Объяснение темы преобразование выражений содержащих квадратные корни. Использование свойств корней при преобразовании иррациональных выражений, примеры, решения

Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» - наглядное пособие, с помощью которого учителю легче сформировать умения и навыки в решении задач, содержащих выражения с квадратным корнем. В ходе урока напоминаются теоретические основы, служащие основанием для проведения операций над числами и переменными, имеющимися в подкоренном выражении, описывается решение множества видов задач, которые могут потребовать умения пользоваться формулами преобразования выражений, содержащих квадратный корень, даются методы избавления от иррациональности в знаменателе дроби.

Видеоурок начинается с демонстрации названия темы. Отмечается, что ранее на уроках выполнялись преобразования рациональных выражений. При этом использовались теоретические сведения об одночленах и многочленах, методы работы с многочленами, алгебраическими дробями, а также формулы сокращенного умножения. В данном видеоуроке рассматривается введение операции по извлечению квадратного корня для преобразования выражений. Ученикам напоминаются свойства операции по извлечению квадратного корня. Среди таких свойств указано, что после извлечения квадратного корня из квадрата числа получается само число, корень произведения двух чисел равен произведению двух корней от этих чисел, корень частного двух чисел равен частному корней от членов частного. Последнее рассмотренное свойство - извлечение квадратного корня из числа, возведенного в четную степень √a 2 n , которое в результате образует число в степени a n . Рассмотренные свойства действительны для любых неотрицательных чисел.

Рассматриваются примеры, в которых требуются преобразования выражений, содержащих квадратный корень. Указано, что в данных примерах предусмотрено, что aи b являются неотрицательными числами. В первом примере необходимо упростить выражения √16a 4 /9b 4 и √a 2 b 4 . В первом случае применяется свойство, определяющее, что корень квадратный произведения двух чисел равен произведению корней из них. В результате преобразования получается выражение ab 2 . Во втором выражении используется формула преобразования квадратного корня частного в частное корней. Итогом преобразования является выражение 4a 2 /3b 3 .

Во втором примере необходимо вынести из-под знака квадратного корня множитель. Рассматривается решение выражений √81а, √32а 2 , √9а 7 b 5 . На примере преобразования четырех выражений показывается, как применяется формула преобразования корня произведения нескольких чисел для решения подобных задач. При этом отдельно отмечаются случаи, когда выражения содержат числовые коэффициенты, параметры в четной, нечетной степени. В результате преобразования получаются выражения √81а=9√а, √32а 2 =4а√2, √9а 7 b 5 =3а 3 b 2 √ab.

В третьем примере необходимо произвести операцию, противоположную той, что в предыдущей задаче. Для внесения множителя под знак квадратного корня также необходимо уметь пользоваться изученными формулами. Предлагается в выражениях 2√2 и 3a√b/√3a внести множитель перед скобками под знак корня. Используя известные формулы, множитель, стоящий перед знаком корня, возводится в квадрат и помещается в виде множителя в произведение под знаком корня. В первом выражении в результате преобразования получается выражение √8. Во втором выражении сначала применяется формула коня произведения для преобразования числителя, а затем формула корня частного - для преобразования всего выражения. После сокращения числителя и знаменателя в подкоренном выражении, получается √3ab.

В примере 4 необходимо выполнить действия в выражениях (√a+√b)(√a-√b). Для решения данного выражения вводятся новые переменные, заменяющие одночлены, содержащие знак корня √a=х и √b=у. после подстановки новых переменных, очевидна возможность использования формулы сокращенного умножения, после чего выражение получает вид х 2 -у 2 . Возвращаясь к исходным переменным, получаем a-b. Второе выражение (√a+√b) 2 также можно преобразовать с помощью формулы сокращенного умножения. После раскрытия скобок получаем результат a+2√ab+b.

В примере 5 производится разложение на множители выражений 4a-4√ab+b и х√х+1. Для решения данной задачи необходимо выполнить преобразования, выделить общие множители. После применения свойств квадратного корня для решения первого выражения сумма преобразуется в квадрат разности (2√а-√b) 2 . Для решения второго выражения необходимо занести под корень множитель перед знаком корня, а затем применить формулу для суммы кубов. Результатом преобразования становится выражение (√х+1)(х 2 -√х+1).

