Beregning av et bestemt integral ved hjelp av rektangler. Numerisk integrasjon

Jekaterinburg

Beregning av et bestemt integral

Introduksjon

Oppgaven med numerisk integrasjon av funksjoner er å beregne den omtrentlige verdien av et visst integral:

basert på en rekke verdier av integranden.( f(x) |x=x k = f(x k) = y k ).

Formler for numerisk beregning av et enkelt integral kalles kvadraturformler, dobbel og mer multiple - kubature.

Den vanlige teknikken for å konstruere kvadraturformler er å erstatte integranden f(x) på et segment med en interpolerende eller approksimerende funksjon g(x) av en relativt enkel form, for eksempel et polynom, etterfulgt av analytisk integrasjon. Dette leder til presentasjonen

Hvis vi ser bort fra resten R[f], får vi den omtrentlige formelen

Betegn med y i = f(x i) verdien av integranden på forskjellige punkter på . Kvadraturformler er formler av lukket type hvis x 0 =a, x n =b.

Som en omtrentlig funksjon g(x), anser vi interpolasjonspolynomet på i form av Lagrange-polynomet:

, hvori , hvor er resten av leddet til Lagrange-interpolasjonsformelen.

Formel (1) gir

, (2)

. (3)

I formel (2) kalles mengdene () noder, () - vekter, - feilen i kvadraturformelen. Hvis vektene () til kvadraturformelen beregnes med formel (3), kalles den tilsvarende kvadraturformelen kvadraturformelen for interpolasjonstypen.

Oppsummer.

1. Vektene () til kvadraturformelen (2) for et gitt arrangement av noder avhenger ikke av typen integrand.

2. I kvadraturformler av interpolasjonstype kan resten av leddet R n [f] representeres som verdien av en bestemt differensialoperator på funksjonen f(x). Til

3. For polynomer opp til orden n inklusive, er kvadraturformelen (2) eksakt, dvs. . Den høyeste graden av et polynom som kvadraturformelen er nøyaktig for, kalles graden av kvadraturformelen.

Tenk på spesielle tilfeller av formler (2) og (3): metoden for rektangler, trapeser, paraboler (Simpsons metode). Navnene på disse metodene skyldes den geometriske tolkningen av de tilsvarende formlene.

Rektangelmetode

Det bestemte integralet til funksjonen til funksjonen f(x): er numerisk lik arealet til den krumlinjede trapesen avgrenset av kurvene y=0, x=a, x=b, y=f(x) (figur 1).

Ris. 1 Areal under kurven y=f(x) For å beregne dette arealet deles hele integrasjonsintervallet inn i n like delintervaller med lengde h=(b-a)/n. Arealet under integranden er tilnærmet erstattet av summen av arealene til rektanglene, som vist i figur (2).

Ris. 2 Arealet under kurven y=f(x) er tilnærmet med summen av arealene til rektanglene
Summen av arealene til alle rektangler beregnes med formelen

Metoden representert av formel (4) kalles venstreboksmetoden, og metoden representert av formel (5) kalles høyreboksmetoden:

Feilen ved beregning av integralet bestemmes av verdien av integrasjonstrinnet h. Jo mindre integrasjonstrinnet er, desto mer nøyaktig tilnærmer integralsummen S verdien av integralet I. På bakgrunn av dette bygges det en algoritme for å beregne integralet med en gitt nøyaktighet. Det anses at integralsummen S representerer verdien av integralet I med en nøyaktighet på eps, dersom forskjellen i absolutt verdi mellom integralsummene og beregnet med henholdsvis trinn h og h/2 ikke overstiger eps.

For å finne et bestemt integral ved hjelp av metoden for midtre rektangler, deles arealet avgrenset av linjene a og b inn i n rektangler med de samme grunnene h, høydene til rektanglene vil være skjæringspunktene til funksjonen f(x) med midtpunktene til rektanglene (h/2). Integralet vil være numerisk lik summen av arealene til n rektangler (Figur 3).

Ris. 3 Arealet under kurven y=f(x) er tilnærmet med summen av arealene til rektanglene

n er antall partisjoner av segmentet.

Trapesformet metode

For å finne et bestemt integral ved hjelp av trapesmetoden, er arealet til en krumlinjeformet trapes også delt inn i n rektangulære trapeser med høydene h og baser y 1, y 2, y 3,..y n, hvor n er tallet på rektangulær trapes. Integralet vil være numerisk lik summen av arealene til rektangulære trapeser (Figur 4).

