Beregn arealet av en trekant på nettet. Hvordan beregne arealet av en trekant

Instruksjoner

1. For to ben S = a * b/2, a, b – ben,

Det andre alternativet for å beregne areal bruker sinus med kjente vinkler i stedet for cotangenter. I denne versjonen kvadrat er lik kvadratet på lengden til den kjente siden, multiplisert med sinusen til hver av vinklene og delt på den doble sinusen til disse vinklene: S = A*A*sin(α)*sin(β)/(2) *sin(α + β)). For eksempel for den samme trekanten med en kjent side på 15 cm, og ved siden av den hjørner ved 40° og 60° vil arealberegningen se slik ut: (15*15*sin(40)*sin(60))/(2*sin(40+60)) = 225*0,74511316*(-0,304810621) /( 2*(-0,506365641)) = -51,1016411/-1,01273128 = 50,4592305 kvadratcentimeter.

Versjonen for å beregne arealet til en trekant involverer vinkler. Arealet vil være lik kvadratet på lengden til den kjente siden, multiplisert med tangentene til hver av vinklene og delt på dobbelt summen av tangentene til disse vinklene: S = A*A*tg(α)*tg (β)/2(tg(α)+tg(β) ). For eksempel for trekanten brukt i de foregående trinnene med en side på 15 cm og tilstøtende hjørner ved 40° og 60° vil arealberegningen se slik ut: (15*15*tg(40)*tg(60))/(2*(tg(40)+tg(60)) = (225*( -1,11721493 )*0,320040389)/(2*(-1,11721493+0,320040389)) = -80,4496277/-1,59434908 = 50,4592305 kvadratcentimeter.

En trekant er den enkleste polygonen med tre hjørner og tre sider. En trekant, hvor en av vinklene er rett, kalles en rettvinklet trekant. For rette trekanter gjelder alle formler for generelle trekanter. Imidlertid kan de endres, under hensyntagen til egenskapene til en rett vinkel.

Instruksjoner

Grunnleggende for å finne område triangel gjennom basen som følger: S = 1/2 * b * h, hvor b er siden triangel, og h – triangel. Høyde triangel er en vinkelrett trukket fra toppunktet triangel til linjen som inneholder det motsatte. For rektangulære triangel høyde k b sammenfaller med ben a. På denne måten vil du få formelen for å beregne arealet triangel med vinkel: S = 1/2 * a * b.

Vurder. La inn et rektangulært a = 3, b = 4. Da er S = 1/2 * 3 * 4 = 6. Regn ut kvadrat det samme triangel, men la nå bare én side være kjent, b = 4. Og vinkelen α, tan α = 3/4 er også kjent. Deretter, fra uttrykket for den trigonometriske funksjonen tangent α, uttrykk ben a: tg α = a/b => a = b * tan α. Erstatt denne verdien i formelen for å beregne arealet til en rektangulær triangel og vi får: S = 1/2 * a * b = 1/2 * b^2 * tan α = 1/2 * 16 * 3/4 ​​​​= 6.

Vurder som et spesielt tilfelle beregningen av arealet til en likebenet rektangulær triangel. En likebenet trekant er en trekant der to sider er like hverandre. I tilfelle av en rektangulær triangel det viser seg a = b. Skriv ned Pythagoras teorem for dette tilfellet: c^2 = a^2 + b^2 = 2 * a^2. Deretter erstatter du denne verdien i formelen for å beregne arealet som følger: S = 1/2 * a * b = 1/2 * a^2 = 1/2 * (c^2 / 2) = c^2 / 4 .

Hvis radiene til den innskrevne sirkelen r og den omskrevne sirkelen R er kjent, da kvadrat rektangulær triangel beregnes med formelen S = r^2 + 2 * r * R. La radiusen til den innskrevne sirkelen i trekanten være r = 1, radiusen til den omskrevne sirkelen triangel sirkel R = 5/2. Så er S = 1 + 2 * 1 * 5 / 2 = 6.

Video om emnet

Nyttige råd

Radiusen til en sirkel omskrevet rundt en rettvinklet trekant er lik halvparten av hypotenusen: R = c / 2. Radiusen til en sirkel innskrevet i en rettvinklet trekant finner du ved formelen r = (a + b – c) / 2.