Пример 6 демонстрирует решение задачи, где нужно упростить выражение (а√а+3√3)(√а-√3)/((√а-√3) 2 +√3а). Решение задания выполняется в четыре действия. В первом действии числитель преобразуется в произведение с помощью формулы сокращенного умножения - суммы кубов двух чисел. Во втором действии преобразуется знаменатель выражения, который получает вид а-√3а+3. После преобразования становится возможным сокращение дроби. В последнем действии применяется также формула сокращенного умножения, которая помогает получить окончательный результат а-3.

В седьмом примере необходимо избавиться от квадратного корня в знаменателях дробей 1/√2 и 1/(√3-√2). При решении задания используется основное свойство дроби. Чтобы избавиться от корня в знаменателе, числитель и знаменатель умножаются на одинаковое число, с помощью которого подкоренное выражение возводится в квадрат. В результате вычислений получаем 1/√2=√2/2 и 1/(√3-√2)=√3+√2.

Указываются особенности математического языка при работе с выражениями, содержащими корень. Отмечается, что содержание квадратного корня в знаменателе дроби означает содержание иррациональности. А об избавлении от знака корня в таком знаменателе говорят как об избавлении от иррациональности в знаменателе. Описываются методы, как можно избавиться от иррациональности - для преобразования знаменателя вида √а необходимо умножить числитель одновременно со знаменателем на число √а, а для устранения иррациональности для знаменателя вида √а-√b, числитель и знаменатель умножаются на сопряженное выражение √а+√b. Отмечается, что избавление от иррациональности в таком знаменателе очень части облегчает решение задачи.

В конце видеоурока рассматривается упрощение выражения 7/√7-2/(√7-√5)+4/(√5+√3). Чтобы упростить выражение, применяются рассмотренные выше способы избавления от иррациональности в знаменателе дробей. Полученные выражения складываются, после чего упрощенный вид выражения имеет вид √5-2√3.

Видеоурок «Преобразование выражений, содержащих операцию извлечения квадратного корня» рекомендуется применять на традиционном школьном уроке для формирования навыков решения заданий, в которых содержится квадратных корень. С этой же целью видео может быть использовано учителем в ходе дистанционного обучения. Также материал может быть рекомендован ученикам для самостоятельной работы дома.

Разделы: Математика

Цели урока:

Повторить определение арифметического квадратного корня, свойства арифметического квадратного корня.
Обобщить и систематизировать знания учащихся по этой теме.
Закрепить навыки и умения решения примеров на тождественные преобразования выражений, содержащих арифметические квадратные корни.
Дать возможность каждому ученику как можно более полно раскрыть свои возможности.
Расширять кругозор и познакомить учащихся с математиками средних веков.

Тип урока: урок-практикум.

Оборудование урока: раздаточный материал, цветной мел, графопроектор, портрет Рене Декарта, плакаты с формулами.

Ход урока

I. Организационный момент.

Тема нашего урока «Преобразование выражений, содержащих арифметические квадратные корни». Сегодня на уроке мы будем повторять правила преобразования выражений, содержащих квадратные корни. Это и преобразование корней из произведения, дроби и степени, умножение и деление корней, вынесение множителя за знак корня, внесение множителя под знак корня, приведение подобных слагаемых и освобождение от иррациональности в знаменателе дроби.

II. Устный опрос по теории.

Дайте определение арифметического квадратного корня. (Арифметическим квадратным корнем из числа а называется неотрицательное число, квадрат которого равен а ).
Перечислите свойства арифметического квадратного корня. (Арифметический квадратный корень из произведения неотрицательных множителей равен произведению корней из этих множителей. Арифметический квадратный корень из дроби, числитель которой неотрицателен, а знаменатель положителен, равен корню из числителя, делённому на корень из знаменателя ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 ? (|х | ).
Чему равно значение арифметического квадратного корня из х 2 , если х≥0? х<0? (х. –х ).

III. Устная работа. (Записано на доске).

Найдите значение корня:

Найдите значение выражения:

Внесите множитель под знак корня:

Сравните:

IV. Отработка знаний по данной теме. (На партах у каждого листок с заданиями ).

1. Выполните действия.

Как будем решать примеры а и б? (Раскроим скобки, приведём подобные слагаемые ).
Как будем решать примеры в и г? (Применим формулу разности квадратов ).
Как будем решать примеры д и е? (Вынесем множитель за знак корня и приведём подобные слагаемые ).






	2 + 0,3- 4 + 0,01
	3 + 0,5 - 2 + 0,01

(Ученики по вариантам выполняют примеры в тетрадях, 6 учеников по 1 примеру решают у задней доски ).