Ris. 4 Arealet under kurven y=f(x) er tilnærmet ved summen av arealene til rektangulære trapeser.

n er antall partisjoner

(6)

Feilen til trapesformelen estimeres ved tallet

Feilen til trapesformelen avtar raskere med vekst enn feilen til rektangelformelen. Derfor lar trapesformelen deg få mer nøyaktighet enn rektangelmetoden.

Simpson formel

Hvis vi for hvert par av segmenter konstruerer et polynom av andre grad, så integrerer det på segmentet og bruker additivitetsegenskapen til integralet, får vi Simpson-formelen.

I Simpsons metode for å beregne det bestemte integralet er hele integrasjonsintervallet delt inn i delintervaller med lik lengde h=(b-a)/n. Antall partisjonssegmenter er et partall. Deretter, på hvert par av tilstøtende delintervaller, erstattes subintegralfunksjonen f(x) med et Lagrange-polynom av andre grad (Figur 5).

Ris. 5 Funksjonen y=f(x) på segmentet erstattes av et polynom av 2. orden

Tenk på integranden på intervallet. La oss erstatte denne integranden med et andregrads Lagrange-interpolasjonspolynom som sammenfaller med y= ved punktene:

Vi integrerer på segmentet .:

Vi introduserer en endring av variabler:

Gitt erstatningsformlene,

Etter integrering får vi Simpson-formelen:

Verdien oppnådd for integralet faller sammen med arealet til en krumlinjet trapes avgrenset av aksen , rette linjer og en parabel som går gjennom punktene. På segmentet vil Simpsons formel se slik ut:

I parabelformelen har verdien av funksjonen f (x) ved oddetallspunkter x 1, x 3, ..., x 2 n -1 en koeffisient på 4, ved partallspunkter x 2, x 4, .. ., x 2 n -2 - koeffisient 2 og ved to grensepunkter x 0 \u003d a, x n \u003d b - koeffisient 1.

Den geometriske betydningen av Simpsons formel: arealet av en krumlinjet trapes under grafen til funksjonen f(x) på et segment er omtrent erstattet av summen av arealene til figurene som ligger under parablene.

Hvis funksjonen f(x) har en kontinuerlig derivert av fjerde orden, så er den absolutte verdien av feilen i Simpson-formelen ikke mer enn

hvor M er den største verdien på segmentet. Siden n 4 vokser raskere enn n 2, avtar feilen i Simpsons formel med økende n mye raskere enn feilen i trapesformelen.

Vi beregner integralet

Dette integralet er enkelt å beregne:

La oss ta n lik 10, h=0,1, beregne verdiene til integranden ved partisjonspunktene, så vel som halvheltallspunkter .

I henhold til formelen for midtre rektangler får vi I rett = 0,785606 (feilen er 0,027%), i henhold til trapesformelen I felle = 0,784981 (feilen er ca. 0,054. Ved bruk av metoden for høyre og venstre rektangler, er feilen er mer enn 3 %.

For å sammenligne nøyaktigheten til de omtrentlige formlene, beregner vi nok en gang integralet

men nå etter Simpson-formelen for n=4. Vi deler segmentet i fire like deler med poeng x 0 \u003d 0, x 1 \u003d 1/4, x 2 \u003d 1/2, x 3 \u003d 3/4, x 4 \u003d 1 og beregner omtrent verdiene av funksjonen f (x) \u003d 1 / ( 1+x) på disse punktene: y 0 =1,0000, y 1 =0,8000, y 2 =0,6667, y 3 =0,5714, y 4 =0,5000.

Ved Simpsons formel får vi

La oss estimere feilen til det oppnådde resultatet. For integranden f(x)=1/(1+x) har vi: f (4) (x)=24/(1+x) 5 , hvorav det følger at på segmentet . Derfor kan vi ta M=24, og resultatfeilen overskrider ikke 24/(2880× 4 4)=0,0004. Ved å sammenligne den omtrentlige verdien med den eksakte, konkluderer vi med at den absolutte feilen for resultatet oppnådd med Simpson-formelen er mindre enn 0,00011. Dette er i samsvar med feilestimatet gitt ovenfor og indikerer i tillegg at Simpson-formelen er mye mer nøyaktig enn trapesformelen. Derfor brukes Simpson-formelen for omtrentlig beregning av bestemte integraler oftere enn trapesformelen.

