Траектории, описывающие движения механических систем в расширенном конфигурационном и фазовом пространствах, обладают замечательным свойством - они являются экстремалями некоторой вариационной задачи, доставляют стационарные значения функционалу действие.

Рассмотрим постановку вариационной задачи в расширенном конфигурационном пространстве R"*", точками которого являются наборы (q, (). Пусть кривая у„ = {(q, t): q е R t e , 5q(/ 0)= 8q(/,) = 0). Вариация 8q(/) - произвольная функция из класса С 1 , обращающаяся в нуль на концах отрезка = 0.

А Первая вариация функционала Sy при у = у 0 согласно определению равна

и после интегрирования по частям принимает вид

Внеинтетральный член в выражении (2.3) обрашается в нуль,

так как bq k (t 0) = bq k (t y) = 0, к - 1.....л, а выражение в квадратных

скобках под знаком интеграла равно нулю, поскольку у 0 - действительная траектория, удовлетворяющая уравнениям Лагранжа (2.1). Следовательно, вариация 55(у 0) = 0. ?

Верно и обратное утверждение: если вариация 65(у*) = 0, где у* принадлежит классу окольных траекторий, то у* = у 0 - действительная траектория. Справедливость этого утверждения следует из выражения первой вариации (2.3) и основной леммы вариационного исчисления. В данном случае из равенства нулю первой вариации

и независимости вариаций 6 к - 1, ..., ливость уравнений Лагранжа второго рода

л, вытекает справед-

когда q k = q k *(t ), к= 1.....л. Это и означает, что у* - действительная траектория движения механической системы.

3.1. В случае неконсервативной системы нельзя указать функционал, стационарное значение которого достигалось на действительной траектории. Однако в этом случае эквивалентны следующие утверждения:

где q(/) - действительная траектория. Первое из вышеуказанных утверждений составляет содержание вариационного принципа Гамильтона-Остроградского для неконсервативных систем.

3.2. Можно показать, что стационарное значение функционала действие является минимумом, если разность - / 0 достаточно мала. Это обстоятельство связано с другим названием обсуждаемого принципа - принципа наименьшего действия Гамильтона- Остро граде ко го.

Вариационную задачу, рассмотренную выше, можно сформулировать в расширенном фазовом пространстве, что оказывается важным при рассмотрении вопросов интегрируемости канонических уравнений Гамильтона. Обозначим через Г = {(р + 6р. q + 8q, I ): р, q, 6р. 6q е R", te [г 0 , /,]. 5q(/ 0)= 8q(/|) = 0} кривую в расширенном фазовом пространстве и пусть при 8p = 8q = 0 кривая Г 0 является решением системы канонических уравнений Гамильтона

Все функции времени принадлежат классу С 1 . Таким образом, определено семейство окольных траекторий {Г}, которому принадлежит действительная траектория Г 0 (рис. 46). Функционал действие с учетом связи между функциями Лагранжа и Гамильтона принимает вид

Здесь буквы р, q употреблены для краткости вместо букв р + 8р, q + 8q. Вычисляя вариацию функционала 5[Г] на действительной траектории, получим

Интегрируя по частям с учетом граничных условий, найдем

Отсюда следует, что вариация 85|Г 0 1 = 0, если р(/), q(f) удовлетворяют каноническим уравнениям Гамильтона (2.4), и. наоборот, из условия независимости вариаций 8р(г), 6q(/) следуют уравнения (2.4) согласно основной лемме вариационного исчисления.

Таким образом, доказана справедливость принципа наименьшего действия в фазовом пространстве системы: функционал действие 5[Г], заданный на пространстве окольных траекторий (Г|. принимает стационарное значение на действительной траектории, т.е. 85[Г 0 1 = 0.

Рис. 46

• 3.3. При построении функционала (2.5) использовалась связь между функциями Лагранжа и Гамильтона и преобразование Лежандра р *= V^?. В дальнейшем переменные р, q рассматривались как независимые и из стационарности функционала действие были получены обратное преобразование Лежандра q = V p H и динамическое уравнение р = -У Я Н.
• 3.4. Класс окольных траекторий может быть сужен путем введения условий бр(/ 0)= бр(Г|) = 0. Семейство окольных траекторий в этом случае обозначим {Г*}, Г* = {(р + 8р, q + 6q, t ): р, q, Sp, 6q e R n , 5q(/,)= 6p(/,) = 0, /" = 0, 1}. Легко проверить, что стационарное значение функционала действие 5[Г*| на этом пространстве окольных траекторий с закрепленными концами также достигается на действительном движении механической системы. Это утверждение составляет принцип наименьшего действия в форме Пуанкаре.

Идея, которая положена в основу всех интегральных и некоторых дифференциальных принципов, заключается в положении, что реальное движение механической системы сообщает экстремальность некоторой физической величине. Для математической формулировки этого положения необходимо, как и ранее, ввести в рассмотрение наряду с реальным движением совокупность мыслимых движений, подчинив их вполне определенным требованиям.

Формулировка интегральных принципов проводится в конфигурационном пространстве. Напомним, что для системы, обладающей степенями свободы, обобщенные координаты
, определяющие конфигурацию системы в момент времени , рассматриваются как декартовы координаты в соответствующем -мерном пространстве, которое и является конфигурационным пространством. С течением времени состояние механической системы изменяется и точка, изображающая эту систему, описывает некоторую кривую. Движение системы удобно рассматривать как движение изображающей точки вдоль этой кривой. Время при таком рассмотрении является параметром, а каждой точке траектории будет соответствовать одно или несколько значений .

Если нас интересует положение системы на конфигурационной траектории в каждый момент , то нужно добавить еще одну ось
. Тогда мы получим «многомерный график» движения рассматриваемой нами системы. Можно также изучать проекции многомерного графика на определенные плоскости, скажем (рис. 2.7). На рисунке А, В являются проекциями изображающей точки в моменты и соответственно, сплошной линией изображено реальное, штриховой - одно из мыслимых движений.

