Alle irrasjonelle tall. Hva er rasjonelle og irrasjonelle tall

Et rasjonelt tall er et tall som kan representeres som en brøk, hvor . Q er mengden av alle rasjonelle tall.

Rasjonale tall er delt inn i: positive, negative og null.

Hvert rasjonelt tall kan knyttes til et enkelt punkt på koordinatlinjen. Forholdet "til venstre" for punkter tilsvarer forholdet "mindre enn" for koordinatene til disse punktene. Det kan sees at hvert negativt tall er mindre enn null og hvert positivt tall; av to negative tall, er den som har større modul mindre. Altså -5,3<-4.1, т.к. |5.3|>|4.1|.

Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en desimal periodisk brøk. For eksempel, .

Algoritmer for operasjoner på rasjonelle tall følger av tegnreglene for tilsvarende operasjoner på null og positive brøker. Q utfører annen divisjon enn divisjon med null.

Enhver lineær ligning, dvs. ligning av formen ax+b=0, hvor , er løsbar på mengden Q, men ikke noen andregradsligning av formen , er løselig i rasjonelle tall. Ikke hvert punkt på en koordinatlinje har et rasjonelt punkt. Selv på slutten av det 6. århundre f.Kr. n. e i Pythagoras-skolen ble det bevist at diagonalen til et kvadrat ikke er i samsvar med høyden, noe som er ensbetydende med utsagnet: "Ligningen har ingen rasjonelle røtter." Alt det ovennevnte førte til behovet for å utvide settet Q, konseptet med et irrasjonelt tall ble introdusert. Angi settet med irrasjonelle tall med bokstaven J .

På en koordinatlinje har alle punkter som ikke har rasjonelle koordinater irrasjonelle koordinater. , hvor r er sett med reelle tall. Desimalbrøker er en universell måte å spesifisere reelle tall på. Periodiske desimaler definerer rasjonelle tall, og ikke-periodiske desimaler definerer irrasjonelle tall. Så, 2,03 (52) er et rasjonelt tall, 2,03003000300003 ... (perioden for hvert påfølgende siffer "3" skrives en null til) er et irrasjonelt tall.

Settene Q og R har egenskapene til positivitet: mellom to rasjonelle tall er det et rasjonelt tall, for eksempel ecoi a

For hvert irrasjonelt tall α man kan spesifisere en rasjonell tilnærming både med en mangel og med et overskudd med en hvilken som helst nøyaktighet: a< α

Operasjonen med å trekke ut en rot fra noen rasjonelle tall fører til irrasjonelle tall. Å trekke ut roten til en naturlig grad er en algebraisk operasjon, dvs. dens introduksjon er forbundet med løsningen av en algebraisk ligning av formen . Hvis n er oddetall, dvs. n=2k+1, hvor , så har ligningen en enkelt rot. Hvis n er partall, n=2k, hvor , så for a=0 har ligningen en enkelt rot x=0, for en<0 корней нет, при a>0 har to røtter som er motsatte av hverandre. Å trekke ut en rot er den omvendte operasjonen av å heve til en naturlig kraft.

Den aritmetiske roten (for korthet, roten) av den n-te graden av et ikke-negativt tall a er et ikke-negativt tall b, som er roten av ligningen. Roten av n-te grad fra tallet a er angitt med symbolet. For n=2 er ikke graden av roten 2 angitt: .

For eksempel, fordi 22=4 og 2>0; , fordi 33=27 og 3>0; eksisterer ikke pga -fire<0.

For n=2k og a>0 skrives røttene til ligning (1) som og . For eksempel er røttene til ligningen x 2 \u003d 4 2 og -2.

For oddetall har ligning (1) en enkelt rot for enhver . Hvis a≥0, så - roten til denne ligningen. Hvis en<0, то –а>0 og - roten av ligningen. Så ligningen x 3 \u003d 27 har en rot.

Heltall

Definisjon av naturlige tall er positive heltall. Naturlige tall brukes til å telle objekter og til mange andre formål. Her er tallene:

Dette er en naturlig tallrekke.
Null er et naturlig tall? Nei, null er ikke et naturlig tall.
Hvor mange naturlige tall er det? Det er et uendelig sett med naturlige tall.
Hva er det minste naturlige tallet? Det ene er det minste naturlige tallet.
Hva er det største naturlige tallet? Det kan ikke spesifiseres, fordi det er et uendelig sett med naturlige tall.

