Er feltet med komplekse tall et ordnet felt. Kompleks tallfelt

Kompleks tall z ringte uttrykk hvor EN Og V– reelle tall, jeg– imaginær enhet eller spesialtegn.

I dette tilfellet er følgende avtaler oppfylt:

1) med uttrykket a+bi kan du utføre aritmetiske operasjoner i henhold til reglene som er akseptert for bokstavelige uttrykk i algebra;

5) likheten a+bi=c+di, hvor a, b, c, d er reelle tall, oppstår hvis og bare hvis a=c og b=d.

Tallet 0+bi=bi kalles innbilt eller rent imaginært.

Ethvert reelt tall a er et spesialtilfelle av et komplekst tall, fordi det kan skrives på formen a=a+ 0i. Spesielt 0=0+0i, men hvis a+bi=0, så er a+bi=0+0i, derfor a=b=0.

Dermed er et komplekst tall a+bi=0 hvis og bare hvis a=0 og b=0.

Fra avtalene følger lovene for transformasjon av komplekse tall:

(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i;

(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i;

(a+bi)+(c+di)=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i;

Vi ser at summen, differansen, produktet og kvotienten (der divisor ikke er lik null) av komplekse tall på sin side er et komplekst tall.

Tall EN ringte reell del av et komplekst tall z(betegnet med ), V– den imaginære delen av det komplekse tallet z (betegnet med ).

Et komplekst tall z med null reell del kalles. rent imaginært, med null imaginær – rent ekte.

To komplekse tall kalles. lik hvis deres virkelige og imaginære deler faller sammen.

To komplekse tall kalles. konjugert, hvis de har stoffer. delene faller sammen, men de imaginære delene er forskjellige i fortegn. , så dets konjugat.

Summen av konjugerte tall er antall stoffer, og forskjellen er et rent imaginært tall. Operasjonene med multiplikasjon og addisjon av tall er naturlig definert på settet med komplekse tall. Nemlig, hvis og er to komplekse tall, så er summen: ; arbeid:.

La oss nå definere operasjonene for subtraksjon og divisjon.

Merk at produktet av to komplekse tall er antall stoffer.

(siden i=-1). Dette nummeret kalles. kvadratisk modul tall. Således, hvis et tall er , er modulen et reelt tall.

I motsetning til reelle tall, er ikke begrepene "mer" og "mindre" introdusert for komplekse tall.

Geometrisk representasjon av komplekse tall. Reelle tall er representert med punkter på tallinjen:

Her er poenget EN betyr tallet –3, prikk B– nummer 2, og O- null. I kontrast er komplekse tall representert av punkter på koordinatplanet. Til dette formålet velger vi rektangulære (kartesiske) koordinater med samme skala på begge akser. Deretter det komplekse tallet a+ bi vil bli representert med en prikk P med abscisse a og ordinat b(ris.). Dette koordinatsystemet kalles komplekst plan.

Modul komplekst tall er lengden på vektoren OP, som representerer et komplekst tall på koordinaten ( omfattende) fly. Modulus til et komplekst tall a+ bi betegnet | a+ bi| eller brev r og er lik:

Konjugerte komplekse tall har samme modul. __

Argument komplekst tall er vinkelen mellom aksen OKSE og vektor OP, som representerer dette komplekse tallet. Derfor, tan = b / en .

Trigonometrisk form av et komplekst tall. Sammen med å skrive et komplekst tall i algebraisk form, brukes også en annen form, kalt trigonometrisk.

La det komplekse tallet z=a+bi representeres av vektoren OA med koordinater (a,b). La oss angi lengden til OA-vektoren med bøk r: r=|OA|, og vinkelen den danner med den positive retningen til Ox-aksen med vinkelen φ.

Ved å bruke definisjonene av funksjonene sinφ=b/r, cosφ=a/r, kan det komplekse tallet z=a+bi skrives på formen z=r(cosφ+i*sinφ), hvor , og vinkelen φ er bestemt ut fra forholdene

Trigonometrisk form av et komplekst tall z er dets representasjon i formen z=r(cosφ+i*sinφ), der r og φ er reelle tall og r≥0.

Faktisk kalles tallet r modul komplekst tall og er betegnet med |z|, og vinkelen φ er argumentet til det komplekse tallet z. Argumentet φ til et komplekst tall z er merket med Arg z.

Operasjoner med komplekse tall representert i trigonometrisk form:

Dette er kjent Moivres formel.

8 .Vektorplass. Eksempler og enkleste egenskaper ved vektorrom. Lineær avhengighet og uavhengighet av et system av vektorer. Grunnlag og rangering av det endelige vektorsystemet

Vektorrom - et matematisk konsept som generaliserer konseptet med settet av alle (frie) vektorer av vanlig tredimensjonalt rom.

