Основные элементы временного ряда эконометрика. Расчет оценок сезонной компоненты

Под временными рядами понимают экономические величины, зависящие от времени. При этом время предполагается дискретным, в противном случае говорят о случайных процессах, а не о временных рядах.

6.1. Модели стационарных и нестационарных временных рядов, их идентификация

Пусть Рассмотрим временной рядX(t). Пусть сначала временной ряд принимает числовые значения. Это могут быть, например, цены на батон хлеба в соседнем магазине или курс обмена доллара на рубли в ближайшем обменном пункте. Обычно в поведении временного ряда выявляют две основные тенденции - тренд и периодические колебания.

При этом под трендом понимают зависимость от времени линейного, квадратичного или иного типа, которую выявляют тем или иным способом сглаживания (например, экспоненциального сглаживания) либо расчетным путем, в частности, с помощью метода наименьших квадратов. Другими словами, тренд - это очищенная от случайностей основная тенденция временного ряда.

Временной ряд обычно колеблется вокруг тренда, причем отклонения от тренда часто обнаруживают правильность. Часто это связано с естественной или назначенной периодичностью, например, сезонной или недельной, месячной или квартальной (например, в соответствии с графиками выплаты заплаты и уплаты налогов). Иногда наличие периодичности и тем более ее причины неясны, и задача эконометрика - выяснить, действительно ли имеется периодичность.

Элементарные методы оценки характеристик временных рядов обычно достаточно подробно рассматриваются в курсах "Общей теории статистики" (см., например, учебники ), поэтому нет необходимости подробно разбирать их здесь. (Впрочем, о некоторых современных методах оценивания длины периода и самой периодической составляющей речь пойдет ниже.)

Характеристики временных рядов . Для более подробного изучения временных рядов используются вероятностно-статистические модели. При этом временной ряд X(t) рассматривается как случайный процесс (с дискретным временем) основными характеристиками являются математическое ожидание X(t) , т.е.

дисперсия X(t) , т.е.

и автокорреляционная функция временного ряда X(t)

т.е. функция двух переменных, равная коэффициенту корреляции между двумя значениями временного ряда X(t) и X(s).

В теоретических и прикладных исследованиях рассматривают широкий спектр моделей временных рядов. Выделим сначала стационарные модели. В них совместные функции распределения для любого числа моментов времениk , а потому и все перечисленные выше характеристики временного ряда не меняются со временем . В частности, математическое ожидание и дисперсия являются постоянными величинами, автокорреляционная функция зависит только от разности t-s. Временные ряды, не являющиеся стационарными, называются нестационарными.

Линейные регрессионные модели с гомоскедастичными и гетероскедастичными, независимыми и автокоррелированными остатками. Как видно из сказанного выше, основное - это "очистка" временного ряда от случайных отклонений, т.е. оценивание математического ожидания. В отличие от простейших моделей регрессионного анализа, рассмотренных в главе 5, здесь естественным образом появляются более сложные модели. Например, дисперсия может зависеть от времени. Такие модели называют гетероскедастичными, а те, в которых нет зависимости от времени - гомоскедастичными. (Точнее говоря, эти термины могут относиться не только к переменной "время", но и к другим переменным.)

Далее, в главе 5 предполагалось, что погрешности независимы между собой. В терминах настоящей главы это означало бы, что автокорреляционная функция должна быть вырожденной - равняться 1 при равенстве аргументов и 0 при их неравенстве. Ясно, что для реальных временных рядов так бывает отнюдь не всегда. Если естественный ход изменений наблюдаемого процесса является достаточно быстрым по сравнению с интервалом между последовательными наблюдениями, то можно ожидать "затухания" автокорреляции" и получения практически независимых остатков, в противном случае остатки будут автокоррелированы.

Идентификация моделей. Под идентификацией моделей обычно понимают выявление их структуры и оценивание параметров. Поскольку структура - это тоже параметр, хотя и нечисловой (см. главу 8), то речь идет об одной из типовых задач эконометрики - оценивании параметров.

