Понятие неравенства, связанные определения. Простейшие неравенства Открытый числовой луч

Бесконечность и минус бесконечность в любом неравенстве всегда записываются с круглой скобкой.

Если обе скобки в записи круглые, числовой промежуток называется открытым. Концы открытого промежутка не являются решением неравенства и не включаются в ответ.

Конец промежутка с квадратной скобкой включается в ответ.

Запись промежутка всегда ведётся слева направо, от меньшего — к большему.

Решение простейших линейных неравенств схематически можно представить в виде схемы:

Рассмотрим примеры решения простейших линейных неравенств.

Title="Rendered by QuickLaTeX.com">

Читают: «икс больше двенадцати».

Решение :

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 12 изображаем выколотой точкой.

К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: —>. Стрелочка указывает, что от 12 штриховка уходит вправо, к плюс бесконечности:

Так как неравенство строгое и точка x=12 выколотая, в ответ 12 записываем с круглой скобкой.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от двенадцати до бесконечности».

Читают: «икс больше минус трёх целых семи десятых»

Решение :

Неравенство нестрогое, поэтому -3,7 на числовой прямой изображаем закрашенной точкой. Мысленно пририсовываем к знаку неравенства стрелочку: —≥. Стрелочка направлена вправо, поэтому штриховка от -3,7 идёт вправо, на бесконечность:

Так как неравенство нестрогое и точка x= -3,7 закрашенная, -3,7 в ответ записываем с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус трёх целых семи десятых до бесконечности, включая минус три целых семь десятых».

Читают: «икс меньше нуля целых двух десятых» (или «икс меньше чем нуль целых две десятых»).

Решение :

Неравенство строгое, 0,2 на числовой прямой изображаем выколотой точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: <—. Стрелочка подсказывает, что от 0,2 штриховка уходит влево, к минус бесконечности:

Неравенство строгое, точка выколотая, 0,2 — с круглой скобкой.

Читают: «икс принадлежит открытому промежутку от минус бесконечности до нуля целых двух десятых».

Читают: «икс меньше либо равен пяти».

Решение :

Неравенство нестрогое, на числовой прямой 5 изображаем закрашенной точкой. К знаку неравенства мысленно пририсовываем стрелочку: ≤—. Направление штриховки — влево, к минус бесконечности:

Неравенство нестрогое, точка закрашенная, 5 — с квадратной скобкой.

Читают: «икс принадлежит промежутку от минус бесконечности до пяти, включая пять».

С неравенствами мы познакомились в школе, где применяем числовые неравенства. В данной статье рассмотрим свойства числовых неравенств, не которых строятся принципы работы с ними.

Свойства неравенств аналогичны свойствам числовых неравенств. Будут рассмотрены свойства, его обоснования, приведем примеры.

Числовые неравенства: определение, примеры

При введении понятия неравенства имеем, что их определение производится по виду записи. Имеются алгебраические выражения, которые имеют знаки ≠ , < , > , ≤ , ≥ . Дадим определение.

Определение 1

Числовым неравенством называют неравенство, в записи которого обе стороны имеют числа и числовые выражения.

Числовые неравенства рассматриваем еще в школе после изучения натуральных чисел. Такие операции сравнения изучаются поэтапно. Первоначальные имею вид 1 < 5 , 5 + 7 > 3 . После чего правила дополняются, а неравенства усложняются, тогда получаем неравенства вида 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2 < 0 .

Свойства числовых неравенств

Чтобы правильно работать с неравенствами, необходимо использовать свойства числовых неравенств. Они идут из понятия неравенства. Такое понятие задается при помощи утверждения, которое обозначается как «больше» или «меньше».

Определение 2

• число a больше b , когда разность a - b – положительное число;
• число a меньше b , когда разность a - b – отрицательное число;
• число a равно b , когда разность a - b равняется нулю.

Определение используется при решении неравенств с отношениями «меньше или равно», «больше или равно». Получаем, что

Определение 3

• a больше или равно b , когда a - b является неотрицательным числом;
• a меньше или равно b , когда a - b является неположительным числом.

Определения будут использованы при доказательствах свойств числовых неравенств.

Основные свойства

Рассмотрим 3 основные неравенства. Использование знаков < и > характерно при свойствах:

Определение 4

• антирефлексивности , которое говорит о том, что любое число a из неравенств a < a и a > a считается неверным. Известно, что для любого a имеет место быть равенство a − a = 0 , отсюда получаем, что а = а. Значит, a < a и a > a неверно. Например, 3 < 3 и - 4 14 15 > - 4 14 15 являются неверными.
• ассиметричности . Когда числа a и b являются такими, что a < b , то b > a , и если a > b , то b < a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b > a . Аналогичным образом доказывается и вторая его часть.

Пример 1

Например, при заданном неравенстве 5 < 11 имеем, что 11 > 5 , значит его числовое неравенство − 0 , 27 > − 1 , 3 перепишется в виде − 1 , 3 < − 0 , 27 .

Перед тем, как перейти к следующему свойству, заметим, что при помощи ассиметричности можно читать неравенство справа налево и наоборот. Таким образом, числовое неравенство можно изменять и менять местами.

Определение 5

• транзитивности . Когда числа a , b , c соответствуют условию a < b и b < c , тогда a < c , и если a > b и b > c , тогда a > c .

Доказательство 1

Первое утверждение можно доказать. Условие a < b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Аналогичным образом доказывается вторая часть со свойством транизитивности.

Пример 2

Разобранное свойство рассматриваем на примере неравенств − 1 < 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 > 1 8 и 1 8 > 1 32 следует, что 1 2 > 1 32 .

Числовые неравенства, которые записываются с помощью нестрогих знаков неравенства, обладают свойством рефлексивности, потому как a ≤ a и a ≥ a могут иметь случай равенства а = а. им присуща ассиметричность и транзитивность.

