Gjensidig motsatte tall. Hva er motsatte tall? Eksempler på motsatte tall

Emne

Leksjonstype

• studier og primær assimilering av nytt materiale

Leksjonens mål

Bli kjent med definisjonene av positive og negative, motsatte tall

Finn motsatte tall når du løser oppgaver, når du løser likninger

Utvikle - å utvikle elevenes oppmerksomhet, utholdenhet, utholdenhet, logisk tenkning, matematisk tale.

Pedagogisk - gjennom en leksjon, å dyrke en oppmerksom holdning til hverandre, å innpode evnen til å lytte til kamerater, gjensidig hjelp, uavhengighet.

Leksjonens mål

Lær hva motsatte tall er

Lær å bruke dette konseptet når du løser problemer

Sjekk elevenes evne til å løse problemer.

Timeplan

1. Introduksjon.

2. Teoretisk del

3. Praktisk del.

4. Lekser.

5. Interessante fakta

Introduksjon

Se på bildene og beskriv med ett ord hva som er forskjellen på dem.

Bildene viser motsetninger.

er to tall som er like i absolutt verdi, men har forskjellige tegn, for eksempel. 5 og -5.

Teoretisk del

Først, la oss huske hva som er negative tall. Se video:

Punkter med koordinatene 5 og -5 er like langt fra punkt O og er plassert langs forskjellige sider fra henne. For å komme fra punkt O til disse punktene må man reise de samme avstandene, men i motsatte retninger. Tallene 5 og -5 kalles motsatte tall: 5 er det motsatte av -5 og -5 er det motsatte av 5.

To tall som skiller seg fra hverandre bare i tegn kalles motsatte tall.

For eksempel vil 35 og -35 være motsatte tall, siden tallet 35 \u003d +35, noe som betyr at tallene 35 og -35 bare skiller seg i tegn. De motsatte tallene vil også være 0,8 og -0,8, ¾ og -¾.

Egenskaper til motsatte tall

en). For hvert tall er det bare ett motsatt tall.

2). Tallet 0 er det motsatte av seg selv.

3). Det motsatte av a kalles -a. Hvis a = -7,8, så er -a = 7,8; hvis a = 8,3, så -a = -8,3; hvis a = 0, så er -a = 0.

fire). Oppføringen "-(-15)" betyr det motsatte av -15. Siden det motsatte av -15 er 15, så er -(-15) = 15. Generelt -(-a) = a.

De naturlige tallene, deres motsatte tall og null kalles hele tall.

motsatt tall n" i forhold til tallet n er tallet som, når det legges til n, gir null.

n + n" = 0

Denne likheten kan omskrives som følger:

n + n" - n = 0 - n eller n" = − n

På denne måten, motsatte tall har samme moduler, men motsatte fortegn.

I samsvar med dette er tallet motsatt av tallet n betegnet − n. Når et tall er positivt, vil det motsatte tallet være negativt, og omvendt.

1. Gi eksempler på motsatte tall.

2. Tegn dem på koordinatlinjen.

3. Hva er det motsatte av -3,6; 7; 0; 8/9; -1/2

Praktisk del

Eksempel

1) Merk punktene A(2), B(-2), C(+4), D(-3), E(-5.2), F(5.2), G(-6) på koordinatlinjen , H( 7). 2) Blant disse punktene, finn og angi de som er symmetriske i forhold til punktet O (0). Hva kan sies om koordinatene til symmetriske punkter?

Punkter symmetriske med hensyn til punkt O(0): A(2) og B(-2), E(-5.2) og F(5.2)

Symmetriske punktkoordinater er tall som bare avviker i fortegn. Slike tall kalles motsatte.

Marker på koordinatlinjen punktene A (-3), B (+6), C (+4.2), D (+3), E (-4.2), F (-6) Hva kan sies om disse tallene?

Fra tallene 15; 2,5; - 2,5; - atten; 0; 45; - 45 velg: a) naturlige tall; b) hele tall; c) negative tall; d) positive tall; e) motsatte tall.

1) Skriv ned tallet motsatt av nummer a.