Проще всего задача оценивания решается для линейных (по параметрам) моделей с гомоскедастичными независимыми остатками. Восстановление зависимостей во временных рядах может быть проведено на основе методов наименьших квадратов и наименьших модулей, рассмотренных в главе 5 моделей линейной (по параметрам) регрессии. На случай временных рядов переносятся результаты, связанные с оцениванием необходимого набора регрессоров, в частности, легко получить предельное геометрическое распределение оценки степени тригонометрического полинома.

Однако на более общую ситуацию такого простого переноса сделать нельзя. Так, например, в случае временного ряда с гетероскедастичными и автокоррелированными остатками снова можно воспользоваться общим подходом метода наименьших квадратов, однако система уравнений метода наименьших квадратов и, естественно, ее решение будут иными. Формулы в терминах матричной алгебры, о которых упоминалось в главе 5, будут отличаться. Поэтому рассматриваемый метод называется "обобщенный метод наименьших квадратов (ОМНК)" (см., например, ).

Замечание. Как уже отмечалось в главе 5, простейшая модель метода наименьших квадратов допускает весьма далекие обобщения, особенно в области системам одновременных эконометрических уравнений для временных рядов. Для понимания соответствующей теории и алгоритмов необходимо профессиональное владение матричной алгеброй. Поэтому мы отсылаем тех, кому это интересно, к литературе по системам эконометрических уравнений и непосредственно по временным рядам , в которой особенно много интересуются спектральной теорией, т.е. выделением сигнала из шума и разложением его на гармоники. Подчеркнем в очередной раз, что за каждой главой настоящей книги стоит большая область научных и прикладных исследований, вполне достойная того, чтобы посвятить ей много усилий. Однако из-за ограниченности объема книги мы вынуждены изложение сделать конспективным.

- 94.50 Кб

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ,

МОЛОДЕЖИ И СПОРТА УКРАИНЫ

ГВУЗ «КИЕВСКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ ВАДИМА ГЕТЬМАНА»

КРЫМСКИЙ ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

по дисциплине: ЭКОНОМЕТРИКА

тема ВРЕМЕННЫЕ РЯДЫ В ЭКОНОМЕТРИЧЕСКИХ ИССЛЕДОВАНИЯХ

Выполнил:

студент 1 курса

заочного отделения

группа МО-11/12

Потоля Евгений Васильевич

Проверил:

Симферополь 2013

Введение

Эконометрика – это наука, в которой на базе реальных статистических данных строятся, анализируются и совершаются математические модели реальных экономических явлений.

Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям. Основной задачей эконометрики будем считать использование статистических и математических методов с целью найти эмпирическое представление результатов экономической теории, а затем их подтвердить или опровергнуть.

Однако математические методы для представления результатов экономической теории используются также в математической экономике. Разделение «сфер интересов» эконометрики и математической экономики – это различие в критериях качества полученных моделей. В эконометрике построенная модель тем лучше, чем лучше она описывает имеющиеся эмпирические данные. В математической экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется добиваться этого соответствия.

Применение статистических методов для анализа экономических данных имеет многовековую историю. Отмечено, что первое эмпирическое исследование спроса (Charles Davenant, 1699) было опубликовано более трех столетий назад, а первое современное исследование (Rodulfo Enini, 1907) – в начале 20 в. Мощным толчком в развитии эконометрики стало основание в 1930 г. эконометрического общества и выход в январе 1933 г. первого номера журнала «Econometrica». Основной целью деятельности Общества, как было определено в первом номере журнала, должно было стать «…изучение возможностей объединения теоретико-количественных и эмпирико-количественных подходов к решению экономических задач, а также распространения конструктивных и точных методов анализа, аналогичных тем, которые в настоящее время доминируют в естественных науках».

Однако существует несколько видов количественного анализа в экономике, ни один из которых по отдельности не должен ассоциироваться с эконометрикой. Так, эконометрика – это не экономическая статистика. Эконометрика – это и не раздел общей экономической теории, хотя значительная часть экономической теории определенно имеет количественный характер. Слово «эконометрика» не является также простым эквивалентом фразы «применение математики в экономике». Как показывает опыт, все три перечисленных дисциплины, – статистика, экономическая теория и математика, - необходимы, но ни одной из них, взятой по отдельности, не достаточно для реального понимания количественных взаимосвязей в современной экономической жизни. Именно объединение всех этих трех дисциплин дает к нему ключ. Именно объединение их и составляет предмет эконометрики.