For vektorer i tredimensjonalt rom er reglene for å addere vektorer og multiplisere dem med reelle tall angitt. Gjelder alle vektorer x, y, z og eventuelle tall α, β disse reglene tilfredsstiller følgende forhold:

1) X+på=på+X(kommutativitet av tillegg);

2)(X+på)+z=x+(y+z) (assosiativitet av tillegg);

3) det er en nullvektor 0 (eller nullvektor) som tilfredsstiller betingelsen x+0 =x: for enhver vektor x;

4) for enhver vektor X det er en motsatt vektor på slik at X+på =0 ,

5) 1 x=X,hvor 1 er feltenheten

6) α (βx)=(αβ )X(assosiativitet av multiplikasjon), hvor produktet αβ er produktet av skalarer

7) (α +β )X=αх+βх(fordelingsegenskap i forhold til den numeriske faktoren);

8) α (X+på)=αх+αу(fordelingsegenskap i forhold til vektormultiplikatoren).

Et vektor (eller lineært) rom er et sett R, bestående av elementer av hvilken som helst art (kalt vektorer), der operasjonene med å legge til elementer og multiplisere elementer med reelle tall som tilfredsstiller betingelsene 1-8 er definert.

Eksempler på slike rom er settet av reelle tall, settet med vektorer på planet og i rommet, matriser osv.

Teorem "De enkleste egenskapene til vektorrom"

1. Det er bare én nullvektor i et vektorrom.

2. I vektorrom har enhver vektor en unik motsetning til seg.

4. .

Dokument

La 0 være nullvektoren til vektorrommet V. Deretter . La være en annen nullvektor. Så . La oss ta i det første tilfellet , og i det andre - . Så og , hvorfra følger det at osv.

Først skal vi bevise at produktet av en nullskalar og en hvilken som helst vektor er lik en nullvektor.

La . Deretter, ved å bruke vektorromaksiomene, får vi:

Med hensyn til addisjon er et vektorrom en abeliaansk gruppe, og kanselleringsloven er gyldig i enhver gruppe. Ved å anvende reduksjonsloven innebærer den siste likheten 0*x=0

Nå beviser vi påstand 4). La være en vilkårlig vektor. Da

Det følger umiddelbart at vektoren (-1)x er motsatt av vektoren x.

La nå x=0. Deretter, ved å bruke vektorromaksiomene, får vi:

La oss anta det. Siden , hvor K er et felt, da . La oss multiplisere likheten til venstre med: , som innebærer enten 1*x=0 eller x=0

Lineær avhengighet og uavhengighet av et system av vektorer. Et sett med vektorer kalles et vektorsystem.

Et system av vektorer kalles lineært avhengig hvis det er tall som ikke alle er lik null på samme tid, slik at (1)

Et system med k vektorer kalles lineært uavhengig hvis likhet (1) kun er mulig for , dvs. når den lineære kombinasjonen på venstre side av likhet (1) er triviell.

Merknader:

1. En vektor danner også et system: ved lineært avhengig, og lineært uavhengig ved.

2. Enhver del av et system av vektorer kalles et undersystem.

Egenskaper til lineært avhengige og lineært uavhengige vektorer:

1. Hvis et system av vektorer inkluderer en nullvektor, så er den lineært avhengig.

2. Hvis et system av vektorer har to like vektorer, så er det lineært avhengig.

3. Hvis et system av vektorer har to proporsjonale vektorer, så er det lineært avhengig.

4. Et system med k>1 vektorer er lineært avhengig hvis og bare hvis minst én av vektorene er en lineær kombinasjon av de andre.

5. Eventuelle vektorer som inngår i et lineært uavhengig system danner et lineært uavhengig delsystem.

6. Et system av vektorer som inneholder et lineært avhengig delsystem er lineært avhengig.

7. Hvis et system av vektorer er lineært uavhengig, og etter å ha lagt til en vektor til det viser det seg å være lineært avhengig, så kan vektoren utvides til vektorer , og dessuten på en unik måte, dvs. ekspansjonskoeffisientene kan finnes unikt.

La oss bevise for eksempel den siste egenskapen. Siden systemet av vektorer er lineært avhengig, er det tall som ikke alle er lik 0, som. I denne likestillingen. Faktisk, hvis, da. Dette betyr at en ikke-triviell lineær kombinasjon av vektorer er lik nullvektoren, noe som motsier systemets lineære uavhengighet. Følgelig, og da, dvs. en vektor er en lineær kombinasjon av vektorer. Det gjenstår å vise det unike med en slik representasjon. La oss anta det motsatte. La det være to utvidelser og , og ikke alle koeffisientene til utvidelsene er henholdsvis lik hverandre (for eksempel ).

