Отрицательные числа на числовой окружности. Урок "числовая окружность"

Если вы уже знакомы с тригонометрическим кругом , и хотите лишь освежить в памяти отдельные элементы, или вы совсем нетерпеливы, – то вот он, :

Мы же здесь будем все подробно разбирать шаг за шагом.

Тригонометрический круг – не роскошь, а необходимость

Тригонометрия у многих ассоциируется с непроходимой чащей. Вдруг наваливается столько значений тригонометрических функций, столько формул… А оно ведь, как, – незаладилось вначале, и… пошло-поехало… сплошное непонимание…

Очень важно не махать рукой на значения тригонометрических функций , – мол, всегда можно посмотреть в шпору с таблицей значений.

Если вы постоянно смотрите в таблицу со значениями тригонометрических формул, давайте избавляться от этой привычки!

Нас выручит ! Вы несколько раз поработаете с ним, и далее он у вас сам будет всплывать в голове. Чем он лучше таблицы? Да в таблице-то вы найдете ограниченное число значений, а на круге – ВСЕ!

К примеру, скажите, глядя в стандартную таблицу значений тригонометрических формул , чему равен синус, скажем, 300 градусов, или -45.

Никак?.. можно, конечно, подключить формулы приведения … А глядя на тригонометрический круг, легко можно ответить на такие вопросы. И вы скоро будете знать как!

А при решении тригонометрических уравнений и неравенств без тригонометрического круга – вообще никуда.

Знакомство с тригонометрическим кругом

Давайте по порядку.

Сначала выпишем вот такой ряд чисел:

А теперь такой:

И, наконец, такой:

Конечно, понятно, что, на самом-то деле, на первом месте стоит , на втором месте стоит , а на последнем – . То есть нас будет больше интересовать цепочка .

Но как красиво она получилась! В случае чего – восстановим эту «лесенку-чудесенку».

И зачем оно нам?

Эта цепочка – и есть основные значения синуса и косинуса в первой четверти.

Начертим в прямоугольной системе координат круг единичного радиуса (то есть радиус-то по длине берем любой, а его длину объявляем единичной).

От луча «0-Старт» откладываем в направлении стрелки (см. рис.) углы .

Получаем соответствующие точки на круге. Так вот если спроецировать точки на каждую из осей, то мы выйдем как раз на значения из указанной выше цепочки.

Это почему же, спросите вы?

Не будем разбирать все. Рассмотрим принцип , который позволит справиться и с другими, аналогичными ситуациями.

Треугольник АОВ – прямоугольный, в нем . А мы знаем, что против угла в лежит катет вдвое меньший гипотенузы (гипотенуза у нас = радиусу круга, то есть 1).

Значит, АВ= (а следовательно, и ОМ=). А по теореме Пифагора

Надеюсь, уже что-то становится понятно?

Так вот точка В и будет соответствовать значению , а точка М – значению

Аналогично с остальными значениями первой четверти.

Как вы понимаете, привычная нам ось (ox) будет осью косинусов , а ось (oy) – осью синусов . позже.

Слева от нуля по оси косинусов (ниже нуля по оси синусов) будут, конечно, отрицательные значения.

Итак, вот он, ВСЕМОГУЩИЙ , без которого никуда в тригонометрии.

А вот как пользоваться тригонометрическим кругом, мы поговорим в .

Глава 2
3) числу

поставим в соответствие точку.

Единичную окружность с установленным соответствием назовем

числовой окружностью .

Это вторая геометрическая модель для множества действительных

чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть

аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке)

почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник

основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая

точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если

окружности соответствует числу, то она соответствует и всем

числам вида

Где – длина единичной окружности, а – целое

Рис. 1

число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную

сторону.

Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для

понимания сути дела реальную задачу:

Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м

от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то

пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (

Два круга – () ; если успел пробежать

кругов, то путь составит (

) . Вот теперь можно сопоставить

полученный результат с выражением

Пример 1. Каким числам соответствует точка

числовой окружности

Решение. Так как длина всей окружности

То длина ее четверти

А потому – всем числам вида

Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки

называют соответственно первой, второй, третьей,

четвертой четвертями числовой окружности.

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой

окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком

поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать

надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не

нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих

пяти различных типов задач с числовой окружностью.

Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа

Пример 2.

