Er sekvensen monotont avtagende? Nummersekvenser

Monotonien i sekvensen

Monotonisk sekvens- sekvens som tilfredsstiller en av følgende betingelser:

Blant de monotone sekvensene skiller følgende seg ut: strengt tatt monotont sekvenser som tilfredsstiller en av følgende betingelser:

Noen ganger brukes en variant av terminologi der begrepet "økende sekvens" betraktes som et synonym for begrepet "ikke-avtagende sekvens", og begrepet "avtagende sekvens" betraktes som et synonym for begrepet "ikke-økende sekvens". ". I et slikt tilfelle kalles de økende og avtagende sekvensene fra definisjonen ovenfor henholdsvis "strengt økende" og "strengt avtagende".

Noen generaliseringer

Det kan vise seg at vilkårene ovenfor ikke er oppfylt for alle tall, men kun for tall fra et bestemt område

(her er det lov å snu høyre kant N+ til det uendelige). I dette tilfellet kalles sekvensen monotont på intervallet jeg , og selve området jeg ringte et intervall av monotoni sekvenser.

Eksempler

Se også

Wikimedia Foundation.

2010.

Se hva "Monotonicity of a sequence" er i andre ordbøker: En gren av matematikken som studerer egenskapene til ulike funksjoner. Funksjonsteorien faller inn i to områder: teorien om funksjoner til en reell variabel og teorien om funksjoner til en kompleks variabel, forskjellen mellom disse er så stor at... ...

Colliers leksikon

Testing av pseudo-tilfeldige sekvenser er et sett med metoder for å bestemme graden av nærhet av en gitt pseudo-tilfeldig sekvens til en tilfeldig. Et slikt mål er vanligvis tilstedeværelsen av en enhetlig fordeling, stor... ... Wikipedia Dette begrepet har andre betydninger, se Mål. Målet til et sett er en ikke-negativ størrelse, intuitivt tolket som størrelsen (volum) av settet. Egentlig er dette et mål numerisk funksjon

, setter hver i korrespondanse... ... Wikipedia Kjent forfatter. Slekt. i Orel i 1871; faren hans var landmåler. Han studerte ved Oryol gymnasium og ved universitetene i St. Petersburg og Moskva, iht. Det juridiske fakultet . Eleven var i stor nød. Det var da han skrev sin første historie "om ... ...

Numeriske metoder for å løse metoder som erstatter løsningen av et grenseverdiproblem med en løsning diskret problem(se problem med lineær grenseverdi; numeriske løsningsmetoder og ikke-lineære ligninger; numeriske løsningsmetoder). I mange tilfeller, spesielt når man vurderer... ... Matematisk leksikon

Voynich-manuskriptet ble skrevet ved hjelp av ukjent system bokstaver Voynich Manuscript (eng. Voyni ... Wikipedia

Skrevet med et ukjent skriftsystem Voynich-manuskriptet er en mystisk bok skrevet for rundt 500 år siden av en ukjent forfatter, på et ukjent språk, ved å bruke et ukjent alfabet. Voynich-manuskript... ...Wikipedia

Sigismondo d'India (italiensk: Sigismondo d India, ca. 1582, Palermo? til 19. april 1629, Modena) italiensk komponist. Innhold 1 Biografi 2 Kreativitet ... Wikipedia

Modernisering- (Modernisering) Modernisering er prosessen med å endre noe i samsvar med modernitetens krav, overgangen til mer avanserte forhold, gjennom innføring av ulike nye oppdateringer Teori om modernisering, typer modernisering, organisk... ... Investor Encyclopedia

En av de viktigste matematiske begreper, hvis betydning har vært gjenstand for en rekke generaliseringer med utviklingen av matematikken. I. Selv i Euklids "Elementer" (3. århundre f.Kr.) ble egenskapene til V., nå kalt, tydelig formulert for å skille dem fra ... ... Stor sovjetisk leksikon

Formål: Å gi konseptet, definisjonen av en sekvens, endelig, uendelig, ulike måter å definere sekvenser på, deres forskjeller, lære hvordan du bruker dem når du løser eksempler.

Utstyr: Bord.

Fremdrift av leksjonen

I. Organisatorisk øyeblikk.

II. Frontalsjekk av lekser:

1) student i styreoppgave nr. 2.636 (fra del II av «Samling av oppgaver til skriftlig eksamen i klasse 9)

2) student. Lag en graf

3) frontalt med hele klassen nr. 2.334 (a).