Så fra likestillingen vi får .

Derfor er en lineær kombinasjon av vektorer lik nullvektoren. Siden ikke alle koeffisientene er lik null (minst), er denne kombinasjonen ikke-triviell, noe som motsier betingelsen om lineær uavhengighet av vektorer. Den resulterende motsetningen bekrefter utvidelsens unike karakter.

Rangering og grunnlag for vektorsystemet. Rangeringen til et system av vektorer er det maksimale antallet lineært uavhengige vektorer i systemet.

Grunnlaget for vektorsystemet kalles det maksimale lineært uavhengige undersystemet til et gitt system av vektorer.

Teorem. Enhver systemvektor kan representeres som en lineær kombinasjon av systembasisvektorer. (Enhver systemvektor kan utvides til basisvektorer.) Ekspansjonskoeffisientene bestemmes unikt for en gitt vektor og en gitt basis.

Dokument:

La systemet ha et grunnlag.

1 sak. Vektor - fra grunnlaget. Derfor er den lik en av basisvektorene, si . Deretter =.

Tilfelle 2. Vektoren er ikke fra grunnlaget. Så r>k.

La oss vurdere et system av vektorer. Dette systemet er lineært avhengig, siden det er et grunnlag, dvs. maksimalt lineært uavhengig delsystem. Følgelig er det tall med 1, med 2, ..., med k, med, ikke alle lik null, slik at

Det er åpenbart at (hvis c = 0, så er grunnlaget for systemet lineært avhengig).

La oss bevise at ekspansjonen av vektoren med hensyn til grunnlaget er unik. La oss anta det motsatte: det er to utvidelser av vektoren med hensyn til grunnlaget.

Å trekke fra disse likhetene, får vi

Tar vi hensyn til den lineære uavhengigheten til basisvektorene, får vi

Følgelig er utvidelsen av vektoren når det gjelder grunnlaget unik.

Antall vektorer i et hvilket som helst grunnlag av systemet er det samme og lik rangeringen av vektorsystemet.

Forelesninger om algebra og geometri. Semester 1.

Forelesning 2. Felt for komplekse tall.

Kapittel 2. Felt med komplekse tall.

klausul 1. Konstruksjon av et felt med komplekse tall.

La være det kartesiske kvadratet av feltet med reelle tall, dvs.
– et sett med ordnede par med reelle tall. La oss definere to interne binære algebraiske operasjoner på dette settet - addisjon og multiplikasjon i henhold til følgende regler:
la oss sette per definisjon

(1)

(2)
.

Åpenbart, summen og produktet av to par
igjen er det et par mange
, fordi summen, produktet og differansen av reelle tall er reelle tall. Slik,
– en algebraisk struktur med to interne binære algebraiske operasjoner.

Teorem.
- felt.

Bevis. Vi sjekker sekvensielt oppfyllelsen av alle ni aksiomer i feltet.

1. Assosiativitetsloven angående addisjon:

.

La . Deretter, etter definisjonen av addisjon av par
Og .

På den andre siden,
Og .

Siden R er et felt, følger addisjonen av reelle tall assosiativitetsloven og derfor . Dette innebærer likheten mellom parene, og av dette følger i sin tur likheten osv.

2. Eksistens av et null-element:

.

La oss betegne
, hvor 0 er nullelementet i feltet med reelle tall, dvs. nummer null. La
– et vilkårlig par
. Deretter, ved definisjonen av tillegg av par og . Derfor,
og et par
det er et nullelement med hensyn til operasjonen av addisjon, hvis eksistens måtte bevises.

3. Eksistensen av det motsatte elementet:

.

La
– et vilkårlig par
.

La oss vise at det motsatte elementet er paret

. Faktisk, per definisjon

legge til par vi har:

OG . Dette innebærer likhet osv.

4. Loven om kommutativitet med hensyn til addisjon:

.

La
– to vilkårlige par. Så, ved definisjonen av addisjon av par, har vi:

OG . Siden R er et felt, er loven om kommutativ addisjon og
,
, som innebærer likestilling av parene: og
, osv.

5. Assosiativitetsloven angående multiplikasjon:

.

La . Deretter, ved definisjonen av multiplikasjon av par

,
Og

Resultatet ble like par. Derfor,
, osv.

6. Eksistensen av et enkelt element:

.

La oss sette per definisjon
og vise det – enhetselement i forhold til multiplikasjon. La
. Deretter, ved definisjonen av multiplikasjon av par, . Slik,
, osv.