Summen av naturlige tall er et naturlig tall. Så, tillegg av naturlige tall a og b:

Produktet av naturlige tall er et naturlig tall. Så, produktet av naturlige tall a og b:

c er alltid et naturlig tall.

Forskjellen på naturlige tall Det er ikke alltid et naturlig tall. Hvis minuenden er større enn subtrahenden, er forskjellen mellom naturlige tall et naturlig tall, ellers er det ikke det.

Kvotienten av naturlige tall Det er ikke alltid et naturlig tall. Hvis for naturlige tall a og b

der c er et naturlig tall, betyr det at a er jevnt delelig med b. I dette eksemplet er a utbyttet, b er divisor, c er kvotienten.

Divisoren til et naturlig tall er det naturlige tallet som det første tallet er jevnt delelig med.

Hvert naturlig tall er delelig med 1 og seg selv.

Enkle naturlige tall er bare delbare med 1 og seg selv. Her mener vi splittet helt. Eksempel, tall 2; 3; 5; 7 er bare delelig med 1 og seg selv. Dette er enkle naturlige tall.

Den ene regnes ikke som et primtall.

Tall som er større enn ett og som ikke er primtall kalles sammensatte tall. Eksempler på sammensatte tall:

Det ene regnes ikke som et sammensatt tall.

Settet med naturlige tall består av ett, primtall og sammensatte tall.

Settet med naturlige tall er merket med den latinske bokstaven N.

Egenskaper for addisjon og multiplikasjon av naturlige tall:

kommutativ egenskap for addisjon

assosiativ egenskap ved tillegg

(a + b) + c = a + (b + c);

kommutativ egenskap ved multiplikasjon

assosiativ egenskap ved multiplikasjon

(ab)c = a(bc);

fordelingsegenskapen til multiplikasjon

A (b + c) = ab + ac;

Hele tall

Heltall er naturlige tall, null og det motsatte av naturlige tall.

Tall som er motsatt av naturlige tall er negative heltall, for eksempel:

1; -2; -3; -4;...

Settet med heltall er betegnet med den latinske bokstaven Z.

Rasjonelle tall

Rasjonale tall er heltall og brøker.

Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en periodisk brøk. Eksempler:

1,(0); 3,(6); 0,(0);...

Det kan sees fra eksemplene at ethvert heltall er en periodisk brøk med en periode på null.

Ethvert rasjonelt tall kan representeres som en brøk m/n, der m er et heltall og n er et naturlig tall. La oss representere tallet 3,(6) fra forrige eksempel som en slik brøk.

Å forstå tall, spesielt naturlige tall, er en av de eldste matematiske "ferdighetene". Mange sivilisasjoner, selv moderne, tilskrev noen mystiske egenskaper til tall på grunn av deres store betydning for å beskrive naturen. Selv om moderne vitenskap og matematikk ikke bekrefter disse "magiske" egenskapene, er betydningen av tallteori ubestridelig.

Historisk sett dukket det først opp mange naturlige tall, og ganske snart ble brøker og positive irrasjonelle tall lagt til dem. Null og negative tall ble introdusert etter disse delmengdene av settet med reelle tall. Det siste settet, settet med komplekse tall, dukket opp bare med utviklingen av moderne vitenskap.

I moderne matematikk introduseres tall ikke i historisk rekkefølge, selv om de er ganske nærme det.

Naturlige tall $\mathbb(N)$

Settet med naturlige tall er ofte betegnet som $\mathbb(N)=\lbrace 1,2,3,4... \rbrace $, og er ofte polstret med null for å betegne $\mathbb(N)_0$.