III. Forklaring av nytt materiale.

En skoleforelesning er en form for organisering av utdanningsprosessen som orienterer studentene når de studerer et bestemt emne til det viktigste og innebærer en bred demonstrasjon av lærerens og elevenes personlige holdning til undervisningsmaterialet. Fordi Leksjonsforelesningen sørger for en presentasjon av stoffet i store blokker av læreren, deretter er verbal kommunikasjon mellom læreren og studentene hovedsaken i teknologien. Lærerens ord har en emosjonell, estetisk innvirkning og skaper en viss holdning til emnet. Ved hjelp av en forelesning veiledes ulike typer elevaktiviteter i klasserommet, og gjennom kunnskap, ferdigheter og evner dannes kognisjon som grunnlag for pedagogisk aktivitet.

I. Skriv ned tosifrede tall som slutter på 3 i stigende rekkefølge.

13; 23; 33;………….93.

Til alle serienummer Fra 1 til 9, samsvar med et spesifikt tosifret tall:

1->13; 2->23;………9->93.

Det er etablert en samsvar mellom settet med de første ni naturlige tallene og settet med tosifrede tall som slutter på 3. Denne korrespondansen er en funksjon.

Definisjonsdomenet er (1; 2; 3;……..9)

Mange verdier (13; 23; 33;…….93).

Hvis korrespondansen er angitt med f, da

Denne sekvensen kan spesifiseres ved å bruke par.

(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)

b) 1; 0; 1; 0; 1; 0

Tabell nr. 1

EN)

b)

II.

O.o.f. (1; 2; 3; 4;...)

M.z.f. g(1) = ;

g(3) =;

...

g(60) =

En funksjon definert på settet med naturlige tall kalles en uendelig rekkefølge.

c) 2; 4; 6; 8; 10;……..

1 -> 2; 2 -> 4; ……. n -> 2n

f(1); f(2); f(3)… …..f(n)

- medlemmer av sekvensen.

Merk: det er nødvendig å skille mellom konseptet med et sett og konseptet med en sekvens.

a) (10; 20; 30; 40)

{40; 30; 20; 10}

Samme sett.

b) imidlertid sekvens 10; 20; 30; 40

(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)

(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).

Diverse:

III. Tenk på sekvensen:

1) 3; 5; 7; 9; 11;……. -> uendelig, økende

2) 10; 9; 8; 7; 6. -> endelig, avtagende.

EN)

En sekvens kalles økende hvis hvert medlem, fra det andre, er større enn det forrige.

b)

Definisjonen av en avtagende sekvens er gitt.

Økende eller minkende sekvenser kalles monotone.

1; 0; 1; 0; 1; 0. - svingende;

5; 5; 5; 5; ….. - konstant.

IV. Sekvenser kan avbildes geometrisk. Fordi sekvens er en funksjon hvis definisjonsdomene er mengden N, så er grafen tilsynelatende settet med punkter i planet (x; y).

(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)

Eksempel: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.

La oss plotte denne sekvensen

Figur 1.

99; 74; 49; 24; -1;……………

Eksempel: Bevis at en sekvens gitt i denne formen

er avtagende.

V. Metoder for å spesifisere sekvenser.

Fordi En sekvens er en funksjon definert på settet N, så er det fem måter å definere sekvenser på:

I. Tabell

II. Beskrivelsesmetode

III. Analytisk

IV. Grafisk

V. Tilbakevendende

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13
	1	4	9	16	25	36	49	64	81	100	121	144	169

I. Tabell - veldig upraktisk. Vi lager en tabell og bruker den til å finne ut hvilket medlem? hvilken plass tar han......

II. Metode for beskrivelse.

Eksempel: Rekkefølgen er slik at hvert medlem skrives med tallet 4, og antall sifre er lik nummeret til sekvensnummeret.

III. Analytisk metode (ved hjelp av en formel).

En formel som uttrykker hvert medlem av en sekvens i form av tallet n kalles formelen til n-medlemmet i sekvensen.

og elevene utgjør disse sekvensene, og omvendt: velg en formel for begrepene i sekvensene:

a) 1; ;
En sekvens kalles økende hvis hvert medlem, fra det andre, er større enn det forrige. ...
;…………..
V)
G)

e) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. IV. Grafisk metode

- heller ikke veldig praktisk, de bruker det vanligvis ikke. Weierstrass grensesetning

monoton sekvens Enhver monoton avgrenset sekvens(xn) har endelig grense , lik den eksakte øvre grensen, sup(xn) for en ikke-avtagende og nøyaktig nedre grense, inf(xn)
for en ikke-økende sekvens.