Определение 6

Неравенства, имеющие в записи знаки ≤ и ≥ , имеют свойства:

• рефлексивности a ≥ a и a ≤ a считаются верными неравенствами;
• антисимметричности, когда a ≤ b , тогда b ≥ a , и если a ≥ b , тогда b ≤ a .
• транзитивности, когда a ≤ b и b ≤ c , тогда a ≤ c , а также, если a ≥ b и b ≥ c , то тогда a ≥ c .

Доказательство производится аналогичным образом.

Другие важные свойства числовых неравенств

Для дополнения основных свойств неравенств используются результаты, которые имеют практическое значение. Применяется принцип метода оценка значений выражений, на которых и базируются принципы решения неравенств.

Данный пункт раскрывает свойства неравенств для одного знака строгого неарвенства. Аналогично производится для нестрогих. Рассмотрим на примере, сформулировав неравенство если a < b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• если a > b , то a + c > b + c ;
• если a ≤ b , то a + c ≤ b + c ;
• если a ≥ b , то a + c ≥ b + c .

Для удобного представления дадим соответствующее утверждение, которое записывается и приводятся доказательства, показываются примеры использования.

Определение 7

Прибавление или вычисления числа к обеим сторонам. Иначе говоря, когда a и b соответствуют неравенству a < b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Доказательство 2

Чтобы доказать это, необходимо, чтобы уравнение соответствовало условию a < b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Пример 3

К примеру, если обе части неравенства 7 > 3 увеличиваем на 15 , тогда получаем, что 7 + 15 > 3 + 15 . Это равно 22 > 18 .

Определение 8

Когда обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же число c , получим верное неравенство. Если взять число c отрицательным, то знак поменяется на противоположный. Иначе это выглядит так: для a и b неравенство выполняется, когда a < b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c > b · c .

Доказательство 3

Когда имеется случай c > 0 , необходимо составить разность левой и правой частей неравенства. Тогда получаем, что a · c − b · c = (a − b) · c . Из условия a < b , то a − b < 0 , а c > 0 , тогда произведение (a − b) · c будет отрицательным. Отсюда следует, что a · c − b · c < 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

При доказательстве деление на целое число можно заменить умножением на обратное заданному, то есть 1 c . Рассмотрим пример свойства на определенных числах.

Пример 4

Разрешено обе части неравенства 4 < 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Теперь сформулируем вытекающие два результата, которые используются при решении неравенств:

• Следствие 1. При смене знаков частей числового неравенства меняется сам знак неравенства на противоположный, как a < b , как − a > − b . Это соответствует правилу умножения обеих частей на - 1 . Оно применимо для перехода. Например, − 6 < − 2 , то 6 > 2 .
• Следствие 2. При замене обратными числами частей числового неравенства на противоположный, меняется и его знак, причем неравенство останется верным. Отсюда имеем, что a и b являются положительными числами, a < b , 1 a > 1 b .

При делении обеих частей неравенства a < b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 > 3 2 имеем, что 1 5 < 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a > 1 b может получиться неверным.

Пример 5

Например, − 2 < 3 , однако, - 1 2 > 1 3 являются неверным равенством.

Все пункты объединяет то, что действия над частями неравенства дают верное неравенство на выходе. Рассмотрим свойства, где изначально имеется несколько числовых неравенств, а его результат получим при сложении или умножении его частей.

Определение 9

Когда числа a , b , c , d справедливы для неравенств a < b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Доказательство 4

Докажем, что (a + c) − (b + d) является отрицательным числом, тогда получим, что a + c < b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Свойство применяется для почленного сложения трех, четырех и более числовых неравенств. Числам a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n справедливы неравенства a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Пример 6

Например, при данных трех числовых неравенствах одного знака − 5 < − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Определение 10

Почленное умножение обеих частей дает в результате положительное число. При a < b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Доказательство 5

Чтобы доказать это, необходимо обе части неравенства a < b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Это свойство считается справедливым для количества чисел, на которые необходимо умножить обе части неравенства. Тогда a 1 , a 2 , … , a n и b 1 , b 2 , … , b n являются положительные числами, где a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 · a 2 · … · a n < b 1 · b 2 · … · b n .

Заметим, что при записи неравенств имеются неположительные числа, тогда их почленное умножение приводит к неверным неравенствам.

Пример 7

К примеру, неравенство 1 < 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Следствие: Почленное умножение неравенств a < b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Свойства числовых неравенств

Рассмотрим ниже свойства числовых неравенств.

1. a < a , a > a - неверные неравенства,
   a ≤ a , a ≥ a - верные неравенства.
2. Если a < b , то b > a - антисимметричность.
3. Если a < b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Если a < b и c - любоое число, то a + с < b + c .
5. Если a < b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Если a < b и c - отрицательное число, то a · c > b · c .

Следствие 1: если a < b , то - a > - b .

Следствие 2: если a и b - положительные числа и a < b , то 1 a > 1 b .

1. Если a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Если a 1 , a 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n - положительные числа и a 1 < b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Cледствие 1: если a < b , a и b - положительные числа, то a n < b n .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Определения и свойства

Неравенством мы будем называть два числовых или буквенных выражения, соединенных знаками >, <, ≥, ≤ или ≠.

Пример: 5 > 3

Данное неравенство говорит о том, что число 5 больше, чем число 3. Острый угол знака неравенства должен быть направлен в сторону меньшего числа. Это неравенство является верным, поскольку 5 больше, чем 3.

Если на левую чашу весов положить арбуз массой 5 кг, а на правую — арбуз массой 3 кг, то левая чаша перевесит правую, и экран весов покажет, что левая чаша тяжелее правой:

Если 5 > 3 , то 3 < 5 . То есть левую и правую часть неравенства можно поменять местами, изменив знак неравенства на противоположный. В ситуации с весами: большой арбуз можно положить на правую чашу, а маленький арбуз на левую. Тогда правая чаша перевесит левую, и экран покажет знак <

Если в неравенстве 5 > 3 , не трогая левую и правую часть, поменять знак на < , то получится неравенство 5 < 3 . Это неравенство не является верным, поскольку число 3 не может быть больше числа 5.