$\mathbb(N)$ definerer addisjons- (+) og multiplikasjonsoperasjoner ($\cdot$) med følgende egenskaper for alle $a,b,c\in \mathbb(N)$:

1. $a+b\in \mathbb(N)$, $a\cdot b \in \mathbb(N)$ settet $\mathbb(N)$ er lukket under addisjon og multiplikasjon
2. $a+b=b+a$, $a\cdot b=b\cdot a$ kommutativitet
3. $(a+b)+c=a+(b+c)$, $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$ assosiativitet
4. $a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c$ distributivitet
5. $a\cdot 1=a$ er det nøytrale elementet for multiplikasjon

Siden settet $\mathbb(N)$ inneholder et nøytralt element for multiplikasjon, men ikke for addisjon, vil å legge til null til dette settet sikre at det inkluderer et nøytralt element for addisjon.

I tillegg til disse to operasjonene, på settet $\mathbb(N)$ relasjonene "mindre enn" ($

1. $a b$ trikotomi
2. hvis $a\leq b$ og $b\leq a$, så er $a=b$ en antisymmetri
3. hvis $a\leq b$ og $b\leq c$, så er $a\leq c$ transitiv
4. hvis $a\leq b$, så $a+c\leq b+c$
5. hvis $a\leq b$, så $a\cdot c\leq b\cdot c$

Heltall $\mathbb(Z)$

Eksempler på heltall:
$1, -20, -100, 30, -40, 120...$

Løsningen av ligningen $a+x=b$, der $a$ og $b$ er kjente naturlige tall, og $x$ er et ukjent naturlig tall, krever innføring av en ny operasjon - subtraksjon(-). Hvis det er et naturlig tall $x$ som tilfredsstiller denne ligningen, så er $x=b-a$. Denne spesifikke ligningen har imidlertid ikke nødvendigvis en løsning på settet $\mathbb(N)$, så praktiske hensyn krever å utvide settet med naturlige tall på en slik måte at det inkluderer løsninger til en slik ligning. Dette fører til introduksjonen av et sett med heltall: $\mathbb(Z)=\lbrace 0,1,-1,2,-2,3,-3...\rbrace$.

Siden $\mathbb(N)\subset \mathbb(Z)$, er det logisk å anta at de tidligere introduserte operasjonene $+$ og $\cdot$ og relasjonen $ 1. $0+a=a+0=a$ det er et nøytralt element for tillegg
2. $a+(-a)=(-a)+a=0$ det er et motsatt tall $-a$ for $a$

5. Eiendom:
5. hvis $0\leq a$ og $0\leq b$, så $0\leq a\cdot b$

Settet $\mathbb(Z) $ er også lukket under subtraksjon, det vil si $(\forall a,b\in \mathbb(Z))(a-b\in \mathbb(Z))$.

Rasjonale tall $\mathbb(Q)$

Eksempler på rasjonelle tall:
$\frac(1)(2), \frac(4)(7), -\frac(5)(8), \frac(10)(20)...$

Tenk nå på ligninger av formen $a\cdot x=b$, der $a$ og $b$ er kjente heltall og $x$ er ukjent. For å gjøre løsningen mulig, er det nødvendig å introdusere divisjonsoperasjonen ($:$), og løsningen blir $x=b:a$, det vil si $x=\frac(b)(a)$. Igjen oppstår problemet at $x$ ikke alltid tilhører $\mathbb(Z)$, så settet med heltall må utvides. Dermed introduserer vi settet med rasjonelle tall $\mathbb(Q)$ med elementene $\frac(p)(q)$, der $p\in \mathbb(Z)$ og $q\in \mathbb(N) $. Mengden $\mathbb(Z)$ er en delmengde der hvert element $q=1$, derav $\mathbb(Z)\delmengde \mathbb(Q)$ og operasjonene addisjon og multiplikasjon gjelder også for denne mengden iht. til følgende regler, som bevarer alle egenskapene ovenfor også på settet $\mathbb(Q)$:
$\frac(p_1)(q_1)+\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot q_2+p_2\cdot q_1)(q_1\cdot q_2)$
$\frac(p-1)(q_1)\cdot \frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1\cdot p_2)(q_1\cdot q_2)$

Inndelingen legges inn slik:
$\frac(p_1)(q_1):\frac(p_2)(q_2)=\frac(p_1)(q_1)\cdot \frac(q_2)(p_2)$