Интегральный принцип - это утверждение о том, как осуществляется реальное движение системы за конечный (не бесконечно малый!) промежуток времени
. Тем, что было с системой до момента времени , мы не интересуемся. Но коль скоро начальный и конечный моменты времени фиксированы, считается, что механическая система при всех мыслимых движениях в момент времени проходит через точку А , в момент - В ; эти точки соответствуют начальному и конечному положениям системы в ее реальном движении.

Наиболее общая формулировка положения о движении механических систем содержится в так называемом принципе наименьшего действия (его называют также принципом Гамильтона - Остроградского):

Реальное движение механической системы в промежутке времени от до таково, что при этом интеграл, называемый функцией действия и равный

, (60.7)

где
-- лагранжиан данной механической системы, имеет экстремум (минимум). Переменная при этом не варьируется.

Иными словами, при реальном движении должна быть равна нулю вариация действия

(61.7)

при условии, что все конфигурационные траектории в моменты времени и проходят через начальную и конечную точки реального движения, т. е.

Этот принцип, в отличие от дифференциального принципа Д’Аламбера, является интегральным в том смысле, что он содержит утверждение о движении системы в целом за конечный промежуток времени
. Фактически из него следуют уравнения Лагранжа, тем самым из принципа наименьшего действия, можно сказать, получается вся динамика механической системы.

Пусть функции
, описывают реальное движение, т. е.
-те функции, для которых имеет минимум. Рассмотрим совокупность функций
где
- вариации функций
, которые предполагаются малыми по сравнению с
во всем интервале времени от до . Кроме того, все
удовлетворяют соотношениям (62.7). Вычислим так называемую первую вариацию , имея в виду, что функция Лагранжа может зависеть от обобщенных координат , обобщенных скоростей
, и времени :

Поскольку
, второй член в
можно проинтегрировать по частям и получить

.

В силу условий (62.7) сумма

исчезает, а остающийся интеграл будет равен нулю при произвольных значениях
только тогда, когда каждый член суммы подынтегрального выражения обращается в нуль. Таким образом, мы получаем уравнения Лагранжа 2-го рода

. (63.7)

Полезно помнить, что из решения задачи на экстремум функции получается система конечных уравнений, из которых находится точка, в которой функция достигает экстремального значения. В данном случае мы имеем дело с функционалом, решение задачи на экстремум, которого дает систему дифференциальных уравнений 2-го порядка. Из этих уравнений находится линия в конфигурационном пространстве, задаваемая функциями
, на которой функционал достигает минимума. Линию эту называют экстремалью.

Поскольку задача построения той или иной механической модели состоит в составлении уравнений движения, мы видим, что фактически динамика системы определяется одной функцией - лагранжианом, так как именно эта функция решает поставленную задачу. Таким образом, лагранжиан системы является интересным физическим объектом, изучение которого необходимо в связи с задачами динамики. В частности, из принципа наименьшего действия видно, что функция определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от произвольной функции координат и времени. Это нужно понимать так системе, определяемой ее уравнениями движения, соответствует не одна функция Лагранжа . Действительно, пусть имеется
, связанная с соотношением

(64.7)

,

.

Но, так как
,

и, следовательно, уравнения Лагранжа, получаемые с помощью функций и
, одни и те же. Неоднозначность определения функции Лагранжа вида (64.7) не сказывается на уравнениях движения, а каждая
из класса (64.7) решает а задачу построения динамики системы однозначно.

Важным свойством системы уравнений Лагранжа является их ковариантность. Это означает, что уравнения Лагранжа сохраняют свой вид при точечных преобразованиях обобщенных координат 4

т. е. при пользовании обобщенными координатами уравнения Лагранжа будут иметь тот же вид:

,

что и при использовании обобщенных координат :

.

Докажем прямо, что уравнения Лагранжа ковариантны относительно преобразования (65.7). Построим
:

и производные

,

1. Кинематика материальной точки. Под материальной точкой понимается физический объект, в геометрическом смысле эквивалентный математической точке, но обладающий массой. Кинематика – раздел физики, изучающий виды движения тел без рассмотрения причин возникновения движения. Положение точки в пространстве характеризуется радиусом-вектором. Радиусом-вектором точки называется вектор, начало которого совпадает с точкой начала системы координат, а конец – с рассматриваемой точкой. r = i x + j y + k z. Скорость – расстояние, проходимое телом в единицу времени v (t) = dr /dt. v (t) = i dx/dt + j dy/dt + k dz/dt. Ускорение – скорость изменения скорости. a = dv /dt = d 2 r / dt 2 = i d 2 x/dt 2 + j d 2 y/dt 2 + k d 2 z/dt 2 . a = a τ + a n = τ dv/dt + n v 2 /R.

dr = v dt; dv = a dt, следовательно v = v 0 + a t; r = r 2 – r 1 = v 0 t + a t 2 /2.

2. Динамика материальной точки. Законы Ньютона. Основными понятиями в динамике являются понятие о массе и силе. Сила – это есть причина движения, т.е. под действием силы тела обретают скорости. Сила есть величина векторная. Масса – мера инертности тела. Произведение массы на скорость называется импульсом p = mv . Моментом импульса материальной точки называется вектор L = r * p . Моментом силы, действующей на материальную точку, называется вектор M = r * F . Если продифференцировать выражение для момента импульса, то получим: dL / dt = dr / dt * p + r * dp / dt. Учтя, что dr / dt = v и v параллельно p , получим dL / dt = M . Законы Ньютона. Первый закон Ньютона гласит, что тело, сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, если на него не действуют другие силы или их действие скомпенсировано. Второй закон Ньютона гласит, что изменение количества движения по времени, это есть величина постоянная и равна действующей силе dp / dt = d / dt (mv ) = m dv / dt = F .Это и есть второй закон Ньютона, записанный в дифференциальном виде. Третий закон Ньютона говорит о том, что во взаимодействии двух тел каждое из них действует на другое с одинаковой по значению, но противоположной по направлению силой. F 1 = - F 2 .