Sammenligning av metoder for nøyaktighet

La oss sammenligne metodene når det gjelder nøyaktighet, for dette vil vi beregne integralet av funksjonene y=x, y=x+2, y=x 2, ved n=10 og n=60, a=0, b=10 . Den nøyaktige verdien av integralene er henholdsvis: 50, 70, 333.(3)

Tabell 1

Tabell 1 viser at den mest nøyaktige er integralet funnet av Simpson-formelen, når man beregner de lineære funksjonene y=x, y=x+2, oppnås nøyaktighet også ved metodene til midtre rektangler og trapesmetoden, metoden for høyre rektangler er mindre nøyaktige. Tabell 1 viser at med en økning i antall partisjoner n (en økning i antall integrasjoner), øker nøyaktigheten av den omtrentlige beregningen av integralene

Oppgave for laboratoriearbeid

1) Skriv programmer for å beregne et bestemt integral ved hjelp av metoder: midtre, rette rektangler, trapes og Simpsons metode. Utfør integrering av følgende funksjoner:

på et segment med et trinn , ,

3. Utfør en variant av en individuell oppgave (tabell 2)

Tabell 2 Individuelle oppgavealternativer

	Funksjon f(x)	Segment av integrasjon

2) Gjennomfør en komparativ analyse av metodene.

Beregning av en bestemt integral: Retningslinjer for laboratoriearbeid i faget "Beregningsmatematikk" / komp. I.A. Selivanova. Jekaterinburg: GOU VPO USTU-UPI, 2006. 14 s.

Retningslinjene er beregnet på studenter i alle former for utdanning av spesialiteten 230101 - "Datamaskiner, komplekser, systemer og nettverk" og bachelorer i retningen 230100 - "Datavitenskap og datateknologi". Satt sammen av Selivanova Irina Anatolyevna

Grafisk bilde:

La oss beregne den omtrentlige verdien av integralet. For å vurdere nøyaktigheten bruker vi beregningen ved hjelp av metoden for venstre og høyre rektangler.

Beregn trinnet når du deler opp i 10 deler:

Delpunktene til segmentet er definert som.

Vi beregner den omtrentlige verdien av integralet ved å bruke formlene til de venstre rektanglene:

0.1(0.6288+0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924)0.5486

Vi beregner den omtrentlige verdien av integralet ved å bruke formlene til de rette rektanglene:

0.1(0.6042+0.5828+0.5642+0.5479+0.5338+0.5214+0.5105+0.5008+0.4924+0.4848)0.5342

Løsning av et grenseverdiproblem for en ordinær differensialligning ved sveipemetoden.

For en omtrentlig løsning av en ordinær differensialligning kan sveipemetoden brukes.

Betrakt en lineær d.p.

y""+p(x)y"+q(x)y=f(x) (1)

med topunkts lineære grensebetingelser

La oss introdusere notasjonen:

Sveipemetoden består av et "fremovertrekk", der koeffisientene bestemmes:

Etter å ha utført "fremovertrekket", fortsetter de til utførelsen av "reverstrekket", som består i å bestemme verdiene til ønsket funksjon i henhold til formlene:

Ved hjelp av sveipemetoden komponer du en løsning på grenseverdiproblemet for en vanlig differensialligning med nøyaktighet; Trinn h=0,05

2; A=1; =0; B=1,2;

Dirichlet-problemet for Laplace-ligningen ved hjelp av gridmetoden

Finn en kontinuerlig funksjon u(x, y) som tilfredsstiller Laplace-ligningen innenfor et rektangulært område

og ta på grensen til regionen gitte verdier, dvs.

hvor f l , f 2 , f 3 , f 4 er gitt funksjoner.

Når vi introduserer notasjonen, tilnærmer vi de partielle deriverte og ved hver interne rutenettnode med andreordens sentrale differansederiverte

og erstatte Laplace-ligningen med en endelig differanseligning

Feilen ved å erstatte en differensialligning med en forskjell en er .

Ligninger (1) danner sammen med verdiene ved grensenodene et system av lineære algebraiske ligninger for de omtrentlige verdiene til funksjonen u(x, y) ved rutenettnodene. Dette systemet har den enkleste formen når:

Når man oppnådde rutenettligninger (2), ble skjemaet med noder vist i fig. 1 brukt. 1. Settet med noder som brukes til å tilnærme ligningen ved et punkt kalles en mal.

