Решение дробно рациональных уравнений. Алгоритм решения рациональных уравнений

Сегодня мы разберемся, как решать дробные рациональные уравнения.

Посмотрим: из уравнений

(1) 2х + 5 = 3(8 – х),

(3)

(4)

дробными рациональными уравнениями являются только (2) и (4), а (1) и (3) это целые уравнения.

Предлагаю решить уравнение (4), а затем сформулировать правило.

Поскольку уравнение дробное, то надо найти общий знаменатель. В этом уравнении это выражение 6(х – 12)(х – 6). Затем мы умножаем обе части уравнения на общий знаменатель:

После сокращения получаем целое уравнение:

6(х – 6) 2 – 6(х – 12) 2 = 5(х – 12)(х – 6).

Решив это уравнение надо обязательно проверить не обращают ли полученные корни в нуль знаменатели дробей в исходном уравнении.

Раскрываем скобки:
6х 2 – 72х + 216 – 6х 2 + 144х – 864 = 5х 2 – 90х + 360, упрощаем уравнение: 5х 2 – 162х + 1008 = 0.

Находим корни уравнения
D = 6084, √D = 78,
х 1 = (162 – 78)/10= 84/10 = 8,4 и х 2 = (162 + 78)/10 = 240/10 = 24.

При х = 8,4 и 24 общий знаменатель 6(х – 12)(х – 6) ≠ 0, значит эти числа являются корнями уравнения (4).

Ответ: 8,4; 24.

Решив предложенное уравнение, приходим к следующим положениям :

1) Находим общий знаменатель.

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель.

3) Решаем полученное целое уравнение.

4) Проверяем, какие из корней обращают общий знаменатель в нуль и исключаем их из решения.

Посмотрим теперь на примере, как работают полученные положения.

Решить уравнение:

1) Общий знаменатель: х 2 – 1

2) Умножаем обе части уравнения на общий знаменатель, получаем целое уравнение: 6 – 2(х + 1) = 2(х 2 – 1) – (х + 4)(х – 1)

3) Решаем уравнение: 6 – 2х – 2 = 2х 2 – 2 – х 2 – 4х + х + 4

х 2 – х – 2 = 0

х 1 = - 1 и х 2 = 2

4) При х = -1, общий знаменатель х 2 – 1 = 0. Число -1 корнем не является.

При х = 2, общий знаменатель х 2 – 1 ≠ 0. Число 2 – корень уравнения.

Ответ : 2.

Как видите, наши положения работают. Не бойтесь, у вас все получится! Самое главное правильно найдите общий знаменатель и аккуратно выполните преобразования . Надеемся, что при решение дробных рациональных уравнений у вас всегда будут получаться правильные ответы. Если у вас остались вопросы или вы хотите попрактиковаться в решении подобных уравнений, записывайтесь на уроки к автору этой статьи, репетитору й.

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Наименьший общий знаменатель используется для упрощения данного уравнения. Этот метод применим в том случае, когда нельзя записать данное уравнение с одним рациональным выражением на каждой стороне уравнения (и воспользоваться методом умножения крест-накрест). Этот метод используется, когда дано рациональное уравнение с тремя или более дробями (в случае двух дробей лучше применить умножение крест-накрест).

Найдите наименьший общий знаменатель дробей (или наименьшее общее кратное). НОЗ - это наименьшее число, которое делится нацело на каждый знаменатель.

Иногда НОЗ - очевидное число. Например, если дано уравнение: х/3 + 1/2 = (3x +1)/6, то очевидно, что наименьшим общим кратным для чисел 3, 2 и 6 будет 6.
Если НОЗ не очевиден, выпишите кратные самого большого знаменателя и найдите среди них такой, который будет кратным и для других знаменателей. Зачастую НОЗ можно найти, просто перемножив два знаменателя. Например, если дано уравнение x/8 + 2/6 = (x - 3)/9, то НОЗ = 8*9 = 72.
Если один или несколько знаменателей содержат переменную, то процесс несколько усложняется (но не становится невозможным). В этом случае НОЗ представляет собой выражение (содержащее переменную), которое делится на каждый знаменатель. Например, в уравнении 5/(х-1) = 1/х + 2/(3x) НОЗ = 3x(х-1), потому что это выражение делится на каждый знаменатель: 3x(х-1)/(х-1) = 3x; 3x(х-1)/3х = (х-1); 3x(х-1)/х = 3(х-1).

Умножьте и числитель, и знаменатель каждой дроби на число, равное результату деления НОЗ на соответствующий знаменатель каждой дроби. Так как вы умножаете и числитель, и знаменатель на одно и то же число, то фактически вы умножаете дробь на 1 (например, 2/2 = 1 или 3/3 = 1).