3. Динамика системы материальных точек. Законы сохранения. Системой материальных точекназывается совокупность конечного их числа. На каждую из точек системы действуют внутренние (со стороны других точек) и внешние силы. Пусть m – масса, r i – радиус вектор. x i , y i , z i ­ – корд. i-ой точки. Импульсом системы материальных точек называется сумма импульсов материальных точек, составляющих систему: p = Σ (i=1,n) p i = [p 1 + p 2 +…+ p n ]. Моментом импульса системы материальных точек называется сумма моментов импульса, составляющих систему материальных точек: L = Σ [L i ] = Σ [r i * p i ]. Сила, действующая на систему материальных точек, определяется как сумма всех сил, действующих на точки системы, включая силы взаимодействия точек системы между собой: F = Σ [F i ], где F i = F i ’ + Σ(j ≠ i) F ji является силой, действующей на материальную точку системы, обозначенную индексом i. Она слагается из внешней силы F i ’ и внутренней силы Σ(i ≠ j) [F ji ], действующей на точку в результате взаимодействия с другими точками системы. Тогда: F = Σ (i=1,n) [F i ’] + Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ]. Согласно третьему закону Ньютона Σ (i=1,n) Σ(j ≠ i) [F ji ] = 0, поэтому F = Σ [F i ’]. Моментом силы, действующей на систему материальных точек, называется сумма моментов сил, приложенных к точкам системы M = Σ (i) [M i ] = Σ (i) [r i * F i ] = Σ (i) [r i * F i ’]. Для системы материальных точек уравнение движения имеет вид dp / dt = Σ = Σ [F i ].

Центр масс системы материальных точек – это воображаемая точка с радиусом-вектором R = 1/m Σ . Скорость его движения V = dR /dt. Тогда уравнение движения m dV /dt = F . Уравнение моментов для системы материальных точек dL /dt = M . Законы сохранения. Изолированная система – та, на которую не действуют внешние силы. В ней F = 0, поэтому dp /dt = 0. Тогда p = const. В изолированной системе момент внешних сил M = 0. Поэтому dL /dt = 0, а значит L = const. Изменение кинетической энергии материальной точки при ее перемещении между двумя положениями равно работе, совершенной при этом силой. m 0 v 2 2 /2 – m 0 v 1 2 /2 = ∫(1,2) F dl или m 0 v 2 /2 + Е п = const.

4. Движение в центрально-симметричном поле. Законы Кеплера. Поле называют центральным, если в нем потенциальная энергия тела зависит только от расстояния r до определенной неподвижной точки. Сила F = - ∂U(r)/ ∂r = - dU/dr r /r действующая на частицу, по абсолютной величине зависит при этом тоже только от r и направлена в каждой точке вдоль ра­диус-вектора. При движении в центральном поле сохраняется момент системы относительно центра поля. Для одной частицы момент М = [r *р ]. Поскольку векторы М и r взаимно перпендикулярны, по­стоянство М означает, что при движении частицы ее радиус-вектор все время остается в одной плоскости - плоскости, перпендикулярной к М. Таким образом, траектория движения частицы в центральном поле лежит целиком в одной плоскости. Введя в ней полярные координаты r, φ, напишем функцию Лагранжа в виде L = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) - U(r). Эта функция не содержит в явном виде координату φ. Для такой координаты соответствующий ей обобщенный импульс p i является интегралом движения. В данном случае обобщенный импульс р φ = mr 2 φ(∙) совпадает с моментом М z = М, так что M = mr 2 φ(∙) (1). Заметим, что для плоского движения одной частицы в цент­ральном поле этот закон допускает простую геометрическую интерпретацию. Выражение 1/2 r r d φ представляет собой площадь сектора, образованного двумя бесконечно близкими радиус-векторами и элементом дуги траектории. Обозначив ее как df, напишем момент частицы в виде M = 2mf, где производную f называют секториальной скоростью. Поэтому сохранение момента означает постоянство секториальной ско­рости - за равные промежутки времени радиус-вектор движущейся точки описывает равные площади (вто­рой закон Кеплера ). Выражая φ(∙) через М из (1) и подставляя в выраже­ние для энергии, получим: E = m/2 (r 2 (∙) + r 2 φ 2 (∙)) + U(r) = mr 2 (∙)/2 + M 2 /2mr 2 + U(r). Отсюда r(∙) = √(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) или, разделяя переменные и интегрируя: t = ∫dr/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /m 2 r 2) + const. Далее, написав (1) в виде dφ = M 2 /mr 2 dt, подставив сюда dt и интегрируя, находим: φ = ∫dr (M/r 2)/√(2/m (E – U(r)) - M 2 /r 2) + const. Первый закон Кеплера. Каждая планета обращается по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Третий закон Кеплера. Квадраты звездных периодов обращения планет относятся как кубы больших полуосей их орбит T 1 2 /T 2 2 = a 1 3 /a 2 3 .