Bilde 1

Den numeriske løsningen av Dirichlet-problemet for Laplace-ligningen i et rektangel består i å finne de omtrentlige verdiene til den ønskede funksjonen u(x, y) ved de interne nodene i rutenettet. For å bestemme mengdene er det nødvendig å løse systemet med lineære algebraiske ligninger (2).

I denne artikkelen er det løst ved Gauss--Seidel-metoden, som består i å konstruere en sekvens av iterasjoner av formen

(hevet s angir iterasjonsnummeret). For , sekvensen konvergerer til den nøyaktige løsningen av system (2). Som betingelse for avslutning av den iterative prosessen kan man ta

Dermed består feilen til den omtrentlige løsningen oppnådd ved rutenettmetoden av to feil: feilen ved tilnærming av differensialligningen ved forskjell; feil som er et resultat av den omtrentlige løsningen av systemet med differanseligninger (2).

Det er kjent at differanseskjemaet beskrevet her har egenskapen stabilitet og konvergens. Stabiliteten i ordningen gjør at små endringer i de initiale dataene fører til små endringer i løsningen av differanseproblemet. Bare slike ordninger er fornuftige å bruke i reelle beregninger. Konvergensen av skjemaet betyr at når rutenettsteget har en tendens til null (), tenderer løsningen av forskjellsproblemet i en viss forstand til løsningen av det opprinnelige problemet. Dermed kan man, ved å velge et tilstrekkelig lite trinn h, løse det opprinnelige problemet vilkårlig nøyaktig.

Bruk grid-metoden, komponer en omtrentlig løsning av Dirichlet-problemet for Laplace-ligningen i kvadratet ABCD med toppunktene A(0;0) B(0;1) C(1;1) D(1;0); trinn h=0,02. Når du løser problemet, bruk den iterative Libman-gjennomsnittsprosessen til du får et svar med en nøyaktighet på 0,01.

1) Regn ut verdiene til funksjonen på sidene:

1. På AB-siden: i henhold til formelen. u(0;0)=0 u(0;0.2)=9.6 u(0;0.4)=16.8 u(0;0.6)=19.2 u(0;0.8)=14.4 u(0;1)=0
2. BC side=0
3. På siden CD=0

4. På AD-siden: ved formelen u(0;0)=0 u(0.2;0)=29.376 u(0.4;0)=47.542 u(0.6;0)=47.567 u(0.8;0)=29.44 u(1;0)=0
2) For å bestemme verdiene til funksjonen ved de interne punktene i regionen ved hjelp av rutenettmetoden, erstatter vi den gitte Laplace-ligningen i hvert punkt med en endelig forskjellsligning i henhold til formelen

Ved å bruke denne formelen vil vi lage en ligning for hvert indre punkt. Som et resultat får vi et ligningssystem.

Løsningen av dette systemet utføres ved den iterative metoden av Liebman-typen. For hver verdi komponerer vi en sekvens som vi bygger opp til konvergens i hundredeler. La oss skrive ned relasjonene ved hjelp av hvilke vi vil finne elementene i alle sekvenser:

For beregninger som bruker disse formlene, er det nødvendig å bestemme startverdiene som kan finnes på noen måte.

3) For å få den innledende omtrentlige løsningen av problemet, antar vi at funksjonen u(x,y) er jevnt fordelt langs horisontalene i regionen.

Tenk først på en horisontal linje med grensepunkter (0;0.2) og (1;0.2).

La oss angi de ønskede verdiene til funksjonen ved interne punkter gjennom.

Siden segmentet er delt inn i 5 deler, måletrinnet for funksjonen

Da får vi:

På samme måte finner vi verdiene til funksjonen i de indre punktene til andre horisontale horisonter. For en horisontal, med grensepunkter (0;0.4) og (1;0.4) har vi

For en horisontal med grensepunkter (0;0.6) og (1;0.6) har vi

Til slutt finner vi verdiene for horisontalen med grensepunktene (0;0.8) og (1;0.8).

Vi vil presentere alle de oppnådde verdiene i følgende tabell, som kalles nullmønsteret:

Estimering av resten av formelen:

eller

Tjenesteoppdrag. Tjenesten er ment for online beregning av et bestemt integral ved hjelp av formelen for rektangler.

Instruksjon. Skriv inn integranden f(x) , klikk på Løs. Den resulterende løsningen lagres i en Word-fil. Det lages også en løsningsmal i Excel. Nedenfor er en videoinstruksjon.