Таким образом, в нашем примере умножьте х/3 на 2/2, чтобы получить 2x/6, и 1/2 умножьте на 3/3, чтобы получить 3/6 (дробь 3x +1/6 умножать не надо, так как ее знаменатель равен 6).
Действуйте аналогично в случае, когда переменная находится в знаменателе. В нашем втором примере НОЗ = 3x(x-1), поэтому 5/(x-1) умножьте на (3x)/(3x) и получите 5(3x)/(3x)(x-1); 1/x умножьте на 3(x-1)/3(x-1) и получите 3(x-1)/3x(x-1); 2/(3x) умножьте на (x-1)/(x-1) и получите 2(x-1)/3x(x-1).

Найдите «х». Теперь, когда вы привели дроби к общему знаменателю, вы можете избавиться от знаменателя. Для этого умножьте каждую сторону уравнения на общий знаменатель. Затем решите полученное уравнение, то есть найдите «х». Для этого обособьте переменную на одной из сторон уравнения.

В нашем примере: 2x/6 + 3/6 = (3x +1)/6. Вы можете сложить две дроби с одинаковым знаменателем, поэтому запишите уравнение как: (2x+3)/6=(3x+1)/6. Умножьте обе части уравнения на 6 и избавьтесь от знаменателей: 2x+3 = 3x +1. Решите и получите х = 2.
В нашем втором примере (с переменной в знаменателе) уравнение имеет вид (после приведения к общему знаменателю): 5(3x)/(3x)(x-1) = 3(x-1)/3x(x-1) + 2(x-1)/3x(x-1). Умножив обе стороны уравнения на НОЗ, вы избавитесь от знаменателя и получите: 5(3x) = 3(х-1) + 2(х-1), или 15x = 3x - 3 + 2x -2, или 15х = х - 5. Решите и получите: х = -5/14.

«Рациональные уравнения с многочленами» - одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» - это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Решение дробно-рациональных уравнений

Если вы ученик восьмого класса, и вдруг случилось так, что вы пропустили урок или пропустили мимо ушей то, о чем говорил учитель, эта статья для вас!

Для начала давайте разберемся, что же это такое - дробно-рациональные уравнения? В любом учебнике есть такое определение: Дробно-рациональным уравнением, называется уравнение вида \(fxg(x)=0\) .

И конечно, это определение, ни о чем вам не говорит. Тогда я привожу примеры, а вы постарайтесь выявить закономерность, найти что-то общее.

\({{-2x-4}\over {x^2-4}}={{x+5}\over {x-2}}\) \({{3x^2-6}\over 2(x+1)} =x-1\) \({x\over x-2 } + {8\over{4-x^2}} - {1\over x+2}=0\)

А эти уравнения не являются дробно-рациональными:

\(3x^2+x-25=0 \) \({{2-x}\over {2}}+{{3x\over 5}}=4\) \({{2x-1}\over 2}+{5x\over6}-{1-x\over 3}=3x-2\)

Два последних уравнения точно не относятся к дробно-рациональным, несмотря на то, что они состоят из дробей. Но самое важное, что в знаменателе нет переменной (буквы). А вот в дробно-рациональном уравнении в знаменателе всегда есть переменная.

Итак, после того, как вы верно определили, какое именно епред вами уранвение, начнем его решать. Первое, что нужно сделать, обозначается тремя большими буквами, О.Д.З. Что же означают эти буквы? О бласть Д опустимых З начений. Что это означает в науке математике, сейчас объяснять не буду, наша цель научиться решать уравнения, а не повторить тему «Алгебраические дроби». А вот для нашей цели это означает следующее: мы берем знаменатель или знаменатели наших дробей, выписываем их отдельно и отмечаем, что они не равны нулю.

Если для примера использовать наши уравнения \({{-2x-4}\over x^2-4}={x+5\over x-2}\) , делаем так:

ОДЗ: \(x^2-4≠0 \)

\(x-2≠0 \)

\({3x^2-6\over 2(x+1)} =x-1 \)

ОДЗ: \(x+1≠0\)

Почему не указали множитель 2? Так ясно же, что 2≠0

\({x\over x-2}+{8\over 4-x^2}-{1\over x+2}=0\)

ОДЗ: \(x-2≠0\)

\(4-x^2≠0\)

\(x+2≠0\)

Вроде пока все просто. Что дальше? Следующий шаг будет зависеть от того, насколько вы продвинуты в математике. Если вы можете, то решите эти уравнения со знаком , а если не можешь, пока оставьте так, как есть. И идем дальше.

Дальше все дроби, входящие в уравнения, нужно представить в виде одной дроби. Для этого нужно найти общий знаменатель дроби. И в конце выписать то, что получилось, в числителе и приравнять это выражение к нулю. А потом решить уравнение.