Enhver monoton ubegrenset sekvens har en uendelig grense, lik pluss uendelig for en ikke-minkende sekvens og minus uendelig for en ikke-økende sekvens.

1) Bevis.

(1.1) .

ikke-minkende avgrenset sekvens
.
Siden sekvensen er avgrenset, har den en stram øvre grense

• Dette betyr at:
  (1.2) ;
• 
  (1.3) .

.
for alle n,
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
kl.
,
Siden da
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
eller

2) Den første delen av teoremet er bevist. La nå rekkefølgen være:
(2.1) ikke-økende avgrenset sekvens

for alle n.
.
Siden sekvensen er avgrenset, har den en tett nedre grense

• Dette betyr følgende:
  (2.2) ;
• for alle n gjelder følgende ulikheter: for hvem som helst positivt tall
  (2.3) .

.
, er det et tall, avhengig av ε, for hvilket
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
kl.
,
Siden da
Her brukte vi også (1.3). Ved å kombinere med (1.2), finner vi:
Her brukte vi også (2.3). Med hensyn til (2.2), finner vi:
Dette betyr at tallet er grensen for sekvensen.

Den andre delen av teoremet er bevist.
3) Vurder nå ubegrensede sekvenser. La sekvensen være.

ubegrenset ikke-minkende sekvens
(3.1) .

Siden sekvensen ikke er avtagende, gjelder følgende ulikheter for alle n:
(3.2) .

Siden sekvensen er ikke-avtagende og ubegrenset, er den ubegrenset på høyre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
.
Siden sekvensen ikke er avtagende, så når vi har:

.
Her brukte vi også (3.2).
.
Dette betyr at grensen for sekvensen er pluss uendelig:

4) Den tredje delen av teoremet er bevist. Til slutt vurdere saken når.

ubegrenset ikke-økende sekvens
(4.1) ikke-økende avgrenset sekvens

I likhet med den forrige, siden sekvensen er ikke-økende, altså
(4.2) .

Siden sekvensen er ikke-økende og ubegrenset, er den ubegrenset på venstre side. Så for et hvilket som helst tall M er det et tall, avhengig av M, for hvilket
.

Så for et hvilket som helst tall M er det et naturlig tall avhengig av M, slik at for alle tall gjelder følgende ulikheter:
.
Dette betyr at grensen for sekvensen er minus uendelig:
.
Teoremet er bevist.

Eksempel på problemløsning

Bruk Weierstrass sin teorem, bevis sekvenskonvergens:
, , . . . , , . . .
Finn deretter grensen.

La oss representere sekvensen i form av tilbakevendende formler:
,
.

La oss bevise det gitt sekvens begrenset ovenfor av verdien
(P1) .
Beviset utføres ved hjelp av metoden for matematisk induksjon.
.
La .
.
Da

Ulikhet (A1) er bevist.
;
La oss bevise at sekvensen øker monotont. .
(P2)
.
Siden , da er nevneren til brøken og den første faktoren i telleren positive. På grunn av begrensning av vilkårene i sekvensen av ulikhet (A1), er den andre faktoren også positiv. Det er derfor

Det vil si at sekvensen er strengt økende.

Siden sekvensen øker og avgrenses over, er det en avgrenset sekvens. Derfor har den, ifølge Weierstrass sin teorem, en grense.
.
La oss finne denne grensen. La oss betegne det med en:
.
La oss bruke det faktum at
.
La oss bruke dette på (A2), ved å bruke de aritmetiske egenskapene til grenser for konvergerende sekvenser:

Tilstanden er tilfredsstilt ved roten. Hvis alle naturlig tall n er tilordnet noen reelt tall x n , så sier de at det er gitt

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

x n nummerrekkefølge Tall 1 kalles et medlem av sekvensen med nummer 1 eller første ledd i sekvensen nummerrekkefølge, nummer 2 - medlem av sekvensen med nummer 2 eller det andre medlemmet av sekvensen osv. Tallet x n kalles medlem av sekvensen med nummer

n. Det er to måter å spesifisere tallsekvenser - med og med.

tilbakevendende formel Sekvens ved hjelp av formler for den generelle termen i en sekvens

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

– Dette er en sekvensoppgave

ved å bruke en formel som uttrykker avhengigheten av begrepet x n av tallet n.