2) Angi tallet på motsatt side av tallet a, hvis:

a=5, a=-3, a=0, a=-2/5;

A \u003d 6, -a \u003d - 2, -a \u003d 3.4.

1) Husk hva oppføringen betyr: - (- a).

2) Erstatt * med et slikt tall for å få riktig likhet: a) - (- 5) = *; b) 3 = - *.

Hjemmelekser

en). Fyll ut tabellen:

2). Finn: a) -m,

hvis m = -8,

hvis m = -16

hvis -k = 27

hvis -k = -35

hvis c = 41

hvis c = -3,6

3). Hvor mange par av motsatte tall er plassert mellom tallene -7,2 og 3,6. Merk på koordinatlinjen.

fire). Finn ut navnet på en fremragende fransk vitenskapsmann:

Vet du hvor i Hverdagen møter vi positive og negative tall?

Liste over kilder som er brukt

1. Matematisk leksikon (i 5 bind). - M.: Sovjetisk leksikon, 2002. - T. 1.
2." Den siste guiden skolebarn" "HUSET XXI århundre" 2008
3. Leksjonssammendrag om emnet " Motsatte tall" Forfatter: Petrova V.P., lærer i matematikk (klasse 5-9), Kiev
4. N.Ya. Vilenkin, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd, V.I. Zhokhov, Matematikk for klasse 6, Lærebok for videregående skole

Et interessant konsept fra skolekurs læring er motsatte tall, som kan betraktes både matematisk og geometrisk. Å forstå dette emnet forenkler studiet av matematikk, lar deg raskt takle noen oppgaver - derfor vil vi vurdere hvilke tall som kalles motsetninger, og hvilke regler som fungerer for dem.

Hva er essensen i begrepet?

For å forstå betydningen av motsatte tall, la oss gå til geometri et øyeblikk. La oss tegne en koordinatlinje og markere nullpunktet på den, og deretter sette to merker til på linjen - for eksempel "2" på høyre side og "-2" på venstre side av null. Selvfølgelig, fra begge punkter vil avstanden til origo være nøyaktig den samme - og dette kan enkelt verifiseres ved målinger. "2" og "-2" har samme avstand fra null, men i forskjellige retninger - henholdsvis er de helt motsatte av hverandre.

Dette er poenget. Tall kan være vilkårlig store eller små, hele eller brøkdeler. Imidlertid har hver av dem et visst tall som er det motsatte. Definisjonen kan gis som følger - hvis på koordinatlinjen fra to punkter satt på begge sider av null, kan du utsette til origo lik avstand- disse punktene, eller rettere sagt, tallene som tilsvarer dem, vil være motsatte.

Hvilke regler kan utledes av definisjonen?

Det er verdt å huske noen få ubetingede utsagn om emnet som vurderes:

• Prinsippet om motsetninger for to tall fungerer begge veier. For eksempel er tallet 3 motsatt av tallet -3 - og derfor er tallet -3 motsatt bare tallet 3, og ikke noe annet.
• Et tall kan ikke ha to motsetninger – det er alltid bare én.
• Tall kan være motsatte av hverandre. forskjellige tegn. Hvis tallet er positivt, vil det motsatte tallet være med et minustegn - for eksempel 5 og -5. Det samme fungerer i motsatt side- for et tall med et minustegn, vil det motsatte alltid være det med et plusstegn - for eksempel -6 og 6.
• To motsatte tall har det samme absolutt verdi, eller modul. Med andre ord, hvis for tallet 4

§ 1 Begrepet positivt tall

I denne leksjonen lærer du hvilke tall som kalles motsetninger, hvordan du finner det motsatte tallet, og hva som er heltall og rasjonelle tall.

La oss begynne med praktisk jobb. Marker punktene A(2) og B(-2) på koordinatlinjen. De er symmetriske og symmetrisenteret til disse punktene er origo O(0), siden avstanden OA=OB.

Vi ser at koordinatene til punkter som er symmetriske om origo er tall som bare avviker i fortegn. Slike tall kalles motsetninger.

Det er en annen definisjon av motsatte tall. Hva er modulene til nummer 2 og -2? Lik 2. Derfor er motstående tall tall som har samme moduler, men som er forskjellige i fortegn.