Вернемся к нашим примерам: \({-2x-4\over x^2-4}={x+5 \over x-2} \) ОДЗ: \(x^2-4≠0\)

\({-2x-4\over x^2-4}-{x+5 \over x-2}=0 \) \(x-2≠0 \)

Перенесли дробь влево, при этом поменяли знак. Замечаем, что знаменатель \(x^2-4 \) можно разложить на множители, с помощью формулы сокращенного умножения \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) , а в числителе можно вынести общий множитель «-2» за скобку.

\({-2(x+2)\over (x+2)(x-2)} -{x+5\over x-2}=0\)

Еще раз смотрим на ОДЗ, есть он у нас? Есть! Тогда можно сократить первую дробь на x+2 . Если ОДЗ нет, сокращать нельзя! Получаем:

\({-2\over x-2}-{x+5 \over x-2}=0\)

Дроби имеют общий знаменатель, значит, их можно отнять:

\({-2-x-5\over x-2}=0\)

Обращаем внимание, так как дроби отнимаем, знак «+» во второй дроби меняем на минус! Приводим в числителе подобные слагаемые:

\({-x-7 \over x-2}=0\)

Вспомним, что дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель нулю не равен. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ. Пора указать, что числитель равен нулю:

\(-x-7=0\)

Это линейное уравнение, переносим «-7» вправо, меняем знак:

\(-x=7\)

\(x=7:(-1)\)

\(x=-7\)

Вспоминаем про ОДЗ: \(x^2-4≠0 \) \(x-2≠0\) . Если вы смогли решить, то решили так: \(x^2≠4 \) \(x≠2\)

\(x_1≠2 \) \(x_2≠-2\)

А если решить не смогли, то подставляем в ОДЗ вместо «x» то, что получилось. У нас \(x=-7\)

Тогда: \((-7)^2-4≠0\) ? Выполняется? Выполняется!

Значит, ответ нашего уравнения: \(x=-7\)

Рассмотрим следующее уравнение: \({3x^2-6\over 2(x+1)}={x-1}\)

Решаем тем же способом. Сначала указываем ОДЗ: \(x+1≠0\)

Затем переносим x-1 влево, сразу этому выражению приписываем знаменатель 1, это можно сделать, так как знаменатель 1 ни на что не влияет.

Получаем: \({3x^2-6\over 2(x+1)} -{x-1\over1}=0\)

Ищем общий знаменатель, это \(2(x+1)\) . Вторую дробь домножаем на это выражение.

Получили: \({3x^2-6\over2(x+1)} -{(x-1)⋅2(x+1)\over2(x+1)} =0\)

\({ 3x^2-6-2x^2+2\over2(x+1)} =0 \)

Если сложно, поясню: \(2(x+1)(x-1)=2x^2-2 \) А так как перед второй дробью стоит знак «-», то, объединяя эти дроби в одну, мы знаки меняем на противоположные.

Замечаем, что \(x^2-4=(x-2)(x+2)\) и переписываем так: \({(x-2)(x+2)\over2(x+1)} =0\)

Дальше используем определение дроби равной нулю. Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. То, что знаменатель не равен нулю, мы указали в ОДЗ, укажем, что числитель равен нулю. \((x-2)(x+2)=0\) . И решим это уравнение. Оно состоит из двух множителей x-2 и x+2 . Помним, что произведение двух множителей равно нулю, когда один из множителей равен нулю.

Значит: x+2 =0 или x-2 =0

Из первого уравнения получаем x=-2 , из второго x=2 . Переносим число, и знак меняем.

На последнем этапе проверяем ОДЗ: x+1≠0

Подставляем вместо x числа 2 и -2.

Получаем 2+1≠0 . Выполняется? Да! Значит x=2 - наш корень. Проверяем следующий: -2+1≠0 . Выполняется. Да. Значит и x=-2, тоже наш корень. Итак, ответ: 2 и -2.

Последнее уравнение решим без пояснений. Алгоритм тот же:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Предварительный просмотр:

Урок по теме "Решение дробных рациональных уравнений". 8-й класс

Цели урока:

Обучающая:

закрепление понятия дробного рационального уравнения;
рассмотреть различные способы решения дробных рациональных уравнений;
рассмотреть алгоритм решения дробных рациональных уравнений, включающий условие равенства дроби нулю;
обучить решению дробных рациональных уравнений по алгоритму.

Развивающая:

развитие умения правильно оперировать полученными знаниями, логически мыслить;
развитие интеллектуальных умений и мыслительных операций - анализ, синтез, сравнение и обобщение;
развитие инициативы, умения принимать решения, не останавливаться на достигнутом;
развитие критического мышления;
развитие навыков исследовательской работы.

Воспитывающая:

воспитание познавательного интереса к предмету;
воспитание самостоятельности при решении учебных задач;
воспитание воли и упорства для достижения конечных результатов.

Тип урока : урок – закрепление и систематизация знаний, умений и навыков.

