Enhver oscillerende krets utstråler energi. Et elektrisk felt i endring eksiterer et vekslende magnetfelt i det omkringliggende rommet, og omvendt. Matematiske ligninger som beskriver forholdet mellom magnetiske og elektriske felt ble utledet av Maxwell og bærer navnet hans. Vi skriver Maxwells ligninger i differensialform for tilfellet når det ikke er elektriske ladninger () og strømmer ( j= 0 ):

Mengdene og er henholdsvis de elektriske og magnetiske konstantene som er relatert til lysets hastighet i vakuum ved forholdet

Konstantene og karakteriserer de elektriske og magnetiske egenskapene til mediet, som vi vil betrakte som homogene og isotropiske.

I fravær av ladninger og strømmer er eksistensen av statiske elektriske og magnetiske felt umulig. Imidlertid eksiterer et elektrisk vekselfelt et magnetfelt, og omvendt skaper et vekslende magnetfelt et elektrisk felt. Derfor finnes det løsninger av Maxwells ligninger i vakuum, i fravær av ladninger og strømmer, hvor elektriske og magnetiske felt er uløselig knyttet til hverandre. I Maxwells teori ble for første gang to grunnleggende interaksjoner som tidligere ble ansett som uavhengige kombinert. Derfor snakker vi nå om elektromagnetisk felt.

Den oscillerende prosessen i kretsen er ledsaget av en endring i feltet som omgir den. Endringene som skjer i det omkringliggende rommet forplanter seg fra punkt til punkt med en viss hastighet, det vil si at oscillerende krets stråler energien til det elektromagnetiske feltet inn i det omkringliggende rommet.

Med en strengt harmonisk endring i tid av vektorene og den elektromagnetiske bølgen kalles monokromatisk.

Vi får fra Maxwells ligninger bølgeligningene for vektorene og .

Bølgeligning for elektromagnetiske bølger

Som nevnt i forrige del av kurset, rotoren (råtne) og divergens (div)- dette er noen differensieringsoperasjoner utført på vektorer i henhold til visse regler. Nedenfor skal vi bli bedre kjent med dem.

Ta krøllen fra begge sider av ligningen

I dette tilfellet bruker vi formelen bevist i løpet av matematikk:

hvor er Laplacian introdusert ovenfor. Det første leddet på høyre side er null på grunn av en annen Maxwell-ligning:

Vi får som et resultat:

Uttrykke råtne B gjennom det elektriske feltet ved å bruke Maxwell-ligningen:

og bruk dette uttrykket på høyre side av (2.93). Som et resultat kommer vi til ligningen:

Gitt sammenhengen

og introduserer brytningsindeks miljøer

vi skriver ligningen for den elektriske feltstyrkevektoren på formen:

Sammenligner vi med (2.69), ser vi at vi har fått bølgeligningen, hvor v- fasehastigheten til lyset i mediet:

Tar krøllen fra begge sider av Maxwells ligning

og ved å handle på lignende måte kommer vi til bølgeligningen for magnetfeltet:

De resulterende bølgeligningene for og betyr at det elektromagnetiske feltet kan eksistere i form av elektromagnetiske bølger hvis fasehastighet er lik

I fravær av et medium (at ) faller hastigheten til elektromagnetiske bølger sammen med lysets hastighet i vakuum.

Grunnleggende egenskaper ved elektromagnetiske bølger

Tenk på en plan monokromatisk elektromagnetisk bølge som forplanter seg langs aksen X:

Muligheten for eksistensen av slike løsninger følger av de oppnådde bølgeligningene. Imidlertid er styrken til det elektriske og magnetiske felt ikke uavhengig av hverandre. Forbindelsen mellom dem kan etableres ved å erstatte løsninger (2.99) i Maxwells ligninger. differensiell drift råtne brukt på et vektorfelt MEN kan symbolsk skrives som en determinant:

Her erstatter uttrykk (2.99) kun avhengig av koordinaten x, Vi finner:

Å differensiere planbølger med hensyn til tid gir:

Så følger det fra Maxwells ligninger:

