Решение уравнений с натуральным логарифмом. Методика решения логарифмических уравнений

Примеры:

\(\log_{2}{⁡x} = 32\)
\(\log_3⁡x=\log_3⁡9\)
\(\log_3⁡{(x^2-3)}=\log_3⁡{(2x)}\)
\(\log_{x+1}{(x^2+3x-7)}=2\)
\(\lg^2⁡{(x+1)}+10=11 \lg⁡{(x+1)}\)

Как решать логарифмические уравнения:

При решении логарифмического уравнения нужно стремиться преобразовать его к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), после чего сделать переход к \(f(x)=g(x)\).

\(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) \(⇒\) \(f(x)=g(x)\).

Пример: \(\log_2⁡(x-2)=3\)

Решение:
\(\log_2⁡(x-2)=\log_2⁡8\)
\(x-2=8\)
\(x=10\)
Проверка: \(10>2\) - подходит по ОДЗ
Ответ: \(x=10\)

ОДЗ:
\(x-2>0\)
\(x>2\)

Очень важно! Этот переход можно делать только если:

Вы написали для исходного уравнения, и в конце проверите, входят ли найденные в ОДЗ. Если это не сделать, могут появиться лишние корни, а значит – неверное решение.

Число (или выражение) в слева и справа одинаково;

Логарифмы слева и справа - «чистые», то есть не должно быть никаких , умножений, делений и т.д. – только одинокие логарифмы по обе стороны от знака равно.

Например:

Заметим, что уравнения 3 и 4 можно легко решить, применив нужные свойства логарифмов.

Пример . Решить уравнение \(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(2\log_8⁡x=\log_8⁡2,5+\log_8⁡10\) ОДЗ: \(x>0\)		Слева перед логарифмом стоит коэффициент, справа сумма логарифмов. Это нам мешает. Перенесем двойку в показатель степени \(x\) по свойству: \(n \log_b{⁡a}=\log_b⁡{a^n}\). Сумму логарифмов представим в виде одного логарифма по свойству: \(\log_a⁡b+\log_a⁡c=\log_a{⁡bc}\)
\(\log_8⁡{x^2}=\log_8⁡25\)		Мы привели уравнение к виду \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\) и записали ОДЗ, значит можно выполнить переход к виду \(f(x)=g(x)\).
		Получилось . Решаем его и получаем корни.
\(x_1=5\) \(x_2=-5\)		Проверяем подходят ли корни под ОДЗ. Для этого в \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(5\) и \(-5\). Эту операцию можно выполнить устно.
\(5>0\), \(-5>0\)		Первое неравенство верное, второе – нет. Значит \(5\) – корень уравнения, а вот \(-5\) – нет. Записываем ответ.

Ответ : \(5\)

Пример : Решить уравнение \(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\)

Решение :

		Напишем ОДЗ: \(x>0\).
\(\log^2_2⁡{x}-3 \log_2{⁡x}+2=0\) ОДЗ: \(x>0\)		Типичное уравнение, решаемое с помощью . Заменяем \(\log_2⁡x\) на \(t\).
\(t=\log_2⁡x\)
		Получили обычное . Ищем его корни.
\(t_1=2\) \(t_2=1\)		Делаем обратную замену
\(\log_2{⁡x}=2\) \(\log_2{⁡x}=1\)		Преобразовываем правые части, представляя их как логарифмы: \(2=2 \cdot 1=2 \log_2⁡2=\log_2⁡4\) и \(1=\log_2⁡2\)
\(\log_2{⁡x}=\log_2⁡4\) \(\log_2{⁡x}=\log_2⁡2 \)		Теперь наши уравнения имеют вид \(\log_a⁡{f(x)}=\log_a⁡{g(x)}\), и мы можем выполнить переход к \(f(x)=g(x)\).
\(x_1=4\) \(x_2=2\)		Проверяем соответствие корней ОДЗ. Для этого в неравенство \(x>0\) вместо \(x\) подставляем \(4\) и \(2\).
\(4>0\) \(2>0\)		Оба неравенства верны. Значит и \(4\) и \(2\) корни уравнения.

Ответ : \(4\); \(2\).

На уравнениях такого вида многие ученики «зависают». При этом сами задачи отнюдь не являются сложными — достаточно просто выполнить грамотную замену переменной, для чего следует научиться выделять устойчивые выражения.

В дополнение к этому уроку вас ждет довольно объемная самостоятельная работа, состоящая из двух вариантов по 6 задач в каждом.

Метод группировки

Сегодня мы разберем два логарифмических уравнения, одно из которых не решается «напролом» и требует специальных преобразований, а второе... впрочем, не буду рассказывать все сразу. Смотрите видео, скачивайте самостоятельную работу — и учитесь решать сложные задачи.

Итак, группировка и вынесение общих множителей за скобку. Дополнительно я расскажу вам, какие подводные камни несет область определения логарифмов, и как небольшие замечания по области определений могут существенно менять как корни, так и все решение.

Начнем из группировки. Нам нужно решить следующее логарифмическое уравнение:

log 2 x · log 2 (x − 3) + 1 = log 2 (x 2 − 3x )

В первую очередь отметим, что x 2 − 3x можно разложить на множители:

log 2 x (x − 3)

Затем вспоминаем замечательную формулу:

log a fg = log a f + log a g

Сразу же небольшое замечание: данная формула прекрасно работает, когда а, f и g — обычные числа. Но когда вместо них стоят функции, данные выражения перестают быть равноправными. Представьте себе такую гипотетическую ситуацию:

f < 0; g < 0

В этом случае произведение fg будет положительным, следовательно, log a (fg ) будет существовать, а вот log a f и log a g отдельно существовать не будут, и выполнить такое преобразование мы не сможем.

Игнорирование данного факта приведет к сужению области определения и, как следствие, к потере корней. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, нужно обязательно заранее убедиться, что функции f и g положительные.

В нашем случае все просто. Поскольку в исходном уравнении есть функция log 2 x , то x > 0 (ведь переменная x стоит в аргументе). Также имеется log 2 (x − 3), поэтому x − 3 > 0.