På settet $\mathbb(Q)$ har ligningen $a\cdot x=b$ en unik løsning for hver $a\neq 0$ (ingen divisjon med null er definert). Dette betyr at det er et inverst element $\frac(1)(a)$ eller $a^(-1)$:
$(\forall a\in \mathbb(Q)\setminus\lbrace 0\rbrace)(\exists \frac(1)(a))(a\cdot \frac(1)(a)=\frac(1) (a)\cdot a=a)$

Rekkefølgen til settet $\mathbb(Q)$ kan utvides på denne måten:
$\frac(p_1)(q_1)

Mengden $\mathbb(Q)$ har én viktig egenskap: mellom to rasjonelle tall er det uendelig mange andre rasjonelle tall, derfor er det ikke to rasjonelle nabotall, i motsetning til settene med naturlige tall og heltall.

Irrasjonelle tall $\mathbb(I)$

Eksempler på irrasjonelle tall:
$0.333333...$
$\sqrt(2) \ca. 1,41422135...$
$\pi \ca. 3.1415926535...$

Siden det er uendelig mange andre rasjonelle tall mellom to rasjonelle tall, er det lett å feilaktig konkludere med at settet med rasjonelle tall er så tett at det ikke er behov for å utvide det ytterligere. Selv Pythagoras gjorde en gang en slik feil. Imidlertid tilbakeviste hans samtidige allerede denne konklusjonen når de studerte løsninger av ligningen $x\cdot x=2$ ($x^2=2$) på settet med rasjonelle tall. For å løse en slik likning er det nødvendig å introdusere konseptet med en kvadratrot, og da har løsningen til denne likningen formen $x=\sqrt(2)$. En ligning av typen $x^2=a$, der $a$ er et kjent rasjonelt tall og $x$ er et ukjent, har ikke alltid en løsning på settet med rasjonelle tall, og igjen er det et behov for å utvide settet. Et sett med irrasjonelle tall oppstår, og slike tall som $\sqrt(2)$, $\sqrt(3)$, $\pi$... tilhører dette settet.

Reelle tall $\mathbb(R)$

Foreningen av settene av rasjonelle og irrasjonelle tall er settet av reelle tall. Siden $\mathbb(Q)\subset \mathbb(R)$, er det igjen logisk å anta at de introduserte aritmetiske operasjonene og relasjonene beholder sine egenskaper på det nye settet. Det formelle beviset på dette er veldig vanskelig, så de ovennevnte egenskapene til aritmetiske operasjoner og relasjoner på settet med reelle tall introduseres som aksiomer. I algebra kalles et slikt objekt et felt, så settet med reelle tall sies å være et ordnet felt.

For at definisjonen av settet med reelle tall skal være fullstendig, er det nødvendig å introdusere et ekstra aksiom som skiller settene $\mathbb(Q)$ og $\mathbb(R)$. Anta at $S$ er en ikke-tom delmengde av settet med reelle tall. Et element $b\in \mathbb(R)$ kalles den øvre grensen til $S$ hvis $\forall x\in S$ tilfredsstiller $x\leq b$. Da sies settet $S$ å være avgrenset ovenfra. Den minste øvre grensen for et sett $S$ kalles supremum og er betegnet med $\sup S$. Forestillingene om en nedre grense, et sett avgrenset under og en infinum $\inf S$ introduseres på samme måte. Nå er det manglende aksiomet formulert som følger:

Enhver ikke-tom og avgrenset ovenfra delmengde av settet med reelle tall har et supremum.
Det kan også bevises at feltet med reelle tall definert ovenfor er unikt.

Komplekse tall$\mathbb(C)$

Eksempler på komplekse tall:
$(1, 2), (4, 5), (-9, 7), (-3, -20), (5, 19),...$
$1 + 5i, 2 - 4i, -7 + 6i...$ hvor $i = \sqrt(-1)$ eller $i^2 = -1$

Settet med komplekse tall er alle ordnede par av reelle tall, dvs. $\mathbb(C)=\mathbb(R)^2=\mathbb(R)\times \mathbb(R)$, som addisjons- og multiplikasjon er definert på følgende måte:
$(a,b)+(c,d)=(a+b,c+d)$
$(a,b)\cdot (c,d)=(ac-bd,ad+bc)$

Det er flere måter å skrive komplekse tall på, den vanligste er $z=a+ib$, hvor $(a,b)$ er et par reelle tall, og tallet $i=(0,1)$ kalles den imaginære enheten.