1. Основные понятия в теории временных рядов

Временной ряд - это некоторая последовательность чисел (измерений) экономического или бизнес-процесса во времени. Его элементы измерены в последовательные моменты времени, обычно через равные промежутки.

Как правило, составляющие временной ряд числа или элементы временного ряда, нумеруют в соответствии с номером момента времени, к которому они относятся. Таким образом, порядок следования элементов временного ряда весьма существен.

Расширенное понятие временного ряда. Понятие временного ряда часто толкуют расширительно. Например, одновременно могут регистрироваться несколько характеристик упомянутого процесса. В этом случае говорят о многомерных временных рядах. Если измерения производятся непрерывно, говорят о временных рядах с непрерывным временем, или случайных процессах. Наконец, текущая переменная может иметь не временной, а какой-нибудь иной характер, например пространственный. В этом случае говорят о случайных полях. Примеры временных рядов. В экономике это ежедневные цены на акции, курсы валют, еженедельные и месячные объемы продаж, годовые объемы производства и т.п.

Временные ряды называются стационарными, если числовые характеристики ряда являются постоянными на любом участке временного ряда. Реально в жизни это не так, но существуют методы, позволяющие преобразовать временной ряд и привести его к стационарному.

1. Цели, этапы и методы анализа временных рядов

Цели анализа временных рядов. При практическом изучении временных радов на основании экономических данных на определенном промежутке времени эконометрист должен сделать выводы о свойствах этого ряда и о вероятностном механизме, порождающем этот ряд. Чаще всего при изучении временных рядов ставятся следующие цели:

1. Краткое (сжатое) описание характерных особенностей ряда;

2. Подбор статистической модели, описывающей временной ряд;

3. Предсказание будущих значений на основе прошлых наблюдений;

4. Управление процессом, порождающим временной ряд.

На практике эти и подобные цели достижимы далеко не всегда и далеко не в полной мере. Часто этому препятствует недостаточный объем наблюдений из-за ограниченного времени наблюдений. Еще чаще - изменяющаяся с течением времени статистическая структура временного ряда.

Стадии анализа временных рядов. Обычно при практическом анализе временных рядов последовательно проходят следующие этапы:

1. Графическое представление и описание поведения временного рада;

2. Выделение и удаление закономерных составляющих временного рада, зависящих от времени: тренда, сезонных и циклических составляющих;

3. Выделение и удаление низко- или высокочастотных составляющих процесса (фильтрация);

4. Исследование случайной составляющей временного ряда, оставшейся после удаления перечисленных выше составляющих

5. Построение (подбор) математической модели для описания случайной составляющей и проверка ее адекватности;

6. Прогнозирование будущего развития процесса, представленного временным рядом;

7. Исследование взаимодействий между различным и временными рядами.

Методы анализа временных рядов. Для решения этих задач существует большое количество различных методов. Из них наиболее распространенными являются следующие:

1. Корреляционный анализ, позволяющий выявить существенные периодические зависимости и их лаги (задержки) внутри одного процесса (автокорреляция) или между несколькими процессами (кросскорреляция);

2. Спектральный анализ, позволяющий находить периодические и квазипериодические составляющие временного ряда;

3. Сглаживание и фильтрация, предназначенные для преобразования временных рядов с целью удаления из них высокочастотных или сезонных колебаний;

5. Прогнозирование, позволяющее на основе подобранной модели поведения временного рада предсказывать его значения в будущем.

1. Модели тренда и методы его выделения из временного ряда

Простейшие модели тренда. Приведем модели трендов, наиболее часто используемые при анализе экономических временных рядов, а также во многих других областях.

Во-первых, это простая линейная модель

Y t = a 0 + a 1 t

где а0, а1 – коэффициенты модели тренда; t – время.