For å indikere tallet overfor gitt nummer, bruk minustegnet, som er skrevet foran det gitte tallet. Det vil si at det motsatte av a skrives som −a. For eksempel er tallet 0,24 motsatt av tallet −0,24, tallet -25 er motsatt tallet −(−25), men tallet -25 på koordinatlinjen er motsatt av 25, som betyr -(-25) = 25. Det følger av dette at -( -a) = a og a = -(-a).

§ 2 Egenskaper til motstående tall

La oss skille ut noen egenskaper til motsatte tall.

Tallet motsatt av et positivt tall er negativt, og tallet motsatt av et negativt tall er positivt. Dette er forståelig, siden punktene på koordinatlinjen som tilsvarer motsatte tall er på motsatte sider av origo.

Hvis tallet a er motsatt av tallet b, så er b motsatt av a - dette følger av symmetriegenskapen til punktene på koordinatlinjen.

La oss se på koordinatlinjen. Hvor mange punkter kan merkes på en koordinatlinje som er symmetriske med den gitte med hensyn til origo? Bare en. Dette betyr at for hvert tall er det bare ett motsatt tall.

Bare ett tall er motsatt av seg selv - dette er tallet 0, siden 0 \u003d -0 (derfor er det ikke vanlig å skrive -0).

Tall med fellestrekk danner et sett (eller gruppe), har hvert sett sitt eget navn.

Husk at tallene vi bruker i telling kalles naturlige tall, de danner et sett med naturlige tall.

Hvert naturlig tall har sitt motsatte tall. Naturlige tall, deres motsatte tall og tallet 0 kalles heltall.

Kan være positiv eller negativ brøktall. Alle hele tall og alle brøker kalles rasjonelle tall. De sier også at de sammen danner settet med rasjonelle tall.

La oss skille ut ytterligere to grupper med tall. La oss ta en koordinatlinje. Hvis vi fjerner den delen av den rette linjen som de negative tallene er plassert på, vil en stråle med positive tall og utgangspunktet er 0. De resterende tallene kalles ikke-negative, det vil si tall som er større enn eller lik 0. Derfor er ikke-positive tall alle negative tall og tallet 0, det vil si tall som er mindre enn eller lik 0.

I dag lærte vi hva motsatte, heltall, rasjonelle, ikke-negative, ikke-positive tall er, vi lærte hvordan vi finner tallet motsatt av et gitt.

Liste over brukt litteratur:

1. Matematikk.6. klasse: læreplaner til læreboken til I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich // forfatter-kompilator L.A. Topilin. Mnemosyne 2009
2. Matte. Klasse 6: elevens lærebok utdanningsinstitusjoner. I.I. Zubareva, A.G. Mordkovich.- M.: Mnemozina, 2013
3. Matte. Klasse 6: en lærebok for studenter ved utdanningsinstitusjoner. /N.Ja. Vilenkin, V.I. Zhokhov, A.S. Chesnokov, S.I. Schwarzburd. – M.: Mnemosyne, 2013
4. Matematikkhåndbok - http://lyudmilanik.com.ua
5. Håndbok for studenter i videregående skole http://shkolo.ru

Definisjon av motsatte tall

Definisjon av motsatte tall:

To tall sies å være motsatte hvis de bare er forskjellige i tegn.

Eksempler på motsatte tall

Eksempler på motsatte tall.

1 -1;
2 -2;
99 -99;
-12 12;
-45 45

Herfra er det tydelig hvordan du finner tallet motsatt av det gitte: bare endre tegnet på tallet.

Det motsatte av 3 er tallet minus tre.

Eksempel. Tallene er det motsatte av dataene.

Gitt: tall 1; 5; åtte; 9.

Finn tall som er motsatt av gitte.

For å løse denne oppgaven, endre ganske enkelt tegnene til de gitte tallene:

La oss lage en tabell med motsatte tall:

1	5	8	9
-1	-5	-8	-9

Tallet motsatt av null

Det motsatte av null er null i seg selv.

Så det motsatte av 0 er 0.

Motsatt heltall

Motsatte heltall skiller seg bare i tegn.

Eksempler på motsatte heltall.