Ход урока

1. Организационный момент.

Здравствуйте, ребята! Сегодня на уроке мы рассмотрим с вами различные способы решения дробных рациональных уравнений. На доске написаны уравнения, посмотрите на них внимательно. Все ли из этих уравнений вы сможете решить?

1. 7 х – 14 = 0

Уравнения, в которых левая и правя часть, являются дробно-рациональными выражениями, называются дробные рациональные уравнения. Как вы думаете, что мы будем изучать сегодня на уроке? Сформулируйте тему урока. Итак, открываем тетради и записываем тему урока «Решение дробных рациональных уравнений».

2. Актуализация знаний. Фронтальный опрос, устная работа с классом, решение уравнений

Ответьте, пожалуйста, на следующие вопросы:

Как называется уравнение №1? (Линейное .) Способ решения линейных уравнений. (Все с неизвестным перенести в левую часть уравнения, все числа - в правую. Привести подобные слагаемые. Найти неизвестный множитель ).

Решим уравнение №1

Как называется уравнение №3? (Квадратное. ) Способы решения квадратных уравнений. (Выделение полного квадрата, по формулам, используя теорему Виета и ее следствия .)

Решим уравнение №3

Что представляет собой уравнение №2? (Пропорцию ). Что такое пропорция? (Равенство двух отношений .) Основное свойство пропорции. (Если пропорция верна, то произведение ее крайних членов равно произведению средних членов .)

Решим уравнение №2

Решение:

9 х = 18 ∙ 5

9 х = 90

Х = 90: 9

Х = 10

Ответ : 10

Какое дробно-рациональное уравнение можно попробовать решить, используя основное свойство пропорции? (№5). Но так как данное уравнение имеет знаменатель, содержащий неизвестное, то необходимо написать …? ОДЗ.

Решение:

ОДЗ: х ≠ − 2, х ≠ 4

(х – 2)(х – 4) = (х + 2)(х + 3)

Х 2 – 4 х – 2 х + 8 = х 2 + 3 х + 2 х + 6

х 2 – 6 х – х 2 – 5 х = 6 – 8

11 х = -2

Х = -2: (-11)

Ответ:

Решим уравнение №4. Какие свойство используются при решении этого уравнения? (Если обе части уравнения умножить на одно и то же отличное от нуля число, то получится уравнение, равносильное данному .)

Решение:

| ∙ 6

3 х – 3 + 4 х = 5х

7 х – 5 х = 3

2 х = 3

х = 3: 2

х = 1,5

Ответ : 1,5

Какое дробно-рациональное уравнение можно решить, умножая обе части уравнения на знаменатель? (№6).

Решение:

| ∙ (7 – х )

12 = х (7 – х )

12 = 7 х – х 2

х 2 – 7 х + 12 = 0

D = 1 > 0, х 1 = 3, х 2 = 4.

Ответ : 3; 4.

Теперь решим уравнение №7 двумя способами.

Решение:

1 способ:

ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

Когда дробь равна нулю? (Дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю .)

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не удовлетворяет ОДЗ. Говорят, 5 – посторонний корень.

Ответ: − 2

Решение:

2 способ:

| ∙ х (х – 5) ОДЗ: х ≠ 0, х ≠ 5

х (х – 3) + х – 5 = х + 5

х ² − 3 х + х – 5 – х – 5 = 0

х ² − 3 х – 10 = 0

D = 49 > 0, х 1 = 5, х 2 = − 2

х = 5 не удовлетворяет ОДЗ. 5 – посторонний корень.

Ответ: − 2

Давайте попробуем сформулировать алгоритм решения дробных рациональных уравнений данным способом. Дети сами формулируют алгоритм.

Перенести все в левую часть.
Привести дроби к общему знаменателю.
Решить уравнение, используя правило: дробь равна нулю, когда числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.
Исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)
Записать ответ.

Другой способ решения.

Алгоритм решения дробных рациональных уравнений:

1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;

2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель; не забыв написать ОДЗ

3. Решить получившееся целое уравнение;

4. Исключить из его корней те, которые обращают в нуль общий знаменатель (используя ОДЗ или проверкой)

5. Записать ответ.

Также можно решить уравнение, используя основное свойство пропорции, не забыв исключить из его корней те, которые обращают знаменатель в нуль (с помощью ОДЗ или проверкой)

8. Подведение итогов урока.

Итак, сегодня на уроке мы с вами познакомились с дробными рациональными уравнениями, научились решать эти уравнения различными способами. На следующем уроке, дома у вас будет возможность закрепить полученные знания.

Какой метод решения дробных рациональных уравнений, по вашему мнению, является более легким, доступным, рациональным? Не зависимо от метода решения дробных рациональных уравнений, о чем необходимо не забывать? В чем «коварство» дробных рациональных уравнений?

Всем спасибо, урок окончен.