Dette er en av de enkleste geometriske figurene, der tre segmenter som forbinder tre punkter i par begrenser en del av planet. Kunnskap om noen av parametrene til en trekant (lengder på sider, vinkler, radier av innskrevne eller omskrevne sirkler, høyde, etc.) i forskjellige kombinasjoner gjør det mulig å beregne arealet til denne begrensede delen av planet.

Instruksjoner

Hvis lengden av to sider av en trekant (A og B) og størrelsen på deres vinkel (γ) er kjent, vil arealet (S) av trekanten være lik halvparten av produktet av lengdene til sidene og sinus til den kjente vinkelen: S=A∗B∗sin(γ)/2.

Hvis lengdene på alle tre sidene (A, B og C) i en vilkårlig trekant er kjent, er det mer praktisk å introdusere en ekstra variabel - semi-perimeteren (p) for å beregne arealet (S). Denne variabelen beregnes i halv sum av lengdene på alle sider: p=(A+B+C)/2. Å bruke denne variabelen kan defineres som kvadratroten av produktet av halvperimeteren på denne variabelen og lengden på sidene: S=√(p∗(p-A)∗(p-B)∗(p-C)).

Hvis, i tillegg til lengdene på alle sidene (A, B og C), lengden på radiusen (R) til en sirkel omskrevet nær en vilkårlig trekant også er kjent, kan du klare deg uten en semi-perimeter - området (S) vil være lik forholdet mellom produktet av lengdene på alle sider og den firedobble radiusen til sirkelen: S=A ∗B∗C/(4∗R).

Hvis verdiene av alle vinklene til en trekant (α, β og γ) og lengden på en av sidene (A) er kjent, vil arealet (S) være lik forholdet mellom produktet av kvadratet av lengden til den kjente siden med sinusene til to vinkler ved siden av den til den doble sinusen til den motsatte vinkelen: S=A²∗sin(β)∗sin(γ)/(2∗sin(α)).

Hvis verdiene av alle vinklene til en vilkårlig trekant (α, β og γ) og radiusen (R) til den omskrevne sirkelen er kjent, vil arealet (S) være lik to ganger kvadratet av radien og sinus for alle vinkler: S=2∗R²∗sin(α)∗ sin(β)∗sin(γ).

Video om emnet

Å finne volumet til en trekant er virkelig en ikke-triviell oppgave. Faktum er at en trekant er en todimensjonal figur, dvs. den ligger helt i ett plan, noe som betyr at den rett og slett ikke har noe volum. Selvfølgelig kan du ikke finne noe som ikke eksisterer. Men la oss ikke gi opp! Vi kan godta følgende antagelse: volumet til en todimensjonal figur er arealet. Vi vil se etter arealet av trekanten.

Du trenger

• ark papir, blyant, linjal, kalkulator

Instruksjoner

Tegn på et stykke papir med en linjal og blyant. Ved å undersøke trekanten nøye, kan du forsikre deg om at den virkelig ikke har en trekant, siden den er tegnet på et plan. Merk sidene av trekanten: la den ene siden være side "a", den andre siden "b", og den tredje siden "c". Merk toppunktene i trekanten med bokstavene "A", "B" og "C".

Mål hvilken som helst side av trekanten med en linjal og skriv ned resultatet. Etter dette, gjenopprett en vinkelrett på den målte siden fra toppunktet motsatt av den, en slik vinkelrett vil være høyden på trekanten. I tilfellet vist på figuren, blir den vinkelrette "h" gjenopprettet til side "c" fra toppunktet "A". Mål den resulterende høyden med en linjal og skriv ned måleresultatet.

Det kan være vanskelig for deg å gjenopprette den nøyaktige perpendikulæren. I dette tilfellet bør du bruke en annen formel. Mål alle sider av trekanten med en linjal. Etter dette beregner du halvomkretsen til trekanten "p" ved å legge til de resulterende lengdene på sidene og dele summen deres i to. Når du har verdien av semi-perimeteren til din disposisjon, kan du bruke Herons formel. For å gjøre dette, må du ta kvadratroten av følgende: p(p-a)(p-b)(p-c).

Du har fått det nødvendige arealet av trekanten. Problemet med å finne volumet til en trekant er ikke løst, men som nevnt ovenfor er ikke volumet det. Du kan finne et volum som egentlig er en trekant i den tredimensjonale verden. Hvis vi forestiller oss at vår opprinnelige trekant har blitt en tredimensjonal pyramide, vil volumet til en slik pyramide være produktet av lengden på basen og det resulterende arealet av trekanten.