числам

Решение. Разделим дугу

пополам точкой на три равные части –

точками

(рис.2). Тогда

Значит, числу

Соответствует точка

Числу
Пример

3.
на

числовой

окружности

точки,

соответствующие числам:

Решение. Построения будем проводить

а) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз

от точки

в отрицательном направлении,

получим точку

б) Отложив дугу

(ее длина

) семь раз от

в положительном направлении, получим точку, отделяющую

третью часть дуги

Она и будет соответствовать числу

в) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз от точки

в положительном

направлении, получим точку

Отделяющую третью часть дуги. Она и

будет соответствовать числу

(опыт показывает, что лучше откладывать не

пять раз по

А 10 раз по

После этого примера уместно привести два главных макета числовой

окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на

втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете

математики.

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по

каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном

направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить

другие «имена»: соответственно

и т. д.; на втором макете:

Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа

Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие

числам 1; 2; 3; -5.

Решение.

Здесь придется опираться на то, что

Поэтому точка 1

располагается на дуге

ближе к точке

Точки 2 и 3 – на дуге, первая –

Вторая – ближе к (рис.5).

Несколько подробнее остановимся

на отыскании точки, соответствующей числу – 5.

Двигаться надо из точки

в отрицательном направлении, т.е. по часовой

Рис. 5

стрелке. Если пройти в этом направлении до точки

Получим

Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена

чуть правее точки

(см. рис.5).

Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных

неравенств) для дуг числовой окружности.

Фактически мы действуем по тому

же плану, который использовался в 5-8

классах для изучения числовой прямой:

сначала по числу находят точку, затем по

точке – число, потом используют двойные

неравенства для записи промежутков на

числовой прямой.

Рассмотрим для примера открытую

Где – середина первой

четверти числовой окружности, а

– середина ее

второй четверти (рис.6).

Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой

аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом

этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует

научить школьников); для заданной дуги

На втором

этапе составляют общую запись:

Если же речь идет о дуге

То при записи ядра нужно учесть, что

() лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться

в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги

имеет вид

Рис. 6

Термины «ядро аналитической

записи дуги», «аналитическая запись

дуги» не являются общепринятыми,

соображений.

Четвертый

задач.

Отыскание

декартовых

координат

точек числовой окружности, центр

которой совмещен с началом системы

координат.

Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор

практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках.

Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной

плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут

здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной

модели от школьников требуется достаточно высокий уровень

математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в

двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о

положении точки снимается по окружности (числу

соответствует на

окружности точка

(); – «криволинейная координата» точки), и в

декартовой прямоугольной системе координат (у точки

Как у всякой точки

координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь

школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению,

обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых

первых уроков используют записи

Не учитывая, что буква в

сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой

прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой

окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует

использовать символы

Рис. 7

Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи

записи

(), т.е. от криволинейных координат к декартовым.

Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой

координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки

будут иметь

следующие координаты:

() () () (). Очень важно

научить школьников определять координаты всех тех точек, которые

отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки

Все сводится к

рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой

Его катеты равны

Значит, координаты

). Аналогично обстоит дело с точками

Но разница лишь в том, что надо учитывать

знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:

Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и

ординаты у середин всех четвертей равны

А знаки они должны уметь

определять для каждой точки непосредственно по чертежу.

Для точки

Все сводится к рассмотрению прямоугольного

треугольника с гипотенузой 1 и углом

(рис.9). Тогда катет,

противолежащий углу

Будет равен

прилежащий

√

Значит,

координаты точки

Аналогично обстоит дело с точкой

только катеты «меняются местами», а потому

Рис. 8

Рис. 9

получаем

). Именно значения

(с точностью до знаков) и будут

«обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек

качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче,

; где длиннее, там

Пример 5. Найти координаты точки

(см. рис.4).

Решение. Точка

Расположена ближе к вертикальной оси, чем к

горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты.

Значит, модуль абсциссы равен

Модуль ординаты равен

Знаки в обоих

случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка

Имеет координаты

В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех

точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось

Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к

вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет

отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции

(ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем

Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки

найти знаки декартовых координат

Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу

соответствует точка

Четвертой четверти, значит, .

Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по

заданным координатам.

Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая

Пересекает числовую окружность в точках
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка

соответствует числу

Значит, она

соответствует всем числам вида
соответствует числу

А значит, и

всем числам вида

Ответ:

Пример 7. Найти на числовой

окружности точки с абсциссой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая
√

пересекает числовую окружность в точках

– серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого

макета устанавливаем, что точка

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

Ответ:

Надо обязательно показать второй вариант

записи ответа к примеру 7. Ведь точка

соответствует и числу

Т.е. всем числам вида

получаем:

Рис. 10

Рис.11

Подчеркнем неоспоримую важность

пятого типа задач. Фактически мы приучаем

школьников

решению

простейших

тригонометрических уравнений: в примере 6

речь идет об уравнении

А в примере

– об уравнении

понимания сути дела важно научить

школьников решать уравнения видов

по числовой окружности,

не торопясь переходить к формулам

Опыт показывает, что если первая стадия (работа на

числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия

(работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что,

естественно, надо преодолевать.

Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности

точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами

качестве особых сюжетов уместно выделить следующие:

Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная

работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный

совет : в систему упражнений следует включить задания типа предложенного

ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками

дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками

на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг

(считается, что обход окружности осуществляется в положительном

направлении)?

Рис. 12

Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа

означает,
к

решению

простейших

тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно.

пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и

косинуса как координат точки числовой окружности. При этом

целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с

использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие,

например, задания: вычислить

Решить уравнение

неравенство

и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках

тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

являются не целью обучения, а используются в качестве средства для

усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек

числовой окружности.

Пусть числу

соответствует точка

числовой окружности. Тогда ее абсцисса

называется косинусом числа

и обозначается

А ее ордината называется синусом числа

и обозначается. (рис.13).

Из этого определения сразу можно

установить знаки синуса и косинуса по

четвертям: для синуса

Для косинуса

Посвящать этому целый урок (как это

принято) вряд ли целесообразно. Не следует

заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое

запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся,

>> Числовая окружность

Изучая курс алгебры 7-9-го классов, мы до сих пор имели дело с алгебраическими функциями, т.е. функциями, заданными аналитически выражениями, в записи которых использовались алгебраические операции над числами и переменной (сложение, вычитание, умножение, деление , возведение в степень, извлечение квадратного корня). Но математические модели реальных ситуаций часто бывают связаны с функциями другого типа, не алгебраическими. С первыми представителями класса неалгебраических функций - тригонометрическими функциями - мы познакомимся в этой главе. Более детально изучать тригонометрические функции и другие виды неалгебраических функций (показательные и логарифмические) вам предстоит в старших классах.
Для введения тригонометрических функций нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность, с которой вы до сих пор не встречались, зато хорошо знакомы с числовой прямой. Напомним, что числовая прямая - это прямая, на которой заданы начальная точка О, масштаб (единичный отрезок) и положительное направление. Любое действительное число мы можем сопоставить с точкой на прямой и обратно.

Как по числу х найти на прямой соответствующую точку М? Числу 0 соответствует начальная точка О. Если х > 0, то, двигаясь по прямой из точки 0 в положительном направлении, нужно пройти п^ть длиной х; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Если х < 0, то, двигаясь по прямой из точки О в отрицательном направлении, нужно пройти путь 1*1; конец этого пути и будет искомой точкой М(х). Число х - координата точки М.

А как мы решали обратную задачу, т.е. как искали координату х заданной точки М на числовой прямой? Находили длину отрезка ОМ и брали ее со знаком «+» или * - » в зависимости от того, с какой стороны от точки О расположена на прямой точка М.

Но в реальной жизни двигаться приходится не только по прямой. Довольно часто рассматривается движение по окружности . Вот конкретный пример. Будем считать беговую дорожку стадиона окружностью (на самом деле это, конечно, не окружность, но вспомните, как обычно говорят спортивные комментаторы: «бегун пробежал круг», «до финиша осталось пробежать полкруга» и т.д.), ее длина равна 400 м. Отмечен старт - точка А (рис. 97). Бегун из точки А движется по окружности против часовой стрелки. Где он будет через 200 м? через 400 м? через 800 м? через 1500 м? А где провести финишную черту, если он бежит марафонскую дистанцию 42 км 195 м?

Через 200 м он будет находиться в точке С, диаметрально противоположной точке А (200 м - это длина половины беговой дорожки, т.е. длина половины окружности). Пробежав 400 м (т.е. «один круг», как говорят спортсмены), он вернется в точку А. Пробежав 800 м (т.е. «два круга»), он вновь окажется в точке А. А что такое 1500 м? Это «три круга» (1200 м) плюс еще 300 м, т.е. 3

Беговой дорожки - финиш этой дистанции будет в точке 2) (рис. 97).