Числа, которые располагаются в левой и правой части неравенства, будем называть членами этого неравенства. Например, в неравенстве 5 > 3 членами являются числа 5 и 3.

Рассмотрим некоторые важные свойства для неравенства 5 > 3 .
В будущем эти свойства будут работать и для других неравенств.

Свойство 1.

Если к левой и правой части неравенства 5 > 3 прибавить или вычесть одно и то же число, то знак неравенства не изменится.

Например, прибавим к обеим частям неравенства число 4. Тогда получим:

Теперь попробуем вычесть из обеих частей неравенства 5 > 3 какое-нибудь число, скажем число 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Из данного свойства следует, что любой член неравенства можно перенести из одной части в другую часть, изменив знак этого члена. Знак неравенства при этом не изменится.

Например, перенесём в неравенстве 5 > 3 , член 5 из левой части в правую часть, изменив знак этого члена. После переноса члена 5 в правую часть, в левой части ничего не останется, поэтому запишем там 0

0 > 3 − 5

0 > −2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 2.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же положительное число, то знак неравенства не изменится.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь положительное число, скажем на число 2. Тогда получим:

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь число. Разделим их на 2

Видим, что левая часть по-прежнему больше правой.

Свойство 3.

Если обе части неравенства умножить или разделить на одно и то же отрицательное число , то знак неравенства изменится на противоположный.

Например, умножим обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число, скажем на число −2 . Тогда получим:

Теперь попробуем разделить обе части неравенства 5 > 3 на какое-нибудь отрицательное число. Давайте разделим их на −1

Видим, что левая часть стала меньше правой. То есть знак неравенства изменился на противоположный.

Само по себе неравенство можно понимать, как некоторое условие. Если условие выполняется, то неравенство является верным. И наоборот, если условие не выполняется, то неравенство не верно.

Например, чтобы ответить на вопрос является ли верным неравенство 7 > 3 , нужно проверить выполняется ли условие «больше ли 7, чем 3» . Мы знаем, что число 7 больше, чем число 3. То есть условие выполнено, а значит и неравенство 7 > 3 верно.

Неравенство 8 < 6 не является верным, поскольку не выполняется условие «8 меньше, чем 6».

Другим способом определения верности неравенства является составление разности из левой и правой части данного неравенства. Если разность положительна, то левая часть больше правой части. И наоборот, если разность отрицательна, то левая часть меньше правой части. Более точно это правило выглядит следующим образом:

Число a больше числа b , если разность a − b положительна. Число a меньше числа b , если разность a − b отрицательна.

Например, мы выяснили, что неравенство 7 > 3 является верным, поскольку число 7 больше, чем число 3. Докажем это с помощью правила, приведённого выше.

Составим разность из членов 7 и 3. Тогда получим 7 − 3 = 4 . Согласно правилу, число 7 будет больше числа 3, если разность 7 − 3 окажется положительной. У нас она равна 4, то есть разность положительна. А значит число 7 больше числа 3.

Проверим с помощью разности верно ли неравенство 3 < 4 . Составим разность, получим 3 − 4 = −1 . Согласно правилу, число 3 будет меньше числа 4, если разность 3 − 4 окажется отрицательной. У нас она равна −1, то есть разность отрицательна. А значит число 3 меньше числа 4.

Проверим верно ли неравенство 5 > 8 . Составим разность, получим 5 − 8 = −3 . Согласно правилу, число 5 будет больше числа 8, если разность 5 − 8 окажется положительной. У нас разность равна −3, то есть она не является положительной. А значит число 5 не больше числа 3. Иными словами, неравенство 5 > 8 не является верным.

Строгие и нестрогие неравенства

Неравенства, содержащие знаки >, < называют строгими . А неравенства, содержащие знаки ≥, ≤ называют нестрогими .

Примеры строгих неравенства мы рассматривали ранее. Таковыми являются неравенства 5 > 3 , 7 < 9 .

Нестрогим, например, является неравенство 2 ≤ 5 . Данное неравенство читают следующим образом: «2 меньше или равно 5» .

Запись 2 ≤ 5 является неполной. Полная запись этого неравенства выглядит следующим образом:

2 < 5 или 2 = 5

Тогда становится очевидным, что неравенство 2 ≤ 5 состоит из двух условий: «два меньше пять» и «два равно пять» .

Нестрогое неравенство верно в том случае, если выполняется хотя бы одно из его условий. В нашем примере верным является условие «2 меньше 5» . Значит и само неравенство 2 ≤ 5 верно.

Пример 2 . Неравенство 2 ≤ 2 является верным, поскольку выполняется одно из его условий, а именно 2 = 2.

Пример 3 . Неравенство 5 ≤ 2 не является верным, поскольку не выполняется ни одно из его условий: ни 5 < 2 ни 5 = 2 .

Двойное неравенство

Число 3 больше, чем число 2 и меньше, чем число 4 . В виде неравенства это высказывание можно записать так: 2 < 3 < 4 . Такое неравенство называют двойным.

Двойное неравенство может содержать знаки нестрогих неравенств. К примеру, если число 5 больше или равно, чем число 2, и меньше или равно, чем число 7 , то можно записать, что 2 ≤ 5 ≤ 7

Чтобы правильно записать двойное неравенство, сначала записывают член находящийся в середине, затем член находящийся слева, затем член находящийся справа.

Например, запишем, что число 6 больше, чем число 4, и меньше, чем число 9.

Сначала записываем 6

Слева записываем, что это число больше, чем число 4

Справа записываем, что число 6 меньше, чем число 9

Неравенство с переменной

Неравенство, как и равенство может содержать переменную.

Например, неравенство x > 2 содержит переменную x . Обычно такое неравенство нужно решить, то есть выяснить при каких значениях x данное неравенство становится верным.

Решить неравенство означает найти такие значения переменной x , при которых данное неравенство становится верным.

Значение переменной, при котором неравенство становится верным, называется решением неравенства .

Неравенство x > 2 становится верным при x = 3, x = 4, x = 5, x = 6 и так далее до бесконечности. Видим, что это неравенство имеет не одно решение, а множество решений.