– Проверка через графопроектор. Каждому ответу соответствует определённая буква. В результате получаются слово: Декарт.

V. Историческая справка.

Ученик выступает с небольшим сообщением.

В 1626 году нидерландский математик А.Ширар ввел близкое к современному обозначение корня V. Если над этим знаком стояла цифра 2, то это означало корень квадратный, если 3 – кубический. Это обозначение стало вытеснять знак Rx. Однако долгое время писали Vа+в с горизонтальной чертой над суммой. Лишь в 1637 году Рене Декарт соединил знак корня с горизонтальной чертой, применив в своей «Геометрии» современный знак корня . Этот знак вошёл во всеобщее употребление лишь в начале XVIII века. (На доске – портрет Рене Декарта, рисунок ).

VI. Отработка знаний по теме.

2. Разложите на множители.

а и б – разложим по формуле разности квадратов, в и г – используя определение арифметического квадратного корня, заменим 7 и 13 квадратами из квадратных корней, а потом вынесем за скобки общий множитель ).

а) а – 9, а≥0
б) 16 – в, в≥0

Ученики решают в тетрадях по вариантам, 2 человека (по одному от каждого варианта) решают у доски.

– Проверка.

3. Сократите дробь.

– Как будем выполнять это задание? (Разложим на множители или числитель, или знаменатель, а потом сократим ).

Ученики решают в тетрадях по вариантам, 4 человека решают у доски. Примеры д и е решают дополнительно, кто успеет.

– Проверка.

4. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби.

– Что будем делать в этом задании? (Преобразуем дробь так, чтобы знаменатель не содержал квадратного корня: а и б будем домножать и числитель, и знаменатель на квадратный корень, записанный в знаменателе; в и г будем домножать на сумму или разность выражения, записанного в знаменателе для того, чтобы получилась разность квадратов ).

Ученики решают по вариантам, 2 человека решают по 2 примера у доски.

– Проверка.

VII. Написание теста.

У каждого на парте листок с заданиями теста (приложение 1 ). Подписали листок и выполнили задания в этом же листке. После написания работы сдали, проверили ответы и разобрали, почему так, через графопроектор.

VIII. Домашнее задание. с. 109 № 503 (а–г), 504.

Материал этой статьи стоит рассматривать как часть темы преобразование иррациональных выражений . Здесь мы на примерах разберем все тонкости и нюансы (которых немало), возникающие при проведении преобразований на базе свойств корней.

Навигация по странице.

Вспомним свойства корней

Коль скоро мы собрались разбираться с преобразованием выражений с использованием свойств корней, то не помешает вспомнить основные , а еще лучше записать их на бумагу и расположить перед собой.

Сначала изучаются квадратные корни и следующие их свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа):

А позже представление о корне расширяется, вводится определение корня n-ой степени, и рассматриваются такие свойства (a , b , a 1 , a 2 , …, a k - действительные числа, m , n , n 1 , n 2 , ..., n k - натуральные числа):

Преобразование выражений с числами под знаками корней

По обыкновению сначала учатся работать с числовыми выражениями, а уже после этого переходят к выражениям с переменными. Так поступим и мы, и сначала разберемся с преобразованием иррациональных выражений, содержащих под знаками корней только числовые выражения, а уже дальше в следующем пункте будем вводить под знаки корней и переменные.

Как это может быть использовано для преобразования выражений? Очень просто: например, иррациональное выражение мы можем заменить выражением или наоборот. То есть, если в составе преобразовываемого выражения содержится выражение, совпадающее по виду с выражением из левой (правой) части любого из перечисленных свойств корней, то его можно заменить соответствующим выражением из правой (левой) части. В этом и состоит преобразование выражений с использованием свойств корней.

Приведем еще несколько примеров.

Упростим выражение . Числа 3 , 5 и 7 положительные, поэтому мы можем спокойно применять свойства корней. Здесь можно действовать по-разному. Например, корень на базе свойства можно представить как , а корень с использованием свойства при k=3 - как , при таком подходе решение будет иметь такой вид:

Можно было поступить иначе, заменив на , и дальше на , в этом случае решение выглядело бы так:

Возможны и другие варианты решения, например, такой:

Разберем решение еще одного примера. Преобразуем выражение . Взглянув на список свойств корней, выбираем из него нужные нам свойства для решения примера, понятно, что здесь пригодятся два из них и , которые справедливы для любых a . Имеем:

Как вариант, сначала можно было преобразовать выражения под знаками корней с использованием

а уже дальше применять свойства корней

До этого момента мы преобразовывали выражения, которые содержат только квадратные корни. Пришло время поработать с корнями, имеющими другие показатели.