Нам осталось разобраться с марафоном. Пробежав 105 кругов, спортсмен преодолеет путь 105-400 = 42 000 м, т.е. 42 км. До финиша остается 195 м, это на 5 м меньше половины длины окружности. Значит, финиш марафонской дистанции будет в точке М, расположенной около точки С (рис. 97).

Замечание. Вы, разумеется, понимаете условность последнего примера. Марафонскую дистанцию по стадиону никто не бегает, максимум составляет 10 000 м, т.е. 25 кругов.

По беговой дорожке стадиона можно пробежать или пройти путь любой длины. Значит, любому положительному числу соответствует какая-то точка - «финиш дистанции». Более того, можно и любому отрицательному числу поставить в соответствие точку окружности: просто надо заставить спортсмена бежать в противоположном направлении, т.е. стартовать из точки А не в направлении против,ав направлении по часовой стрелке. Тогда беговую дорожку стадиона можно рассматривать как числовую окружность.

В принципе, любую окружность можно рассматривать как числовую, но в математике условились использовать для этой цели единичную окружность - окружность с радиусом 1. Это будет наша «беговая дорожка». Длина Ь окружности с радиусом К вычисляется по формуле Длина половины окружности равна n, а длина четверти окружности - АВ, ВС, СБ, DА на рис. 98 - равна Условимся называть дугу АВ первой четвертью единичной окружности, дугу ВС - второй четвертью, дугу СB - третьей четвертью, дугу DА - четвертой четвертью (рис. 98). При этом обычно речь идет об Открытой дуге, т.е. о дуге без ее концов (что-то вроде интервала на числовой прямой).

Определение. Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра (рис. 98). Поставим в соответствие каждому действительному числу I точку окружности по следующему правилу:

1) если x > 0, то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(x);

2) если x < 0, то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь длиной и |; конечная точка М этого пути и будет искомой точкой: М = М(1);

0 поставим в соответствие точку А: А = А(0).

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.
Пример 1. Найти на числовой окружности
Так как первые шесть из заданных семи чисел положительны, то для отыскания соответствующих им точек на окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Учтем при этом, что

Числу 2 соответствует точка А, так как, пройдя по окружности путь длиной 2, т.е. ровно одну окружность, мы снова попадем в начальную точку А Итак, А = А(2).
Что такое Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно пройти целую окружность.

Замечание. Когда мы в 7-8-м классах работали с числовой прямой, то условились, ради краткости, не говорить «точка прямой, соответствующая числу х», а говорить «точка х». Точно такой же договоренности будем придерживаться и при работе с числовой окружностью: «точка f» - это значит, что речь идет о точке окружности, которая соответствует числу
Пример 2.
Разделив первую четверть АВ на три равные части точками К и Р, получим:

Пример 3. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам
Построения будем делать, пользуясь рис. 99. Отложив дугу АМ (ее длина равна -) от точки А пять раз в отрицательном направлении, получим точку!, - середину дуги ВС. Итак,

Замечание. Обратите внимание на некоторую вольность, которую мы позволяем себе в использовании математического языка. Ясно, что дуга АК и д л ина дуги АК - разные вещи (первое понятие - геометрическая фигура, а второе понятие - число). Но обозначается и то и другое одинаково: АК. Более того, если точки А и К соединить отрезком, то и полученный отрезок, и его длина обозначаются так же: АК. Обычно из контекста бывает ясно, какой смысл вкладывается в обозначение (дуга, длина дуги, отрезок или длина отрезка).

Поэтому нам очень пригодятся два макета числовой окружности.

ПЕРВЫЙ МАКЕТ
Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на две равные части, и около каждой из имеющихся восьми точек записаны их «имена» (рис. 100).

ВТОРОЙ МАКЕТ Каждая из четырех четвертей числовой окружности разделена на три равные части, и около каждой из имеющихся двенадцати точек записаны их «имена» (рис. 101).

Учтите, что на обоих макетах мы могли бы заданным точкам присвоить и другие «имена».
Заметили ли вы, что во всех разобранных примерах длины дуг
выражались некоторыми долями числа п? Это неудивительно: ведь длина единичной окружности равна 2п, и если мы окружность или ее четверть делим на равные части, то получаются дуги, длины которых выражаются долями числа и. А как вы думаете, можно ли найти на единичной окружности такую точку Е, что длина дуги АЕ будет равна 1? Давайте прикинем:

Рассуждая аналогичным образом, делаем вывод, что на единичной окружности можно найти и точку Ег, для которой АЕ, = 1, и точку Е2, для которой АЕг = 2, и точку Е3, для которой АЕ3 = 3, и точку Е4, для которой АЕ4 = 4, и точку Еь, для которой АЕЪ = 5, и точку Е6, для которой АЕ6 = 6. На рис. 102 отмечены (приблизительно) соответствующие точки (причем для ориентировки каждая из четвертей единичной окружности разделена черточками на три равные части).

