og havene, og fjellene, og ørkenen, og Arktis og Antarktis, og få en tilfredsstillende høst, så kunne han kanskje betale om fem år av.

Gauss. Matematikk er en eksakt vitenskap. ( Skriver på tavlen 18 446 744 073 709 551 615). 18 kvintillioner 446 kvadrillioner 744 trillioner 73 milliarder 709 millioner 551 tusen 615.

Magnitsky. Herre vise menn i 9. klasse! Mine samtidige vil si at S 64 18,5 10 18 . Riktignok innrømmer jeg for deg at i læreboken min "Aritmetikk", utgitt for 200 år siden, hvor barn studerte i et halvt århundre, er det mange problemer om emnet "Progresjoner", men jeg løste selv noen av dem med store vanskeligheter, siden jeg ennå ikke har funnet alle formlene for mengdene som er inkludert i dem.

Under knirking av en penn på et ark.
Fyll ut disse arkene!
Måtte våre bestrebelser hjelpe deg!

Blanke ark deles ut for å teste kunnskap om teorien, det vil si at det grunnleggende abstraktet om emnet "Progresjoner" gjenopprettes.

Elevene fyller ut tabellen. Følgende tabell vises på tavlen:

	progresjoner	Aritmetikk a n	Geometrisk b n
	Definisjon		b n+1 =b n q (q0,q1)
	Formel for n første ledd	a n \u003d a 1 + (n-1) d
	Summen av de første n leddene i progresjonen	S n =	S n = Og søket etter dem ble satt pris på av oss. Ordene må nå kombineres, I hvilken setning kan de kombineres? "Matematikk er dronningen av vitenskaper, aritmetikk er dronningen av matematikk" O vismenn i tiden! Du kan ikke finne venner. Rådet avsluttet i dag Men alle burde vite: Kunnskap, utholdenhet, hardt arbeid Led til fremgang i livet!

Sammendrag av leksjonen i algebra i klasse 9

Leksjonsemne: Definisjon av aritmetisk og geometrisk progresjon.

Formel for n'te medlem av aritmetikken og geometrien

progresjoner.

Leksjonstype : leksjonslæring nytt materiale

Hensikten med leksjonen:

Dannelse av begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon, som typer numeriske sekvenser; avledning av formelen til det n-te medlemmet av den aritmetiske og geometriske sekvensen.

Bekjentskap med den karakteristiske egenskapen til medlemmene i en aritmetisk og geometrisk progresjon.

Dannelse av elevenes ferdigheter til å bruke tilegnet kunnskap i problemløsning.

Leksjonens mål:

Pedagogisk: introduser begrepene aritmetisk og geometrisk progresjon; formler for det n'te medlem; karakteristisk egenskap som medlemmer av en aritmetisk og geometrisk progresjon har.

Utvikle: å øke den bevisste assimileringen av materialet gjennom opposisjon; utvikle evnen til å sammenligne matematiske begreper, finne likheter og forskjeller, se mønstre, resonnere ved analogi, utvikle hukommelse og logisk tenkning.

Pedagogisk: legge forholdene til rette for utvikling av kognitiv interesse for faget.

Timeplan:

1. Organisering av begynnelsen av leksjonen, sette mål og mål for leksjonen.

2. Motivasjon for å studere emnet ("The Legend of the Chessboard")

3. Lære nytt stoff

4. Primær feste

5. Oppsummering av leksjonen

6. Lekser

I løpet av timene

1. Organisering av begynnelsen av timen.

Nevn emnet for leksjonen, formålet med leksjonen, oppgavene.

2. Motivasjon til å studere temaet.

"Legenden om sjakkbrettet".

Sjakk er et av de eldste spillene. Det har eksistert i mange århundrer, og det er ikke overraskende at legender er knyttet til det, hvis sannhet ikke kan verifiseres på grunn av tidsforskriften. Jeg vil fortelle en av disse legendene. For å forstå det trenger man ikke vite hvordan man spiller sjakk i det hele tatt - det er nok å vite at spillet foregår på et brett delt inn i 64 celler (vekselvis svart og hvitt).

Sjakkspillet ble oppfunnet i India, og da den indiske kongen Sheram møtte henne, var han henrykt over hennes vidd og mangfoldet av mulige posisjoner i det. Etter å ha fått vite at spillet ble oppfunnet av en av hans undersåtter, beordret kongen å ringe ham for å personlig belønne ham for en vellykket oppfinnelse.