5. Функция Лагранжа и уравнения Лагранжа системы материальных точек. Интегралы движения. Рассмотрим замкнутую систему материальных точек. Функция Лагранжа для нее имеет вид L = Σ(a) – U(r 1 , r 2 , …), где T = Σ (a) – кинетическая энергия, а U – потенциальная энергия взаимодействия частиц. Тогда уравнения движения d/dt (∂L/∂v a) = ∂L/∂r a принимают вид m a dv a /dt = - ∂U/∂r a . Эти уравнения движения называются уравнениями Ньютона. Вектор F a = - ∂U/∂r a называется силой. Если для описания движения используются не декартовы координаты точек, а произвольные обобщенные координаты q i , то для получения лагранжевой функции надо произвести соответствующее преобразование: x a = f(q 1 , q 2 , .., q s), x a (∙) = Σ(k) [∂f a /∂q k (∙)] и т. д. Подставляя эти выражения в функцию L= 1 / 2 Σ(a) – U, получим искомую функцию Лагранжа вида L = 1/2 Σ(i,k) – U(q). Интегралы движения. Существуют такие функции обобщенных координат, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий. Они называются интегралами движения. В силу однородности времени dL/ dt = Σ(i) [∂L/∂q i q i (∙)] + Σ(i) [∂L/∂q i (∙) q i (∙∙)]. Заменяя ∂L/∂q i согласно уравнениям Лагранжа на d/dt (∂L/∂q i (∙)), получим dL/dt = Σ(i) или d/dt (Σ(i) - L) = 0. Отсюда видно, что величина Е = Σ(i) – L, называемая энергией, не меняется, т.е. интеграл движения. В связи с однородностью пространства при бесконечно малом переносе ε, когда все точки системы смещаются на ε = δr, изменение функции Лагранжа, равное δL = ε Σ(a) [∂L/∂r a ], должно быть равно нулю, т.е. Σ(a) [∂L/∂r a ] = 0. Используя уравнения Лагранжа, получаем Σ(a) = d/dt (Σ(a)[ ∂L/∂v a ]) = 0. Тогда величина Р = Σ(a)[ ∂L/∂v a ], называемая импульсом, остается неизменной, т.е. интеграл движения. В связи с изотропностью пространства при бесконечно малом повороте на угол δφ изменение функции Лагранжа, равное δL = Σ(a) [∂L/∂r a δr а + ∂L/∂v a δv а ] должно быть равно нулю. Произведя замену ∂L/∂v a = p a и ∂L/∂r a = p a (∙) ввиду произвольности δφ получим d/dt Σ(a) [r a p a ] = 0. Величина М = Σ(a) [r a p a ], называемая моментом импульса остается постоянной, т.е. интеграл движения.

6. Динамика абсолютно твердого тела. Тензор инерции. Уравнения Эйлера. Твердое тело – система материальных точек, расстояние между которыми остается постоянным. Для полного описания движения твердого тела необходимо кроме движения одной из его точек знать движение тела около этой точки как точки закрепления. Пусть тело закреплено в точке О. Радиус-вектор точки m i относительно О обозначим r i , w – мгновенная угловая скорость тела, тогда момент импульса L = Σ [r i * m i v i ] = Σ = w Σ – Σ . Это векторное равенство можно записать в виде трех проекций на оси координат L x = w x Σ - Σ ; L y = w y Σ - Σ ; L z = w z Σ - Σ . Учитывая, что (w r i) = x i w x + y i w y + z i w z получим L x = J xx w x + J xy w y + J xz w z ; L y = J yx w x + J yy w y + J yz w z ; L x = J zx w x + J zy w y + J zz w z , где J xx = Σ , J xy = Σ , другие аналогично. Величины J xx , J yy , J zz называются осевыми моментами инерции, а J xy = J yx , J xz = J zx , J yz = J zy – центробежными моментами инерции. Совокупность величин J ij называется тензором инерции. Элементы J ii называются диагональными. Если все недиагональные элементы равны нулю, то говорят, что оси тела, совпадающие с осями координат, являются главными осями инерции, а величины J ii называют главными моментами инерции. Такой тензор приведен к диагональному виду.

Уравнения Эйлера. Уравнение движения центра масс тела имеет вид m dv 0 /dt = m d/dt (w * r 0) = F , где r 0 – радиус-вектор центра масс тела, проведенный из точки его закрепления. Оси связанной с телом системы координат удобно направить по главным осям инерции. В этом случае момент импульса приобретает простой вид L 1 = J 1 w 1 , L 2 = J 2 w 2 , L 3 = J 3 w 3 , причем w i – проекции угловой скорости на движущиеся вместе с телом оси координат. Воспользовавшись общей формулой dA /dt = ∂A /∂t + w * A , можно представить уравнение моментов следующим образом ∂L /∂t + w * L = M . Принимая во внимание, что L x = J x w x , L y = J y w y , L z = J z w z , это уравнение перепишем в проекциях на оси движущейся системы координат: J x dw x /dt + (J z - J y)w y w z = M x , J y dw y /dt + (J x – J z)w z w x = M y , J z dw z /dt + (J y – J x)w x w y = M z . Эти уравнения называются уравнениями Эйлера.

7. Движение относительно неинерциальных систем отсчета. НИСО-это система, в кот. тело движется с ускорением отн-но покоящ. системы коорд. Здесь понятия однородности и изотропности пространства и времени не выполняются, т.к. длительность и протяженность в НИСО меняются. Кроме того, теряется содержание 3 го з-на Ньютона и з-ов сохранения. Причиной всему служат силы инерции, связанные только с системой координат, кот. действуют на движение тела. Т.О. ускорение можно изменять при помощи внешней силы, либо силой инерции. F=∑Fi=ma (ИСО), F=F(внеш.)+Fi=ma′(НИСО), где Fi-сила инерции, a-ускор. тела в ИСО, a′-ускор. того же тела в НИСО. В НИСО 1-й з-н Ньютона не выполняется! Fi=-m(a′-a), т.е. силы инерции не подчиняются 3му з-ну Ньютона, т.к. они кратковремены. При переходе от ИСО к НИСО силы инерции исчезают. Инерц. силы всегда направлены против век. внешних сил. Силы инерции сожно складывать векторно. В ИСО: v=const, v<

dx/dt=Ux=dx′/dt+dv(t)/dt′=U′x+v(t) dUx/dt=d/dt′(U′x+v(t))=dU′x/dt′+dv(t)/dt′=a x ’ + a 0 = a x . В НИСО вводятся понятия абсолютной, относительной и переносной скоростей: u 0 -абсолютная скорость, a 0 - ускорение относит. покоящ. системы коорд.

u x 0 = v + u x 0 ’; a x 0 = a’ + a x ; u x ’ a x - скорость и ускорение относит. движ. системы коорд. (относительные) ; v, a′-скор. и ускорен. к′ относит. к, т.е. переносные скорость и ускорение

8. Вариационный принцип Гамильтона. (принцип наименьшего действия).

