Vi beregner summen av vinkler og arealer til et parallellogram: egenskaper og egenskaper. Hvordan finne arealet av et parallellogram, trekant, trapes Hvordan finne arealet av et parallellogram ved hjelp av sinus

Oppgave 4.

En av diagonalene til et parallellogram med en lengde på 4√6 danner en vinkel på 60° med basen, og den andre diagonalen gir en vinkel på 45° med samme base. Finn den andre diagonalen.

Løsning.

1. AO = 2√6.

2. Vi bruker sinussetningen på trekant AOD.

AO/sin D = OD/sin A.

2√6/sin 45 o = OD/sin 60 o.

ОD = (2√6sin 60 о) / sin 45 о = (2√6 · √3/2) / (√2/2) = 2√18/√2 = 6.

Svar: 12.

Oppgave 5.

For et parallellogram med sidene 5√2 og 7√2, er den mindre vinkelen mellom diagonalene lik den mindre vinkelen til parallellogrammet. Finn summen av lengdene til diagonalene.

Løsning.

La d 1, d 2 være diagonalene til parallellogrammet, og vinkelen mellom diagonalene og den mindre vinkelen til parallellogrammet er lik φ.

1. La oss telle to forskjellige
måter sitt område.

S ABCD = AB AD sin A = 5√2 7√2 sin f,

S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin f.

Vi oppnår likheten 5√2 · 7√2 · sin f = 1/2d 1 d 2 sin f eller

2 · 5√2 · 7√2 = d 1 d 2 ;

2. Ved å bruke forholdet mellom sidene og diagonalene til parallellogrammet skriver vi likheten

(AB 2 + AD 2) 2 = AC 2 + BD 2.

((5√2) 2 + (7√2) 2) 2 = d 1 2 + d 2 2.

d 1 2 + d 2 2 = 296.

3. La oss lage et system:

(d 1 2 + d 2 2 = 296,
(d 1 + d 2 = 140.

La oss multiplisere den andre ligningen i systemet med 2 og legge den til den første.

Vi får (d 1 + d 2) 2 = 576. Derfor Id 1 + d 2 I = 24.

Siden d 1, d 2 er lengdene på diagonalene til parallellogrammet, så er d 1 + d 2 = 24.

Svar: 24.

Oppgave 6.

Sidene av parallellogrammet er 4 og 6. Den spisse vinkelen mellom diagonalene er 45 grader. Finn arealet av parallellogrammet.

Løsning.

1. Fra trekant AOB, ved hjelp av cosinussetningen, skriver vi forholdet mellom siden av parallellogrammet og diagonalene.

AB 2 = AO 2 + VO 2 2 · AO · VO · cos AOB.

4 2 = (d 1 /2) 2 + (d 2 /2) 2 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)cos 45 o;

d 1 2 /4 + d 2 2 /4 – 2 · (d 1/2) · (d 2 /2)√2/2 = 16.

d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64.

2. På samme måte skriver vi relasjonen for trekanten AOD.

La oss ta hensyn til det<АОD = 135 о и cos 135 о = -cos 45 о = -√2/2.

Vi får ligningen d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

3. Vi har et system
(d 1 2 + d 2 2 – d 1 · d 2 √2 = 64,
(d 1 2 + d 2 2 + d 1 · d 2 √2 = 144.

Trekker vi den første fra den andre ligningen, får vi 2d 1 · d 2 √2 = 80 eller

d 1 d 2 = 80/(2√2) = 20√2

4. S ABCD = 1/2 AC ВD sin AOB = 1/2 d 1 d 2 sin α = 1/2 20√2 √2/2 = 10.

Note: I denne og forrige oppgaven er det ikke nødvendig å løse systemet fullstendig, forutsatt at vi i denne oppgaven trenger produktet av diagonaler for å beregne arealet.

Svar: 10.

Oppgave 7.

Arealet av parallellogrammet er 96 og sidene er 8 og 15. Finn kvadratet på den mindre diagonalen.

Løsning.