Det følger for det første at de elektriske og magnetiske feltene oscillerer i fase:

Med andre ord, i et isotropt medium,

Deretter kan du velge koordinataksene slik at vektoren rettes langs aksen på(Fig. 2.27) :

Ris. 2.27. Oscillasjoner av elektriske og magnetiske felt i en plan elektromagnetisk bølge

I dette tilfellet har ligningene (2.103) formen:

Det følger at vektoren er rettet langs aksen z:

Med andre ord er vektorene til de elektriske og magnetiske feltene ortogonale til hverandre og begge er ortogonale til bølgeutbredelsesretningen. Med dette i tankene forenkles ligningene (2.104) ytterligere:

Dette innebærer det vanlige forholdet mellom bølgevektoren, frekvensen og hastigheten:

samt forholdet mellom amplitudene til feltsvingninger:

Legg merke til at forholdet (2.107) ikke bare finner sted for de maksimale verdiene (amplitudene) til modulene til vektorene til de elektriske og magnetiske feltene til bølgen, men også for de nåværende - når som helst.

Så fra Maxwells ligninger følger det at elektromagnetiske bølger forplanter seg i vakuum med lysets hastighet. På den tiden gjorde denne konklusjonen et enormt inntrykk. Det ble klart at ikke bare elektrisitet og magnetisme er forskjellige manifestasjoner av samme interaksjon. Alle lysfenomener, optikk, ble også gjenstand for teorien om elektromagnetisme. Forskjeller i menneskelig oppfatning av elektromagnetiske bølger er relatert til deres frekvens eller bølgelengde.

Den elektromagnetiske bølgeskalaen er en kontinuerlig sekvens av frekvenser (og bølgelengder) av elektromagnetisk stråling. Maxwells teori om elektromagnetiske bølger gjør det mulig å fastslå at det i naturen finnes elektromagnetiske bølger av ulik lengde, dannet av ulike vibratorer (kilder). Avhengig av metodene for å oppnå elektromagnetiske bølger, er de delt inn i flere frekvensområder (eller bølgelengder).

På fig. 2.28 viser skalaen til elektromagnetiske bølger.

Ris. 2.28. Elektromagnetisk bølgeskala

Det kan sees at rekkevidden av bølger av forskjellige typer overlapper hverandre. Derfor kan bølger av slike lengder oppnås på forskjellige måter. Det er ingen grunnleggende forskjeller mellom dem, siden de alle er elektromagnetiske bølger generert av oscillerende ladede partikler.

Maxwells ligninger fører også til konklusjonen at tverrgående elektromagnetiske bølger i vakuum (og i et isotropisk medium): vektorene til det elektriske og magnetiske felt er ortogonale til hverandre og til bølgeutbredelsesretningen.

Tilleggsinformasjon

http://www.femto.com.ua/articles/part_1/0560.html - Bølgeligning. Materiale fra Physical Encyclopedia.

http://fvl.fizteh.ru/courses/ovchinkin3/ovchinkin3-10.html - Maxwells ligninger. Videoforelesninger.

http://elementy.ru/trefil/24 - Maxwells ligninger. Materiale fra "Elements".

http://nuclphys.sinp.msu.ru/enc/e092.htm - Veldig kort om Maxwells ligninger.

http://telecomclub.org/?q=node/1750 - Maxwells ligninger og deres fysiske betydning.

http://principact.ru/content/view/188/115/ - Kort om Maxwells ligninger for det elektromagnetiske feltet.

Dopplereffekt for elektromagnetiske bølger

Slipp inn en treghet referanseramme Til en plan elektromagnetisk bølge forplanter seg. Fasen til bølgen har formen:

Observatør i en annen treghetsreferanseramme TIL", beveger seg i forhold til den første med en hastighet V langs aksen x, observerer også denne bølgen, men bruker forskjellige koordinater og tid: t", r". Forholdet mellom referansesystemer er gitt av Lorentz-transformasjonene:

La oss erstatte disse uttrykkene med uttrykket for fasen, for å få fasen bølger i en bevegelig referanseramme:

Dette uttrykket kan skrives som

hvor og - syklisk frekvens og bølgevektor i forhold til den bevegelige referanserammen. Sammenligner vi med (2.110), finner vi Lorentz-transformasjonene for frekvens og bølgevektor:

For en elektromagnetisk bølge i vakuum

La retningen for bølgeutbredelsen i den første referanserammen lage en vinkel med aksen X:

Deretter tar uttrykket for frekvensen til bølgen i den bevegelige referanserammen formen:

Det er det det er Dopplerformel for elektromagnetiske bølger.