10 -10
20 -20
125 -125

Et par motstående tall

Når folk snakker om motsatte tall, mener de alltid et par med motsatte tall.

Et tall er det motsatte av et annet tall. Og hvert tall har bare ett motsatt tall.

Tall motsatt av naturlige tall

Tall som er motsatt av naturlige tall er negative heltall.

La oss lage en tabell med motsatte tall for de første fem naturlige tallene:

1	2	3	4	5
-1	-2	-3	-4	-5

Summen av motsatte tall

Summen av motsatte tall er null. Tross alt er motsatte tall bare forskjellige i fortegn.

La oss vurdere et slikt eksempel. Det er nødvendig å sekvensielt beregne: .

Du kan omorganisere tallene som skal legges til, og deretter trekke fra de resterende: .

Men dette er ikke alltid praktisk. For eksempel kan vi beregne balansen mellom ting i et eller annet lager og vi trenger å vite mellomresultatet.

Du kan utføre handlinger på rad: .

Det vet vi, noe som betyr at resultatet blir en subtraksjon fra tallet. Dette betyr at det er nødvendig å trekke fra, men ennå ikke fra noe. Når det er noe å trekke fra, trekk fra:

Men vi kan "jukse" og utpeke . Derfor vil vi introdusere et nytt objekt - negative tall.

Vi har allerede utført en slik operasjon - i naturen eksisterte for eksempel ikke tallet "", men vi introduserte et slikt objekt for å lette registreringen av handlinger.

Tenk deg at vi ble bedt om å utstede og motta baller på et sportslager. Vi må føre opptegnelser. Du kan skrive med ord:

Utstedt , Akseptert , Utstedt , Akseptert , ... (Se Fig. 1.)

Ris. 1. Regnskap

Enig, hvis du trenger å utstede og motta mange ganger om dagen, er ikke opptaket veldig praktisk.

Du kan dele arket i to kolonner, en - Godtatt, den andre - Utstedt. (Se figur 2.)

Ris. 2. Forenklet notasjon

Innlegget ble kortere. Men her er problemet: hvordan forstå hvor mange baller som ble tatt (eller gitt bort) på et bestemt tidspunkt?

Følgende hensyn kan brukes for registrering: når vi utsteder baller fra lageret, reduseres antallet på lageret, og når vi mottar det, øker det.

Men hvordan skrive "ga ut ballen"? Du kan legge inn et slikt objekt: .

Dette objektet lar oss matematisk registrere bevegelsen til ballene i den rekkefølgen de skjedde:

La oss ta et eksempel til.

På kontoen til telefonen din rubler. Du gikk på nett, og det kostet rubler. Det viste seg en gjeld på rubler. Operatøren kunne skrive ned slik: "klienten skylder rubler." Du har lagt rubler. Operatøren trakk fra gjelden. Det viste seg på konto av rubler.

Men det er praktisk å registrere både transaksjoner og penger på kontoen ved å bruke tegnene "" og "". (Se figur 3.)

Ris. 3. Praktisk opptak

Vi legger inn et negativt tall for å skrive ned resultatet av subtraksjon fra færre mer: .

Å legge til et negativt tall er det samme som å trekke fra: .

For å skille negative tall fra de positive tallene som vi behandlet tidligere, ble vi enige om å sette et minustegn foran: .

Kunne du klart deg uten dem? Ja det kan du. I hver spesifikke situasjon vil vi bruke ordene "tilbake", "i gjeld" og så videre. Men de, disse ordene, ville vært annerledes.

Og så har vi et universelt praktisk verktøy. En for alle slike saker.

Vi kan trekke en analogi med en bil. Det består av et stort antall deler, hvorav mange ikke er nødvendig individuelt, men sammen lar de deg sykle. Tilsvarende er negative tall et verktøy som sammen med andre matematiske verktøy gjør det lettere å beregne og forenkle løsning og registrering av mange oppgaver.

Så vi har introdusert et nytt objekt - negative tall. Hva brukes de til i livet?

Først, la oss huske rollene til positive tall:

Mengde: for eksempel ved, liter melk. (Se figur 4.)