Следовательно, в функции log 2 x (x − 3) каждый множитель будет больше нуля. Поэтому можно смело раскладывать произведение на сумму:

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 = log 2 x + log 2 (x − 3)

log 2 x log 2 (x − 3) + 1 − log 2 x − log 2 (x − 3) = 0

На первый взгляд может показаться, что легче не стало. Напротив: количество слагаемых лишь увеличились! Чтобы понять, как действовать дальше, введем новые переменные:

log 2 x = а

log 2 (x − 3) = b

a · b + 1 − a − b = 0

А теперь сгруппируем третье слагаемое с первым:

(a · b − a ) + (1 − b ) = 0

a (1 · b − 1) + (1 − b ) = 0

Заметим, что и в первой, и во второй скобке стоит b − 1 (во втором случае придется вынести «минус» за скобку). Разложим нашу конструкцию на множители:

a (1 · b − 1) − (b − 1) = 0

(b − 1)(а · 1 − 1) = 0

А теперь вспоминаем наше замечательно правило: произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

b − 1 = 0 ⇒ b = 1;

a − 1 = 0 ⇒ a = 1.

Вспоминаем, что такое b и а. Получим два простейших логарифмических уравнения, в которых останется лишь избавиться от знаков logи приравнять аргументы:

log 2 x = 1 ⇒ log 2 x = log 2 2 ⇒ x 1 =2;

log 2 (x − 3) = 1 ⇒ log 2 (x − 3) = log 2 2 ⇒ x 2 = 5

Мы получили два корня, но это не решение исходного логарифмического уравнения, а лишь кандидаты в ответ. Теперь проверим область определения. Для первого аргумента:

x > 0

Оба корня удовлетворяют первому требованию. Переходим ко второму аргументу:

x − 3 > 0 ⇒ x > 3

А вот здесь уже x = 2 нас не удовлетворяет, зато x = 5 вполне нас устраивает. Следовательно, единственным ответом будет x = 5.

Переходим ко второму логарифмическому равнению. На первый взгляд, оно существенно проще. Однако в процессе его решения мы рассмотрим тонкие моменты, связанные с областью определения, незнание которых существенно усложняет жизнь начинающим ученикам.

log 0,7 (x 2 − 6x + 2) = log 0,7 (7 − 2x )

Перед нами каноническая форма логарифмического уравнения. Ничего преобразовывать не нужно — даже основания одинаковые. Поэтому просто приравниваем аргументы:

x 2 − 6x + 2 = 7 − 2x

x 2 − 6x + 2 − 7 + 2x = 0

x 2 − 4x − 5 = 0

Перед нами приведенное квадратное уравнение, оно легко решается по формулам Виета:

(x − 5) (x + 1) = 0;

x − 5 = 0 ⇒ x = 5;

x + 1 = 0 ⇒ x = −1.

Но эти корни еще не являются окончательными ответами. Нужно найти область определения, поскольку в исходном уравнении присутствуют два логарифма, т.е. учет области определения строго обязателен.

Итак, выпишем область определения. С одной стороны, аргумент первого логарифма должен быть больше нуля:

x 2 − 6x + 2 > 0

С другой — второй аргумент тоже должен быть больше нуля:

7 − 2x > 0

Эти требования должны выполняться одновременно. И вот тут начинается самое интересное. Безусловно, мы можем решить каждое из этих неравенств, затем пересечь их и найти область определения всего уравнения. Но зачем так усложнять себе жизнь?

Давайте заметим одну тонкость. Избавляясь от знаков log, мы приравниваем аргументы. Отсюда следует, что требования x 2 − 6x + 2 > 0 и 7 − 2x > 0 равносильны. Как следствие, любое из двух неравенств можно вычеркнуть. Давайте вычеркнем самое сложное, а себе оставим обычное линейное неравенство:

−2x > −7

x < 3,5

Поскольку мы делили обе части на отрицательное число, знак неравенства поменялся.

Итак, мы нашли ОДЗ без всяких квадратных неравенств, дискриминантов и пересечений. Теперь осталось просто выбрать корни, которые лежат на данном интервале. Очевидно, что нас устроит лишь x = −1, потому что x = 5 > 3,5.

Можно записать ответ: x = 1 является единственным решением исходного логарифмического уравнения.

Выводы из данного логарифмического уравнения следующие:

Не бойтесь раскладывать логарифмы на множители, а потом множители раскладывать на сумму логарифмов. Однако помните, что разбивая произведение на сумму двух логарифмов, вы тем самым сужаете область определения. Поэтому прежде чем выполнять такое преобразование, обязательно проверьте, каковы требования области определения. Чаще всего никаких проблем не возникает, однако лишний раз перестраховаться не помешает.
Избавляясь от канонической формы, старайтесь оптимизировать вычисления. В частности, если от нас требуется, чтобы f > 0 и g > 0, но в самом уравнении f = g , то смело вычеркиваем одно из неравенств, оставляя себе лишь самое простое. Область определения и ответы при этом никак не пострадают, а вот объем вычислений существенно сократится.

Вот, собственно, и все, что я хотел рассказать о группировке.:)

Типичные ошибки при решении

Сегодня мы разберем два типичных логарифмических уравнения, на которых спотыкаются многие ученики. На примере этих уравнения мы увидим, какие ошибки чаще всего допускаются в процессе решения и преобразования исходных выражений.

Дробно-рациональные уравнения с логарифмами

Сразу следует отметить, что это довольно коварный тип уравнений, в которых отнюдь не всегда сразу присутствует дробь с логарифмом где-то в знаменателе. Однако в процессе преобразований такая дробь обязательно возникнет.

При этом будьте внимательны: в процессе преобразований изначальная область определения логарифмов может существенно измениться!

Переходим к еще более жестким логарифмическим уравнениям, содержащим дроби и переменные основания. Чтобы за один короткий урок успеть больше, я не буду рассказывать элементарную теорию. Сразу перейдем к задачам:

4 log 25 (x − 1) − log 3 27 + 2 log x − 1 5 = 1

Посмотрев на это уравнение, кто-то спросит: «При чем здесь дробно-рациональное уравнение? Где в этом уравнении дробь?» Давайте не будем спешить и внимательно посмотрим на каждое слагаемое.