Существует -функция обобщенной координаты, скорости, времени. Рассмотрим пространство 2S мерное, тогда положение системы S = ∫(t 1 , t 2) L(g, g( ), t)dt, L- функция Лагранжа; S- действие. Ф-ей действия наз-ся итнеграл S=∫ Ldt=0, при кот. взятая вдоль истинной траектории движения система будет иметь минимальное значение, т.е. S=Smin, δS=0. Т.е. система из 1 в 2 движется по такой траектории, чтобы её действие было минимально- принцип наименьшего действия Гамильтона. L = T – U -разность кинетической и потенциальной энергий системы. Согласно Гамильтону действительная траектория отвечает минимальному действию. Найдем траекторию. Действительная траектория- минимальная траектория. S-функционал. Найдем её min. δS = 0 первая вариация. δS = ∫(t 1 ,t 2)(Σ[∂L/∂g i δg i ] + Σ[∂L/∂g i ( ) δg i ( )])dt; ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) δg i ( ) dt = ∫(t 1 ,t 2) ∂L/∂g i ( ) dδg i = ∂L/∂g i ( )δg i (t 1 ,t 2) - ∫(t 1 ,t 2) δg i d/dt (∂L/∂g i ( )) dt;

;

δg i не зависят друг от друга
=0
на действительной траектории должно выполняться уравнение:
- уравнение Лагранжа (для любыхi= 1,…S).

9. Колебания систем с одной и многими степенями свободы. Свободные и вынужденные колебания . Наиболее простой случай, когда система имеет одну степень свободы. Устойчивому равновесию соответствует такое положение сис., в кот. ее потенц. эн. U(q) имеет минимум. Отклонение от такого положения приводит к возникновению силы - dU/dq, стремящейся вернуть систему обратно. q 0 - обобщенная координата. Разложим U(q) - U(q0) по степеням и получим U(q) - U(q0) ≈ k/2 (q - q 0) 2 где к =U’’(q 0) - положительный коэффициент. U(q 0) = 0, обозначим х = q - q 0 - отклонение координаты от равновесного значения, тогда U(x) = kx 2 /2 – потенц.энергия. 1/2a(q) q’ 2 =1/2a(q)x’ 2 -кинет.энергия при q = q0 и a(q0) = m получим функцию Лагранжа для системы совершающей одномерные колебания: L = mx 2 (∙)/2 – kx 2 /2. Соответствующее этой функции уравнение движения будет: mx(∙∙) + kx = 0 или x(∙∙) + w 2 x = 0, где w = √(k/m) -циклическая частота колебаний. Решением этих ур-й яв-ся х = a cos(wt + α) где а-амплитуда колебаний, wt + α - фаза колебаний. т.о. энергия системы совершающей колебания будет E = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2. Вынужденные колебания. В этом случае наряду с собственной потенциальной энергией ½ кх 2 система обладает еще потенциальной энергией U e (х,т) связанной с действием внешнего поля. Соответственно функция Лагранжа такой системы будет: L = mx 2 (∙)/2 + kx 2 /2 + x F(t), где F(t)-внешняя сила.

Соответствующее ур-ние движения будет mx(∙∙) + kx = F(t), или x(∙∙) + w 2 x = F(t)/m. Если F(t) яв-ся простой периодической функцией времени с некоторой частотой γ: F(t) = f cos(γt + β) то решением уравнений движения будет: X = a cos(wt + α) + f cos(γt + β)/(m(w 2 – γ 2)) a и α определяются из начальных условий. Т.о. под действием вынуждающей силы система совершает движение представляющее совокупность двух колебаний - с собственной частотой системы w и с частотой вынуждающей силы - γ. Колебания систем со многими степенями свободы . Потенц. эн. системы U(q i) имеет минимум при q i =q i 0 . Вводя малые смещения x i = q i - q i 0 и разлагая по ним U с точностью до членов 2-го порядка получим потенц. энергию: U = 1/2 Σ(i,k) , к ik =k ki . Кинет. эн. для такой системы будет 1/2 Σ(i,k) , где m ik =m ki . Уравнение Лагранжа для такой системы будет: L = 1/2 Σ(i,k) . Тогда dL = Σ(i,k) . Ищем x k (t) в виде x k = A k exp(-iwt), А к - постоянная. Подставляя это в уравнение Лагранжа, получим систему линейных однородных уравнений. Σ(k) [(-w 2 m ik +k ik)A k ] = 0 - характеристическое уравнение, оно имеет s различных корней w 2 α (α=1,2,….,s) w α - собственные частоты системы. Частное решение системы имеет вид: x k = ∆ kα C α exp(-iw α t). Общее решение является суммой всех частных решений: x k = Σ(α) [∆ kα Q α ], где Q = Re (C α exp(-iw α t)).

10. Каноническое уравнение Гамильтона. Ряд преимуществ при исследовании вопросов механики представляет описание с помощью обобщенных координат и импульсов переход от одного набора независимых переменных к другому можно совершить путем преобразования Лежандра. В данном случае оно сводится к следующему. Полный дифференциал функций Лагранжа как функция координат и скоростей равен: dL = Σ(i) [∂L/∂q i ] + Σ(i) [[∂L/∂q i (∙)]. Это выражение можно написать в виде dL = Σ(i) + Σ(i) . Перепишем его в виде: d(Σ(i) – L) = - Σ(i) + Σ(i) . Величина, стоящая под знаком дифференциала, представляет собой энергию системы выраженную через координаты и импульсы и она наз-ся гамильтоновой функцией: H(p,q,t) = Σ(i) – L. Из диф. равенства dH = - Σ(i) + Σ(i) следуют уравнения: q i (∙) = ∂H/∂p i , p i (∙) = - ∂H/∂q i – это уравнения Гамильтона. В виду их простоты и симметрии они еще наз. каноническими. Скобки Пуассона. Производная по времени от любой функции F обобщенных координат, импульсов и времени будет dF/dt = ∂F/∂t + Σ(i) [∂F/∂q i dq i /dt] + Σ(i) [∂F/∂p i dp i /dt]. Пользуясь уравнениями Гамильтона мы можем переписать это уравнение в следующем виде: dF/dt = ∂F/∂t + , где = Σ(i) [∂F/∂q i ∂H/∂p i - ∂H/∂q i ∂F/∂p i ] - наз. скобкой Пуассона. Очевидно, что уравнение Гамильтона могут быть записаны с помощью скобок Пуассона.

