Y x finn perioden for funksjonen. Periodisitet av funksjoner y = sin x, y = cos x - Kunnskapshypermarked
Argument x, så kalles det periodisk hvis det er et tall T slik at for enhver x F(x + T) = F(x). Dette tallet T kalles funksjonens periode.
Det kan være flere perioder. For eksempel tar funksjonen F = const samme verdi for en hvilken som helst verdi av argumentet, og derfor kan et hvilket som helst tall betraktes som sin periode.
Vanligvis er du interessert i den minste ikke-null perioden av en funksjon. For korthets skyld kalles det ganske enkelt en periode.
Et klassisk eksempel på periodiske funksjoner er trigonometrisk: sinus, cosinus og tangens. Perioden deres er den samme og lik 2π, det vil si sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) og så videre. Imidlertid er trigonometriske funksjoner selvfølgelig ikke de eneste periodiske.
For enkle, grunnleggende funksjoner er den eneste måten å avgjøre om de er periodiske eller ikke-periodiske, gjennom beregning. Men for komplekse funksjoner er det allerede flere enkle regler.
Hvis F(x) er med periode T, og en derivert er definert for den, så er denne deriverte f(x) = F′(x) også en periodisk funksjon med periode T. Tross alt er verdien av den deriverte i punktet x er lik tangenten til tangentvinkelen til grafen til dens antideriverte på dette punktet til x-aksen, og siden antideriverten gjentar seg periodisk, må den deriverte også gjentas. For eksempel er den deriverte av funksjonen sin(x) lik cos(x), og den er periodisk. Å ta den deriverte av cos(x) gir deg –sin(x). Frekvensen forblir uendret.
Det motsatte er imidlertid ikke alltid sant. Dermed er funksjonen f(x) = const periodisk, men dens antideriverte F(x) = const*x + C er det ikke.
Hvis F(x) er en periodisk funksjon med periode T, så er G(x) = a*F(kx + b), hvor a, b og k er konstanter og k ikke er lik null - er også en periodisk funksjon , og perioden er T/k. For eksempel er sin(2x) en periodisk funksjon, og perioden er π. Dette kan representeres visuelt som følger: ved å multiplisere x med et tall, ser det ut til at du komprimerer grafen til funksjonen horisontalt nøyaktig så mange ganger
Hvis F1(x) og F2(x) er periodiske funksjoner, og deres perioder er lik henholdsvis T1 og T2, så kan summen av disse funksjonene også være periodiske. Dens periode vil imidlertid ikke være en enkel sum av periodene T1 og T2. Hvis resultatet av divisjon T1/T2 er et rasjonelt tall, er summen av funksjonene periodisk, og perioden er lik det minste felles multiplum (LCM) av periodene T1 og T2. For eksempel, hvis perioden for den første funksjonen er 12, og perioden til den andre er 15, vil perioden for summen deres være lik LCM (12, 15) = 60.
Dette kan visuelt representeres som følger: funksjoner kommer med forskjellige "trinnbredder", men hvis forholdet mellom breddene deres er rasjonelle, vil de før eller senere (eller rettere sagt, nøyaktig gjennom LCM av trinn), bli like igjen, og deres sum vil begynne en ny periode.
Men hvis forholdet mellom perioder er irrasjonelt, vil den totale funksjonen ikke være periodisk i det hele tatt. La for eksempel F1(x) = x mod 2 (resten når x er delt på 2), og F2(x) = sin(x). T1 vil her være lik 2, og T2 vil være lik 2π. Forholdet mellom perioder er lik π - et irrasjonelt tall. Derfor er ikke funksjonen sin(x) + x mod 2 periodisk.
Videoleksjonen "Periodisitet av funksjoner y = sin x, y = cos x" avslører begrepet periodisitet til en funksjon, vurderer en beskrivelse av eksempler på å løse problemer der begrepet periodisitet til en funksjon brukes. Denne videoleksjonen er et visuelt hjelpemiddel for å forklare emnet for elevene. Denne håndboken kan også bli en selvstendig del av leksjonen, og frigjøre læreren til å utføre individuelt arbeid med elevene.
Synlighet i å presentere dette emnet er svært viktig. For å representere oppførselen til en funksjon, plotte den, må den visualiseres. Det er ikke alltid mulig å lage konstruksjoner ved hjelp av tavle og kritt på en slik måte at de er forståelige for alle elever. I videoopplæringen er det mulig å fremheve deler av tegningen med farger ved konstruksjon, og gjøre transformasjoner ved hjelp av animasjon. Dermed blir konstruksjonene mer forståelige for de fleste elever. Dessuten bidrar videoleksjonen til bedre memorering av materialet.