Первое слагаемое: 4 log 25 (x − 1). Основанием логарифма является число, но в аргументе стоит функция от переменной x . С этим мы пока ничего сделать не можем. Идем дальше.

Следующее слагаемое: log 3 27. Вспоминаем, что 27 = 3 3 . Следовательно, весь логарифм мы можем переписать следующим образом:

log 3 27 = 3 3 = 3

Итак, второе слагаемое — это просто тройка. Третье слагаемое: 2 log x − 1 5. Тут тоже не все просто: в основании стоит функция, в аргументе — обычное число. Предлагаю перевернуть весь логарифм по следующей формуле:

log a b = 1/log b a

Такое преобразование можно выполнить только если b ≠ 1. Иначе логарифм, который получится в знаменателе второй дроби, просто не будет существовать. В нашем случае b = 5, поэтому все в порядке:

2 log x − 1 5 = 2/log 5 (x − 1)

Перепишем исходное уравнение с учетом полученных преобразований:

4 log 25 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) = 1

В знаменателе дроби у нас стоит log 5 (x − 1), а в первом слагаемом мы имеем log 25 (x − 1). Но 25 = 5 2 , поэтому выносим квадрат из основания логарифма по правилу:

Другими словами, степень в основании логарифма становится дробью спереди. А выражение перепишется так:

4 1/2 log 5 (x − 1) − 3 + 2/ log 5 (x − 1) − 1 = 0

У нас получилось длинное уравнение с кучей одинаковых логарифмов. Введем новую переменную:

log 5 (x − 1) = t;

2t − 4 + 2/t = 0;

А вот это уже дробно-рациональное уравнение, которое решается средствами алгебры 8—9 класса. Для начала разделим все на двойку:

t − 2 + 1/t = 0;

(t 2 − 2t + 1)/t = 0

В скобках стоит точный квадрат. Свернем его:

(t − 1) 2 /t = 0

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Никогда не забывайте про этот факт:

(t − 1) 2 = 0

t = 1

t ≠ 0

Вспоминаем, что такое t :

log 5 (x − 1) = 1

log 5 (x − 1) = log 5 5

Избавляемся от знаков log, приравниваем их аргументы, и получаем:

x − 1 = 5 ⇒ x = 6

Все. Задача решена. Но давайте вернемся к исходному уравнению и вспомним, что там присутствовали сразу два логарифма с переменной x . Поэтому нужно выписать область определения. Поскольку x − 1 стоит в аргументе логарифма, это выражение должно быть больше нуля:

x − 1 > 0

С другой стороны, тот же x − 1 присутствует и в основании, поэтому должен отличаться от единицы:

x − 1 ≠ 1

Отсюда заключаем:

x > 1; x ≠ 2

Эти требования должны выполняться одновременно. Значение x = 6 удовлетворяет обоим требованиям, поэтому является x = 6 окончательным решением логарифмического уравнения.

Переходим ко второй задаче:

Вновь не будем спешить и посмотрим на каждое слагаемое:

log 4 (x + 1) — в основании стоит четверка. Обычное число, и его можно не трогать. Но в прошлый раз мы наткнулись на точный квадрат в основании, который пришлось выносить из-под знака логарифма. Давайте сейчас сделаем то же самое:

log 4 (x + 1) = 1/2 log 2 (x + 1)

Фишка в том, что у нас уже есть логарифм с переменной x , хоть и в основании — он является обратным к логарифму, который мы только что нашли:

8 log x + 1 2 = 8 · (1/log 2 (x + 1)) = 8/log 2 (x + 1)

Следующее слагаемое — log 2 8. Это константа, поскольку и аргументе, и в основании стоят обычные числа. Найдем значение:

log 2 8 = log 2 2 3 = 3

То же самое мы можем сделать и с последним логарифмом:

Теперь перепишем исходное уравнение:

1/2 · log 2 (x + 1) + 8/log 2 (x + 1) − 3 − 1 = 0;

log 2 (x + 1)/2 + 8/log 2 (x + 1) − 4 = 0

Приведем все к общему знаменателю:

Перед нами опять дробно-рациональное уравнение. Введем новую переменную:

t = log 2 (x + 1)

Перепишем уравнение с учетом новой переменной:

Будьте внимательны: на этом шаге я поменял слагаемые местами. В числителе дроби стоит квадрат разности:

Как и в прошлый раз, дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля:

(t − 4) 2 = 0 ⇒ t = 4;

t ≠ 0

Получили один корень, который удовлетворяет всем требованиям, поэтому возвращаемся к переменной x :

log 2 (x + 1) = 4;

log 2 (x + 1) = log 2 2 4;

x + 1 = 16;

x = 15

Все, мы решили уравнение. Но поскольку в исходном уравнении присутствовало несколько логарифмов, необходимо выписать область определения.

Так, выражение x + 1 стоит в аргументе логарифма. Поэтому x + 1 > 0. С другой стороны, x + 1 присутствует и в основании, т.е. x + 1 ≠ 1. Итого:

0 ≠ x > −1

Удовлетворяет ли найденный корень данным требованиям? Безусловно. Следовательно, x = 15 является решением исходного логарифмического уравнения.

Напоследок хотел бы сказать следующее: если вы смотрите на уравнение и понимаете, что вам предстоит решать что-то сложное и нестандартное, по старайтесь выделить устойчивые конструкции, которые впоследствии будут обозначены другой переменной. Если же какие-то слагаемые вообще не содержат переменную x , их зачастую можно просто вычислить.

Вот и все, о чем я хотел сегодня рассказать. Надеюсь, этот урок поможет вам в решении сложных логарифмических уравнений. Смотрите другие видеоуроки, скачивайте и решайте самостоятельные работы, и до встречи в следующем видео!

основными свойствами .

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

одинаковые основания

Log6 4 + log6 9.

Теперь немного усложним задачу.

Примеры решения логарифмов

Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Найдите значение выражения:

Переход к новому основанию

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

Задача. Найдите значение выражения:

Смотрите также:

Основные свойства логарифма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого.