Hvis , så beveger observatøren seg bort fra strålingskilden og frekvensen til bølgen som oppfattes av ham synker:

Hvis , så nærmer observatøren seg kilden og strålingsfrekvensen for den øker:

I hastigheter V<< с vi kan neglisjere kvadratrotens avvik i nevnerne fra enhet, og vi kommer frem til formler analoge med formler (2.85) for dopplereffekten i en lydbølge.

Vi legger merke til et vesentlig trekk ved Doppler-effekten for en elektromagnetisk bølge. Hastigheten til den bevegelige referanserammen spiller her rollen som den relative hastigheten til observatøren og kilden. De resulterende formlene tilfredsstiller automatisk Einsteins relativitetsprinsipp, og ved hjelp av eksperimenter er det umulig å fastslå nøyaktig hva som beveger seg - kilden eller observatøren. Dette skyldes det faktum at for elektromagnetiske bølger er det ikke noe medium (eter) som vil spille samme rolle som luft for en lydbølge.

Merk også at for elektromagnetiske bølger har vi tverrgående dopplereffekt. Når strålingsfrekvensen endres:

mens for lydbølger resulterte ikke bevegelse i en retning ortogonal til bølgeutbredelse i et frekvensskifte. Denne effekten er direkte relatert til den relativistiske tidsdilatasjonen i en bevegelig referanseramme: en observatør på en rakett ser en økning i strålingsfrekvensen eller generelt en akselerasjon av alle prosesser som skjer på jorden.

La oss nå finne fasehastigheten til bølgen

i en bevegelig referanseramme. Vi har fra Lorentz-transformasjonene for bølgevektoren:

Bytt ut forholdet her:

Vi får:

Herfra finner vi hastigheten til bølgen i den bevegelige referanserammen:

Vi fant at hastigheten på bølgen i den bevegelige referanserammen ikke har endret seg og fortsatt er lik lysets hastighet Med. Vi bemerker imidlertid at med korrekte beregninger kunne dette ikke mislykkes, siden invariansen av lyshastigheten (elektromagnetiske bølger) i vakuum er hovedpostulatet til relativitetsteorien, allerede "innebygd" i Lorentz-transformasjonene vi brukte for koordinater og tid (3.109).

Eksempel 1 Fotonraketten beveger seg med en hastighet V = 0,9 s, på vei mot en stjerne observert fra Jorden i det optiske området (bølgelengde mikron). Finn bølgelengden til strålingen som astronautene vil observere.

Bølgelengden er omvendt proporsjonal med oscillasjonsfrekvensen. Fra formel (2.115) for Doppler-effekten når man nærmer seg lyskilden og observatøren, finner vi loven om transformasjon av bølgelengder:

hvor resultatet kommer fra:

I henhold til fig. 2.28 fastslår vi at for astronauter har strålingen fra stjernen skiftet til det ultrafiolette området.

Energi og momentum til det elektromagnetiske feltet

Bulk energitetthet w elektromagnetisk bølge består av de volumetriske tetthetene til den elektriske og magnetiske felt.

Maxwells ligninger og bølgeligningen

Elektromagnetiske bølger

Under forplantningen av en mekanisk bølge i et elastisk medium, er partikler av mediet involvert i den oscillerende bevegelsen. Årsaken til denne prosessen er tilstedeværelsen av interaksjon mellom molekyler.