Другими словами, решением неравенства x > 2 является множество всех чисел, бóльших 2. При этих числах неравенство будет верным. Примеры:

3 > 2

4 > 2

5 > 2

Число 2, располагающееся в правой части неравенства x > 2 , будем называть границей данного неравенства. В зависимости от знака неравенства, граница может принадлежать множеству решений неравенства либо не принадлежать ему.

В нашем примере граница неравенства не принадлежит множеству решений, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x > 2 получается не верное неравенство 2 > 2 . Число 2 не может быть больше самого себя, поскольку оно равно самому себе (2 = 2) .

Неравенство x > 2 является строгим. Его можно прочитать так: «x строго больше 2″ . То есть все значения, принимаемые переменной x должны быть строго больше 2. В противном случае, неравенство верным не будет.

Если бы нам было дано нестрогое неравенство x ≥ 2 , то решениями данного неравенства были бы все числа, которые больше 2, в том числе и само число 2. В этом неравенстве граница 2 принадлежит множеству решений неравенства, поскольку при подстановке числа 2 в неравенство x ≥ 2 получается верное неравенство 2 ≥ 2 . Ранее было сказано, что нестрогое неравенство является верным, если выполняется хотя бы одно из его условий. В неравенстве 2 ≥ 2 выполняется условие 2 = 2 , поэтому и само неравенство 2 ≥ 2 верно.

Как решать неравенства

Процесс решения неравенств во многом схож с процессом решения уравнений. При решении неравенств мы будем применять свойства, которые изучили вначале данного урока, такие как: перенос слагаемых из одной части неравенства в другую часть, меняя знак; умножение (или деление) обеих частей неравенства на одно и то же число.

Эти свойства позволяют получить неравенство, которое равносильно исходному. Равносильными называют неравенства, решения которых совпадают.

Решая уравнения мы выполняли тождественные преобразования до тех пор, пока в левой части уравнения не оставалась переменная, а в правой части значение этой переменной (например: x = 2, x = 5 ). Иными словами, заменяли исходное уравнение на равносильное ему уравнение до тех пор, пока не получалось уравнение вида x = a , где a значение переменной x . В зависимости от уравнения, корней могло быть один, два, бесконечное множество, либо не быть совсем.

А при решении неравенств мы будем заменять исходное неравенство на равносильное ему неравенство до тех пор, пока в левой части не останется переменная этого неравенства, а в правой части его граница.

Пример 1 . Решить неравенство 2x > 6

Итак, нужно найти такие значения x , при подстановке которых в 2x > 6 получится верное неравенство.

Вначале данного урока было сказано, что если обе части неравенства разделить на какое-нибудь положительное число, то знак неравенства не изменится. Если применить это свойство к неравенству, содержащему переменную, то получится неравенство равносильное исходному.

В нашем случае, если мы разделим обе части неравенства 2x > 6 на какое-нибудь положительное число, то получится неравенство, которое равносильно исходному неравенству 2x > 6.

Итак, разделим обе части неравенства на 2.

В левой части осталась переменная x , а правая часть стала равна 3. Получилось равносильное неравенство x > 3. На этом решение завершается, поскольку в левой части осталась переменная, а в правой части граница неравенства.

Теперь можно сделать вывод, что решениями неравенства x > 3 являются все числа, которые больше 3. Это числа 4, 5, 6, 7 и так далее до бесконечности. При этих значениях неравенство x > 3 будет верным.

4 > 3

5 > 3

6 > 3

7 > 3

Отметим, что неравенство x > 3 является строгим. «Переменная x строго больше трёх».

А поскольку неравенство x > 3 равносильно исходному неравенству 2x > 6 , то их решения будут совпадать. Иначе говоря, значения, которые подходят неравенству x > 3, будут подходить и неравенству 2x > 6. Покажем это.

Возьмём, например, число 5 и подставим его сначала в полученное нами равносильное неравенство x > 3 , а потом в исходное 2x > 6 .

Видим, что в обоих случаях получается верное неравенство.

После того, как неравенство решено, ответ нужно записать в виде так называемого числового промежутка следующим образом:

В этом выражении говорится, что значения, принимаемые переменной x , принадлежат числовому промежутку от трёх до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа, начиная от трёх до плюс бесконечности являются решениями неравенства x > 3 . Знак ∞ в математике означает бесконечность.

Учитывая, что понятие числового промежутка очень важно, остановимся на нём подробнее.

Числовые промежутки

Числовым промежутком называют множество чисел на координатной прямой, которое может быть описано с помощью неравенства.

Допустим, мы хотим изобразить на координатной прямой множество чисел от 2 до 8. Для этого сначала на координатной прямой отмечаем точки с координатами 2 и 8, а затем выделяем штрихами ту область, которая располагается между координатами 2 и 8. Эти штрихи будут играть роль чисел, располагающихся между числами 2 и 8

Числа 2 и 8 назовём границами числового промежутка. Рисуя числовой промежуток, точки для его границ изображают не в виде точек как таковых, а в виде кружков, которые можно разглядеть.

Границы могут принадлежать числовому промежутку либо не принадлежать ему.

Если границы не принадлежат числовому промежутку, то они изображаются на координатной прямой в виде пустых кружков .

Если границы принадлежат числовому промежутку, то кружки необходимо закрасить .

На нашем рисунке кружки были оставлены пустыми. Это означало, что границы 2 и 8 не принадлежат числовому промежутку. Значит в наш числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, кроме чисел 2 и 8.

Если мы хотим включить границы 2 и 8 в числовой промежуток, то кружки необходимо закрасить:

В данном случае в числовой промежуток будут входить все числа от 2 до 8, включая числа 2 и 8.

На письме числовой промежуток обозначается указанием его границ с помощью круглых или квадратных скобок.

Если границы не принадлежат круглыми скобками .

Если границы принадлежат числовому промежутку, то границы обрамляются квадратными скобками .

На рисунке представлено два числовых промежутка от 2 до 8 с соответствующими обозначениями:

На первом рисунке числовой промежуток обозначен с помощью круглых скобок , поскольку границы 2 и 8 не принадлежат этому числовому промежутку.

На втором рисунке числовой промежуток обозначен с помощью квадратных скобок , поскольку границы 2 и 8 принадлежат этому числовому промежутку.

С помощью числовых промежутков можно записывать ответы к неравенствам. Например, ответ к двойному неравенству 2 ≤ x ≤ 8 записывается так:

x ∈ [ 2 ; 8 ]

То есть сначала записывают переменную, входящую в неравенство, затем с помощью знака принадлежности ∈ указывают к какому числовому промежутку принадлежат значения этой переменной. В данном случае выражение x ∈ [ 2 ; 8 ] указывает на то, что переменная x, входящая в неравенство 2 ≤ x ≤ 8, принимает все значения в промежутке от 2 до 8 включительно. При этих значениях неравенство будет верным.

Обратим внимание на то, что ответ записан с помощью квадратных скобок, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 , а именно числа 2 и 8 принадлежат множеству решений этого неравенства.

Множество решений неравенства 2 ≤ x ≤ 8 также можно изобразить с помощью координатной прямой:

Здесь границы числового промежутка 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 ≤ x x 2 ≤ x ≤ 8 .

В некоторых источниках границы, которые не принадлежат числовому промежутку, называют открытыми .

Открытыми их называют по той причине, что числовой промежуток остаётся открытым из-за того, что его границы не принадлежат этому числовому промежутку. Пустой кружок на координатной прямой математики называют выколотой точкой . Выколоть точку значит исключить её из числового промежутка или из множества решений неравенства.

А в случае, когда границы принадлежат числовому промежутку, их называют закрытыми (или замкнутыми), поскольку такие границы закрывают (замыкают) собой числовой промежуток. Закрашенный кружок на координатной прямой также говорит о закрытости границ.

Существуют разновидности числовых промежутков. Рассмотрим каждый из них.

Числовой луч

Числовым лучом x ≥ a , где a x — решение неравенства.

Пусть a = 3 . Тогда неравенство x ≥ a примет вид x ≥ 3 . Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, включая само число 3.

Изобразим числовой луч, заданный неравенством x ≥ 3, на координатной прямой. Для этого отметим на ней точку с координатой 3, а всю оставшуюся справа от неё область выделим штрихами. Выделяется именно правая часть, поскольку решениями неравенства x ≥ 3 являются числа, бóльшие 3. А бóльшие числа на координатной прямой располагаются правее

x ≥ 3 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x ≥ 3 .

Точка 3, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≥ 3 принадлежит множеству его решений.

На письме числовой луч, заданный неравенством x ≥ a,

[ a ; +∞)

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница числового луча принадлежит ему, а другая нет, поскольку бесконечность сама по себе границ не имеет и подразумевается, что по ту сторону нет числа, замыкающего этот числовой луч.

Учитывая то, что одна из границ числового луча закрыта, данный промежуток часто называют закрытым числовым лучом .

Запишем ответ к неравенству x ≥ 3 с помощью обозначения числового луча. У нас переменная a равна 3

x ∈ [ 3 ; +∞)

В этом выражении говорится, что переменная x , входящая в неравенство x ≥ 3, принимает все значения от 3 до плюс бесконечности.

Иначе говоря, все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x ≥ 3 . Граница 3 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≥ 3 является нестрогим.

Закрытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x ≤ a . Решениями неравенства x ≤ a a , включая само число a .

К примеру, если a x ≤ 2 . На координатной прямой граница 2 будет изображаться закрашенным кружком, а вся область, находящаяся слева , будет выделена штрихами. В этот раз выделяется левая часть, поскольку решениями неравенства x ≤ 2 являются числа, меньшие 2. А меньшие числа на координатной прямой располагаются левее

x ≤ 2 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x ≤ 2 .

Точка 2, являющаяся границей числового луча, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку граница неравенства x ≤ 2 принадлежит множеству его решений.

Запишем ответ к неравенству x ≤ 2 с помощью обозначения числового луча:

x ∈ (−∞ ; 2 ]

x ≤ 2. Граница 2 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ 2 является нестрогим.

Открытый числовой луч

Открытым числовым лучом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x > a , где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства.

Открытый числовой луч во многом похож на закрытый числовой луч. Различие в том, что граница a не принадлежит промежутку, как и граница неравенства x > a не принадлежит множеству его решений.

Пусть a = 3 . Тогда неравенство примет вид x > 3 . Решениями данного неравенства являются все числа, которые больше 3, за исключением числа 3

На координатной прямой граница открытого числового луча, заданного неравенством x > 3, будет изображаться в виде пустого кружка. Вся область, находящаяся справа, будет выделена штрихами:

Здесь точка 3 соответствует границе неравенства x > 3 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x > 3 . Точка 3, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x > 3 не принадлежит множеству его решений.

x > a , обозначается следующим образом:

(a ; +∞)

Круглые скобки указывают на то, что границы открытого числового луча не принадлежат ему.

Запишем ответ к неравенству x > 3 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈ (3 ; +∞)

В этом выражении говорится, что все числа от 3 до плюс бесконечности, являются решениями неравенства x > 3 . Граница 3 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x > 3 является строгим.

Открытым числовым лучом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством x < a , где a — граница данного неравенства, x — решение неравенства. Решениями неравенства x < a являются все числа, которые меньше a , исключая число a .

К примеру, если a = 2 , то неравенство примет вид x < 2 . На координатной прямой граница 2 будет изображаться пустым кружком, а вся область, находящаяся слева, будет выделена штрихами:

Здесь точка 2 соответствует границе неравенства x < 2 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства x < 2 . Точка 2, являющаяся границей открытого числового луча, изображена в виде пустого кружка, поскольку граница неравенства x < 2 не принадлежит множеству его решений.

На письме открытый числовой луч, заданный неравенством x < a , обозначается следующим образом:

(−∞ ; a )

Запишем ответ к неравенству x < 2 с помощью обозначения открытого числового луча:

x ∈ (−∞ ; 2)

В этом выражении говорится, что все числа от минус бесконечности до 2, являются решениями неравенства x < 2. Граница 2 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x < 2 является строгим.

Отрезок

Отрезком a ≤ x ≤ b , где a и b x — решение неравенства.

Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a ≤ x ≤ b примет вид 2 ≤ x ≤ 8 . Решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 являются все числа, которые больше 2 и меньше 8. При этом границы неравенства 2 и 8 принадлежат множеству его решений, поскольку неравенство 2 ≤ x ≤ 8 является нестрогим.

Изобразим отрезок, заданный двойным неравенством 2 ≤ x ≤ 8 на координатной прямой. Для этого отметим на ней точки с координатами 2 и 8, а располагающуюся между ними область выделим штрихами:

≤ x ≤ 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x x ≤ 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами отрезка, изображены в виде закрашенных кружков, поскольку границы неравенства 2 ≤ x ≤ 8 принадлежат множеству его решений.

На письме отрезок, заданный неравенством a ≤ x ≤ b обозначается следующим образом:

[ a ; b ]

Квадратные скобки с обеих сторон указывают на то, что границы отрезка принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x

x ∈ [ 2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8 включительно, являются решениями неравенства 2 ≤ x ≤ 8 .

Интервал

Интервалом называют числовой промежуток, который задаётся двойным неравенством a < x < b , где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a < x < b примет вид 2 < x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая числа 2 и 8.

Изобразим интервал на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x < x < 8 . Точки 2 и 8, являющиеся границами интервала, изображены в виде пустых кружков, поскольку границы неравенства 2 < x < 8 не принадлежат множеству его решений.

На письме интервал, заданный неравенством a < x < b, обозначается следующим образом:

(a ; b )

Круглые скобки с обеих сторон указывают на то, что границы интервала не принадлежат ему. Запишем ответ к неравенству 2 < x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8)

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая числа 2 и 8, являются решениями неравенства 2 < x < 8 .

Полуинтервал

Полуинтервалом называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a ≤ x < b , где a и b — границы данного неравенства, x — решение неравенства.

Полуинтервалом также называют числовой промежуток, который задаётся неравенством a < x ≤ b .

Одна из границ полуинтервала принадлежит ему. Отсюда и название этого числового промежутка.

В ситуации с полуинтервалом a ≤ x < b ему (полуинтервалу) принадлежит левая граница.

А в ситуации с полуинтервалом a < x ≤ b ему принадлежит правая граница.

Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a ≤ x < b примет вид 2 ≤ x < 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, включая число 2, но исключая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 ≤ x < 8 на координатной прямой:

x < 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8 .

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку левая граница неравенства 2 ≤ x < 8 принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку правая граница неравенства 2 ≤ x < 8 не принадлежит множеству его решений.

a ≤ x < b, обозначается следующим образом:

[ a ; b )

Видно, что с одной стороны граница обрамлена квадратной скобкой, а с другой круглой. Это связано с тем, что одна граница полуинтервала принадлежит ему, а другая нет. Запишем ответ к неравенству 2 ≤ x < 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ [ 2 ; 8)

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, включая число 2, но исключая число 8, являются решениями неравенства 2 ≤ x < 8 .

Аналогично на координатной прямой можно изобразить полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b . Пусть a = 2 , b = 8 . Тогда неравенство a < x ≤ b примет вид 2 < x ≤ 8 . Решениями этого двойного неравенства являются все числа, которые больше 2 и меньше 8, исключая число 2, но включая число 8.

Изобразим полуинтервал 2 < x ≤ 8 на координатной прямой:

Здесь точки 2 и 8 соответствуют границам неравенства 2 < x ≤ 8 , а выделенная штрихами область соответствует множеству значений x , которые являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8 .

Точка 2, являющаяся левой границей полуинтервала, изображена в виде пустого кружка, поскольку левая граница неравенства 2 < x ≤ 8 не принадлежит множеству его решений.

А точка 8, являющаяся правой границей полуинтервала, изображена в виде закрашенного кружка, поскольку правая граница неравенства 2 < x ≤ 8 принадлежит множеству его решений.

На письме полуинтервал, заданный неравенством a < x ≤ b, обозначается так: (a ; b ] . Запишем ответ к неравенству 2 < x ≤ 8 с помощью этого обозначения:

x ∈ (2 ; 8 ]

В этом выражении говорится, что все числа от 2 до 8, исключая число 2, но включая число 8, являются решениями неравенства 2 < x ≤ 8 .

Изображение числовых промежутков на координатной прямой

Числовой промежуток может быть задан с помощью неравенства или с помощью обозначения (круглых или квадратных скобок). В обоих случаях нужно суметь изобразить этот числовой промежуток на координатной прямой. Рассмотрим несколько примеров.

Пример 1 . Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством x > 5

Вспоминаем, что неравенством вида x > a задаётся открытый числовой луч. В данном случае переменная a равна 5. Неравенство x > 5 строгое, поэтому граница 5 будет изображаться в виде пустого кружкá. Нас интересуют все значения x, которые больше 5, поэтому вся область справа будет выделена штрихами:

Пример 2 . Изобразить числовой промежуток (5; +∞) на координатной прямой

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью неравенства, а с помощью обозначения числового промежутка.

Граница 5 обрамлена круглой скобкой, значит она не принадлежит промежутку. Соответственно, кружок остаётся пустым.

Символ +∞ указывает, что нас интересуют все числа, которые больше 5. Соответственно, вся область справа от границы 5 выделяется штрихами:

Пример 3 . Изобразить числовой промежуток (−5; 1) на координатной прямой.

Круглыми скобками с обеих сторон обозначаются интервалы. Границы интервала не принадлежат ему, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться на координатной прямой в виде пустых кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами:

Пример 4 . Изобразить числовой промежуток, заданный неравенством −5 < x < 1

Это тот же числовой промежуток, который мы изобразили в предыдущем примере. Но в этот раз он задан не с помощью обозначения промежутка, а с помощью двойного неравенства.