Основные свойства логарифмов

Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

Пример 2. Найти х, если

Пример 3. Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Основные свойства логарифмов

Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами .

Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания . Если основания разные, эти правила не работают!

Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

Вынесение показателя степени из логарифма

Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 24; 49 = 72. Имеем:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем.

Формулы логарифмов. Логарифмы примеры решения.

Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

Переход к новому основанию

Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a? Правильно: получится это самое число a. Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

Задача. Найдите значение выражения:

Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

Смотрите также:

Логарифмом числа b по основанию a обозначают выражение . Вычислить логарифм значит найти такой степень x (),при котором выполняется равенство

Основные свойства логарифма

Приведенные свойства необходимо знать, поскольку, на их основе решаются практически все задачи и примеры связаны с логарифмами. Остальные экзотических свойств можно вывести путем математических манипуляций с данными формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При вычислениях формулы суммы и разности логарифмов (3,4) встречаются довольно часто. Остальные несколько сложные, но в ряде задач являются незаменимыми для упрощения сложных выражений и вычисления их значений.

Распространены случаи логарифмов

Одними из распространенных логарифмов такие в которых основание ровное десять, экспоненте или двойке.
Логарифм по основанию десять принято называть десятичным логарифмом и упрощенно обозначать lg(x).

Из записи видно, что основы в записи не пишут. Для примера

Натуральный логарифм – это логарифм у которого за основу экспонента (обозначают ln(x)).

Экспонента равна 2,718281828…. Чтобы запомнить экспоненту можете изучить правило: экспонента равна 2,7 и два раза год рождения Льва Николаевича Толстого. Зная это правило будете знать и точное значение экспоненты, и дату рождения Льва Толстого.

И еще один важный логарифм по основанию два обозначают

Производная от логарифм функции равна единице разделенной на переменную

Интеграл или первообразная логарифма определяется зависимостью

Приведенного материала Вам достаточно, чтобы решать широкий класс задач связанных с логарифмами и логарифмирования. Для усвоения материала приведу лишь несколько распространенных примеров из школьной программы и ВУЗов.

Примеры на логарифмы

Прологарифмировать выражения

Пример 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

По свойствам 3,5 вычисляем

2.
По свойству разницы логарифмов имеем

3.
Используя свойства 3,5 находим

На вид сложное выражение с использованием ряда правил упрощается к виду

Нахождение значений логарифмов

Пример 2. Найти х, если

Решение. Для вычисления применим до последнего слагаемого 5 и 13 свойства

Подставляем в запись и скорбим

Поскольку основания равные, то приравниваем выражения

Логарифмы. Начальный уровень.

Пусть задано значение логарифмов

Вычислить log(x), если

Решение: Прологарифмируем переменную, чтобы расписать логарифм через сумму слагаемых

На этом знакомство с логарифмами и их свойствами только начинается. Упражняйтесь в вычислениях, обогащайте практические навыки — полученные знания Вам скоро понадобятся для решения логарифмических уравнений. Изучив основные методы решения таких уравнений мы расширим Ваши знания для другой не менее важной теме — логарифмические неравенства …

Основные свойства логарифмов

Сложение и вычитание логарифмов

Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: logax и logay. Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

logax + logay = loga (x · y);
logax − logay = loga (x: y).

Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

Основания одинаковые, используем формулу разности:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Вынесение показателя степени из логарифма

Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

Как решать логарифмы

Именно это чаще всего и требуется.

Задача. Найдите значение выражения: log7 496.

Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Задача. Найдите значение выражения:

Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

Переход к новому основанию

На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

Пусть дан логарифм logax. Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

В частности, если положить c = x, получим:

Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

А теперь «перевернем» второй логарифм:

Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

Основное логарифмическое тождество

Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: .

Задача. Найдите значение выражения:

Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

Логарифмическая единица и логарифмический ноль

logaa = 1 — это. Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
loga 1 = 0 — это. Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a0 = 1 — это прямое следствие из определения.

1. Решение стандартно - воспользуемся правилом умножения на 1 :

Теперь удаляем логарифмы:

Перемножим крест-накрест:

Проверка

Подходит!

Проверка

И здесь подходит! Может, я ошибся, и корни вообще всегда подходят? Давай посмотрим на следующий пример!

Пример № 2

Тройку нашим любимым методом представим в виде

Слева и справа воспользуемся формулой для суммы логарифмов.

Пример №3

Решение аналогично уже рассмотренному ранее примеру: Единицу справа давай превратим в (я напомню, что - десятичный логарифм, или логарифм по основанию), и произведем действия между логарифмами слева и справа:

теперь уберем логарифмы слева и справа:

\left({x} -2 \right)\left({x} -3 \right)=2

Проверка:

Опять оба логарифма слева не определены, так как они берутся от отрицательных чисел. Тогда не является корнем.

так как, то

Ответ:

Я надеюсь, что только что приведенные примеры навсегда отучат тебя пропускать проверку при решении логарифмических уравнений. Она необходима!

Логарифмическое уравнение с переменным основанием

Теперь я бы хотел рассмотреть с тобой еще один (чуть более сложный) вид логарифмических уравнений. Это будут уравнения с переменным основанием.

До этого же мы рассматривали только случаи, когда основания были постоянными: и т. д. Но ничто не мешает им быть некоторыми функциями от, например и т. д.

Но не стоит пугаться! Если при решении логарифмических неравенств переменное основание доставляет довольно много неудобств, то на сложности решения уравнения это практически никак не сказывается! Суди сам:

Пример №1

Действуем как и раньше: применяем метод «умножь на единицу» к числу:

Тогда исходное уравнение преобразуется к виду:

Применю формулу разности квадратов:

Проверка:

Какой делаем вывод? Неверно! Число не является корнем уравнения, поскольку основание логарифма не может быть отрицательным числом или равняться единице!

Ответ: .

Как видишь, в случае уравнений нет никакой принципиальной разницы, переменные у нас основания или нет. В этом плане можно сказать, что решить логарифмическое уравнение как правило намного проще, чем решить логарифмическое неравенство!

Давай теперь попробуем решить еще один «странный» пример.