7. Eksistensen av et inverst element:

.

La
Og
, dvs. tallene a og b er ikke lik null på samme tid, noe som betyr
. La oss sette per definisjon
og vise at dette elementet tilfredsstiller likheten
. Faktisk, ved definisjonen av multiplikasjon av par

,

Dermed sjekket vi likheten
, osv.

8. Kommutativitetsloven angående multiplikasjon:

.

La
– to vilkårlige par. Deretter, ved definisjonen av multiplikasjon av par

Siden R er et felt, følger multiplikasjon og addisjon av reelle tall loven om kommutativitet og

,
, som innebærer likhet
, osv.

9. Loven om fordeling av multiplikasjon i forhold til addisjon:

Og
.

La . Deretter, ved definisjonen av addisjon og multiplikasjon av par

,

Her brukte vi loven om distribusjon av multiplikasjon i forhold til addisjon, som reelle tall adlyder. Likeledes,

,
Og

Herfra ser vi det
.

For å bevise den andre loven om distributivitet, vil vi bruke den rettferdig beviste loven om distributivitet og loven om kommutativitet med hensyn til multiplikasjon, som vi også allerede har bevist:

Teoremet er bevist.

Definisjon. Felt
kalles feltet for komplekse tall, og dets elementer - ordnede par av reelle tall - kalles komplekse tall.

klausul 2. Algebraisk form for å skrive komplekse tall.

La oss betegne med
– delsett av feltet
, som består av de parene av reelle tall hvis andre element er null. La
. Deretter, i henhold til reglene for addisjon og multiplikasjon av par
,
. Dette gir oss muligheten til å identifisere slike par med deres første element, og selve settet med sett R.

La oss sette per definisjon
. Derfor, spesielt,
,
.

For et par
La oss introdusere en spesiell notasjon. La oss sette per definisjon
. Da

(3)
.

Denne formen for å skrive et komplekst tall kalles algebraisk.

Selve feltet med komplekse tall er merket med bokstaven C.

.

La oss videre merke oss det. Dette betyr at et komplekst tall
er roten til en andregradsligning
. Det er lett å se at den andre roten av denne ligningen er et komplekst tall
. Virkelig,.

Dermed kan vi gi følgende definisjon av komplekse tall.

Definisjon. Et komplekst tall er et ordnet par reelle tall
, som vanligvis skrives i formen
, hvor element i er roten til andregradsligningen
, dvs.
.

Definisjon. La
– algebraisk form for å skrive et komplekst tall. Elementet i kalles den imaginære enheten. Det reelle tallet a kalles den reelle delen av det komplekse tallet z og betegnes
. Det reelle tallet b kalles den imaginære delen av det komplekse tallet z og er betegnet
.

Definisjon. Et komplekst tall hvis reelle del er lik null kalles rent imaginært.

Fra definisjonen av den algebraiske formen for å skrive et komplekst tall (se likhet (3)), følger betingelsen for likheten til to komplekse tall umiddelbart:

To komplekse tall er like hvis og bare hvis deres reelle og imaginære deler er like, dvs.

.

Her & er et konjunksjonstegn, et logisk bindende "og".

Kommentar. Av definisjonene følger det at
, dvs. ethvert reelt tall er et komplekst tall med null imaginær del. Ethvert komplekst tall kan betraktes som et resultat av addisjonen av to komplekse tall, hvorav det ene er et reelt tall (den imaginære delen er null), den andre er rent imaginær:

klausul 3. Operasjoner med komplekse tall i algebraisk notasjon.

Fra definisjonen av addisjon av par (1) og den algebraiske formen for å skrive et komplekst tall (3), følger reglene for å addere og multiplisere komplekse tall i den algebraiske skriveformen. La
,
– vilkårlige komplekse tall. Da

Merk at det samme resultatet kan oppnås ved å bruke det påviste teoremet. Settet med komplekse tall danner et felt. Lovene om assosiativitet, kommutativitet og distributivitet er gyldige i feltet. Vi vurderer hvert komplekst tall som i merknaden på slutten av avsnitt 2. – som et resultat av å legge til to komplekse tall. Da

Her brukte vi likestillingen
.

Dermed er det ikke nødvendig å huske reglene for addisjon (4) og spesielt multiplikasjon (5). Videre er det klart at
– null element, – motsatt.

Vi definerer subtraksjonsoperasjonen som addisjon med motsatt:

Eksempler. 1).,
, ,

2). Løs ligningen i feltet komplekse tall:

.

Løsning. Finne diskriminanten
. Ved å bruke formelen for røttene til en kvadratisk ligning finner vi røttene:

. Svare:
.

Kommentar. Her brukte vi likestillingen
, hvor
.

La oss definere divisjonsoperasjonen i ethvert felt K som multiplikasjon med dets inverse element:
la oss sette per definisjon
Og

.

Det er lett å sjekke det
,

Virkelig,

Det er imidlertid ikke nødvendig å huske formel (6). Det er bedre å bruke en enkel regel. Men for å gjøre dette, la oss først introdusere ett konsept.

Definisjon. Kompleks tall
kalles det komplekse konjugatet av et komplekst tall
.

Av definisjonen følger det umiddelbart at tallet
er det komplekse konjugatet av et tall
, dvs. slike tall som bare skiller seg fra hverandre ved tegnet til den imaginære delen, er komplekse konjugater av hverandre.

Eksempel:
Og
, jeg og – jeg,
osv.

Regel for å dele komplekse tall.

For å dele et komplekst tall med et annet, må du multiplisere telleren og nevneren til brøken med det komplekse konjugatet til nevneren.

.

Eksempler. ,

,
,
.

Kommentar. Hvis
, så er dets komplekse konjugerte tall angitt
.

klausul 4. Egenskaper til komplekse konjugerte tall.

1.

.

2.

.

3.
.

4.

.

5.

6.

.

7.

.

8.

9. For et hvilket som helst polynom
med reelle koeffisienter til den komplekse variabelen z

.

Bevis. 1) La
– et vilkårlig komplekst tall. Da per definisjon av et komplekst konjugert tall
og osv.

2) La . Da
. På den andre siden,
Og
, hvorav det følger at
.

3) La oss bevise ved hjelp av metoden for matematisk induksjon at likheten er sann for et hvilket som helst antall ledd n.

a) Grunnlag for induksjon.

På
,
likestilling
nettopp bevist.

b) Induksjonshypotese.

La oss anta at påstanden er sann hvis antall ledd er lik
:.

c) Induksjonsovergang.

Siden utsagnet er sant for to termer, altså

Det er her likestillingen som blir bevist følger.

4) La . Da
. På den annen side følger det av det
.

5) Det er bevist på samme måte som punkt 3) ved metoden for matematisk induksjon.

6) La
og k er et vilkårlig naturlig tall. Deretter, ved definisjonen av en naturlig potens av et tall
, osv.

7) La a være et reelt tall. Da
og per definisjon av et komplekst konjugert tall
, osv.

8) La
. I henhold til egenskapene som allerede er påvist i paragraf 4) og 7)
, osv.

9) La z være en kompleks variabel og
er et polynom i den komplekse variabelen z med reelle koeffisienter:, hvor

– reelle tall. Deretter, ved å bruke de allerede påviste egenskapene, får vi:

Teoremet er bevist.

Eksempel. Kalkulere
.

Løsning. La oss betegne
. Da
,
,
. Herfra,.

klausul 5. Konseptet med roten til en naturlig grad av et komplekst tall.

Definisjon. La
– et vilkårlig naturlig tall. Den n-te roten av et komplekst tall z er et komplekst tall , slik at
.

Senere vil følgende teorem bli bevist, som vi vil akseptere uten bevis for nå.

Teorem. (Om eksistensen og antallet av n-te røtter til et komplekst tall.)

Det er nøyaktig n n-te røtter av et komplekst tall.

For å betegne n-te røtter av et komplekst tall, brukes det vanlige radikaltegnet. Men det er en vesentlig forskjell. Hvis a er et positivt reelt tall, da
per definisjon betegner en positiv rot av n-te grad, det kalles en aritmetisk rot.

Hvis n er et oddetall, er det en unik n-te rot av et hvilket som helst reelt tall a. På
denne ene roten
er per definisjon aritmetikk, med
denne ene roten
er ikke aritmetisk, men kan uttrykkes i form av den aritmetiske roten av det motsatte tallet:
, Hvor
er aritmetikk, fordi
.

Konseptet med et komplekst tall er først og fremst knyttet til ligningen. Det er ingen reelle tall som tilfredsstiller denne ligningen.

Dermed oppsto komplekse tall som en generalisering (utvidelse) av feltet for reelle tall i forsøk på å løse vilkårlige kvadratiske (og mer generelle) ligninger ved å legge til nye tall til det slik at det utvidede settet dannet et tallfelt der handlingen med å trekke ut roten vil alltid være mulig.

Definisjon.Et tall hvis kvadrat er - 1, vanligvis betegnet med bokstavenjeg og ring imaginær enhet.

Definisjon. Felt med komplekse tall C kalles den minimale utvidelsen av feltet av reelle tall som inneholder roten til ligningen.

Definisjon. Felt MED ringte felt av komplekse tall, hvis den oppfyller følgende betingelser:

Teorem. (Om eksistensen og unikheten til feltet komplekse tall). Det er bare én, opp til betegnelsen på roten av ligningen komplekst tallfelt MED .

Hvert element kan representeres unikt i følgende form:

hvor , er roten til ligningen jeg 2 +1=0.

Definisjon. Hvilket som helst element ringte komplekst tall, kalles det reelle tallet x ekte del nummer z og er betegnet med , kalles det reelle tallet y imaginær del nummer z og er betegnet med .

Dermed er et komplekst tall et ordnet par, et kompleks som består av reelle tall x Og y.

Hvis X=0, deretter tallet z= 0+iy=iy ringte rent imaginært eller innbilt. Hvis y=0, deretter tallet z=x+ 0i=x er identifisert med et reelt tall X.

To komplekse tall anses som like hvis deres reelle og imaginære deler er like:

Et komplekst tall er lik null når dets reelle og imaginære deler er lik null:

Definisjon. To komplekse tall som har samme reelle del og hvis imaginære deler er like i absolutt verdi men motsatte i fortegn kalles komplekst konjugat eller bare konjugert.

Konjugert tall z, betegnet med . Så hvis , så .

1.3. Modul og argument for et komplekst tall.
Geometrisk representasjon av komplekse tall

Geometrisk er et komplekst tall avbildet på planet (fig. 1) som et punkt M med koordinater ( x, y).

Definisjon. Planet som komplekse tall er avbildet på kalles komplekst plan C, Ox- og Oy-aksene som de reelle tallene er plassert på og rent imaginære tall , kalles gyldig Og innbilt henholdsvis akser.

Punktposisjon kan også bestemmes ved hjelp av polare koordinater r Og φ , dvs. ved å bruke lengden på radiusvektoren og helningsvinkelen til radiusvektoren til punktet M(x, y) til den positive reelle halvaksen Åh.

Definisjon. Modul komplekst tall er lengden på vektoren som representerer det komplekse tallet på koordinatplanet (komplekst).

Modulen til et komplekst tall er angitt med eller med bokstaven r og er lik den aritmetiske verdien av kvadratroten av summen av kvadratene av dens reelle og imaginære deler.

Betrakt settet R2 av alle mulige ordnede par (i» y) av reelle tall x%y € R. For slike par (a, b) = (c, d) hvis og bare hvis a = c og b - d. La oss introdusere interne komposisjonslover til dette settet R2 i form av addisjons- og multiplikasjonsoperasjoner. Vi definerer addisjon med likheten £faa, operasjonen er assosiativ og kommutativ; den har (i samsvar med definisjon 4.5) et nøytralt element (0, 0), og i henhold til definisjon 4.6 kan man for hvert par (a, 6) spesifisere et symmetrisk (motsatt) element (-a, -6). Faktisk, V(a, 6) £ R2 Dessuten, eller feltet av komplekse tall. Vi definerer multiplikasjon med likheten. Det er lett å sjekke at operasjonen introdusert på denne måten er assosiativ, kommutativ og distributiv med hensyn til addisjon. Denne operasjonen har et nøytralt element, som er paret (1, 0), siden Så, med hensyn til de introduserte addisjons- og multiplikasjonsoperasjonene, er settet R2 en Abelsk ring med identitet (se tabell 4.1). x* Mellom settet med par (x, 0) € R2 og settet med reelle tall x G R er det ikke vanskelig å etablere en en-til-en-korrespondanse (x, 0) x) som det følger av at, Field of komplekse tall. de. addisjon og multiplikasjon av slike par utføres på samme måte som reelle tall. La oss erstatte par av formen (x, 0) med reelle tall, dvs. i stedet for (zh, 0) vil vi skrive ganske enkelt w, spesielt, i stedet for (1, 0) - ganske enkelt 1. En spesiell plass i settet R2 er okkupert av paret (0, 1). I henhold til (4.3) har den egenskaper og fikk en spesiell betegnelse i, og deretter, tatt i betraktning (4.2) og (4.3), kan et hvilket som helst par (x, y) € R2 representeres som et felt med komplekse tall. La oss betegne det med z. Elementet z kalles det komplekse konjugatet av elementet z. Tar hensyn til (4.3) z-z = x2 -by2. Hvis z ikke sammenfaller med det nøytrale elementet (0, 0), dvs. hvis x og y er ulik 0 på samme tid (angitt med 2^0), så er x2 + + y2 φ 0. Da er den inverse (symmetrisk, motsatt med hensyn til multiplikasjonsoperasjonen - se 4.1) til elementet z = x + iy vil være følgende element z "1, at zz~l = 1 eller zzz~l =z, dvs. (x2 + y2)z~l = x - y. Derfor -1_ X 2 Y \ Følgelig vil hvert element gf O har en invers til multiplikasjonsoperasjonen , og mengden R2 med operasjonene addisjon og multiplikasjon på i samsvar med (4.1) og (4.3) er altså et felt (se tabell 4.1. Det kalles feltet (eller mengden) ) av komplekse tall og er betegnet med S. B). I kraft av ovennevnte en-til-en korrespondanse (r, 0) € R2 ++ x € R, er brøkdelen av komplekse tall en utvidelse av feltet for reelle tall. tall. Ethvert element r i C kalles et komplekst tall, og dets representasjon i formen z = x + iy> hvor x, y £ R og i2 = -l, - representerer det komplekse tallet i algebraisk form. I dette tilfellet kalles £ den reelle delen av et komplekst tall og betegnes med Re z, og y kalles den imaginære delen og betegnes med Imz (t kalles den imaginære enheten). Merk at den imaginære delen av et komplekst tall er et reelt tall. Navnet på y er ikke helt vellykket, men som en hyllest til historisk tradisjon består det den dag i dag. Begrepet "komplekst tall" ble introdusert i 1803 av den franske matematikeren JI. Carnot (1753-1823), men dette begrepet begynte å bli brukt systematisk i 1828 av K. Gauss for å erstatte det mindre vellykkede "imaginære tallet"44. I russisk matematisk litteratur på 1800-tallet. brukte begrepet «sammensatt tall»44. Allerede kontrasterte R. Descartes de reelle og imaginære delene av et komplekst tall. Senere ble de første bokstavene i de franske ordene reele (ekte) og imagimaire (imaginær) betegnelsene på disse delene, selv om mange matematikere anså essensen av imaginære mengder som uklar og til og med mystisk og mystisk. Dermed inkluderte ikke I. Newton dem i tallbegrepet, og G. Leibniz eier setningen: «Imaginære tall er et vakkert og vidunderlig tilfluktssted for den guddommelige ånd, nesten et amfibi av å være med ikke-vesen44. Siden mengden R2 av alle mulige par av reelle tall kan identifiseres med punkter på planet, vil hvert komplekst tall z =? x + iy tilsvarer punkt y) (fig. 4.1), som lar oss snakke om den geometriske formen for representasjonen av et komplekst tall. Når komplekse tall identifiseres med punkter i et plan, kalles det det komplekse planet, eller planet med komplekse tall. Reelle tall plasseres på Ox-aksen, dvs. tall z, for hvilke lmz = y = 0, og på Oy-aksen - tall z = = iy, kalt rent imaginære, for hvilke Re z = x = 0. Dette er fig. 4.1 kalles koordinataksene i det komplekse planet henholdsvis reelle og imaginære. Punktene på planet som tilsvarer de komplekse konjugerte elementene z og z (komplekse konjugerte tall) er symmetriske om den reelle aksen, og punktene som representerer z og -z er symmetriske om origo. Avstand Felt med komplekse tall. punkt M(x, y), som representerer et komplekst tall z = x + iy på planet, fra origo kalles modulen til det komplekse tallet og er betegnet med \z\ eller r Vinkelen som radiusvektoren til punkt M dannes med den positive retningen til okseaksen kalles argument av et komplekst tall og er betegnet med Argz eller (p (se fig. 4.1). Vinkelen