Пример.

Преобразуйте иррациональное выражение .

Решение.

По свойству первый множитель заданного произведения можно заменить числом −2 :

Идем дальше. Второй множитель в силу свойства можно представить как , а 81 не помешает заменить четверной степенью тройки, так как в остальных множителях под знаками корней фигурирует число 3 :

Корень из дроби целесообразно заменить отношением корней вида , которое можно преобразовать и дальше: . Имеем

Полученное выражение после выполнения действий с двойками примет вид , и остается преобразовать произведение корней.

Для преобразования произведений корней их обычно приводят к одному показателю, в качестве которого целесообразно брать показателей всех корней. В нашем случае НОК(12, 6, 12)=12 , и к этому показателю придется приводить лишь корень , так как остальные два корня уже имеют такой показатель. Справиться с этой задачей позволяет равенство , которое применяют справа налево. Так . Учитывая этот результат, имеем

Теперь произведение корней можно заменить корнем произведения и выполнить остальные, уже очевидные, преобразования:

Оформим краткий вариант решения:

Ответ:

Отдельно подчеркнем, что для применения свойств корней необходимо учитывать ограничения, наложенные на числа под знаками корней (a≥0 и т.п.). Их игнорирование может спровоцировать возникновение неверных результатов. Например, мы знаем, что свойство имеет место для неотрицательных a . На его основе мы спокойно можем перейти, к примеру, от к , так как 8 – положительное число. А вот если взять имеющий смысл корень из отрицательного числа, например, , и на базе указанного выше свойства заменить его на , то мы фактически заменим −2 на 2 . Действительно, , а . То есть, при отрицательных a равенство может быть и неверным, как могут быть неверными и другие свойства корней без учета оговоренных для них условий.

Но сказанное в предыдущем пункте вовсе не означает, что выражения с отрицательными числами под знаками корней невозможно преобразовывать с использованием свойств корней. Их просто предварительно нужно «подготовить», применив правила действий с числами или воспользовавшись определением корня нечетной степени из отрицательного числа, которому соответствует равенство , где −a – отрицательное число (при этом a – положительное). Например, нельзя сразу заменить на , так как −2 и −3 – отрицательные числа, но позволяет нам от корня перейти к , и уже дальше применять свойство корня из произведения: . А в одном из предыдущих примеров переходить от корня к корню восемнадцатой степени нужно было не так , а так .

Итак, для преобразования выражений с использованием свойств корней, надо

выбрать подходящее свойство из списка,
убедиться, что числа под корнем удовлетворяют условиям для выбранного свойства (в противном случае требуется выполнить предварительные преобразования),
и провести задуманное преобразование.

Преобразование выражений с переменными под знаками корней

Для преобразования иррациональных выражений, содержащих под знаком корня не только числа, но и переменные, свойства корней, перечисленные в первом пункте этой статьи, приходится применять аккуратно. Связано это по большей части с условиями, которым должны удовлетворять числа, участвующие в формулах. Например, опираясь на формулу , выражение можно заменить выражением лишь для таких значений x , которые удовлетворяют условиям x≥0 и x+1≥0 , так как указанная формула задана для a≥0 и b≥0 .

Чем опасно игнорирование этих условий? Ответ на этот вопрос наглядно демонстрирует следующий пример. Допустим, нам нужно вычислить значение выражения при x=−2 . Если сразу подставить вместо переменной x число −2 , то получим нужное нам значение . А теперь представим, что мы, исходя из каких-то соображений, преобразовали заданное выражение к виду , и только после этого решили вычислить значение. Подставляем вместо x число −2 и приходим к выражению , которое не имеет смысла.

Давайте проследим, что происходит с областью допустимых значений (ОДЗ) переменной x при переходе от выражения к выражению . ОДЗ мы упомянули не случайно, так как это серьезный инструмент контроля допустимости проделанных преобразований, и изменение ОДЗ после преобразования выражения должно как минимум насторожить. Найти ОДЗ для указанных выражений не составляет труда. Для выражения ОДЗ определяется из неравенства x·(x+1)≥0 , его решение дает числовое множество (−∞, −1]∪∪}