1. S ABCD = AB · AD · sin ВAD. La oss gjøre en erstatning i formelen.

Vi får 96 = 8 · 15 · sin ВAD. Derav synd ВAD = 4/5.

2. La oss finne cos VAD. sin 2 VAD + cos 2 VAD = 1.

(4 / 5) 2 + cos 2 VAD = 1. cos 2 VAD = 9 / 25.

I henhold til forholdene for problemet finner vi lengden på den mindre diagonalen. Diagonalen ВD vil være mindre hvis vinkelen ВAD er spiss. Da er VAD = 3/5.

3. Fra trekanten ABD, ved hjelp av cosinussetningen, finner vi kvadratet til diagonalen BD.

ВD 2 = АВ 2 + АD 2 – 2 · АВ · ВD · cos ВAD.

ВD 2 = 8 2 + 15 2 – 2 8 15 3 / 5 = 145.

Svar: 145.

Har du fortsatt spørsmål? Vet du ikke hvordan du løser et geometriproblem?
Registrer deg for å få hjelp av en veileder.
Den første leksjonen er gratis!

nettside, ved kopiering av materiale helt eller delvis, kreves det en lenke til kilden.

Akkurat som i euklidisk geometri er et punkt og en rett linje hovedelementene i teorien om fly, slik er et parallellogram en av nøkkelfigurene til konvekse firkanter. Fra den, som tråder fra en ball, strømmer begrepene "rektangel", "kvadrat", "rombus" og andre geometriske mengder.

Definisjon av parallellogram

konveks firkant, som består av segmenter, hvor hvert par er parallelle, er kjent i geometri som et parallellogram.

Hvordan et klassisk parallellogram ser ut er avbildet av en firkant ABCD. Sidene kalles baser (AB, BC, CD og AD), vinkelrett trukket fra et hvilket som helst toppunkt til siden motsatt av dette toppunktet kalles høyde (BE og BF), linjene AC og BD kalles diagonaler.

Oppmerksomhet! Firkant, rombe og rektangel er spesielle tilfeller av parallellogram.

Sider og vinkler: trekk ved forholdet

Viktige egenskaper, stort sett, forhåndsbestemt av selve betegnelsen, de er bevist av teoremet. Disse egenskapene er som følger:

1. Sidene som er motsatt er identiske i par.
2. Vinkler overfor hverandre er like i par.

Bevis: Tenk på ∆ABC og ∆ADC, som oppnås ved å dele firkanten ABCD med den rette linjen AC. ∠BCA=∠CAD og ∠BAC=∠ACD, siden AC er felles for dem (vertikale vinkler for henholdsvis BC||AD og AB||CD). Det følger av dette: ∆ABC = ∆ADC (det andre tegnet på trekanters likhet).

Segmentene AB og BC i ∆ABC tilsvarer parvis linjene CD og AD i ∆ADC, noe som betyr at de er identiske: AB = CD, BC = AD. Dermed tilsvarer ∠B ∠D og de er like. Siden ∠A=∠BAC+∠CAD, ∠C=∠BCA+∠ACD, som også er parvis identiske, så er ∠A = ∠C. Eiendommen er påvist.

Kjennetegn på diagonalene til en figur

Hovedtrekk av disse linjene i et parallellogram: skjæringspunktet deler dem i to.

Bevis: La dvs. være skjæringspunktet mellom diagonalene AC og BD til figur ABCD. De danner to tilsvarende trekanter - ∆ABE og ∆CDE.

AB=CD siden de er motsetninger. I henhold til linjene og sekanten, ∠ABE = ∠CDE og ∠BAE = ∠DCE.

I følge det andre likhetskriteriet er ∆ABE = ∆CDE. Dette betyr at elementene ∆ABE og ∆CDE: AE = CE, BE = DE og samtidig er de proporsjonale deler av AC og BD. Eiendommen er påvist.