1, 4, 9, … Eksempel 1. Nummerrekkefølge 2 , …

n

x = Eksempel 1. Nummerrekkefølge 2 , Eksempel 1. Nummerrekkefølge = 1, 2, 3, …

gitt ved bruk av fellesbegrepsformelen Det er to måter å spesifisere tallsekvenser - med og med.

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

Å spesifisere en sekvens ved hjelp av en formel som uttrykker et sekvensmedlem x n gjennom sekvensmedlemmene med foregående tall kalles å spesifisere en sekvens ved å bruke ringte i økende rekkefølge, flere

tidligere medlem. Eksempel 1. Nummerrekkefølge

nummerrekkefølge Eksempel 1. Nummerrekkefølge + 1 >x Eksempel 1. Nummerrekkefølge

Med andre ord for alle

1, 2, 3, … Eksempel 1. Nummerrekkefølge, …

Eksempel 3. Sekvens av naturlige tall er.

stigende sekvens

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

Å spesifisere en sekvens ved hjelp av en formel som uttrykker et sekvensmedlem x n gjennom sekvensmedlemmene med foregående tall kalles å spesifisere en sekvens ved å bruke Definisjon 2. Tallrekkefølge hvis hvert medlem av denne sekvensen mindre flere

tidligere medlem. Eksempel 1. Nummerrekkefølge= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

nummerrekkefølge Eksempel 1. Nummerrekkefølge + 1 < x Eksempel 1. Nummerrekkefølge

Eksempel 4. Etterfølge

gitt av formelen

Eksempel 3. Sekvens av naturlige tall synkende sekvens.

Eksempel 5. Nummerrekkefølge

1, - 1, 1, - 1, …

gitt av formelen

x = (- 1) Eksempel 1. Nummerrekkefølge , Eksempel 1. Nummerrekkefølge = 1, 2, 3, …

er ikke verken økende eller avtagende sekvens.

Definisjon 3. Økende og minkende tallsekvenser kalles monotone sekvenser.

Avgrensede og ubegrensede sekvenser

Definisjon 4. Tallrekkefølge

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

Å spesifisere en sekvens ved hjelp av en formel som uttrykker et sekvensmedlem x n gjennom sekvensmedlemmene med foregående tall kalles å spesifisere en sekvens ved å bruke begrenset ovenfra, hvis det er et tall M slik at hvert medlem av denne sekvensen mindre tall M.

tidligere medlem. Eksempel 1. Nummerrekkefølge= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

Definisjon 5. Tallrekkefølge

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

Å spesifisere en sekvens ved hjelp av en formel som uttrykker et sekvensmedlem x n gjennom sekvensmedlemmene med foregående tall kalles å spesifisere en sekvens ved å bruke avgrenset nedenfor, hvis det er et tall m slik at hvert medlem av denne sekvensen i økende rekkefølge, tall m.

tidligere medlem. Eksempel 1. Nummerrekkefølge= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

Definisjon 6. Tallrekkefølge

nummerrekkefølge 1 , x 2 , … x , …

kalles begrenset hvis det begrenset både over og under.

Med andre ord, det er tall M og m slik at for alle Eksempel 1. Nummerrekkefølge= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

m< x n < M

Definisjon 7. Nummersekvenser, som er ikke begrenset, kalt ubegrensede sekvenser.

Eksempel 6. Nummerrekkefølge

1, 4, 9, … Eksempel 1. Nummerrekkefølge 2 , …

gitt av formelen

x = Eksempel 1. Nummerrekkefølge 2 , Eksempel 1. Nummerrekkefølge = 1, 2, 3, … ,

avgrenset nedenfor, for eksempel tallet 0. Men denne sekvensen ubegrenset ovenfra.

Eksempel 7. Etterfølge

gitt av formelen

Eksempel 3. Sekvens av naturlige tall begrenset rekkefølge, fordi for alle Eksempel 1. Nummerrekkefølge= 1, 2, 3, … ulikheten er oppfylt

På nettsiden vår kan du også gjøre deg kjent med undervisningsmateriell utviklet av lærere ved Resolventa opplæringssenter for å forberede deg til Unified State Exam og Unified State Exam i matematikk.

For skoleelever som ønsker å forberede seg godt og bestå Unified State Examination i matematikk eller russisk språk på høy poengsum, treningssenter«Resolventa» dirigerer

forberedende kurs for skoleelever i 10. og 11. klassetrinn