Oppfinneren - han het Seta - dukket opp ved herskerens trone. Han var en beskjedent kledd vitenskapsmann som fikk sitt levebrød fra studentene sine.

Jeg vil belønne deg tilstrekkelig, Seth, for det fantastiske spillet du kom opp med, sa kongen.

Vismannen bukket.

Jeg er rik nok til å oppfylle ditt mest dristige ønske, - fortsatte kongen.- Nevn belønningen som vil tilfredsstille deg, og du vil få den.

Seth var stille.

Ikke vær sjenert, - oppmuntret kongen ham. - Uttrykk ønsket ditt. Jeg sparer ingenting for å oppfylle det!

Stor er din godhet, min herre. Men gi meg tid til å tenke over svaret. I morgen, etter moden refleksjon, vil jeg kommunisere forespørselen min til deg.

Da Seta neste dag igjen dukket opp ved trontrappen, overrasket han kongen med den enestående beskjedenhet i forespørselen hans.

Herre, - sa Seth, - beordre meg å gi meg ett hvetekorn til den første cellen på sjakkbrettet.

Et enkelt hvetekorn? - Kongen ble overrasket.

Ja mester. For den andre cellen, beordre å gi ut to korn, for den tredje - fire, for den fjerde - 8, for den femte - 16, for den sjette - 32 ...

Nok! - Kongen avbrøt ham med irritasjon - Du vil motta kornene dine for alle 64 cellene på brettet, etter ditt ønske: for hver dobbelt så mye som den forrige. Men vit at forespørselen din ikke er min generøsitet verdig. Ved å be om en så ubetydelig belønning, ser du respektløst bort fra min nåde. Som lærer kan du virkelig vise det beste eksempelet på respekt for godheten til din suveren. Gå! Mine tjenere skal bringe deg en sekk hvete.

Seta smilte, forlot salen og ventet ved portene til palasset.

Ved middagen husket kongen sjakkens oppfinner og sendte for å finne ut om den hensynsløse Seth allerede hadde tatt fra seg hans elendige belønning.

Herre, - var svaret, - din ordre blir oppfylt. Rettsmatematikere beregner antall korn som skal følges.

Kongen rynket pannen – han var ikke vant til at ordrene hans ble utført så sakte.

Om kvelden, da han la seg, spurte kong Sheram nok en gang om Seta hadde forlatt palassgjerdet med hvetesekken sin.

Herre, - svarte de ham, - matematikerne dine jobber utrettelig og håper å fullføre tellingen før daggry.

Hvorfor utsetter de dette? - utbrøt kongen sint.- I morgen, før jeg våkner, må alt til siste korn gis til Seth. Jeg bestiller ikke to ganger!

Om morgenen fikk kongen beskjed om at formannen for hoffmatematikerne ba om å få høre på en viktig rapport. Kongen beordret å bringe ham inn.

Før du snakker om saken din," kunngjorde Sheram, "vil jeg høre om Seta endelig har mottatt den ubetydelige belønningen han tildelte seg selv.

Av denne grunn våget jeg å dukke opp for deg på en så tidlig "time," svarte den gamle mannen. "Vi telte samvittighetsfullt hele antallet korn som Seth ønsker å motta. Antallet er så stort ...

Uansett hvor flott det er, - avbrøt kongen arrogant, - mine kornmagasiner blir ikke knappe! En belønning har blitt lovet og må gis...

Det er ikke i din makt, herre, å oppfylle slike ønsker. I alle låvene dine er det ikke så mange korn som Seth forlangte. Det er heller ikke i hele rikets kornmagasiner. Det er ikke et slikt antall korn i hele jordens rom. Og hvis du vil gi den lovede belønningen uten å svikte, så beordre å gjøre de jordiske kongedømmene om til dyrkbare åkre, beordre å tørke opp hav og hav, beordre å smelte isen og snøen som dekker de fjerne nordlige ødemarkene. La hele plassen deres være fullstendig sådd med hvete. Og alt som er født i disse feltene, beordre å gi til Seth. Da vil han få sin belønning.

Med forundring lyttet kongen til den eldstes ord.

Gi meg det monstrøse tallet, sa han ettertenksomt.

Atten kvintillioner fire hundre og førtiseks kvadrillioner syv hundre og førti-fire billioner sytti-tre milliarder syv hundre ni millioner fem hundre og femti-en tusen seks hundre og femten, O Herre! (18 446 744 073 709 551 615)

Slik er legenden. Hvorvidt det som her fortelles virkelig skjedde vites ikke, men at belønningen tradisjonen taler om må ha vært uttrykt i nettopp et slikt tall.