Det er lett å vise at $i^2=-1$. Utvidelsen av settet $\mathbb(R)$ til settet $\mathbb(C)$ lar en bestemme kvadratroten av negative tall, som var grunnen til å introdusere settet med komplekse tall. Det er også enkelt å vise at en delmengde av settet $\mathbb(C)$ gitt som $\mathbb(C)_0=\lbrace (a,0)|a\in \mathbb(R)\rbrace$ tilfredsstiller alle aksiomene for reelle tall, derav $\mathbb(C)_0=\mathbb(R)$, eller $R\subset\mathbb(C)$.

Den algebraiske strukturen til settet $\mathbb(C)$ med hensyn til operasjonene addisjon og multiplikasjon har følgende egenskaper:
1. kommutativitet av addisjon og multiplikasjon
2. assosiativitet av addisjon og multiplikasjon
3. $0+i0$ - nøytralt element for tillegg
4. $1+i0$ - nøytralt element for multiplikasjon
5. multiplikasjon er distributiv med hensyn til addisjon
6. Det er et enkelt inverst element for både addisjon og multiplikasjon.

Materialet i denne artikkelen er den første informasjonen om irrasjonelle tall. Først skal vi gi en definisjon av irrasjonelle tall og forklare det. Her er noen eksempler på irrasjonelle tall. Til slutt, la oss se på noen tilnærminger for å finne ut om et gitt tall er irrasjonelt eller ikke.

Sidenavigering.

Definisjon og eksempler på irrasjonelle tall

I studiet av desimalbrøker vurderte vi separat uendelige ikke-periodiske desimalbrøker. Slike brøker oppstår i desimalmålingen av lengdene på segmenter som er uforenlige med et enkelt segment. Vi bemerket også at uendelige ikke-periodiske desimalbrøker ikke kan konverteres til vanlige brøker (se konvertering av vanlige brøker til desimaler og omvendt), derfor er disse tallene ikke rasjonelle tall, de representerer de såkalte irrasjonelle tallene.

Så vi kom til definisjon av irrasjonelle tall.

Definisjon.

Tall som i desimalnotasjon representerer uendelige ikke-gjentakende desimalbrøker kalles irrasjonelle tall.

Den lød definisjonen tillater å bringe eksempler på irrasjonelle tall. For eksempel er den uendelige ikke-periodiske desimalbrøken 4.10110011100011110000... (antall enere og nuller øker med én hver gang) et irrasjonelt tall. La oss gi et annet eksempel på et irrasjonelt tall: −22.353335333335 ... (antall trippel som skiller åtter øker med to hver gang).

Det skal bemerkes at irrasjonelle tall er ganske sjeldne i form av uendelige ikke-periodiske desimalbrøker. Vanligvis finnes de i formen , etc., samt i form av spesielt introduserte bokstaver. De mest kjente eksemplene på irrasjonelle tall i en slik notasjon er den aritmetiske kvadratroten av to, tallet «pi» π=3,141592..., tallet e=2,718281... og det gylne tallet.

Irrasjonelle tall kan også defineres i form av reelle tall, som kombinerer rasjonelle og irrasjonelle tall.

Definisjon.

Irrasjonelle tall er reelle tall som ikke er rasjonelle.

Er dette tallet irrasjonelt?

Når et tall ikke er gitt som en desimalbrøk, men som en viss rot, logaritme osv., så er det i mange tilfeller ganske vanskelig å svare på spørsmålet om det er irrasjonelt.

Når du svarer på spørsmålet som stilles, er det utvilsomt veldig nyttig å vite hvilke tall som ikke er irrasjonelle. Det følger av definisjonen av irrasjonelle tall at rasjonelle tall ikke er irrasjonelle tall. Derfor er irrasjonelle tall IKKE:

endelige og uendelige periodiske desimalbrøker.