Пример №2

Будем действовать как всегда - превратим правую часть в логарифм, вот такой хитрый:

Тогда исходное логарифмическое уравнение будет равносильно вот такому уравнению (правда снова логарифмическому)

Данное уравнение я буду решать снова по разности квадратов:

Давай решим вначале первое, второе будет решаться примерно так же:

Снова воспользуюсь «умножением на 1» :

Аналогично для второго уравнения:

Теперь самое интересное: проверка. Начнем с первого корня

Основание «большого» логарифма равно

Поэтому не является корнем.

Проверим второе число:

то число является корнем исходного уравнения.

Ответ:

Я намеренно привел достаточно сложный пример, чтобы показать тебе, что не стоит пугаться больших и страшных логарифмов.

Достаточно знать несколько формул (которые я уже привел тебе выше) и из любой (практически) ситуации можно найти выход!

Ну вот, я привел тебе основные методы решения логарифмических уравнений (методы «без изысков»), которые позволят тебе справиться с большинством примеров (в первую очередь на ЕГЭ).

Теперь пришло твое время показать, чему ты научился. Попробуй самостоятельно решить следующие логарифмические уравнения , а затем мы с тобой сверим результат.

Семь примеров для самостоятельной работы

Рассмотренные в этой работы приемы, конечно, не исчерпывают всевозможные способы решения логарифмических уравнений.

В некоторых случаях нам нужно очень «извернуться», чтобы придумать способ найти корни у каверзного уравнения.

Однако, каким бы сложным не было начальное уравнение, в результате оно сведется к уравнению того вида, которые мы с тобой только что научились решать!

Ответы на примеры для самостоятельную работу

1. Достаточно простая задачка: воспользуемся свойством:

в вычитаемом:

Тогда мы получим:

Делаем проверку:

(этот переход я уже объяснял тебе выше)

Ответ: 9

2. Тоже ничего сверхъестественного: неохота мне делить, поэтому я перенесу слагаемое с «минусом» вправо: теперь слева и справа у меня стоят десятичные логарифмы, и я от них избавляюсь:

Делаю проверку:

выражение под знаком логарифма не может быть отрицательным, поэтому число не является корнем уравнения.

Проверка

Ответ:

Здесь нужно немного поработать: ясно, что, снова воспользуюсь (не правда ли очень полезной?) формулой:

Что мне нужно сделать, прежде чем применить формулу сложения логарифмов? Да, мне нужно избавиться от множителя. Есть два пути: первый - в лоб занести его в логарифм по формуле:

В принципе, этот метод имеет право на существование, но что в нем плохо? Плохо иметь дело с выражением вида (всегда неприятна «нецелая степень». Так что можно сделать еще? Как можно избавиться от такой «нецелости»? Давай домножим на наше уравнение:

Ну вот, а теперь давай занесем оба множителя в логарифмы:

тогда я заменю ноль на

И окончательно получу:

Помнишь, как называется эта «нелюбимая» школьная формула? Это разность кубов! Может, так более понятно?

Напомню тебе, что разность кубов вот так раскладывается на множители:

и вот еще на всякий случай:

Применительно к нашей ситуации это даст:

Первое уравнение имеет корень, а второе корней не имеет (убедись сам!).

Предоставляю тебе самостоятельно сделать проверку и убедиться, что число на самом деле является корнем нашего уравнения.

Как и в предыдущем примере перепишем

Я опять не хочу никаких вычитаний (и последующих делений) и поэтому перенесу полученное выражение вправо:

Теперь убираю логарифмы слева и справа:

Мы получили иррациональное уравнение, которое, как я надеюсь, ты уже умеешь решать. Я лишь напомню, что мы возводим обе стороны в квадрат:

Твоя задача теперь - убедиться, что не является корнем, а - является.

Ответ:

Все прозрачно: применяем формулу суммы логарифмов слева:

тогда убираем логарифмы с двух сторон:

Проверка:

Ответ: ;

Все проще некуда: уравнение уже приведено к простейшему виду. Нам осталось только приравнять

Делаем проверку:

А вот при основание у логарифмов равно:

И не является корнем.

Ответ:

Этот пример я оставил нам на десерт. Хотя в нем тоже нет ничего очень уж сложного.

Ноль представим как

Тогда мы с тобой получим вот такое логарифмическое уравнение :

И мы снимаем первую «шкурку» - внешние логарифмы.

Единицу представим как

Тогда наше уравнение примет вид:

Теперь мы снимаем «вторую шкурку» и добираемся до сердцевины:

Делаем проверку:

Ответ: .

3 МЕТОДА РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ. ПРОДВИНУТЫЙ УРОВЕНЬ

Теперь, после ознакомления с первой статьей по логарифмическим уравнениям, ты овладел необходимым минимумом знаний, необходимых для решения простейших примеров.

Теперь я могу перейти к разбору еще трех методов решения логарифмических уравнений:

метод введения новой переменной (или замены)
метод логарифмирования
метод перехода к новому основанию.

Первый метод - один из наиболее часто употребляемых на практике. Им решается большинство «трудных» задач, связанных с решением логарифмических (и не только) уравнений.

Второй метод служит для решения смешанных показательно-логарифмических уравнений, в конечном счете сводя задачу к выбору хорошей замены переменной (то есть к первому методу).

Третий метод пригоден для решения некоторых уравнений, в которых встречаются логарифмы с разными основаниями.

Я начну с рассмотрения первого метода.

Метод введения новой переменной (4 примера)

Как ты уже понял из названия, суть этого метода - ввести такую замену переменной, что твое логарифмическое уравнение чудесным образом преобразится в такое, которое ты уже с легкостью можешь решить.

Все что тебе останется после решения этого самого «упрощенного уравнения» - это сделать «обратную замену» : то есть вернуться от замененного к заменяемому.

Давай проиллюстрируем только что сказанное на очень простом примере:

В этом примере замена прямо напрашивается сама собой! Ведь ясно, что если мы заменим на, то наше логарифмическое уравнение превратится в рациональное:

Его ты без проблем решишь, сведя к квадратному:

(дабы знаменатель не обнулился ненароком!)

Упрощая полученное выражение, мы окончательно получим:

Теперь делаем обратную замену: , тогда из следует, что, а из получим

Теперь, как и раньше, пришла очередь проверки:

Пусть вначале, так как, то, верно!

Теперь, тогда, все верно!

Таким образом, числа и являются корнями нашего исходного уравнения.

Ответ: .

Вот еще один пример с очевидной заменой:

В самом деле, сразу же давай заменим

тогда наше исходное логарифмическое уравнение превратится в квадратное:

Обратная замена:

Проверку проведи самостоятельно, убедись, что в данном случае оба найденных нами числа являются корнями.

Мне кажется, что основную идею ты уловил. Она не нова и распространяется не только на логарифмические уравнения.

Другое дело, что иногда довольно сложно сразу «увидеть» замену. Здесь требуется некоторый опыт, который придет к тебе после некоторых усилий с твоей стороны.

А пока что потренируйся в решении следующих примеров:

Готов? Давай проверим, что у тебя получилось:

Вначале решим второй пример.

Он как раз демонстрирует тебе, что не всегда замену удается сделать, что говорится, «в лоб».

Прежде нам нужно немного преобразовать наше уравнение: применить формулу разности логарифмов в числителе первой дроби, и вынести степень в числителе второй.

Сделав это, ты получишь:

Теперь замена стала очевидной, не так ли? Давай сделаем ее: .

Теперь приведем дроби к общему знаменателю и упростим.

Тогда мы получим:

Решив последнее уравнение, ты найдешь его корни: откуда.

Самостоятельно сделай проверку и удостоверься в том, что и в самом деле являются корнями нашего первоначального уравнения.

Теперь давай попробуем решить третье уравнение.

Ну, во-первых, ясно, что нам не повредит домножить обе части уравнения на. Вреда никакого, а польза - очевидна.

Теперь сделаем замену. Ты ведь догадался о том, что мы будем заменять? Верно, положим, . Тогда наше уравнение примет вот такой вид:

(оба корня нам подходят!)

Теперь обратная замена: , откуда, откуда. Наше исходное уравнение имеет сразу аж четыре корня! Убедись в этом, подставим полученные значения в уравнение. Записываем ответ:

Ответ: .

Я так думаю, что теперь идея замены переменной тебе полностью ясна? Хорошо, тогда не будем останавливаться на достигнутом и перейдем к еще одному методу решения логарифмических уравнений: методу перехода к новому основанию.

Метод перехода к новому основанию

Давай рассмотрим следующее уравнение:

Что мы видим? Два логарифма будто бы «противоположны» друг другу. Что нужно делать? Все легко: нам достаточно прибегнуть к одной из двух формул:

В принципе, мне ничего не мешает воспользоваться любой из этих двух формул, но из-за структуры уравнения, мне удобнее будет применить первую: я избавлюсь от переменного основания логарифма во втором слагаемом, заменив его на. Теперь легко заметить, что задача свелась к предыдущей: к выбору замены. Заменив, я получу следующее уравнение:

Отсюда. Тебе осталось подставить найденные числа в исходное уравнение и убедиться, что они в самом деле являются корнями.

Вот еще один пример, в котором разумно будет перейти к новому основанию:

Однако, как ты можешь легко проверить, если мы с тобой перейдем к новому основанию сразу, это не даст должного эффекта. Что нам нужно сделать в этом случае? А давай все упростим донельзя, а дальше будь что будет.
Вот, что я хочу сделать: представить, как, как, вынести эти степени перед логарифмами, а также вынести квадрат у икса в первом логарифме. Дальше уже посмотрим.

Запомни, с основанием бывает намного сложнее подружиться, чем с выражением, стоящим под знаком логарифма!

Следуя этому правилу, я заменю на и на. Тогда я получу:

Ну а дальнейшие шаги тебе уже знакомы. Заменяй и ищи корни!

В результате ты отыщешь два корня исходного уравнения:

Пришла пора тебе показать, чему ты научился!

Постарайся вначале самостоятельно решить следующие (не самые легкие) примеры:

1. Здесь все достаточно стандартно: я буду стараться свести мое исходное уравнение к такому, чтобы была удобна замена. Что мне для этого потребуется? Во-первых, преобразовать первое выражение слева (вынести четвертую степень двойки перед логарифмом) и вынести степень двойки из основания второго логарифма. Тогда я получу:

Осталось всего ничего: «перевернуть» первый логарифм!

\frac{12}{\log_{2}{x}}=3{{\log }_{2}}x

(для удобства я перенес второй логарифм слева в правую часть уравнения)

Задача почти решена: можно сделать замену. После приведения к общему знаменателю я получу следующее уравнение:

Сделав обратную замену, тебе не составит труда сосчитать, что:

Убедись, что полученные значения являются корнями нашего уравнения.

2. Здесь я тоже буду стараться «подогнать» мое уравнение под приемлемую замену. Какую же? Пожалуй, мне подойдет.

Так давай не будем терять времени и приступим к преобразованиям!

{{\log }_{x}}5{{x}^{2}}\cdot \log \frac{2}{5}x=1

Ну вот, теперь можно смело заменять! Тогда, уже относительно новой переменной, мы получим следующее уравнение:

Откуда. Опять-таки, удостовериться, что оба эти числа являются в самом деле корнями, предоставляется тебе в качестве упражнения.

3. Здесь сразу даже не совсем очевидно, что мы будем заменять. Есть одно золотое правило - не знаешь, что делать - делай то, что можно! Вот им я и воспользуюсь!

Теперь я «переверну» все логарифмы и применю к первому - формулу логарифма разности, а к двум последним - логарифм суммы:

Здесь я также пользовался тем, что (при) и свойством вынесения степени из логарифма. Ну вот, теперь нам можно применить подходящую замену: . Я уверен, что ты уже умеешь решать рациональные уравнения, даже вот такого монструозного типа. Поэтому я позволю себе сразу записать результат:

Осталось решить два уравнения: . С методами решения таких «почти простейших» уравнений, ты уже ознакомился в предыдущем разделе. Таким образом, я сразу запишу окончательные решения:

Убедись, что только два из этих чисел - корни моего уравнения! А именно - это и, в то время как корнем не является!

Этот примерчик позаковырестее, однако, я постараюсь решить его вообще не прибегая к замене переменной! Давай опять, будем делать, что можно: а можно для начала разложить логарифм слева по формуле для логарифма отношения, а также вынести двойку вперед у логарифма в скобках. В итоге у меня получится:

Ну а теперь та самая формула, которую мы уже применяли! Так как, то сократим правую часть! Теперь там вообще просто стоит двойка! Перенесем к ней слева единицу, окончательно получим:

Как решать такие уравнения, ты уже знаешь. Корень находится без труда, и он равен. Напоминаю тебе о проверке!

Ну вот, теперь ты, как я надеюсь, научился решать достаточно сложные задачи, которые « в лоб» не одолеешь! Но логарифмические уравнения бывают еще более коварными! Вот например такие:

Здесь уже, увы, предыдущий способ решения не даст ощутимых результатов. Как ты думаешь, почему? Да, никакой «обратности» логарифмов здесь уже не наблюдается. Этот наиболее общий случай, конечно, тоже поддается решению, но мы уже применяем вот такую формулу:

Уж этой формуле все равно, имеется у вас «противоположность» или нет. Ты можешь спросить, а чему выбирать основание? Мой ответ - это не имеет никакого значения. Ответ в итоге не будет зависеть от этого. Традиционно используют либо натуральный, либо десятичный логарифм. Хотя это и не принципиально. Я, например, буду применять десятичный:

Отставлять ответ в таком виде - форменное безобразие! Давайте я вначале запишу по определению, что

Теперь пришло время воспользоваться: внутри скобок - основным логарифмическим тождеством, а снаружи (в степени) - превратить отношение в один логарифм: , тогда окончательно получим вот такой «странный» ответ: .

Дальнейшие упрощения, увы, нам уже недоступны.

Давай сделаем проверку вместе:

Верно! Кстати, еще раз вспомни, из чего следует предпоследнее равенство в цепочке!

В принципе, решение этого примера тоже можно свести к переходу к логарифму по новому основанию, только тебя должно уже пугать то, что получится в итоге. Давай попробуем поступить разумнее: как можно лучше преобразуем левую часть.

Кстати, а как по-твоему я получил последнее разложение? Верно, я применил теорему о разложении квадратного трехчлена на множители, а именно:

Если, - корни уравнения, то:

Ну вот, теперь я перепишу мое исходное уравнение вот в таком виде:

А вот решить такую задачу нам уже вполне по силам!

Так как, то введем замену.

Тогда мое исходное уравнение примет вот такой простой вид:

Его корни равны: , тогда

Откуда - данное уравнение корней не имеет.

Тебе осталось сделать проверку!

Следующее уравнение попробуй решить самостоятельно. Не торопись и будь внимателен, тогда удача будет на твоей стороне!

Готов? Давай посмотрим, что у нас получилось.

На самом деле, пример решается в два действия:

1. Преобразуем

2. теперь справа у меня стоит выражение, которое равно

Таким образом, исходное уравнение свелось к простейшему:

Проверка говорит о том, что данное число в самом деле является корнем уравнения.

Метод логарифмирования

Ну и напоследок я очень кратко остановлюсь на методах решения некоторых смешанных уравнений. Само собой, я не берусь охватить все смешанные уравнения, а покажу приемы решения самых простых.

Например,

Такое уравнение может быть решено методом логарифмирования. Все, что тебе нужно сделать, это взять логарифм от обеих частей.

Ясно, что поскольку у нас уже есть логарифм по основанию, то логарифмировать я буду по тому же основанию:

Теперь я вынесу степень из выражения слева:

и разложу выражение на множители по формуле разности квадратов:

Проверка как всегда на твоей совести.

Последний пример данной статьи попробуй решить самостоятельно!

Проверяем: берем логарифм по основанию от обеих частей уравнения:

Выношу степень слева и раскалываю по формуле суммы справа:

Угадываем один из корней: является корнем.

В статье, посвященной решению показательных уравнений, я рассказывал о том, как делить один многочлен «уголком» на другой.

Здесь нам понадобится поделить на.

В итоге мы получим:

Проверку проведи, по-возможности, сам (хотя в данном случае, особенно с последними двумя корнями, она будет непростой).

ЛОГАРИФМИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ. СУПЕР УРОВЕНЬ

В дополнение к уже изложенному материалу, я предлагаю нам с тобой рассмотреть еще один способ решения смешанных уравнений, содержащих логарифмы, однако здесь я буду рассматривать такие уравнения, которые не могут быть решены рассмотренным ранее методом логарифмирования обеих частей . Данный способ имеет название мини-максного.

Мини-максный метод

Данный метод применим не только при решении смешанных уравнений, но также оказывается полезным при решении некоторых неравенств.

Итак, вначале введем следующие основные определения, которые необходимы для применения мини-максного метода.

Простые рисунки иллюстрируют эти определения:

Функция на рисунке слева - монотонно возрастающая, а справа - монотонно убывающая. Теперь обратимся к логарифмической функции, известно, что выполняется следующая:

На рисунке приведены примеры монотонно возрастающей и монотонно убывающей логарифмической функции.

Опишем непосредственно сам мини-максный метод . Я думаю, что ты понимаешь, от каких слов произошло такое название?

Верно, от слов минимум и максимум. Кратко метод можно представить в виде:

Наша самая главная цель - это найти вот эту самую константу, чтобы далее свести уравнение к двум более простым.

Для этого могут быть полезны свойства монотонности логарифмической функции, сформулированные выше.

Теперь давай рассмотрим конкретные примеры:

1. Вначале рассмотрим левую часть.

Там стоит логарифм с основанием меньше. По теореме, сформулированной выше, какой оказывается функция? Она убывает. При этом, а значит, . С другой стороны, по определению корня: . Таким образом, константа найдена и равна. Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Первое уравнение имеет корни, а второе: . Таким образом, общий корень равен, и данный корень будет корнем исходного уравнения. На всякий случай сделай проверку, чтобы убедиться в этом.

Ответ:

Давай сразу задумаемся, что здесь написано?

Я имею в виду общую структуру. Здесь сказано, что сумма двух квадратов равна нулю.

Когда это возможно?

Только тогда, когда оба этих числа по отдельности равны нулю. Тогда перейдем к следующей системе:

Общих корней у первого и второго уравнений нет, тогда и исходное уравнение корней не имеет.

Ответ: нет решений.

Давай вначале рассмотрим правую часть - она попроще. По определению синуса:

Откуда, и тогда Поэтому

Теперь вернемся к левой части: рассмотрим выражение, стоящее под знаком логарифма:

Попытка найти корни у уравнения не приведет к положительному результату. Но тем не менее, мне надо как-то это выражение оценить. Ты, конечно, знаешь такой метод, как выделение полного квадрата . Его я здесь и применю.

Так как - функция возрастающая, то из cледует, что. Таким образом,

Тогда наше исходное уравнение равносильно следующей системе:

Я не знаю, знаком ты или нет с решением тригонометрических уравнений, поэтому я сделаю так: решу первое уравнение (оно имеет максимум два корня), а потом результат подставлю во второе:

(можешь сделать проверку и убедиться, что это число является корнем первого уравнения системы)

Теперь я подставлю его во второе уравнение:

Ответ:

Ну как, теперь тебе стала ясна техника применения мини-максного метода? Тогда постарайся решить следующий пример самостоятельно.

Готов? Давай проверим:

Левая часть - сумма двух неотрицательных величин (единицы и модуля) а потому, левая часть не меньше единицы, причем она равна единице только тогда, когда

В то же время правая часть - это модуль (значит, больше нуля) произведения двух косинусов (значит не более единицы), тогда:

Тогда исходное уравнение равносильно системе:

Я опять предлагаю решить первое уравнение и результат подставить во второе:

Данное уравнение корней не имеет.

Тогда исходное уравнение также не имеет корней.

Ответ: решений нет.

КОРОТКО О ГЛАВНОМ. 6 МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛОГАРИФМИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

Логарифмическое уравнение - уравнение, в котором неизвестные переменные находятся внутри логарифмов.

Простейшим логарифмическим уравнением является уравнение вида.

Процесс решения любого логарифмического уравнения сводится к приведению логарифмического уравнения к виду , и переходе от уравнения с логарифмами к уравнению без них: .

ОДЗ для логарифмического уравнения:

Основные методы решения логарифмических уравнений:

1 метод. Использование определения логарифма:

2 метод. Использование свойств логарифма:

3 метод. Введение новой переменной (замена):

замена позволяетсвести логарифмическое уравнение к более простому алгебраическому уравнению относительно t.

4 метод. Переход к новому основанию:

5 метод. Логарифмирование:

берется логарифм от правой и левой частей уравнения.

6 метод. Мини-максный:

Теперь мы хотим услышать тебя...

Мы постарались написать максимально просто и подробно о логарифмических уравнениях.

Теперь твой ход!

Напиши, как ты оцениваешь нашу статью? Понравилась ли она тебе?

Может быть ты уже умеешь решать логарифмические уравнения?

Возможно у тебя есть вопросы. Или предложения.

Напиши об этом в комментариях.

И удачи на экзаменах!

На данном уроке мы повторим основные теоретические факты о логарифмах и рассмотрим решение простейших логарифмических уравнений.

Напомним центральное определение - определение логарифма. Оно связано с решением показательного уравнения . Данное уравнение имеет единственный корень, его называют логарифмом b по основанию а:

Определение:

Логарифмом числа b по основанию а называется такой показатель степени, в которую нужно возвести основание а, чтобы получить число b.

Напомним основное логарифмическое тождество .

Выражение (выражение 1) является корнем уравнения (выражение 2). Подставим значение х из выражения 1 вместо х в выражение 2 и получим основное логарифмическое тождество:

Итак мы видим, что каждому значению ставится в соответствие значение . Обозначим b за х (), с за у, и таким образом получаем логарифмическую функцию:

Например:

Вспомним основные свойства логарифмической функции.

Еще раз обратим внимание, здесь , т. к. под логарифмом может стоять строго положительное выражение, как основание логарифма.

Рис. 1. График логарифмической функции при различных основаниях

График функции при изображен черным цветом. Рис. 1. Если аргумент возрастает от нуля до бесконечности, функция возрастает от минус до плюс бесконечности.

График функции при изображен красным цветом. Рис. 1.

Свойства данной функции:

Область определения: ;

Область значений: ;

Функция монотонна на всей своей области определения. При монотонно (строго) возрастает, большему значению аргумента соответствует большее значение функции. При монотонно (строго) убывает, большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Свойства логарифмической функции являются ключом к решению разнообразных логарифмических уравнений.

Рассмотрим простейшее логарифмическое уравнение, все остальные логарифмические уравнения, как правило, сводятся к такому виду.

Поскольку равны основания логарифмов и сами логарифмы, равны и функции, стоящие под логарифмом, но мы должны не упустить область определения. Под логарифмом может стоять только положительное число, имеем:

Мы выяснили, что функции f и g равны, поэтому достаточно выбрать одно любое неравенство чтобы соблюсти ОДЗ.

Таким образом, мы получили смешанную систему, в которой есть уравнение и неравенство:

Неравенство, как правило, решать необязательно, достаточно решить уравнение и найденные корни подставить в неравенство, таким образом выполнить проверку.

Сформулируем метод решения простейших логарифмических уравнений:

Уравнять основания логарифмов;

Приравнять подлогарифмические функции;

Выполнить проверку.

Рассмотрим конкретные примеры.

Пример 1 - решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства первый логарифм:

Пример 2 - решить уравнение:

Данное уравнение отличается от предыдущего тем, что основания логарифмов меньше единицы, но это никак не влияет на решение:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Получили неверное неравенство, значит, найденный корень не удовлетворяет ОДЗ.

Пример 3 - решить уравнение:

Основания логарифмов изначально равны, имеем право приравнять подлогарифмические выражения, не забываем про ОДЗ, выберем для составления неравенства второй логарифм:

Найдем корень и подставим его в неравенство:

Очевидно, что только первый корень удовлетворяет ОДЗ.