Funksjoner av tilstøtende hjørner

Tilstøtende sider har en sum av vinkler lik 180°, siden de ligger på samme side av parallelle linjer og en tverrgående. For firkant ABCD:

∠A+∠B=∠C+∠D=∠A+∠D=∠B+∠C=180º

Egenskaper til halveringslinjen:

1. , senket til den ene siden, er vinkelrett;
2. motsatte hjørner har parallelle halveringslinjer;
3. trekanten oppnådd ved å tegne en halveringslinje vil være likebenet.

Bestemmelse av karakteristiske trekk ved et parallellogram ved hjelp av teoremet

Egenskapene til denne figuren følger av hovedteoremet, som sier følgende: en firkant regnes som et parallellogram i tilfelle diagonalene skjærer hverandre, og dette punktet deler dem i like segmenter.

Bevis: la linjene AC og BD til firkanten ABCD krysse i d.v.s. Siden ∠AED = ∠BEC, og AE+CE=AC BE+DE=BD, så er ∆AED = ∆BEC (etter det første kriteriet for trekanters likhet). Det vil si ∠EAD = ∠ECB. De er også de indre kryssvinklene til sekanten AC for linjene AD og BC. Dermed, per definisjon av parallellisme - AD || B.C. En lignende egenskap til linjene BC og CD er også utledet. Teoremet er bevist.

Beregning av arealet til en figur

Arealet av denne figuren funnet på flere måter en av de enkleste: multiplisere høyden og basen som den er trukket til.

Bevis: tegn perpendikulære BE og CF fra toppunktene B og C. ∆ABE og ∆DCF er like, siden AB = CD og BE = CF. ABCD er lik størrelse med rektangelet EBCF, siden de består av tilsvarende figurer: SABE og S EBCD, samt S DCF og S EBCD. Det følger av dette at arealet til denne geometriske figuren er det samme som for et rektangel:

S ABCD = S EBCF = BE×BC=BE×AD.

For å bestemme den generelle formelen for arealet av et parallellogram, la oss betegne høyden som hb, og siden - b. Henholdsvis:

Andre måter å finne området på

Arealberegninger gjennom sidene av parallellogrammet og vinkelen, som de danner, er den andre kjente metoden.

,

Spr-ma - område;

a og b er sidene

α er vinkelen mellom segmentene a og b.

Denne metoden er praktisk talt basert på den første, men i tilfelle den er ukjent. kutter alltid av en rettvinklet trekant hvis parametere er funnet av trigonometriske identiteter, det vil si. Ved å transformere forholdet får vi . I ligningen til den første metoden erstatter vi høyden med dette produktet og får et bevis på gyldigheten av denne formelen.

Gjennom diagonalene til et parallellogram og vinkelen, som de lager når de krysser hverandre, kan du også finne området.

Bevis: AC og BD krysser hverandre for å danne fire trekanter: ABE, BEC, CDE og AED. Summen deres er lik arealet til denne firkanten.

Arealet til hver av disse ∆ kan finnes ved uttrykket , hvor a=BE, b=AE, ∠γ =∠AEB. Siden bruker beregningene en enkelt sinusverdi. Det vil si . Siden AE+CE=AC= d 1 og BE+DE=BD= d 2, reduseres arealformelen til:

.

Applikasjon i vektoralgebra

Funksjonene til de konstituerende delene av denne firkanten har funnet anvendelse i vektoralgebra, nemlig tillegg av to vektorer. Parallellogramregelen sier det hvis gitt vektorerOgIkkeer kollineære, vil summen deres være lik diagonalen til denne figuren, hvis base tilsvarer disse vektorene.

Bevis: fra en vilkårlig valgt begynnelse - dvs. - konstruere vektorer og . Deretter konstruerer vi et parallellogram OASV, hvor segmentene OA og OB er sider. Dermed ligger OS på vektoren eller summen.