Пример 4. Найти на числовой окружности точку, соответствующую числу -7.

Нам нужно, отправляясь из точки А(0) и двигаясь в отрицательном направлении (в направлении по часовой стрелке), пройти по окружности путь длиной 7. Если пройти одну окружность, то получим (приближенно) 6,28, значит, нужно еще пройти (в том же направлении) путь длиной 0,72. Что же это за дуга? Немного меньше половины четверти окружности, т.е. ее длина меньше числа -.

Итак, начисловой окружности, как и начисловой прямой, каждому действительному числу соответствует одна точка (только, разумеется, на прямой ее найти легче, чем на окружности). Но для прямой верно и обратное: каждая точка соответствует единственному числу. Для числовой окружности такое утверждение неверно, выше мы неоднократно убеждались в этом. Для числовой окружности справедливо следующее утверждение.
Если точка М числовой окружности соответствует числу I, то она соответствует и числу вида I + 2як, где к - любое целое число (к е 2).

В самом деле, 2п - длина числовой (единичной) окружности, а целое число |й| можно рассматривать как количество полных обходов окружности в ту или другую сторону. Если, например, к = 3, то это значит, что мы делаем три обхода окружности в положительном направлении; если к = -7, то это значит, что мы делаем семь (| к | = | -71 = 7) обходов окружности в отрицательном направлении. Но если мы находимся в точке М(1), то, выполнив еще | к | полных обходов окружности, мы снова окажемся в точке М.

А.Г. Мордкович Алгебра 10 класс

Содержание урока конспект урока опорный каркас презентация урока акселеративные методы интерактивные технологии Практика задачи и упражнения самопроверка практикумы, тренинги, кейсы, квесты домашние задания дискуссионные вопросы риторические вопросы от учеников Иллюстрации аудио-, видеоклипы и мультимедиа фотографии, картинки графики, таблицы, схемы юмор, анекдоты, приколы, комиксы притчи, поговорки, кроссворды, цитаты Дополнения рефераты статьи фишки для любознательных шпаргалки учебники основные и дополнительные словарь терминов прочие Совершенствование учебников и уроков исправление ошибок в учебнике обновление фрагмента в учебнике элементы новаторства на уроке замена устаревших знаний новыми Только для учителей идеальные уроки календарный план на год методические рекомендации программы обсуждения Интегрированные уроки

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

Числовая окружность - это единичная окружность, точки которой соответствуют определенным действительным числам.

Единичной окружностью называют окружность радиуса 1.

Общий вид числовой окружности.

1) Ее радиус принимается за единицу измерения.

2) Горизонтальный и вертикальный диаметры делят числовую окружность на четыре четверти. Их соответственно называют первой, второй, третьей и четвертой четвертью.

3) Горизонтальный диаметр обозначают AC, причем А - это крайняя правая точка.
Вертикальный диаметр обозначают BD, причем B - это крайняя верхняя точка.
Соответственно:

первая четверть - это дуга AB

вторая четверть - дуга BC

третья четверть - дуга CD

четвертая четверть - дуга DA

4) Начальная точка числовой окружности - точка А.

Отсчет по числовой окружности может вестись как по часовой стрелке, так и против часовой стрелки.

Отсчет от точки А против часовой стрелки называется положительным направлением .

Отсчет от точки А по часовой стрелке называется отрицательным направлением .

Числовая окружность на координатной плоскости.

Центр радиуса числовой окружности соответствует началу координат (числу 0).

Горизонтальный диаметр соответствует оси x , вертикальный - оси y .

Начальная точка А числовой окружнос ти находится на оси x и имеет координаты (1; 0).

Имена и местонахождение основных точек числовой окружности:

Как запомнить имена числовой окружности.

Есть несколько простых закономерностей, которые помогут вам легко запомнить основные имена числовой окружности.

Перед тем как начать, напомним: отсчет ведется в положительном направлении, то есть от точки А (2π) против часовой стрелки.

1) Начнем с крайних точек на осях координат.

Начальная точка - это 2π (крайняя правая точка на оси х , равная 1).

