Når du studerer emnet numeriske, bokstavelige uttrykk og uttrykk med variabler, er det nødvendig å ta hensyn til konseptet uttrykksverdi. I denne artikkelen vil vi svare på spørsmålet, hva er verdien av et numerisk uttrykk, og hva som kalles verdien av et bokstavelig uttrykk og et uttrykk med variabler for de valgte verdiene til variablene. For å tydeliggjøre disse definisjonene gir vi eksempler.

Sidenavigering.

Hva er verdien av et numerisk uttrykk?

Bekjentskap med numeriske uttrykk begynner nesten fra de første timene i matematikk på skolen. Nesten umiddelbart introduseres begrepet "verdien av et numerisk uttrykk". Det refererer til uttrykk som består av tall forbundet med aritmetiske tegn (+, −, ·, :). La oss gi en passende definisjon.

Definisjon.

Verdien av et numerisk uttrykk- dette er tallet som oppnås etter å ha utført alle handlingene i det opprinnelige numeriske uttrykket.

Tenk for eksempel på det numeriske uttrykket 1+2. Etter utførelse får vi tallet 3, det er verdien av det numeriske uttrykket 1+2.

Ofte i uttrykket "verdien av et numerisk uttrykk" utelates ordet "numerisk", og de sier ganske enkelt "verdien av uttrykket", siden det fortsatt er klart hvilket uttrykk som menes.

Ovennevnte definisjon av betydningen av et uttrykk gjelder også for numeriske uttrykk av en mer kompleks form, som studeres på videregående. Her skal det bemerkes at man kan støte på numeriske uttrykk, hvis verdier ikke kan spesifiseres. Dette skyldes det faktum at det i noen uttrykk er umulig å utføre de registrerte handlingene. For eksempel kan vi derfor ikke spesifisere verdien av uttrykket 3:(2−2) . Slike numeriske uttrykk kalles uttrykk som ikke gir mening.

Ofte i praksis er det ikke så mye det numeriske uttrykket som er av interesse som dets verdi. Det vil si at oppgaven oppstår, som består i å bestemme verdien av dette uttrykket. I dette tilfellet sier de vanligvis at du må finne verdien av uttrykket. I denne artikkelen blir prosessen med å finne verdien av numeriske uttrykk av ulike typer analysert i detalj, og mange eksempler med detaljerte beskrivelser av løsninger vurderes.

Betydning av bokstavelige og variable uttrykk

I tillegg til numeriske uttrykk studerer de bokstavelige uttrykk, det vil si uttrykk der en eller flere bokstaver er til stede sammen med tall. Bokstaver i et bokstavelig uttrykk kan stå for forskjellige tall, og hvis bokstavene erstattes av disse tallene, blir det bokstavelige uttrykket et numerisk.

Definisjon.

Tallene som erstatter bokstaver i et bokstavelig uttrykk kalles betydningen av disse bokstavene, og verdien av det resulterende numeriske uttrykket kalles verdien av det bokstavelige uttrykket gitt verdiene til bokstavene.

Så, for bokstavelige uttrykk, snakker man ikke bare om betydningen av et bokstavelig uttrykk, men om betydningen av et bokstavelig uttrykk for gitte (gitte, indikerte, etc.) verdier av bokstaver.

La oss ta et eksempel. La oss ta det bokstavelige uttrykket 2·a+b . La verdiene til bokstavene a og b gis, for eksempel a=1 og b=6 . Ved å erstatte bokstavene i det opprinnelige uttrykket med verdiene deres, får vi et numerisk uttrykk på formen 2 1+6 , verdien er 8 . Dermed er tallet 8 verdien av det bokstavelige uttrykket 2·a+b gitt verdiene til bokstavene a=1 og b=6 . Hvis andre bokstavverdier ble gitt, ville vi fått verdien av det bokstavelige uttrykket for disse bokstavverdiene. For eksempel, med a=5 og b=1 har vi verdien 2 5+1=11 .

På videregående, når man studerer algebra, får bokstaver i bokstavelige uttrykk få forskjellige betydninger, slike bokstaver kalles variabler, og bokstavelige uttrykk er uttrykk med variabler. For disse uttrykkene introduseres konseptet med verdien av et uttrykk med variabler for de valgte verdiene til variablene. La oss finne ut hva det er.

Definisjon.

Verdien til et uttrykk med variabler for de valgte verdiene til variablene verdien til et numerisk uttrykk kalles, som oppnås etter å ha erstattet de valgte verdiene til variablene i det opprinnelige uttrykket.

La oss forklare den lydde definisjonen med et eksempel. Tenk på et uttrykk med variablene x og y på formen 3·x·y+y . La oss ta x=2 og y=4 , erstatte disse variabelverdiene i det opprinnelige uttrykket, vi får det numeriske uttrykket 3 2 4+4 . La oss beregne verdien av dette uttrykket: 3 2 4+4=24+4=28 . Funnverdien 28 er verdien til det opprinnelige uttrykket med variablene 3·x·y+y med de valgte verdiene av variablene x=2 og y=4 .

Hvis du velger andre verdier av variabler, for eksempel x=5 og y=0, vil disse valgte verdiene av variabler tilsvare verdien av uttrykket med variabler lik 3 5 0+0=0 .

Det kan bemerkes at noen ganger kan like verdier av uttrykket oppnås for forskjellige valgte verdier av variabler. For eksempel, for x=9 og y=1, er verdien av uttrykket 3 x y+y 28 (fordi 3 9 1+1=27+1=28 ), og ovenfor viste vi at samme verdi er uttrykk med variabler har ved x=2 og y=4 .

Variable verdier kan velges fra deres respektive områder med akseptable verdier. Ellers vil å erstatte verdiene til disse variablene i det opprinnelige uttrykket resultere i et numerisk uttrykk som ikke gir mening. Hvis du for eksempel velger x=0 , og erstatter denne verdien med uttrykket 1/x , får du det numeriske uttrykket 1/0 , som ikke gir mening fordi divisjon med null er udefinert.

Det gjenstår bare å legge til at det er uttrykk med variabler hvis verdier ikke avhenger av verdiene til deres konstituerende variabler. For eksempel avhenger ikke verdien av et uttrykk med en variabel x av formen 2+x−x av verdien til denne variabelen, den er lik 2 for en hvilken som helst valgt verdi av variabelen x fra utvalget av gyldige verdier, som i dette tilfellet er mengden av alle reelle tall.

Bibliografi.

• Matte: studier. for 5 celler. allmennutdanning institusjoner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: lærebok for 7 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Et bokstavelig uttrykk (eller et uttrykk med variabler) er et matematisk uttrykk som består av tall, bokstaver og tegn på matematiske operasjoner. For eksempel er følgende uttrykk bokstavelig:

a+b+4

Ved å bruke bokstavelige uttrykk kan du skrive ned lover, formler, likninger og funksjoner. Evnen til å manipulere bokstavelige uttrykk er nøkkelen til god kunnskap om algebra og høyere matematikk.

Ethvert alvorlig problem i matematikk kommer ned til å løse ligninger. Og for å kunne løse ligninger, må du kunne jobbe med bokstavelige uttrykk.

For å jobbe med bokstavelige uttrykk, må du studere grunnleggende aritmetikk godt: addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, grunnleggende matematikklover, brøker, handlinger med brøker, proporsjoner. Og ikke bare for å studere, men for å forstå grundig.

Leksjonens innhold

Variabler

Bokstaver som er inneholdt i bokstavelige uttrykk kalles variabler. For eksempel i uttrykket a+b+ 4 variabler er bokstaver en og b. Hvis vi i stedet for disse variablene erstatter noen tall, så er det bokstavelige uttrykket a+b+ 4 vil bli til et numerisk uttrykk, hvis verdi kan finnes.

Tall som erstattes med variabler kalles variable verdier. La oss for eksempel endre verdiene til variablene en og b. Bruk likhetstegnet for å endre verdier

a = 2, b = 3

Vi har endret verdiene til variablene en og b. variabel en tildelt en verdi 2 , variabel b tildelt en verdi 3 . Som et resultat, det bokstavelige uttrykket a+b+4 konverterer til et normalt numerisk uttrykk 2+3+4 hvis verdi kan finnes:

Når variabler multipliseres, skrives de sammen. For eksempel oppføringen ab betyr det samme som oppføringen a x b. Hvis vi erstatter i stedet for variabler en og b tall 2 og 3 , da får vi 6

Sammen kan du også skrive multiplikasjonen av et tall med et uttrykk i parentes. For eksempel i stedet for a×(b + c) kan skrives a(b + c). Ved å anvende den distributive loven om multiplikasjon får vi a(b + c)=ab+ac.