В качестве единицы времени может быть час, день (сутки), неделя, месяц, квартал или год. Несмотря на свою простоту, оказывается полезной во многих реальных задачах. Если нелинейный характер тренда очевиден, то может подойти одна из следующих моделей:

1. полиномиальная:

Y t =a 0 + a 1 t + a 2 t 2 + a 3 t 3 + a 4 t 4 + …

где значение степени полинома n в практических задачах редко превышает 5;

2. логарифмическая:

Эта модель чаще всего применяется для данных, имеющих тенденцию сохранять

постоянные темпы прироста;

3. логистическая:

4. Гомперца

log(Y t) = a 0 -a 1 r t , где 0 < r < 1

Две последние модели задают кривые тренда S-образной формы. Они соответствуют процессам с постепенно возрастающими темпами роста в начальной стадии и постепенно затухающими темпами роста в конце.

Необходимость подобных моделей обусловлена невозможностью многих экономических процессов продолжительное время развиваться с постоянными темпами роста или по полиномиальным моделям, в связи с их довольно быстрым ростом (или уменьшением).

При прогнозировании тренд используют в первую очередь для долговременных прогнозов. Точность краткосрочных прогнозов, основанных только на подобранной кривой тренда, как правило, недостаточна.

Для оценки и удаления трендов из временных рядов чаще всего используется метод наименьших квадратов. Значения временного ряда рассматривают как отклик (зависимую переменную), а время t - как фактор, влияющий на отклик (независимую переменную).

Для временных рядов характерна взаимная зависимость его членов (по крайней мере, не далеко отстоящих по времени) и это является существенным отличием от обычного регрессионного анализа, для которого все наблюдения предполагаются независимыми. Тем не менее, оценки тренда и в этих условиях обычно оказываются разумными, если выбрана адекватная модель тренда и если среди наблюдений нет больших выбросов. Упомянутые выше нарушения ограничений регрессионного анализа сказываются не столько на значениях оценок, сколько на их статистических свойствах.

Неправильными оказываются и доверительные интервалы для коэффициентов модели, и т.д. В лучшем случае их можно рассматривать как очень приближенные. Это положение может быть частично исправлено, если применять модифицированные алгоритмы метода наименьших квадратов, такие как взвешенный метод наименьших квадратов. Однако для этих методов требуется дополнительная информация о том, как меняется дисперсия наблюдений или их корреляция. Если же такая информация недоступна, исследователям приходится применять классический метод наименьших квадратов, несмотря на указанные недостатки.

1. Порядок анализа временных рядов

Цель анализа временных рядов обычно заключается в построении математической модели ряда, с помощью которой можно объяснить его поведение и осуществить прогноз на определенный период времени. Анализ временных рядов включает следующие основные этапы.

Построение и изучение графика. Анализ временного ряда обычно начинается с построения и изучения его графика. Если нестационарность временного ряда очевидна, то первым делом надо выделить и удалить нестационарную составляющую ряда. Процесс удаления тренда и других компонент ряда, приводящих к нарушению стационарности, может проходить в несколько этапов.

На каждом из них рассматривается ряд остатков, полученный в результате вычитания из исходного ряда подобранной модели тренда, или результат разностных и других преобразований ряда. Кроме графиков, признаками нестационарности временного ряда могут служить не стремящаяся к нулю автокорреляционная функция.

Описание работы

Одним из важнейших направлений эконометрики является построение прогнозов по различным экономическим показателям. Основной задачей эконометрики будем считать использование статистических и математических методов с целью найти эмпирическое представление результатов экономической теории, а затем их подтвердить или опровергнуть.
Однако математические методы для представления результатов экономической теории используются также в математической экономике. Разделение «сфер интересов» эконометрики и математической экономики – это различие в критериях качества полученных моделей. В эконометрике построенная модель тем лучше, чем лучше она описывает имеющиеся эмпирические данные. В математической экономике соответствие модели эмпирическим данным не всегда свидетельствует о ее качестве, и наоборот, не всегда требуется добиваться этого соответствия.

Содержание

Введение………………………………………...………………………..
Основные понятия в теории временных рядов ………………………..
3
5
Цели, этапы и методы анализа временных рядов……………………...
6
Модели тренда и методы его выделения из временного ряда………..
8
Порядок анализа временных рядов……………………………………..
10
Графические методы анализа временных рядов……………………....
12
Заключение……….………………………………………………………
Список литературы…………………………………

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

хорошую работу на сайт">

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Подобные документы

Эффективная оценка по методу наименьших квадратов. Корелляционно-регрессионный анализ в эконометрическом моделировании. Временные ряды в эконометрических исследованиях. Моделирование тенденции временного ряда. Расчет коэффициента автокорреляции.