I tillegg til elastiske bølger i naturen, er det en bølgeprosess av en annen karakter. Vi snakker om elektromagnetiske bølger, som er prosessen med forplantning av oscillasjoner av det elektromagnetiske feltet. I hovedsak lever vi i en EMW-verden. Deres rekkevidde er utrolig bredt - dette er radiobølger, infrarød stråling, ultrafiolett, røntgenstråler, γ - stråler. En spesiell plass i denne varianten er okkupert av den synlige delen av serien - lys. Det er ved hjelp av disse bølgene vi mottar en overveldende mengde informasjon om verden rundt oss.

Hva er en elektromagnetisk bølge? Hva er dens natur, distribusjonsmekanisme, egenskaper? Er det generelle mønstre som er karakteristiske for både elastiske og elektromagnetiske bølger?

Maxwells ligninger og bølgeligningen

Elektromagnetiske bølger er interessante fordi de opprinnelig ble "oppdaget" av Maxwell på papir. Basert på ligningssystemet han foreslo, viste Maxwell at elektriske og magnetiske felt kan eksistere i fravær av ladninger og strømmer, og forplante seg i form av en bølge med en hastighet på 3∙10 8 m/s. Nesten 40 år senere ble det materielle objektet forutsagt av Maxwell - EMW - oppdaget eksperimentelt av Hertz.

Maxwells ligninger er postulater av elektrodynamikk formulert på grunnlag av en analyse av eksperimentelle fakta. Ligningene etablerer en sammenheng mellom ladninger, strømmer og felt – elektriske og magnetiske. La oss se på to ligninger.

1. Sirkulasjon av den elektriske feltstyrkevektoren langs en vilkårlig lukket sløyfe l er proporsjonal med endringshastigheten til den magnetiske fluksen gjennom overflaten strukket over kretsen (dette er Faradays lov om elektromagnetisk induksjon):

(1)

Den fysiske betydningen av denne ligningen er at et skiftende magnetfelt genererer et elektrisk felt.

2. Sirkulasjon av magnetfeltvektoren langs en vilkårlig lukket sløyfe l er proporsjonal med endringshastigheten til fluksen til den elektriske induksjonsvektoren gjennom overflaten strukket over konturen:

Den fysiske betydningen av denne ligningen er at magnetfeltet genereres av strømmer og et elektrisk felt i endring.

Selv uten noen matematiske transformasjoner av disse ligningene, er det klart: hvis det elektriske feltet endres på et tidspunkt, oppstår et magnetisk felt i samsvar med (2). Dette magnetiske feltet, som endrer seg, genererer i samsvar med (1) et elektrisk felt. Feltene induserer hverandre gjensidig, de er ikke lenger forbundet med ladninger og strømmer!

Dessuten vil prosessen med gjensidig induksjon av felt forplante seg i rommet med en begrenset hastighet, det vil si at det oppstår en elektromagnetisk bølge. For å bevise eksistensen av en bølgeprosess i systemet, der verdien av S svinger, er det nødvendig å få bølgeligningen

Tenk på et homogent dielektrikum med permittivitet ε og magnetisk permeabilitet μ. La det være et magnetfelt i dette mediet. For enkelhets skyld vil vi anta at magnetfeltstyrkevektoren er plassert langs OY-aksen og avhenger kun av koordinaten z og tiden t:.

Vi skriver ligningene (1) og (2) under hensyntagen til forholdet mellom egenskapene til felt i et homogent isotropisk medium: og :

La oss finne vektorstrømmen gjennom det rektangulære området KLMN og vektorsirkulasjonen langs den rektangulære konturen KLPQ (KL = dz, LP= KQ = b, LM=KN= en)

Det er åpenbart at vektorstrømmen gjennom KLMN-stedet og sirkulasjonen langs KLPQ-konturen ikke er null. Da er sirkulasjonen av vektoren langs konturen KLMN og strømmen av vektoren gjennom overflaten KLPQ også null. Dette er bare mulig under forutsetning av at når magnetfeltet endres, oppstår et elektrisk felt rettet langs OX-aksen.

Konklusjon 1: Når magnetfeltet endres, oppstår et elektrisk felt, hvis styrke er vinkelrett på magnetfeltinduksjonen.