Demonstrasjonen begynner med å introdusere emnet for leksjonen, samt minner elevene om materiell som er lært i tidligere leksjoner. Spesielt er listen over egenskaper som ble identifisert i funksjonene y = sin x, samt y = cos x, oppsummert. Blant egenskapene til funksjonene som vurderes, er definisjonsdomenet, verdiområdet, paritet (oddhet), andre funksjoner notert - begrensethet, monotonisitet, kontinuitet, punkter med minst (størst) verdi. Studentene blir informert om at i denne leksjonen studeres en annen egenskap ved en funksjon - periodisitet.
Definisjonen av en periodisk funksjon y=f(x), hvor xϵX, hvor betingelsen f(x-Т)= f(x)= f(x+Т) for noen Т≠0 er presentert. Ellers kalles tallet T funksjonens periode.
For de aktuelle sinus- og cosinusfunksjonene kontrolleres oppfyllelsen av betingelsen ved hjelp av reduksjonsformler. Det er åpenbart at formen til identiteten sin(x-2π)=sinx=sin(x+2π) tilsvarer formen til uttrykket som definerer betingelsen for periodisitet til funksjonen. Den samme likheten kan noteres for cosinus cos (x-2π)= cos x= cos (x+2π). Dette betyr at disse trigonometriske funksjonene er periodiske.
Det bemerkes videre hvordan egenskapen periodisitet bidrar til å bygge grafer over periodiske funksjoner. Funksjonen y = sin x vurderes. Et koordinatplan er konstruert på skjermen, hvor abscisser fra -6π til 8π er markert med trinnet π. En del av sinusgrafen er plottet på planet, representert ved en bølge på segmentet. Figuren viser hvordan grafen til en funksjon dannes over hele definisjonsdomenet ved å forskyve det konstruerte fragmentet, noe som resulterer i en lang sinusoid.
En graf for funksjonen y = cos x er konstruert ved å bruke egenskapen til dens periodisitet. For å gjøre dette er et koordinatplan konstruert i figuren, hvor et fragment av grafen er avbildet. Det bemerkes at et slikt fragment vanligvis er konstruert på segmentet [-π/2;3π/2]. I likhet med grafen for sinusfunksjonen utføres konstruksjonen av cosinusgrafen ved å forskyve fragmentet. Som et resultat av konstruksjonen dannes en lang sinusoid.
Tegning av en periodisk funksjon har funksjoner som kan brukes. Derfor er de gitt i en generalisert form. Det bemerkes at for å konstruere en graf av en slik funksjon, er en gren av grafen først konstruert på et visst intervall med lengde T. Deretter er det nødvendig å forskyve den konstruerte grenen til høyre og venstre med T, 2T, 3T, etc. Samtidig påpekes et annet trekk ved perioden - for ethvert heltall k≠0 er tallet kT også funksjonens periode. T kalles imidlertid hovedperioden, siden den er den minste av alle. For de trigonometriske funksjonene sinus og cosinus er grunnperioden 2π. Periodene er imidlertid også 4π, 6π osv.
Deretter foreslås det å vurdere å finne hovedperioden til funksjonen y = cos 5x. Løsningen begynner med antakelsen om at T er perioden for funksjonen. Dette betyr at betingelsen f(x-T)= f(x)= f(x+T) må være oppfylt. I denne identiteten er f(x)= cos 5x, og f(x+T)=cos 5(x+T)= cos (5x+5T). I dette tilfellet er cos (5x+5T)= cos 5x, derfor 5T=2πn. Nå kan du finne T=2π/5. Problemet er løst.
I den andre oppgaven må du finne hovedperioden til funksjonen y=sin(2x/7). Det antas at hovedperioden til T-funksjonen for en gitt funksjon er f(x)= sin(2x/7), og etter en periode f(x+T)=sin(2x/7)(x+T) = sin(2x/7 +(2/7)T). etter reduksjon får vi (2/7)Т=2πn. Vi må imidlertid finne hovedperioden, så vi tar den minste verdien (2/7)T=2π, som vi finner T=7π fra. Problemet er løst.
På slutten av demonstrasjonen oppsummeres resultatene av eksemplene for å danne en regel for å bestemme funksjonens grunnleggende periode. Det bemerkes at for funksjonene y=sinkx og y=coskx er hovedperiodene 2π/k.
Videoleksjonen «Periodicity of functions y = sin x, y = cos x» kan brukes i en tradisjonell matematikktime for å øke effektiviteten til leksjonen. Det anbefales også at dette materialet brukes av en lærer som tilbyr fjernundervisning for å øke klarheten i forklaringen. Videoen kan anbefales til en elev som sliter for å utdype sin forståelse av temaet.
TEKSTDEKODING:
"Periodisitet av funksjoner y = cos x, y = sin x."
For å konstruere grafer for funksjonene y = sin x og y = cos x, ble egenskapene til funksjonene brukt:
1 definisjonsområde,
2 verdi område,
3 partall eller oddetall,
4 monotoni,
5 begrensning,
6 kontinuitet,
7 høyeste og laveste verdi.
I dag skal vi studere en annen egenskap: periodisiteten til en funksjon.