контрольная работа , добавлен 19.06.2015


Анализ автокорреляции уровней временного ряда, характеристика его структуры; построение аддитивной и мультипликативной модели, отражающую зависимость уровней ряда от времени; прогноз объема выпуска товаров на два квартала с учетом выявленной сезонности.

лабораторная работа , добавлен 23.01.2011


Выборка и генеральная совокупность. Модель множественной регрессии. Нестационарные временные ряды. Параметры линейного уравнения парной регрессии. Нахождение медианы, ранжирование временного ряда. Гипотеза о неизменности среднего значения временного ряда.

задача , добавлен 08.08.2010


Изучение понятия имитационного моделирования. Имитационная модель временного ряда. Анализ показателей динамики развития экономических процессов. Аномальные уровни ряда. Автокорреляция и временной лаг. Оценка адекватности и точности трендовых моделей.

курсовая работа , добавлен 26.12.2014


Автокорреляционная функция временного ряда темпов роста производства древесноволокнистых плит в Российской Федерации. Расчет значений сезонной компоненты в аддитивной модели и коэффициента автокорреляции третьего порядка по логарифмам уровней ряда.

контрольная работа , добавлен 15.11.2014


Этапы и проблемы эконометрических исследований. Параметры парной линейной регрессии. Оценка тесноты связи с помощью показателей корреляции и детерминации. Расчет коэффициентов автокорреляции второго порядка для временного ряда расходов на потребление.

контрольная работа , добавлен 05.01.2011


Необходимость использования фиктивных переменных. Авторегрессионые модели: модель адаптивных ожиданий и частичной корректировки. Метод инструментальных переменных. Полиномиально распределенные лаги Алмон. Сравнение двух регрессий. Суть метода Койка.

контрольная работа , добавлен 28.07.2013


Эконометрическое моделирование стоимости квартир в московской области. Матрица парных коэффициентов корреляции. Расчет параметров линейной парной регрессии. Исследование динамики экономического показателя на основе анализа одномерного временного ряда.

контрольная работа , добавлен 19.01.2011

При построении эконометрической модели используются два типа данных:

• 1) данные, характеризующие совокупность различных объектов в определенный момент времени;
• 2) данные, характеризующие один объект за ряд последовательных моментов времени.

Модели, построенные по данным первого типа, называются пространственными моделями. Модели, построенные на основе второго типа данных, называются моделями временных рядов.

Временной ряд (ряд динамики) - это совокупность значений какого-либо показателя за несколько последовательных моментов или периодов времени. Каждый уровень временного ряда формируется под воздействием большого числа факторов, которые условно можно подразделить на три группы:

• 1) факторы, формирующие тенденцию ряда;
• 2) факторы, формирующие циклические колебания ряда;
• 3) случайные факторы.

Рассмотрим воздействие каждого фактора на временной ряд в отдельности.

Большинство временных рядов экономических показателей имеют тенденцию, характеризующую совокупное долговременное воздействие множества факторов на динамику изучаемого показателя. Все эти факторы, взятые в отдельности, могут оказывать разнонаправленное воздействие на исследуемый показатель. Однако в совокупности они формируют его возрастающую или убывающую тенденцию. На рис. 4.1 показан гипотетический временной ряд, содержащий возрастающую тенденцию.

Также изучаемый показатель может быть подвержен циклическим колебаниям. Эти колебания могут носить сезонный характер, поскольку экономическая деятельность ряда отраслей экономики зависит от времени года (например, цены на сельскохозяйственную продукцию в летний период выше, чем в зимний; уровень безработицы в курортных городах в зимний период выше по сравнению с летним). При наличии больших массивов данных за длительные промежутки времени можно выявить циклические колебания, связанные с общей динамикой конъюнктуры рынка. На рис. 4.2 представлен гипотетический временной ряд, содержащий только сезонную компоненту.

Некоторые временные ряды не содержат тенденции и циклической компоненты, а каждый следующий их уровень образуется как сумма среднего уровня ряда и некоторой (положительной или отрицательной) случайной компоненты. Пример ряда, содержащего только случайную компоненту, приведен на рис. 4.3.

Очевидно, что реальные данные не следуют целиком и полностью из каких-либо описанных выше моделей. Чаще всего они содержат все три компоненты. Каждый их уровень формируется под воздействием тенденции, сезонных колебаний и случайной компоненты.

В большинстве случаев фактический уровень временного ряда можно представить как сумму или произведение трендовой, циклической и случайной компонент. Модель, в которой временной ряд представлен как сумма перечисленных компонент, называется аддитивной моделью временного ряда. Модель, в которой временной ряд представлен как произведение перечисленных компонент, называется мультипликативной моделью временного ряда. Основная задача эконометрического исследования отдельного временного ряда - выявление и придание количественного выражения каждой из перечисленных выше компонент с тем, чтобы использовать полученную информацию для прогнозирования будущих значений ряда или при построении моделей взаимосвязи двух или более временных рядов.

Большинство эконометрических моделей строится как динамические эконометрические модели. Это означает, что моделирование причинно-следственных связей между переменными осуществляется во времени, а исходные данные представлены в форме временных рядов.

Временной ряд х t (t=1; n ) – ряд значений какого-либо показателя за несколько последовательных промежутков времени.

Каждый временной ряд х t складывается из следующих основных составляющих (компонентов):

1. Тенденции, характеризующей общее направление динамики изучаемого явления. Аналитически тенденция выражается некоторой функцией времени, называемой трендом (Т ).
2. Циклической или периодической составляющей, характеризующей циклические или периодические колебания изучаемого явления. Колебания представляют собой отклонения фактических уровней ряда от тренда. Объем продаж некоторых товаров подвержен сезонным колебаниям. Сезонные колебания (S ) – периодические колебания, которые имеют определенный и постоянный период равный годовому промежутку. Конъюнктурные колебания (К) связаны с большими экономическими циклами, период таких колебаний – несколько лет.
3. Случайной составляющей, которая является результатом воздействия множества случайных факторов (Е ).

Тогда уровень ряда можно представить как функцию от этих составляющих (компонентов): =f(T, K, S, E).

В зависимости от взаимосвязи между составляющими может быть построена либо аддитивная модель : =T+K+S+E, либо мультипликативная модель : =T·K·S·E ряда динамики.

Для определения состава компонентов (структуры временного ряда) в модели временного ряда строят автокорреляционную функцию.
Автокорреляция – корреляционная связь между последовательными уровнями одного и того же ряда динамики (сдвинутыми на определенный промежуток времени L - лаг). То есть, автокорреляция - это связь между рядом: x 1 , x 2 , ... x n-l и рядом x 1+l , x 2+l , ...,x n , где L - положительное целое число. Автокорреляция может быть измерена коэффициентом автокорреляции:
,
где ,
– средний уровень ряда (x 1+L , x 2+L ,...,x n ),
средний уровень ряда (x 1 , x 2 ,..., x n-L),
s t , s t-L – средние квадратические отклонения, для рядов (x 1+L , x 2+L ,..., x n ) и (x 1 , x 2 ,..., x n-L ) соответственно.

Лаг (сдвиг во времени) определяет порядок коэффициента автокорреляции. Если L =1, то имеем коэффициент автокорреляции 1-ого порядка r t,t-1 , если L =2, то коэффициент автокорреляции 2-ого порядка r t,t- 2 и т.д. Следует учитывать, что с увеличением лага на единицу, число пар значений, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции уменьшается на 1. Поэтому обычно рекомендуют максимальный порядок коэффициента автокорреляции равный n /4.

Рассчитав несколько коэффициентов автокорреляции, можно определить лаг (L), при котором автокорреляция (r t,t-L ) наиболее высокая, выявив тем самым структуру временного ряда .

1. Если наиболее высоким оказывается значение коэффициента автокорреляции первого порядка r t,t- 1 , то исследуемый ряд содержит только тенденцию.
2. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции r t,t-L порядка L , то ряд содержит колебания периодом L .
3. Если ни один из r t,t-L не является значимым, можно сделать одно из двух предположений:
   • либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, а его уровень определяется только случайной компонентой;
   • либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Последовательность коэффициентов автокорреляции 1, 2 и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости значений коэффициентов автокорреляции от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называют коррелограммой .