Enhver sammensetning av rasjonelle tall forbundet med tegn på aritmetiske operasjoner (+, −, ·, :) er heller ikke et irrasjonelt tall. Dette er fordi summen, differansen, produktet og kvotienten av to rasjonelle tall er et rasjonelt tall. For eksempel er verdiene til uttrykkene og rasjonelle tall. Her legger vi merke til at hvis det i slike uttrykk blant rasjonelle tall er ett enkelt irrasjonelt tall, vil verdien av hele uttrykket være et irrasjonelt tall. For eksempel, i uttrykket er tallet irrasjonelt, og resten av tallene er rasjonelle, derfor det irrasjonelle tallet. Hvis det var et rasjonelt tall, ville rasjonaliteten til tallet følge av dette, men det er ikke rasjonelt.

Hvis uttrykket gitt tallet inneholder flere irrasjonelle tall, rottegn, logaritmer, trigonometriske funksjoner, tall π, e, etc., så er det nødvendig å bevise irrasjonaliteten eller rasjonaliteten til det gitte tallet i hvert enkelt tilfelle. Imidlertid er det en rekke allerede oppnådde resultater som kan brukes. La oss liste opp de viktigste.

Det er bevist at en k-te rot av et heltall er et rasjonelt tall bare hvis tallet under roten er den k-te potensen av et annet heltall, i andre tilfeller definerer en slik rot et irrasjonelt tall. For eksempel er tallene og irrasjonelle, siden det ikke er noe heltall hvis kvadrat er 7, og det er ikke noe heltall hvis heving til femte potens gir tallet 15. Og tallene og er ikke irrasjonelle, siden og .

Når det gjelder logaritmer, er det noen ganger mulig å bevise deres irrasjonalitet ved selvmotsigelse. La oss for eksempel bevise at log 2 3 er et irrasjonelt tall.

La oss si at log 2 3 er et rasjonelt tall, ikke et irrasjonelt, det vil si at det kan representeres som en vanlig brøk m/n . og la oss skrive følgende kjede av likheter: . Den siste likheten er umulig, siden på sin venstre side oddetall, og til og med på høyre side. Så vi kom til en selvmotsigelse, som betyr at vår antagelse viste seg å være feil, og dette beviser at log 2 3 er et irrasjonelt tall.

Merk at lna for enhver positiv og ikke-enhetsrasjonal a er et irrasjonelt tall. For eksempel og er irrasjonelle tall.

Det er også bevist at tallet e a er irrasjonelt for enhver ikke-null rasjonal a, og at tallet π z er irrasjonell for ethvert ikke-null heltall z. For eksempel er tall irrasjonelle.

Irrasjonelle tall er også de trigonometriske funksjonene sin , cos , tg og ctg for enhver rasjonell og ikke-nullverdi av argumentet. For eksempel er sin1 , tg(−4) , cos5,7 irrasjonelle tall.

Det er andre påviste resultater, men vi vil begrense oss til de som allerede er oppført. Det skal også sies at ved å bevise resultatene ovenfor, teorien knyttet til algebraiske tall og transcendente tall.

Avslutningsvis bemerker vi at man ikke bør gjøre forhastede konklusjoner om irrasjonaliteten til de gitte tallene. For eksempel virker det åpenbart at et irrasjonelt tall i irrasjonell grad er et irrasjonelt tall. Dette er imidlertid ikke alltid tilfelle. Som en bekreftelse på det uttalte faktum presenterer vi graden. Det er kjent at - et irrasjonelt tall, og også bevist at - et irrasjonelt tall, men - et rasjonelt tall. Du kan også gi eksempler på irrasjonelle tall, hvor sum, differanse, produkt og kvotient er rasjonelle tall. Dessuten er rasjonaliteten eller irrasjonaliteten til tallene π+e , π−e , π e , π π , π e og mange andre ennå ikke bevist.

Bibliografi.

Matte. Klasse 6: lærebok. for allmennutdanning institusjoner / [N. Ya. Vilenkin og andre]. - 22. utgave, Rev. - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 s.: ill. ISBN 978-5-346-00897-2.
Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematikk (en manual for søkere til tekniske skoler): Proc. godtgjørelse.- M.; Høyere skole, 1984.-351 s., ill.