DEFINISJON. Funksjonen y = f (x), hvor x ϵ X (det greske er lik ef til x, hvor x tilhører mengden x), kalles periodisk hvis det er et tall som ikke er null, slik at for enhver x fra mengden X den doble likheten gjelder: f (x - T)= f (x) = f (x + T)(eff fra x minus te er lik ef fra x og lik ef fra x pluss te). Tallet T som tilfredsstiller denne doble likheten kalles funksjonens periode
Og siden sinus og cosinus er definert på hele tallinjen og for enhver x er likhetene sin(x - 2π)= sin x= sin(x+ 2π) oppfylt (sinus av x minus to pi er lik sinus til x og lik til sinus av x pluss to pi ) And
cos (x- 2π)= cos x = cos (x+ 2π) (cosinus til x minus to pi er lik cosinus til x og lik cosinus til x pluss to pi), da er sinus og cosinus periodiske funksjoner med en periode på 2π.
Periodisitet lar deg raskt bygge en graf av en funksjon. Faktisk, for å konstruere en graf av funksjonen y = sin x, er det nok å plotte en bølge (oftest på et segment (fra null til to pi), og deretter ved å forskyve den konstruerte delen av grafen langs abscissen aksen til høyre og venstre med 2π, deretter med 4π og så videre for å få en sinusbølge.
(vis høyre og venstre forskyvning med 2π, 4π)
Tilsvarende for grafen til funksjonen
y = cos x, men vi bygger en bølge oftest på segmentet [; ] (fra minus pi over to til tre pi over to).
La oss oppsummere det ovennevnte og trekke en konklusjon: for å konstruere en graf av en periodisk funksjon med en periode T, må du først konstruere en gren (eller bølge, eller en del) av grafen på et hvilket som helst intervall med lengde T (oftest dette er et intervall med ender ved punktene 0 og T eller - og (minus te med to og te med to), og flytt deretter denne grenen langs x(x)-aksen til høyre og venstre med T, 2T, 3T, etc.
Selvfølgelig, hvis en funksjon er periodisk med periode T, så er for ethvert heltall k0 (ka ikke lik null) et tall på formen kT (ka te) også perioden for denne funksjonen. Vanligvis prøver de å isolere den minste positive perioden, som kalles hovedperioden.
Som perioden for funksjonene y = cos x, y = sin x, kan man ta - 4π, 4π, - 6π, 6π, osv. (minus fire pi, fire pi, minus seks pi, seks pi, og så videre) . Men tallet 2π er hovedperioden for begge funksjonene.
La oss se på eksempler.
EKSEMPEL 1. Finn hovedperioden til funksjonen y = cos5x (yen er lik cosinus til fem x).
Løsning. La T være hovedperioden til funksjonen y = cos5x. La oss sette
f (x) = cos5x, så f (x + T) = cos5(x + T) = cos (5x + 5T) (eff av x pluss te er lik cosinus av fem multiplisert med summen av x og te er lik cosinus av summen av fem x og fem te).
cos (5x + 5T) = cos5x. Derfor er 5T = 2πn (fem te er lik to pi en), men i henhold til betingelsen må du finne hovedperioden, som betyr 5T = 2π. Vi får T=
(perioden for denne funksjonen er to pi delt på fem).
Svar: T=.
EKSEMPEL 2. Finn hovedperioden til funksjonen y = sin (yen er lik sinusen til kvotienten av to x ganger syv).
Løsning. La T være hovedperioden til funksjonen y = sin. La oss sette
f (x) = sin, så f (x + T) = sin (x + T) = sin (x + T) (ef av x pluss te er lik sinusen til produktet av to syvendedeler og summen av x og te er lik sinusen til summen av to syvendedeler x og to syvendedeler te).
For at tallet T skal være perioden for funksjonen, må identiteten være oppfylt
sin (x + T) = sin. Derfor er T= 2πn (to syvendedeler te er lik to pi en), men i henhold til betingelsen må du finne hovedperioden, som betyr T= 2π. Vi får T=7
(perioden for denne funksjonen er syv pi).
Svar: T=7.
Ved å oppsummere resultatene oppnådd i eksemplene kan vi konkludere: hovedperioden for funksjonene y = sin kx eller y = cos kx (y er lik sinus ka x eller y er lik cosinus ka x) er lik (to pi delt på ka) .
Mål: oppsummere og systematisere elevenes kunnskap om emnet «Periodicity of Functions»; utvikle ferdigheter i å bruke egenskapene til en periodisk funksjon, finne den minste positive perioden til en funksjon, konstruere grafer av periodiske funksjoner; fremme interessen for å studere matematikk; dyrke observasjon og nøyaktighet.
Utstyr: datamaskin, multimediaprojektor, oppgavekort, lysbilder, klokker, smykkebord, elementer av folkehåndverk
"Matematikk er det folk bruker til å kontrollere naturen og seg selv."
A.N. Kolmogorov
I løpet av timene
I. Organisasjonsstadiet.
Sjekke elevenes beredskap for timen. Rapporter emnet og målene for leksjonen.
II. Sjekker lekser.
Vi sjekker lekser ved hjelp av prøver og diskuterer de vanskeligste punktene.
III. Generalisering og systematisering av kunnskap.
1. Muntlig frontalt arbeid.
Teorispørsmål.
1) Lag en definisjon av perioden for funksjonen
2) Nevn den minste positive perioden av funksjonene y=sin(x), y=cos(x)
3). Hva er den minste positive perioden av funksjonene y=tg(x), y=ctg(x)
4) Bruk en sirkel for å bevise riktigheten av relasjonene:
y=sin(x) = sin(x+360º)
y=cos(x) = cos(x+360º)
y=tg(x) = tg(x+180º)
y=ctg(x) = ctg(x+180º)
tg(x+π n)=tgx, n € Z
ctg(x+π n)=ctgx, n € Z
sin(x+2π n)=sinx, n € Z
cos(x+2π n)=cosx, n € Z
5) Hvordan plotte en periodisk funksjon?
Muntlige øvelser.
1) Bevis følgende sammenhenger
a) sin(740º) = sin(20º)
b) cos(54º ) = cos(-1026º)
c) sin(-1000º) = sin(80º)
2. Bevis at en vinkel på 540º er en av periodene til funksjonen y= cos(2x)
3. Bevis at en vinkel på 360º er en av periodene til funksjonen y=tg(x)
4. Transformer disse uttrykkene slik at vinklene som er inkludert i dem ikke overstiger 90º i absolutt verdi.
a) tg375º
b)ctg530º
c) sin1268º
d)cos(-7363º)
5. Hvor kom du over ordene PERIOD, PERIODICITY?
Eleven svarer: En periode i musikk er en struktur der en mer eller mindre komplett musikalsk tanke presenteres. En geologisk periode er en del av en epoke og er delt inn i epoker med en periode fra 35 til 90 millioner år.
Halveringstid for et radioaktivt stoff. Periodisk brøk. Tidsskrifter er trykte publikasjoner som kommer innen strengt definerte frister. Mendeleevs periodiske system.
6. Figurene viser deler av grafene til periodiske funksjoner. Bestem perioden for funksjonen. Bestem perioden for funksjonen.
Svar: T=2; T=2; T=4; T=8.
7. Hvor i livet ditt har du møtt konstruksjonen av gjentatte elementer?
Elevsvar: Innslag av ornamenter, folkekunst.
IV. Kollektiv problemløsning.
(Løse problemer på lysbilder.)
La oss vurdere en av måtene å studere en funksjon for periodisitet.
Denne metoden unngår vanskelighetene forbundet med å bevise at en bestemt periode er den minste, og eliminerer også behovet for å håndtere spørsmål om aritmetiske operasjoner på periodiske funksjoner og periodisiteten til en kompleks funksjon. Resonnementet er kun basert på definisjonen av en periodisk funksjon og på følgende faktum: hvis T er perioden for funksjonen, så er nT(n?0) dens periode.
Oppgave 1. Finn den minste positive perioden for funksjonen f(x)=1+3(x+q>5)
Løsning: Anta at T-perioden for denne funksjonen. Så f(x+T)=f(x) for alle x € D(f), dvs.
1+3(x+T+0,25)=1+3(x+0,25)
(x+T+0,25)=(x+0,25)
La oss sette x=-0,25 og vi får
(T)=0 T=n, n € Z
Vi har fått til at alle perioder av den aktuelle funksjonen (hvis de finnes) er blant heltallene. La oss velge det minste positive tallet blant disse tallene. Dette er 1. La oss sjekke om det faktisk blir periode 1.
f(x+1) =3(x+1+0,25)+1
Siden (T+1)=(T) for enhver T, så f(x+1)=3((x+0,25)+1)+1=3(x+0,25)+1=f(x), dvs. 1 – periode f. Siden 1 er det minste av alle positive heltall, er T=1.
Oppgave 2. Vis at funksjonen f(x)=cos 2 (x) er periodisk og finn dens hovedperiode.
Oppgave 3. Finn hovedperioden til funksjonen
f(x)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
La oss anta T-perioden til funksjonen, så for enhver x er relasjonen gyldig
sin1,5(x+T)+5cos0,75(x+T)=sin(1,5x)+5cos(0,75x)
Hvis x=0, da
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=sin0+5cos0
sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5
Hvis x=-T, så
sin0+5cos0=sin(-1,5T)+5cos0,75(-T)
5= – sin(1,5T)+5cos(0,75T)
| sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 – sin(1,5T)+5cos(0,75T)=5 |
Legger vi det sammen får vi:
10cos(0,75T)=10
2π n, n € Z
La oss velge det minste positive tallet fra alle de "mistenkelige" tallene for perioden og sjekke om det er en punktum for f. Dette nummeret
f(x+)=sin(1,5x+4π)+5cos(0,75x+2π)= sin(1,5x)+5cos(0,75x)=f(x)
Dette betyr at dette er hovedperioden for funksjonen f.
Oppgave 4. La oss sjekke om funksjonen f(x)=sin(x) er periodisk
La T være perioden for funksjonen f. Deretter for enhver x
sin|x+Т|=sin|x|
Hvis x=0, så er sin|Т|=sin0, sin|Т|=0 Т=π n, n € Z.
La oss anta. At for noen n er tallet π n perioden
funksjonen under vurdering π n>0. Deretter sin|π n+x|=sin|x|
Dette innebærer at n må være både et partall og et oddetall, men dette er umulig. Derfor er denne funksjonen ikke periodisk.
Oppgave 5. Sjekk om funksjonen er periodisk
f(x)= 
La T være perioden til f, da
, derav sinT=0, Т=π n, n € Z. La oss anta at for noen n er tallet π n faktisk perioden for denne funksjonen. Da vil tallet 2π n være perioden
Siden tellerne er like, er derfor nevnerne like
Dette betyr at funksjonen f ikke er periodisk.
Arbeid i grupper.
Oppgaver for gruppe 1.
Oppgaver for gruppe 2.
Sjekk om funksjonen f er periodisk og finn dens fundamentale periode (hvis den finnes).
f(x)=cos(2x)+2sin(2x)
Oppgaver for gruppe 3.
På slutten av arbeidet presenterer gruppene sine løsninger.
VI. Oppsummering av leksjonen.
Speilbilde.
Læreren gir elevene kort med tegninger og ber dem fargelegge en del av den første tegningen i samsvar med i hvilken grad de tror de har mestret metodene for å studere en funksjon for periodisitet, og en del av den andre tegningen - i samsvar med deres bidrag til arbeidet i timen.
VII. Hjemmelekser
1). Sjekk om funksjonen f er periodisk og finn dens fundamentale periode (hvis den finnes)
b). f(x)=x2-2x+4
c). f(x)=2tg(3x+5)
2). Funksjonen y=f(x) har en periode T=2 og f(x)=x 2 +2x for x € [-2; 0]. Finn verdien av uttrykket -2f(-3)-4f(3.5)
Litteratur/
I juli 2020 lanserer NASA en ekspedisjon til Mars. Romfartøyet vil levere til Mars et elektronisk medium med navn på alle registrerte ekspedisjonsdeltakere.
Påmelding av deltakere er åpen. Skaff deg billett til Mars ved å bruke denne lenken.
Hvis dette innlegget løste problemet ditt eller du bare likte det, del lenken til det med vennene dine på sosiale nettverk.
Et av disse kodealternativene må kopieres og limes inn i koden til nettsiden din, helst mellom tagger og eller rett etter taggen. I henhold til det første alternativet laster MathJax raskere og bremser siden mindre. Men det andre alternativet overvåker og laster automatisk de nyeste versjonene av MathJax. Hvis du setter inn den første koden, må den oppdateres med jevne mellomrom. Hvis du setter inn den andre koden, vil sidene lastes saktere, men du trenger ikke å overvåke MathJax-oppdateringer konstant.
Den enkleste måten å koble MathJax på er i Blogger eller WordPress: i nettstedets kontrollpanel legger du til en widget som er utformet for å sette inn tredjeparts JavaScript-kode, kopierer den første eller andre versjonen av nedlastingskoden presentert ovenfor, og plasser widgeten nærmere. til begynnelsen av malen (forresten, dette er ikke i det hele tatt nødvendig, siden MathJax-skriptet lastes asynkront). Det er alt. Lær nå markup-syntaksen til MathML, LaTeX og ASCIIMathML, og du er klar til å sette inn matematiske formler på nettstedets nettsider.
Nok en nyttårsaften... frostvær og snøflak på vindusglasset... Alt dette fikk meg til å skrive igjen om... fraktaler, og hva Wolfram Alpha vet om det. Det er en interessant artikkel om dette emnet, som inneholder eksempler på todimensjonale fraktale strukturer. Her skal vi se på mer komplekse eksempler på tredimensjonale fraktaler.
En fraktal kan visuelt representeres (beskrevet) som en geometrisk figur eller kropp (som betyr at begge er et sett, i dette tilfellet et sett med punkter), hvis detaljer har samme form som selve den opprinnelige figuren. Det vil si at dette er en selv-lignende struktur, som undersøker detaljene som når forstørret, vil vi se samme form som uten forstørrelse. Mens når det gjelder en vanlig geometrisk figur (ikke en fraktal), vil vi ved forstørrelse se detaljer som har en enklere form enn selve originalfiguren. For eksempel, ved høy nok forstørrelse, ser en del av en ellipse ut som et rett linjesegment. Dette skjer ikke med fraktaler: med noen økning i dem, vil vi igjen se den samme komplekse formen, som vil gjentas igjen og igjen med hver økning.
Benoit Mandelbrot, grunnleggeren av vitenskapen om fraktaler, skrev i sin artikkel Fractals and Art in the Name of Science: «Fraktaler er geometriske former som er like komplekse i detaljene som i deres generelle form vil bli forstørret til størrelsen på helheten, vil den fremstå som en helhet, enten nøyaktig, eller kanskje med en liten deformasjon."
Trigonometriske funksjoner er periodiske, det vil si at de gjentas etter en viss periode. Som et resultat er det nok å studere funksjonen på dette intervallet og utvide de oppdagede egenskapene til alle andre perioder.
Bruksanvisning1. Hvis du får et primitivt uttrykk der det bare er én trigonometrisk funksjon (sin, cos, tg, ctg, sek, cosec), og vinkelen inne i funksjonen ikke multipliseres med noe tall, og den i seg selv er ikke hevet i noen grad - bruk definisjonen. For uttrykk som inneholder sin, cos, sek, cosec, sett perioden til 2P, og hvis ligningen inneholder tg, ctg, så P. La oss si, for funksjonen y=2 sinx+5, vil perioden være lik 2P .
2. Hvis vinkelen x under tegnet til en trigonometrisk funksjon multipliseres med et eller annet tall, så, for å finne perioden til denne funksjonen, dividere den typiske perioden med dette tallet. La oss si at du får en funksjon y = sin 5x. Den typiske perioden for en sinus er 2P ved å dele den med 5, du får 2P/5 - dette er ønsket periode for dette uttrykket.
3. For å finne perioden for en trigonometrisk funksjon hevet til en potens, anslå pariteten til potensen. For en jevn grad, reduser den typiske perioden med det halve. La oss si at hvis du får funksjonen y = 3 cos^2x, vil den typiske perioden 2P reduseres med 2 ganger, så perioden vil være lik P. Vær oppmerksom på at funksjonene tg, ctg er periodiske til P til hver grad.
4. Hvis du får en ligning som inneholder produktet eller kvotienten av to trigonometriske funksjoner, finn først perioden for dem alle hver for seg. Etter dette, finn minimumstallet som vil inneholde hele tallet for begge punktum. La oss si at funksjonen y=tgx*cos5x er gitt. For tangent er perioden P, for cosinus 5x er perioden 2P/5. Minimumsantallet der begge disse periodene kan innkvarteres er 2P, dermed er ønsket periode 2P.
5. Hvis du synes det er vanskelig å gjøre som foreslått eller tviler på resultatet, prøv å gjøre det som definert. Ta T som perioden for funksjonen den er større enn null. Bytt ut uttrykket (x + T) i stedet for x i ligningen og løs den resulterende likheten som om T var en parameter eller et tall. Som et resultat vil du oppdage verdien av den trigonometriske funksjonen og være i stand til å finne den minste perioden. La oss si at du som et resultat av lettelsen får identitetssynden (T/2) = 0. Minimumsverdien av T som det utføres på er 2P, dette vil være resultatet av oppgaven.
En periodisk funksjon er en funksjon som gjentar verdiene sine etter en periode som ikke er null. Perioden til en funksjon er et tall som, når det legges til argumentet til en funksjon, ikke endrer verdien til funksjonen.
Du vil trenge
- Kunnskap om elementær matematikk og grunnleggende gjennomgang.
1. La oss betegne perioden til funksjonen f(x) med tallet K. Vår oppgave er å oppdage denne verdien av K. For å gjøre dette, se for deg at funksjonen f(x), ved å bruke definisjonen av en periodisk funksjon, vi setter likhetstegn mellom f(x+K)=f(x).
2. Vi løser den resulterende ligningen angående den ukjente K, som om x var en konstant. Avhengig av verdien av K, vil det være flere alternativer.
3. Hvis K>0 – så er dette perioden for funksjonen din. Hvis K=0 – så er ikke funksjonen f(x) periodisk ikke eksisterer for noen K som ikke er lik null, så kalles en slik funksjon aperiodisk og den har heller ingen periode.
Video om emnet
Merk!
Alle trigonometriske funksjoner er periodiske, og alle polynomfunksjoner med en grad større enn 2 er aperiodiske.
Nyttige råd
Perioden til en funksjon som består av 2 periodiske funksjoner er det minste universelle multiplumet av periodene til disse funksjonene.
Trigonometriske ligninger er ligninger som inneholder trigonometriske funksjoner av et ukjent argument (for eksempel: 5sinx-3cosx =7). For å lære hvordan du løser dem, må du vite noen måter å gjøre dette på.
1. Løsningen av slike ligninger består av 2 stadier. Det første er å reformere ligningen for å få sin enkleste form. De enkleste trigonometriske ligningene er: Sinx=a; Cosx=a osv.
2. Den andre er løsningen av den enkleste trigonometriske ligningen som er oppnådd. Det er grunnleggende måter å løse denne typen ligninger på: Løsning algebraisk. Denne metoden er kjent fra skolen, fra et algebrakurs. Ellers kalt metoden for variabel erstatning og substitusjon. Ved å bruke reduksjonsformler transformerer vi, gjør en substitusjon og finner deretter røttene.
3. Faktorisering av ligningen. Først flytter vi alle begrepene til venstre og faktoriserer dem.
4. Redusere ligningen til en homogen. Ligninger kalles homogene ligninger hvis alle ledd er av samme grad og sinus og cosinus for samme vinkel. For å løse det, bør du først overføre alle leddene fra høyre side til venstre side. flytte alle universelle faktorer ut av parentes; likestille faktorer og parentes til null; likestilte parenteser gir en homogen ligning av lavere grad, som skal deles med cos (eller sin) i høyeste grad; løse den resulterende algebraiske ligningen angående brunfarge.
5. Den neste metoden er å flytte til en halv vinkel. Si, løs ligningen: 3 sin x – 5 cos x = 7. La oss gå videre til halvvinkelen: 6 sin (x / 2) · cos (x / 2) – 5 cos? (x / 2) + 5 sin ? (x / 2) = 7 sin ? (x / 2) + 7 cos ? (x/ 2) , hvoretter vi reduserer alle ledd til en del (gjerne høyre side) og løser ligningen.
6. Innføring av hjelpevinkel. Når vi erstatter heltallsverdien cos(a) eller sin(a). Tegnet "a" er en hjelpevinkel.
7. Metode for å reformere et produkt til en sum. Her må du bruke de riktige formlene. La oss si gitt: 2 sin x · sin 3x = cos 4x Løs det ved å transformere venstre side til en sum, det vil si: cos 4x – cos 8x = cos 4x ,cos 8x = 0 ,8x = p / 2 + pk , x = p / 16 + pk / 8.
8. Den siste metoden kalles multifunksjonell substitusjon. Vi transformerer uttrykket og gjør en endring, si Cos(x/2)=u, og løser så ligningen med parameteren u. Ved kjøp av totalen konverterer vi verdien til det motsatte.
Video om emnet
Hvis vi vurderer punkter på en sirkel, så punkter x, x + 2π, x + 4π, osv. sammenfaller med hverandre. Dermed gjentar trigonometriske funksjoner på en rett linje med jevne mellomrom verdien. Hvis perioden til en funksjon er kjent, er det mulig å konstruere funksjonen på denne perioden og gjenta den på andre.
1. Perioden er et tall T slik at f(x) = f(x+T). For å finne perioden, løs den tilsvarende ligningen, og bytt inn x og x+T som et argument. I dette tilfellet bruker de de allerede velkjente periodene for funksjoner. For sinus- og cosinusfunksjonene er perioden 2π, og for tangent- og cotangensfunksjonene er den π.
2. La funksjonen f(x) = sin^2(10x) gis. Tenk på uttrykket sin^2(10x) = sin^2(10(x+T)). Bruk formelen for å redusere graden: sin^2(x) = (1 – cos 2x)/2. Da får du 1 – cos 20x = 1 – cos 20(x+T) eller cos 20x = cos (20x+20T). Å vite at perioden for cosinus er 2π, 20T = 2π. Dette betyr T = π/10. T er minimum korrekt periode, og funksjonen vil bli gjentatt etter 2T, og etter 3T, og i den andre retningen langs aksen: -T, -2T, etc.
Nyttige råd
Bruk formler for å redusere graden av en funksjon. Hvis du allerede kjenner periodene til noen funksjoner, prøv å redusere den eksisterende funksjonen til kjente.
Å undersøke en funksjon for jevnhet og oddhet hjelper til med å bygge en graf over funksjonen og forstå arten av dens oppførsel. For denne forskningen må du sammenligne denne funksjonen skrevet for argumentet "x" og for argumentet "-x".
1. Skriv ned funksjonen du vil studere på formen y=y(x).
2. Erstatt argumentet til funksjonen med "-x". Bytt ut dette argumentet til et funksjonelt uttrykk.
3. Forenkle uttrykket.
4. Dermed har du den samme funksjonen skrevet for argumentene "x" og "-x". Se på disse to oppføringene. Hvis y(-x)=y(x), så er det en partallsfunksjon si om en funksjon at y (-x)=y(x) eller y(-x)=-y(x), så er dette ved egenskapen paritet en funksjon av universell form. Det vil si at det verken er partall eller rart.
5. Skriv ned funnene dine. Nå kan du bruke dem til å konstruere en graf for en funksjon eller i en fremtidig analytisk studie av egenskapene til en funksjon.
6. Det er også mulig å snakke om jevnheten og oddheten til en funksjon i tilfellet når grafen til funksjonen allerede er gitt. La oss si at grafen tjente som et resultat av et fysisk eksperiment. Hvis grafen til en funksjon er symmetrisk om ordinataksen, så er y(x) en jevn funksjon x(y) er en jevn funksjon. x(y) er en funksjon invers til funksjonen y(x) Hvis grafen til en funksjon er symmetrisk om origo (0,0), så er y(x) en oddetallsfunksjon. Den inverse funksjonen x(y) vil også være oddetall.
7. Det er viktig å huske at ideen om jevnhet og særhet til en funksjon har en direkte forbindelse med definisjonsdomenet til funksjonen. Hvis for eksempel en partall eller oddetallsfunksjon ikke eksisterer ved x=5, eksisterer den ikke ved x=-5, noe som ikke kan sies om en funksjon av en universell form. Når du etablerer partall og oddetall paritet, vær oppmerksom på funksjonens domene.
8. Å finne en funksjon for jevnhet og oddhet korrelerer med å finne et sett med funksjonsverdier. For å finne settet med verdier til en jevn funksjon, er det nok å se på halvparten av funksjonen, til høyre eller til venstre for null. Hvis partallsfunksjonen y(x) ved x>0 tar verdier fra A til B, vil den ta de samme verdiene og ved x0 antar den oddelige funksjonen y(x) verdiområdet fra A til B, så ved x sin^2 ? + cos^2 ? = 1. Den tredje og fjerde identiteten oppnås ved å dele på henholdsvis b^2 og a^2: a^2/b^2 + 1 = c^2/b^2 => tg^2 ? + 1 = 1/cos^2 ?;1 + b^2/a^2 = c^2/a^2 => 1 + 1/tg^2 ? = 1/synd^ ? eller 1 + ctg^2 ? = 1/sin^2 ? Den femte og sjette grunnleggende identiteten bevises ved å bestemme summen av de spisse vinklene til en rettvinklet trekant, som er lik 90° eller?/2. Vanskeligere trigonometriske identiteter: formler for å legge til argumenter. doble og trippelvinkler, redusere graden, reformere summen eller produktene av funksjoner, samt formler for trigonometrisk substitusjon, nemlig uttrykk for grunnleggende trigonometriske funksjoner i form av tan halv vinkel: sin ?= (2*tg ?/2)/ (1 + tan^2 ?/2);cos ? = (1 – tg^2 ?/2)/(1 = tg^2 ?/2);tg ? = (2*tg ?/2)/(1 – tg^2 ?/2).
Behovet for å finne minimumsverdien til en matematisk funksjon er av reell interesse for å løse anvendte problemer, for eksempel innen økonomi. Minimering av tap er av stor betydning for næringsvirksomhet.
1. For å finne minimumsverdien til funksjonen, er det nødvendig å bestemme ved hvilken verdi av argumentet x0 vil ulikheten y(x0) være tilfredsstilt? y(x), hvor x? x0. Som vanlig løses dette problemet på et bestemt intervall eller i hvert verdiområde for funksjonen, hvis en ikke er spesifisert. Et aspekt ved løsningen er å finne faste punkter.
2. Et stasjonært punkt er verdien av argumentet der den deriverte av funksjonen blir null. I følge Fermats teorem, hvis en differensierbar funksjon tar en ekstrem verdi på et tidspunkt (i dette tilfellet et lokalt minimum), så er dette punktet stasjonært.
3. Funksjonen tar ofte minimumsverdien nøyaktig på dette punktet, men den kan ikke bestemmes uten unntak. Dessuten er det ikke alltid mulig å si nøyaktig hva minimum av funksjonen er lik eller om den har en uendelig liten verdi. Så finner de, som vanlig, grensen som den har en tendens til når den minker.
4. For å bestemme minimumsverdien til en funksjon, er det nødvendig å utføre en sekvens av handlinger som består av fire stadier: finne definisjonsdomenet til funksjonen, skaffe faste punkter, gjennomgå funksjonens verdier ved disse poeng og på slutten av intervallet, finne minimum.
5. Det viser seg at la en eller annen funksjon y(x) gis på et intervall med grenser i punktene A og B. Finn domenet til dens definisjon og finn ut om intervallet er dens delmengde.
6. Regn ut den deriverte av funksjonen. Lik det resulterende uttrykket til null og finn røttene til ligningen. Sjekk om disse stasjonære punktene faller innenfor gapet. Hvis ikke, blir de ikke tatt hensyn til på et videre stadium.
7. Undersøk gapet for typen grenser: åpen, lukket, sammensatt eller umålelig. Dette bestemmer hvordan du søker etter minimumsverdien. La oss si at segmentet [A, B] er et lukket intervall. Plugg dem inn i funksjonen og regn ut verdiene. Gjør det samme med et stasjonært punkt. Velg den laveste totalen.
8. Med åpne og umålelige intervaller er situasjonen noe vanskeligere. Her må du se etter ensidige grenser som ikke alltid gir et entydig resultat. Si, for et intervall med én lukket og én punktert grense [A, B), bør man finne en funksjon ved x = A og en ensidig grense lim y ved x? B-0.
Så angrep USSR Polen?
Battle of Larga Utdrag fra Livonian Rhymed Chronicle
Historie i fortellinger prøyssisk-dansk