Regler for funksjonsinnføring

Eksempler
≡ x^2/(x+2)
cos 2 (2x+π) ≡ (cos(2*x+pi))^2
≡ x+(x-1)^(2/3) Dette er den enkleste kvadraturformelen for å beregne integralet, som bruker én verdi av funksjonen

(8.5.1)
hvor ; h=x1-x0.
Formel (8.5.1) er den sentrale formelen for rektangler. La oss beregne resten. La oss utvide funksjonen y=f(x) i punktet ε 0 til en Taylor-serie:
(8.5.2)
hvor ; . Vi integrerer (8.5.2):

(8.5.3)

I det andre leddet er integranden oddetall, og grensene for integrasjon er symmetriske med hensyn til punktet ε 0 . Derfor er det andre integralet lik null. Av (8.5.3) følger altså .
Siden den andre faktoren til integranden ikke endrer fortegn, får vi ved middelverditeoremet , hvor . Etter integrering får vi . (8.5.4)
Sammenligner vi med resten av trapesformelen, ser vi at feilen til rektangelformelen er to ganger mindre enn feilen til trapesformelen. Dette resultatet er sant hvis vi i formelen for rektangler tar verdien av funksjonen i midtpunktet.
Vi får formelen av rektangler og resten av leddet for intervallet. La rutenettet x i =a+ih, i=0,1,...,n, . Tenk på rutenettet ε i =ε 0 +ih, i=1,2,..,n, ε 0 =a-h/2. Deretter . (8.5.5)
Resttid .
Geometrisk kan formelen til rektangler representeres av følgende figur:

Hvis funksjonen f (x) er gitt i en tabell, brukes enten formelen til venstre for rektangler (for et enhetlig rutenett)

eller formelen til høyre for rektangler

.
Feilen til disse formlene estimeres gjennom den første deriverte. For intervallet er feilen

; .
Etter integrering får vi .

Eksempel. Regn ut integralet for n=5:
a) i henhold til trapesformelen;
b) i henhold til formelen for rektangler;
c) i henhold til Simpson-formelen;
d) i henhold til Gauss-formelen;
e) i henhold til Chebyshev-formelen.
Beregn feilen.
Løsning. For 5 integrasjonsnoder vil grid-trinnet være 0,125.
Ved løsning vil vi bruke tabellen over funksjonsverdier. Her f(x)=1/x.

	x		f(x)
x0	0.5	y0	2
x1	0.625	y1	1.6
x2	0.750	y2	1.33
x3	0.875	y3	1.14
x4	1.0	y4	1

a) trapesformel:
I=h/2×;
I=(0,125/2)×= 0.696;
R= [-(b-a)/12]×h×y¢¢(x);
f¢¢(x)=2/(x 3).
Den maksimale verdien av den andrederiverte av funksjonen på intervallet er 16: maks (f¢¢(x)), xн=2/(0,5 3)=16, derfor
R=[-(1-0,5)/12]×0,125×16=- 0.0833;
b) formel for rektangler:
for den venstre formelen I=h×(y0+y1+y2+y3);
I=0,125×(2+1,6+1,33+1,14)= 0.759;
R=[(b-a)/6]×h 2×y¢¢(x);
R=[(1-0,5)/6]×0,125 2×16= 0.02;
c) Simpsons formel:
I=(2h/6)x(y0+y4+4x(yl+y3)+2xy2);
I=(2×0,125)/6×(2+1+4×(1,6+1,14)+2×1,33)= 0.693;
R=[-(b-a)/180]xh 4xy (4) (x);
f(4)(x)=24/(x5)=768;
R=[-(1-0,5)/180]×(0,125) 4×768 = - 5.2 e-4;
d) Gauss formel:
I=(b-a)/2x;
xi =(b+a)/2+ti (b-a)/2
(A i, t i - tabellverdier).

				t (n=5)		A (n=5)
x1	0.9765	y1	1.02	t1	0.90617985	A 1	0.23692688
x2	0.8846	y2	1.13	t2	0.53846931	A2	0.47862868
x3	0.75	y3	1.33	t3	0	A 3	0.56888889
x4	0.61	y4	1.625	t4	-0.53846931	A4	0.47862868
x5	0.52	y5	1.91	t5	-0.90617985	A5	0.23692688