Med hensyn til det som er sagt, vil likningssystemet skrives om

Etter transformasjoner får vi:

Maxwells ligninger inneholder en kontinuitetsligning som uttrykker loven om bevaring av ladning. 3. Maxwells ligninger er oppfylt i alle treghetsreferanserammer. 4. Maxwells ligninger er symmetriske.

6.3.4. Elektromagnetiske bølger

Det følger av Maxwells ligninger at det elektromagnetiske feltet kan eksistere uavhengig, uten elektriske ladninger og strømmer. Det skiftende elektromagnetiske feltet har bølgekarakter og forplanter seg i vakuum i form av elektromagnetiske bølger med lysets hastighet.

Eksistensen av elektromagnetiske bølger følger av Maxwell-ligningene, som er beskrevet av bølgeligningene for vektorene og henholdsvis:

, (5.18)

, (5.19)

En endring i tid av det magnetiske feltet eksiterer et vekslende elektrisk felt, og omvendt, en endring i tid av det elektriske feltet eksiterer et vekslende magnetisk felt. Vortex elektrisk felt indusert av et vekslende magnetfelt , dannes med vektoren venstrehendt system (fig. 7.2), og virvelmagnetfeltet indusert av det elektriske feltet , dannes med vektoren høyre skrusystem (fig. 5.2).

Det er en kontinuerlig interkonvertering av dem, noe som gjør det mulig

eksisterer og forplanter dem i rom og tid i fravær av ladninger og strømmer.

Dermed spådde Maxwells teori ikke bare eksistensen av elektromagnetiske bølger, men etablerte også deres viktigste egenskaper:

Forplantningshastigheten til en elektromagnetisk bølge i et nøytralt ikke-ledende og ikke-ferromagnetisk medium

(5.20)

hvor c er lysets hastighet i vakuum.

Ris. 5.3 Fig. 5.4

3. I en elektromagnetisk bølge vil vektorene og svinger alltid i de samme fasene (fig. 5.4), og mellom øyeblikksverdiene til E og B når som helst i rommet

det er en sammenheng, nemlig: E = vB eller
. (5.21)

Eksistensen av elektromagnetiske bølger tillot Maxwell å forklare lysets bølgenatur. Lys er elektromagnetiske bølger.

6.3.5. Elektromagnetisk felt energiflyt

Når elektromagnetiske bølger forplanter seg i rom og tid, bærer de energi med seg. Det ligger i gjensidig transformasjon av elektriske og magnetiske felt.

Volumetrisk energitetthet av det elektriske feltet

, (5.22)

hvor E er den elektriske feltstyrken.

Volumetrisk magnetfelts energitetthet

, (5.23)

hvor B er induksjonen av magnetfeltet.

Følgelig vil den volumetriske energitettheten til det elektromagnetiske feltet i det området av rommet der den elektromagnetiske bølgen befinner seg på et vilkårlig tidspunkt,

W\u003d w e + w m \u003d
. (5.24)

Eller tatt i betraktning det faktum at E \u003d cB og
, vi har

w =  o E 2 , (5,25)

eller
. (5.26)

Energien som bæres av en elektromagnetisk bølge per tidsenhet gjennom en enhetsareal kalles den elektromagnetiske energiflukstettheten. Den elektromagnetiske energiflukstetthetsvektoren kalles Poynting-vektoren.

Peker vektorretning faller sammen med forplantningsretningen til en elektromagnetisk bølge, dvs. med retningen for energioverføring. Energioverføringshastigheten er lik fasehastigheten til denne bølgen.

Hvis en elektromagnetisk bølge forplanter seg gjennom et bestemt område S, vinkelrett på forplantningsretningen, for eksempel langs X-aksen, vil bølgen i en viss tidsperiode dt dekke avstanden dx = cdt, hvor c er bølgen forplantningshastighet.

Siden den volumetriske energitettheten til en elektromagnetisk bølge

deretter den totale energien dW til den elektromagnetiske bølgen inneholdt i volumet

dW = wdV =  o E 2 cdtS. (5,27)

Derfor vil flukstettheten til elektromagnetisk energi som passerer gjennom området S i løpet av tiden dt

. (5.28)

Pekende vektor sammenfaller i retning med forplantningshastigheten til en elektromagnetisk bølge, som er vinkelrett på og , dvs.