11. Уравнение Гамильтона–Якоби . По принципу наименьшего действия имеем S = ∫(t 1 ,t 2)Ldt. Рассмотрим действие (S) как величину, характеризующую движение по истинным траекториям. Исходя из ур-й Лагранжа для изменения действия при переходе от одной траектории к близкой к ней другой траектории (при одной степени свободы) получим: δS = pδq или для любого числа степеней свободы: δS = Σ(i) . Отсюда следует, что частные производные от действия по координатам равны соответствующим импульсам: ∂S/∂q i = p i (1). По определению dS/dt = L с другой стороны рассматривая S как функцию координат и времени и используя формулу (1) имеем: dS/dt = ∂S/∂t + Σ(i) [∂S/∂q i q i (∙)] = ∂S/∂t + Σ(i) . Сравнивая оба выражения, получим ∂S/∂t = L - Σ(i) или ∂S/∂t = - H(p,q,t) (2). Формулы (1), (2) можно вместе записать в виде dS = Σ(i) – Hdt. А само действие (S) будет S = ∫ (Σ(i) – Hdt). При H независимом от t – S(q,t)=S 0 (q) - Et, где S 0 (q) = Σ(i) [∫p i dq i ] - укороченное действие и Еt заменено H(p,q). Функция S(q,t) удовлетворяет определенному диф. уравнению, которое мы получим, заменив в соотношении (2) импульсы Р производными ∂S/∂q: ∂S/∂t + H(∂S/∂q 1 ,…, ∂S/∂q s ;q 1 ,…,q s ,t) = 0 - это уравнение в частных производных 1-го порядка наз. уравнением Гамильтона-Якоби. Так, для одной частицы во внешнем поле U(x,y,z,t) оно имеет вид: ∂S/∂t + 1/(2m)((∂S/∂x) 2 + (∂S/∂y) 2 + (∂S/∂z) 2) + U(x,y,z,t) = 0.

12. Деформации и напряжения в твердых телах. Модули Юнга, сдвига. Коэффициент Пуассона . Деформация – изменение формы и объема тела под действием внешних сил. Под действием внешней силы форма тела меняется. Все деформации в природе могут быть сведены к 3 м основным деформациям: 1) растяжение, сжатие; 2) сдвига; 3) кручение. Различают однородные и неоднородные деформации. Если все части деформируются одинаково, то это однороднодеформированные. Если все части тела деформируются неодинаково, то это неоднороднодеформированные. Закон Гука выполняется в области только упругой деформации.  = E’. F/S = E ∆l/l 0 ; F упр = ES∆l/l 0 = kx; k = ES/l 0 ; F упр = ESx/l 0 . Закон Гука определяет связь между  и . к-коэффициент упругости, он зависит от геометрических размеров, материала, из чего сделано тело. Е- модуль Юнга. Модуль Юнга равен силе, которую необходимо приложить к телу единичного поперечного сечения, чтобы его тела увеличилась в 2 раза. Другим видом деформирования является деформация сдвига, она наблюдается при касательном приложении поверхности; она параллельна поверхности деформации сдвига, наблюдается при действии тангенциальных сил, т.е., силы приложены касательно. Ψ~F t /S (угол сдвига). Ψ = nF t /S; n- коэффициент сдвига. F t = nS. (Е> N, E~ 4N).

Количественная связь между Е и N задается через коэффициент Пуассона. N = E/(2(1+μ)), где  - коэффициент Пуассона. μ = |∆d/d 0 |/|∆l/l 0 |. Коэффициент Пуассона определяет изменением поперечных размеров при растяжении или сжатии.  0,5.