Как вы знаете, 2π - это длина окружности. Значит, половина окружности - это 1π или π. Ось х делит окружность как раз пополам. Соответственно, крайняя левая точка на оси х , равная -1, называется π.

Крайняя верхняя точка на оси у , равная 1, делит верхнюю полуокружность пополам. Значит, если полуокружность - это π, то половина полуокружности - это π/2.

Одновременно π/2 - это и четверть окружности. Отсчитаем три таких четверти от первой до третьей - и мы придем в крайнюю нижнюю точку на оси у , равной -1. Но если она включает три четверти - значит имя ей 3π/2.

2) Теперь перейдем к остальным точкам. Обратите внимание: все противоположные точки имеют одинаковый знаменатель - причем это противоположные точки и относительно оси у , и относительно центра осей, и относительно оси х . Это нам и поможет знать их значения точек без зубрежки.

Надо запомнить лишь значение точек первой четверти: π/6, π/4 и π/3. И тогда мы «увидим» некоторые закономерности:

- Относительно оси у в точках второй четверти, противоположных точкам первой четверти, числа в числителях на 1 меньше величины знаменателей. К примеру, возьмем точку π/6. Противоположная ей точка относительно оси у тоже в знаменателе имеет 6, а в числителе 5 (на 1 меньше). То есть имя этой точки: 5π/6. Точка, противоположная π/4 тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе 3 (на 1 меньше, чем 4) - то есть это точка 3π/4.
Точка, противоположная π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе на 1 меньше: 2π/3.

- Относительно центра осей координат все наоборот: числа в числителях противоположных точек (в третьей четверти) на 1 больше значения знаменателей. Возьмем опять точку π/6. Противоположная ей относительно центра точка тоже имеет в знаменателе 6, а в числителе число на 1 больше - то есть это 7π/6.
Точка, противоположная точке π/4, тоже имеет в знаменателе 4, а в числителе число на 1 больше: 5π/4.
Точка, противоположная точке π/3, тоже имеет в знаменателе 3, а в числителе число на 1 больше: 4π/3.

- Относительно оси х (четвертая четверть) дело посложнее. Здесь надо к величине знаменателя прибавить число, которое на 1 меньше - эта сумма и будет равна числовой части числителя противоположной точки. Начнем опять с π/6. Прибавим к величине знаменателя, равной 6, число, которое на 1 меньше этого числа - то есть 5. Получаем: 6 + 5 = 11. Значит, противоположная ей относительно оси х точка будет иметь в знаменателе 6, а в числителе 11 - то есть 11π/6.

Точка π/4. Прибавляем к величине знаменателя число на 1 меньше: 4 + 3 = 7. Значит, противоположная ей относительно оси х точка имеет в знаменателе 4, а в числителе 7 - то есть 7π/4.
Точка π/3. Знаменатель равен 3. Прибавляем к 3 на единицу меньшее число - то есть 2. Получаем 5. Значит, противоположная ей точка имеет в числителе 5 - и это точка 5π/3.

3) Еще одна закономерность для точек середин четвертей. Понятно, что их знаменатель равен 4. Обратим внимание на числители. Числитель середины первой четверти - это 1π (но 1 не принято писать). Числитель середины второй четверти - это 3π. Числитель середины третьей четверти - это 5π. Числитель середины четвертой четверти - это 7π. Получается, что в числителях середин четвертей - четыре первых нечетных числа в порядке их возрастания:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
Это тоже очень просто. Поскольку середины всех четвертей имеют в знаменателе 4, то мы уже знаем их полные имена: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4.

Особенности числовой окружности. Сравнение с числовой прямой.

Как вы знаете, на числовой прямой каждая точка соответствует единственному числу. К примеру, если точка А на прямой равна 3, то она уже не может равняться никакому другому числу.

На числовой окружности все иначе, поскольку это окружность. К примеру, чтобы из точки А окружности прийти к точке M, можно сделать это, как на прямой (только пройдя дугу), а можно и обогнуть целый круг, а потом уже прийти к точке M. Вывод:

Пусть точка M равна какому-то числу t. Как мы знаем, длина окружности равна 2π. Значит, точку окружности t мы можем записать двояко: t или t + 2π. Это равнозначные величины.
То есть t = t + 2π. Разница лишь в том, что в первом случае вы пришли к точке M сразу, не делая круга, а во втором случае вы совершили круг, но в итоге оказались в той же точке M. Таких кругов можно сделать и два, и три, и двести. Если обозначить количество кругов буквой n , то получим новое выражение:
t = t + 2πn .

Отсюда формула: