Решение уравнений методом простой итерации excel. Список использованных литературных источников

В программе Excel имеется обширный инструментарий для решения различных видов уравнений разными методами.

Рассмотрим на примерах некоторые варианты решений.

Решение уравнений методом подбора параметров Excel

Инструмент «Подбор параметра» применяется в ситуации, когда известен результат, но неизвестны аргументы. Excel подбирает значения до тех пор, пока вычисление не даст нужный итог.

Путь к команде: «Данные» - «Работа с данными» - «Анализ «что-если»» - «Подбор параметра».

Рассмотрим на примере решение квадратного уравнения х 2 + 3х + 2 = 0. Порядок нахождения корня средствами Excel:

Для подбора параметра программа использует циклический процесс. Чтобы изменить число итераций и погрешность, нужно зайти в параметры Excel. На вкладке «Формулы» установить предельное количество итераций, относительную погрешность. Поставить галочку «включить итеративные вычисления».

Как решить систему уравнений матричным методом в Excel

Дана система уравнений:

Получены корни уравнений.

Решение системы уравнений методом Крамера в Excel

Возьмем систему уравнений из предыдущего примера:

Для их решения методом Крамера вычислим определители матриц, полученных заменой одного столбца в матрице А на столбец-матрицу В.

Для расчета определителей используем функцию МОПРЕД. Аргумент – диапазон с соответствующей матрицей.

Рассчитаем также определитель матрицы А (массив – диапазон матрицы А).

Определитель системы больше 0 – решение можно найти по формуле Крамера (D x / |A|).

Для расчета Х 1: =U2/$U$1, где U2 – D1. Для расчета Х 2: =U3/$U$1. И т.д. Получим корни уравнений:

Решение систем уравнений методом Гаусса в Excel

Для примера возьмем простейшую систему уравнений:

3а + 2в – 5с = -1
2а – в – 3с = 13
а + 2в – с = 9

Коэффициенты запишем в матрицу А. Свободные члены – в матрицу В.

Для наглядности свободные члены выделим заливкой. Если в первой ячейке матрицы А оказался 0, нужно поменять местами строки, чтобы здесь оказалось отличное от 0 значение.

Примеры решения уравнений методом итераций в Excel

Вычисления в книге должны быть настроены следующим образом:

Делается это на вкладке «Формулы» в «Параметрах Excel». Найдем корень уравнения х – х 3 + 1 = 0 (а = 1, b = 2) методом итерации с применением циклических ссылок. Формула:

Х n+1 = X n – F (X n) / M, n = 0, 1, 2, … .

M – максимальное значение производной по модулю. Чтобы найти М, произведем вычисления:

f’ (1) = -2 * f’ (2) = -11.

Полученное значение меньше 0. Поэтому функция будет с противоположным знаком: f (х) = -х + х 3 – 1. М = 11.

В ячейку А3 введем значение: а = 1. Точность – три знака после запятой. Для расчета текущего значения х в соседнюю ячейку (В3) введем формулу: =ЕСЛИ(B3=0;A3;B3-(-B3+СТЕПЕНЬ(B3;3)-1/11)).

В ячейке С3 проконтролируем значение f (x): с помощью формулы =B3-СТЕПЕНЬ(B3;3)+1.

Корень уравнения – 1,179. Введем в ячейку А3 значение 2. Получим тот же результат:

Корень на заданном промежутке один.

Нахождение корней уравнений

Графический способ нахождения корней заключается в построении графика функции f(x) на отрезке . Точка пересечения графика функции с осью абсцисс дает приближенное значение корня уравнения.

Найденные таким образом приближенные значения корней позволяют выделить отрезки , на которых при необходимости можно выполнить уточнение корней.

При нахождении корней расчетным путем для непрерывных функций f(x) руководствуются следующими соображениями:

– если на концах отрезка функция имеет разные знаки, то между точками a и b на оси абсцисс имеется нечетное число корней;

– если же функция имеет одинаковые знаки на концах интервала, то между a и b имеется четное число корней или их совсем нет;

– если на концах отрезка функция имеет разные знаки и либо первая производная, либо вторая производная не меняют знаки на этом отрезке, то уравнение имеет единственный корень на отрезке .

Найдем все действительные корни уравнения x 5 –4x–2=0 на отрезке [–2,2]. Создадим электронную таблицу.

Таблица 1

В таблице 2 получены результаты расчета.

Таблица 2

Аналогично находится решение на интервалах [-2,-1], [-1,0].

Уточнение корней уравнения

С использованием режима «Поиск решений»

Для данного выше уравнения следует уточнить с погрешностью Е=0,001 все корни уравнения x 5 –4x–2=0.

Для уточнения корней на интервале [-2,-1] составим электронную таблицу.

Таблица 3

Запускаем режим «Поиск решения» в меню «Сервис». Выполняем команды режима. Режим показа отобразит найденные корни. Аналогично уточняем корни на других интервалах.

Уточнение корней уравнений

С использованием режима «Итерации»

Метод простых итераций имеет два режима «Вручную» и «Автоматически». Для запуска режима «Итерации» в меню «Сервис» открывают вкладку «Параметры». Далее следуют командам режима. На вкладке «Вычисления» можно выбрать режим автоматический или ручной.

Решение систем уравнений

Решение систем уравнений в Excel проводится методом обратных матриц. Решить систему уравнений:

Создадим электронную таблицу.

Таблица 4

A	B	C	D	E
Решение системы уравнений.

	Ax=b

Исходная матрица А		Правая часть b
-8
		-3
		-2		-2

Обратная матрица (1/А)		Вектор решения x=(1/A)/b
=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)
=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)	=МОБР(А6:С8)		=МУМНОЖ(А11:С13;Е6:Е8)

Функция МОБР возвращает массив значений, который вставляется сразу в целый столбец ячеек.

В таблице 5 представлены результаты расчета.

Таблица 5

A	B	C	D	E
Решение системы уравнений.

	Ax=b

Исходная матрица А		Правая часть b
-8
		-3
		-2		-2

Обратная матрица (1/А)		Вектор решения x=(1/A)/b
-0,149	0,054	-0,230
0,054	0,162	-0,189
-0,122	0,135	-0,824

Список использованных литературных источников

1. Турчак Л.И. Основы численных методов: Учеб. пособие для вузов/ ред. В.В. Щенников.–М.: Наука, 1987.–320с.

2. Банди Б. Методы оптимизации. Вводный курс.–М.: Радио и связь, 1988.–128с.

3. Евсеев А.М., Николаева Л.С. Математическое моделирование химических равновесий.–М.: Изд-во Моск. ун-та, 1988.–192с.

4. Безденежных А.А. Инженерные методы составления уравнений скоростей реакций и расчета кинетических констант.–Л.: Химия, 1973.–256с.

5. Степанова Н.Ф., Ерлыкина М.Е., Филиппов Г.Г. Методы линейной алгебры в физической химии.–М.: Изд-во Моск. ун-та, 1976.–359с.

6. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы в задачах и упражнениях: Учеб. пособие для вузов/ Бахвалов Н.С., Лапин А.В., Чижонков Е.В. - М.: Высш. шк., 2000.-190с. - (Высшая математика/ Садовничий В.А.)

7. Применение вычислительной математики в химической и физической кинетике, под ред. Л.С. Полак, М.: Наука, 1969, 279 стр.

8. Алгоритмизация расчетов в химической технологии Б.А. Жидков, А.Г. Бондарь

9. Вычислительные методы для инженеров-химиков. Х.Розенброк, С.Стори

10. Орвис В.Д. Excel для ученых, инженеров и студентов. – Киев: Юниор, 1999.

11. Ю.Ю. Тарасевич Численные методы на Mathcade – Астраханский гос.пед.ун-т: Астрахань, 2000.

Пример 3.1. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений (3.1) методом Якоби.

Итерационные методы можно использовать для заданной системы, т.к. выполняется условие «преобладания диагональных коэффициентов», что обеспечивает сходимость этих методов.

Расчетная схема метода Якоби приведена на рис (3.1).

Приведите систему(3.1). к нормальному виду:

, (3.2)

или в матричной форме

, (3.3)

Рис.3.1.

Для определения количества итераций, необходимое для достижения заданной точности e, и приближенного решения системы полезно в столбце Н установить Условный формат . Результат такого форматирования виден на рис.3.1. Ячейки столбца Н, значения которых удовлетворяют условию (3.4) тонированы.

(3.4)

Анализируя результаты, принимаем за приближенное решение исходной системы с заданной точностью e=0,1 четвертую итерацию,

т.е. х 1 =10216; х 2 = 2,0225, х 3 = 0,9912

Изменяя значение e в ячейке Н5 можно получить новое приближенное решение исходной системы с новой точностью.

Проанализируйте сходимость итерационного процесса, построив графики изменения каждой компоненты решения СЛАУ в зависимости от номера итерации.

Для этого выделите блок ячеек А10:D20 и, используя Мастер диаграмм , постройте графики, отражающие сходимость итерационного процесса, рис.3.2.

Аналогично решается система линейных алгебраических уравнений методом Зейделя.

Лабораторная работа №4

Тема. Численные методы решения линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми условиями. Метод конечных разностей

Задание. Решить краевую задачу методом конечных разностей, построив два приближения (две итерации) с шагом h и с шагом h/2.

Проанализировать полученные результаты. Варианты заданий приведены в приложении 4.

Порядок выполнения работы

1. Постройте вручную конечноразностную аппроксимацию краевой задачи (конечноразностную СЛАУ) с шагом h , заданным вариантом.

2. Используя метод конечных разностей, сформируйте в Excel систему линейных алгебраических конечно-разностных уравнений для шага h разбивки отрезка . Запишите эту СЛАУ на рабочем листе книги Excel . Расчетная схема приведена на рис.4.1.

3. Полученную СЛАУ решите методом прогонки.

4. Проверьте правильность решения СЛАУ с помощью надстройки Excel Поиск решения .

5. Уменьшите шаг сетки в 2 раза и еще раз решите задачу. Результаты представьте в графическом виде.

6. Сравните полученные результаты. Сделайте вывод о необходимости продолжения или о прекращении счета.

Решение краевой задачи с использованием электронных таблиц Microsoft Excel.

Пример 4.1. Методом конечных разностей найти решение краевой задачи , y(1)=1, y ’ (2)=0,5 на отрезке xÎ с шагом h=0,2 и с шагом h=0,1. Сравнить полученные результаты и сделать вывод о необходимости продолжения или о прекращении счета.

Расчетная схема для шага h=0,2 приведена на рис.4.1.

Полученное решение (сеточную функцию) Y {1.000, 1.245, 1.474, 1.673, 1.829, 1.930}, Х {1; 1,2; 1,4; 1,6; 1,8;2} в столбце L и B можно принять за первую итерацию (первое приближение) исходной задачи.

Для нахождения второй итерации сделайте сетку вдвое гуще (n=10, шаг h=0,1) и повторите приведенный выше алгоритм.

Это можно проделать на том же или на другом листе книги Excel . Решение (второе приближение) приведено на рис.4.2.

Сравните полученные приближенные решения. Для наглядности можно построить графики этих двух приближений (двух сеточных функций), рис.4.3.

Порядок построения графиков приближенных решений краевой задачи

1. Постройте график решения задачи для разностной сетки с шагом h=0,2 (n=5).

2. Активизируйте уже построенный график и выберите команду меню Диаграмма\Добавить данные

3. В окне Новые данные укажите данные x i , y i для разностной сетки с шагом h/2 (n=10).

4. В окне Специальная вставка установите флажки в полях:

Ø новые ряды,

Как видно из приведенных данных, два приближенных решения краевой задачи (две сеточные функции) отличаются друг от друга не более, чем на 5%. Поэтому за приближенное решение исходной задачи принимаем вторую итерацию, т.е.

Y {1, 1.124, 1.246, 1.364, 1.478, 1.584, 1.683, 1.772, 1.849, 1.914, 1.964}

Лабораторная работа №5

Министерство общего образования

Российской федерации

Уральский государственный технический университет-УПИ

филиал в г.Краснотурьинске

Кафедра вычислительной техники

Курсовая работа

По численным методам

Решение линейных уравнений методом простой итерации

c помощью программы Microsoft Excel

Руководитель Кузьмина Н.В.

Студент Нигматзянов Т.Р.

Группа М-177Т

Тема: «Нахождение с заданной точностью корня уравнения F(x)=0 на промежутке методом простой итерации».

Контрольный пример: 0,25-х+sinx=0

Условия задачи: для заданной функции F(x) на интервале найти корень уравнения F(x)=0 методом простой итерации.

Корень вычислить дважды(с помощью автоматического и ручного расчета).

Предусмотреть построение графика функции на заданном интервале.

Введение 4

1.Теоретическая часть 5

2.Описание хода работы 7

3.Входные и выходные данные 8

Заключение 9

Приложение 10

Библиографический список 12

Введение.

В ходе данной работы мне необходимо ознакомиться с различными методами решения уравнения и найти корень нелинейного уравнения 0,25-х+sin(x)=0 численным методом – методом простой итерации. Для проверки правильности нахождения корня необходимо решить уравнение графически,найти приближенное значение и сравнить его с полученным результатом.

1.Теоретичесакя часть.

Метод простой итерации.

Итерационный процесс состоит в последовательном уточнении начального приближения х0 (корня уравнения). Каждый такой шаг называется итерацией.

Для использования этого метода исходное нелинейное уравнение записывается в виде: х=j(х), т.е. выделяется х; j(х) – непрерывна и дифференцируема на интервале (а; в). Обычно это можно сделать несколькими способами:

Например:

arcsin(2x+1)-x 2 =0 (f(x)=0)

Способ 1.

arcsin(2x+1)=x 2

sin(arcsin(2x+1))=sin(x 2)

x=0.5(sinx 2 -1) (x=j(x))

Способ 2.

x=x+arcsin(2x+1)-x 2 (x=j(x))

Способ 3.

x 2 =arcsin(2x+1)

x= (x=j(x)),знак берется в зависимости от интервала [а;b].

Преобразование должно быть таким, чтобы ½j(x)<1½ для всех принадлежащих интервалу .В таком случае процесс итерации сходится.

Пусть известно начальное приближение корня x=c 0 .Подставляя это значение в правую часть уравнения x=j(x),получаем новое приближение корня:c=j(c 0).Далее, подставляя каждый раз новое значение корня в x=j(x),получаем последовательность значений

c n =j(c n-1) n=1,2,3,…

Процесс итераций следует продолжать до тех пор,пока для двух последовательных приближений не будет выполнено условие: ½c n -c n -1 ½

Решать уравнения численными методами можно с помощью языков программирования, но программа Excel дает возможность справиться сданной задачей более простым способом.

Программа Excel реализует метод простой итерации двумя способами с помощью ручного расчета и с автоматическим контролем точности.

у у=х

j(с 0)

с 0 с 2 с 4 с 6 с 8 корень с 9 с 7 с 5 с 3 с 1

Рис. График итерационного процесса

2.Описание хода работы.

1. Запустил МЕ.

2. Построил график функции y=x и y=0,25+sin(x) на отрезке с шагом 0,1 назвал лист «График».

3. Выбрал команду Сервис ® Параметры.
Открыл вкладку Вычисления .
Включил режим Вручную .
Отключил флажок Пересчет перед сохранением . Сделал значение поля Пре-дельное число итераций равным 1,относительную погрешность 0,001.

4. Ввел в ячейку А1 строку «Решение уравнения x=0,25+sin(x) методом простой итерации».

5. Ввел в ячейку А3 текст «Начальное значение»,в ячейку А4 текст «Начальный флаг»,в ячейку В3 значение 0,5 ,в ячейку В4 слово ИСТИНА.

6. Присвоил ячейкам В3 и В4 имя «нач_зн» и «нач».
В ячейке В6 будет выполняться проверка,равна ли истина значению ячейки «нач».Если это так,х будет установлено равным начальному значению, в противоположном случае равным ячейке В7,т.е. 0,25+синуса х.В ячейке В7 выч-исляется 0,25-синуса ячейки В6,и тем организуется циклическая ссылка.

7. В ячейку А6 ввел y=x,и в ячейку А7 y=0,25+sin(x).В ячейку В6 формулу:
=ЕСЛИ(нач;нач_зн;В7).
В ячейку В7 формулу: y=0,25+sin(B6).

8. В ячейку А9 ввел слово Погрешность.

9. В ячейку В9 ввел формулу: =В7-В6.

10. С помощью команды Формат-Ячейки (вкладка Число ) преобразовал ячейку В9 в экспоненциальный формат с двумя цифрами после запятой.

11. Затем организовал вторую циклическую ссылку-для подсчета количества ите-раций.В ячейку А11 ввел текст «Количество итераций».

12. В ячейку В11 ввел формулу: =ЕСЛИ(нач;0;В12+1).

13. В ячейку В12 ввел =В11.

14. Для выполнения расчета установил табличный курсор в ячейку В4 и нажал клавишу F9(Вычислить) для запуска решения задачи.

15. Изменил значение начального флага на ЛОЖЬ,и снова нажал F9.При каждом нажатии F9 выполняется одна итерация и вычисляется следующее приближен-ное значение х.

16. Нажимал клавишу F9 до тех пор, пока значение х не достигло необходимой точности.
При автоматическом расчете:

17. Перешел на другой лист.

18. Повторил пункты с 4 по 7,только в ячейку В4 ввел значение ЛОЖЬ.

19. Выбрал команду Сервис ® Параметры (вкладка Вычисления ).Установил зна-чение поля Предельное число итераций равным 100,относительную погреш-ность равной 0,0000001.Включил ркжим Автоматически .