. (5.29)

Gruppe av differensialligninger. Differensialligningene som hver av feltvektorene må tilfredsstille separat kan oppnås ved å ekskludere de gjenværende vektorene. For et feltområde som ikke inneholder frie ladninger og strømmer ($\overrightarrow(j)=0,\ \rho =0$), ligningene for vektorene $\overrightarrow(B)$ og $\overrightarrow(E)$ har formen:

Ligningene (1) og (2) er de vanlige ligningene for bølgebevegelse, som betyr at lysbølger forplanter seg i et medium med en hastighet ($v$) lik:

Merknad 1

Det skal bemerkes at konseptet med hastigheten til en elektromagnetisk bølge har en viss betydning bare i forbindelse med bølger av en enkel form, for eksempel plane bølger. Hastigheten $v$ er ikke hastigheten på bølgeutbredelsen i tilfellet av en vilkårlig løsning av ligningene (1) og (2), siden disse ligningene tillater løsninger i form av stående bølger.

I enhver bølgeteori om lys regnes en harmonisk bølge i rom og tid som en elementær prosess. Hvis frekvensen til denne bølgen ligger i intervallet $4\cdot (10)^(-14)\frac(1)(c)\le \nu \le 7.5\cdot (10)^(-14)\frac(1) ) (c)$, forårsaker en slik bølge en fysiologisk følelse av en bestemt farge hos en person.

For transparente stoffer er permittiviteten $\varepsilon$ vanligvis større enn enhet, den magnetiske permeabiliteten til mediet $\mu$ er nesten lik enhet, viser det seg, ifølge ligning (3), hastigheten $v$ er mindre enn lysets hastighet i vakuum. Det som ble eksperimentelt vist for første gang for tilfellet med lysspredning i vann av forskere Foucault og fizo.

Vanligvis bestemmes ikke verdien av selve hastigheten ($v$), men forholdet $\frac(v)(c)$, som de bruker for brytningsloven . I samsvar med denne loven, når en plan elektromagnetisk bølge faller inn på en plangrense som skiller to homogene medier, vil forholdet mellom sinusen til vinkelen $(\theta )_1$ og sinusen til brytningsvinkelen $(\theta )_2$ (fig. 1) er konstant og lik forholdet mellom bølgeutbredelseshastigheter i to medier ($v_1\ og (\ v)_2$):

Verdien av det konstante forholdet til uttrykk (4) er vanligvis betegnet som $n_(12)$. Det sies at $n_(12)$ er den relative brytningsindeksen til det andre stoffet i forhold til det første, som oppleves av bølgefronten (bølgen) når den går fra det første mediet til det andre.

Bilde 1.

Definisjon 1

Absolutt brytningsindeks(bare brytningsindeksen) til mediet $n$ er brytningsindeksen til materie med hensyn til vakuum:

Et stoff med høyere brytningsindeks er optisk tettere. Den relative brytningsindeksen til to stoffer ($n_(12)$) er relatert til deres absolutte indekser ($n_1,n_2$) som:

Maxwell formel

Definisjon 2

Maxwell fant at brytningsindeksen til et medium avhenger av dets dielektriske og magnetiske egenskaper. Hvis vi erstatter uttrykket for lysets forplantningshastighet fra ligning (3) til formel (5), får vi:

\ \

Uttrykk (7) kalles Maxwells formel. For de fleste ikke-magnetiske transparente stoffer som vurderes i optikk, kan den magnetiske permeabiliteten til et stoff være omtrent lik enhet, derfor brukes likhet (7) ofte i formen:

Det antas ofte at $\varepsilon$ er en konstant verdi. Imidlertid er vi godt klar over Newtons eksperimenter med et prisme på dekomponering av lys; som et resultat av disse eksperimentene blir det åpenbart at brytningsindeksen avhenger av lysets frekvens. Derfor, hvis vi antar at Maxwell-formelen er gyldig, bør det erkjennes at permittiviteten til et stoff avhenger av frekvensen til feltet. Sammenhengen av $\varepsilon $ med frekvensen til feltet kan bare forklares hvis atomstrukturen til materie tas i betraktning.