Hvis du ønsker å forestille deg hele omfanget av denne numeriske giganten, anslå hvilken størrelse låve vil være nødvendig for å romme et slikt antall korn. Det er kjent at en kubikkmeter hvete inneholder omtrent 15 millioner korn. Dette betyr at belønningen for en sjakkoppfinner burde ha tatt opp ca

12 000 000 000 000 kubikkmeter m, eller 12.000 kubikkmeter. km. Med en låvehøyde på 4 m og en bredde på 10 m, ville lengden måtte strekke seg over 300 000 000 km, det vil si dobbelt så langt som fra jorden til solen!

Selvfølgelig var den indiske kongen ikke i stand til å utstede en slik pris.

3. Presentasjon av nytt stoff.

Del ut ark til hver elev hvor det teoretiske materialet er presentert i form av en tabell som viser forskjellene i definisjonene av aritmetiske og geometriske progresjoner, deres karakteristiske egenskaper, formler for å finne det n-te leddet, formler for å finne summen av n-første ledd og for en geometrisk progresjon er formelen for summen uendelig avtagende geometrisk progresjon.

Aritmetisk progresjon(a/p)	Geometrisk progresjon(g/n)
Def. En aritmetisk progresjon er en sekvens av tall, hvor hvert ledd, fra den andre, er lik den forrige, lagt til med samme tall. For eksempel: -6; -fire; -2; 0; 2; fire;... 6; = -4; = -2; =0; = 2…	Def. En geometrisk progresjon er en sekvens av tall som ikke er null, hvor hvert ledd, fra det andre, er lik den forrige, multiplisert med det samme tallet som ikke er lik null. For eksempel: 5; femten; 45; 135, ... 5; =15; =45; =135; …
d = 2 – forskjell a/n d = -; d=-	q = 3 - nevner g/n q = ; Q=
Formel for n'te medlem av a / s D = + 2d; D = + 3d; = + 4d;	Formel for det n-te medlemmet av g / p Q = ; Q = ;
Formelen for mellomleddet a / p

ARITMETISKE OG GEOMETRISKE PROGRESJONER.

Leksjon i 9. klasse.

Matematikklærer - Prikhodko Galina Vladimirovna

Leksjonens mål:

Pedagogisk: forbedre ferdighetene i å bruke formler for aritmetiske og geometriske progresjoner for å løse problemer med anvendt innhold, vise bruken av progresjonsformler for problemer i fysikk, biologi, økonomi, teste assimilering av kunnskap ved å utføre selvstendig arbeid i en testform.

Pedagogisk: å dyrke ansvarsfølelse, gjensidig respekt, evnen til å arbeide i grupper.

Utvikle: å utvikle interesse for faget, behovet for å tilegne seg ny kunnskap.

Leksjonstype: rundt bord.

I løpet av timene:

1.) Organisatorisk øyeblikk. Studentene dannet grupper: Institutt for teori, Institutt for historie, biologi, fysikk, økonomi.

2.) Undersøkelse. Institutt for teori.

Avhørsplan: Definisjon, egenskaper, formel for n'te medlem, sumformel.

Aritmetisk progresjon. Geometrisk progresjon.

1. 1.

2.
2.

3.
3.

4.
4.

5.
5.

3.) Institutt for historie.

Navnene på følgende matematikere er assosiert med begrepet sekvenser. Medlemmene av sekvensen 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,... kalles Fibonacci-tall. Dette forklares med det faktum at den italienske matematikeren og kjøpmannen Leonardo av Pisa (Fibonacci) var den første som etablerte en sammenheng mellom denne sekvensen og det velkjente problemet med reproduksjon av kaniner. I denne oppgaven undersøkes antall avkom til ett par kaniner, som månedlig bringer et par kaniner, og de i løpet av en måned begynner også å produsere avkom.

Siden Fibonacci oppdaget sekvensen hans, er det funnet naturfenomener der denne sekvensen spiller en viktig rolle. En av dem er phyllotaxis (bladarrangement) - regelen som for eksempel frø er plassert i en solsikkeblomsterstand. Frøene er ordnet i to rader med spiraler, hvorav den ene går med klokken, den andre mot. Og antall frø i hvert tilfelle er 34 og 55, men det er også kjemper med 89 og 144 frø. En lignende egenskap kan finnes i strukturen til kongler. Det samme er observert på fruktene av ananas.

Den fremragende tyske matematikeren K. Gauss fant summen av en aritmetisk progresjon

1, 2, 3, …, 98,99,100 i en alder av 5.

Med geometrisk sekvens 1, 2,
knyttet til en gammel legende. Den indiske vismannen, som oppfant sjakkspillet, ba Rajaen om oppfinnelsen hans, ved første øyekast, en beskjeden belønning: for den første cellen på sjakkbrettet 1 hvetekorn, for den andre - 2, for den tredje - 4, osv. - for hver neste celle to ganger mer enn den forrige. Det totale antallet korn som oppfinneren ba om er

Den velstående rajah ble sjokkert da han fikk vite at han ikke var i stand til å tilfredsstille vismannens "ydmyke ønske". Verdien av dette uttrykket er 18 446 744 073 709 551 615, dvs. 18 kvintillioner 446 kvadrillioner 744 trillioner 73 milliarder 709 millioner 551 tusen 615.

For å innse hvor stort dette antallet er, forestill deg at kornet er lagret i en låve med et areal på 12 hektar. Høyden vil være større enn avstanden fra jorden til solen.

4.) Biologisk institutt.

Også i biologien er det fenomener som kan karakteriseres ved hjelp av progresjoner. Spesielt reproduksjon av levende organismer. Å kjenne til slike egenskaper ved en organisme som reproduksjonsfrekvensen og antall avkom, er det mulig å forutsi antallet av en populasjon over en viss tidsperiode ved å bruke progresjoner. En slik prosess vurderes i neste oppgave.

EN OPPGAVE.

Bakterien, etter å ha kommet inn i kroppen, deler seg i to ved slutten av 20 minutter, som hver deler seg i to igjen ved slutten av 20 minutter, og så videre. Hvor mange bakterier vil være i kroppen i løpet av en dag?

Løsning:

Antall bakterier øker med 2 ganger hvert 20. minutt, så vi har:

1,2,4,8, ... en geometrisk progresjon der

i henhold til formelen
finne

bakterie.

Svar:
bakterie.

5.) Fysisk institutt.

Det er kjent fra astronomihistorien at I. Titius, en tysk astronom XVIII århundre, ved hjelp av en serie med Fibonacci-tall fant et mønster og rekkefølge i avstandene mellom planetene i solsystemet. En sak som imidlertid så ut til å være mot loven: det var ingen planet mellom Mars og Jupiter. Fokusert observasjon av dette området av himmelen førte til oppdagelsen av asteroidebeltet, dette skjedde etter Titius død på begynnelsen av 1800-tallet.

Progresjoner uttrykker lovene til noen fysiske fenomener. For eksempel skjer støt-ionisering i henhold til loven om geometrisk progresjon. Ved slagionisering slår et positivt ion, som når overflaten av en negativ elektrode, ut et elektron. Dette elektronet, som har stor energi, slår ut et elektron fra det ytre skallet av atomet som det møter på sin vei. De 2 elektronene som allerede er dannet slår ut 2 til, de 4 fikk 4 til osv. Det dannes et elektronskred som vokser eksponentielt.

I fysikk er det konseptet med jevnt akselerert bevegelse. Hvis en kropp beveger seg med jevn akselerasjon, øker avstanden den reiser i hver påfølgende tidsenhet med samme mengde. De. segmentene av banen som kroppen passerer i 1,2,3,4, ... tidsenheter danner en aritmetisk progresjon.

EN OPPGAVE.

En ball som ruller i en renne går 0,6 m i det første sekundet, og 0,6 m mer i hvert påfølgende sekund. Hvor lang tid vil det ta ham å gå 6m?

Løsning:
m,
m,
m.

5 tilfredsstiller ikke problemets tilstand

Ballen går 6 meter på 4 sekunder.

Svar: 4 sek.

6.) Institutt for økonomi.

Den første banken ble grunnlagt i Venezia i 1171. Siden den gang har banksystemet utviklet seg og blitt bedre.

Ved å plassere et kontantinnskudd i en bank, mottar innskyteren en viss prosentandel for bruk av midlene sine.

EN OPPGAVE.

Banken betaler 2 % per år. Hva blir beløpet på bidraget på 800 r ved slutten av hvert år? For det første eller det andre året er veksten av innskuddet mer? Hva blir bidraget etter 3 år?

Løsning:

La A er det første innskuddet, som utgjør p % per år, deretter A
- innskuddsvekst, på et år har vi

hvor
- har blitt en konstant verdi for ethvert beløp. Etter 2 år har vi:

de. veksten av bidraget øker i henhold til loven om geometrisk progresjon.