Odds

I bokstavelige uttrykk kan du ofte finne en notasjon der et tall og en variabel er skrevet sammen, for eksempel 3a. Faktisk er dette en forkortelse for å multiplisere tallet 3 med en variabel. en og denne oppføringen ser ut som 3×a .

Med andre ord uttrykket 3a er produktet av tallet 3 og variabelen en. Antall 3 i dette arbeidet kalles koeffisient. Denne koeffisienten viser hvor mange ganger variabelen vil økes en. Dette uttrykket kan leses som " en tre ganger eller tre ganger en", eller "øk verdien av variabelen en tre ganger", men leses oftest som "tre en«

For eksempel hvis variabelen en er lik 5 , deretter verdien av uttrykket 3a vil være lik 15.

3 x 5 = 15

Enkelt sagt er koeffisienten tallet som kommer før bokstaven (før variabelen).

Det kan for eksempel være flere bokstaver 5abc. Her er koeffisienten tallet 5 . Denne koeffisienten viser at produktet av variabler abcøker fem ganger. Dette uttrykket kan leses som " abc fem ganger" eller "øke verdien av uttrykket abc fem ganger" eller "fem abc«.

Hvis i stedet for variabler abc erstatte tallene 2, 3 og 4, deretter verdien av uttrykket 5abc vil være lik 120

5 x 2 x 3 x 4 = 120

Du kan mentalt forestille deg hvordan tallene 2, 3 og 4 først ble multiplisert, og den resulterende verdien økte fem ganger:

Tegnet til koeffisienten refererer kun til koeffisienten, og gjelder ikke for variabler.

Tenk på uttrykket −6b. Minus foran koeffisienten 6 , gjelder kun for koeffisienten 6 , og gjelder ikke for variabelen b. Å forstå dette faktum vil tillate deg å ikke gjøre feil i fremtiden med tegn.

Finn verdien av uttrykket −6b på b = 3.

−6b −6×b. For klarhetens skyld skriver vi uttrykket −6b i utvidet form og erstatte verdien av variabelen b

−6b = −6 × b = −6 × 3 = −18

Eksempel 2 Finn verdien av et uttrykk −6b på b = −5

La oss skrive uttrykket −6b i utvidet form

−6b = −6 × b = −6 × (−5) = 30

Eksempel 3 Finn verdien av et uttrykk −5a+b på a = 3 og b = 2

−5a+b er kortformen for −5 × a + b, derfor, for klarhetens skyld, skriver vi uttrykket −5×a+b i utvidet form og erstatte verdiene til variablene en og b

−5a + b = −5 × a + b = −5 × 3 + 2 = −15 + 2 = −13

Noen ganger skrives bokstaver uten koeffisient, for eksempel en eller ab. I dette tilfellet er koeffisienten én:

men enheten er tradisjonelt ikke skrevet ned, så de bare skriver en eller ab

Hvis det er et minus foran bokstaven, er koeffisienten et tall −1 . For eksempel uttrykket -en ser faktisk ut som −1a. Dette er produktet av minus én og variabelen en. Det kom ut slik:

−1 × a = −1a

Her ligger et lite triks. I uttrykket -en minus før variabel en refererer faktisk til den "usynlige enheten" og ikke variabelen en. Derfor, når du løser problemer, bør du være forsiktig.

For eksempel gitt uttrykket -en og vi blir bedt om å finne dens verdi på a = 2, så på skolen erstattet vi en toer i stedet for en variabel en og få svar −2 , ikke egentlig fokus på hvordan det ble. Faktisk var det en multiplikasjon av minus én med et positivt tall 2

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × 2 = −2

Hvis et uttrykk er gitt -en og det kreves å finne sin verdi på a = −2, så erstatter vi −2 i stedet for en variabel en

-a = -1 × a

−1 × a = −1 × (−2) = 2

For å unngå feil kan usynlige enheter først skrives eksplisitt.

Eksempel 4 Finn verdien av et uttrykk abc på a=2 , b=3 og c=4

Uttrykk abc 1×a×b×c. For klarhetens skyld skriver vi uttrykket abc a, b og c

1 x a x b x c = 1 x 2 x 3 x 4 = 24

Eksempel 5 Finn verdien av et uttrykk abc på a=−2, b=−3 og c=−4

La oss skrive uttrykket abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b og c

1 × a × b × c = 1 × (−2) × (−3) × (−4) = −24

Eksempel 6 Finn verdien av et uttrykk − abc på a=3, b=5 og c=7

Uttrykk − abc er kortformen for −1×a×b×c. For klarhetens skyld skriver vi uttrykket − abc i utvidet form og erstatte verdiene til variablene a, b og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × 3 × 5 × 7 = −105

Eksempel 7 Finn verdien av et uttrykk − abc på a=−2, b=−4 og c=−3

La oss skrive uttrykket − abc utvidet:

−abc = −1 × a × b × c

Erstatt verdien av variablene en , b og c

−abc = −1 × a × b × c = −1 × (−2) × (−4) × (−3) = 24

Hvordan bestemme koeffisienten

Noen ganger er det nødvendig å løse et problem der det kreves å bestemme koeffisienten til et uttrykk. I prinsippet er denne oppgaven veldig enkel. Det er nok å kunne multiplisere tall riktig.

For å bestemme koeffisienten i et uttrykk, må du multiplisere tallene som er inkludert i dette uttrykket separat, og multiplisere bokstavene separat. Den resulterende numeriske faktoren vil være koeffisienten.

Eksempel 1 7m×5a×(−3)×n

Uttrykket består av flere faktorer. Dette kan tydelig sees hvis uttrykket er skrevet i utvidet form. Det vil si fungerer 7m og 5a skriv i skjemaet 7×m og 5×a

7 × m × 5 × a × (−3) × n

Vi bruker den assosiative loven om multiplikasjon, som lar oss multiplisere faktorer i hvilken som helst rekkefølge. Nemlig multipliser tallene hver for seg og multipliser hver for seg bokstavene (variabler):

−3 × 7 × 5 × m × a × n = −105mann

Koeffisienten er −105 . Etter fullføring er bokstavdelen fortrinnsvis ordnet i alfabetisk rekkefølge:

-105 om morgenen

Eksempel 2 Bestem koeffisienten i uttrykket: −a×(−3)×2

−a × (−3) × 2 = −3 × 2 × (−a) = −6 × (−a) = 6a

Koeffisienten er 6.

Eksempel 3 Bestem koeffisienten i uttrykket:

La oss multiplisere tall og bokstaver hver for seg:

Koeffisienten er −1. Vær oppmerksom på at enheten ikke registreres, siden koeffisienten 1 vanligvis ikke registreres.

Disse tilsynelatende enkle oppgavene kan spille en veldig grusom spøk med oss. Det viser seg ofte at koeffisientens tegn er satt feil: enten er et minus utelatt, eller tvert imot er det satt forgjeves. For å unngå disse irriterende feilene må det studeres på et godt nivå.

Begreper i bokstavelige uttrykk

Når du legger til flere tall, får du summen av disse tallene. Tall som summerer kalles termer. Det kan være flere begreper, for eksempel:

1 + 2 + 3 + 4 + 5

Når et uttrykk består av ledd, er det mye lettere å regne det ut, siden det er lettere å addere enn å trekke fra. Men uttrykket kan inneholde ikke bare addisjon, men også subtraksjon, for eksempel:

1 + 2 − 3 + 4 − 5

I dette uttrykket er tallene 3 og 5 trukket fra, ikke lagt til. Men ingenting hindrer oss i å erstatte subtraksjon med addisjon. Da får vi igjen et uttrykk som består av termer:

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5)

Det gjør ikke noe at tallene -3 og -5 nå står med et minustegn. Hovedsaken er at alle tallene i dette uttrykket er forbundet med addisjonstegnet, det vil si at uttrykket er en sum.

Begge uttrykk 1 + 2 − 3 + 4 − 5 og 1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) er lik samme verdi - minus én

1 + 2 − 3 + 4 − 5 = −1

1 + 2 + (−3) + 4 + (−5) = −1

Dermed vil ikke verdien av uttrykket lide av at vi erstatter subtraksjon med addisjon et sted.

Du kan også erstatte subtraksjon med addisjon i bokstavelige uttrykk. Tenk for eksempel på følgende uttrykk:

7a + 6b - 3c + 2d - 4s

7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s)

For alle verdier av variabler a, b, c, d og s uttrykkene 7a + 6b - 3c + 2d - 4s og 7a + 6b + (−3c) + 2d + (−4s) vil være lik samme verdi.

Du må være forberedt på at en lærer på skolen eller en lærer ved et institutt kan kalle termer selv de tallene (eller variablene) som ikke er dem.

For eksempel hvis forskjellen er skrevet på tavlen a-b, da vil ikke læreren si det en er minuend, og b- egenandel. Han vil kalle begge variablene for ett vanlig ord - vilkår. Og alt på grunn av uttrykket til formen a-b matematiker ser hvordan summen a + (−b). I dette tilfellet blir uttrykket en sum, og variablene en og (−b) bli komponenter.

Lignende termer

Lignende termer er termer som har samme bokstavdel. Tenk for eksempel på uttrykket 7a + 6b + 2a. Vilkår 7a og 2a ha samme bokstavdel - variabel en. Så vilkårene 7a og 2a er like.

Vanligvis legges lignende termer til for å forenkle et uttrykk eller løse en ligning. Denne operasjonen kalles reduksjon av like vilkår.

For å bringe lignende termer, må du legge til koeffisientene til disse termene, og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen.

For eksempel gir vi lignende termer i uttrykket 3a + 4a + 5a. I dette tilfellet er alle begreper like. Vi legger til koeffisientene deres og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen - med variabelen en

3a + 4a + 5a = (3 + 4 + 5)×a = 12a

Slike termer er vanligvis gitt i sinnet, og resultatet registreres umiddelbart:

3a + 4a + 5a = 12a

Du kan også argumentere slik:

Det var 3 variabler a , 4 flere variabler a og 5 flere variabler a ble lagt til dem. Som et resultat fikk vi 12 variabler a

La oss vurdere flere eksempler på å redusere lignende termer. Med tanke på at dette emnet er veldig viktig, vil vi først skrive ned hver detalj i detalj. Til tross for at alt er veldig enkelt her, gjør de fleste mange feil. Mest på grunn av uoppmerksomhet, ikke uvitenhet.

Eksempel 1 3a + 2a + 6a + 8 en

Vi legger til koeffisientene i dette uttrykket og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen:

3a + 2a + 6a + 8a = (3 + 2 + 6 + 8) × a = 19a

design (3 + 2 + 6 + 8)×a du kan ikke skrive ned, så vi vil umiddelbart skrive ned svaret

3a + 2a + 6a + 8a = 19a

Eksempel 2 Ta med like termer i uttrykket 2a+a

Andre termin en skrevet uten en koeffisient, men faktisk innledes den med en koeffisient 1 , som vi ikke ser på grunn av at det ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + 1a

Nå presenterer vi lignende termer. Det vil si at vi legger til koeffisientene og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen:

2a + 1a = (2 + 1) × a = 3a

La oss skrive løsningen kort:

2a + a = 3a

2a+a, du kan argumentere på en annen måte:

Eksempel 3 Ta med like termer i uttrykket 2a - a

La oss erstatte subtraksjon med addisjon:

2a + (-a)

Andre termin (−a) skrevet uten koeffisient, men faktisk ser det ut som (−1a). Koeffisient −1 igjen usynlig på grunn av at den ikke er registrert. Så uttrykket ser slik ut:

2a + (−1a)

Nå presenterer vi lignende termer. Vi legger til koeffisientene og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen:

2a + (−1a) = (2 + (−1)) × a = 1a = a

Vanligvis skrevet kortere:

2a − a = a

Ta med like termer i uttrykket 2a−a Du kan også argumentere på en annen måte:

Det var 2 variabler a , trukket fra en variabel a , som et resultat var det bare en variabel a

Eksempel 4 Ta med like termer i uttrykket 6a - 3a + 4a - 8a

6a − 3a + 4a − 8a = 6a + (−3a) + 4a + (−8a)

Nå presenterer vi lignende termer. Vi legger til koeffisientene og multipliserer resultatet med den vanlige bokstavdelen

(6 + (−3) + 4 + (−8)) × a = −1a = −a

La oss skrive løsningen kort:

6a - 3a + 4a - 8a = -a

Det finnes uttrykk som inneholder flere forskjellige grupper av lignende termer. For eksempel, 3a + 3b + 7a + 2b. For slike uttrykk gjelder de samme reglene som for resten, nemlig å legge til koeffisientene og multiplisere resultatet med den vanlige bokstavdelen. Men for å unngå feil er det praktisk å understreke ulike grupper av termer med ulike linjer.

For eksempel i uttrykket 3a + 3b + 7a + 2b de begrepene som inneholder en variabel en, kan understrekes med én linje, og de termene som inneholder en variabel b, kan understrekes med to linjer:

Nå kan vi bringe like vilkår. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser resultatet med den vanlige bokstavdelen. Dette må gjøres for begge grupper av termer: for termer som inneholder en variabel en og for termer som inneholder variabelen b.

3a + 3b + 7a + 2b = (3+7)×a + (3 + 2)×b = 10a + 5b

Igjen, vi gjentar, uttrykket er enkelt, og lignende termer kan gis i sinnet:

3a + 3b + 7a + 2b = 10a + 5b

Eksempel 5 Ta med like termer i uttrykket 5a - 6a - 7b + b

Vi erstatter subtraksjon med addisjon der det er mulig:

5a − 6a −7b + b = 5a + (−6a) + (−7b) + b

Understrek like termer med forskjellige linjer. Termer som inneholder variabler en understrek med én linje, og begrepene innhold er variabler b, understreket med to linjer:

Nå kan vi bringe like vilkår. Det vil si, legg til koeffisientene og multipliser resultatet med den vanlige bokstavdelen:

5a + (−6a) + (−7b) + b = (5 + (−6))×a + ((−7) + 1)×b = −a + (−6b)

Hvis uttrykket inneholder vanlige tall uten alfabetiske faktorer, legges de til separat.

Eksempel 6 Ta med like termer i uttrykket 4a + 3a − 5 + 2b + 7

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 4a + 3a + (−5) + 2b + 7

La oss presentere lignende termer. Tall −5 og 7 har ikke bokstavelige faktorer, men de er lignende termer - du trenger bare å legge dem sammen. Og begrepet 2b vil forbli uendret, siden det er den eneste i dette uttrykket som har en bokstavfaktor b, og det er ingenting å legge det til:

4a + 3a + (−5) + 2b + 7 = (4 + 3)×a + 2b + (−5) + 7 = 7a + 2b + 2

La oss skrive løsningen kort:

4a + 3a − 5 + 2b + 7 = 7a + 2b + 2

Termer kan ordnes slik at de termene som har samme bokstavdel ligger i samme del av uttrykket.

Eksempel 7 Ta med like termer i uttrykket 5t+2x+3x+5t+x

Siden uttrykket er summen av flere ledd, lar dette oss vurdere det i hvilken som helst rekkefølge. Derfor er begrepene som inneholder variabelen t, kan skrives i begynnelsen av uttrykket, og termene som inneholder variabelen x på slutten av uttrykket:

5t+5t+2x+3x+x

Nå kan vi legge til lignende termer:

5t + 5t + 2x + 3x + x = (5+5)×t + (2+3+1)×x = 10t + 6x

La oss skrive løsningen kort:

5t + 2x + 3x + 5t + x = 10t + 6x

Summen av motsatte tall er null. Denne regelen fungerer også for bokstavelige uttrykk. Hvis uttrykket inneholder de samme begrepene, men med motsatte fortegn, kan du bli kvitt dem på stadiet med å redusere lignende begreper. Med andre ord, bare slipp dem fra uttrykket fordi summen deres er null.

Eksempel 8 Ta med like termer i uttrykket 3t − 4t − 3t + 2t

La oss erstatte subtraksjon med addisjon der det er mulig:

3t − 4t − 3t + 2t = 3t + (−4t) + (−3t) + 2t

Vilkår 3t og (−3t) er motsatte. Summen av motsatte ledd er lik null. Hvis vi fjerner denne nullen fra uttrykket, vil ikke verdien av uttrykket endres, så vi fjerner det. Og vi vil fjerne det ved vanlig sletting av vilkårene 3t og (−3t)

Som et resultat vil vi ha uttrykket (−4t) + 2t. I dette uttrykket kan du legge til like termer og få det endelige svaret:

(−4t) + 2t = ((−4) + 2)×t = −2t

La oss skrive løsningen kort:

Forenkling av uttrykk

"forenkle uttrykket" og følgende er uttrykket som skal forenkles. Forenkle uttrykk betyr å gjøre det enklere og kortere.

Faktisk har vi allerede behandlet forenkling av uttrykk ved reduksjon av brøker. Etter reduksjonen ble brøken kortere og lettere å lese.

Tenk på følgende eksempel. Forenkle uttrykket.

Denne oppgaven kan bokstavelig talt forstås som følger: "Gjør hva du kan med dette uttrykket, men gjør det enklere" .

I dette tilfellet kan du redusere brøken, nemlig dele telleren og nevneren til brøken med 2:

Hva annet kan gjøres? Du kan beregne den resulterende brøken. Da får vi desimalen 0,5

Som et resultat ble fraksjonen forenklet til 0,5.

Det første spørsmålet å stille deg selv når du løser slike problemer bør være "hva kan bli gjort?" . For det er ting du kan gjøre og det er ting du ikke kan.

Et annet viktig poeng å huske på er at verdien av et uttrykk ikke må endres etter at uttrykket er forenklet. La oss gå tilbake til uttrykket. Dette uttrykket er en deling som kan utføres. Etter å ha utført denne delingen får vi verdien av dette uttrykket, som er lik 0,5

Men vi forenklet uttrykket og fikk et nytt forenklet uttrykk . Verdien av det nye forenklede uttrykket er fortsatt 0,5

Men vi prøvde også å forenkle uttrykket ved å regne det ut. Som et resultat ble det endelige svaret 0,5.

Dermed, uansett hvordan vi forenkler uttrykket, er verdien av de resulterende uttrykkene fortsatt 0,5. Dette betyr at forenklingen ble utført korrekt på hvert trinn. Det er dette vi må strebe etter når vi forenkler uttrykk – meningen med uttrykket skal ikke lide under våre handlinger.

Det er ofte nødvendig å forenkle bokstavelige uttrykk. For dem gjelder de samme forenklingsreglene som for numeriske uttrykk. Du kan utføre en hvilken som helst gyldig handling, så lenge verdien av uttrykket ikke endres.

La oss se på noen få eksempler.

Eksempel 1 Forenkle uttrykk 5,21s × t × 2,5

For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tallene hver for seg og multiplisere bokstavene hver for seg. Denne oppgaven er veldig lik den vi vurderte da vi lærte å bestemme koeffisienten:

5,21s × t × 2,5 = 5,21 × 2,5 × s × t = 13,025 × st = 13,025st

Så uttrykket 5,21s × t × 2,5 forenklet til 13.025.

Eksempel 2 Forenkle uttrykk −0,4×(−6,3b)×2

Andre arbeid (−6.3b) kan oversettes til et skjema som er forståelig for oss, nemlig skrevet i skjemaet ( −6,3)×b , multipliser deretter tallene hver for seg og multipliser hver for seg bokstavene:

− 0,4 × (−6,3b) × 2 = − 0,4 × (−6,3) × b × 2 = 5,04b

Så uttrykket −0,4×(−6,3b)×2 forenklet til 5.04b

Eksempel 3 Forenkle uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

Nå multipliserer vi tallene hver for seg og multipliserer bokstavene hver for seg:

Så uttrykket forenklet til −abc. Denne løsningen kan skrives kortere:

Ved forenkling av uttrykk kan brøker reduseres i prosessen med å løse, og ikke helt til slutt, slik vi gjorde med vanlige brøker. For eksempel, hvis vi i løpet av løsningen kommer over et uttrykk for formen, er det slett ikke nødvendig å beregne telleren og nevneren og gjøre noe som dette:

En brøk kan reduseres ved å velge både faktoren i telleren og nevneren og redusere disse faktorene med deres største felles divisor. Med andre ord, bruk , der vi ikke beskriver i detalj hva telleren og nevneren ble delt inn i.

For eksempel, i telleren, faktoren 12 og i nevneren, kan faktoren 4 reduseres med 4. Vi har de fire i tankene, og ved å dele 12 og 4 på disse fire, skriver vi svarene ved siden av disse tallene, og har tidligere strøket dem ut

Nå kan du multiplisere de resulterende små faktorene. I dette tilfellet er det ikke mange av dem, og du kan multiplisere dem i tankene dine:

Over tid kan du oppdage at når du løser et bestemt problem, begynner uttrykkene å "bli fete", så det er lurt å venne seg til raske beregninger. Det som kan beregnes i sinnet, må beregnes i sinnet. Det som kan kuttes raskt, bør kuttes raskt.

Eksempel 4 Forenkle uttrykk

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 5 Forenkle uttrykk

Vi multipliserer tall separat og bokstaver separat:

Så uttrykket forenklet til mn.

Eksempel 6 Forenkle uttrykk

La oss skrive dette uttrykket mer detaljert for å tydelig se hvor tallene er og hvor bokstavene er:

Nå multipliserer vi tallene hver for seg og bokstavene hver for seg. For enkelhets skyld kan desimalbrøken -6.4 og det blandede tallet konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til

Løsningen for dette eksemplet kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Eksempel 7 Forenkle uttrykk

Vi multipliserer tall hver for seg og bokstaver hver for seg. For enkelhets skyld kan de blandede tall- og desimalbrøkene 0,1 og 0,6 konverteres til vanlige brøker:

Så uttrykket forenklet til abcd. Hvis du hopper over detaljene, kan denne løsningen skrives mye kortere:

Legg merke til hvordan brøken er redusert. Nye multiplikatorer, som oppnås ved å redusere de tidligere multiplikatorene, kan også reduseres.

La oss nå snakke om hva vi ikke skal gjøre. Ved forenkling av uttrykk er det strengt forbudt å multiplisere tall og bokstaver dersom uttrykket er en sum og ikke et produkt.

For eksempel hvis du ønsker å forenkle uttrykket 5a + 4b, så kan det ikke skrives som følger:

Dette tilsvarer det faktum at hvis vi ble bedt om å legge til to tall, og vi ville multiplisert dem i stedet for å legge dem sammen.

Når du erstatter verdier av variabler en og b uttrykk 5a+4b blir til et enkelt numerisk uttrykk. La oss anta variablene en og b har følgende betydninger:

a = 2, b = 3

Da vil verdien av uttrykket være 22

5a + 4b = 5 × 2 + 4 × 3 = 10 + 12 = 22

Først utføres multiplikasjonen, og deretter legges resultatene til. Og hvis vi prøvde å forenkle dette uttrykket ved å multiplisere tall og bokstaver, ville vi få følgende:

5a + 4b = 5 × 4 × a × b = 20ab

20ab = 20 x 2 x 3 = 120

Det viser seg en helt annen betydning av uttrykket. I det første tilfellet viste det seg 22 , i det andre tilfellet 120 . Dette betyr at forenklingen av uttrykket 5a + 4b ble utført feil.

Etter å ha forenklet uttrykket, bør verdien ikke endres med de samme verdiene til variablene. Hvis det oppnås én verdi når du erstatter noen variabelverdier i det opprinnelige uttrykket, bør samme verdi oppnås etter forenkling av uttrykket som før forenkling.

Med uttrykk 5a + 4b faktisk ingenting kan gjøres. Det blir ikke enklere.

Hvis uttrykket inneholder lignende termer, kan de legges til hvis målet vårt er å forenkle uttrykket.

Eksempel 8 Forenkle uttrykk 0,3a−0,4a+a

0,3a − 0,4a + a = 0,3a + (−0,4a) + a = (0,3 + (−0,4) + 1)×a = 0,9a

eller kortere: 0,3a - 0,4a + a = 0,9a

Så uttrykket 0,3a−0,4a+a forenklet til 0,9a

Eksempel 9 Forenkle uttrykk −7,5a − 2,5b + 4a

For å forenkle dette uttrykket kan du legge til slike termer:

−7,5a − 2,5b + 4a = −7,5a + (−2,5b) + 4a = ((−7,5) + 4)×a + (−2,5b) = −3,5a + (−2,5b)

eller kortere −7,5a − 2,5b + 4a = −3,5a + (−2,5b)

begrep (−2,5b) forble uendret, siden det ikke var noe å brette den med.

Eksempel 10 Forenkle uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan du legge til slike termer:

Koeffisienten var for enkelhets skyld ved beregningen.

Så uttrykket forenklet til

Eksempel 11. Forenkle uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan du legge til slike termer:

Så uttrykket forenklet til.

I dette eksemplet vil det være mer fornuftig å legge til den første og siste koeffisienten først. I dette tilfellet vil vi få en kort løsning. Det ville sett slik ut:

Eksempel 12. Forenkle uttrykk

For å forenkle dette uttrykket kan du legge til slike termer:

Så uttrykket forenklet til .

Begrepet forble uendret, siden det ikke var noe å legge det til.

Denne løsningen kan skrives mye kortere. Det vil se slik ut:

Den korte løsningen utelater trinnene med å erstatte subtraksjon med addisjon og en detaljert oversikt over hvordan brøkene ble redusert til en fellesnevner.

En annen forskjell er at i detaljløsningen ser svaret slik ut , men kort sagt . Egentlig er det samme uttrykk. Forskjellen er at i det første tilfellet erstattes subtraksjon med addisjon, fordi i begynnelsen, da vi skrev ned løsningen i en detaljert form, erstattet vi subtraksjon med addisjon der det var mulig, og denne erstatningen ble bevart for svaret.

Identiteter. Identiske like uttrykk

Etter at vi har forenklet ethvert uttrykk, blir det enklere og kortere. For å sjekke om et uttrykk er riktig forenklet, er det nok å erstatte eventuelle verdier av variablene først i det forrige uttrykket, som skulle forenkles, og deretter i det nye, som ble forenklet. Hvis verdien i begge uttrykkene er den samme, er uttrykket riktig forenklet.

La oss vurdere det enkleste eksemplet. La det kreves å forenkle uttrykket 2a × 7b. For å forenkle dette uttrykket kan du multiplisere tallene og bokstavene separat:

2a × 7b = 2 × 7 × a × b = 14ab

La oss sjekke om vi forenklet uttrykket riktig. For å gjøre dette, erstatte eventuelle verdier av variablene en og b først til det første uttrykket, som måtte forenkles, og deretter til det andre, som ble forenklet.

La verdiene til variablene en , b vil være som følger:

a = 4, b = 5

Erstatt dem i det første uttrykket 2a × 7b

La oss nå erstatte de samme verdiene til variablene i uttrykket som ble resultatet av forenklingen 2a×7b, nemlig i uttrykket 14ab

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Det ser vi kl a=4 og b=5 verdien av det første uttrykket 2a×7b og verdien av det andre uttrykket 14ab lik

2a × 7b = 2 × 4 × 7 × 5 = 280

14ab = 14 x 4 x 5 = 280

Det samme vil skje for andre verdier. La for eksempel a=1 og b=2

2a × 7b = 2 × 1 × 7 × 2 = 28

14ab = 14 x 1 x 2 = 28

Dermed, for alle verdier av variablene, uttrykkene 2a×7b og 14ab er lik samme verdi. Slike uttrykk kalles identisk like.

Vi konkluderer med det mellom uttrykkene 2a×7b og 14ab du kan sette et likhetstegn, siden de er like med samme verdi.

2a × 7b = 14ab

En likhet er ethvert uttrykk som er forbundet med et likhetstegn (=).

Og likheten i formen 2a×7b = 14ab kalt identitet.

En identitet er en likhet som er sann for alle verdier av variablene.

Andre eksempler på identiteter:

a + b = b + a

a(b+c) = ab + ac

a(bc) = (ab)c

Ja, matematikkens lover som vi studerte er identiteter.

Ekte numeriske likheter er også identiteter. For eksempel:

2 + 2 = 4

3 + 3 = 5 + 1

10 = 7 + 2 + 1

Ved løsning av et komplekst problem, for å lette utregningen, erstattes det komplekse uttrykket med et enklere uttrykk som er identisk likt det forrige. En slik erstatning kalles identisk transformasjon av uttrykket eller rett og slett uttrykkskonvertering.

For eksempel har vi forenklet uttrykket 2a × 7b, og få et enklere uttrykk 14ab. Denne forenklingen kan kalles identitetstransformasjonen.

Du kan ofte finne en oppgave som sier "bevis at likhet er identitet" og så gis likheten som skal bevises. Vanligvis består denne likheten av to deler: venstre og høyre del av likheten. Vår oppgave er å utføre identiske transformasjoner med en av delene av likestillingen og få den andre delen. Eller utfør identiske transformasjoner med begge deler av likheten og sørg for at begge deler av likheten inneholder de samme uttrykkene.

For eksempel, la oss bevise at likheten 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Forenkle venstre side av denne likestillingen. For å gjøre dette, multipliser tallene og bokstavene hver for seg:

0,5 × 5 × a × b = 2,5ab

2,5ab = 2,5ab

Som et resultat av en liten identitetstransformasjon ble venstre side av likheten lik høyre side av likheten. Så vi har bevist at likestillingen 0,5a × 5b = 2,5ab er en identitet.

Fra identiske transformasjoner lærte vi å addere, subtrahere, multiplisere og dividere tall, redusere brøker, bringe like termer og også forenkle noen uttrykk.

Men dette er langt fra alle identiske transformasjoner som finnes i matematikk. Det er mange flere identiske transformasjoner. Vi vil se dette igjen og igjen i fremtiden.

Oppgaver for selvstendig løsning:

Likte du leksjonen?
Bli med i vår nye Vkontakte-gruppe og begynn å motta varsler om nye leksjoner

Å skrive vilkårene for problemer ved å bruke notasjonen som er akseptert i matematikk fører til utseendet til såkalte matematiske uttrykk, som ganske enkelt kalles uttrykk. I denne artikkelen vil vi snakke i detalj om numeriske, bokstavelige og variable uttrykk: vi vil gi definisjoner og gi eksempler på uttrykk av hver type.

Sidenavigering.

Numeriske uttrykk - hva er det?

Bekjentskap med numeriske uttrykk begynner nesten fra de aller første timene i matematikk. Men navnet deres - numeriske uttrykk - får de offisielt litt senere. For eksempel, hvis du følger kurset til M. I. Moro, skjer dette på sidene i en lærebok i matematikk for klasse 2. Der er representasjonen av numeriske uttrykk gitt som følger: 3+5, 12+1−6, 18−(4+6), 1+1+1+1+1, etc. - det er alt numeriske uttrykk, og hvis vi utfører de angitte handlingene i uttrykket, vil vi finne uttrykksverdi.

Det kan konkluderes med at på dette stadiet av studiet av matematikk kalles numeriske uttrykk for poster som har matematisk betydning, sammensatt av tall, parentes og tegn på addisjon og subtraksjon.

Litt senere, etter å ha blitt kjent med multiplikasjon og divisjon, begynner oppføringene av numeriske uttrykk å inneholde tegnene "·" og ":". Her er noen eksempler: 6 4 , (2+5) 2 , 6:2 , (9 3):3 osv.

Og på videregående vokser variasjonen av oppføringer for numeriske uttrykk som en snøball som ruller nedover et fjell. Vanlige og desimalbrøker, blandede tall og negative tall, potenser, røtter, logaritmer, sinus, cosinus og så videre vises i dem.

La oss oppsummere all informasjonen i definisjonen av et numerisk uttrykk:

Definisjon.

Numerisk uttrykk er en kombinasjon av tall, tegn på aritmetiske operasjoner, brøkstreker, rottegn (radikaler), logaritmer, notasjon av trigonometriske, invers trigonometriske og andre funksjoner, samt parenteser og andre spesielle matematiske symboler, satt sammen i samsvar med reglene som er akseptert i matematikk.

La oss forklare alle bestanddelene i den uttrykte definisjonen.

Absolutt alle tall kan delta i numeriske uttrykk: fra naturlig til ekte, og til og med komplekse. Det vil si i numeriske uttrykk man kan møte

Alt er klart med tegnene til aritmetiske operasjoner - dette er tegnene på henholdsvis addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon, med formen "+", "−", "·" og ":". I numeriske uttrykk kan en av disse karakterene, noen av dem, eller alle på en gang, og mer enn én gang, være tilstede. Her er eksempler på numeriske uttrykk med dem: 3+6 , 2.2+3.3+4.4+5.5 , 41−2 4:2−5+12 3 2:2:3:12−1/12.

Når det gjelder parentes, er det både numeriske uttrykk der det er parentes, og uttrykk uten dem. Hvis det er parentes i et numerisk uttrykk, så er de det i utgangspunktet

Og noen ganger har parenteser i numeriske uttrykk et spesifikt, separat angitt spesielt formål. For eksempel kan du finne hakeparenteser som angir heltallsdelen av tallet, så det numeriske uttrykket +2 betyr at tallet 2 legges til heltallsdelen av tallet 1,75.

Fra definisjonen av et numerisk uttrykk er det også klart at uttrykket kan inneholde , , log , ln , lg , betegnelser eller etc. Her er eksempler på numeriske uttrykk med dem: tgπ , arcsin1+arccos1−π/2 og .

Divisjon i numeriske uttrykk kan betegnes med . I dette tilfellet er det numeriske uttrykk med brøker. Her er eksempler på slike uttrykk: 1/(1+2) , 5+(2 3+1)/(7−2,2)+3 og .

Som spesielle matematiske symboler og notasjoner som kan finnes i numeriske uttrykk, gir vi. La oss for eksempel vise et numerisk uttrykk med en modul .

Hva er bokstavelige uttrykk?

Begrepet bokstavelige uttrykk er gitt nesten umiddelbart etter å ha blitt kjent med numeriske uttrykk. Det legges inn slik. I et bestemt numerisk uttrykk skrives ikke et av tallene ned, men en sirkel (eller en firkant eller noe lignende) settes i stedet, og det sies at et bestemt tall kan erstatte sirkelen. La oss ta oppføringen som et eksempel. Setter du for eksempel tallet 2 i stedet for en firkant, får du et numerisk uttrykk 3 + 2. Så i stedet for sirkler, firkanter osv. gikk med på å skrive brev, og slike uttrykk med bokstaver ble kalt bokstavelige uttrykk. La oss gå tilbake til vårt eksempel, hvis vi i denne oppføringen i stedet for et kvadrat setter bokstaven a, får vi et bokstavelig uttrykk av formen 3+a.

Så hvis vi i et numerisk uttrykk tillater tilstedeværelsen av bokstaver som angir noen tall, får vi det såkalte bokstavelige uttrykket. La oss gi en passende definisjon.

Definisjon.

Et uttrykk som inneholder bokstaver som angir noen tall kalles bokstavelig uttrykk.

Fra denne definisjonen er det klart at et bokstavelig uttrykk fundamentalt skiller seg fra et numerisk uttrykk ved at det kan inneholde bokstaver. Vanligvis, i bokstavelige uttrykk, brukes små bokstaver i det latinske alfabetet (a, b, c, ...), og når vinkler betegnes, små bokstaver i det greske alfabetet (α, β, γ, ...).

Så bokstavelige uttrykk kan bestå av tall, bokstaver og inneholde alle de matematiske symbolene som kan finnes i numeriske uttrykk, for eksempel parentes, rottegn, logaritmer, trigonometriske og andre funksjoner, etc. Hver for seg understreker vi at et bokstavelig uttrykk inneholder minst én bokstav. Men den kan også inneholde flere like eller forskjellige bokstaver.

Nå gir vi noen eksempler på bokstavelige uttrykk. For eksempel er a+b et bokstavelig uttrykk med bokstavene a og b . Her er et annet eksempel på det bokstavelige uttrykket 5 x 3 −3 x 2 +x−2,5. Og vi gir et eksempel på et bokstavelig uttrykk for en kompleks form: .

Uttrykk med variabler

Hvis en bokstav i et bokstavelig uttrykk angir en verdi som ikke antar en bestemt verdi, men som kan anta forskjellige verdier, kalles denne bokstaven variabel og uttrykket heter variabelt uttrykk.

Definisjon.

Uttrykk med variabler er et bokstavelig uttrykk der bokstavene (alle eller noen) angir mengder som får ulike verdier.

La for eksempel i uttrykket x 2 −1 bokstaven x ta alle naturlige verdier fra intervallet fra 0 til 10, så er x en variabel, og uttrykket x 2 −1 er et uttrykk med variabelen x .

Det er verdt å merke seg at det kan være flere variabler i et uttrykk. For eksempel, hvis vi betrakter x og y som variabler, så uttrykket er et uttrykk med to variabler x og y .

Generelt skjer overgangen fra begrepet et bokstavelig uttrykk til et uttrykk med variabler i 7. klasse, når de begynner å studere algebra. Frem til dette punktet har bokstavelige uttrykk modellert noen spesifikke oppgaver. I algebra begynner de å se på uttrykket mer generelt, uten referanse til en spesifikk oppgave, med den forståelse at dette uttrykket passer til et stort antall oppgaver.

Avslutningsvis av dette avsnittet, la oss ta hensyn til ett punkt til: ved utseendet til et bokstavelig uttrykk er det umulig å vite om bokstavene som er inkludert i det er variabler eller ikke. Derfor er det ingenting som hindrer oss i å betrakte disse bokstavene som variabler. I dette tilfellet forsvinner forskjellen mellom begrepene «bokstavelig uttrykk» og «uttrykk med variabler».

Bibliografi.

• Matte. 2 celler Proc. for allmennutdanning institusjoner med adj. til et elektron. transportør. Klokken 2, del 1 / [M. I. Moro, M. A. Bantova, G. V. Beltyukova og andre] - 3. utg. - M.: Utdanning, 2012. - 96 s.: ill. - (Russlands skole). - ISBN 978-5-09-028297-0.
• Matte: studier. for 5 celler. allmennutdanning institusjoner / N. Ya. Vilenkin, V. I. Zhokhov, A. S. Chesnokov, S. I. Shvartsburd. - 21. utg., slettet. - M.: Mnemosyne, 2007. - 280 s.: ill. ISBN 5-346-00699-0.
• Algebra: lærebok for 7 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 17. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 240 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Algebra: lærebok for 8 celler. allmennutdanning institusjoner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; utg. S. A. Telyakovsky. - 16. utg. - M. : Utdanning, 2008. - 271 s. : jeg vil. - ISBN 978-5-09-019243-9.

Numeriske og algebraiske uttrykk. Uttrykkskonvertering.

Hva er et uttrykk i matematikk? Hvorfor er uttrykkskonverteringer nødvendig?

Spørsmålet, som de sier, er interessant... Faktum er at disse begrepene er grunnlaget for all matematikk. All matematikk består av uttrykk og deres transformasjoner. Ikke veldig tydelig? La meg forklare.

La oss si at du har et ondt eksempel. Veldig stort og veldig komplekst. La oss si at du er god i matte og at du ikke er redd for noe! Kan du svare med en gang?

Det må du Bestemme seg for dette eksemplet. Sekvensielt, trinn for trinn, dette eksemplet forenkle. Etter visse regler, selvfølgelig. De. gjøre uttrykkskonvertering. Hvor vellykket du utfører disse transformasjonene, så er du sterk i matematikk. Hvis du ikke vet hvordan du gjør de riktige transformasjonene, kan du ikke gjøre det i matematikk ingenting...

For å unngå en så ubehagelig fremtid (eller nåtid ...), skader det ikke å forstå dette emnet.)

Til å begynne med, la oss finne ut hva er et uttrykk i matte. Hva numerisk uttrykk og hva er algebraisk uttrykk.

Hva er et uttrykk i matematikk?

Uttrykk i matematikk er et veldig vidt begrep. Nesten alt vi driver med i matematikk er et sett med matematiske uttrykk. Eventuelle eksempler, formler, brøker, ligninger og så videre - alt består av matematiske uttrykk.