Det skal imidlertid sies at Maxwell-formelen med konstant permittivitet av et stoff i noen tilfeller kan brukes som en god tilnærming. Et eksempel er gasser med en enkel kjemisk struktur, hvor det ikke er nevneverdig spredning av lys, noe som gjør at de optiske egenskapene er svakt fargeavhengige. Formel (8) fungerer også bra for flytende hydrokarboner. På den annen side, for de fleste faste stoffer, som glass, og de fleste væsker, er det et sterkt avvik fra formel (8) hvis $\varepsilon$ antas å være konstant.

Eksempel 1

Trening: Hva er konsentrasjonen av frie elektroner i ionosfæren hvis det er kjent at for radiobølger med en frekvens på $\nu$ er dens brytningsindeks lik $n$.

Løsning:

Vi tar Maxwell-formelen som grunnlag for å løse problemet:

\[\varepsilon =1+\varkappa =1+\frac(P)((\varepsilon )_0E)\venstre(1.2\høyre),\]

hvor $\varkappa $ er den dielektriske susceptibiliteten, P er den øyeblikkelige verdien av polarisasjonen. Fra (1.1) og (1.2) følger det at:

I tilfelle at konsentrasjonen av atomer i ionosfæren er lik $n_0,$, er den øyeblikkelige verdien av polarisasjonen lik:

Fra uttrykk (1.3) og (1.4) har vi:

hvor $\omega $ er den sykliske frekvensen. Ligningen for tvangssvingninger til et elektron uten å ta hensyn til motstandskraften kan skrives som:

\[\ddot(x)+((\omega )_0)^2x=\frac(q_eE_0)(m_e)cos\omega t\left(1.7\right),\]

der $m_e$ er elektronmassen, $q_e$ er elektronladningen. Ligning (1.7) løses med uttrykket:

\ \

Vi kjenner frekvensen til radiobølger, derfor kan vi finne den sykliske frekvensen:

\[\omega =2\pi \nu \venstre(1.10\høyre).\]

Bytt inn (1.5) høyre side av uttrykk (1.9) i stedet for $x_(max)$ og bruk (1.10), får vi:

Svar:$n_0=\frac(E_0m_e4\pi ^2\nu ^2)((q_e)^2)\venstre(1-n^2\høyre).$

Eksempel 2

Trening: Forklar hvorfor Maxwells formel motsier noen eksperimentelle data.

Løsning:

Det følger av Maxwells klassiske elektromagnetiske teori at brytningsindeksen til et medium kan uttrykkes som:

hvor i det optiske området av spekteret for de fleste stoffer kan vi anta at $\mu \ca. 1$. Det viser seg at brytningsindeksen for et stoff må være konstant, siden $\varepsilon $ -- permittiviteten til mediet er konstant. Mens eksperimentet viser at brytningsindeksen avhenger av frekvensen. Vanskelighetene som oppsto før Maxwells teori i denne saken er eliminert av Lorentzs elektroniske teori. Lorentz betraktet spredningen av lys som et resultat av samspillet mellom elektromagnetiske bølger og ladede partikler som er en del av materie og utfører tvangssvingninger i et vekslende elektromagnetisk felt i en lysbølge. Ved å bruke hypotesen sin oppnådde Lorentz en formel som relaterer brytningsindeksen til frekvensen til en elektromagnetisk bølge (se eksempel 1).

Svar: Problemet med Maxwells teori er at den er makroskopisk og tar ikke hensyn til materiens struktur.

Innen mikrobølgeteknologi er interessen hovedsakelig i felt som endrer seg i tid i henhold til en harmonisk lov (det vil si at de er sinusformede).

Ved å bruke den komplekse metoden skriver vi ned vektorene til de elektriske og magnetiske feltene:

,
, (33)

hvor – sirkulær frekvens
.

Bytt ut disse uttrykkene i I og II - Maxwells ligninger

,
.