Ris. 4. Mengde

Bestilling: For eksempel er hus nummerert med positive tall. (Se figur 5.)

Ris. 5. Bestilling

Navn: for eksempel spillernummer. (Se figur 6.)

Ris. 6. Nummer som navn

La oss nå se på funksjonene negative tall:

Betegnelse på manglende kvantum. Tallet er ikke negativt. Men et negativt tall brukes for å vise at beløpet trekkes fra. For eksempel kan vi helle ut av en flaske og skrive det som . (Se figur 7.)

Ris. 7. Betegnelse på manglende mengde

Bestilling. Noen ganger velges null under nummerering, og du må nummerere objekter på begge sider av null. For eksempel etasjene som ligger under -th, i kjelleren. (Se figur 8.) Eller en temperatur som er under valgt null. (Se figur 9.)

Ris. 8. Etasje under th, i kjeller

Ris. 9. Negative tall på termometerskalaen

Men likevel er hovedhensikten med negative tall et verktøy for å forenkle matematiske beregninger.

Men for at negative tall skal bli et så praktisk verktøy, må du:

En negativ temperatur er en som er under null, under null temperatur. Men hva er null temperatur? For å måle, registrere temperaturen, må du velge måleenhet og referansepunkt. Begge er en avtale. Vi bruker Celsius-skalaen oppkalt etter forskeren som foreslo den. (Se figur 10.)

Ris. 10. Anders Celsius

Her er frysepunktet for vann valgt som referansepunkt. Alt nedenfor er merket negativ verdi. (Se figur 11.)

Ris. elleve.

Men det er klart at hvis vi tar et annet referansepunkt, et annet null, så kan den negative temperaturen i Celsius være positiv i denne andre skalaen. Og slik skjer det. I fysikk er Kelvin-skalaen mye brukt. Den ligner på Celsius-skalaen, bare verdien av lavest mulig temperatur er valgt som null (det er ingen lavere). Denne verdien kalles absolutt null". I Celsius er dette ca. (Se figur 12.)

Ris. 12. To skalaer

Det vil si at det ikke er noen negative verdier i Kelvin-skalaen i det hele tatt.

Ja, sommeren vår .

Og frostig .

Det vil si at en negativ temperatur er en konvensjon, en avtale mellom folk om å kalle det det.

La oss starte fra scratch. Null tar særstilling blant tallene.

Som vi allerede har diskutert, for enkelhets skyld kan vi betegne subtraksjonen av syv som et negativt tall. Siden det betyr subtraksjon, lar vi tegnet "" være tegnet. La oss ringe et nytt nummer.

Det vil si at "" er et tall som summeres til null: . Og i hvilken som helst rekkefølge. Dette er definisjonen av et negativt (eller motsatt) tall.

For hvert tall vi studerte før, introduserer vi et nytt tall, negativt, hvis tegn er et minustegn foran det. Det vil si at for hvert forrige tall dukket dens negative tvilling opp. Slike tvillinger kalles motsatte tall. (Se figur 13.)

Ris. 13. Motstående tall

Så, definisjon: to tall kalles motsatte tall, summen av disse er lik null.

Utad er de bare forskjellige i tegnet "".

Hvis en variabel er innledet med tegnet "", for eksempel, hva betyr dette? Det betyr ikke det gitt verdi negativ. Minustegnet betyr at denne verdien er motsatt av tallet: . Hvilket av disse tallene som er positivt, hvilket som er negativt, vet vi ikke.

Hvis da .

If (negativt tall), deretter (positivt tall).

Hva er det motsatte av null? Dette vet vi allerede.

Hvis null legges til et hvilket som helst tall, inkludert null, vil ikke det opprinnelige tallet endres. Det vil si at summen av to nuller er lik null: . Men tall hvis sum er null er motsatte. Dermed er null det motsatte av seg selv.

Så vi har gitt definisjonen av negative tall, funnet ut hvorfor de er nødvendige.

La oss nå bruke litt tid på teknologi. For nå må vi lære å finne det motsatte for et hvilket som helst tall:

I den siste delen av leksjonen vil vi snakke om de nye navnene og betegnelsene på settene som dukker opp etter innføringen av negative tall.