13. Механика жидкостей и газов. Для всех жидкостей и газов объединяющим параметром является: плотность ρ, давление P=F n /S. В жидкостих и газах имеет место модуль Юнга, но не имеет место модуль сдвига |σ|=|P|, σ - напряжение. Если жидкость (газ) неподвижны то имеем дело с гидростатикой (аэростатикой). Характерные законы: З-н Паскаля: избыточное давление, создаваемое в газах и жидкостях передается во все стороны одинаково. З-н Архимеда справедлив и для жидкостей и для газов. Сила Архимеда всегда действует против силы тяжести. Причиной возникновения силы Архимеда является наличие у тела объема V. З-н Архимеда: На тело находящееся в жидкости или газе всегда действует сила равная весу жидкости или газа, вытесненного погруженной частью тела, и направленная вертикально вверх. Если F A >F ТЯЖ, то тело всплывает, если наоборот, то – тонет. Если жидкость (газ) текут, то к этим уравнениям присоединяются уравнение непрерывности струи. Траекторию движения частицы в жидкости наз. линией тока. Часть пространства ограниченная линией тока наз. трубкой тока. Жидкость в трубке тока может течь стационарно или не стационарно. Течение наз. стац. если через данное сечение трубки тока за ед. времени проходит одинаковое кол-во жидкости (газа), иначе, течение нестац. Пусть мы имеем трубку тока следующего вида: Если течение жидкости стац. То m 1 =m 2 =…=m n за единицу времени, если жидкость несжимаема, то ρ 1 V 1 =ρ 2 V 2 =…; =ρ n V n , ρ 1 Δx 1 = ρ 2 Δx 2 =…; = ρ n Δx n , ρ 1 υ 1 ΔtS 1 =ρ 2 υ 2 ΔtS 2 =…= ρ n υ n ΔtS n , т. К. жидкость несжимаема ρ постоянно υ 1 S 1 =υ 2 S 2 =…= υ n S n , υS=const; υ=const/S – уравнение неразрывности струи. ρ dv /dt = ρg – grad P – уравн. Эйлера – 2-й зак. Ньютона для жидкостей и газов. Закон сохр. Энергии в жидкостях и газах. Ур. Бернулли. Ид. Наз. Несжимаемая жидкость, в которой можно пренебречь силами вязкого трения. Кинетическая энергия не тратится на совершение работы против сил трения. Ρυ­­ 2 /2+ρgh + P = const – ур. Бернулли, ρυ­­ 2 /2 – динамическое давление, ρgh – гидростат. Давл., P – молекулярное давление. Mυ­­ 2 /2 = E K ; mυ­­ 2 /2V= E K /V= ρυ­­ 2 /2. Сила вязкого трения F A = - ηΔυΔS/ΔZ  6 π r η υ – сила Стокса. Η - коэф. вязкости, Δυ/ΔZ – grad υ, r – размеры тела. Это есть формула Ньютона для сил вязкого трения. Если в жидкости имеются силы трения, то ид. Жидкость стан-ся вязкой. ρ v 1 2 /2 + ρgh 1 + P 1 = ρ v 2 2 /2 + ρgh 2 + P 2 ; (P 1 – P 2)= ρ(υ­ 2 ­ 2 – υ­ 1 ­ 2)/2. Если ΔP = 0, то υ­ 2 ­ 2 – υ­ 1 ­ 2 = 0, и течения жидкости не будет. Где P больше, там скор. Течения меньше. Если сечение S растет, то растет P и падает υ. Если трубка тока не лежит горизонтально, то υ­ 2 ­ 2 -υ­ 1 ­ 2 =2g (h 1 -h 2); υ = sqrt(2g (h 1 -h 2)) – формула Торричелли.

1. Принцип Гамильтона-Остроградского

В настоящее время стал одним из основополагающих принципов механики. Для голономных механических систем он может быть непосредственно получен как следствие принципа Даламбера - Лагранжа. В свою очередь, все свойства движения голономных механических систем могут быть получены из принципа Гамильтона - Остроградского.

Рассмотрим движение системы материальных точек относительно некоторой инерциальной системы отсчета под действием активных сил Пусть возможные перемещения точек системы стеснены идеальными голономными связями. Обозначим декартовы координаты точки через а независимые лагранжевы координаты через Зависимость между декартовыми и лагранжевыми координатами задается соотношениями

В дальнейшем будем предполагать, что координаты представляются однозначными, непрерывными и сколь угодно раз дифференцируемыми функциями переменных Кроме того, будем предполагать, что из каждого положения системы параметры могут изменяться как в положительном, так и в отрицательном направлении. Движение системы будем рассматривать начиная с некоторого момента времени до момента Пусть начальному положению системы отвечают значения

лагранжевых координат а положению системы в момент - значения Введем в рассмотрение -мерное расширенное пространство координат и времени в котором каждому конкретному положению системы отвечает одна точка. В таком расширенном -мерном пространстве движение системы представляется некоторой кривой, которую в дальнейшем будем называть траекторией системы. Начальному и конечному положениям системы здесь будут соответствовать две точки . В действительном движении системы из положения в положение лагранжевы координаты непрерывно изменяются, определяя в -мерном пространстве кривую, которую будем называть действительнойтраекторией системы. Можно заставить перемещаться систему в соответствии с наложенными на систему связями из положения в положение за тот же интервал времени, но по другой траектории, близкой к действительной, не заботясь о том, чтобы удовлетворялись уравнения движения. Такую траекторию в -мерном пространстве назовем окольной траекторией. Сравнивая движения по действительной и окольным траекториям, зададимся целью определить действительную траекторию среди окольных. Пусть положение системы в момент на действительной траектории отмечается точкой Р, а положение системы в тот же момент времени на окольной траектории - точкой Р (рис. 252).

Отрезок соединяющий две точки на различных траекториях в один и тот же момент времени, будет представлять возможное перемещение системы в момент Он соответствует изменению лагранжевых координат в момент при переходе из положения Р в положение Р на величину Возможному перемещению системы будут отвечать вариации декартовых координат которые могут быть выражены через вариации координат Лагранжа в виде равенств

Рассмотрим произвольное однопараметрическое семейство «траекторий»

каждая из которых соединяет точки проходя через них в моменты времени соответственно, и пусть значению параметра отвечает действительная траектория (прямой путь), которую проходит система за время из положения в положение Значениям а, отличным от нуля, отвечают «окольные» траектории (окольные пути), т. е. все остальные траектории, соединяющие точки за время Перемещению системы вдоль какой-либо траектории будет соответствовать изменение лагранжевых координат за счет изменения времени когда параметр а остается неизменным. Параметр а будет меняться лишь при переходе с одной траектории на другую. Вариация координаты будет теперь определяться следующим образом:

а производная по времени от координаты будет иметь вид

Пусть лагранжевы координаты являются однозначными непрерывными дифференцируемыми функциями от . Тогда

Полученные соотношения в механике называются «перестановочными». Операции дифференцирования перестановочны только тогда, когда все координаты независимы и не связаны неинтегрируемыми соотношениями.

Покажем, что перестановочность операций варьирования и дифференцирования выполняется и для декартовых координат. Пусть

Рассмотрим производную по времени от

С другой стороны,

Вычитая второе равенство из первого, получим

откуда следует

т. e. операции дифференцирования и варьирования перестановочны и для декартовых координат, если на систему материальных точек наложены только голономные идеальные связи.