Неравенством вида a < x < b , задаётся интервал. В данном случае переменная a равна −5 , а переменная b равна единице. Неравенство −5 < x < 1 строгое, поэтому границы −5 и 1 будут изображаться в виде пустых кружка. Нас интересуют все значения x, которые больше −5 , но меньше единицы, поэтому вся область между точками −5 и 1 будет выделена штрихами:

Пример 5 . Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2] и

В этот раз изобразим на координатной прямой сразу два промежутка.

Квадратными скобками с обеих сторон обозначаются отрезки. Границы отрезка принадлежат ему, поэтому границы отрезков [-1; 2] и будут изображаться на координатной прямой в виде закрашенных кружков. Вся область между ними будет выделена штрихами.

Чтобы хорошо увидеть промежутки [−1; 2] и , первый можно изобразить на верхней области, а второй на нижней. Так и поступим:

Пример 6 . Изобразить на координатной прямой числовые промежутки [-1; 2) и (2; 5]

Квадратной скобкой с одной стороны и круглой с другой обозначаются полуинтервалы. Одна из границ полуинтервала принадлежат ему, а другая нет.

В случае с полуинтервалом [-1; 2) левая граница будет принадлежать ему, а правая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

А в случае с полуинтервалом (2; 5] ему будет принадлежать только правая граница, а левая нет. Значит левая граница будет изображаться в виде закрашенного кружка. Правая же граница будет изображаться в виде пустого кружка.

Изобразим промежуток [-1; 2) на верхней области координатной прямой, а промежуток (2; 5] — на нижней:

Примеры решения неравенств

Неравенство, которое путём тождественных преобразований можно привести к виду ax > b (или к виду ax < b ), будем называть линейным неравенством с одной переменной .

В линейном неравенстве ax > b , x — это переменная, значения которой нужно найти, а — коэффициент этой переменной, b — граница неравенства, которая в зависимости от знака неравенства может принадлежать множеству его решений либо не принадлежать ему.

Например, неравенство 2x > 4 является неравенством вида ax > b . В нём роль переменной a играет число 2, роль переменной b (границы неравенства) играет число 4.

Неравенство 2x > 4 можно сделать ещё проще. Если мы разделим обе его части на 2, то получим неравенство x > 2

Получившееся неравенство x > 2 также является неравенством вида ax > b , то есть линейным неравенством с одной переменной. В этом неравенстве роль переменной a играет единица. Ранее мы говорили, что коэффициент 1 не записывают. Роль переменной b играет число 2.

Отталкиваясь от этих сведений, попробуем решить несколько простых неравенств. В ходе решения мы будем выполнять элементарные тождественные преобразования с целью получить неравенство вида ax > b

Пример 1 . Решить неравенство x − 7 < 0

Прибавим к обеим частям неравенства число 7

x − 7 + 7 < 0 + 7

В левой части останется x , а правая часть станет равна 7

x < 7

Путём элементарных преобразований мы привели неравенство x − 7 < 0 к равносильному неравенству x < 7 . Решениями неравенства x < 7 являются все числа, которые меньше 7. Граница 7 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

Когда неравенство приведено к виду x < a (или x > a ), его можно считать уже решённым. Наше неравенство x − 7 < 0 тоже приведено к такому виду, а именно к виду x < 7 . Но в большинстве школ требуют, чтобы ответ был записан с помощью числового промежутка и проиллюстрирован на координатной прямой.

Запишем ответ с помощью числового промежутка. В данном случае ответом будет открытый числовой луч (вспоминаем, что числовой луч задаётся неравенством x < a и обозначается как (−∞ ; a )

x ∈ (−∞ ; 7)

На координатной прямой граница 7 будет изображаться в виде пустого кружка, а вся область, находящаяся слева от границы, будет выделена штрихами:

Для проверки возьмём любое число из промежутка (−∞ ; 7) и подставим его в неравенство x < 7 вместо переменной x . Возьмём, например, число 2

2 < 7

Получилось верное числовое неравенство, значит и решение верное. Возьмём ещё какое-нибудь число, например, число 4

4 < 7

Получилось верное числовое неравенство. Значит решение верное.

А поскольку неравенство x < 7 равносильно исходному неравенству x − 7 < 0 , то решения неравенства x < 7 будут совпадать с решениями неравенства x − 7 < 0 . Подставим те же тестовые значения 2 и 4 в неравенство x − 7 < 0

2 − 7 < 0

−5 < 0 — Верное неравенство

4 − 7 < 0

−3 < 0 Верное неравенство

Пример 2 . Решить неравенство −4x < −16

Разделим обе части неравенства на −4. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число , знак неравенства меняется на противоположный :

Мы привели неравенство −4x < −16 к равносильному неравенству x > 4 . Решениями неравенства x > 4 будут все числа, которые больше 4. Граница 4 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство строгое.

x > 4 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 3 . Решить неравенство 3y + 1 > 1 + 6y

Перенесём 6y из правой части в левую часть, изменив знак. А 1 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знак:

3y − 6y > 1 − 1

Приведём подобные слагаемые:

−3y > 0

Разделим обе части на −3. Не забываем, что при делении обеих частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства y < 0 являются все числа, меньшие нуля. Изобразим множество решений неравенства y < 0 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 4 . Решить неравенство 5(x − 1) + 7 ≤ 1 − 3(x + 2)

Раскроем скобки в обеих частях неравенства:

Перенесем −3x из правой части в левую часть, изменив знак. Члены −5 и 7 из левой части перенесем в правую часть, опять же изменив знаки:

Приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 8

Решениями неравенства являются все числа, которые меньше . Граница принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является нестрогим.

Пример 5 . Решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 2. Это позволит избавиться от дроби в левой части:

Теперь перенесем 5 из левой части в правую часть, изменив знак:

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 6x > 1 . Разделим обе части этого неравенства на 6. Тогда получим:

Решениями неравенства являются все числа, которые больше . Граница не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является строгим.