Vær oppmerksom på

Jo mer nøye du måler, desto mer nøyaktige blir beregningene dine.

Kilder:

• Kalkulator "Alt til alt" - en portal for referanseverdier
• volum av trekanten

Du kan finne over 10 formler for å beregne arealet av en trekant på Internett. Mange av dem brukes i problemer med kjente sider og vinkler i trekanten. Det er imidlertid en rekke komplekse eksempler der, i henhold til oppgavens betingelser, kun én side og vinkler av en trekant er kjent, eller radiusen til en omskrevet eller innskrevet sirkel og en annen karakteristikk. I slike tilfeller kan en enkel formel ikke brukes.

Formlene nedenfor lar deg løse 95 prosent av problemene der du trenger å finne arealet til en trekant.
La oss gå videre til å vurdere vanlige områdeformler.
Tenk på trekanten vist i figuren nedenfor

I figuren og nedenfor i formlene er de klassiske betegnelsene på alle dens egenskaper introdusert.
a,b,c - sider av trekanten,
R - radius av den omskrevne sirkelen,
r - radius av den innskrevne sirkelen,
h[b],h[a],h[c] – høyder tegnet i samsvar med sidene a,b,c.
alfa, beta, hamma – vinkler nær hjørnene.

Grunnleggende formler for arealet av en trekant

1. Arealet er lik halvparten av produktet av siden av trekanten og høyden senket til denne siden. På formelspråket kan denne definisjonen skrives som følger

Dermed, hvis siden og høyden er kjent, vil hver elev finne området.
Forresten, fra denne formelen kan man utlede ett nyttig forhold mellom høyder

2. Hvis vi tar i betraktning at høyden av en trekant gjennom den tilstøtende siden uttrykkes ved avhengigheten

Deretter blir den første områdeformelen fulgt av de andre av samme type

Se nøye på formlene - de er enkle å huske, siden arbeidet involverer to sider og vinkelen mellom dem. Hvis vi riktig betegner sidene og vinklene til trekanten (som i figuren ovenfor), vil vi få to sider a, b og vinkelen er koblet til den tredje Med (hamma).

3. For vinklene til en trekant er relasjonen sann

Avhengigheten lar deg bruke følgende formler for arealet av en trekant i beregninger:

Eksempler på denne avhengigheten er ekstremt sjeldne, men du må huske at det finnes en slik formel.

4. Hvis siden og to tilstøtende vinkler er kjent, blir arealet funnet av formelen

5. Formelen for areal i form av side og cotangens av tilstøtende vinkler er som følger

Ved å omorganisere indeksene kan du få avhengigheter for andre parter.

6. Arealformelen nedenfor brukes i oppgaver når toppunktene til en trekant er spesifisert på planet med koordinater. I dette tilfellet er arealet lik halvparten av determinanten tatt modulo.

7. Herons formel brukt i eksempler med kjente sider i en trekant.
Finn først halvomkretsen til trekanten

Og bestem deretter området ved å bruke formelen

eller

Det brukes ganske ofte i koden til kalkulatorprogrammer.

8. Hvis alle høydene til trekanten er kjent, bestemmes arealet av formelen

Det er vanskelig å beregne på en kalkulator, men i MathCad, Mathematica, Maple-pakkene er området "tid to".

9. Følgende formler bruker de kjente radiene til innskrevne og omskrevne sirkler.

Spesielt hvis radien og sidene av trekanten, eller dens omkrets, er kjent, beregnes arealet i henhold til formelen

10. I eksempler der sidene og radien eller diameteren til den omskrevne sirkelen er gitt, er arealet funnet ved hjelp av formelen

11. Følgende formel bestemmer arealet av en trekant i form av siden og vinklene til trekanten.

Og til slutt - spesielle tilfeller:
Arealet av en rettvinklet trekant med ben a og b lik halvparten av produktet

Formel for arealet av en likesidet (vanlig) trekant=

= en fjerdedel av produktet av kvadratet på siden og roten av tre.

En trekant er en geometrisk figur som består av tre rette linjer som kobles sammen på punkter som ikke ligger på samme rette linje. Forbindelsespunktene til linjene er hjørnene i trekanten, som er utpekt med latinske bokstaver (for eksempel A, B, C). De forbindende rette linjene i en trekant kalles segmenter, som også vanligvis betegnes med latinske bokstaver. Følgende typer trekanter skilles ut:

• Rektangulær.
• Stumpet.
• Akutt kantete.
• Allsidig.
• Likesidet.
• Likebenet.

Generelle formler for å beregne arealet av en trekant

Formel for arealet av en trekant basert på lengde og høyde

S= a*h/2,
der a er lengden på siden av trekanten hvis areal må finnes, h er lengden på høyden trukket til basen.

Herons formel

S=√р*(р-а)*(р-b)*(p-c),
hvor √ er kvadratroten, p er halvomkretsen av trekanten, a,b,c er lengden på hver side av trekanten. Halvomkretsen til en trekant kan beregnes ved å bruke formelen p=(a+b+c)/2.

Formel for arealet av en trekant basert på vinkelen og lengden på segmentet

S = (a*b*sin(α))/2,
hvor b,c er lengden på sidene i trekanten, sin(α) er sinusen til vinkelen mellom de to sidene.

Formel for arealet av en trekant gitt radiusen til den innskrevne sirkelen og tre sider

S=p*r,
der p er halvomkretsen til trekanten hvis areal må finnes, r er radiusen til sirkelen som er skrevet inn i denne trekanten.

Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt den

S= (a*b*c)/4*R,
der a,b,c er lengden på hver side av trekanten, R er radiusen til sirkelen som er omskrevet rundt trekanten.

Formel for arealet av en trekant ved å bruke de kartesiske koordinatene til punktene

Kartesiske koordinater av punkter er koordinater i xOy-systemet, der x er abscissen, y er ordinaten. Det kartesiske koordinatsystemet xOy på et plan er de innbyrdes perpendikulære numeriske aksene Ox og Oy med felles origo i punktet O. Hvis koordinatene til punktene på dette planet er gitt på formen A(x1, y1), B(x2, y2 ) og C(x3, y3 ), så kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke følgende formel, som er hentet fra vektorproduktet til to vektorer.
S = |(x1 – x3) (y2 – y3) – (x2 – x3) (y1 – y3)|/2,
hvor || står for modul.

Hvordan finne arealet av en rettvinklet trekant

En rettvinklet trekant er en trekant med én vinkel som måler 90 grader. En trekant kan bare ha én slik vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant på to sider

S= a*b/2,
hvor a,b er lengden på beina. Ben er sidene ved siden av en rett vinkel.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på hypotenusen og den spisse vinkelen

S = a*b*sin(α)/ 2,
hvor a, b er trekantens ben, og sin(α) er sinusen til vinkelen der linjene a, b skjærer hverandre.

Formel for arealet av en rettvinklet trekant basert på siden og motsatt vinkel

S = a*b/2*tg(β),
der a, b er trekantens ben, tan(β) er tangenten til vinkelen som bena a, b er forbundet med.

Hvordan beregne arealet av en likebenet trekant

En likebenet trekant er en som har to like sider. Disse sidene kalles sidene, og den andre siden er basen. For å beregne arealet av en likebenet trekant, kan du bruke en av følgende formler.

Grunnleggende formel for å beregne arealet av en likebenet trekant

S=h*c/2,
der c er trekantens grunnflate, h er høyden til trekanten senket til grunnflaten.

Formel for en likebenet trekant basert på side og base

S=(c/2)* √(a*a – c*c/4),
der c er basisen til trekanten, a er størrelsen på en av sidene i den likebenede trekanten.

Hvordan finne arealet til en likesidet trekant

En likesidet trekant er en trekant der alle sider er like. For å beregne arealet av en likesidet trekant, kan du bruke følgende formel:
S = (√3*a*a)/4,
hvor a er lengden på siden av den likesidede trekanten.

Formlene ovenfor lar deg beregne det nødvendige arealet av trekanten. Det er viktig å huske at for å beregne arealet av trekanter, må du vurdere typen trekant og tilgjengelige data som kan brukes til beregningen.