Для выявления закономерных колебаний внутри года при выполнении контрольной работы рекомендуется рассчитывать не меньше 4-х уровней коэффициентов автокорреляции.
Рассмотрим на примере как построить коррелограмму, чтобы определяется структуру временного ряда.
Пусть нам даны поквартальные данные об объеме выпуска некоторого товара некоторой фирмой –х (усл.ед.) за 3 года:

1993				1994				1995
1	2	3	4	1	2	3	4	1	2	3	4
410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900

Чтобы построить коррелогорамму для нашего примера, исходный ряд динамики дополним рядами из уровней этого ряда, сдвинутыми во времени (таблица 6).
Таблица 6

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
х t	-	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-1 =0,537
x t-1	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950	1200
х t	-	-	715	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-2 =0,085
х t-2	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705	950
х t	-	-	-	500	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-3 =0,445
х t-3	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670	705
х t	-	-	-	-	520	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-4 =0,990
х t-4	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975	670
х t	-	-	-	-	-	740	975	670	705	950	1200	900	r t,t-5 =0,294
х t-5	-	-	-	-	-	410	560	715	500	520	740	975

Рассчитаем коэффициенты корреляции:
1-ого порядка для рядов х t и х t -1 ,
2-ого порядка для рядов х t и х t -2 ,
3-его порядка для рядов х t и х t -3 ,
4-ого порядка для рядов х t и х t -4,
5-ого порядка для рядов х t и х t -5

Результаты расчетов представлены в таблице 7.
Таблица 7

Лаг (порядок) – L	r t,t-L	Коррелограмма
1	0,537	****
2	0,085	*
3	0,445	***
4	0,990	*****
5	0,294	**

Вывод: в данном ряду динамики имеется тенденция (т.к. r t,t-1 =0,537 →1) и периодические колебания с периодом (L) равным 4, т.е. имеют место сезонные колебания (т.к. r t,t-4 =0,99 →1).

Построение модели временного ряда с сезонными колебаниями (аддитивная модель ).
Процесс построения модели временного ряда (х ), содержащего n уровней некоторого показателя за Z лет, с L сезонными колебаниями включает следующие шаги:
1) Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней (х c ). Произведем выравнивание исходного ряда взятого из примера, рассмотренного выше, методом скользящей средней с периодом усреднения равным 3. Результаты представлены в таблице 9 (столбец 4).
2) Расчет значений сезонной составляющейS i , i=1;L , где L – число сезонов в году. Для нашего примера L =4 (сезоны - кварталы).
Расчет значений сезонных составляющих осуществляется после устранения тенденции из исходных уровней ряда: x-x c (столбец 5, таблица 9). Для дальнейшего расчета S i построим отдельную таблицу. Строки данной таблицы соответствуют сезонам, столбцы - годам. В теле таблицы находятся значения: x -x c . По этим данным рассчитываются средние оценки сезонных составляющих каждой строке (S c i) . Если сумма всех средних оценок равна нулю (), то данные средние и будут окончательными значениями сезонных составляющих (S i =S c i ). Если их сумма не равна нулю, то рассчитываются скорректированные значения сезонных составляющих вычитанием из средней оценки величины равной отношению суммы средних оценок к их общему числу (). Для нашего примера расчет значений S i представлен в таблице 8.
Таблица 8

Номер сезона	Год 1	Год 2	Год 3	Средняя оценка сезонной составляющей	Скорректированная оценка сезонной составляющей S i
1	-	-66,67	-70,00	-68,33	-67,15
2	-1,67	-5,00	-1,67	-2,78	-1,60
3	123,33	180 ,00	183,33	162,22	163,40
4	-78,33	-113,33	-	-95,83	-94,66
Итого				-4, 72	0