Hvis innskyteren legger 800 rubler i banken, til 2% per år, dannes økningen

800 0,02 = 16 p

For det første året er innskuddsbeløpet 800 + 16 = 816 rubler

For det andre året 816 (1 + 0,02)² = 832,32 rubler

For hvert år øker startbidraget med 2%, så etter 3 år er det lik

800 (1,02)³ \u003d 800 1,06 \u003d 848 (p)

Svar: 848r.

EN OPPGAVE.

Arbeiderne fikk i oppgave å grave en brønn. For den første meteren som er gravd ned i brønnens dyp, betales de 50 rubler, og for hver neste meter betales de 20 rubler mer enn for den forrige. Hvor mye penger (i rubler) vil arbeidere få betalt for å grave en 12 meter dyp brønn?

Løsning:

Fra tilstanden til oppgaven har vi en aritmetisk progresjon

trenger å finne

Svar: 1920

7) Løsning av testoppgaver.

1 alternativ.

1. Finn forskjellen på en aritmetisk progresjon if

A) 0,9; B) -0,9; AT 9; D) -9.

2. Hva er summen av de fire første leddene i en geometrisk progresjon, hvorav det første leddet

og nevneren

A) 70; B) 85; B) 80; D) 75.

3. Hva er summen av de seks første leddene i en aritmetisk progresjon hvis

A) 85; B) 95; B) 105; D) 115.

4. Blant disse sekvensene, angi en aritmetisk progresjon.

A) 5;8;13;18; C) 0,1, 0,2, 0,3, 0,4;

B) 45;40;33;27; D) 7;9;12;14.

5. Fra rekkefølgen av tall -9, -8, -6,4,5,6 ble to tall valgt og produktet deres ble funnet. Hva er den minste verdien dette produktet kan ta?

A) -40; B) -54; B) -72; D) -36.

6. Angi en geometrisk progresjon blant disse sekvensene.

A) 6;18;54;162; B)1;2;3;5; C)3;8;13;18; D) 21;19;17;15.

7. Hva er det tredje leddet i en geometrisk progresjon, hvorav det første leddet
og nevneren

A) 15; B) 45; B) 135; D) 75.

8. Finn nevneren for en geometrisk progresjon if

MEN)
B) PÅ)
G)

9. Finn det sjuende leddet i en aritmetisk progresjon hvis første ledd er 8 og forskjellen er 0,5.

A) 11; B) 10; C) 10,5; D) 9,5.

10. Finn det første leddet i en aritmetisk progresjon hvis det andre leddet er 2,1 og forskjellen er 0,7.

A) 1,4; B) 2,8; C) 0,3; D) 14,7.

Alternativ 2.

1. Hvilken sekvens er en aritmetisk progresjon?

A) 1;2;4;8; B) 8;10;13;17; C) 2, 4, 6, 8; D) -8;8;-8;8. og nevneren

A) -2; B) -6; IN 2; D)6.

Institutt for biologi.

En oppgave. En bakterie, en gang i kroppen, deles i 2 ved slutten av 20 minutter, som hver igjen deles med 2 ved slutten av 20 minutter, osv. Hvor mange bakterier vil være i kroppen i løpet av en dag?

Institutt for fysikk.

En oppgave. En ball som ruller i en renne går 0,6 m i det første sekundet, og 0,6 m mer i hvert påfølgende sekund. Hvor lang tid vil det ta ham å gå 6 meter?

Institutt for økonomi.

En oppgave. Banken betaler 2 % per år. Hva vil være beløpet på innskuddet på 800 hryvnias ved slutten av hvert år? For det første eller det andre året er veksten av innskuddet mer? Hva blir bidraget etter 3 år?

Institutt for historie og teori.

En oppgave. Arbeiderne fikk i oppgave å grave en brønn. For den første meteren som er gravd ned i brønnens dybde, betales de 50 r, og for hver påfølgende meter betales de 20 r mer enn for den forrige. Hvor mye penger (i rubler) vil arbeidere bli betalt for å grave en brønn

12 m

Litteratur:

1. Åpne leksjoner. Matte. 5,6,7,9,11 celler Utgave 2. Forfattere-kompilatorer: Lyashova N.M. og andre. Volgograd: Lærer, 2007-84s.

2. Faguker på skolen. Matte. Satt sammen av: Goncharova L.V.

Volgograd: Lærer. 2007-133s.

3. Sukhareva L.S. Didaktiske spill i matematikktimer 7-9 celler. Kharkov: Osnova.2006-144s.