Som du kanskje husker fra læreplanen for geometri på skolen, er en trekant en figur dannet av tre segmenter forbundet med tre punkter som ikke ligger på samme rette linje. En trekant danner tre vinkler, derav navnet på figuren. Definisjonen kan være annerledes. En trekant kan også kalles en polygon med tre vinkler, svaret vil også være riktig. Trekanter er delt inn etter antall like sider og størrelsen på vinklene i figurene. Dermed skilles trekanter ut som likebente, likesidede og skala, samt rektangulære, akutte og stumpe.

Det er mange formler for å beregne arealet til en trekant. Velg hvordan du finner arealet til en trekant, dvs. Hvilken formel du skal bruke er opp til deg. Men det er verdt å merke seg bare noen av notasjonene som brukes i mange formler for å beregne arealet til en trekant. Så husk:

S er arealet av trekanten,

a, b, c er sidene i trekanten,

h er høyden på trekanten,

R er radiusen til den omskrevne sirkelen,

p er halvperimeteren.

Her er de grunnleggende notasjonene som kan være nyttige for deg hvis du helt glemte geometrikurset ditt. Nedenfor er de mest forståelige og ukompliserte alternativene for å beregne det ukjente og mystiske området i en trekant. Det er ikke vanskelig og vil være nyttig både for dine husholdningsbehov og for å hjelpe barna dine. La oss huske hvordan du beregner arealet til en trekant så enkelt som mulig:

I vårt tilfelle er trekantens areal: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Husk at arealet måles i kvadratcentimeter (sqcm).

Rettvinklet trekant og området.

En rettvinklet trekant er en trekant der en vinkel er lik 90 grader (derav kalt høyre). En rett vinkel er dannet av to vinkelrette linjer (i tilfelle av en trekant, to vinkelrette segmenter). I en rettvinklet trekant kan det bare være én rett vinkel, fordi... summen av alle vinkler i en trekant er lik 180 grader. Det viser seg at 2 andre vinkler skal dele de resterende 90 grader, for eksempel 70 og 20, 45 og 45 osv. Så du husker det viktigste, alt som gjenstår er å finne ut hvordan du finner arealet til en rettvinklet trekant. La oss forestille oss at vi har en slik rettvinklet trekant foran oss, og vi må finne området S.

1. Den enkleste måten å bestemme arealet av en rettvinklet trekant beregnes ved å bruke følgende formel:

I vårt tilfelle er arealet av den rette trekanten: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I prinsippet er det ikke lenger behov for å verifisere trekantens areal på andre måter, fordi Bare denne vil være nyttig og vil hjelpe i hverdagen. Men det er også alternativer for å måle arealet av en trekant gjennom spisse vinkler.

2. For andre regnemetoder må du ha en tabell over cosinus, sinus og tangenter. Døm selv, her er noen alternativer for å beregne arealet av en rettvinklet trekant som fortsatt kan brukes:

Vi bestemte oss for å bruke den første formelen og med noen mindre flekker (vi tegnet den i en notatbok og brukte en gammel linjal og vinkelmåler), men vi fikk riktig utregning:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fikk følgende resultater: 3,6=3,7, men med tanke på skiftet av celler, kan vi tilgi denne nyansen.

Likebenet trekant og området.

Hvis du står overfor oppgaven med å beregne formelen for en likebenet trekant, er den enkleste måten å bruke hovedformelen og det som anses å være den klassiske formelen for arealet av en trekant.

Men først, før vi finner arealet til en likebenet trekant, la oss finne ut hva slags figur det er. En likebenet trekant er en trekant der to sider har samme lengde. Disse to sidene kalles laterale, den tredje siden kalles basen. Ikke forveksle en likebenet trekant med en likesidet trekant, dvs. en vanlig trekant med alle tre sider like. I en slik trekant er det ingen spesielle tendenser til vinklene, eller snarere til deres størrelse. Vinklene ved basen i en likebenet trekant er imidlertid like, men forskjellige fra vinkelen mellom like sider. Så du kjenner allerede den første og hovedformelen, det gjenstår å finne ut hvilke andre formler for å bestemme arealet av en likebenet trekant.

Trekanten er en figur kjent for alle. Og dette til tross for den rike variasjonen av dens former. Rektangulær, likesidet, akutt, likebenet, stump. Hver av dem er forskjellige på en eller annen måte. Men for alle må du finne ut arealet til en trekant.

Formler som er felles for alle trekanter som bruker lengdene på sider eller høyder

Betegnelsene som er vedtatt i dem: sider - a, b, c; høyder på de tilsvarende sidene på a, n in, n med.

1. Arealet av en trekant beregnes som produktet av ½, en side og høyden trukket fra den. S = ½ * a * n a. Formlene for de to andre sidene skal skrives på samme måte.

2. Herons formel, der semi-perimeteren vises (den er vanligvis betegnet med den lille bokstaven p, i motsetning til hele omkretsen). Halvperimeteren må beregnes som følger: legg sammen alle sidene og del dem på 2. Formelen for halvperimeteren er: p = (a+b+c) / 2. Deretter er likheten for arealet av ​​figuren ser slik ut: S = √ (p * (p - a) * ( р - в) * (р - с)).

3. Hvis du ikke vil bruke en semi-perimeter, vil en formel som bare inneholder lengdene på sidene være nyttig: S = ¼ * √ ((a + b + c) * (b + c - a ) * (a + c - c) * (a + b - c)). Den er litt lengre enn den forrige, men det vil hjelpe hvis du har glemt hvordan du finner halvperimeteren.

Generelle formler som involverer vinklene til en trekant

Notasjoner som kreves for å lese formlene: α, β, γ - vinkler. De ligger på motsatt side av henholdsvis a, b, c.

1. I følge det er halvparten av produktet av to sider og sinusen til vinkelen mellom dem lik arealet av trekanten. Det vil si: S = ½ a * b * sin γ. Formlene for de to andre tilfellene bør skrives på lignende måte.

2. Arealet av en trekant kan beregnes fra én side og tre kjente vinkler. S = (a 2 * sin β * sin γ) / (2 sin α).

3. Det er også en formel med én kjent side og to tilstøtende vinkler. Det ser slik ut: S = c 2 / (2 (ctg α + ctg β)).

De to siste formlene er ikke de enkleste. Det er ganske vanskelig å huske dem.

Generelle formler for situasjoner der radiene til innskrevne eller omskrevne sirkler er kjent

Ytterligere betegnelser: r, R - radier. Den første brukes for radiusen til den innskrevne sirkelen. Den andre er for den som er beskrevet.

1. Den første formelen som arealet til en trekant beregnes med, er relatert til halvperimeteren. S = r * r. En annen måte å skrive det på er: S = ½ r * (a + b + c).

2. I det andre tilfellet må du multiplisere alle sidene i trekanten og dele dem med firedoblet radiusen til den omskrevne sirkelen. I bokstavelig uttrykk ser det slik ut: S = (a * b * c) / (4R).

3. Den tredje situasjonen lar deg gjøre uten å kjenne sidene, men du trenger verdiene til alle tre vinklene. S = 2 R 2 * sin α * sin β * sin γ.

Spesialtilfelle: rettvinklet trekant

Dette er den enkleste situasjonen, siden bare lengden på begge bena er nødvendig. De er betegnet med de latinske bokstavene a og b. Arealet av en rettvinklet trekant er lik halvparten av arealet av rektangelet lagt til det.

Matematisk ser det slik ut: S = ½ a * b. Det er lettest å huske. Fordi det ser ut som formelen for arealet av et rektangel, vises bare en brøkdel, som indikerer halvparten.

Spesialtilfelle: likebenet trekant

Siden den har to like sider, ser noen formler for området noe forenklet ut. For eksempel har Herons formel, som beregner arealet av en likebenet trekant, følgende form:

S = ½ tommer √((a + ½ tommer)*(a - ½ tommer)).

Hvis du forvandler den, blir den kortere. I dette tilfellet er Herons formel for en likebenet trekant skrevet som følger:

S = ¼ i √(4 * a 2 - b 2).

Arealformelen ser noe enklere ut enn for en vilkårlig trekant hvis sidene og vinkelen mellom dem er kjent. S = ½ a 2 * sin β.

Spesialtilfelle: likesidet trekant

Vanligvis i problemer er siden om det kjent eller det kan bli funnet ut på en eller annen måte. Da er formelen for å finne arealet til en slik trekant som følger:

S = (a 2 √3) / 4.

Problemer med å finne området hvis trekanten er avbildet på rutete papir

Den enkleste situasjonen er når en rettvinklet trekant tegnes slik at bena sammenfaller med linjene på papiret. Da trenger du bare å telle antall celler som passer inn i bena. Multipliser dem deretter og del på to.

Når trekanten er spiss eller stump, må den tegnes til et rektangel. Da vil den resulterende figuren ha 3 trekanter. Den ene er den som er gitt i problemet. Og de to andre er hjelpe- og rektangulære. Arealene av de to siste må bestemmes ved å bruke metoden beskrevet ovenfor. Beregn deretter arealet av rektangelet og trekk fra det de som er beregnet for de ekstra. Arealet av trekanten bestemmes.

Situasjonen der ingen av sidene i trekanten faller sammen med linjene på papiret, viser seg å være mye mer komplisert. Deretter må den skrives inn i et rektangel slik at toppunktene til den opprinnelige figuren ligger på sidene. I dette tilfellet vil det være tre hjelpetrekanter.

Eksempel på et problem som bruker Herons formel

Betingelse. Noen trekanter har kjente sider. De er lik 3, 5 og 6 cm Du må finne ut området.

Nå kan du beregne arealet av trekanten ved å bruke formelen ovenfor. Under kvadratroten er produktet av fire tall: 7, 4, 2 og 1. Det vil si at arealet er √(4 * 14) = 2 √(14).

Hvis større nøyaktighet ikke er nødvendig, kan du ta kvadratroten av 14. Det er lik 3,74. Da blir arealet 7,48.

Svare. S = 2 √14 cm 2 eller 7,48 cm 2.

Eksempeloppgave med rettvinklet trekant

Betingelse. Det ene beinet i en rettvinklet trekant er 31 cm større enn det andre. Du må finne ut lengden deres hvis arealet av trekanten er 180 cm 2.
Løsning. Vi må løse et system med to ligninger. Den første er relatert til areal. Den andre er med forholdet mellom bena, som er gitt i oppgaven.
180 = ½ a * b;

a = b + 31.
Først må verdien av "a" settes inn i den første ligningen. Det viser seg: 180 = ½ (in + 31) * in. Den har bare én ukjent mengde, så den er lett å løse. Etter å ha åpnet parentesene, oppnås den kvadratiske ligningen: 2 + 31 360 = 0. Dette gir to verdier for "in": 9 og - 40. Det andre tallet er ikke egnet som svar, siden lengden på siden av en trekant kan ikke være en negativ verdi.

Det gjenstår å beregne den andre etappen: legg til 31 til det resulterende tallet. Det viser seg 40. Dette er mengdene som søkes i oppgaven.

Svare. Trekantens ben er 9 og 40 cm.

Problem med å finne en side gjennom arealet, siden og vinkelen til en trekant

Betingelse. Arealet til en viss trekant er 60 cm 2. Det er nødvendig å beregne en av sidene hvis den andre siden er 15 cm og vinkelen mellom dem er 30º.

Løsning. Basert på den aksepterte notasjonen er ønsket side "a", den kjente siden er "b", den gitte vinkelen er "γ". Deretter kan arealformelen skrives om på følgende måte:

60 = ½ a * 15 * synd 30º. Her er sinusen på 30 grader 0,5.

Etter transformasjoner viser "a" seg å være lik 60 / (0,5 * 0,5 * 15). Altså 16.

Svare. Den nødvendige siden er 16 cm.

Oppgave om et kvadrat innskrevet i en rettvinklet trekant

Betingelse. Toppunktet til et kvadrat med en side på 24 cm faller sammen med den rette vinkelen på trekanten. De to andre ligger på sidene. Den tredje tilhører hypotenusen. Lengden på det ene bena er 42 cm. Hva er arealet av den rette trekanten?

Løsning. Tenk på to rette trekanter. Den første er den som er spesifisert i oppgaven. Den andre er basert på den kjente delen av den opprinnelige trekanten. De er like fordi de har en felles vinkel og er dannet av parallelle linjer.

Da er forholdet mellom bena deres like. Benene til den mindre trekanten er lik 24 cm (siden av kvadratet) og 18 cm (gitt ben 42 cm trekker siden av kvadratet 24 cm). De tilsvarende bena til en stor trekant er 42 cm og x cm Det er denne "x" som trengs for å beregne arealet av trekanten.

18/42 = 24/x, det vil si x = 24 * 42 / 18 = 56 (cm).

Da er arealet lik produktet av 56 og 42 delt på to, det vil si 1176 cm 2.

Svare. Det nødvendige arealet er 1176 cm 2.