Formler for å beregne parametrene til et parallellogram

Identitetene oppgis under følgende betingelser:

1. a og b, α - sider og vinkelen mellom dem;
2. d 1 og d 2, γ - diagonaler og ved skjæringspunktet;
3. h a og h b - høyder senket til sidene a og b;

Parameter	Formel
Finne sidene
langs diagonalene og cosinus til vinkelen mellom dem
langs diagonaler og sider
gjennom høyden og motsatt toppunkt
Finne lengden på diagonaler
på sidene og størrelsen på toppen mellom dem
langs sidene og en av diagonalene	 Konklusjon Parallellogrammet, som en av nøkkelfigurene for geometri, brukes i livet, for eksempel i konstruksjon når man beregner arealet til et sted eller andre målinger. Derfor kan kunnskap om de karakteristiske egenskapene og metodene for å beregne de ulike parameterne være nyttig når som helst i livet.

Definisjon av parallellogram

Parallelogram er en firkant der motsatte sider er like og parallelle.

Online kalkulator

Parallellogrammet har noen nyttige egenskaper som gjør det lettere å løse problemer som involverer denne figuren. For eksempel er en av egenskapene at motsatte vinkler til et parallellogram er like.

La oss vurdere flere metoder og formler etterfulgt av å løse enkle eksempler.

Formel for arealet til et parallellogram basert på basen og høyden

Denne metoden for å finne området er sannsynligvis en av de mest grunnleggende og enkle, siden den er nesten identisk med formelen for å finne arealet til en trekant med noen få unntak. La oss først se på det generaliserte tilfellet uten å bruke tall.

La det gis et vilkårlig parallellogram med en base a a en, side b b b og høyde h h h, fraktet til vår base. Da er formelen for arealet til dette parallellogrammet:

S = a ⋅ h S=a\cdot h S=en ⋅h

A a en- base;
h h h- høyde.

La oss se på ett enkelt problem for å øve på å løse typiske problemer.

Finn arealet av et parallellogram der basen er kjent for å være 10 (cm) og høyden er 5 (cm).

Løsning

A = 10 a = 10 a =1 0
h = 5 h = 5 h =5

Vi erstatter det med formelen vår. Vi får:
S = 10 ⋅ 5 = 50 S=10\cdot 5=50S=1 0 ⋅ 5 = 5 0 (se kvm.)

Svar: 50 (se rute)

Formel for arealet av et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem

I dette tilfellet finner du den nødvendige verdien som følger:

S = a ⋅ b ⋅ sin ⁡ (α) S=a\cdot b\cdot\sin(\alpha)S=en ⋅b ⋅synd(α)

A, b a, b a, b- sider av et parallellogram;
α\alfa α - vinkel mellom sidene a a en Og b b b.

La oss nå løse et annet eksempel og bruke formelen beskrevet ovenfor.

Finn arealet av et parallellogram hvis siden er kjent a a en, som er basen og har en lengde på 20 (cm) og en omkrets p s s, numerisk lik 100 (cm), vinkelen mellom tilstøtende sider ( a a en Og b b b) er lik 30 grader.

Løsning

A = 20 a = 20 a =2 0
p = 100 p = 100 p =1 0 0
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

For å finne svaret kjenner vi bare den andre siden av denne firkanten. La oss finne henne. Omkretsen til et parallellogram er gitt av formelen:
p = a + a + b + b p=a+a+b+b p =a+a+b+b
100 = 20 + 20 + b + b 100=20+20+b+b1 0 0 = 2 0 + 2 0 + b+b
100 = 40 + 2b 100 = 40+2b 1 0 0 = 4 0 + 2 b
60 = 2b 60 = 2b 6 0 = 2 b
b = 30 b = 30 b =3 0

Den vanskeligste delen er over, alt som gjenstår er å erstatte våre verdier med sidene og vinkelen mellom dem:
S = 20 ⋅ 30 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 300 S=20\cdot 30\cdot\sin(30^(\circ))=300S=2 0 ⋅ 3 0 ⋅ synd (3 0 ∘ ) = 3 0 0 (se kvm.)

Svar: 300 (se kvm)

Formel for arealet til et parallellogram basert på diagonalene og vinkelen mellom dem

S = 1 2 ⋅ D ⋅ d ⋅ sin ⁡ (α) S=\frac(1)(2)\cdot D\cdot d\cdot\sin(\alpha)S=2 1 ​ ⋅ D⋅d⋅synd(α)

D D D- stor diagonal;
d d d- liten diagonal;
α\alfa α - spiss vinkel mellom diagonaler.

Oppgitt er diagonalene til et parallellogram lik 10 (cm) og 5 (cm). Vinkelen mellom dem er 30 grader. Beregn området.

Løsning

D=10 D=10 D=1 0
d = 5 d = 5 d =5
α = 3 0 ∘ \alpha=30^(\circ)α = 3 0 ∘

S = 1 2 ⋅ 10 ⋅ 5 ⋅ sin ⁡ (3 0 ∘) = 12,5 S=\frac(1)(2)\cdot 10 \cdot 5 \cdot\sin(30^(\circ))=12,5S=2 1 ​ ⋅ 1 0 ⋅ 5 ⋅ synd (3 0 ∘ ) = 1 2 . 5 (se kvm.)

Arealet til en geometrisk figur- en numerisk karakteristikk av en geometrisk figur som viser størrelsen på denne figuren (en del av overflaten begrenset av den lukkede konturen til denne figuren). Størrelsen på området uttrykkes ved antall kvadratiske enheter som det inneholder.

Trekantarealformler

1. Formel for arealet av en trekant ved side og høyde
   Arealet av en trekant lik halvparten av produktet av lengden av en side av en trekant og lengden av høyden trukket til denne siden
   
2. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den omskrevne sirkelen
   
3. Formel for arealet av en trekant basert på tre sider og radiusen til den innskrevne sirkelen
   Arealet av en trekant er lik produktet av halvperimeteren til trekanten og radiusen til den innskrevne sirkelen.
   
hvor S er arealet av trekanten,
- lengder på sidene i trekanten,
- høyden på trekanten,
- vinkelen mellom sidene og,
- radius av den innskrevne sirkelen,
R - radius av den omskrevne sirkelen,

Kvadratarealformler

1. Formel for arealet av et kvadrat ved sidelengde
   Firkantet område lik kvadratet på lengden på siden.
2. Formel for arealet av en firkant langs diagonallengden
   Firkantet område lik halve kvadratet av lengden på diagonalen.
   

   S=	1	2
   	2

hvor S er arealet av kvadratet,
- lengden på siden av firkanten,
- lengden på kvadratets diagonal.

Formel for rektangelareal

Arealet av et rektangel lik produktet av lengdene til de to tilstøtende sidene

hvor S er arealet av rektangelet,
- lengder på sidene av rektangelet.

Parallelogramarealformler

1. Formel for arealet av et parallellogram basert på sidelengde og høyde
   Arealet av et parallellogram
2. Formel for arealet til et parallellogram basert på to sider og vinkelen mellom dem
   Arealet av et parallellogram er lik produktet av lengdene på sidene multiplisert med sinusen til vinkelen mellom dem.
   

   a b sin α

hvor S er arealet av parallellogrammet,
- lengder på sidene av parallellogrammet,
- lengden på parallellogramhøyden,
- vinkelen mellom sidene av parallellogrammet.

Formler for området til en rombe

1. Formel for området til en rombe basert på sidelengde og høyde
   Området til en rombe lik produktet av lengden på siden og lengden på høyden senket til denne siden.
2. Formel for arealet til en rombe basert på sidelengde og vinkel
   Området til en rombe er lik produktet av kvadratet av lengden på siden og sinusen til vinkelen mellom sidene av romben.
3. Formel for området til en rombe basert på lengden på diagonalene
   Området til en rombe lik halvparten av produktet av lengdene til diagonalene.
hvor S er arealet av romben,
- lengden på siden av romben,
- lengden på høyden på romben,
- vinkelen mellom sidene av romben,
1, 2 - lengder av diagonaler.

Trapesformler for område

1. Herons formel for trapes

   Hvor S er arealet av trapeset,
   - lengder på basene til trapesen,
   - lengder på sidene av trapesen,