3) Устранение влияния сезонной составляющей из исходного ряда динамики : x S = x-S i . Результаты расчета x S для нашего примера представлены в столбце 6 таблицы 9.
4) Аналитическое выравнивание уровней x S (построение тренда): .
Расчет параметров при аналитическом выравнивании чаще всего производится с помощью метода наименьших квадратов (МНК). При этом поиск параметров для линейного уравнения тренда можно упростить, если отсчет времени производить так, чтобы сумма показателей времени изучаемого ряда динамики была равна нулю. Для этого вводится новая условная переменная времени t y , такая, что åt y =0. Уравнение тренда при этом будет следующим: .
При нечетном числе уровней ряда динамики для получения å t y =0 уровень, находящийся в середине ряда, принимается за условное начало отсчета времени (периоду или моменту времени, соответствующему данному уровню присваивается нулевое значение). Даты времени, расположенные левее этого уровня, обозначаются натуральными числами со знаком минус (-1 –2 –3 ...), а даты времени, расположенные правее этого уровня – натуральными числами со знаком плюс (1 2 3 ...).
Если число уровней ряда четное, периоды времени левой половины ряда (до середины) нумеруются –1, -3, -5 и т.д. А периоды правой половины - +1, +3, +5 и.т.д. При этом åt y будет равна 0.
Система нормальных уравнений (соответствующих МНК) преобразуется к виду:

Отсюда параметры уравнения рассчитываются по формулам:
.
Интерпретация параметров линейного уравнения тренда :
- уровень ряда за период времени t у =0;
- средний абсолютный прирост уровня ряда за единичный промежуток времени.
В нашем примере четное число уровней ряда: n=12. Следовательно, условная переменная времени для 6-ого элемента ряда будет равна –1, а для 7-ого +1. Значения переменной i y содержатся во 2-ом столбце таблицы 9.
Параметры линейного тренда будут: =14257,5/572=24,93; =8845/12=737,08. Это значит, что с каждым кварталом объем выпуска товара в среднем увеличивается на 2∙28,7 усл.ед. А средний за период с 1993 по 1995гг объем выпуска составил 738,75 усл.ед.
Рассчитаем значения трендовой компоненты по формуле (столбец 7 таблицы 9).
5) Учет сезонной составляющей в выровненных уровнях ряда (=T+S ). Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 8 таблицы 9.
6) Расчет абсолютной ошибки временного ряда (Е= x- ) осуществляется для оценки качества полученной модели. Результаты расчета для нашего примера представлены в столбце 9 таблицы 9.
Таблица 9

T	t у	x	x c	x- x c	x s		T		E
1	2	3	4	5	6		7	8	9
1	-11	410	-	-		477,15	462,9 0	395,75	14,25
2	-9	560	561,67	-1,67		561,60	512,75	511,15	48,85
3	-7	715	591,67	123,33		551,60	562,60	726,00	-11,01
4	-5	500	578,33	-78,33		594,65	612,45	517,80	-17,80
5	-3	520	586,67	-66,67		587,15	662,31	595,15	-75,15
6	-1	740	745 ,00	-5 ,00		741,60	712,16	710,56	29,44
7	1	975	795 ,00	180 ,00		811,60	762,00	925,41	49,59
8	3	670	783,33	-113,33		764,65	811,86	717,21	-47,21
9	5	705	775 ,00	-70 ,00		772,15	861,71	794,56	-89,56
10	7	950	951,67	-1,67		951,60	911,56	909,97	40,03
11	9	1200	1016,67	183,33		1036, 60	961,41	1124,82	75,18
12	11	900	-	-		994,65	1011,27	916,61	-16,61
Итого		8845				8845 ,00	8845 ,00	8845 ,00	16,61

Значимость параметров линейного уравнения тренда (Т ) определяется на основе t -критерия Стьюдента также как и в линейном парном регрессионном анализе.

Прогнозирование по аддитивной модели .
Пусть требуется дать прогноз уровня временного ряда на период (n +1). Точечный прогноз значения уровня временного ряда х n+1 в аддитивной модели есть сумма трендовой компоненты и сезонной компоненты (соответствующей i –ому сезону прогноза): =T n+1 +S i .
Для построения доверительного интервала прогноза нужно рассчитать среднюю ошибку прогноза:
m р = ,
где h - число параметров в уравнении тренда;
t yp – значение условной переменной времени для периода прогнозирования.
Затем рассчитаем предельную ошибку прогноза: D р =t a · m р ,
где t a - коэффициент доверия, определяемый по таблицам Стьюдента по уровню значимости α и числу степеней свободы равным (n-h ).
Окончательно получим: (-D р; +D р).