Изобразим множество решений неравенства на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 6 . Решить неравенство

Умножим обе части на 6

После приведения подобных слагаемых, получим неравенство 5x < 30 . Разделим обе части этого неравенства на 5

Решениями неравенства x < 6 являются все числа, которые меньше 6. Граница 6 не принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x < 6 строгим.

Изобразим множество решений неравенства x < 6 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 7 . Решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 10

В получившемся неравенстве раскроем скобки в левой части:

Перенесем члены без x в правую часть

Приведем подобные слагаемые в обеих частях:

Разделим обе части получившегося неравенства на 10

Решениями неравенства x ≤ 3,5 являются все числа, которые меньше 3,5. Граница 3,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство является x ≤ 3,5 нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ 3,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 8 . Решить неравенство 4 < 4x < 20

Чтобы решить такое неравенство, нужно переменную x освободить от коэффициента 4. Тогда мы сможем сказать в каком промежутке находится решение данного неравенства.

Чтобы освободить переменную x от коэффициента, можно разделить член 4x на 4. Но правило в неравенствах таково, что если мы делим член неравенства на какое-нибудь число, то тоже самое надо сделать и с остальными членами, входящими в данное неравенство. В нашем случае на 4 нужно разделить все три члена неравенства 4 < 4x < 20

Решениями неравенства 1 < x < 5 являются все числа, которые больше 1 и меньше 5. Границы 1 и 5 не принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 1 < x < 5 является строгим.

Изобразим множество решений неравенства 1 < x < 5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 9 . Решить неравенство −1 ≤ −2x ≤ 0

Разделим все члены неравенства на −2

Получили неравенство 0,5 ≥ x ≥ 0 . Двойное неравенство желательно записывать так, чтобы меньший член располагался слева, а больший справа. Поэтому перепишем наше неравенство следующим образом:

0 ≤ x ≤ 0,5

Решениями неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 являются все числа, которые больше 0 и меньше 0,5. Границы 0 и 0,5 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 0 ≤ x ≤ 0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 0 ≤ x ≤ 0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 10 . Решить неравенство

Умножим обе неравенства на 12

Раскроем скобки в получившемся неравенстве и приведем подобные слагаемые:

Разделим обе части получившегося неравенства на 2

Решениями неравенства x ≤ −0,5 являются все числа, которые меньше −0,5. Граница −0,5 принадлежит множеству решений, поскольку неравенство x ≤ −0,5 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства x ≤ −0,5 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Пример 11 . Решить неравенство

Умножим все части неравенства на 3

Теперь из каждой части получившегося неравенства вычтем 6

Каждую часть получившегося неравенства разделим на −1. Не забываем, что при делении всех частей неравенства на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:

Решениями неравенства 3 ≤ a ≤ 9 являются все числа, которые больше 3 и меньше 9. Границы 3 и 9 принадлежат множеству решений, поскольку неравенство 3 ≤ a ≤ 9 является нестрогим.

Изобразим множество решений неравенства 3 ≤ a ≤ 9 на координатной прямой и запишем ответ в виде числового промежутка:

Когда решений нет

Существуют неравенства, которые не имеют решений. Таковым, например, является неравенство 6x > 2(3x + 1) . В процессе решения этого неравенства мы придём к тому, что знак неравенства > не оправдает своего местоположения. Давайте посмотрим, как это выглядит.

Раскроем скобки в правой части данного неравенство, получим 6x > 6x + 2 . Перенесем 6x из правой части в левую часть, изменив знак, получим 6x − 6x > 2 . Приводим подобные слагаемые и получаем неравенство 0 > 2 , которое не является верным.

Для наилучшего понимания, перепишем приведение подобных слагаемых в левой части следующим образом:

Получили неравенство 0x > 2 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль не может быть больше, чем число 2. Значит неравенство 0x > 2 не имеет решений.

x > 2 , то не имеет решений и исходное неравенство 6x > 2(3x + 1) .

Пример 2 . Решить неравенство

Умножим обе части неравенства на 3

В получившемся неравенстве перенесем член 12x из правой части в левую часть, изменив знак. Затем приведём подобные слагаемые:

Правая часть получившегося неравенства при любом x будет равна нулю. А ноль не меньше, чем −8. Значит неравенство 0x < −8 не имеет решений.

А если не имеет решений приведённое равносильное неравенство 0x < −8 , то не имеет решений и исходное неравенство .

Ответ : решений нет.

Когда решений бесконечно много

Существуют неравенства, имеющие бесчисленное множество решений. Такие неравенства становятся верными при любом x .

Пример 1 . Решить неравенство 5(3x − 9) < 15x

Раскроем скобки в правой части неравенства:

Перенесём 15x из правой части в левую часть, изменив знак:

Приведем подобные слагаемые в левой части:

Получили неравенство 0x < 45 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль меньше, чем 45. Значит решением неравенства 0x < 45 является любое число.

x < 45 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 5(3x − 9) < 15x имеет те же решения.

Ответ можно записать в виде числового промежутка:

x ∈ (−∞; +∞)

В этом выражении говорится, что решениями неравенства 5(3x − 9) < 15x являются все числа от минус бесконечности до плюс бесконечности.

Пример 2 . Решить неравенство: 31(2x + 1) − 12x > 50x

Раскроем скобки в левой части неравенства:

Перенесём 50x из правой части в левую часть, изменив знак. А член 31 из левой части перенесём в правую часть, опять же изменив знак:

Приведём подобные слагаемые:

Получили неравенство 0x > −31 . В левой части располагается произведение, которое будет равно нулю при любом x . А ноль больше, чем −31 . Значит решением неравенства 0x < −31 является любое число.

А если приведённое равносильное неравенство 0x > −31 имеет бесчисленное множество решений, то и исходное неравенство 31(2x + 1) − 12x > 50x имеет те же решения.

Запишем ответ в виде числового промежутка:

x ∈ (−∞; +∞)

Задания для самостоятельного решения

Понравился урок?
Вступай в нашу новую группу Вконтакте и начни получать уведомления о новых уроках