3+2 er et matematisk uttrykk. c 2 - d 2 er også et matematisk uttrykk. Og en sunn brøkdel, og til og med ett tall - disse er alle matematiske uttrykk. Ligningen er for eksempel:

5x + 2 = 12

består av to matematiske uttrykk forbundet med et likhetstegn. Det ene uttrykket er til venstre, det andre er til høyre.

Generelt sett, begrepet matematisk uttrykk" brukes, oftest, for ikke å mumle. De vil spørre deg hva en vanlig brøk er, for eksempel? Og hvordan svare ?!

Svar 1: "Det er... m-m-m-m... en slik ting ... i hvilken ... Kan jeg skrive en brøk bedre? Hvilken vil du ha?"

Det andre svaralternativet: "En vanlig brøkdel er (med glede!) matematisk uttrykk , som består av en teller og en nevner!"

Det andre alternativet er på en måte mer imponerende, ikke sant?)

For dette formålet, uttrykket " matematisk uttrykk "veldig bra. Både riktig og solid. Men for praktisk bruk må du være godt bevandret spesifikke typer uttrykk i matematikk .

Den spesifikke typen er en annen sak. den en helt annen ting! Hver type matematisk uttrykk har min et sett med regler og teknikker som må brukes i avgjørelsen. Å jobbe med brøker - ett sett. For å jobbe med trigonometriske uttrykk - det andre. For å jobbe med logaritmer - den tredje. Og så videre. Et sted faller disse reglene sammen, et sted skiller de seg kraftig. Men vær ikke redd for disse forferdelige ordene. Logaritmer, trigonometri og andre mystiske ting skal vi mestre i de aktuelle avsnittene.

Her skal vi mestre (eller - gjenta, som du vil ...) to hovedtyper av matematiske uttrykk. Numeriske uttrykk og algebraiske uttrykk.

Numeriske uttrykk.

Hva numerisk uttrykk? Dette er et veldig enkelt konsept. Selve navnet antyder at dette er et uttrykk med tall. Det er slik det er. Et matematisk uttrykk som består av tall, parentes og tegn for aritmetiske operasjoner kalles et numerisk uttrykk.

7-3 er et numerisk uttrykk.

(8+3.2) 5.4 er også et numerisk uttrykk.

Og dette monsteret:

også et numerisk uttrykk, ja...

Et vanlig tall, en brøk, et hvilket som helst regneeksempel uten x-er og andre bokstaver - alt dette er numeriske uttrykk.

hovedfunksjon numerisk uttrykk i den ingen bokstaver. Ingen. Bare tall og matematiske ikoner (hvis nødvendig). Det er enkelt, ikke sant?

Og hva kan gjøres med numeriske uttrykk? Numeriske uttrykk kan vanligvis telles. For å gjøre dette må du noen ganger åpne parenteser, endre skilt, forkorte, bytte termer - dvs. gjøre uttrykkskonverteringer. Men mer om det nedenfor.

Her skal vi ta for oss et så morsomt tilfelle når vi har et numerisk uttrykk du trenger ikke å gjøre noe. Vel, ingenting i det hele tatt! Denne fine operasjonen Å ikke gjøre noe)- utføres når uttrykket gir ikke mening.

Når gir et numerisk uttrykk ikke mening?

Selvfølgelig, hvis vi ser en slags abrakadabra foran oss, som f.eks

da gjør vi ingenting. Siden det ikke er klart hva man skal gjøre med det. Noe tull. Med mindre, for å telle antall plusser ...

Men det er utad ganske greie uttrykk. For eksempel dette:

(2+3): (16 - 2 8)

Dette uttrykket er imidlertid også gir ikke mening! Av den enkle grunn at i andre parentes - hvis du teller - får du null. Du kan ikke dele på null! Dette er en forbudt operasjon i matematikk. Derfor er det heller ikke nødvendig å gjøre noe med dette uttrykket. For enhver oppgave med et slikt uttrykk vil svaret alltid være det samme: "Uttrykket gir ikke mening!"

For å gi et slikt svar måtte jeg selvfølgelig regne ut hva som ville stå i parentes. Og noen ganger i parentes en slik vri ... Vel, det er ingenting å gjøre med det.

Det er ikke så mange forbudte operasjoner i matematikk. Det er bare en i denne tråden. Divisjon med null. Ytterligere forbud som oppstår i røtter og logaritmer er diskutert i de aktuelle emnene.

Så en ide om hva som er numerisk uttrykk- fikk. konsept numerisk uttrykk gir ikke mening- realisert. La oss gå videre.

Algebraiske uttrykk.

Hvis det dukker opp bokstaver i et numerisk uttrykk, blir dette uttrykket... Uttrykket blir... Ja! Det blir algebraisk uttrykk. For eksempel:

5a2; 3x-2y; 3(z-2); 3,4 m/n; x 2 +4x-4; (a + b) 2; ...

Slike uttrykk kalles også bokstavelige uttrykk. Eller uttrykk med variabler. Det er praktisk talt det samme. Uttrykk 5a +c, for eksempel - både bokstavelig og algebraisk, og uttrykk med variabler.

konsept algebraisk uttrykk - bredere enn numerisk. Den inkluderer og alle numeriske uttrykk. De. et numerisk uttrykk er også et algebraisk uttrykk, bare uten bokstavene. Hver sild er en fisk, men ikke hver fisk er en sild...)

Hvorfor bokstavelig- klart. Vel, siden det er bokstaver ... Frase uttrykk med variabler heller ikke veldig forvirrende. Hvis du forstår at tall er skjult under bokstavene. Alle slags tall kan skjules under bokstavene ... Og 5, og -18, og hva du vil. Det vil si at et brev kan erstatte for forskjellige tall. Det er derfor bokstavene kalles variabler.

I uttrykket y+5, for eksempel, på- variabel. Eller bare si " variabel", uten ordet "verdi". I motsetning til de fem, som er en konstant verdi. Eller rett og slett - konstant.

Begrep algebraisk uttrykk betyr at for å jobbe med dette uttrykket, må du bruke lovene og reglene algebra. Hvis en aritmetikk fungerer med spesifikke tall, da algebra- med alle tallene på en gang. Et enkelt eksempel for klargjøring.

I regning kan man skrive det

Men hvis vi skriver en lignende likhet gjennom algebraiske uttrykk:

a + b = b + a

vi bestemmer oss umiddelbart alle spørsmål. Til alle tall slag. For uendelig mange ting. Fordi under bokstavene en og b underforstått alle tall. Og ikke bare tall, men også andre matematiske uttrykk. Slik fungerer algebra.

Når gir et algebraisk uttrykk ingen mening?

Alt er klart om det numeriske uttrykket. Du kan ikke dele på null. Og med bokstaver, er det mulig å finne ut hva vi deler på?!

La oss ta følgende variabeluttrykk som et eksempel:

2: (en - 5)

Gir det mening? Men hvem kjenner ham? en- hvilket som helst nummer...

Hvilken som helst... Men det er én mening en, som dette uttrykket for nøyaktig gir ikke mening! Og hva er det tallet? Ja! Det er 5! Hvis variabelen en erstatt (de sier - "erstatt") med tallet 5, i parentes vil null vise seg. som ikke kan deles. Så det viser seg at vårt uttrykk gir ikke mening, hvis a = 5. Men for andre verdier en gir det mening? Kan du erstatte andre tall?

Selvfølgelig. I slike tilfeller sies det bare at uttrykket

2: (en - 5)

gir mening for enhver verdi en, bortsett fra a = 5 .

Hele settet med tall kan erstatte inn i det gitte uttrykket kalles gyldig område dette uttrykket.

Som du kan se, er det ikke noe vanskelig. Vi ser på uttrykket med variabler, og tenker: ved hvilken verdi av variabelen oppnås den forbudte operasjonen (divisjon med null)?

Og så sørg for å se på spørsmålet om oppgaven. Hva spør de om?

gir ikke mening, vil vår forbudte verdi være svaret.

Hvis de spør til hvilken verdi av variabelen uttrykket har betydningen(føl forskjellen!), vil svaret være alle andre tall bortsett fra det forbudte.

Hvorfor trenger vi betydningen av uttrykket? Han er der, han er ikke... Hva er forskjellen?! Faktum er at dette konseptet blir veldig viktig på videregående. Veldig viktig! Dette er grunnlaget for slike solide konsepter som rekkevidden av gyldige verdier eller omfanget av en funksjon. Uten dette vil du ikke kunne løse alvorlige ligninger eller ulikheter i det hele tatt. Som dette.