Etter differensiering har vi:

, (34)

. (35)

Ligning (34) kan konverteres til formen:

,

hvor
er den komplekse relative permittiviteten, tatt i betraktning tap i mediet.

Forholdet mellom den imaginære delen av den komplekse relative permittiviteten til den virkelige er den dielektriske tapstangensen
. Dermed Maxwells ligninger for harmoniske svingninger i fravær av gratis ladninger
ser ut som:

,(36)

, (37)

, (38)

. (39)

I denne formen er Maxwells ligninger upraktiske og vil bli transformert.

Maxwells ligninger reduseres lett til bølgeligninger, som inkluderer bare én av feltvektorene. Definere
fra (37) og erstatter det med (36), får vi:

utvide venstre side ved hjelp av formel III:

La oss introdusere notasjonen
, da tatt i betraktning
, vi får:

. (40)

Den samme ligningen kan fås for

. (41)

Ligninger (40) - (41) kalles Helmholtz-ligninger. De beskriver forplantningen av bølger i rommet og er bevis på at endringen i tid av de elektriske og magnetiske feltene fører til forplantning av elektromagnetiske bølger i rommet.

Disse ligningene er gyldige for ethvert koordinatsystem. Ved bruk av et rektangulært koordinatsystem vil vi ha:

, (42)

, (43)

hvor
er enhetsvektorer

Hvis vi erstatter relasjoner (42) og (43) i ligninger (40) og (41), faller sistnevnte inn i seks uavhengige ligninger:

,
,

, (44)
, (45)

,
,

hvor
.

I det generelle tilfellet, i et rektangulært koordinatsystem, for å finne feltkomponentene, er det nødvendig å løse en lineær andreordens differensialligning

,

hvor er en av komponentene i feltet, dvs.
. Den generelle løsningen av denne ligningen har formen

, (46)

hvor
er feltfordelingsfunksjonen i bølgefrontens plan, uavhengig av .

Energiforhold i et elektromagnetisk felt. Umov-Poynting teorem

En av de viktigste egenskapene til et elektromagnetisk felt er dets energi. For første gang ble spørsmålet om energien til et elektromagnetisk felt vurdert av Maxwell, som viste at den totale energien til et felt innelukket i et volum , er summen av energien til det elektriske feltet:

, (47)

og magnetisk feltenergi:

. (48)

Dermed er den totale energien til det elektromagnetiske feltet:

. (49)

I 1874 prof. N. A. Umov introduserte konseptet energiflyt, og i 1880. dette konseptet ble brukt av Poynting til studiet av elektromagnetiske bølger. Det er vanlig å karakterisere strålingsprosessen i elektrodynamikk ved å definere Umov-Poynting-vektoren på hvert punkt i rommet.

Fysisk korrekte resultater, i samsvar med både energisparingsloven og Maxwells ligninger, oppnås hvis Umov-Poynting-vektoren uttrykkes i form av øyeblikkelige verdier
og
på følgende måte:

.

Ta den første og andre Maxwell-ligningen og gang den første med , og den andre til
og legg til:

,

hvor .

Dermed kan ligning (50) skrives som

,

integrering over volum og skiftende tegn, vi har:

Vi går fra integralet over volumet til integralet over overflaten

,

eller tar hensyn til
vi får:

, deretter
,
,

. (51)

Den resulterende ligningen uttrykker loven om bevaring av energi i et elektromagnetisk felt (Umov-Poynting-teoremet). Venstre side av ligningen er endringshastigheten i tid av den totale energien til det elektromagnetiske feltet i det betraktede volumet
. Det første leddet på høyre side er mengden varme , frigjort i de ledende delene av volumet per tidsenhet. Det andre leddet representerer strømmen av Umov-Poynting-vektoren gjennom overflaten som begrenser volumet .Vektor
er energiflukstettheten til det elektromagnetiske feltet. Fordi
, deretter retningen til vektoren
kan bestemmes av regelen for vektorprodukt / gimlet-regel / (fig. 9). I system SI vektor
har dimensjonen
.

Figur 9 - Til definisjonen av Umov-Poynting-vektoren