I=(1-0,5)/2×(0,2416+0,5408+0,7566+0,7777+0,4525)= 0.6923;
e) Chebyshev formel:
I=[(b-a)/n] ×S f(x i), i=1..n,
x i =(b+a)/2+[ t i (b-a)]/2 - nødvendig reduksjon av integrasjonsintervallet til intervallet [-1;1].
For n=5

t1	0.832498
t2	0.374541
t3	0
t4	-0.374541
t5	-0.832498

La oss finne x-verdier og funksjonsverdier på disse punktene:

x1	0,958	f(x1)	1,043
x2	0,844	f(x2)	1,185
x3	0,75	f(x3)	1,333
x4	0,656	f(x4)	1,524
x5	0,542	f(x5)	1,845

Summen av funksjonsverdiene er 6,927.
I=(1-0,5)/5×6,927=0,6927.

Generelt venstre rektangelformel på segmentet følgende (21) :

I denne formelen x 0 =a, x n =b, siden et hvilket som helst integral generelt ser slik ut: (se formelen 18 ).

h kan beregnes ved hjelp av formelen 19 .

y 0 ,y 1 ,...,y n-1 x 0 , x 1 ,..., x n-1 (x Jeg =x i-1 +h).

Formel med rette rektangler.

Generelt formel for rett rektangel på segmentet følgende (22) :

I denne formelen x 0 =a, x n =b(se formel for venstre rektangler).

h kan beregnes med samme formel som i formelen for de venstre rektanglene.

y 1 ,y 2 ,...,y n er verdiene til den tilsvarende funksjonen f(x) ved punktene x 1 , x 2 ,..., x n (x Jeg =x i-1 +h).

Formel for medium rektangel.

Generelt formel for midtre rektangel på segmentet følgende (23) :

Hvor x Jeg =x i-1 +h.

I denne formelen, som i de foregående, er h nødvendig for å multiplisere summen av verdiene til funksjonen f (x), men ikke bare ved å erstatte de tilsvarende verdiene x 0 ,x 1 ,...,x n-1 inn i funksjonen f(x), og legge til hver av disse verdiene h/2(x 0 +h/2, x 1 +h/2,..., x n-1 +h/2) og deretter bare erstatte dem i den gitte funksjonen.

h kan beregnes ved å bruke samme formel som i formelen for venstre rektangler." [ 6 ]

I praksis implementeres disse metodene som følger:

Mathcad ;

utmerke .

Mathcad ;

utmerke .

For å beregne integralet ved hjelp av formelen for gjennomsnittlige rektangler i Excel, må du utføre følgende trinn:

Fortsett å jobbe i samme dokument som når du beregner integralet ved å bruke formlene til venstre og høyre rektangler.

Skriv inn teksten xi+h/2 i celle E6, og f(xi+h/2) i celle F6.

Skriv inn formelen =B7+$B$4/2 i celle E7, kopier denne formelen ved å dra til celleområdet E8:E16

Skriv inn formelen =ROOT(E7^4-E7^3+8) i celle F7, kopier denne formelen ved å dra til celleområdet F8:F16

Skriv inn formelen =SUM(F7:F16) i celle F18.

Skriv inn formelen =B4*F18 i celle F19.

Skriv inn teksten til gjennomsnitt i celle F20.

Som et resultat får vi følgende:

Svar: verdien av det gitte integralet er 13,40797.

Basert på de oppnådde resultatene kan vi konkludere med at formelen for de midterste rektanglene er den mest nøyaktige enn formlene for høyre og venstre rektangler.

1. Monte Carlo-metoden

"Hovedideen med Monte Carlo-metoden er å gjenta tilfeldige tester mange ganger. Et karakteristisk trekk ved Monte Carlo-metoden er bruken av tilfeldige tall (numeriske verdier av en tilfeldig variabel). Slike tall kan oppnås ved å bruke tilfeldige tallgeneratorer. For eksempel har programmeringsspråket Turbo Pascal standard funksjon tilfeldig, hvis verdier er tilfeldige tall jevnt fordelt på intervallet . Dette betyr at hvis du deler det angitte segmentet i et visst antall like intervaller og beregner verdien av den tilfeldige funksjonen et stort antall ganger, vil omtrent like mange tilfeldige tall falle inn i hvert intervall. I bassengets programmeringsspråk er en lignende sensor rnd-funksjonen. I regnearket MS Excel, funksjonen RAND returnerer et jevnt fordelt tilfeldig tall større enn eller lik 0 og mindre enn 1 (endres ved omberegning)" [ 7 ].

For å beregne det, må du bruke formelen () :