Перейдем к определению действительной траектории среди всех окольных. Действительное движение системы происходит в соответствии с принципом Даламбера - Лагранжа

который определяет «тенденцию» истинного движения (действительного движения) в каждый момент времени. Рассмотрим интеграл

взятый вдоль действительной траектории системы. Все сравниваемые траектории системы начинаются в один и тот же момент времени и из одной и той же точки -мерного пространства. Все они оканчиваются в одной и той же точке в один и тот же момент времени. Поэтому на концах траекторий при будут выполняться условия

Преобразуем полученное уравнение, проинтегрировав по частям выражение

а так как на концах траектории вариации обращаются в нуль, будем иметь

В силу перестановочности операций дифференцирования и варьирования, имеем

после чего уравнение принимает вид

В таком виде полученное уравнение выражает «принцип наименьшего действия» Гамильтона для общих механических систем. На действительной траектории системы обращается в нуль интеграл от функции

Если силы, действующие на систему, обладают силовой функцией , то имеет место соотношение

а выведенное выше уравнение принимает вид

Так как варьирование не связано с изменением времени, то операции варьирования и интегрирования можно поменять местами:

т. e. интеграл на действительной траектории имеет стационарное значение.

Мы показали необходимость стационарного значения интеграла на действительной траектории. Покажем, что обращение вариации интеграла в нуль является достаточным условием действительного движения системы. Для этого достаточно из принципа Гамильтона получить уравнения движения системы.

Рассмотрим механическую систему с голономными идеальными связями, положение которой определяется лагранжевыми координатами а живая сила

зависит от обобщенных скоростей, координат и времени. Принимая во внимание известное соотношение

перепишем принцип Гамильтона в виде

Выполняя варьирование живой силы

и интегрируя затем по частям

так как на концах интервала вариации координат равны нулю, из принципа Гамильтона получим

Вариации произвольны и независимы внутри интервала а тогда в силу основной леммы вариационного исчисления равенство будет возможно только тогда, когда все коэффициенты при обращаются в нуль, т. е. когда выполняются условия

Полученные уравнения должны выполняться в действительном движении механической системы. Достаточность принципа Гамильтона доказывается тем, что эти уравнения являются уравнениями Лагранжа второго рода, описывающими движение механической системы, на которую наложены голономные идеальные связи.

Принцип Гамильтона для механических систем с голономными идеальными связями можно теперь сформулировать следующим образом:

Действительное движение системы с голономными идеальными связями между двумя заданными положениями отличается от кинематически возможных между этими положениями движений, совершаемых за тот же промежуток времени, тем, что на действительном движении обращается в нуль интеграл

для всех значений удовлетворяющих указанным условиям.

Использование принципа Даламбера позволяет не учитывать силы реакции связей и дает возможность применять произвольные обобщенные координаты. Однако, получение уравнений в обобщенных координатах может представлять трудности из-за наличия в принципе Даламбера (2.13) скалярных произведений. С помощью преобразований координат уравнения (2.13) можно преобразовать к виду, содержащему только скалярные функции обобщенных координат. Мы укажем другой путь, когда вначале от принципа Даламбера переходят к интегральному вариационному принципу. Получение уравнений механики из вариационного принципа позволило получить много важных результатов. В дальнейшем вариационные принципы стали использовать и в других областях теоретической физики.

Рассмотрим случай, когда силы имеют потенциал. Тогда виртуальная работа сил запишется в форме (2.14)

В общем случае потенциальная энергия может зависеть от времени. Поскольку вариация вычисляется при фиксированном , это никак не сказывается на выводах. При использовании обобщенных координат потенциальная энергия в конечном счете является функцией обобщенных координат. Тогда вариация потенциальной энергии будет иметь вид

(2.15)

По аналогии с выражениями (1.12) частные производные от потенциальной энергии по обобщенным координатам называют Обобщенными силами:

Для того чтобы преобразовать слагаемые с ускорениями к вариации от скалярной функции, предварительно проинтегрируем уравнение (2.9) по времени: . (2.17)

(2.18)

Будем считать, что начальное в момент времени И конечное в момент времени положения системы материальных точек заданы. Поэтому для этих моментов времени равно нулю, и первое слагаемое в (2.18) обращается в нуль. Так как вариации координат рассматриваются для фиксированных моментов времени, то производную по времени и варьирование можно переставить местами. Второе слагаемое в (2.18) преобразуется к виду

(2.19)

Такие же преобразования можно произвести для всех координат всех материальных точек. Учтем еще выражение (2.14) виртуальной работы через потенциальную функцию. В результате для интеграла (2.17) получим

. (2.20) Разность кинетической и потенциальной энергии, которая входит в последний из интегралов в формуле (2.20), называется Функцией Лагранжа и обозначается буквой . Функция Лагранжа зависит от координат и скоростей материальных точек. При переходе к обобщенным координатам она выражается через обобщенные координаты и обобщенные скорости:

Время может и не входить в функцию Лагранжа. Интеграл из (2.20) обозначается буквой и называется Действием; (2.22)

После введения этих обозначений условие (2.20) принимает вид . (2.23)

Вариация действия равна нулю. Это означает, что действие имеет экстремум, принимает наибольшее или наименьшее значение, если в интеграл (2.22) в качестве зависимости подставить функции, описывающие движение механической системы. Поэтому условие экстремума действия можно использовать для отыскания закона движения системы материальных точек.

Теперь можно сформулировать Интегральный принцип, называемый Принципом Гамильтона: Движение механической системы за конечный промежуток вре­мени от До Происходит таким образом, что действие имеет при этом экстремум.

Для консервативных систем принцип Гамильтона эквивалентен законам Ньютона. Поэтому он может считаться основным принципом механики, из которого выводятся все уравнения механики.. Это - вариационный принцип, так как зависимость обобщенных координат от времени находится из условия минимума интеграла действия. Одним из преимуществ применения принципа Гамильтона является то, что в него входят только скалярные функции, которые можно пересчитать к произвольным обобщенным координатам. Поэтому уравнения, которые вытекают из вариационного принципа, оказываются сразу записанными в обобщенных координатах. Получение уравнений механики из вариационного принципа так же позволило решить ряд фундаментальных вопро­сов классической механики.