måles som i trigonometri: den positive retningen til vinkelendringen anses å være retningen mot klokken. Det er klart at Arg z ikke er unikt definert, men opp til et ledd som er et multiplum av 2π\ Den eneste verdien av argumentet som tilfredsstiller betingelsen (noen ganger kalles 0 hovedverdien og er betegnet med argz. Dermed er Arg * = arg2: + 2πm, m € Z. For z - 0 er verdien av Args ikke definert. Punktet (opprinnelsen) som tilsvarer dette tallet er kun karakterisert ved betingelsen \z\ = z = 0. Så for. hvert komplekst tall z på det komplekse planet tilsvarer en radievektor for punktet M(x, y), som kan defineres med polare koordinater: den polare radiusen r ^ 0, lik modulen til det komplekse tallet, og polar vinkel som faller sammen med hovedverdien av argumentet til dette komplekse tallet I henhold til definisjonene av trigonometriske funksjoner og deres inverser kjent fra skolens trigonometrikurs (se 3.5), for ethvert punkt z på det komplekse planet rcosy>= X Med hensyn til restriksjonene på hovedverdien av argumentet til et komplekst tall, får vi hvis x = 0 og y >), (4.8) Kalt den trigonometriske formen for å representere et komplekst tall. For å gå over fra den algebraiske representasjonsformen til den trigonometriske, bruk (4.5) og (4.7)” og for omvendt overgang - (4.6). Merk at to komplekse tall som ikke er null er like hvis og bare hvis modulene deres er like og argumentene deres er forskjellige med termer som er multipler av 2π. I følge (4.1) vil summen av komplekse tall z\ og r2 være et komplekst tall og deres forskjell - Av disse formlene følger det at addisjonen (eller subtraksjonen) av komplekse tall er lik addisjonen (eller subtraksjonen) av vektorer i det komplekse planet i henhold til parallellogramregelen (fig. 4.2) (i dette tilfellet adderes eller trekkes de tilsvarende koordinatene til vektorene). Derfor, for modulene til komplekse tall, er ulikhetstrekanten a gyldige i formen (lengden på en hvilken som helst side av en trekant er ikke større enn summen av lengdene til de to andre sidene). Dette avslutter imidlertid analogien mellom komplekse tall og vektorer. Summen eller forskjellen av komplekse tall kan være et reelt tall (for eksempel summen av komplekse konjugerte tall z-f z = = 2x, x = Rez e R). I følge (4.3) vil produktet av komplekse tall z\ og z2 være et komplekst tall Divisjon av tallet φ 0 introduseres som invers virkning av multiplikasjon, dvs. med kvotienten Z1/22 for V*2 φ 0 mener vi et komplekst tall -r som tilfredsstiller likheten z^z = z\. Etter å ha multiplisert begge sider av denne likheten med 22, oppnår vi Å heve et komplekst tall z til potensen n € N er å multiplisere z med seg selv n ganger, tar hensyn til det faktum at for k 6 N Feltet av komplekse tall. Den trigonometriske notasjonsformen (4.8) gjør det mulig å forenkle multiplikasjon, divisjon og eksponentiering av komplekse tall. For z\ = r\(cos(p\ + isiny?i) og Z2 = Г2(о + -f isin no (4.3) kan vi fastslå at på det komplekse planet (fig. 4.3) tilsvarer multiplikasjon en rotasjon av segmentet OM etter vinkel (mot klokken ved 0) og en endring i lengden i Г2 = \z2\ ganger, * divisjon - rotere dette segmentet med samme vinkel med klokken og endre lengden i 1/г = 1/|г2| heve til potensen n £ N som å multiplisere z med seg selv n ganger, halv-hire Til ære for den engelske matematikeren A. de Moivre (1667-1754), kalles denne relasjonen Moivres formel for å heve et komplekst tall til en positiv heltallspotens Å heve et komplekst tall til en rasjonell potens q = m /n, q€ Q, m € Z, n6N, er assosiert med å heve dette tallet til potensen 1/n, eller, som det er vanlig å si, med å trekke ut. nte rot av et komplekst tall Å trekke ut roten er den inverse operasjonen av å heve til, dvs uttrykk (4.14), kalt Moivre-formelen for å trekke ut roten til en positiv heltallsgrad fra et komplekst tall) følger, at blant de mulige verdiene av y/z, n verdier som tilsvarer k = = 0, n - 1 vil være forskjellige Alle n forskjellige verdier for $fz har samme modul, og deres argumenter er forskjellige med vinkler som er multipler av 2jr/n. Verdiene tilsvarer punktene til det komplekse planet ved toppunktene til en vanlig n-gon innskrevet i en sirkel med radius 1/f med sentrum i origo. I dette tilfellet danner radiusvektoren til en av toppunktene en vinkel (p/n) med okseaksen Fra (4.13) og (4.14) følger formelen for å heve det komplekse tallet z /0 til den rasjonelle potensen g€. Q. Beli g = m/n, hvor m € Z og n € N, er en irreduserbar brøk, så La Da, i henhold til (4.5), ri = 1 og rj = = 2. Analyse av den reelle og imaginære. deler av de komplekse tallene z\ og Z2 (fig. 4.4), under hensyntagen til (4.7) får vi (Derfor, i trigonometrisk form. I henhold til (4.11) og (4.12) finner vi: Ved å bruke (4.13), hever vi z \ til potensen n = 4, ved å bruke (4.14), trekker vi ut roten av potensen n = 3. Beregningsresultatene er vist i fig. 4.4 De tre verdiene til den tredje roten av zi tilsvarer toppunktene til en regulær trekant ABC innskrevet i en sirkel med radius og de polare vinklene til disse toppunktene = i*/18, 4>в = 13t/18 og = 25t/18 (eller = - 11^/18).