Uttrykkskonvertering. Identitetstransformasjoner.

Vi ble kjent med numeriske og algebraiske uttrykk. Forstå hva uttrykket "uttrykket gir ikke mening" betyr. Nå må vi finne ut hva uttrykkskonvertering. Svaret er enkelt, opprørende.) Dette er enhver handling med et uttrykk. Og det er det. Du har gjort disse transformasjonene siden den første timen.

Ta det kule numeriske uttrykket 3+5. Hvordan kan det konverteres? Ja, veldig enkelt! Regne ut:

Denne beregningen vil være transformasjonen av uttrykket. Du kan skrive det samme uttrykket på en annen måte:

Vi har ikke regnet noe her. Bare skriv ned uttrykket i en annen form. Dette vil også være en transformasjon av uttrykket. Det kan skrives slik:

Og dette er også forvandlingen av et uttrykk. Du kan gjøre så mange av disse transformasjonene du vil.

Noen handling på et uttrykk noenå skrive det i en annen form kalles en uttrykkstransformasjon. Og alle ting. Alt er veldig enkelt. Men det er én ting her veldig viktig regel. Så viktig at det trygt kan kalles hovedregel all matematikk. Bryter denne regelen uunngåelig fører til feil. Forstår vi?)

La oss si at vi har transformert uttrykket vårt vilkårlig, slik:

Transformasjon? Selvfølgelig. Vi skrev uttrykket i en annen form, hva er galt her?

Det er ikke sånn.) Faktum er at transformasjonene "samme det" matematikk er ikke interessert i det hele tatt.) All matematikk er bygget på transformasjoner der utseendet endres, men essensen av uttrykket endres ikke. Tre pluss fem kan skrives i hvilken som helst form, men det må være åtte.

transformasjoner, uttrykk som ikke endrer essensen kalt identisk.

Nøyaktig identiske transformasjoner og la oss, steg for steg, gjøre et komplekst eksempel til et enkelt uttrykk, holde essensen i eksemplet. Hvis vi gjør en feil i kjeden av transformasjoner, vil vi gjøre en IKKE identisk transformasjon, så bestemmer vi en annen eksempel. Med andre svar som ikke er relatert til de riktige.)

Her er det hovedregelen for å løse eventuelle oppgaver: samsvar med identiteten til transformasjoner.

Jeg ga et eksempel med et numerisk uttrykk 3 + 5 for klarhetens skyld. I algebraiske uttrykk er identiske transformasjoner gitt av formler og regler. La oss si at det er en formel i algebra:

a(b+c) = ab + ac

Så, i et hvilket som helst eksempel, kan vi i stedet for uttrykket a(b+c) skriv gjerne et uttrykk ab+ac. Og vice versa. den identisk transformasjon. Matematikk gir oss et valg mellom disse to uttrykkene. Og hvilken du skal skrive avhenger av det konkrete eksemplet.

Et annet eksempel. En av de viktigste og mest nødvendige transformasjonene er den grunnleggende egenskapen til en brøk. Du kan se flere detaljer på linken, men her minner jeg bare om regelen: hvis telleren og nevneren til en brøk multipliseres (deltes) med samme tall, eller et uttrykk som ikke er lik null, vil ikke brøken endres. Her er et eksempel på identiske transformasjoner for denne egenskapen:

Som du sikkert har gjettet, kan denne kjeden fortsettes i det uendelige...) En veldig viktig egenskap. Det er det som lar deg gjøre alle slags eksempelmonstre til hvite og luftige.)

Det er mange formler som definerer identiske transformasjoner. Men det viktigste - ganske rimelig beløp. En av de grunnleggende transformasjonene er faktorisering. Det brukes i all matematikk - fra elementær til avansert. La oss begynne med ham. i neste leksjon.)

Hvis du liker denne siden...

Forresten, jeg har et par flere interessante nettsteder for deg.)

Du kan trene på å løse eksempler og finne ut nivået ditt. Testing med umiddelbar verifisering. Læring - med interesse!)

du kan bli kjent med funksjoner og deriverte.

Innlegg 2 en + 8, 3en + 5b, en 4 – bс kalles uttrykk med variabler. Ved å erstatte tall i stedet for bokstaver får vi numeriske uttrykk. Det generelle konseptet for et uttrykk med variabler er definert på nøyaktig samme måte som konseptet med et numerisk uttrykk, bare i tillegg til tall kan uttrykk med variable også inneholde bokstaver.

For uttrykk med en variabel brukes også forenklinger: ikke plasser parenteser som bare inneholder et tall eller en bokstav, ikke legg multiplikasjonstegn mellom bokstaver, mellom tall og bokstaver, etc.

Det er uttrykk med en, to, tre osv. variabler. utpeke MEN(X), PÅ(x, y) etc.

Et uttrykk med en variabel kan ikke kalles verken et utsagn eller et predikat. For eksempel om uttrykk 2 en+ 5 det er umulig å si om det er sant eller usant, derfor er det ikke et forslag. Hvis i stedet for en variabel en erstatte tallene, så får vi ulike numeriske uttrykk, som heller ikke er utsagn, derfor er heller ikke dette uttrykket et predikat.

Hvert uttrykk med en variabel tilsvarer et sett med tall, og erstatter som resulterer i et numerisk uttrykk som gir mening. Dette settet kalles uttrykkets domene.

Eksempel. 8: (4 – X) - domene R\(4), fordi på X= 4 uttrykk 8: (4 - 4) gir ikke mening.

Hvis uttrykket inneholder flere variabler, f.eks. X og på, da er domenet til dette uttrykket settet med tallpar ( en; b) slik at ved utskifting X på en og på på b resulterer i et numerisk uttrykk som har en verdi.

Eksempel. , definisjonsdomenet er settet med par ( en; b) │en≥ b.

Definisjon. To uttrykk med en variabel kalles identisk like hvis for noen verdier. Variabler fra omfanget av uttrykk, deres respektive verdier er like.

At. to uttrykk MEN(X), PÅ(X) er identisk like på settet X, hvis

1) settene med tillatte verdier for variabelen i disse uttrykkene er de samme;

2) for enhver X 0 deres sett med tillatte verdier, verdiene til uttrykk på X 0 kamp, ​​dvs. MEN(X 0) = PÅ(X 0) er den korrekte numeriske likheten.

Eksempel. (2 X+ 5) 2 og 4 X 2 + 20X+ 25 – identisk like uttrykk.

utpeke MEN(X) º PÅ(X). Merk at hvis to uttrykk er identisk like på et sett E, så er de identisk like på alle delmengder E 1 M E. Det bør også bemerkes at utsagnet om identisk likhet mellom to uttrykk med en variabel er et utsagn.

Hvis to uttrykk som er identisk like på et visst sett er forbundet med et likhetstegn, får vi en setning, som kalles en identitet på dette settet.

Ekte numeriske likheter regnes også som identiteter. Identiteter er lovene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall, reglene for å trekke et tall fra en sum og en sum fra et tall, reglene for å dele en sum med et tall osv. Identiteter er også regler for operasjoner med null og én .

Å erstatte et uttrykk med et annet som er identisk med det på et sett kalles identisk transformasjon av det gitte uttrykket.

Eksempel. 7 X + 2 + 3X = 10 X+ 2 - identisk transformasjon, ikke identisk transformasjon på R.

§ 5. Klassifisering av uttrykk med variabel

1) Et uttrykk sammensatt av variabler og tall som kun bruker operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, eksponentiering kalles et heltallsuttrykk eller et polynom.

Eksempel. (3X 2 + 5) ∙ (2X – 3på)

2) Rasjonal er et uttrykk bygget fra variabler og tall ved hjelp av operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, eksponentiering. Et rasjonelt uttrykk kan representeres som et forhold mellom to heltallsuttrykk, dvs. polynomer. Merk at heltallsuttrykk er et spesialtilfelle av rasjonelle.

Eksempel. .

3) Irrasjonell er et uttrykk bygget fra variabler og tall ved bruk av operasjonene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon, divisjon, eksponentiering, samt operasjonen for å trekke ut roten P-te grad.